2.1.1 向量的物理背景与概念 2.2.2 向量的几何表示
高中数学必修四1：2.1.1 向量的物理背景与概念
他们都是有大小和方向的量 叫向量
新课引入
现实世界中有各种各样的量，如年龄、身高、体重、力、 速度、面积、体积、温度等，在数学上，为了正确理解、 区分这些量，我们引进向量的概念.
在物理中，怎样区分作用于同一点的两个力？ 力的大小和力的方向
探究点1
物体受到的重力、物体在液体中受到的浮力的方向分别 如何？受力的大小分别与哪些因素有关？
F G
探究点1
力既有大小，又有方向，在物理学中称为矢量，你还能 指出哪些物理量是矢量吗？
数学中，把既有大小，又有方向的量叫做向量，把只有 大小，没有方向的量称为数量.那么年龄、身高、体重、 面积、体积、温度、时间、路程、数轴等是向量吗？
探究点2
问题1：向量的概念是什么？举例说明。 问题2：向量与数量的区别是什么？
第一章 平面向量 § 2.1.1平面向量的实际背景及基本概念
高中数学必修4·精品课件
学习目标
1、通过力和力的分析等实例，了解向量的实际背景. 2、掌握向量的基本概念，解决简单的向量问题．
新课引入
请问：猫以每秒5米的速度逃窜,猎狗以每秒8米的速 度追,猎狗一定能追上猫吗？ 为什么？
新课引入
S F
课堂练习
把平面上一切单位向量的始点放在同一点,那么
这些向量的终点所构成的图形是（ ）
A.一条线段
B.一段圆弧
C.圆上一群孤立点 D.一个单位圆
课堂练习
列举出生活中常见的向量和数量，并且进行比较？
归纳小结
1 向量的概念包含大小和方向两个要素，数量只 有大小一个要素。 2 向量与起点、终点的位置没有关系，只与起点、 终点的相对位置有关。
典例精讲：题型一：
1.温度含零上和零下温度，所以温度是向量（ ） 2.所有单位向量的大小相等（ ）
2.1.1-2.1.2向量的物理背景、概念及与几何表示
a与向量b平行，则
>且AB
）若向量AB、CD AB CD
=则a，b长度相等且方向相同或相反。
（
a b
）由于零向量方向不确定，故
点出发向西行驶了100
AD,并说明理由
高一数学《分章节案》 专心听讲，勤于思考。
《分章节案》 及时复习，认真完成。
下列说法中① 若a =0=；②若a =b A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 //b 且0b ≠则0a ≠；一条线段 ； B.一段圆弧； C.两个孤立点；上有且只有两点使OA ,OB a b =⇒a b >⇒a 对于下面的说法：①向量就是有向线段，有向线段就是向量；②向量AB 的模与向量BA 的模相 （只填序号）.
平行的向量有多少个？（AB 2a b =所以a b >下列各命题中，真命题是（ ）
a b =，则a b =长度不相等而方向相反的两个向量一定是平行向量；a b >，则a b >。
2.1.1 向量的物理背景与概念及向量的几何表示
2.1.1 向量的物理背景与概念及向量的几何表示教学目标：1. 了解向量的实际背景，理解平面向量的概念和向量的几何表示；掌握向量的模、零向量、单位向量、平行向量、相等向量、共线向量等概念；并会区分平行向量、相等向量和共线向量. 2. 通过对向量的学习，使学生初步认识现实生活中的向量和数量的本质区别.3. 通过学生对向量与数量的识别能力的训练，培养学生认识客观事物的数学本质的能力. 教学重点：理解并掌握向量、零向量、单位向量、相等向量、共线向量的概念，会表示向量. 教学难点：平行向量、相等向量和共线向量的区别和联系.学 法：本节是本章的入门课，概念较多，但难度不大.学生可根据在原有的位移、力等物理概念来学习向量的概念，结合图形实物区分平行向量、相等向量、共线向量等概念. 教学思路： （一） 一、情景设置：如图，老鼠由A 向西北逃窜，猫在B 处向东追去，设问：猫能否追到老鼠？（画图） 结论：猫的速度再快也没用，因为方向错了.分析：老鼠逃窜的路线AC 、猫追逐的路线BD 实际上都是有方向、有长短的量.引言：请同学指出哪些量既有大小又有方向？哪些量只有大小没有方向？ 二、新课学习：（一）向量的概念：我们把既有大小又有方向的量叫向量。
（二）（教材P74面的四个图制作成幻灯片）请同学阅读课本后回答：（7个问题一次出现） 1、数量与向量有何区别？（数量没有方向而向量有方向） 2、如何表示向量？3、有向线段和线段有何区别和联系？分别可以表示向量的什么？4、长度为零的向量叫什么向量？长度为1的向量叫什么向量？5、满足什么条件的两个向量是相等向量？单位向量是相等向量吗？6、有一组向量，它们的方向相同或相反，这组向量有什么关系？7、如果把一组平行向量的起点全部移到一点O ，这是它们是不是平行向量？ 这时各向量的终点之间有什么关系？（三）探究学习1、数量与向量的区别：数量只有大小，是一个代数量，可以进行代数运算、比较大小； 向量有方向，大小，双重性，不能比较大小. 2.向量的表示方法：①用有向线段表示； ②用字母ａ、ｂ（黑体，印刷用）等表示；ABCDA(起点)B（终点）a③用有向线段的起点与终点字母：AB；④向量AB的大小―长度称为向量的模，记作|AB|.3.有向线段：具有方向的线段就叫做有向线段，三个要素：起点、方向、长度.向量与有向线段的区别：（1）向量只有大小和方向两个要素，与起点无关，只要大小和方向相同，这两个向量就是相同的向量；（2）有向线段有起点、大小和方向三个要素，起点不同，尽管大小和方向相同，也是不同的有向线段.4、零向量、单位向量概念：①长度为0的向量叫零向量，记作0.0的方向是任意的. 注意0与0的含义与书写区别.②长度为1个单位长度的向量，叫单位向量.说明：零向量、单位向量的定义都只是限制了大小.5、平行向量定义：①方向相同或相反的非零向量叫平行向量；②我们规定0与任一向量平行.说明：（1）综合①、②才是平行向量的完整定义；（2）向量ａ、ｂ、ｃ平行，记作ａ∥ｂ∥ｃ. （四）理解和巩固：例1 书本75页例1.例2判断：（1）平行向量是否一定方向相同？（不一定）（2）与任意向量都平行的向量是什么向量？（零向量）（3）若两个向量在同一直线上，则这两个向量一定是什么向量？（平行向量）课堂练习：书本77页练习1、2、3题三、小结：1、描述向量的两个指标：模和方向.2、平面向量的概念和向量的几何表示；3、向量的模、零向量、单位向量、平行向量等概念。
2.1.1-2.1.2向量物理背景与概念、向量的几何表示
【平行向量】 平行向量】 ①方向相同或相反的非零向量叫平行向量 方向相同或相反的非零向量叫平行向量 如图: 有向线段表示的两个平行向量a 如图:用有向线段表示的两个平行向量a、b. 表示的两个平行向量
a b
向量a 向量a、b平行，记作 a ∥b 平行， 即对于任意向量a 即对于任意向量a，都有 0∥a
归纳与整理
1.向量是为了表示、刻画既有大小， 1.向量是为了表示、刻画既有大小， 向量是为了表示 既有大小 又有方向的量而产生的 而产生的， 又有方向的量而产生的，物理中有许多 相关背景材料， 相关背景材料，数学中的向量是物理中 矢量的提升和拓展， 矢量的提升和拓展，它有一系列的理论 和方法，是沟通代数、几何、 和方法，是沟通代数、几何、三角的一 种工具，有着广泛的实际应用. 种工具，有着广泛的实际应用.
