2018年高考数学二轮复习指导一第3讲客观“瓶颈”题突破——冲刺高分案文

第3讲 客观“瓶颈”题突破——冲刺高分题型概述 “瓶颈”一般是指在整体中的关键限制因素，例如，一轮、二轮复习后，很多考生却陷入了成绩提升的“瓶颈期”——无论怎么努力，成绩总是停滞不前.怎样才能突破“瓶颈”，让成绩再上一个新台阶？全国高考卷客观题满分80分，共16题，决定了整个高考试卷的成败，要突破“瓶颈题”就必须在两类客观题第10，11，12，15，16题中有较大收获，分析近三年高考，必须从以下几个方面有所突破，才能实现“柳暗花明又一村”，做到保“本”冲“优”.压轴热点1 函数的图象、性质及其应用【例1】 (1)(2016·全国Ⅰ卷)已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫ω>0，|φ|≤π2，x ＝－π4为f (x )的零点，x ＝π4为y ＝f (x )图象的对称轴，且f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫π18，5π36上单调，则ω的最大值为( ) A.11 B.9 C.7D.5(2)(2017·天津卷)已知奇函数f (x )在R 上是增函数.若a ＝－f ⎝⎛⎭⎪⎫log 215，b ＝f ()log 24.1，c ＝f (20.8)，则a ，b ，c 的大小关系为( )A.a <b <cB.b <a <cC.c <b <aD.c <a <b信息联想 (1)信息①：由x ＝－π4为f (x )的零点，x ＝π4为y ＝f (x )图象的对称轴，联想到周期.信息②：由f (x )在⎝⎛⎭⎪⎫π18，5π36上单调，联想到周期范围. (2)信息①：f (x )在R 上是增函数.信息②：看到a ＝－f ⎝⎛⎭⎪⎫log 215，想到进行转化为a ＝f (log 25). 解析 (1)因为x ＝－π4为f (x )的零点，x ＝π4为f (x )的图象的对称轴，所以π4－⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4＝T4＋kT ，即π2＝4k ＋14T ＝4k ＋14·2πω(k ∈Z )，所以ω＝4k ＋1(k ∈Z ).又因为f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫π18，5π36上单调，所以5π36－π18＝π12≤T 2＝2π2ω，即ω≤12，由此得ω的最大值为9.(2)∵f (x )是R 上的奇函数，∴a ＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫log 215＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－log 215＝f (log 25).又log 25>log 24.1>2，1<20.8<2， 因此log 25>log 24.1>20.8，结合函数的单调性：f (log 25)>f ()log 24.1>f (20.8)，所以a >b >c ，即c <b <a . 答案 (1)B (2)C探究提高 1.根据函数的概念、表示及性质求函数值的策略(1)对于分段函数的求值(解不等式)问题，依据条件准确地找准利用哪一段求解，不明确的要分情况讨论.(2)对于利用函数性质求值的问题，依据条件找到该函数满足的奇偶性、周期性、对称性等性质，利用这些性质将待求值调整到已知区间上求值. 2.求解函数的图象与性质综合应用问题的策略(1)熟练掌握图象的变换法则及利用图象解决函数性质、方程、不等式问题的方法. (2)熟练掌握确定与应用函数单调性、奇偶性、周期性、最值、对称性及零点解题的方法. 【训练1】 (1)(2016·全国Ⅱ卷)已知函数f (x )(x ∈R )满足f (－x )＝2－f (x )，若函数y ＝x ＋1x 与y ＝f (x )图象的交点为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x m ，y m )，则∑i ＝1m(x i ＋y i )＝( ) A.0 B.m C.2mD.4m(2)设曲线f (x )＝m 2＋1cos x (m ∈R )上任一点(x ，y )处切线斜率为g (x )，则函数y ＝x 2g (x )的部分图象可以为()解析 (1)法一 由题设得12(f (x )＋f (－x ))＝1，点(x ，f (x ))与点(－x ，f (－x ))关于点(0，1)对称，则y ＝f (x )的图象关于点(0，1)对称.又y ＝x ＋1x ＝1＋1x，x ≠0的图象也关于点(0，1)对称.则交点(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x m ，y m )成对出现，且每一对关于点(0，1)对称. 则111()022mmmi i i i i i i m x y x y m ===-=+=+⨯=∑∑∑,故选B.法二 特殊函数法，根据f (－x )＝2－f (x )可设函数f (x )＝x ＋1，联立y ＝x ＋1x，解得两个点的坐标为⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝－1，y 1＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝1，y 2＝2，此时m ＝2，所以∑i ＝1m (x i ＋y i )＝2＝m ，故选B.