人教版高中数学高一-作业25-向量的物理背景与概念、几何表示(答案)

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2.1.1 向量的物理背景与概念 2.2.2 向量的几何表示

2.1.1向量的物理背景与概念2.1.2向量的几何表示●创设情境如图，老鼠由A向西北逃窜，猫在B处向东追去，问：猫能追上老鼠吗？（画图）●教材新知1.向量的相关概念（1）向量：既有_______，又有_______的量叫做向量.如：力、位移、速度、加速度等.向量的两个要素是：______、______.（2）有向线段：带有_______的线段叫做有向线段.①以A为起点，B为终点的有向线段记作______.②有向线段的三要素是：______、______、______.（3）模：向量AB的______叫做向量AB的______（或称_____），记作______..“向量”就是“有向线段”对吗？2.向量的表示方法有两种（1）用有向线段的起点和终点字母表示，如AB、CD.起点字母必须放在终点字母的______. （2）用黑体字母表示，如a、b.（手写体向量上面的箭头一定不能漏写）.3.两个特殊向量（1）零向量：模为_____的向量，记作____.“0”与“0”有区别吗？（2）单位向量：模为_____的向量.__________或__________的非零向量叫做平行向量，向量a，b平行记作______._____，即对于任意向量a，都有______.●题组集训（1）下列结论正确的是（）A.对任一向量a，0a总是成立的 B.模为0的向量与任一向量平行>C.向量就是有向线段D.单位向量与任一向量平行（2）下列结论中，正确的是（）A.2014cm长的有向线段不可能表示单位向量B.若O是直线l上的一点，单位长度已选定，则l上有且只有两个点A、B，使得OA、OB是单位向量C.方向为北偏西50︒的向量与东偏南40︒的向量不可能时平行向量D.一人从点A向东走500米到达B点，则向量AB不能表示这个人从点A到B点的位移（3）有下列量：质量、速度、位移、力、加速度、路程、密度、功、海拔、温度、角度、高度.其中不是向量的有（）个A.6B.7C.8D.9（4）下列说法正确的是（）A.实数可以比大小，向量也可以比大小B.方向不同的向量不能比较大小，但方向相同的向量可以比较大小C.向量的模是正数D.向量的模可以比较大小（5）在直角三角形ABC 中，90BAC ∠=︒，1AB =，2AC =，则BC =_____.●课堂精讲【例1】判断下列说法是否正确，并说明理由：（1）温度是向量；（2）作用力与反作用力是一对大小相等，方向相反的向量；（3）数轴是向量；（4）若a 是单位向量，b 也是单位向量，则a 与b 的方向相同或相反.【变式训练】在下列结论中，正确的为（）A.两个有共同起点的单位向量，其终点必相同B.向量AB 与向量BA 的长度相等C.向量就是有向线段D.零向量是没有方向的【例2】一辆汽车从A 点出发向西行驶了100km 到达B 点，然后又改变方向向西偏北50︒行驶了 200km 到达C 点，最后又改变方向，向东行驶了100km 到达D 点.（1）作出向量AB ，BC ，CD ；（2）求AD .【变式训练】某人从A 地出发按北偏东30︒方向行走60米到达B 地，再从B 地向东行走100米到达C 地，再由C 地按东偏南60︒方向行走60米到达D 地.（1）作出向量AB ，BC ，CD ；（2）求AD .【例3】如图，1A 、2A 、…、8A 是O 上的八个等分点，则在以1A 、2A 、…、8A 及圆心O 九个点中任意两个点为起点与终点的向量中，模等于半径的向量有多少个？模等于【变式训练】如图，菱形的一个内角是60︒，边长为2，E 是对角线AC 与BD 的交点.（1）模为2的向量最多有几个？（不再增加线段）（2）写出模为1的向量.（不再增加线段）（3）求AC .●课后反馈（1）下列各量中是向量的是（）A.质量B.距离C.速度D.电流强度（2）下列说法中正确的是（）A.有向线段AB 与BA 表示同一个向量B.两个有公共终点的向量是平行向量C.零向量与单位向量是平行向量D.若非零向量AB ‖CD ，则直线AB 与直线CD 平行（3）如图，在O 中，向量OB ，OC ，AO 是（）A.有相同起点的向量B.单位向量C.模相等的向量D.平行向量（4）下列结论不正确的是（）A.向量AB 与向量BA 的长度相等B.任意一个非零向量都可以平行移动C.若a ‖b ，且≠0b ，则≠0aD.两个有公共起点且平行的向量，其终点不一定相同（5）已知O 是正方形ABCD 对角线的交点，在以O 、A 、B 、C 、D 这5个点中任意一点为起点，另一点为终点的所有向量中，与DA 是平行向量的有（）A.CBB.DBC.BAD.OB（6）把平面上一切单位向量平移到共同的始点，那么这些向量的终点所构成的图形是（）A.一条线段B.一段圆弧C.两个孤立点D.一个圆（7）下列结论中，正确的是（）A.坐标平面上的x 轴，y 轴都是向量B.若AB 是单位向量，则BA 不是单位向量C.若0=a ，1=b ，则a ‖bD.计算向量的模与单位长度无关（8）O 是ABC ∆内一点，且OA OB OC ==，则O 是ABC ∆的（）A.重心B.内心C.外心D.垂心（9）如图，平行四边形ABCD 中，E 、F 分别是AD 、BC 的中点，则以A 、B 、C 、D 、E 、F 这6个点中任意两点分别作为起点和终点的所有向量中，与向量EF 方向相反的向量是 _______.（10）以下命题正确的是_______.①单位向量都平行；②任一单位向量都大于0；③单位向量的模相等.（11）如图，ABC ∆是等腰三角形，则两腰上的向量AB 与AC 的关系是_______.（12）直线l ：1y x =-上点(),A x y ，使OA 为单位向量（其中O 为坐标原点），则x =______，y =______.（13）如图，D、E、F分别是ABC∆各边的中点，若2BC=，则DF=______，BE=______.（14）如图，45⨯方格纸中有一向量AB，现以方格纸中的格点为起点和终点作向量，其中与AB长度相等且与AB平行的向量有多少个？（AB除外）（15）如图，已知四边形ABCD是矩形，O是对角线AC与BD的交点，写出以A、B、C、D、O为始点和终点的所有向量.（16）如图，A、B、C三点的坐标依次是(),x y，其中x、y∈R，当x、y满0,1、()1,0-、()足什么条件时，OC‖AB.。

人教A版高中数学必修4第二章向量的物理背景与概念

量；将只有大小,没有方向的量称为标
量。
生活中许多事物都有这样的性质．．．
抽象概括
向量: 既有大小又有方向的量
二、向量的表示方法
①几何表示——向量常用有向线段表示.
有向线段的长度表示向量的大小（向量的模）
记作：│AB│或┃a┃
A
Ｂ
a
有向线段的方向表示向量的方向.
②代数表示： a 、b、 c、 d …. 或以A为起点、B为终点的向量记为：ＡＢ.
知识与技能目标
了解向量的实际背景，掌握向量的有关概念及几何表示。
过程与方法目标
通过解决实际问题，提高依据具体问题背景分析问题、解决问题的能力。
情感态度价值观目标
体会数学在生活中重要作用，培养严谨的思维习惯。培养学生数形结合的思想。
教学重点、难点
重点掌握向量的有关概念及几何表示。
2.下面几个命题：（1）若a = b，b = c，则a = c。
（2）若|a|=0，则a = 0
（3）若|a|=|b|，则a = b
其中正确的个数是( B )
A．0 B. 1
C. 2
D. 3
3.把所有相等的向量平移到同一起点后，这些向量
的终点将落在（B ）
A.同一个圆上
B.同一个点上
C.同一条直线上 D.以上都有可能
②平行向量也叫共线向量
类比演练
ef
那么向量e与f是否是平行向量？
两向量的平行与平面几何里两线段的平行有什么区别？
两向量的共线与平面几何里两线段的共线是否一样？
2.相等向量的定义：长度相等且方向相同的向量.
D
A
记作：AB DC
B

人教A版(新教材)高中数学第二册：向量的实际背景与概念向量的几何表示相等向量与共线向量

解 (1)如图所示，作出A→B，B→C，C→D.
(2)由题意知AB∥CD，AB＝CD，所以四边形ABCD是平行四边形，所以 AD＝BC＝400 km，所以|A→D|＝400 km.
【迁移】在例 3 的四边形 ABCD 中，是否一定有A→B＝D→C？解是，因为 AB 与 DC 平行且相等，A→B与D→C的方向也相同，所以A→B＝D→C. 规律方法平面向量在实际生活中的应用生活中很多问题可以归结为向量的问题，如力、速度、位移等，因此运用向量的知识进行解答可使问题简化，易于求解.解答时，一般先把实际问题用图示表示出来，然后围绕线段的长度(即向量的模)和方向(求某个角)进行求解.
(2)由题意知A→D＝B→C， ∴AD 綉 BC，则四边形 ABCD 为平行四边形， ∴A→B＝D→C，则 B 地相对于 A 地的位置为“北偏东 60°，长度为 6 千米”.
一、素养落地 1.通过了解平面向量的实际背景及理解平面向量的意义，培养数学抽象素养.通过学
习相等向量的含义及平面向量的几何表示提升直观想象素养. 2.向量是既有大小又有方向的量，从其定义看出向量既有代数特征又有几何特征，
1.向量的定义及表示向量无特定的位置，因此向量可以作任意的平移 (1)定义：既有大小又有方向的量叫做向量. (2)表示： ①有向线段：带有方向的线段，它包含三个要素：起点、方向、长度；
②向量的表示：
|AB|
长度
→a ,→b ,→c
2.向量的有关概念相等向量是平行(共线)向量，但平行(共线)向量不一定是相等向量
2.理解平面向量的几何表示和基本要素.
教材知识探究
老鼠由A向西北逃窜，猫在B处向东追去，猫能否追到老鼠(如图)? 问题猫能否追到老鼠？提示猫的速度再快也没用，因为方向错了. 老鼠逃窜的路线AC、猫追逐的路线BD实际上都是有大小、有方向的量. 生活中还有许多既有大小又有方向的量，你能说出它们并指出其大小和方向吗？本节就来学习这方面的知识.

