2016朝阳区高三(上)期中数 学(理)

2016朝阳区高三（上）期中数学（理）
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 1．（5分）已知集合A={x|x≤3，x∈R}，B={x|x﹣1≥0，x∈N}，则A∩B=（）
A．{0，1} B．{0，1，2} C．{2，3} D．{1，2，3}
2．（5分）已知α∈（0，π），且，则tanα=（）
A．B．C．D．
3．（5分）已知等差数列{a n}的公差为2，若a1，a2，a4成等比数列，那么a1等于（）
A．2 B．1 C．﹣1 D．﹣2
4．（5分）给出下列命题：
①若给定命题p：∃x∈R，使得x2+x﹣1＜0，则¬p：∀x∈R，均有x2+x﹣1≥0；
②若p∧q为假命题，则p，q均为假命题；
③命题“若x2﹣3x+2=0，则x=2”的否命题为“若 x2﹣3x+2=0，则x≠2，
其中正确的命题序号是（）
A．①B．①② C．①③ D．②③
5．（5分）已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（x∈R，A＞0，ω＞0，|φ|＜）的部分图象如图所示，则f（x）的解析式是（）
A．B．
C．D．
6．（5分）设p：，q：x2﹣（2a+1）x+a（a+1）＜0，若p是q的充分不必要条件，则实数a的取值范围是（）
A． B． C． D．
7．（5分）在△ABC中，已知•=4，||=3，M、N分别是BC边上的三等分点，则•的值是（）
A．5 B．C．6 D．8
8．（5分）已知定义在R上的函数f（x）=且f（x+2）=f（x）．若方程f（x）﹣kx﹣2=0有三个不相等的实数根，则实数k的取值范围是（）
A． B．
C．D．
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在答题卡上.
9．（5分）已知三个数（）π，log23，log2π，其中最大的数是．
10．（5分）已知平面向量=（2，1），=（﹣1，3）．若向量⊥（+λ），则实数λ的值是．
11．（5分）如图，在平行四边形ABCD中，E是CD中点，，则x+y= ．
12．（5分）若函数f（x）=2sin（ωx+φ）（ω≠0，φ＞0）是偶函数，则φ的最小值为．
13．（5分）若函数f（x）=在区间（，）上单调递增，则实数a的取值范围是．
14．（5分）如图，已知边长为4的正方形ABCD，E是BC边上一动点（与B、C不重合），连结AE，作EF⊥AE交∠BCD的外角平分线于F设BE=x，记f（x）=•，则函数f（x）的值域是，当△ECF面积最大时，||= ．
三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.
15．（13分）已知函数f（x）=2sin cos﹣2cos2．
（Ⅰ）求f（）的值；
（Ⅱ）求函数f（x）的单调递减区间及对称轴方程．
16．（13分）已知等差数列{a n}的首项a1=1，公差d=1，前n项和为S n，，
（1）求数列{b n}的通项公式；
（2）求证：b1+b2+…+b n＜2．
17．（13分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．且cosB=﹣．
（Ⅰ）若a=2，b=2，求角C；
（Ⅱ）求sinA•sinC的取值范围．
18．（13分）已知函数f（x）=alnx+﹣（a+1）x．
（Ⅰ）当a＞0时，求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）当a=﹣1时，证明．
19．（14分）已知函数f（x）=e﹣x（ax2+bx+1）（其中e是常数，a＞0，b∈R），函数f（x）的导函数为f′（x），且f′（﹣1）=0．
（1）若a=1，求曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；
（2）当a＞时，若函数f（x）在区间[﹣1，1]上的最大值为4e，试求a，b的值．
20．（14分）已知实数数列{a n}满足：a n+2=|a n+1|﹣a n（n=1，2，…），a1=a，a2=b，记集合M={a n|n∈N*}．
（Ⅰ）若a=1，b=2，用列举法写出集合M；