F G
质量
浸在液体中的体积
思考3 在如图所示的弹簧中， 思考3：在如图所示的弹簧中，被拉长或压缩 的弹簧的弹力方向如何？在弹性限度内， 的弹簧的弹力方向如何？在弹性限度内，弹 力的大小与什么因素有关？ 力的大小与什么因素有关？ 弹簧拉长或压缩的长度
思考4 力既有大小，又有方向， 思考4：力既有大小，又有方向，在物理学中 称这种既有大小 又有方向的量为矢量， 既有大小， 称这种既有大小，又有方向的量为矢量，你 还能指出哪些物理量是矢量吗？ 还能指出哪些物理量是矢量吗？
A D C 东
如图，四边形ABCD为正方形， ABCD为正方形 例2 如图，四边形ABCD为正方形， BCE为等腰直角三角形 为等腰直角三角形. △BCE为等腰直角三角形.以图中各点为 起点和终点， 起点和终点，写出与向量 AB 平行的所 有向量. 有向量.
D C
A
B
新课标高中数学人教A版必修一全册课件向量的物理背景与概念及向量的几何表示 公开课一等奖课件
(3) 若两个向量在同一直线上，则这两个向
量一定是什么向量？
平行向量
练习.教材P.77练习第1、2、3题.
课堂小结
1.描述向量的两个指标：模和方向. 2. 平面向量的概念和向量的几何表示； 3. 向量的模、零向量、单位向量、平行 向量等概念.
课后作业
1. 阅读教材P.74-P.76； 2.《学案》P.49的学法引导； 3.《学案》P.44的单元检测卷.
讲授新课
例1. 如图，试根据图 中的比例尺以及三地 的位置，在图中分别 用向量表示A地至B、 C两地的位移，并求 出A地至B、C两地的 实际距离(精确到1km).
A B
C
讲授新课
例2. 判断： (1) 平行向量是否一定方向相同？ (2) 与任意向量都平行的向量是什么向量？
(3) 若两个向量在同一直线上，则这两个向 量一定是什么向量？
讲授新课
例2. 判断： (1) 平行向量是否一定方向相同？ 不一定 (2) 与任意向量都平行的向量是什么向量？
(3) 若两个向量在同一直线上，则这两个向 量一定是什么向量？
讲授新课
例2. 判断： (1) 平行向量是否一定方向相同？ 不一定 (2) 与任意向量都平行的向量是什么向量？
零向量 (3) 若两个向量在同一直线上，则这两个向
“用好课堂40分钟最重要。我的经验是，哪怕 是再简单的内容，仔细听和不上心，效果肯 定是不一样的。对于课堂上老师讲解的内容， 有的同学觉得很简单，听讲就不会很认真， 但老师讲解往往是由浅入深的，开始不认真， 后来就很难听懂了；即使能听懂，中间也可 能出现一些知识盲区。高考试题考的大多是 基础知识，正就是很多同学眼里很简单的内 容。”常方舟告诉记者，其实自己对竞赛试 题类偏难的题目并不擅长，高考出色的原因 正在于试题多为基础题，对上了自己的“口 味”。
《高中数学》教师资格证考试教学设计题教材指引
《高中数学》教师资格证考试教学设计题教材指引必修一第一章集合与函数的概念1.1 集合1.1.1 集合的含义与表示(1)知道是利用实例引出集合、元素的概念； (已经考过)(2)利用思考问题引出集合的性质(3)知道列举法和描述法1.1.2 集合间的基本关系(已经考过)(1)知道是通过“实数之间的关系”这一旧知引出新知(2)知道子集、真子集等概念，以及区别1.1.3 集合的基本运算(1)也是利用旧知得出新知(2)知道并集、交集、补集的概念并读一下他们的运算方法是怎么探究出来的1.2 函数及其表示1.2.1 函数的概念(已经考过)(1)注意引出函数概念的三个实例(是解析式、图象和列表三种方式表示函数的)(2)理解函数、定义域、值域、区间的概念，会举例(课本中的思考：反比例函数) 1.2.2 函数的表示法(1)理解函数的三种表示方法，会举例1.3 函数的基本性质1.3.1 单调性与最大(小)值(已经考过)(1)从图象(形)、列表(数)两个方面引出变量之间的关系，导入课程(2)从函数解析式的一般形式角度引出增函数、减函数的概念，需要掌握概念的探究过程(已经考过)，注意例 1、例 2(3)函数最大值最小值的概念及探究过程1.3.2 奇偶性(1)注意奇偶性知识点引入的方法，由特殊图形到一般结论(2)奇函数和偶函数的概念及探究过程(特殊实例)(3)奇函数和偶函数图象的特点及性质第二章基本初等函数( 1)2.1 指数函数(1)注意两个问题 GDP 和碳 14，理解意思即可2.1.1 指数与指数幂的运算(1)知道根式的概念和运算(基本属于复习初中内容)(2)分数指数幂的概念及运算性质的推广2.1.2 指数函数及其性质(1)知道指数函数的概念标准形式，引入过程(2)知道指数函数的图形的特点，性质，已经这些知识是怎么探究来的(画图，观察、寻找共同点、总结) (这样的一节课的设计模式与幂函数、对数函数是一样的)2.2 对数函数2.2.1 对数与对数运算(1)注意对数、底数、真数等的概念(已经考过)(2)能够认识到是通过对数与指数之间的关系探究出对数的运算性质，注意课本中的探究过程2.2.2 对数函数及其性质(1)知道对数函数的概念标准形式，引入过程(2)知道对数函数的图形的特点，性质，已经这些知识是怎么探究来的(画图，观察、寻找共同点、总结)2.3 幂函数(1)注意课本引入中的例子(2)知道幂函数的概念标准形式，引入过程(2)知道幂函数的图形的特点，性质，已经这些知识是怎么探究来的(画图，观察、寻找共同点、总结)第三章函数的应用3.1 函数与方程3.1.1 方程的根与函数的零点(1)了解方程的根与函数的零点这个知识的探究过程(怎么探究出来的(数形结合) )(2)会背结论，零点定理3.1.2 用二分法求方程的近似解了解操作流程和步骤即可3.2 函数模型及其应用(适当阅读即可)必修二第一章空间几何体1.1 空间几何体的结构1.1.1 柱、锥、台、球的结构特征(1)对各种几何体的概念和各部分名称了解即可1.1.2 简单组合体的结构特征(了解)1.2 空间几何体的三视图和直观图1.2.1 中心投影与平行投影(知道概念即可)1.2.2 空间几何体的三视图(1)知道主视图、侧视图和俯视图的概念(2)如何带领学生探究三图在形状、大小方面的关系1.2.3 空间几何体的直观图(1)注意斜二测画法的步骤1.3 空间几何体的表面积与体积1.3.1 柱体、锥体、台体的表面积与体积(1)注意柱体、锥体、台体的表面积的引入和结论的探究过程(2)注意体积的结论1.3.2 球的体积和表面积(了解)第二章点、直线、平面之间的位置关系2.1 空间点、直线、平面之间的位置关系2.1.1 平面(1)由“思考”中的问题得出公理 1(2)了解公理 2(3)由“思考”中的问题得出公理 32.