高一数学人教A版必修四教案：2.4.1平面向量数量积的物理背景及其含义Word版含答案

乘积 .
（三）应用示例
思路 1
例 1 已知平面上三点 A 、 B 、 C 满足 | AB |=2,| BC |=1,C ·CA + CA AB 的值 .
活动 :教师引导学生利用向量的数量积并结合两向量的夹角来求解
,先分析题设然后找到所需
条件 .因为已知 AB 、 BC 、 CA 的长度 ,要求得两两之间的数量积 ,必须先求出两两之间的夹
数量积 a·b 等于 a 的长度与 b 在 a 方向上投影 | b|cos θ的乘积 . 让学生思考 :这个投影值可正、可负 ,也可为零 ,所以我们说向量的数量积的结果是一个实数.教师和学生共同总结两个向量的数量积的性质 : 设 a、b 为两个非零向量 ,e 是与 b 同向的单位向量 .
1°e·a=a·e=| a|cos θ． 2°a⊥ b a·b=0. 3°当 a 与 b 同向时 ,a·b=| a|| b|; 当 a 与 b 反向时 ,a·b=-| a|| b|.
例 2 已知 a,b 是两个非零向量 ,且 | a|-| b|=| a+b|, 求向量 b 与 a-b 的夹角 .
活动 :教师引导学生利用向量减法的平行四边形法则
角.结合勾股定理可以注意到 △A BC 是直角三角形 ,然后可利用数形结合来求解结果 .
解 :由已知 ,| BC | 2+| CA | 2=| AB | 2,所以 △ABC是直角三角形 .而且∠ ACB=90°,
从而 sin∠ABC=
3
1
,sin∠BAC= .
2
2
∴∠ ABC=60°,∠ BAC=30°.
为两向量数量积的关系 ,并且可以知道向量夹角的范围是 0°≤θ≤ 180°．

高中数学人教A版必修4第二章平面向量2.1.1向量的物理背景与概念答案和解析

高中数学人教A 版必修4第二章平面向量2.1.1向量的物理背景与概念学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．正n 边形有n 条边,它们对应的向量依次为a 1,a 2,a 3,…,a n ,则这n 个向量( ) A ．都相等 B ．都共线 C ．都不共线 D ．模都相等2．已知圆心为O 的⊙O 上三点A 、B 、C ，则向量BO⃗⃗⃗⃗⃗ 、OC ⃗⃗⃗⃗⃗ 、OA ⃗⃗⃗⃗⃗ 是( ) A ．有相同起点的相等向量B ．长度为1的向量C ．模相等的向量D ．相等的向量3．下列说法中错误的是 ( )A ．有向线段可以表示向量但不是向量,且向量也不是有向线段B ．共线的向量,起点不同,终点可以相同C ．长度相等但方向相反的两个向量不一定共线D ．方向相反的两个非零向量必不相等二、填空题4．与非零向量a 平行的单位向量有________个．5．设在平面上给定了一个四边形ABCD,点K,L,M,N 分别是AB,BC,CD,DA 的中点,在以已知各点为起点和终点的向量中,与向量KL 相等的向量是____.参考答案1．D【解析】正n 边形n 条边相等,故这n 个向量的模相等.故选：D.2．C【解析】圆的半径r ＝|BO⃗⃗⃗⃗⃗ |＝|OC ⃗⃗⃗⃗⃗ |＝|OA ⃗⃗⃗⃗⃗ |不一定为1，故选C. 3．C【解析】对于A ，向量是既有大小又有方向的量，可以用有向线段来表示向量，有向线段不是向量，向量也不是有向线段，∴A 正确；对于B ，共线的向量,起点不同,终点可以相同，B 正确；对于C ，长度相等但方向相反的两个向量是共线向量，∴C 错误；对于D ，相等向量的大小相等，方向相同的两个向量，∴方向相反的两个非零向量必不相等，D 正确．故选C ．点睛：本题考查了平面向量的基本概念，注意我们研究的向量根据需要是可以平移的，在平移过程中，仍然是相等向量.4．2【详解】与非零向量a 平行的单位向量即模为1,方向与向量a 相同或相反的向量有两个.故答案为25．NM【解析】因为点K,L 分别是AB,BC 的中点,所以KL∥AC,KL=12 AC,因为点M,N分别是CD,DA的中点,所以MN∥AC,MN=12 AC,所以KL∥MN,KL=MN,所以KL NM.故答案为NM点睛：本题考查了对相等向量的理解，充分利用中位线定理转化线段间的关系.。

(2021年整理)必修四平面向量的实际背景及基本概念(附答案)

必修四平面向量的实际背景及基本概念(附答案)编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（必修四平面向量的实际背景及基本概念(附答案)）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

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平面向量的实际背景及基本概念[学习目标］1。

能结合物理中的力、位移、速度等具体背景认识向量，掌握向量与数量的区别。

2.会用有向线段作向量的几何表示，了解有向线段与向量的联系与区别，会用字母表示向量。

3。

理解零向量、单位向量、平行向量、共线向量、相等向量及向量的模等概念,会辨识图形中这些相关的概念．知识点一向量的概念数学中，我们把既有大小，又有方向的量叫做向量，而把那些只有大小,没有方向的量（如年龄、身高、体积等）称为数量．注意：①向量的两个要素：大小和方向，缺一不可．解题时，注意从两个要素出发考虑问题．②数量之间可以比较大小，而两个向量不能比较大小．思考已知下列各量：①力；②功；③速度；④质量；⑤温度；⑥位移；⑦加速度；⑧重力；⑨路程；⑩密度．其中是数量的有________________，是向量的有________________．答案②④⑤⑨⑩①③⑥⑦⑧知识点二向量的表示方法(1)向量的几何表示：向量可以用一条有向线段表示．带有方向的线段叫做有向线段，它包含三个要素：起点、方向、长度，如图所示．以A为起点、B为终点的有向线段记作错误!.（2）向量的字母表示：向量可以用字母a， b, c，…,表示(印刷用黑体a，b，c，书写时用错误!，错误!，错误!）．(3)向量错误!的大小：也就是向量错误!的长度（或称模)，即有向线段错误!的长度，记作|错误! |。