(2)由f (x )＝1＋m 2·cos x ， 得g (x )＝f ′(x )＝－1＋m 2·sin x .令F (x )＝y ＝x 2g (x )＝－1＋m 2·x 2sin x ，则F (x )为奇函数，其图象关于原点对称，排除选项B ，C.又因为F (π)＝0，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝－π21＋m24<0，知A 不正确，选D. 答案 (1)B (2)D压轴热点2 直线与圆的位置关系【例2】 (2016·全国Ⅲ卷)已知直线l ：mx ＋y ＋3m －3＝0与圆x 2＋y 2＝12交于A ，B 两点，过A ，B 分别做l 的垂线与x 轴交于C ，D 两点，若|AB |＝23，则|CD |＝________. 信息联想 信息①：由直线l 截圆x 2＋y 2＝12所得弦长|AB |＝23，联想到求弦心距，进而求得m 的值及A ，B 坐标.信息②：AC ⊥l ，BD ⊥l ，联想求AC ，BD 方程.解析 设AB 的中点为M ，由题意知，圆的圆心为O (0，0)，半径R ＝23，|AB |＝23，所以|OM |＝3，即|3m －3|m 2＋1＝3，解得m ＝－33，由⎩⎨⎧x －3y ＋6＝0，x 2＋y 2＝12，解得A (－3，3)，B (0，23)，则AC 的直线方程为y －3＝－3(x ＋3)，BD 的直线方程为y －23＝－3x ，令y ＝0，解得C (－2，0)，D (2，0)， 所以|CD |＝4. 答案 4探究提高 解决直线与圆的位置关系要抓住两点： (1)抓住直线、圆的几何特征，作出正确示意图，数形结合. (2)灵活利用圆的几何性质、寻找突破口，减少运算量.【训练2】 已知P (x ，y )是直线kx ＋y ＋4＝0(k >0)上一动点，PA ，PB 是圆C ：x 2＋y 2－2y ＝0的两条切线，A ，B 是切点，若四边形PACB 的最小面积为2，则k 的值为________. 解析 由圆的方程得x 2＋(y －1)2＝1，所以圆心为C (0，1)，半径r ＝1，四边形PACB 的面积S ＝2S △PBC ，因为四边形PACB 的最小面积为2，所以S △PBC 的最小值为1，而S △PBC ＝12r ·PB ，即PB 的最小值为2，此时PC 最小为圆心到直线的距离，此时d ＝|5|k 2＋1＝12＋22＝5，则k 2＝4，因为k >0，所以k ＝2. 答案 2压轴热点3 函数与导数的综合应用【例3】 若对任意的实数a ，函数f (x )＝(x －1)ln x －ax ＋a ＋b 有两个不同的零点，则实数b 的取值范围是( ) A.(－∞，－1] B.(－∞，0) C.(0，1)D.(0，＋∞) 信息联想 信息①：由函数的零点，联想到函数图象交点，构造函数作图象. 信息②：由零点的个数及函数的图象，借助导数确定最值的大小关系. 解析 令f (x )＝0得(x －1)ln x ＝a (x －1)－b ， 令g (x )＝(x －1)ln x ，则g ′(x )＝ln x ＋1－1x，∴当0<x <1时，g ′(x )<0； 当x >1时，g ′(x )>0.∴g (x )在(0，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增， 作出y ＝(x －1)ln x 与y ＝a (x －1)－b 的大致函数图象，如图∵f (x )恒有两个不同的零点，∴y ＝a (x －1)－b 与g (x )＝(x －1)ln x 恒有两个交点， ∵直线y ＝a (x －1)－b 恒过点(1，－b )， ∴－b >0，从而b <0. 答案 B探究提高 利用导数解零点问题，主要是构造函数，利用导数研究函数的单调性，常见的构造函数的方法有移项法、构造形似函数法、主元法等.【训练3】 (2017·石家庄质检)函数f (x )(x ∈R )满足f (1)＝2且f (x )在R 上的导数f ′(x )满足f ′(x )－3>0，则不等式f (log 3x )<3log 3x －1的解集为________. 解析 设φ(x )＝f (x )－3x ＋1，x ∈R ，则φ′(x )＝f ′(x )－3>0，φ(x )在(－∞，＋∞)上是增函数， 由f (1)＝2，知φ(1)＝f (1)－3×1＋1＝0， 又f (log 3x )<3log 3x －1，即f (log 3x )－3log 3x ＋1<0. ∴φ(log 3x )<φ(1)，得log 3x <1，则0<x <3. 故原不等式的解集为(0，3). 答案 (0，3)压轴热点4 圆锥曲线及其性质【例4】 (1)(2016·全国Ⅰ卷)以抛物线C 的顶点为圆心的圆交C 于A ，B 两点，交C 的准线于D ，E 两点.已知|AB |＝42，|DE |＝25，则C 的焦点到准线的距离为( ) A.2 B.4 C.6D.8(2)(2016·山东卷)已知双曲线E ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，若矩形ABCD 的四个顶点在E 上，AB ，CD 的中点为E 的两个焦点，且2|AB |＝3|BC |，则E 的离心率是________.