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系(1)由第一个思考引出新知(2)由探究与观察得出公理 4(3)注意后面的探究思考和探究中的问题2.1.3 空间中直线与平面之间的位置关系(1)由“思考”中的问题引出新知2.1.4 平面与平面之间的位置关系(了解)2.2 直线、平面平行的判定及其性质2.2.1 直线与平面平行的判定(1)由观察及后面的内容引发猜想，由探究里的问题进行探究得出定理，例 1 是定理的应用2.2.2 平面与平面平行的判定(1)由观察引出新知，由探究中的问题分情况讨论探究出定理，例 2 是定理的应用2.2.3 直线与平面平行的性质由“思考”中的问题引发讨论得出结论，并证明，最后总结性质定理2.2.4 平面与平面平行的性质由思考中的问题讨论、证明得出性质定理2.3 直线、平面垂直的判定及其性质2.3.1 直线与平面垂直的判定(1)注意引入的实例(2)注意探究中的活动(3)注意由思路的问题总结出定理2.3.2 平面与平面垂直的判定(1)理解二面角的平面角的概念(2)注意定理探究的过程2.3.3 直线与平面垂直的性质(1)由思考中的问题进行探究引出定理2.3.4 平面与平面垂直的性质(1)注意由思考中的问题进行探究得出定理的过程第三章直线与方程3.1 直线的倾斜角与斜率3． 1.1 倾斜角与斜率(1)注意倾斜角、斜率的概念及概念的探究过程(2)利用分情况讨论得出斜率公式3.1.2 两条直线平行与垂直的判定(1)注意是有斜率来判断直线位置关系的，利用思考中的问题进行推导得出结论(2)由思考和探究中的问题得出垂直的结论，注意怎么推导的3.2 直线的方程3.2.1 直线的点斜式方程(1)知道由斜率公式得出点斜式方程(2)知道斜截式的概念和推导过程，几何意义3.2.2 直线的两点式方程(1)知道是通过斜率计算公式得出两点式方程3.2.3 直线的一般式方程(1)利用思考中的问题进行分类讨论得出概念3.3 直线的交点坐标与距离公式3.3.1 两条直线的交点坐标由思考中的问题引出新知认识利用代数法求交点3.3.2 两点间的距离由思考中的问题引入新知，利用数形结合转化成直角三角形借助勾股定理探究出结论3.3.3 点到直线的距离由思考揭示问题，构造直角三角形，利用勾股定理、面积相等的知识推导出结论3.3.4 两条平行直线间的距离注意探究中的问题和例 7(详细知识点补充↓)2.1 空间点、直线、平面之间的位置关系(一)平面1.平面(参见必修二第 41 页图2.1-2)(1)公理 1 ：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内。
最新向量的物理背景与概念及向量的几何表示
向量的物理背景与概念及向量的几何表示仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢13 2.1.1 向量的物理背景与概念及向量的几何表示教学目标：1. 了解向量的实际背景，理解平面向量的概念和向量的几何表示；掌握向量的模、零向量、单位向量、平行向量、相等向量、共线向量等概念；并会区分平行向量、相等向量和共线向量.2. 通过对向量的学习，使学生初步认识现实生活中的向量和数量的本质区别.3. 通过学生对向量与数量的识别能力的训练，培养学生认识客观事物的数学本质的能力. 教学重点：理解并掌握向量、零向量、单位向量、相等向量、共线向量的概念，会表示向量. 教学难点：平行向量、相等向量和共线向量的区别和联系.学 法：本节是本章的入门课，概念较多，但难度不大.学生可根据在原有的位移、力等物理概念来学习向量的概念，结合图形实物区分平行向量、相等向量、共线向量等概念.教学思路： （一）一、情景设置：如图，老鼠由A 向西北逃窜，猫在B 处向东追去，设问：猫能否追到老鼠？（画图）结论：猫的速度再快也没用，因为方向错了.分析：老鼠逃窜的路线AC 、猫追逐的路线BD 实际上都是有方向、有长短的量.引言：请同学指出哪些量既有大小又有方向？哪些量只有大小没有方向？A B C D二、新课学习：（一）向量的概念：。
（二）请同学阅读课本后回答：（7个问题一次出现）1、数量与向量有何区别？（数量没有方向而向量有方向）2、如何表示向量？3、有向线段和线段有何区别和联系？分别可以表示向量的什么？4、长度为零的向量叫什么向量？长度为1的向量叫什么向量？5、满足什么条件的两个向量是相等向量？单位向量是相等向量吗？6、有一组向量，它们的方向相同或相反，这组向量有什么关系？7、如果把一组平行向量的起点全部移到一点O，这是它们是不是平行向量？这时各向量的终点之间有什么关系？（三）探究学习1、数量与向量的区别：2.向量的表示方法：向量与有向线段的区别：仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除谢谢134、零向量、单位向量概念：5、平行向量定义：（四）理解和巩固：例1 书本75页例1.例2判断：（1）平行向量是否一定方向相同？（不一定）（2）与任意向量都平行的向量是什么向量？（零向量）（3）若两个向量在同一直线上，则这两个向量一定是什么向量？（平行向量）课堂练习：书本77页练习1、2、3题三、小结：1、描述向量的两个指标：模和方向.2、平面向量的概念和向量的几何表示；仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除谢谢133、向量的模、零向量、单位向量、平行向量等概念。
2.1.1 向量的物理背景与概念 2.1.2向量的几何表示高一数学同步备课系列(人教A版必修4)
[变式训练]
下列说法正确的是 A．若a 与b 平行，b 与c平行，则a 与c一定平行 B．共线向量一定在同一直线上 C．若|a |>|b |，则a >b D．单位向量的长度为1
()
解析： A中，因为零向量与任意向量平行，若b ＝0，则a 与c
不一定平行．B中，共线向量不一定在同一直线上．C中，向 量是既有大小，又有方向的量，不可以比较大小．显然D正 确．故选D. 答案：D
[解析] (1)由向量的几何表示可知，可以写出12个向量，
它们分别是 ―AB→
，
―→ AC
，
―AD→ ， ―BC→
，
―→ BD
，
―CD→ ， ―B→A
，
―CA→，―D→A ，―C→B ，―D→B ，―D→C .
(2)①由于点A在点O北偏东45°处，所以在坐标纸上点A距点O
的横向小方格数与纵向小方格数相等．又
[变式训练]
1．[变设问]本例条件不变，试写出与向量―B→C 相等的向量． 解：与向量―BC→相等的向量有―O→D ，―AO→，―FE→.
2．[变条件，变设问]在本例中，若|a |＝1，则正六边形的边长 如何？ 解：由正六边形性质知，△FOA 为等边三角形，所以边长 AF＝|a |＝1.