人教新课标版数学高一B版必修4学案向量数量积的物理背景与定义

2.3.1 向量数量积的物理背景与定义明目标、知重点 1.了解平面向量数量积的物理背景，即物体在力F 的作用下产生位移s 所做的功.2.掌握平面向量数量积的定义和运算律，理解其几何意义.3.会用两个向量的数量积求两个向量的夹角以及判断两个向量是否垂直.1.两个向量的夹角(1)已知两个非零向量a ，b ，作OA →＝a ，OB →＝b ，则∠AOB 称作向量a 和向量b 的夹角，记作〈a ，b 〉，并规定它的范围是0≤〈a ，b 〉≤π. 在这个规定下，两个向量的夹角被唯一确定了，并且有〈a ，b 〉＝〈b ，a 〉. (2)当〈a ，b 〉＝π2时，我们说向量a 和向量b 互相垂直，记作a ⊥b .2.向量在轴上的正射影已知向量a 和轴l (如图).作OA →＝a ，过点O ，A 分别作轴l 的垂线，垂足分别为O 1，A 1，则向量O 1A 1→叫做向量a 在轴l 上的正射影(简称射影)，该射影在轴l 上的坐标，称作a 在轴l 上的数量或在轴l 的方向上的数量.OA →＝a 在轴l 上正射影的坐标记作a l ，向量a 的方向与轴l 的正向所成的角为θ，则由三角函数中的余弦定义有a l ＝|a |cos θ. 3.向量的数量积(内积)|a ||b |cos 〈a ，b 〉叫做向量a 和b 的数量积(或内积)，记作a ·b .即a ·b ＝|a ||b |cos 〈a ，b 〉.1.请同学们回顾一下我们已经研究了向量的哪些运算？这些运算的结果是什么？答向量的加法、减法及数乘运算.2.请同学们继续回忆，我们是怎么引入向量的加法运算的？我们又是按照怎样的顺序研究了这种运算的？答物理模型→概念→性质→运算律→应用.本节课我们仍然按照这种研究思路来研究向量另一种运算：平面向量数量积的物理背景及其含义.探究点一平面向量数量积的含义思考1如图，一个物体在力F的作用下产生位移s，且力F与位移s的夹角为θ，那么力F所做的功W是多少？答W＝|F||s|cos θ.思考2对于两个非零向量a与b，我们把数量|a||b|cos θ叫做a与b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝|a|·|b|cos θ，那么a·b的运算结果是向量还是数量？特别地，零向量与任一向量的数量积是多少？答a·b的运算结果是数量.0·a＝0.思考3对于两个非零向量a与b，夹角为θ，其数量积a·b何时为正数？何时为负数？何时为零？答当0°≤θ<90°时，a·b>0；当90°<θ≤180°时，a·b<0；当θ＝90°时，a·b＝0.思考4向量的数量积与数乘向量的区别是什么？答向量的数量积a·b是一个实数，不考虑方向；数乘向量λa是一个向量，既有大小，又有方向.例1已知|a|＝4，|b|＝5，当(1)a∥b；(2)a⊥b；(3)a与b的夹角为30°时，分别求a与b的数量积.解(1)a∥b，若a与b同向，则θ＝0°，a·b＝|a|·|b|·cos 0°＝4×5＝20；若a与b反向，则θ＝180°，∴a·b＝|a|·|b|cos 180°＝4×5×(－1)＝－20.(2)当a⊥b时，θ＝90°，∴a·b＝|a|·|b|cos 90°＝0.(3)当a与b的夹角为30°时，a·b＝|a|·|b|cos 30°＝10 3.＝4×5×32反思与感悟求平面向量数量积的步骤是：①求a 与b 的夹角θ，θ∈；②分别求|a|和|b|；③求数量积，即a·b ＝|a|·|b|·cos θ，要特别注意书写时a 与b 之间用实心圆点“·”连结，而不能用“×”连结，也不能省去.跟踪训练1 已知|a |＝4，|b |＝3，当(1)a ∥b ；(2)a ⊥b ； (3)a 与b 的夹角为60°时，分别求a 与b 的数量积. 解 (1)当a ∥b 时，若a 与b 同向，则a 与b 的夹角θ＝0°，∴a·b ＝|a||b |cos θ＝4×3×cos 0°＝12. 若a 与b 反向，则a 与b 的夹角为θ＝180°， ∴a·b ＝|a||b |cos 180°＝4×3×(－1)＝－12. (2)当a ⊥b 时，向量a 与b 的夹角为90°， ∴a·b ＝|a||b |cos 90°＝4×3×0＝0. (3)当a 与b 的夹角为60°时， ∴a·b ＝|a||b |cos 60°＝4×3×12＝6.探究点二向量在轴上的正射影思考向量b 在a 方向上的正射影不是向量，而是数量，它的符号取决于夹角θ的范围.|b |cos θ>0|b |cos θ＝0|b |cos θ<0例2 －32，求a 与b 的夹角θ. 解 ∵⎩⎪⎨⎪⎧|a |cos θ＝－3，|b |cos θ＝－32，∴⎩⎨⎧a ·b|b |＝－3，a ·b |a |＝－32，即⎩⎪⎨⎪⎧－9|b |＝－3，－9|a |＝－32，，∴⎩⎪⎨⎪⎧|a |＝6，|b |＝3.∴cos θ＝a ·b |a ||b |＝－96×3＝－12.∵0≤θ≤π，∴θ＝120°.反思与感悟 (1)理清“谁在谁上”的正射影，再列方程，将条件转化解决. (2)注意数量积公式的变形式的灵活应用.跟踪训练2 已知|a |＝1，|b |＝1，a ，b 的夹角为120°，计算向量2a －b 在向量a ＋b 方向上的正射影的数量. 解 (2a －b )·(a ＋b )＝2a 2＋2a ·b －a ·b －b 2＝2a 2＋a ·b －b 2 ＝2×12＋1×1×cos 120°－12＝12.|a ＋b |＝(a ＋b )2＝a 2＋2a ·b ＋b 2＝1＋2×1×1×cos 120°＋1＝1.∴(2a －b )·(a ＋b )|a ＋b |＝12.探究点三平面向量数量积的性质思考1 设a 与b 都是非零向量，若a ⊥b ，则a·b 等于多少？反之成立吗？答 a ⊥b ⇔a·b ＝0思考2 当a 与b 同向时，a·b 等于什么？当a 与b 反向时，a·b 等于什么？特别地，a·a 等于什么？答当a 与b 同向时，a·b ＝|a||b |；当a 与b 反向时，a·b ＝－|a ||b |； a·a ＝a 2＝|a |2或|a |＝a·a .思考3 ︱a·b ︱与︱a||b ︱的大小关系如何？为什么？对于向量a ，b ，如何求它们的夹角θ？答︱a·b ︱≤︱a||b ︱，设a 与b 的夹角为θ，则a·b ＝|a||b |cos θ. 两边取绝对值得：|a·b |＝|a||b ||cos θ|≤|a||b |. 当且仅当|cos θ|＝1，即cos θ＝±1，θ＝0或π时，取“＝”. 所以|a·b |≤|a||b|.cos θ＝a·b|a||b |.例3 已知|a |＝|b |＝5，向量a 与b 的夹角为π3，求|a ＋b |，|a －b |.解 a·b ＝|a||b |cos θ＝5×5×12＝252.|a ＋b |＝(a ＋b )2＝|a |2＋2a·b ＋|b |2＝25＋2×252＋25＝5 3.|a －b |＝(a －b )2＝|a |2－2a·b ＋|b |2＝25－2×252＋25＝5.反思与感悟此类求解向量的模问题一般转化为求模平方，与向量数量积联系，要灵活应用a 2＝|a |2，勿忘记开方.跟踪训练3 已知单位向量e 1，e 2的夹角为60°，求向量a ＝e 1＋e 2，b ＝e 2－2e 1的夹角. 解 ∵e 1，e 2为单位向量且夹角为60°， ∴e 1·e 2＝1×1×cos 60°＝12.∵a ·b ＝(e 1＋e 2)·(e 2－2e 1)＝－2－e 1·e 2＋1＝－2－12＋1＝－32，|a |＝a 2＝(e 1＋e 2)2＝ 1＋2×12＋1＝3，|b |＝b 2＝(e 2－2e 1)2＝1＋4－4×12＝3，∴cos θ＝a ·b |a ||b |＝－32×13×3＝－12.又∵θ∈，∴θ＝120°. ∴a 与b 的夹角为120°.1.已知|a |＝8，|b |＝4，〈a ，b 〉＝120°，则向量b 在a 方向上正射影的数量为( ) A.4 B.－4 C.2 D.－2 答案 D解析 b 在a 方向上正射影的数量为|b |cos 〈a ，b 〉＝4×cos 120°＝－2. 2.若向量a ，b 满足|a |＝|b |＝1，a 与b 的夹角为120°，则a ·a ＋a ·b ＝________. 答案 12解析 a ·a ＋a ·b ＝12＋1×1×cos 120°＝12.3.在△ABC 中，|AB →|＝13，|BC →|＝5，|CA →|＝12，则AB →·BC →的值是________. 答案－25解析易知|AB →|2＝|BC →|2＋|CA →|2， C ＝90°.cos B ＝513，∴cos 〈AB →，BC →〉＝cos(180°－B ) ＝－cos B ＝－513.∴AB →·BC →＝|AB →|·|BC →|cos(180°－B ) ＝13×5×⎝⎛⎭⎫－513＝－25. 4.已知正三角形ABC 的边长为1，求： (1)AB →·AC →；(2)AB →·BC →；(3)BC →·AC →. 解 (1)∵AB →与AC →的夹角为60°. ∴AB →·AC →＝|AB →||AC →|cos 60°＝1×1×12＝12.(2)∵AB →与BC →的夹角为120°. ∴AB →·BC →＝|AB →||BC →|cos 120° ＝1×1×⎝⎛⎭⎫－12＝－12. (3)∵BC →与AC →的夹角为60°，∴BC →·AC →＝|BC →||AC →|cos 60°＝1×1×12＝12.1.两向量a 与b 的数量积是一个实数，不是一个向量，其值可以为正(当a ≠0，b ≠0,0°≤θ<90°时)，也可以为负(当a ≠0，b ≠0,90°<θ≤180°时)，还可以为0(当a ＝0或b ＝0或θ＝90°时).2.两个向量的数量积是两个向量之间的一种运算，与实数乘实数、实数乘向量的乘法运算是有区别的，在书写时一定要把它们严格区分开来，绝不可混淆.3.b在a方向上的正射影：|b|cos θ＝a·b|a|是一个数量而不是向量.具体情况可以借助下表分析：一、基础过关1.已知a、b为单位向量，其夹角为60°，则(2a－b)·b等于()A.－1B.0C.1D.2答案B解析因为a、b为单位向量，且其夹角为60°，所以a·b＝1×1×cos 60°＝12，(2a－b)·b＝2a·b－b2＝2×12－1＝0.2.已知|a|＝9，|b|＝62，a·b＝－54，则a与b的夹角θ为()A.45°B.135°C.120°D.150°答案B解析∵cos θ＝a·b|a||b|＝－549×62＝－22，∵0°≤θ≤180°，∴θ＝135°.3.|a |＝2，|b |＝4，向量a 与向量b 的夹角为120°，则向量a 在向量b 方向上的数量等于( ) A.－3 B.－2 C.2 D.－1 答案 D解析 a 在b 方向上的正射影的数量是|a |cos θ＝2×cos 120°＝－1. 4.已知a ⊥b ，|a |＝2，|b |＝3，且3a ＋2b 与λa －b 垂直，则λ等于( ) A.32 B.－32C.±32D.1答案 A解析 ∵(3a ＋2b )·(λa －b )＝3λa 2＋(2λ－3)a·b －2b 2 ＝3λa 2－2b 2＝12λ－18＝0.∴λ＝32.5.若a ·b <0，则a 与b 的夹角θ的取值范围是( ) A.π2，π) C.(π2，π0，π. 6.已知|a |＝2，|b |＝10，〈a ，b 〉＝120°，则向量b 在向量a 方向上的正射影的数量是________，向量a 在向量b 方向上的正射影的数量是________. 答案－5 －1解析 b 在a 方向上的正射影的数量为|b |cos 〈a ，b 〉＝10×cos 120°＝－5，a 在b 方向上的正射影的数量为|a |cos 〈a ，b 〉＝2×cos 120°＝－1.7.已知△ABC 中，AB →＝a ，AC →＝b ，当a ·b 满足下列条件时，能确定△ABC 的形状吗？ (1)a ·b <0；(2)a ·b ＝0；(3)a ·b >0. 解 ∵a ·b ＝AB →·AC →＝|AB →|·|AC →|·cos A .(1)当a ·b <0时，∠A 为钝角，△ABC 为钝角三角形； (2)当a ·b ＝0时，∠A 为直角，△ABC 为直角三角形； (3)当a ·b >0时，∠A 为锐角，△ABC 的形状不确定. 二、能力提升8.设非零向量a 、b 、c 满足|a |＝|b |＝|c |，a ＋b ＝c ，则〈a ，b 〉等于( ) A.150° B.120° C.60° D.30°答案 B解析 ∵a ＋b ＝c ，∴|c |2＝|a ＋b |2＝a 2＋2a ·b ＋b 2. 又|a |＝|b |＝|c |，∴2a ·b ＝－b 2，即2|a ||b |cos 〈a ，b 〉＝－|b |2.∴cos 〈a ，b 〉＝－12，∴〈a ，b 〉＝120°.9.已知单位向量e 1，e 2的夹角为α，且cos α＝13，若向量a ＝3e 1－2e 2，则|a |＝________.答案 3解析 |a |2＝a ·a ＝(3e 1－2e 2)·(3e 1－2e 2)＝9|e |2－12e 1·e 2＋4|e 2|2＝9－12×1×1×13＋4＝9.∴|a |＝3.10.已知a 是平面内的单位向量，若向量b 满足b·(a －b )＝0，则|b |的取值范围是________. 答案解析 b·(a －b )＝a·b －|b |2＝|a||b |cos θ－|b |2＝0， ∴|b |＝|a |cos θ＝cos θ (θ为a 与b 的夹角)，θ∈， ∴0≤|b |≤1.11.已知a ，b 都是非零向量，且a ＋3b 与7a －5b 垂直，a －4b 与7a －2b 垂直，求a 与b 的夹角.解由已知(a ＋3b )·(7a －5b )＝0，即7a 2＋16a ·b －15b 2＝0，① (a －4b )·(7a －2b )＝0，即7a 2－30a ·b ＋8b 2＝0，② 两式相减得2a ·b ＝b 2，∴a ·b ＝12b 2.代入①②中任一式得a 2＝b 2.设a ，b 夹角为θ，则cos θ＝a ·b |a ||b |＝12b 2|b |2＝12.∵0°≤θ≤180°，∴θ＝60°.12.在△ABC 中，已知|AB →|＝5，|BC →|＝4，|AC →|＝3，求： (1)AB →·BC →；(2)AC →在AB →方向上的正射影的数量； (3)AB →在BC →方向上的正射影的数量.解 ∵|AB →|＝5，|BC →|＝4，|AC →|＝3. ∴△ABC 为直角三角形，且C ＝90°. ∴cos A ＝AC AB ＝35，cos B ＝BC AB ＝45.(1)AB →·BC →＝－BA →·BC →＝－5×4×45＝－16；(2)|AC →|·cos 〈AC →，AB →〉＝AC →·AB →|AB →|＝5×3×355＝95；(3)|AB →|·cos 〈AB →，BC →〉＝BC →·AB →|BC →|＝－BA →·BC →|BC →|＝－5×4×454＝－4.三、探究与拓展13.已知正方形ABCD 的边长为2，E 为CD 的中点，则AE →·BD →＝________. 答案 2解析由题意知：AE →·BD →＝(AD →＋DE →)·(AD →－AB →)＝(AD →＋12AB →)·(AD →－AB →)＝AD →2－12AD →·AB →－12AB →2＝4－0－2＝2.。

