河南省息县第一高级中学2017届高三下学期第三次适应性

息县一高2017届高考第三次适应性测试
理科数学
第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.集合{|
0}1
x
M x x =>-
，集合{|N x y =，则M N 等于（ ）
A ．(0,1)
B ．(1,)+∞
C ．(0,)+∞
D ．(0,1)(1,)+∞
2. 若z 是z 的共轭复数，且满足2(1)42z i i ⋅-=+，则z =（ ） A ．12i -+ B ．12i -- C ．12i + D ．12i -
3. 设(
)[]
2[1,1]
1,1,2x f x x x ∈-=-∈⎪⎩，则21()f x dx -⎰的值为（ ）
A ．423π+
B ．22π+
C ．443
π+ D ．34π
+
4. 某流程图如图所示，现输入如下四个函数，则可以输出的函数为奇函数的是（ ）
A ．()cos ()22x f x x x ππ=-<<
B ．()2121x x f x -=+
C ．()x f x x
= D ．()2
2
ln(1)f x x x =+
5. 下来说法正确的是（ ）
A ．若a R ∈，则“
1
1a
<”是“1a >”的必要不充分条件 B ．“p q ∧为真命题”是“p q ∨为真命题”的必要不充分条件
C
．若命题:",sin cos p x R x x ∀∈+，则p ⌝是真命题
D ．命题“2
000,230x R x x ∃∈++<”的否定是“2,230x R x x ∀∈++>”
6. 在ABC ∆中，内角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，若1
2
,s i n s i n s i n 2
c ab B a A a
C =-=，
则sin B 为（ ）
A B ．34 C D ．13
7.中国古代数学著作《算法统宗》中有这样的一个问题：“三百七十八里关，初日健步不为难，此日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见行里数，请公仔细相还”其大意为：“有一个人定378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地”，则该人最后一天走的路程为 （ ） A ．24里 B ．12里 C ．6里 D ．3里
8. 某几何体的三视图如图所示，当xy 最大时，该几何体的体积为（ ）
A ．．．．9. 已知向量(1,0),(0,1),()a b c a b R λλ===+∈，向量d 如图表示，则（ ）
A ．0λ∃>，使得c d ⊥
B ．0λ∃>，使得0
,60c d =
C ．0λ∃<，使得0
,30c d = D ．0λ∃<，使得(c md m =为不为0的常数）
10. 已知抛物线2
8y x =的焦点到双曲线22
22:1(0,0)x y E a b a b
-=>>的渐近线的距离不大
E 的离心率的取值范围是（ ）
A ．
B ．(1,2)
C ．)+∞
D ．[2,)+∞
11. 已知函数()2
cos ()1(0,0,0)2
f x A wx A w π
ϕϕ=++>><<
的最大值为()3,f x 的
图象与轴的焦点坐标为(0,2)，其相邻两条对称轴间的距离为2，则
(1)(2)(3)(2016)f f f f ++++的值为（ ）
A ．2458
B ．3501
C ．4032
D ．5739
12. 已知()f x 是定义在(0,)+∞上的单调函数，且对任意的(0,)x ∈+∞，都有
2[()log ]3f f x x -=，则方程()()2f x f x '-=的解所在的区间是（ ）
A ．1(0,)2
B ．1(,1)2
C ．(1,2)
D ．(2,3)
第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13.若变量,x y 满足约束条件1
133
x y x y x y +≥⎧⎪
-≥-⎨⎪-≤⎩
，则21y z x +=+的最大值为 ．
14.设()f x 是展开式2
1()2n x x +
中的中间项，若()f x mx ≤
在区间上恒成立，则实数m 的取值范围是 ．
15.已知正三棱锥P ABC -的外接球的半径为2，其中点,,A B C 在该球的一个大圆上，则该正三棱锥的表面积是 ．
16.我市在“录像课评比”活动中，评审组将从录像的“点播量”和“专家评分”两个角度来进行评优，若A 录像课的“点播量”和“专家评分”中至少有一项高于B 录像课，则称A 录像课不亚于B 录像课，假设共有5节录像课参评，如果某节录像课不亚于其他4节，就称此节录像课为优秀录像课，那么在这5节录像课种最多可能 节优秀录像课．
三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17. 已知在数列{}n a 中，14,0n a a =>，前n 项和为n S
，若2)n a n =≥.