谢谢大家
4．对相等向量与共线向量的理解 (1)理解平行向量的概念时，需注意平行向量和平行直线是有 区别的，平行直线不包括重合的情况，而平行向量是可以重合的． (2)共线向量就是平行向量，其中“共线”的含义不是平面几 何中“共线”的含义．实际上，共线向量(平行向量)有以下四种情 况：方向相同且模相等；方向相同且模不等；方向相反且模相等； 方向相反且模不等．这样，也就找到了共线向量与相等向量的关 系，即共线向量不一定是相等向量，而相等向量一定是共线向量．
2.1.1向量的物理背景与概念
规定：0与任一向量平行。 C OA = a A B
. o
l
OB = b
OC = c
思考：把一组平行于直线l的向量的起点平移到直线l上 的一点O ，这时它们是不是平行向量？ 各向量的终点与直线l之间有什么关系？
1.若非零向量AB//CD ，那么AB//CD吗？
2.若a//b ,则a与b的方向一定相同或相反吗？ （2）相等向量：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量。 记作：a = b
可能是相反向量
（4）两个向量a = b相等, 当且仅当:
a ∥b （5）若A、B、C、D是不共线的四点，则AB=DC, 当且仅当:四边形ABCD是平形四边形。
其中正确的个数是( A．0 B. 1 C. 2
D
C
)
C
D. 3
D
变式：若 a ∥ b， b ∥ c, 则a ∥c
A
当b ≠ 0时成立。
A
B
B
练习2.判断下列命题是否正确，若不正 确，请简述理由. ①向量 AB 与CD 是共线向量，则A、B、C、 D 四点必在一直线上； (× )
-1 0 1 2 3
对于向量，我们常用带箭头的线段来表示，线 段按一定比例（标度）画出，它的长度表示向量的 大小，箭头表示向量的方向。 思考:数轴是不是向量?
答:数轴不是向量, 因为它只有方向而没有长度.
B（终点）
A（起点）
有向线段：在线段AB的两 个端点中，规定一个顺序， 假设A为起点，B为终点， 我们就说线段AB具有方向。 具有方向的线段叫做有向 线段。
有向线段的三个要素：起点、方向、长度
说明1： 我们所说的向量，与起点无关，用有向线段表示向量时，
起点可以取任意位置。所以数学中的向量也叫自由向量. 如图：他们都表示
说课第二章 平面向量 2.1平面向量的实际背景及基本概念
200km .
AC 表示A地至C地的位移，且
280km .
25
平行向量：
向量间的关系
①方向相同或相反的非零向量叫平行向量；
②我们规定0与任一向
a
量平行.
b
c
26
讲授新课
6.平行向量定义： ①方向相同或相反的非零向量叫平行向量； ②我们规定0与任一向量平行. a
b c
决数学问题。
（三）情感态度与价值观
经历平面向量的概念的探索过程，提高自主探究能力，进
一步提高学习数学的乐趣，由感性思维逐步提升到理性思
维。
7
（四）学科核心素养 a. 数学抽象：平面向量的概念 b. 逻辑推理：共线向量的判断 c. 数学运算：向量相等 d. 直观想象：向量的几何表示 e.数学建模：向量概念的建立
直线与直线的位置关 系里,严格区分直线和 直线位置关系,平行就 是共面前提下的无交 点,平行不共线.
29
相等向量：长度相等，方向相同的两个向量。
a
b
ab
对向量的大小和方向都明确规定
a
b
方向相同
a
b
30
思 （1）相等向量一定是平行向量？
考
a
：
是
b
（2）平行向量一定是相等向量？
以A为起点、B为终点的有向线段 记作: AB
起点写在终点的前面.
A(起点)
B (终点)
线段AB的长度也叫做有向线段 AB 的长度，记作: AB
有向线段的三要素：起点、，它的终 点就唯一确定.
22
3. 向量的表示方法：
(1)几何表示法：用有向线段表示
平面向量空间向量知识点
平面向量§2.1.1、向量的物理背景与概念1、了解四种常见向量：力、位移、速度、加速度.2、既有大小又有方向的量叫做向量.§2.1.2、向量的几何表示1、带有方向的线段叫做有向线段，有向线段包含三个要素：起点、方向、长度.2、向量AB的大小，也就是向量AB的长度（或称模），记作AB；长度为零的向量叫做零向量；长度等于1个单位的向量叫做单位向量.3、方向相同或相反的非零向量叫做平行向量（或共线向量）.规定：零向量与任意向量平行.§2.1.3、相等向量与共线向量1、长度相等且方向相同的向量叫做相等向量.§2.2.1、向量加法运算及其几何意义1、三角形加法法则和平行四边形加法法则.2++§2.2.2、向量减法运算及其几何意义1、与a长度相等方向相反的向量叫做a的相反向量.2、三角形减法法则和平行四边形减法法则.§2.2.3、向量数乘运算及其几何意义1、 规定：实数λ与向量的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘.记作：λ，它的长度和方向规定如下：⑴=⑵当0>λ时, λ的方向与的方向相同；当0<λ时, λ的方向与的方向相反.2、 平面向量共线定理：向量()0≠a a 与b 共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使a b λ=.§2.3.1、平面向量基本定理1、 平面向量基本定理：如果21,e e 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内任一向量，有且只有一对实数21,λλ，使2211e e λλ+=.§2.3.2、平面向量的正交分解及坐标表示1、 ()y x y x ,=+=.§2.3.3、平面向量的坐标运算1、 设()()2211,,,y x y x ==，则：⑴()2121,y y x x ++=+，⑵()2121,y y x x --=-，⑶()11,y x λλλ=，⑷1221//y x y x b a =⇔.2、 设()()2211,,,y x B y x A ，则：()1212,y y x x --=.§2.3.4、平面向量共线的坐标表示1、设()()()332211,,,,,y x C y x B y x A ，则⑴线段AB 中点坐标为()222121,y y x x ++，⑵△ABC 的重心坐标为()33321321,y y y x x x ++++.§2.4.1、平面向量数量积的物理背景及其含义1、 θ=⋅.2、 在θ.3、 2a =.4、 =.5、 0=⋅⇔⊥.§2.4.2、平面向量数量积的坐标表示、模、夹角1、 设()()2211,,,y x y x ==，则：⑴2121y y x x +=⋅2121y x +=⑶121200a b a b x x y y ⊥⇔⋅=⇔+=⑷1221//0a b a b x y x y λ⇔=⇔-=2、 设()()2211,,,y x B y x A ，则：()()212212y y x x -+-=.3、 两向量的夹角公式2c o s a b a bx θ⋅==+4、点的平移公式平移前的点为(,)P x y （原坐标），平移后的对应点为(,)P x y '''（新坐标），平移向量为(,)PP h k '=， 则.x x hy y k '=+⎧⎨'=+⎩函数()y f x =的图像按向量(,)a h k =平移后的图像的解析式为().y k f x h -=-§2.5.1、平面几何中的向量方法§2.5.2、向量在物理中的应用举例空间向量空间向量的许多知识可由平面向量的知识类比而得.下面对空间向量在立体几何中证明，求值的应用进行总结归纳.1、直线的方向向量和平面的法向量⑴．直线的方向向量：若A 、B 是直线l 上的任意两点，则AB 为直线l 的一个方向向量；与AB 平行的任意非零向量也是直线l 的方向向量.⑵．平面的法向量：若向量n 所在直线垂直于平面α，则称这个向量垂直于平面α，记作n α⊥，如果n α⊥，那么向量n 叫做平面α的法向量.⑶．平面的法向量的求法（待定系数法）：①建立适当的坐标系．②设平面α的法向量为(,,)n x y z =．③求出平面内两个不共线向量的坐标123123(,,),(,,)a a a a b b b b ==．④根据法向量定义建立方程组0n a n b ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩.⑤解方程组，取其中一组解，即得平面α的法向量.（如图）1、 用向量方法判定空间中的平行关系⑴线线平行设直线12,l l 的方向向量分别是a b 、，则要证明1l ∥2l ，只需证明a ∥b ，即()a kb k R =∈.即：两直线平行或重合两直线的方向向量共线。