2.1.1 向量的物理背景与概念 2.1.2向量的几何表示高一数学同步备课系列(人教A版必修4)

[变式训练]
下列说法正确的是 A．若a 与b 平行，b 与c平行，则a 与c一定平行 B．共线向量一定在同一直线上 C．若|a |>|b |，则a >b D．单位向量的长度为1
()
解析： A中，因为零向量与任意向量平行，若b ＝0，则a 与c
不一定平行．B中，共线向量不一定在同一直线上．C中，向量是既有大小，又有方向的量，不可以比较大小．显然D正确．故选D. 答案：D
[解析] (1)由向量的几何表示可知，可以写出12个向量，
它们分别是 ―AB→
，
―→ AC
，
―AD→ ， ―BC→
，
―→ BD
，
―CD→ ， ―B→A
，
―CA→，―D→A ，―C→B ，―D→B ，―D→C .
(2)①由于点A在点O北偏东45°处，所以在坐标纸上点A距点O
的横向小方格数与纵向小方格数相等．又
[变式训练]
1．[变设问]本例条件不变，试写出与向量―B→C 相等的向量．解：与向量―BC→相等的向量有―O→D ，―AO→，―FE→.
2．[变条件，变设问]在本例中，若|a |＝1，则正六边形的边长如何？解：由正六边形性质知，△FOA 为等边三角形，所以边长 AF＝|a |＝1.
谢谢大家
4．对相等向量与共线向量的理解 (1)理解平行向量的概念时，需注意平行向量和平行直线是有区别的，平行直线不包括重合的情况，而平行向量是可以重合的． (2)共线向量就是平行向量，其中“共线”的含义不是平面几何中“共线”的含义．实际上，共线向量(平行向量)有以下四种情况：方向相同且模相等；方向相同且模不等；方向相反且模相等；方向相反且模不等．这样，也就找到了共线向量与相等向量的关系，即共线向量不一定是相等向量，而相等向量一定是共线向量．