（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）若数列1
1
{
}n n a a +的前n 项和为n T ，求n T .
18. 中央政府为了应对因人口老龄化而造成的劳动力短缺等问题，拟定出台“延迟退休年龄政策”，为了了解人们对“延迟退休年龄政策”的态度，责成人社部进行调研，人社部从网上年龄在15
65岁的人群中随机调查100人，调查数据的频率分布直方图和支持“延迟退
休”的人数与年龄的统计结果如下：
（1）由以上统计数据填22⨯列联表，并判断是否95%的把握认为以45岁为界点的不同人群对“延迟退休年龄政策”的支持有差异；
（2）若以45岁为分界点，从不支持“延迟退休”的人中按分层抽样的方法抽取8人参加某项活动，现从这8人中随机抽2人.
①抽到1人是45岁以下时，求抽到的另一人是45岁以上的概率； ②记抽到45岁以上的人数为X ，求随机变量X 的分布列及数学期望.
22
()()()()()
n ad bc K a b c d a c b d -=++++
19.如图，在多面体ABCDEF 中，正三角形BCE 所在平面与菱形ABCD 所在的平面垂直，
FD ⊥平面ABCD ，且4,BC FD ==
（1）判断直线EF 平面ABCD 的位置关系，并说明理由； （2）若0
60CBA ∠=，求二面角A FB E --的余弦值.
20. 如图，曲线C 由上半椭圆22
122:1(0,0)x y C a b y a b
+=>>≥和部分抛物线
22:1(0)C y x y =-+≤连接而成，1C 与2C 的公共点为,A B ，其中1C 的离心率为
2
. （1）求,a b 的值；
（2）过点B 的直线l 与12,C C 分别交于点,P Q （均异于点,A B ），是否存在直线l ，使得PQ 为直径的圆恰好过点A ，若存在直线l 的方程；若不存在，请说明理由.
21.已知函数()321
(1)32
a f x x a x ax =
+--，其中a R ∈. （1）若曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为820x y +-=，求a 的值； （2）当0a ≠时，求函数()(0)f x x >的单调区间与极值；
（3）若1a =，存在实数m ，使得方程()f x m =恰好有三个不同的解，求实数m 的取值范围.
22.已知椭圆2cos :(sin x C y ϕ
ϕϕ=⎧⎨
=⎩
为参数）,,A B 是C 上的动点，且满足(OA OB O ⊥为坐标
原点)，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立坐标系，点D 的极坐标为(4,)3
π
.
（1）求线段AD 的中点M 的轨迹E 的普通方程；
（2）利用椭圆C 的极坐标方程证明
2
2
11OA
OB
+
为定值，并求面积的最大值.
23.已知函数()22,f x x x a a R =-++∈. （1）当1a =时，解不等式()5f x ≥；
（2）若存在0x 满足00()23f x x +-<，求实数a 的取值范围.
试卷答案
一、选择题
1-5: BBABA 6-10: ACADB 11、 C 12： C
二、填空题
13.3 14. [5,)+∞
15. 16. 5
三、解答题
17.解：（1）因为1(2)n n n a S S n -=-≥，
所以
1n n n a S S -=-=
2)n ⇒=≥，
因为0n a >
0>
1(2)n =≥，
所以数列
2==，公差为1的等差数列，
2
211(1)n n n S n =+-=+⇒=+，
当2n ≥时，221(1)21n n n a S S n n n -=-=+-=+， 当1n =时，14a =，所以4,1
21,2
n n a n n =⎧=⎨
+≥⎩ .