§2.1平面向量的实际背景及基本概念
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§2.1平面向量的实际背景及基本概念
§ 2.1.2
向量的几何表示
判断题 1.温度含零上和零下温度，所以温度是向量（ 2.向量的模是一个正实数。（ 3.若|a|>|b| ，则a > b ） ）
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§2.1平面向量的实际背景及基本概念
课堂练习 <<教材>> P.5 书面作业 <<教材>> P.77 习题2.1 A组3.4.5.6 B组2 练习1.2.3.4.5
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( 2 ) 若 | a | | b |, 则 a b ; ( 3 ) 若 AB DC ， 则 四 边 形 ABCD 是 平 行 四 边 形 AB DC ; ;
( 4 )平行四边形 ( 5 )若 m
ABCD 中 ， 一 定 有 k;
n, n k , 则 m
( 6 ) 若 a // b , b // c , 则 a // c 其中不正确命题的个数 A .2
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§2.1平面向量的实际背景及基本概念
§ 2.1.3 相等向量与平行向量 1.相等向量：长度相等且方向相同的向量叫做相等向 量。向量 a 与 b 相等，记作：a b
a b V4 c a=b=c
注：1.若向量 a , b
V1 V2 V3
§2.1平面向量的实际背景及基本概念
高中新课程数学(新课标人教A版)必修四《2.1.1平面向量的背景及其基本概念》课件
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规律方法 要充分理解与向量有关的概念， 明白它们各自所表示 的含义，搞清它们之间的区别是解决与向量概念有关问题的关 键．
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【变式 1】 下列说法正确的是(
)．
A．数量可以比较大小，向量也可以比较大小 B．方向不同的向量不能比较大小，但同向的可以比较大小 C．向量的大小与方向有关 D．向量的模可以比较大小 解析 A 中不管向量的方向如何，它们都不能比较大小，∴A
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解析 (1)错误．由|a|＝|b|仅说明 a 与 b 模相等，但不能说明它 们方向的关系． (2)错误.0 的模|0| ＝0. (3)正确．对于一个向量只要不改变其大小和方向，是可以任意 移动的． (4)错误．共线向量即平行向量，只要求方向相同或相反即可， → 、CD → 必须在同一直线上． 并不要求两个向量AB 答案 (3)
不能漏掉“→”．
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2．共线向量 (1)共线向量也就是平行向量，其要求是几个非零向量的方向相 同或相反，当然向量所在的直线可以平行，也可以重合，其中 “共线”的含义不同于平面几何中“共线”的含义． (2)共线向量有四种情况：方向相同且模相等，方向相同且模不 等，方向相反且模相等，方向相反且模不等．这样，也就找到 了共线向量与相等向量的关系， 即共线向量不一定是相等向量， 而相等向量一定是共线向量． (3)如果两个向量所在的直线平行或重合，则这两个向量是平行 向量．
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【变式 3】 如图所示，△ABC 的三边均不相等，E、F、D 分 别是 AC、AB、BC 的中点． → (1)写出与EF共线的向量； → (2)写出与EF的模相等的向量； → 相等的向量． (3)写出与EF
人教版数学必修四 平面向量的实际背景及基本概念 说课
• 4．从“平行向量→相等向量→共线向量”的逐步认识，充分揭示向量的两个要素 （方向、大小）及向量可以平移的特点．
• 学习新课之前，我先介绍两个预备知识。
• 预备知识1：如果由你来简略介绍实数，你准备介绍什么？按 照什么顺序介绍？
• 请看投影.同学们思考的基本线索可能是：什么是实数→几何 表示→特殊的实数→简单的相互关系等．）
• 反过来，向量的理论和方法，又成为解决物理学和工程技术的 重要工具，向量之所以有用，关键是它具有一套良好的运算性 质，通过向量可把空间图形的性质转化为向量的运算，这样通 过向量就能较容易地研究空间的直线和平面的各种有关问题．
• 如果采用全新的思维视角，恰当的教与学，可以使得向量不仅 生动有趣，而且是培养学生创新精神与能力的极佳契机.
• 建议教学时，可以渗透在具体内容中，不必作抽象讲解， 以避免空洞说教．
• §2.1是《平面向量》的最基本内容，教材首先从学生熟知的力、位 移等量讲清向量的实际背景以及研究向量的必要性，接着介绍了 平面向量的有关知识.
• 这节课将直接影响到我们对向量的进一步研究和学习，如向量间 关系、向量的加法、减法以及乘法等运算，还有向量的坐标运算 等．
• 基于以上分析，具体教学时，需要设计一个能让学生开展概括活 动的过程，引导他们经历从具体事例（位移、力、速度等）中领 悟向量概念的本质特征，类比数的概念获得向量概念的定义及表 示，类比数的集合认识“向量的集合”，类比直线（段）的基本关 系认识向量的基本关系．
• 要使学生从中体会到学情分析】从§2.1内容上看，“平面向量的实际背景及基本概念”概 念多但不难理解，但从“概念的形成”的角度看，本节内容，重要的 不是向量的形式化定义及几个相关概念，而是获得数学研究对象、 认识数学新对象的基本方法，蕴含了用数学的观点刻画和研究现实 事物的方法和途径，这是一个带有“本源”性质的过程．
课件8：2.1.1 向量的物理背景与概念
跟踪训练
4．(1)下列命题中，正确的是( C )
A．|a|＝1⇒a＝±1 B．|a|＝|b|且 a∥b⇒a＝b C．a＝b⇒a∥b D．a∥0⇒|a|＝0
(2)已知圆心为 O 的⊙O 上三点 A，B，C，则向量B→O，
O→C，O→A是( C )
A．有相同起点的相等向量
B．长度为 1 的向量
C．模相等的向量
2．如图所示，C，D 是线段 AB 的三等分点，分别以图 中各点作为起点和终点的非零且不相等的向量个数为
( B)
A．3 C．8
B．6 D．12
【解析】1 个单位长度的向量有A→C,C→A,C→D,D→C，D→B，B→D 6 个； 2 个单位长度的向量有A→D，D→A，C→B，B→C 4 个； 3 个单位长度的向量有A→B，B→A 2 个． 因此，共 6＋4＋2＝12 个，但其中A→C＝C→D＝D→B，B→D＝D→C＝C→A， A→D＝C→B，B→C＝D→A，因此互不相等的向量有 6 个．
相等向量是用向量的长度和方向共同定义的，区别在 于相等向量的模和方向均相同，而共线向量的模的大 小关系不确定，方向相同还是相反也不确定． (2)要充分理解与向量有关的概念，明白它们各自所表 示的含义，搞清它们之间的区别是解决与向量概念有 关问题的关键．
跟踪训练 1．在下列说法中，正确的是( B ) A．两个有公共起点且共线的向量，其终点必相同 B．模为 0 的向量与任一非零向量平行 C．向量就是有向线段 D．两个有公共终点的向量一定是共线向量
2.1.1 向量的物理背景与概念
教材梳理 1．向量的定义 既有____大__小______，又有___方__向_____的量统称为向量． 注意：向量与数量的区别在于数量没有方向，而向量有 方向．
高中数学 第2章 平面向量 2.1.1 向量的物理背景与概念 2.1.2 向量的几何表示 2.1.3