人教版高中数学必修4讲义 2.1 向量的物理背景与概念向量的几何表示

2.1 平面向量的实际背景及基本概念2.1.1 向量的物理背景与概念2.1.2 向量的几何表示 2.1.3 相等向量与共线向量1.理解向量的有关概念及向量的几何表示.(重点)2.理解共线向量、相等向量的概念.(难点)3.正确区分向量平行与直线平行.(易混点)[基础·初探]教材整理1 向量及其几何表示阅读教材P 74～P 75例1以上内容，完成下列问题. 1.向量与数量(1)向量：既有大小，又有方向的量叫做向量. (2)数量：只有大小，没有方向的量称为数量. 2.向量的几何表示(1)带有方向的线段叫做有向线段.它包含三个要素：起点、方向、长度.(2)向量可以用有向线段表示.向量AB →的大小，也就是向量 AB →的长度(或称模)，记作|AB →|.向量也可以用字母a ，b ，c ，…表示，或用表示向量的有向线段的起点和终点字母表示，例如，AB →，CD →.判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)向量可以比较大小.()(2)坐标平面上的x轴和y轴都是向量.()(3)某个角是一个向量.()(4)体积、面积和时间都不是向量.()【解析】因为向量之间不可以比较大小，故(1)错；x轴、y轴只有方向，没有大小，故(2)错；因为角只有大小没有方向，故(3)错；因为体积、面积和时间只有大小没有方向，都不是向量，所以(4)正确.【答案】(1)×(2)×(3)×(4)√教材整理2向量的有关概念阅读教材P75第十八行以下至P76例2以上内容，完成下列问题.零向量长度为0的向量，记作0单位向量长度等于1个单位的向量平行向量(共线向量)方向相同或相反的非零向量向量a，b平行，记作a∥b规定：零向量与任一向量平行相等向量长度相等且方向相同的向量向量a与b相等，记作a＝b判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)单位向量都平行.()(2)零向量与任意向量都平行.()(3)若a∥b，b∥c，则a∥c.()(4)|AB→|＝|BA→|.()【解析】(1)错误，长度等于1个单位长度的向量叫做单位向量，单位向量有无数多个且每个都有确定的方向，故单位向量不一定平行；(2)正确，零向量的方向是任意的，故零向量与任意向量都平行；(3)错误，若b＝0，则(3)不成立；(4)正确.【答案】(1)×(2)√(3)×(4)√[小组合作型]向量的有关概念判断下列命题是否正确，请说明理由：(1)若向量a与b同向，且|a|>|b|，则a>b；(2)若向量|a|＝|b|，则a与b的长度相等且方向相同或相反；(3)对于任意向量|a|＝|b|，若a与b的方向相同，则a＝b；(4)由于0方向不确定，故0不与任意向量平行；(5)向量a与向量b平行，则向量a与b方向相同或相反.【精彩点拨】解答本题应根据向量的有关概念，注意向量的大小、方向两个要素.【自主解答】(1)不正确.因为向量由两个因素来确定，即大小和方向，所以两个向量不能比较大小.(2)不正确.由|a|＝|b|只能判断两向量长度相等，不能确定它们的方向关系.(3)正确.因为|a|＝|b|，且a与b同向，由两向量相等的条件，可得a＝b.(4)不正确.依据规定：0与任意向量平行.(5)不正确.因为向量a与向量b若有一个是零向量，则其方向不定.求解向量的平行问题时不可忽视零向量的大小为零，方向任意；零向量与任一向量平行；所有的零向量相等.[再练一题]1.给出下列命题：①若|a|＝|b|，则a＝b或a＝－b；②向量的模一定是正数；③起点不同，但方向相同且模相等的几个向量是相等向量； ④向量AB →与CD →是共线向量，则A ，B ，C ，D 四点必在同一直线上. 其中正确命题的序号是________.【解析】 ①错误.由|a |＝|b |仅说明a 与b 模相等，但不能说明它们方向的关系. ②错误.0的模|0|＝0.③正确.对于一个向量只要不改变其大小和方向，是可以任意移动的.④错误.共线向量即平行向量，只要求方向相同或相反即可.并不要求两个向量AB →，CD →必须在同一直线上.【答案】 ③向量的表示及应用某人从A 点出发向东走了5米到达B 点，然后改变方向按东北方向走了102米到达C 点，到达C 点后又改变方向向西走了10米到达D 点.(1)作出向量AB →，BC →，CD →；(2)求AD →的模. 【导学号：00680033】【精彩点拨】可先选定向量的起点及方向，并根据其长度作出相关向量.可把AD →放在直角三角形中求得|AD →|.【自主解答】 (1)作出向量AB →，BC →，CD →，如图所示：(2)由题意得，△BCD 是直角三角形，其中∠BDC ＝90°，BC ＝102米，CD ＝10米，所以BD ＝10米.△ABD 是直角三角形，其中∠ABD ＝90°，AB ＝5米，BD ＝10米，所以AD ＝52＋(10)2＝55(米)，所以|AD →|＝55米.1.向量的两种表示方法：(1)几何表示法：先确定向量的起点，再确定向量的方向，最后根据向量的长度确定向量的终点.(2)字母表示法：为了便于运算可用字母a ，b ，c 表示，为了联系平面几何中的图形性质，可用表示向量的有向线段的起点与终点表示向量，如AB →，CD →，EF →等.2.两种向量表示方法的作用：(1)用几何表示法表示向量，便于用几何方法研究向量运算，为用向量处理几何问题打下了基础.(2)用字母表示法表示向量，便于向量的运算.[再练一题]2.一辆汽车从点A 出发，向西行驶了100公里到达点B ，然后又改变方向，向西偏北50°的方向行驶了200公里到达点C ，最后又改变方向，向东行驶了100公里达到点D.(1)作出向量AB →，BC →，CD →； (2)求|AD →|.【解】 (1)如图所示.(2)由题意知AB →与CD →方向相反，∴AB →与CD →共线， ∴在四边形ABCD 中，AB ∥CD.又∵|AB →|＝|CD →|， ∴四边形ABCD 为平行四边形， ∴|AD →|＝|BC →|＝200(公里).[探究共研型]相等向量与共线向量探究1 向量a ，b 共线，向量b ，c 共线，向量a 与c 是否共线？【提示】向量a 与c 不一定共线，因为零向量与任意向量都共线，若b ＝0，则向量a 与c 不一定共线.探究2 两个相等的非零向量的起点与终点是否都分别重合？【提示】不一定.因为向量都是自由向量，只要大小相等，方向相同就是相等向量，与起点和终点位置无关.(1)如图2-1-1，在等腰梯形ABCD 中.图2-1-1①AB →与CD →是共线向量； ②AB →＝CD →；③AB →>CD →. 以上结论中正确的个数是( ) A.0 B.1 C.2D.3(2)下列说法中，正确的序号是________.①若AB →与CD →是共线向量，则A ，B ，C ，D 四点必在一条直线上； ②零向量都相等；③任一向量与它的平行向量不相等；④若四边形ABCD 是平行四边形，则AB →＝DC →； ⑤共线的向量，若始点不同，则终点一定不同.【精彩点拨】可借助几何图形性质及向量相关概念进行判断.【自主解答】 (1)①因为AB →与CD →的方向不相同，也不相反，所以AB →与CD →不共线，即①不正确；②由①可知②也不正确；③因为两个向量不能比较大小，所以③不正确.(2)因为向量AB →与CD →是共线向量，它们的基线不一定是同一个，所以A ，B ，C ，D 也不一定在一条直线上，所以①错误；因为零向量的长度都为零，且其方向任意，所以零向量相等，所以②正确；因为平行向量的方向可以相同且大小也可以相等，所以任一向量与它的平行向量可能相等，即③错误；画出图形，可得AB →＝DC →，所以④正确；由共线向量的定义可知：共线的向量，始点不同，终点可能相同，所以⑤不正确.【答案】 (1)A (2)②④相等向量与共线向量需注意的四个问题：(1)相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定是相等向量.(2)两个向量平行与两条直线平行是两个不同的概念；两个向量平行包含两个向量有相同基线，但两条直线平行不包含两条直线重合.(3)平行(共线)向量无传递性(因为有0). (4)三点A ，B ，C 共线⇔AB →，AC →共线.[再练一题]3.如图2-1-2所示，O 是正六边形ABCDEF 的中心.图2-1-2(1)分别写出图中与OA →，OB →，OC →相等的向量； (2)与OA →的长度相等、方向相反的向量有哪些？【解】 (1)与OA →相等的向量有EF →，DO →，CB →；与OB →相等的向量有DC →，EO →，FA →；与OC →相等的向量有FO →，ED →，AB →.(2)与OA →的长度相等、方向相反的向量有OD →，BC →，AO →，FE →.1.下列说法中正确的个数是( ) ①身高是一个向量；②∠AOB 的两条边都是向量；③温度含零上和零下温度，所以温度是向量； ④物理学中的加速度是向量. A.0 B.1 C.2D.3【解析】只有④中物理学中的加速度既有大小又有方向是向量，①②③错误.④正确. 【答案】 B2.在下列判断中，正确的是( )【导学号：00680034】①长度为0的向量都是零向量；②零向量的方向都是相同的；③单位向量的长度都相等；④单位向量都是同方向；⑤任意向量与零向量都共线.A.①②③B.②③④C.①②⑤D.①③⑤【解析】由定义知①正确，②由于零向量的方向是任意的，故两个零向量的方向是否相同不确定，故不正确.显然③⑤正确，④不正确，故选D.【答案】 D3.设e1，e2是两个单位向量，则下列结论中正确的是()A.e1＝e2B.e1∥e2C.|e1|＝|e2|D.以上都不对【解析】单位向量的模都等于1个单位，故C正确.【答案】 C4.在下列命题中：①平行向量一定相等；②不相等的向量一定不平行；③共线向量一定相等；④相等向量一定共线；⑤长度相等的向量是相等向量；⑥平行于同一个非零向量的两个向量是共线向量.正确的命题是________. 【导学号：70512022】【解析】由向量的相关概念可知④⑥正确.【答案】④⑥→5.如图2-1-3所示，四边形ABCD是平行四边形，四边形ABDE是矩形，找出与向量AB 相等的向量.图2-1-3→，ED→与AB→的长【解】由四边形ABCD是平行四边形，四边形ABDE是矩形，知DC度相等且方向相同，所以与向量AB→相等的向量为DC→和ED→.。