（Ⅱ）若a＜0，b＜0，判断数列{a n}是否为周期数列，并说明理由；
（Ⅲ）若a≥0，b≥0，且a+b≠0，求集合M的元素个数的最小值．
数学试题答案
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 1．【解答】由B中不等式解得：x≥1，x∈N，即B={x|x≥1，且x∈N}，
∵集合A={x|x≤3，x∈R}，
∴A∩B={1，2，3}，
故选：D．
2．【解答】∵α∈（0，π），且，
∴tanα=﹣=﹣=．
故选：D．
3．【解答】由题意可得a22=a1a4，
∴（a1+2）2=a1（a1+6），
解得a1=2，
故选：A．
4．【解答】若给定命题p：∃x∈R，使得x2+x﹣1＜0，则¬p：∀x∈R，均有x2+x﹣1≥0，故①正确；
若p∧q为假命题，则p，q存在假命题，但不一定均为假命题，故②错误；
命题“若x2﹣3x+2=0，则x=2”的否命题为“若 x2﹣3x+2≠0，则x≠2”，故③错误；
故选：A
5．【解答】由图象可知：的长度是四分之一个周期
函数的周期为2，所以ω=
函数图象过（，2）所以A=2，并且2=2sin（φ）
∵，∴φ=
f（x）的解析式是
故选A．
6．【解答】由，得或，
解得：≤x＜1，所以p：≤x＜1；
由x2﹣（2a+1）x+a（a+1）＜0，
得：[x﹣（a+1）]（x﹣a）＜0，
即a＜x＜a+1，即q：a＜x＜a+1，
要使p是q的充分不必要条件，
则，解得0≤a＜，
所以a的取值范围是[0，），
故选：B．
7．【解答】如图，
设BC的中点为O，由，
得==，
∵，
∴，由此可得：，
而===|AO|2﹣|OM|2，
由已知，
∴|AO|2﹣|OM|2=，
∴=6．
故选：C．
8．【解答】作函数f（x）=与g（x）=kx+2的图象如下，
，直线g（x）=kx+2恒过点（0，2），
k l==﹣，
k m==﹣1，
k n==1，
k q==，
结合图象可知，
实数k的取值范围是，
故选：C．
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在答题卡上. 9．【解答】三个数＜1，1＜log23＜log3π，
其中最大的数是log2π．
故答案为：log2π．
10．【解答】∵=（2，1），=（﹣1，3），
∴+λ=（2，1）+λ（﹣1，3）=（2﹣λ，1+3λ），
∵⊥（+λ），∴•（+λ）=0，
∴2（2﹣λ）+（1+3λ）=0，
解得λ=﹣5，
故答案为：﹣5．
11．【解答】=；
又，根据平面向量基本定理得：x=，y=1；
∴．
故答案为：．
12．【解答】∴函数f（x）=2sin（ωx+φ）（ω≠0，φ＞0）是偶函数，
∴f（﹣）=f（），即2sin（﹣ω+φ）=2sin（ω+φ），
∴﹣ω+φ=ω+φ，或﹣ω+φ+ω+φ=2kπ+π，
∴ω=0（舍去）或φ=kπ+（k∈Z）
∴正数φ的最小值为
故答案为：
13．【解答】函数f′（x）===，若f（x）在区间（，）上单调递增，
则f′（x）≥0恒成立，即asinx﹣1≥0在区间（，）上恒成立，
即asinx≥1，
则a≥
∵＜x＜，∴＜sinx＜，
∴＜＜2，
则a≥2
故答案为：[2，+∞）
14．【解答】如图，作FG⊥BC，交BC延长线于G，根据题意△ABE∽△EGF，设FG=y，则：
；
即；
∴（4﹣x+y）x=4y；
∴（4﹣x）x=（4﹣x）y；
∵4﹣x≠0；
∴x=y；
即y=x；
∴==﹣x2+4x=﹣（x﹣2）2+4；
∴f（x）=﹣（x﹣2）2+4，0＜x＜4；
f（2）=4，f（0）=f（4）=0；
∴0＜f（x）≤4；
∴f（x）的值域为（0，4]；
，当4﹣x=x，即x=2时取“=”；
∴．
故答案为：（0，4]，2．
三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 15．【解答】（1）f（x）=2=sinx﹣cosx﹣1=2sin（x﹣）﹣1．∴f（）=2sin﹣1=0．
（2）令+2kπ≤x﹣≤+2kπ，
解得+2kπ≤x≤+2kπ，
∴f（x）的单调递减区间是[+2kπ，+2kπ]，k∈Z．
令x﹣=，
解得x=+kπ，
∴f（x）的对称轴方程是x=+kπ，k∈Z．