第二章2.1 平面向量的实际背景及基本概念2.1.1 向量的物理背景与概念 2.1.2 向量的几何表示 2.1.3 相等向量与共线向量学 习 目 标 核 心 素 养 1.通过对力、速度、位移等的分析，了解平面向量的实际背景．理解向量的有关概念及向量的几何表示．(重点)2．理解共线向量、相等向量的概念．(难点)3．正确区分向量平行与直线平行．(易混点) 1.通过对向量概念的学习，提升数学抽象素养．2．借助向量的几何意义，培养学生数学抽象和直观想象的核心素养； 3．通过相等向量和平行向量的学习，提升了学生逻辑推理的核心素养.1．向量与数量(1)向量：既有大小，又有方向的量叫做向量．(2)数量：只有大小，没有方向的量称为数量．2．向量的几何表示(1)带有方向的线段叫做有向线段．它包含三个要素：起点、方向、长度．(2)向量可以用有向线段表示．向量AB →的大小，也就是向量 AB →的长度(或称模)，记作|AB →|.向量也可以用字母a ，b ，c ，…表示，或用表示向量的有向线段的起点和终点字母表示，例如：AB →，CD →.思考：(1)向量可以比较大小吗？(2)有向线段就是向量吗？[提示] (1)向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小．(2)有向线段只是表示向量的一个图形工具，它不是向量． 3．向量的有关概念零向量长度为0的向量，记作0 单位向量长度等于1个单位的向量 平行向量(共线向量) 方向相同或相反的非零向量向量a ，b 平行，记作a ∥b规定：零向量与任一向量平行相等向量长度相等且方向相同的向量向量a 与b 相等，记作a ＝b1．正n 边形有n 条边，它们对应的向量依次为a 1，a 2，a 3，…，a n ，那么这n 个向量( )A ．都相等B ．都共线C ．都不共线D ．模都相等 D [因为多边形为正多边形，所以边长相等，所以各边对应向量的模都相等．]2．有以下物理量：①质量；②温度；③角度；④弹力；⑤风速．其中可以看成是向量的有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个B [①②③不是向量，④⑤是向量．]3．|AB →|＝1，|AC →|＝2，假设∠ABC ＝90°，那么|BC →|＝________.3[三角形ABC 是以B 为直角的直角三角形，所以|BC →|＝22－12＝ 3.] 4．如图，四边形ABCD 是平行四边形，那么图中相等的向量是________(填序号)．(1)AD →与BC →；(2)OB →与OD →；(3)AC →与BD →；(4)AO →与OC →.(1)(4) [由平行四边形的性质和相等向量的定义可知：AD →＝BC →，OB →≠OD →，AC →≠BD →，AO →＝OC →.]向量的有关概念【例1】 判断以下命题是否正确，请说明理由：(1)假设向量a 与b 同向，且|a |>|b |，那么a >b ；(2)假设向量|a |＝|b |，那么a 与b 的长度相等且方向相同或相反；(3)对于任意向量|a |＝|b |，假设a 与b 的方向相同，那么a ＝b ；(4)由于0方向不确定，故0不与任意向量平行；(5)向量a 与向量b 平行，那么向量a 与b 方向相同或相反．思路点拨：解答此题应根据向量的有关概念，注意向量的大小、方向两个要素．[解] (1)不正确．因为向量由两个因素来确定，即大小和方向，所以两个向量不能比较大小．(2)不正确．由|a |＝|b |只能判断两向量长度相等，不能确定它们的方向关系．(3)正确．因为|a |＝|b |，且a 与b 同向，由两向量相等的条件，可得a ＝b .(4)不正确．依据规定：0与任意向量平行．(5)不正确．因为向量a 与向量b 假设有一个是零向量，那么其方向不定．1．理解零向量和单位向量应注意的问题(1)零向量的方向是任意的，所有的零向量都相等．(2)单位向量不一定相等，易忽略向量的方向．2．共线向量与平行向量(1)平行向量也称为共线向量，两个概念没有区别；(2)共线向量所在直线可以平行，与平面几何中的共线不同；(3)平行向量可以共线，与平面几何中的直线平行不同．提醒：解决与向量概念有关题目的关键是突出向量的核心——方向和长度．[跟进训练]1．给出以下命题：①假设a ∥b ，b ∥c ，那么a ∥c .②假设单位向量的起点相同，那么终点相同．③起点不同，但方向相同且模相等的几个向量是相等向量；④向量AB →与CD →是共线向量，那么A ，B ，C ，D 四点必在同一直线上．其中正确命题的序号是________．③[①错误．假设b ＝0，那么①不成立；②错误．起点相同的单位向量，终点未必相同；③正确．对于一个向量只要不改变其大小和方向，是可以任意移动的．④错误．共线向量即平行向量，只要求方向相同或相反即可，并不要求两个向量AB →，CD→必须在同一直线上．]向量的表示及应用【例2】 写出________个向量．(2)在如下图的坐标纸上(每个小方格边长为1)，用直尺和圆规画出以下向量：①OA →，使|OA →|＝42，点A 在点O 北偏东45°；②AB →，使|AB →|＝4，点B 在点A 正东；③BC →，使|BC →|＝6，点C 在点B 北偏东30°.(1)12[可以写出12个向量，分别是：AB →，AC →，AD →，BC →，BD →，CD →，BA →，CA →，DA →，CB →，DB →，DC →.](2)[解] ①由于点A 在点O 北偏东45°处，所以在坐标纸上点A 距点O 的横向小方格数与纵向小方格数相等．又|OA →|＝42，小方格边长为1，所以点A 距点O 的横向小方格数与纵向小方格数都为4，于是点A 位置可以确定，画出向量OA →如下图．②由于点B 在点A 正东方向处，且|AB →|＝4，所以在坐标纸上点B 距点A 的横向小方格数为4，纵向小方格数为0，于是点B 位置可以确定，画出向量AB →如下图．③由于点C 在点B 北偏东30°处，且|BC →|＝6，依据勾股定理可得：在坐标纸上点C 距点B 的横向小方格数为3，纵向小方格数为33≈5.2，于是点C 位置可以确定，画出向量BC →如下图．1．向量的两种表示方法(1)几何表示法：先确定向量的起点，再确定向量的方向，最后根据向量的长度确定向量的终点．(2)字母表示法：为了便于运算可用字母a ，b ，c 表示，为了联系平面几何中的图形性质，可用表示向量的有向线段的起点与终点表示向量，如AB →，CD →，EF →等．2．两种向量表示方法的作用(1)用几何表示法表示向量，便于用几何方法研究向量运算，为用向量处理几何问题打下了基础．(2)用字母表示法表示向量，便于向量的运算．[跟进训练]2．某人从A 点出发向东走了5米到达B 点，然后改变方向按东北方向走了102米到达C 点，到达C 点后又改变方向向西走了10米到达D 点．(1)作出向量AB →，BC →，CD →；(2)求AD →的模．[解] (1)作出向量AB →，BC →，CD →，如下图：(2)由题意得，△BCD 是直角三角形，其中∠BDC ＝90°，BC ＝102米，CD ＝10米，所以BD ＝10米．△ABD 是直角三角形，其中∠ABD ＝90°，AB ＝5米，BD ＝10米，所以AD ＝52＋102＝55(米)，所以|AD →|＝55米.相等向量和共线向量[探究问题1．两个相等的非零向量的起点与终点是否都分别重合？提示：不一定．因为向量都是自由向量，只要大小相等，方向相同就是相等向量，与起点和终点位置无关．2．假设AB →∥CD →，那么从直线AB 与直线CD 的关系和AB →与CD →的方向关系两个方面考虑有哪些情况？提示：分四种情况(1)直线AB 和直线CD 重合，AB →与CD →同向；(2)直线AB 和直线CD 重合，AB →与CD →反向；(3)直线AB ∥直线CD ，AB →与CD →同向；(4)直线AB ∥直线CD ，AB →与CD →反向．【例3】 如下图，O 是正六边形ABCDEF 的中心，且OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c .(1)与a 的长度相等、方向相反的向量有哪些？(2)与a 共线的向量有哪些？(3)请一一列出与a ，b ，c 相等的向量．思路点拨：根据相等向量与共线向量的概念寻找所求向量．[解] (1)与a 的长度相等、方向相反的向量有OD →，BC →，AO →，FE →.(2)与a 共线的向量有EF →，BC →，OD →，FE →，CB →，DO →，AO →，DA →，AD →.