人教版数学高一B版必修4学案向量数量积的物理背景与定义

2.3 平面向量的数量积2.3.1 向量数量积的物理背景与定义题．1．两个向量的夹角已知两个非零向量a ，b (如下图所示)，作OA →＝a ，OB →＝b ，则∠AOB 称作向量a 和向量b 的夹角，记作〈a ，b 〉，并规定0≤〈a ，b 〉≤π，在这个规定下，两个向量的夹角被唯一确定了，并且有〈a ，b 〉＝〈b ，a 〉．当〈a ，b 〉＝π2时，我们说向量a 和向量b 互相垂直，记作a ⊥b .规定零向量与任意向量垂直．【自主测试1】在等腰Rt △ABC 中，∠C ＝90°，则〈CA ，CB 〉＝__________，〈AB ，BC 〉＝__________.答案：90° 135° 2．向量在轴上的正射影(1)已知向量a 和轴l (如下图所示)，作OA →＝a ，过点O ，A 分别作轴l 的垂线，垂足分别为O 1，A 1，则向量O 1A 1→叫做向量a 在轴l 上的正射影(简称射影)．该射影在轴l 上的坐标，称作a 在轴l 上的数量或在轴l 的方向上的数量，记作a l ，向量a 的方向与轴l 的正向所成的角为θ，则有a l ＝|a |cos θ.(2)当θ为锐角时，a l ＞0；当θ为钝角时，a l ＜0；当θ＝0时，a l ＝|a |；当θ＝π时，a l ＝－|a |.名师点拨向量a 在轴l 上的正射影是向量a 在轴l 上的分向量；向量a 在轴l 上的数量是其正射影在轴l 上的坐标，与向量a 和轴l 所成的角有关．【自主测试2】已知|p |＝2，|q |＝3，且p 与q 的夹角θ为120°，则向量p 在向量q 方向上的数量为__________；向量q 在向量p 方向上的数量为__________．解析：向量p 在向量q 方向上的数量为|p |cos θ＝2×cos 120°＝－1.同理，向量q在向量p 方向上的数量为|q |cos θ＝3×cos 120°＝－32.答案：－1 －323．向量的数量积(内积)(1)定义：|a ||b |cos 〈a ，b 〉叫做向量a 和b 的数量积(或内积)，记作a·b ，即a·b ＝|a ||b |cos 〈a ，b 〉．(2)理解：两个向量的内积是一个实数，可以等于正数、负数、零．【自主测试3】若|a |＝3，|b |＝4，a ，b 的夹角为135°，则a ·b 等于( ) A ．－3 2 B ．－6 2 C ．6 2 D ．12解析：a ·b ＝|a ||b |cos 135°＝3×4×⎝ ⎛⎭⎪⎫－22＝－6 2.答案：B4．向量数量积的性质设a ，b 为两个非零向量，e 是单位向量，则有： (1)a·e ＝e·a ＝|a |cos 〈a ，e 〉；(2)a ⊥b ⇒a ·b ＝0，且a·b ＝0⇒a ⊥b ；(3)a·a ＝|a|2或|a |＝a ·a ；(4)cos 〈a ，b 〉＝a ·b|a ||b |(|a ||b |≠0)；(5)|a·b|≤|a||b|.【自主测试4－1】若m ·n ≤0，则m 与n 的夹角θ的取值范围是( ) A ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2 B ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫π2，πC ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，πD ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2答案：C【自主测试4－2】若向量a ，b 满足|a |＝|b |＝1，a 与b 的夹角为60°，则a ·a ＋a ·b 等于( )A ．12B ．32C ．32D ．2 解析：a ·a ＋a ·b ＝|a |2＋|a ||b |cos 60°＝1＋12＝32.答案：B向量的数量积与实数的乘法的区别剖析：(1)如果两个数a ，b 满足ab ＝0，则a 与b 中至少有一个为0.而a ·b ＝0可推导出以下四种可能：①a ＝0，b ＝0；②a ＝0，b ≠0；③a ≠0，b ＝0；④a ≠0，b ≠0，但a ⊥b .(2)对于数量，有实数a ，b ，c 满足ab ＝ac ，且a ≠0⇒b ＝c .但对于向量，这种推理不正确，即a ·b ＝a ·c ，且a ≠0推不出b ＝c .例如，|a |＝1，|b |＝22，|c |＝12，a 与b 的夹角为π4，a 与c 的夹角为0，显然a·b ＝a·c ＝12，但b≠c .(3)两个向量的数量积是两个向量之间的一种乘法，与以前学过的数的乘法是有区别的，在书写时一定要把它们严格区分开来，不可混淆．知识拓展(1)两个向量的数量积是一个数量，这个数量的大小与两个向量的长度及其夹角的余弦值有关．当0°≤θ＜90°时，a·b ＞0；当θ＝90°时，a·b ＝0；当90°＜θ≤180°时，a·b ＜0.(2)数量积的几何意义：数量积a·b 等于a 的长度|a |与b 在a 的方向上的数量|b |cos θ的乘积．知道了数量积的几何意义，可以帮助大家正确认识向量的数量积．如：当a ≠0时，由a·b ＝0不能推出b 一定是零向量，这是因为任一与a 垂直的非零向量b ，都有a·b ＝0.题型一求平面向量的数量积【例题1】已知|a |＝4，|b |＝5，当(1)a ∥b ；(2)a ⊥b ；(3)a 与b 的夹角为60°时，分别求a 与b 的数量积．分析：解答本题可利用平面向量数量积的定义直接运算．解：(1)∵a ∥b ，若a 与b 同向，则a 与b 的夹角θ＝0°， ∴a ·b ＝|a ||b |co s 0°＝4×5＝20；若a 与b 反向，则a 与b 的夹角θ＝180°， ∴a·b ＝|a ||b |cos 180°＝4×5×(－1)＝－20. (2)当a ⊥b 时，a 与b 的夹角θ＝90°， ∴a ·b ＝|a ||b |cos 90°＝0. (3)当a 与b 的夹角为60°时，a ·b ＝|a ||b |cos 60°＝4×5×12＝10.反思(1)求平面向量数量积的步骤是：①求a 与b 的夹角θ，0°≤θ≤180°；②分别求|a |和|b |；③求数量积，即a·b ＝|a ||b |cos θ.要特别注意书写时a 与b 之间用实心圆点“·”连接，而不能用“×”连接，也不能省去．(2)非零向量a 和b ，a ⊥b ⇔a·b ＝0.(3)非零向量a 与b 共线的充要条件是a·b ＝±|a ||b |. 题型二求平面向量的夹角【例题2】已知a ，b 是两个非零向量．(1)若|a |＝3，|b |＝4，|a·b |＝6，求a 与b 的夹角； (2)若|a |＝|b |＝|a －b |，求a 与a ＋b 的夹角．分析：利用向量数量积的公式或向量的几何意义求解．解：(1)∵a·b ＝|a |·|b |·cos〈a ，b 〉，∴|a·b |＝||a |·|b |·cos〈a ，b 〉|＝|a |·|b |·|cos〈a ，b 〉|＝6. 又∵|a |＝3，|b |＝4，∴|cos 〈a ，b 〉|＝6|a |·|b |＝63×4＝12，∴cos 〈a ，b 〉＝±12.∵〈a ，b 〉∈[0，π]，∴a 与b 的夹角为π3或2π3.(2)如图所示，在平面内取一点O ，作OA →＝a ，OB →＝b ，以OA →，OB →为邻边作平行四边形OACB ，使|OA →|＝|OB →|，∴四边形OACB 为菱形，OC 平分∠AOB ，这时OC →＝a ＋b ，BA →＝a －b ，由于|a |＝|b |＝|a－b |，即|OA →|＝|OB →|＝|AB →|，∴∠AOB ＝π3，∠AOC ＝12∠AOB ＝π6，即a 与a ＋b 的夹角为π6.反思求向量的夹角应用数量积的变形公式cos θ＝a·b|a ||b |，一般要求两个整体a·b ，|a ||b |，不方便求出时，可寻求两者之间的关系，转化条件解方程组，利用向量的几何意义简捷直观．题型三求平面向量的模【例题3】已知x ＝1是方程x 2＋|a |x ＋a·b ＝0的根，且a 2＝4，〈a ，b 〉＝120°，求向量b 的模．分析：利用向量数量积的公式及根与系数的关系求解．解：∵a 2＝4，∴|a |2＝4，∴|a |＝2.把x ＝1代入方程x 2＋|a |x ＋a·b ＝0，得1＋|a |＋a·b ＝0，∴a·b ＝－3，则a·b ＝|a |·|b |·cos〈a ，b 〉＝2|b |cos 120°＝－3，解得|b |＝3.反思利用向量的数量积求解长度问题是数量积的重要应用，要掌握此类问题的处理方法，主要利用b 2＝b·b ＝|b |2或|b |＝b·b .题型四易错辨析【例题4】已知|a |＝3，|b |＝4，且〈a ，b 〉＝60°，试求a 在b 方向上正射影的数量．错解：根据正射影的定义可知所求数量为a ·b ，即a ·b ＝|a ||b |cos 60°＝6. 错因分析：把a ·b 错误地理解成了a 在b 方向上正射影的数量，其实只有a ·e 才表示a 在e 方向上正射影的数量．正解：根据正射影的定义，可知所求的数量为|a |cos 60°＝3×12＝32.【例题5】已知在△ABC 中，BC ＝a ＝5，AC ＝b ＝8，∠ACB ＝60°，求BC ·C A →.错解：如图，因为|BC |＝a ＝5，|CA |＝b ＝8，∠ACB ＝60°，所以BC ·CA ＝|BC |·|CA |·cos∠ACB ＝5×8×cos 60°＝20.错因分析：对向量的夹角理解有误，其实BC 与CA 的夹角应为120°.正解：因为|BC |＝a ＝5，|CA |＝b ＝8，〈BC ，CA 〉＝180°－∠ACB ＝180°－60°＝120°，所以BC ·CA ＝|BC |·|CA |·cos〈BC ，CA 〉＝5×8×cos 120°＝－20.1．在△ABC 中，若∠C ＝90°，AC ＝BC ＝4，则BA →·BC →等于( ) A ．16 B ．8 C ．－16 D ．－8 解析：∵∠C ＝90°，AC ＝BC ＝4， ∴△ABC 为等腰直角三角形， ∴BA ＝42，∠ABC ＝45°. ∴BA →·BC →＝4×42×cos 45°＝16. 答案：A2．已知a ·b ＝－122，|a |＝4，〈a ，b 〉＝135°，则|b |＝( ) A ．12 B ．3 C ．6 D ．3 3解析：∵a ·b ＝|a |·|b |·cos〈a ，b 〉＝－122，∴|b |＝－1224×⎝ ⎛⎭⎪⎫－22＝6.答案：C3．在△ABC 中，AB →·AC →＜0，则△ABC 是( ) A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形 D ．等边三角形解析：∵AB →·AC →＝|AB →||AC →|cos A ＜0，∴cos A ＜0. ∴∠A 是钝角．∴△ABC 是钝角三角形．答案：C4．(2012·广东揭阳测试)如图，已知ABCDEF 是边长为1的正六边形，则BA →·(BC →＋AF →)的值为( )A ．－1B ．1C ． 3D ．0解析：BA →·(BC →＋AF →)＝BA →·(BC →＋CD →)＝BA →·BD →＝0，故选D ．答案：D 5．已知向量a ，b 满足|b |＝2，a 与b 的夹角为60°，则b 在a 上的数量是__________．解析：b 在a 上的数量是|b |cos 60°＝2×12＝1.答案：16．已知|a |＝10，|b |＝12，且a ·b ＝－60，则a 与b 的夹角为__________．解析：∵a ·b ＝|a ||b |cos 〈a ，b 〉＝10×12co s 〈a ，b 〉＝－60，∴cos 〈a ，b 〉＝－12.∵0°≤〈a ，b 〉≤180°，∴a 与b 的夹角为120°.答案：120°。

1.向量的物理背景与概念及向量的几何表示最后更新

思考4：力既有大小，又有方向，在物理学中称为矢量,你还能指出哪些物理量是矢量吗？
思考5：数学中，把既有大小，又有方向的量叫做向量，把只有大小，没有方向的量称为数量.那么年龄、身高、体重、面积、体积、温度、时间、路程是向量吗？
合作探究
1. 向量的概念：我们把既有大小又有方向的量叫向量.
合作探究
2. 数量与向量的区别：数量只有大小，是一个代数量，可以进行代数运算、比较大小；向量有方向，大小，双重性，不能比较大小.
a A(起点) B (终点)
思考6：对于一个实数，可以用数轴上的点表示；对于一个角的正弦、余弦和正切，可以用三角函数线表示；对于一个二次函数，可以用一条抛物线表示….数学中有许多量都可以用几何方式表示，你认为如何用几何方式表示向量最合适？
说明：
零向量、单位向量的定义都只是限制了大小.
合作探究
6.平行向量定义： ①方向相同或相反的非零向量叫平行向量； ②我们规定0与任一向量平行. a b c
合作探究
6.平行向量定义： ①方向相同或相反的非零向量叫平行向量； ②我们规定0与任一向量平行. a b c
说明：
(1) 综合①、②才是平行向量的完整定义； (2) 向量a、b、c平行，记作a∥b∥c.
A D C
东
练习.如图，四边形ABCD为正方形，△BCE为等腰直角三角形.以图中各点为起点和终点，写出与向量 AB 模相等的所有向量.
D C
A
B
E
课堂小结
1.描述向量的两个指标：模和方向. 2. 平面向量的概念和向量的几何表示； 3. 向量的模、零向量、单位向量、平行
向量等概念.
限时抢答
C
合作探究