（2）由（1）122334
1111111
1
4557
(21)(23)
n n n T a a a a a a a a n n +=
++++
=+++
⨯⨯+⨯+
11111111
[()()(
)]4525779
2123
n n =
+-+-++-⨯++ 111131()2025232046
n n =+-=-++，故所求概率为3
47374=.
18.
因为22
100(3554515)25
6.25 3.841505080204
K ⨯⨯-⨯=
==>⨯⨯⨯， 所以有95%的把握认为以45岁为分界点的不同人群对“延迟退休政策”的支持度有差异. （2）①抽到1人是45岁以下的概率63
84
=，抽到1人 以上的应抽2人， 则0,1,2X =,
221266222228881531
(0),(1),(2)2728
C C C C P X P X P X C C C =========
, 可得随机变量X 的分布列为
故数学期望为()15311011287282
E X =⨯
+⨯+⨯=. 19.解：（1）直线EF 与平面ABCD 平行，理由如下：
如图，过点E 作EH BC ⊥于点H ，连接HD ，因为在正三角形BCE 中，4BC =
，所以
EH =
因为平面ABCD ⊥平面,BCE EH ⊂平面ABCD ，平面//EF 平面ABCD .
（2）如图，连接,AC HA ，由（1）可得H 为BC 的中点，又0
60CBA ∠=，故ABC ∆为等边三角形， 所以HA BC ⊥.
又EH ⊥平面ABCD ，故,,HB HA HE 两两垂直，以H 为坐标原点，,,HB HA HE 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系.
则(2,0,0),(B F E A -,
所以(6,23,23),(2,23,0),(BF BA BE =-=-=-，
设平面BEF 的法向量为1111(,,)n x y z =，则1100n BF
n BE ⎧⋅
=⎪⎨⋅=⎪
⎩，即11116020
x x ⎧-++=⎪⎨-+=⎪⎩，
取11z =，则1(3,2,1)n =是平面BEF 的一个法向量， 设平面ABF 的法向量为2222(,,)n x y z =，
则2200n BF
n BE ⎧⋅=
⎪⎨⋅=
⎪⎩，即2222260
20
x x ⎧-++=⎪⎨-+=⎪⎩， 取21y =，得2(3,1,2)n =是平面ABF 的一个法向量. 所以121212
7
cos ,8
8n n n n n n ⋅=
=
=⋅，
由图可知二面角A FB E --为钝角，故二面角A FB E --的余弦值是78
-. 20.解：（1）在12,C C 的方程中，令0y =，可得1b
=，且(1,0),(1,0)A B -是上半椭圆1C 的
左右顶点，
设1C 的半焦距为c ，由
c a =
及222
1a c b -=-，可得2a =，所以2,1a b ==. （2）由（1），上半椭圆1C 的方程为2
21(0)4
y x y +=≥， 由题意知，直线l 与x 轴不重合也不垂直，设其方程为(1)(0)y k x k =-≠， 代入1C 的方程，整理得2
2
2
2
(4)240k x k x k +-+-=， 设点P 的坐标为(,)P P x y ，
因为直线l 过点B ，所以1x =是方程的一个根，
由求根公式，得22248,44P P k k x y k k --==++，所以点P 的坐标为22
248(,)44
k k
k k --++， 同理，由
{2(1)(0)
1(0)
y k x k y x y =-≠=-+≤ ，得点Q 的坐标为2
(1,2)k k k ----，
所以22
22
228(,),(,2)44
k k AP AQ k k k k k -==--+++， 依题意可知AP AQ ⊥，所以10AP AQ ⋅=，即222
22
28()(2)044k k k k k k k -⋅-+⋅--=++， 即2
2
2[4(2)]04
k k k k --+=+， 因为0k ≠，所以4(2)0k k -+=，解得83
k =-，
经检验，83k =-符合题意，故直线l 的方程为8(1)3
y x =--.