信息联想 (1)信息①：由条件中准线、焦点联想确定抛物线C 的方程y 2＝2px (p >0). 信息②：看到|AB |＝42，|DE |＝25，及点A ，D 的特殊位置，联想求A ，D 的坐标，利用点共圆，得p 的方程.(2)信息①：看到矩形ABCD 的四个顶点在E 上， AB ，CD 的中点为E 的两个焦点，想到双曲线的对称性，得AB ⊥x 轴，CD ⊥x 轴，且|AB |＝|CD |＝2b2a.信息②：看到2|AB |＝3|BC |，想到由此构建关于a ，b ，c 的方程，进而得关于c a的方程求e . 解析 (1)不妨设抛物线C ：y 2＝2px (p >0)，∵|AB |＝42，点A 是圆与抛物线交点，由对称性设A (x 1，22)，则x 1＝（22）22p ＝4p.又|DE |＝25，且点D 是准线与圆的交点，∴D ⎝ ⎛⎭⎪⎫－p2，5且|OD |＝|OA |. 从而⎝ ⎛⎭⎪⎫4p 2＋(22)2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－p 22＋(5)2，解得p ＝4.因此C 的焦点到准线的距离是4.(2)由已知及双曲线的对称性得A ⎝ ⎛⎭⎪⎫c ，b 2a ，所以|AB |＝2b2a，且|BC |＝2c ，又2|AB |＝3|BC |，所以2×2b2a＝3×2c ，整理得2b 2＝2(c 2－a 2)＝3ac ，等号两端同除以a 2得2(e 2－1)＝3e ，解得e ＝2. 答案 (1)B (2)2探究提高 1.涉及与圆锥曲线方程相关问题，一定要抓住定义，作出示意图，充分利用几何性质，简化运算.2.双曲线的离心率与渐近线是高考的热点，求圆锥曲线离心率大小(范围)的方法是：根据已知椭圆、双曲线满足的几何条件及性质得到参数a ，b ，c 满足的等量关系(不等关系)，然后把b 用a ，c 表示，求c a的值(范围).【训练4】 (1)(2017·唐山一模)已知双曲线C ：x 2－y 23＝1的右顶点为A ，过右焦点F 的直线l 与C 的一条渐近线平行，交另一条渐近线于点B ，则S △ABF ＝( ) A. 3 B.32 C.334D.338(2)已知抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，点M (x 0，4)是抛物线C 上一点，以M 为圆心，|MF |为半径的圆被直线x ＝－1截得的弦长为27，则|MF |＝________. 解析 (1)由双曲线C ：x 2－y 23＝1，得a 2＝1，b 2＝3.∴c ＝a 2＋b 2＝2.∴A (1，0)，F (2，0)，渐近线方程为y ＝±3x ， 不妨设BF 的方程为y ＝3(x －2)， 代入方程y ＝－3x ，解得：B (1，－3). ∴S △AFB ＝12|AF |·|y B |＝12·1·3＝32.(2)由抛物线定义可得：|MF |＝x 0＋p2，因为以M 为圆心，|MF |为半径的圆被直线x ＝－1截得的弦长为27，所以7＋(x 0＋1)2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0＋p 22，又16＝2px 0，联立解得p ＝4，x 0＝2，故|MF |＝2＋42＝4.答案 (1)B (2)4压轴热点5 线性规划及其综合问题【例5】 已知实数x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y －1≤0，2x －y －3≥0，当目标函数z ＝ax ＋by (a >0，b >0)在该约束条件下取得最小值25时，a 2＋b 2的最小值为( ) A.5 B.4 C. 5D.2信息联想 信息①：看到x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －y －1≤0，2x －y －3≥0，想到作出可行域.信息②：看到z ＝ax ＋by (a >0，b >0)取到最小值25，想到数形结合，得a ，b 满足的等量关系，进而求a 2＋b 2的最小值.解析 如图，阴影部分为不等式组表示的平面区域，其中A (2，1)，由于a >0，b >0，故点A 即为目标函数取得最小值的最优解，即2a ＋b ＝25，则b ＝25－2a . 又b >0，a >0，得0<a < 5.因此a 2＋b 2＝a 2＋(25－2a )2＝5⎝⎛⎭⎪⎫a －4552＋4(0<a <5)，当a ＝455时，a 2＋b 2取得最小值4.答案 B探究提高 解线性规划相关问题的策略(1)熟练掌握求解线性规划问题的思路：作图→平移→求值.(2)根据待求式子的几何意义，把待求最值看作直线的截距、斜率、两点间的距离、点到直线的距离等，数形结合求解.【训练5】 若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤0，x －y ≤0，x 2＋y 2≤4，则z ＝y －2x ＋3的最小值为( )A.－2B.－23C.－125D.2－47解析 作出满足条件的可行域如图中阴影部分所示，z ＝y －2x ＋3的几何意义为可行域内的动点与定点P (－3，2)连线的斜率，设过P 的圆的切线的斜率为k ，则切线方程为y －2＝k (x ＋3)，即kx －y ＋3k ＋2＝0， 由|3k ＋2|k 2＋1＝2，解得k ＝0或k ＝－125.∴z ＝y －2x ＋3的最小值为－125. 答案 C。