向量的物理背景与概念课件-2022-2023学年高一下学期数学人教A版(2019)必修第二册

数量常常用数轴上的一个点表示.如3，2，-1
-1
0
1
2
3
1.向量的几何表示：
因为向量既有大小又有方向，所以向量常用带
有方向的线段来表示
B(终点)
●
具有方向的线段叫做有向线段。
以A为起点，B为终点的有向线段记作：AB
A(起点)
有向线段AB的长度记作：
|AB|
有向线段的三个要素：起点、方向、长度
2、向量的字母表示: 向量AB ，CD
向量a ，b , c等等
向量 AB 的大小(长度、模)记作： | AB|
(2)两个特殊向量：
长度为0的向量叫做零向量 ,记作：
0
长度为1的向量叫做单位向量
注意：向量:与起点无关.用有向线段表示向量时,起点可
以取任意位置. 数学中的向量也叫自由向量.
向量之间的关系
平行向量：方向相同或相反的非零向量
如：
如：年龄、身高、长度、面积等
讲授新课：
2.1.1向量的物理背景与概念
定义：既有大小又有方向的量叫向量.
只有大小没有方向的量叫数量.
注：1.向量两要素：大小、方向
2.向量与数量的区别：
①数量只有大小，可以比较大小。
②向量有方向，大小双重属性，而方向是
不能比较大小的，因此向量不能比较大小。
2.1.2向量的几何表示
vector）．
a ．b
符号表示：向量 a与相等，记作
＝
b
图形表示：
a
b
2.共线向量
平行向量也叫做共线向量（collinear vectors）．
思考3 向量平行、共线与线段的平行、共线有什么区别和
联系?
a

高一数学人教A版必修四教案：2.1 平面向量的实际背景及基本概念 Word版含答案

第二章平面向量§2.1 平面向量的实际背景及基本概念（一）导入新课思路1.(情境导入)如图1,在同一时刻,老鼠由A向西北方向的C处逃窜,猫在B处向正东方向的D处追去,猫能否追到老鼠呢？学生马上得出结论:追不上,猫的速度再快也没用,因为方向错了.教师适时设问:如何从数学的角度来揭示这个问题的本质？由此展开新课.图1思路2.两列火车先后从同一站台沿相反方向开出,各走了相同的路程,怎样用数学式子表示这两列火车的位移？从中国象棋中规定“马”走日,象走“田”,让学生在图上画出马、象走过的路线引入也是一个不错的选择.（二）推进新课、新知探究、提出问题①在物理课中,我们学过力的概念.请回顾一下力的三要素是什么？还有哪些量和力具有同样特征呢?这些量的共同特征是什么？怎样利用你所学的数学中的知识抽象这些具有共同特征的量呢？②新的概念是对这些具有共同特征的量的描述,应怎样定义这样的量呢？③数量与向量的区别在哪里？活动:教师指导学生阅读教材,思考讨论并解决上述问题,学生讨论列举与位移一样的一些量.物体受到的重力是竖直向下的,物体的质量越大,它受到的重力越大；物体在液体中受到的浮力是竖直向上的,物体浸在液体中的体积越大它受到的浮力就越大；速度与加速度都是既有大小,又有方向的量；物理中的动量与矢量都有方向,且有大小；物理学中存在着许多既有大小,又有方向的量.教师引导学生观察思考这些量的共同特征,我们能否在数学学科中对这些量加以抽象,形成一种新的量.至此时机成熟,引入向量,并把那些只有大小,没有方向的量,如年龄、身高、长度、面积、体积、质量等称为数量,物理学上称为标量.显然数量和向量的区别就在于方向问题. 讨论结果:①略.②我们把既有大小,又有方向的量叫做向量.物理中称为矢量.③略.提出问题①如何表示向量?②有向线段和线段有何区别和联系？分别可以表示向量的什么?③长度为零的向量叫什么向量？长度为1的向量叫什么向量?④满足什么条件的两个向量是相等向量？单位向量是相等向量吗?⑤有一组向量,它们的方向相同或相反,这组向量有什么关系？怎样定义平行向量?⑥如果把一组平行向量的起点全部移到一点O,它们是不是平行向量？这时各向量的终点之间有什么关系?⑦数量与向量有什么区别?⑧数学中的向量与物理中的力有什么区别?活动:教师指导学生阅读教材,通过阅读教材思考讨论以上问题.特别是有向线段,是学习向量的关键.但不能说“向量就是有向线段,有向线段就是向量”,有向线段只是向量的一种几何表示,二者有本质的区别.向量只由方向和大小决定,而与向量的起点的位置无关,但有向线段不仅与方向、长度有关,也与起点的位置有关.如图2,在线段AB的两个端点中,规定一个顺序,假设A为起点、B为终点,我们就说线段AB具有方向,具有方向的线段叫做有向线段,通常在有向线段的终点处画上箭头表示它的方向.以A为起点、B为终点的有向线段记作AB.起点要写在终点的前面.|.有向线段包含三个要素:已知,线段AB的长度也叫做有向线段的长度,记作AB起点、方向、长度.图2知道了有向线段的起点、方向和长度,它的终点就唯一确定.用有向线段表示向量的方法是:1°起点是A,终点是B的有向线段,对应的向量记作:.这里要提醒学生注意AB的方向是由点A指向点B,点A是向量的起点.2°用字母a,b,c,…表示.(一定要学生规范书写:印刷用黑体a,书写用a)3°向量(或a)的大小,就是向量(或a)的长度(或称模),记作||(或|a|).教师要注意引导学生将数量与向量的模进行比较,数量有大小而没有方向,其大小有正、负和0之分,可进行运算,并可比较大小;向量的模是正数或0,也可以比较大小.由于方向不能比较大小,像a＞b就没有意义,而|a|>|b|有意义.讨论结果:①向量也可用字母a,b,c,…表示(印刷用粗黑体表示),手写用a →来表示,或用表示向量的有向线段的起点和终点字母表示,如AB、.注意:手写体上面的箭头一定不能漏写.②有向线段:具有方向的线段就叫做有向线段,其有三个要素:起点、方向、长度.向量与有向线段的区别:向量只有大小和方向两个要素,与起点无关,只要大小和方向相同,则这两个向量就是相同的向量；有向线段有起点、大小和方向三个要素,起点不同,尽管大小和方向相同,也是不同的有向线段.图3③长度为0的向量叫零向量,长度为1个单位长度的向量,叫单位向量.但要注意,零向量、单位向量的定义都只是限制了大小.长度为0的向量叫做零向量,记作0,规定零向量的方向是任意的.长度等于1个单位的向量,叫做单位向量.④长度相等且方向相同的向量叫做相等向量.⑤是平行向量.平行向量定义的理解:第一,方向相同或相反的非零向量叫平行向量;第二,我们规定0与任一向量平行即0∥a.综合第一、第二才是平行向量的完整定义；向量a,b,c平行,记作a∥b∥c.如图3.图4又如图4,a,b,c是一组平行向量,任作一条与a所在直线0平行的直线l,在l上任取一点O,则可在l上分别作出OA＝a,OB=b,OC=c.这就是说,任一组平行向量都可以移动到同一直线上,因此,平行向量也叫做共线向量.说明:平行向量可以在同一直线上,要区别于两平行线的位置关系.⑥是共线向量,也就是平行向量.但要注意,平行向量就是共线向量,这是因为任一组平行向量都可移到同一直线上(与有向线段的起点无关).平行向量可以在同一直线上,要区别于两平行线的位置关系；共线向量可以相互平行,要区别于在同一直线上的线段的位置关系.⑦数量只有大小,是一个代数量,可以进行代数运算、比较大小；向量有方向、大小双重性质,不能比较大小.⑧力有大小、方向、作用点三个要素,而数学中的向量是由物理中的力抽象出来的,只有大小与方向两个要素,与起点的位置无关.（三）应用示例例1 如图5,试根据图中的比例尺以及三地的位置,在图中分别用有向线段表示A地至B、C 两地的位移.(精确到1 km)图5分析:本例是一个简单的实际问题,要求画出有向线段表示位移,目的在于巩固向量概念及其几何表示.解:AB表示A地至B地的位移,且|AB|≈232 km;(AB长度×8 000 000÷100 000) 表示A地至C地的位移,且||≈296 km.(AC长度×8 000 000÷100 000)点评:位置是几何学研究的重要内容之一,几何中常用点表示位置,研究如何由一点的位置确定另外一点的位置.如图5,由A点确定B点、C点的位置.变式训练一个人从A 点出发沿东北方向走了100 m 到达B 点,然后改变方向,沿南偏东15°方向又走了100 m 到达C 点,求此人从C 点走回A 点的位移.图6解:根据题意画出示意图,如图6所示. ||=100 m,|BC |=100 m,∠ABC=45°+15°=60°,∴△ABC 为正三角形.∴|CA |=100 m,即此人从C 点返回A 点所走的路程为100 m.∵∠BAC=60°,∴∠CAD=∠BAC-∠BAD=15°,即此人行走的方向为西偏北15°.故此人从C 点走回A 点的位移为沿西偏北15°方向100 m.图7例2 判断下列命题是否正确,若不正确,请简述理由. (1)ABCD 中,与是共线向量;(2)单位向量都相等.活动:教师引导学生画出平行四边形,如图7.因为AB//CD,所以AB ∥CD .由于上面已经明确,单位向量只限制了大小,方向不确定,所以单位向量不一定相等,即单位向量模均相等且为1,但方向不确定.解:(1)正确;(2)不正确.点评:本题考查基本概念,对于单位向量、平行向量的概念特征及相互关系必须把握好.图8例3 如图8,设O 是正六边形ABCDEF 的中心,分别写出图中所示向量与OC OB OA相等的量. 活动:本例是结合正六边形的一些几何性质,让学生巩固相等向量和平行向量的概念,正六边形是边长等于半径并且对边互相平行的正多边形,它既是轴对称图形,又是中心对称图形,具有丰富的几何性质.教科书中要求判断与EF,与AF是否相等,是要通过长度相等方向相反的两个向量的不等,让学生从反面认识向量相等的概念.解:==;==;===.点评:向量相等是一个重要的概念,今后经常用到.让学生在训练中明确,向量相等不仅大小相等,还要方向相同.变式训练本例变式一:与向量长度相等的向量有多少个？(11个)本例变式二:是否存在与向量OA长度相等、方向相反的向量？(存在)例4 下列命题正确的是( )A.a与b共线,b与c共线,则a与c也共线B.任意两个相等的非零向量的始点与终点是一平行四边形的四顶点C.向量a与b不共线,则a与b都是非零向量D.有相同起点的两个非零向量不平行活动:由于零向量与任一向量都共线,所以A不正确.由于数学中研究的向量是自由向量,所以两个相等的非零向量可以在同一直线上,而此时就构不成四边形,根本不可能是一个平行四边形的四个顶点,所以B不正确.向量的平行只要方向相同或相反即可,与起点是否相同无关,所以D不正确.对于C,其条件以否定形式给出,所以可从其逆否命题来入手考虑,假若a与b不都是非零向量,即a与b至少有一个是零向量,而由零向量与任一向量都共线,可有a与b共线,不符合已知条件,所以有a与b都是非零向量,即只有C正确.答案:C点评:对于有关向量基本概念的考查,可以从概念特征入手,也可以从反面进行考虑.即要判断一个结论不正确,只需举一个反例即可.要启发学生注意这两方面的结合.变式训练1.判断:(1)平行向量是否一定方向相同？(不一定)(2)不相等的向量是否一定不平行？(不一定)(3)与零向量相等的向量必定是什么向量？(零向量)(4)与任意向量都平行的向量是什么向量？(零向量)(5)若两个向量在同一直线上,则这两个向量一定是什么向量？(平行向量)(6)两个非零向量相等当且仅当什么？(长度相等且方向相同)(7)共线向量一定在同一直线上吗？(不一定)2.把一切单位平面向量归结到共同的始点,那么这些向量的终点所构成的图形是( )A.一条线段B.一段圆弧C.两个点D.一个圆答案:D3.将平行于一直线的所有单位向量的起点平移到同一始点,则这些向量的终点所构成的图形是( )A.一个点B.两个点C.一个圆D.一条线段答案:B（四）课堂小结本节课从平面向量的物理背景和几何背景入手,利用类比的方法,介绍了向量的两种表示方法:几何表示和字母表示,几何表示为用向量处理几何问题打下了基础,字母表示则利于向量的运算；然后又介绍了向量的模、平行向量、共线向量、相等向量等重要概念,这些概念是进一步学习后续课程的基础,必须要在理解的基础上把握好.（五）作业。