16．【解答】（1）∵等差数列{a n}中a1=1，公差d=1
∴
∴…（4分）
（2）∵…（6分）
∴
=…（8分）
=…（11分）
∵n＞0，
∴
∴
∴b1+b2+…+b n＜2．…（14分）
17．【解答】（1）在△ABC中，∵cosB=﹣，B∈（0，π），∴B=，sinB=．
由正弦定理=，可得
，∴sinA=．
又∵B=，∴A=．
∴C=π﹣A﹣B=．
（2）sinA•sinC=sin（﹣C）•sinC
=（cosC﹣sinC）•sinC
=sin2C+cos2C﹣
=sin（2C+）﹣
∵C∈（0，），
∴2C+∈（，）．
∴sin（2C+）∈（，1]．
∴sinA•sinC的取值范围是（0，]．
18．【解答】（Ⅰ）求导数可得f′（x）=（x＞0）
（1）0＜a＜1时，令f′（x）＜0，可得a＜x＜1，
∵x＞0，∴a＜x＜1；令f′（x）＞0，可得x＜a或x＞1，
∵x＞0，∴0＜x＜a或x＞1
∴函数f（x）在（0，a），（1，+∞）上单调递增，在（a，1）上单调递减；（2）a=1时，f′（x）≥0，函数在（0，+∞）上单调递增；
（3）a＞1时，令f′（x）＜0，可得1＜x＜a，
∵x＞0，∴1＜x＜a；
令f′（x）＞0，可得x＞a或x＜1，∵x＞0，∴0＜x＜1或x＞a
∴函数f（x）在（0，1），（a，+∞）上单调递增，在（1，a）上单调递减；（Ⅱ）a=﹣1时，f（x）=﹣lnx+，（x＞0），
f′（x）=，
令f′（x）＞0，解得：x＞1，令f′（x）＜0，解得：0＜x＜1，
∴f（x）在（0，1）递减，在（1，+∞）递增，
∴x=1时，f（x）取最小值是f（1）=，
故f（x）≥成立．
19．【解答】（1）函数f（x）=e﹣x（x2+bx+1），
导数f′（x）=﹣e﹣x（x2+bx+1）+e﹣x（2x+b），
由f′（﹣1）=0，可得﹣e（2﹣b）+e（b﹣2）=0，解得b=2，
即有f′（x）=e﹣x（1﹣x2），
在点（0，f（0））处的切线斜率为1，
切点为（0，1），
则在点（0，f（0））处的切线方程为y=x+1；
（2）f′（x）=﹣e﹣x（ax2+bx+1）+e﹣x（2ax+b），
由f′（﹣1）=0，可得﹣e（a﹣b+1）+e（b﹣2a）=0，
即有1+3a=2b，
则f′（x）=﹣e﹣x[2ax2﹣（a﹣1）x﹣（3a﹣1）]
=﹣e﹣x[2ax﹣（3a﹣1）]（x+1），
由f′（x）=0，可得x=﹣1，或x=，
当﹣1＜≤1，即＜a≤1时，x=时，取得最大值4e，
即有（a（）2+•（）+1）=4e，
由≤＜e，a（）2+•（）+1=∈（，4），
则（a（）2+•（）+1）＜4e，故方程无解；
当＞1，即a＞1时，[﹣1，1]递增，x=1时，取得最大值4e，
即有e﹣1（a+b+1）=4e，结合1+3a=2b，解得a=，b=．
综上可得a=，b=．
20．【解答】（I）∵a1=a，a2=b，a n+2=|a n+1|﹣a n，
∴a3=2﹣1=1，a4=|a3|﹣a2=﹣1，a5=|a4|﹣a3=0，a6=|a5|﹣a4=0﹣（﹣1）=1，a7=|a6|﹣a5=1﹣0=1，a8=|a7|﹣a6=0．
∴当n≥5时，a n+3=a n．
∴M={1，2，﹣1，0}．
（II）a＜0，b＜0，a n+2=|a n+1|﹣a n，
∴数列的前11项分别为：a，b，﹣b﹣a，﹣a﹣2b，﹣b，a+b，﹣a，﹣2a﹣b，﹣a﹣b，a，b，…，a10=a1，a11=a2．∴a n+9=a n．∴数列{a n}是周期数列．a1=a9n+1=a，a2=a9n+2=b．其最小周期为9．
（III）对a，b分类讨论：
①若0＜a＜b，则数列的前5项为a，b，b﹣a，﹣a，2a﹣b，中至少有4项不相同；
②若a＞b＞0，则数列的前4项为a，b，b﹣a，a﹣2b，当a﹣2b≥0时，数列的第五项与第六项为：2a﹣3b，a﹣b；当a﹣2b＜0时，数列的第五项与第六项为：b，﹣a+3b；数列中至少有4项不相同．
③若0＜a=b，或a＞0，b=0，或a=0，b＞0．则由数列的前7项可知：数列中至少有4项0，﹣a，a，2a，或0，﹣b，b，2b不相同．
综上，集合M的元素的个数不小于4，又由（1）可知：当a=1，b=2时，集合M的元素个数为4，
∴集合M的元素个数的最小为4．。