(3)与a 相等的向量有EF →，DO →，CB →；与b 相等的向量有DC →，EO →，F A →；与c 相等的向量有FO →，ED →，AB →.1．本例条件不变，写出与向量BC →相等的向量．[解] 相等向量是指长度相等、方向相同的向量，所以图中与BC →相等的向量有AO →，OD →，FE →.2．本例条件不变，写出与向量BC →长度相等的共线向量．[解] 与BC →长度相等的共线向量有：CB →，OD →，DO →，AO →，OA →，FE →，EF →.3．在本例中，假设|a |＝1，那么正六边形的边长如何？[解] 由正六边形中，每边与中心连接成的三角形均为正三角形，∴△FOA 为等边三角形，所以边长AF ＝|a |＝1.相等向量与共线向量的探求方法(1)寻找相等向量：先找与表示向量的有向线段长度相等的向量，再确定哪些是同向共线．(2)寻找共线向量：先找与表示向量的有向线段平行或共线的线段，再构造同向与反向的向量，注意不要漏掉以表示向量的有向线段的终点为起点，起点为终点的向量．提醒：与向量平行相关的问题中，不要忽视零向量．向量是既有大小又有方向的量，解决向量问题时一定要从大小和方向两个方面去考虑．同时要注意理解以下几个概念：1．平行向量：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量．任一向量都与它自身是平行向量．2．共线向量也就是平行向量，其要求是几个非零向量的方向相同或相反，其所在直线可以平行也可以重合．“共线〞的含义不是平面几何中“共线〞的含义．3．相等向量：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量．由向量相等的定义可以知道，对于一个向量，只要不改变它的大小和方向，是可以平行移动的．因此，用有向线段表示向量时，可以任意选取有向线段的起点．4．注意两个特殊向量——零向量和单位向量，零向量与任何向量都平行，单位向量有无穷多个，起点相同的所有单位向量的终点在平面内形成一个单位圆．1．在以下判断中，正确的是()①长度为0的向量都是零向量；②零向量的方向都是相同的；③单位向量的长度都相等；④单位向量都是同方向；⑤任意向量与零向量都共线．A．①②③B．②③④C．①②⑤D．①③⑤D[由定义知①正确，②由于零向量的方向是任意的，故两个零向量的方向是否相同不确定，故不正确．显然③⑤正确，④不正确，应选D.]2．汽车以120 km/h的速度向西走了2 h，摩托车以45 km/h的速度向东北方向走了2 h，那么以下命题中正确的是()A．汽车的速度大于摩托车的速度B．汽车的位移大于摩托车的位移C ．汽车走的路程大于摩托车走的路程D ．以上都不对C [速度、位移是向量，既有大小，又有方向，不能比较大小，路程可以比较大小．]3.在以下命题中：①平行向量一定相等；②不相等的向量一定不平行；③共线向量一定相等；④相等向量一定共线；⑤长度相等的向量是相等向量；⑥平行于同一个非零向量的两个向量是共线向量．正确的命题是________．④⑥[由向量的相关概念可知④⑥正确．]4．如下图菱形ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于O 点，∠DAB ＝60°，分别以A ，B ，C ，D ，O 中的不同两点为始点与终点的向量中，(1)写出与DA →平行的向量；(2)写出与DA →模相等的向量．[解] 由题图可知，(1)与DA →平行的向量有：AD →，BC →，CB →；(2)与DA →模相等的向量有：AD →，BC →，CB →，AB →，BA →，DC →，CD →，BD →，DB →.。
【数学】2.1.1-2.1.2 向量的物理背景与概念 向量的几何表示
3.零向量是一个特殊向量，其模为0， 方向是不确定的.引入零向量将为以后的
研0r 究¹ 带.0 来许多方便，但须注意：
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小结
1.向量是为了表示、刻画既有大小， 又有方向的量而产生的，物理中有许多 相关背景材料，数学中的向量是物理中 矢量的提升和拓展，它有一系列的理论 和方法，是沟通代数、几何、三角的一 种工具，有着广泛的实际应用.
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2.由于有向线段具有长度和方向双重 特征，所以向量可以用有向线段表示， 但向量不是有向线段，二者只是一种对 应关系.
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理论迁移
例1 已知飞机从A地按北偏东30°方
向飞行2000km到达B地，再从B地按南偏
东30°方向飞行2000km到达C地，再从C
地按西南方向飞行1000 2 km到达D地.
（1）画图表示向量
uuur AB
uuur
,B C
,C uuD ur；
（2）求飞机从A地到达D地的位移所对
B
北
东 A
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思考2：对于一个实数，可以用数轴上的 点表示；对于一个角的正弦、余弦和正 切，可以用三角函数线表示；对于一个 二次函数，可以用一条抛物线表示….数 学中有许多量都可以用几何方式表示， 你认为如何用几何方式表示向量最合适？
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思向线考段3：记如作图Au，uBur以，A为一起条点有、向B线为段终由点哪的几有
思考6：如果表示向量的有向线段没有标
注字母起点a，和b终，点c，字…母，，或向a量r ,也br可, c以r,用L黑体
高中数学_平面向量的实际背景及基本概念教学设计学情分析教材分析课后反思
平面向量的实际背景及基本概念教学设计（一）创设情境，归纳共性结合ppt，展示二个情境。
（1）一只老鼠和一只猫相距６米，老鼠以每秒４米的速度逃窜,猫以每秒７米的速度追，猫会追上老鼠吗？（2）如何由A点确定B点位置？（3）展示教材中力的示意图【设计意图】（1）以上二个实例，分别给同学们展示了速度、位移、力三个物理量，让学生充分感受“既有大小又有方向的量”是客观存在的。
（2）通过二个例子，让学生抽象出数学模型，进而给出向量的概念。
（3）上述生活中的二个例子可以激活学生已有的相关经验，进一步加深对既有大小又有方向的量的理解。
（二）抓住本质，抽象定义刚才同学们提到的速度、位移、力等既有大小又有方向的量在生活中大量存在，类似于以前我们从一支笔、一本书、一张桌子抽象出了只有大小的数量1，数学中对以上既有大小又有方向的量进行抽象，就形成了一种新的量——向量。
教师随即强调：从向量的概念可以看出，它不同于我们之前学习研究的“数”。
数只有大小，没有方向。
而向量既有大小又有方向。
【设计意图】反复强调方向的重要性，向量的方向虽然不难理解，但容易被忽略。
（三）合作探究，形象表示师：通过以前的学习，我们知道数量可以用数轴上的点来表示，认识向量之后，你打算怎样表示向量呢？给予学生充足的时间思考。
【设计意图】（1）当我们认识一个新事物后，自然会想到如何来表示它。
在过渡语言中，渗透研究新事物的基本套路。
（2）表示向量时，既要考虑大小，又要兼顾方向，这是一个难点，给予学生充足的时间，旨在期望学生自行突破。
教学预案：（1）若学生通过充分的独立思考后，仍然没有解决之道，教师可以鼓励同桌之间相互讨论。
（2）若充分讨论之后，仍然没有办法，此时教师给予适时引导：物理学中，我们是如何形象地表示力（位移）的大小和方向的？（3）在任何一个环节中，只要存在部分学生有了思路，便鼓励其到黑板上展示。
（4）展示结果时，学生如果不能一步到位，教师要适时引导，表示向量时，在合乎情理（既要考虑大小，又要兼顾方向）的前提下，如何让其表达更为简洁？发动全班学生的力量解决问题。
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2.1.1向量的物理背景与概念
2.1.2向量的几何表示
●创设情境
如图，老鼠由A向西北逃窜，猫在B处向东追去，问：
猫能追上老鼠吗？（画图）
●教材新知
1.向量的相关概念
（1）向量：既有_______，又有_______的量叫做向量.如：力、位移、速度、加速度等.