21.解：（1）()2(1)f x ax a x a '=+--，由820x y +-=可得()18f '=-， 即2(1)(1)8f a a a '=+--=-，解得3a =±，
当3a =时，()()()32243,16,()383,18f x x x x f f x x x f ''=--=-=--=-， 当3a =-时，()()()32243,(1)2,383,18f x x x f f x x x f ''=--+=-=--+=-， 故曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为28(1)y x +=--，即860x y +-=不符合题意，舍去， 故的值为3.
（2）当0a ≠时，()2
1(1)()(1)()()f x ax a x a x a ax a x a x a
'=+--=-+=-+，
当0a >时，令()0f x '=，则121
,x x a a
=-
= 当x 变化时，()(),f x f x '的变化情况如下表：
所以()f x 的单调递增区间为1(,),(,)a a -∞-+∞，单调递减区间为1
(,)a a
-. 函数()f x 在11x a =-
处取得最大值1
()f a
-，且3222111111()()(1)()13262
a f a a a a a -=⨯-+-⨯-+=+.
函数()f x 在2x a =处取得极小值()f a ，且
()32242111
(1)3262
a f a a a a a a a a =
⨯+-⨯-⨯=--， 当0a <时，令()0f x '=，则121
,x a x a ==-，
当x 变化时，()(),f x f x '的变化情况如下表：
所以()f x 的单调递减区间为1(,),(,)a a -∞-+∞，单调递增区间为1(,)a a
-， 函数()f x 在11x a =-处取得极大值1
()f a
-，
且32
22
1111111()()(1)()()3262
a f a a a a a a a -=-+-⋅--⨯-=+. 函数()f x 在2x a =处取得极小值()f a ，且
()32242111
(1)3262
a f a a a a a a a a =
⨯+-⨯-⨯=--， （3）若1a =，则()()32
1,13f x x x f x x '=-=-，
由（2）可知()3
13
f x x x =-在区间(,1),(1,)-∞-+∞内增函数，在区间(1,1)-内为减函数，
函数()f x 在11x =处取的极小值()1f ，且()112
1623f =--=-.
函数()f x 在21x =-处取得极大值()1f -，且()112
1623
f -=
=. 如图分别作出函数()3
13f x x x =-与y m =的图象，
从图象上可以看出当22
33
m -<<时，两个函数的图象有三个不同的交点，
即方程()f x m =有三个不同的解，故实数m 的取值范围为22
(,)33-.
22.解：（1）点D 的直角坐标为，由题意可设点A 的坐标为(2cos ,sin )αα参数，
则线段AD 的中点M
的坐标为1
(1cos sin )2
αα+， 所以点M 的轨迹E
的参数方程为1cos (1
sin 2
x y ααα=+⎧⎪
⎨=⎪⎩为参数） 消去α可得E
的普通方程为22(1)4(1x y -+=.
（2）椭圆C 的普通方程为2
214
x y +=，化为极坐标方程得2223sin 4ρρθ+=， 变形得2
24
13sin ρθ
=
+，
由OA OB ⊥，不妨设12(,),(,)2
A B π
ρθρθ+
，所以
2
2
2
212
111
1
OA
OB
ρρ+
=
+
22
2213sin ()
13sin 23sin 3cos 524444
π
θθθθ+++++=+==（定值）
，
1212AOBS ρρ∆=
=
=
=
易知当sin 20θ=时，S 取得最大值1.
23.解：（1）当1a =时，()221f x x x =-++， 由()5f x ≥得2213x x -++≥，
当2x ≥时，不等式2215x x -++≥，解得2x ≥，所以2x ≥；
当1
22x -
<<时，不等式20215x x ++≥，解得2x ≥，所以解集为空集； 当12x ≤-时，不等式2215x x ---≥，解得43x ≤-，所以4
3
x ≤-，
故圆不等式的解集为4
{|3
x x ≤-或2}x ≥.
（2）()22222422(24)4f x x x x a x x a x a x a +-=-++=-++≥+--=+， 所以原命题等价于min (()2)3f x x +-<，所以71a -<<-.。