向量的两个要素是：______、______.
（2）有向线段：带有_______的线段叫做有向线段.
①以A为起点，B为终点的有向线段记作______.
②有向线段的三要素是：______、______、______.
（3）模：向量AB的______叫做向量AB的______（或称_____），记作______.
.
“向量”就是“有向线段”对吗？
2.向量的表示方法有两种
（1）用有向线段的起点和终点字母表示，如AB、CD.起点字母必须放在终点字母的______. （2）用黑体字母表示，如a、b.（手写体向量上面的箭头一定不能漏写）.
3.两个特殊向量
（1）零向量：模为_____的向量，记作____.
“0”与“0”有区别吗？
（2）单位向量：模为_____的向量.
__________或__________的非零向量叫做平行向量，向量a，b平行记作______.
_____，即对于任意向量a，都有______.
●题组集训
（1）下列结论正确的是（）
A.对任一向量a，0
a总是成立的 B.模为0的向量与任一向量平行
>
C.向量就是有向线段
D.单位向量与任一向量平行
（2）下列结论中，正确的是（）
A.2014cm长的有向线段不可能表示单位向量
B.若O是直线l上的一点，单位长度已选定，则l上有且只有两个点A、B，使得OA、
OB是单位向量
C.方向为北偏西50︒的向量与东偏南40︒的向量不可能时平行向量
D.一人从点A向东走500米到达B点，则向量AB不能表示这个人从点A到B点的位移
（3）有下列量：质量、速度、位移、力、加速度、路程、密度、功、海拔、温度、角度、高度.
其中不是向量的有（）个
A.6
B.7
C.8
D.9
（4）下列说法正确的是（ ）
A.实数可以比大小，向量也可以比大小
B.方向不同的向量不能比较大小，但方向相同的向量可以比较大小
C.向量的模是正数
D.向量的模可以比较大小
（5）在直角三角形ABC 中，90BAC ∠=︒，1AB =，2AC =，则BC =_____.
●课堂精讲
【例1】判断下列说法是否正确，并说明理由：
（1）温度是向量；
（2）作用力与反作用力是一对大小相等，方向相反的向量；
（3）数轴是向量；
（4）若a 是单位向量，b 也是单位向量，则a 与b 的方向相同或相反.
【变式训练】在下列结论中，正确的为（ ）
A.两个有共同起点的单位向量，其终点必相同
B.向量AB 与向量BA 的长度相等
C.向量就是有向线段
D.零向量是没有方向的
【例2】一辆汽车从A 点出发向西行驶了100km 到达B 点，然后又改变方向向西偏北50︒行驶了 200km 到达C 点，最后又改变方向，向东行驶了100km 到达D 点.
（1）作出向量AB ，BC ，CD ； （2）求AD .
【变式训练】某人从A 地出发按北偏东30︒方向行走60米到达B 地，再从B 地向东行走100米到
达C 地，再由C 地按东偏南60︒方向行走60米到达D 地.
（1）作出向量AB ，BC ，CD ； （2）求AD .
【例3】如图，1A 、2A 、…、8A 是O 上的八个等分点，则
在以1A 、2A 、…、8A 及圆心O 九个点中任意两个点为起
点与终点的向量中，模等于半径的向量有多少个？模等于
【变式训练】如图，菱形的一个内角是60︒，边长为2，E 是
对角线AC 与BD 的交点.
（1）模为2的向量最多有几个？（不再增加线段）
（2）写出模为1的向量.（不再增加线段）
（3）求AC .
●课后反馈
（1）下列各量中是向量的是（ ）
A.质量
B.距离
C.速度
D.电流强度
（2）下列说法中正确的是（ ）
A.有向线段AB 与BA 表示同一个向量
B.两个有公共终点的向量是平行向量
C.零向量与单位向量是平行向量
D.若非零向量AB ‖CD ，则直线AB 与直线CD 平行 （3）如图，在O 中，向量OB ，OC ，AO 是（ ）
A.有相同起点的向量
B.单位向量
C.模相等的向量
D.平行向量
（4）下列结论不正确的是（ ）
A.向量AB 与向量BA 的长度相等
B.任意一个非零向量都可以平行移动
C.若a ‖b ，且≠0b ，则≠0a
D.两个有公共起点且平行的向量，其终点不一定相同
（5）已知O 是正方形ABCD 对角线的交点，在以O 、A 、B 、C 、D 这5个点中任意一点为起
点，另一点为终点的所有向量中，与DA 是平行向量的有（ ）
A.CB
B.DB
C.BA
D.OB
（6）把平面上一切单位向量平移到共同的始点，那么这些向量的终点所构成的图形是（ ）
A.一条线段
B.一段圆弧
C.两个孤立点
D.一个圆
（7）下列结论中，正确的是（ ）
A.坐标平面上的x 轴，y 轴都是向量
B.若AB 是单位向量，则BA 不是单位向量
C.若0=a ，1=b ，则a ‖b
D.计算向量的模与单位长度无关 （8）O 是ABC ∆内一点，且OA OB OC ==，则O 是ABC ∆的（ ）
A.重心
B.内心
C.外心
D.垂心
（9）如图，平行四边形ABCD 中，E 、F 分别是AD 、BC 的中点，则以A 、B 、C 、D 、E 、
F 这6个点中任意两点分别作为起点和终点的所有向量中，与向量EF 方向相反的向量是 _______.
（10）以下命题正确的是_______.
①单位向量都平行；②任一单位向量都大于0；③单位向量的模相等.
（11）如图，ABC ∆是等腰三角形，则两腰上的向量AB 与AC 的
关系是_______.
（12）直线l ：1y x =-上点(),A x y ，使OA 为单位向量（其中O 为坐标
原点），则x =______，y =______.
（13）如图，
D、E、F分别是ABC
∆各边的中点，若2
BC=，
则DF=______，BE=______.
（14）如图，45
⨯方格纸中有一向量AB，现以方格纸中的格点
为起点和终点作向量，其中与AB长度相等且与AB平行的向
量有多少个？（AB除外）
（15）如图，已知四边形ABCD是矩形，O是对角线AC与BD的交点，写出以A、B、C、D、O为始点和终点的所有向量.
（16）如图，A、B、C三点的坐标依次是()
,x y，其中x、y∈R，当x、y满
0,1、()
1,0
-、()
足什么条件时，OC‖AB.。