高一数学人教A版必修四教案：2.1 平面向量的实际背景及基本概念 Word版含答案

第二章平面向量本章教材分析1．丰富多彩的背景,引人入胜的内容.教材首先从力、位移等量讲清向量的实际背景以及研究向量的必要性,接着介绍了平面向量的有关知识.学生将了解向量丰富的实际背景,理解平面向量及其运算的意义,能用向量语言与方法表述和解决数学、物理中的一些问题,发展运算能力和解决实际问题的能力.平面向量基本定理是平面向量正交分解及坐标表示的基础,从学生熟知的功的概念出发,引出了平面向量数量积的概念及其几何意义,接着介绍了向量数量积的性质、运算律及坐标表示.向量数量积把向量的长度和三角函数联系了起来,这样为解决有关的几何问题提供了方便,特别能有效地解决线段的垂直问题.最后介绍了平面向量的应用.2．教学的最佳契机,全新的思维视角.向量具有几何形式和代数形式的“双重身份”,这一概念是由物理学和工程技术抽象出来的.反过来,向量的理论和方法,又成为解决物理学和工程技术的重要工具,向量之所以有用,关键是它具有一套良好的运算性质,通过向量可把空间图形的性质转化为向量的运算,这样通过向量就能较容易地研究空间的直线和平面的各种有关问题.这一章的内容虽然概念多,但大都有其物理上的来源,虽然抽象,却与图形有着密切的联系,向量应用的优越性也是非常明显的.全新的思维视角,恰当的教与学,使得向量不仅生动有趣,而且是培养学生创新精神与能力的极佳契机.3．本章充分体现出新教材特点.以学生已有的物理知识和几何内容为背景,直观介绍向量的内容,注重向量运算与数的运算的对比,特别注意知识的发生过程.对概念、法则、公式、定理等的处理主要通过观察、比较、分析、综合、抽象、概括得出结论.这一章中的一些例题,教科书不是先给出解法,而是先进行分析,探索出解题思路,再给出解法.解题后有的还总结出解决该题时运用的数学思想和数学方法,有的还让学生进一步考虑相关的问题.对知识的处理,都尽量设计成让学生自己观察、比较、猜想、分析、归纳、类比、想象、抽象、概括的形式,从而培养学生的思维能力.向量的坐标实际上是把点与数联系起来,进而可把曲线与方程联系起来,这样就可用代数方程研究几何问题,同时也可以用几何的观点处理某些代数问题.4.§2.1 平面向量的实际背景及基本概念一、教学分析本节是本章的入门课,概念较多,但难度不大.学生可根据原有的位移、力等物理概念来学习向量的概念,结合图形实物区分平行向量、相等向量、共线向量等概念.由于向量来源于物理,并且兼具“数”和“形”的特点,所以它在物理和几何中具有广泛的应用,可通过几个具体的例子说明它的应用.位移是物理中的基本量之一,也是几何研究的重要对象.几何中常用点表示位置,研究如何由一点的位置确定另外一点的位置.位移简明地表示了点的位置之间的相对关系,它是向量的重要的物理模型.力是常见的物理量.重力、浮力、弹力等都是既有大小又有方向的量.物理中还有其他力,让学生举出物理学中力的其他一些实例,目的是要建立物理课中学过的位移、力及矢量等概念与向量之间的联系,以此更加自然地引入向量概念,并建立学习向量的认知基础.二、教学目标1、知识与技能：了解向量的实际背景，理解平面向量的概念和向量的几何表示；掌握向量的模、零向量、单位向量、平行向量、相等向量、共线向量等概念；并会区分平行向量、相等向量和共线向量。

高一数学人教A版必修4练习2.1 平面向量的实际背景及基本概念 Word版含解析

第二章平面向量
．平面向量的实际背景及基本概念
．通过再现物理学中学过的力、位移等概念与向量之间的联系，在类比抽象过程中引入向量概念，并建立学生学习向量的认知基础．．理解向量的有关概念：向量的表示法、向量的模、单位向量、相等向量、共线向量．
一、向量的概念
．向量的实际背景．
有下列物理量：位移、路程、速度、速率、力、质量、密度，
其中位移、速度、力都是既有大小又有方向的量．路程、速率、质量、密度都是只有大小的量．
．平面向量是既有大小又有方向的量，向量不能
比较大小．数量是只有大小没有方向的量，数量能比较大小．
练习：时间、温度、位移、质量、体积、力，哪些是向量？
答案：位移、力
．直角坐标平面上的轴、轴都是向量吗？数学中的向量与物理中的力有区别吗？
解析：轴，轴只有方向，没有大小，因而不是向量．数学中的向量是自由向量与起点无关，只要大小相等，方向相同，两个向量就是相等向量，而物理上的力是非自由向量，因为力这个向量还和作用点(即起点)有关．
二、向量的几何表示
．有向线段是带有方向的线段，通常在有向线段的终点处画上箭头表示它的方向．以为起点，为终点的有向线段记作．起点要写在终点的前面．
有向线段包含三个要素起点、方向、长度．
．向量的有向线段表示方法．
向量常用带箭头的线段表示，它的长短表示向量的大小，箭头的指向表示向量的方向．
．向量也可以用黑体的字母表示，如，，.
强调：箭头不能不写，否则表示数量．
．向量的模．。

人教A版高中数必修四作业25-向量的物理背景与概念、几何表示(答案)

信达作业25-向量的物理背景与概念、几何表示(答案)班级___________姓名__________1．给出下列物理量：①密度；②温度；③速度；④质量；⑤功；⑥位移.正确的是(D) A.①②③是数量，④⑤⑥是向量B.②④⑥是数量，①③⑤是向量 C.①④是数量，②③⑤⑥是向量D.①②④⑤是数量，③⑥是向量 2.下列说法错误的是(D)A.向量AB⃗⃗⃗⃗⃗ 与BA ⃗⃗⃗⃗⃗ 的长度相同B.单位向量的长度都相等 C.向量的模是一个非负实数D.零向量是没有方向的向量3.给出下列结论：①数轴是向量；②角有正角和负角之分，所以角是向量.其中(D) A.①正确，②错误B.①错误，②正确 C.①②都正确D.①②都错误4.关于零向量，下列说法中错误的是(A) A.零向量是没有方向的B.零向量的长度是0C.零向量与任一向量平行D.零向量的方向是任意的 5.下列说法中错误的是()（A ）有向线段可以表示向量但不是向量，且向量也不是有向线段（B ）若向量a →与b →不共线，则a →与b →都是非零向量（C ）长度相等但方向相反的两个向量不一定共线（D ）方向相反的两个非零向量必不相等【解析】选C.6.若向量a 与任意向量b ⃗ 都平行，则a =__0→___；若|a |=1,则向量a 是单位向量 .7.把平面上一切单位向量的终点放在同一点,那么这些向量的起点所构成的图形是单位信达圆 .把平行于某一直线的一切向量平移到同一起点，则这些向量的终点构成的图形是_______. 8.给出下列命题：①向量的大小是实数②平行向量的方向一定相同③向量可以用有向线段表示④向量就是有向线段正确的有 ①③ .9.给出下列命题：①若|a |=0,则a =0；②若a 是单位向量，则|a |=1；③a 与b ⃗ 不平行，则a 与b⃗ 都是非零向量.其中真命题是 ②③ (填序号) 11.举例说明：“如果a //b ⃗ ,b ⃗ //c ,那么a //c ”是一个假命题. 答案：当b →是两向量，而a →,c →均不是零向量时，这是假命题12.下列各组中的两个量是不是向量？如果是向量，说明它们是不是平行向量. (1)两个平面图形各自的面积.答案：不是向量(2)停放在广场上的两辆小汽车各自受到的重力.答案：是向量，是平行向量 (3)小船驶向河对岸的速度与水流速度.答案：是向量，不是平行向量 (4)浮在水面的物体受到的重力与与浮力.答案：是向量，是平行向量13.如图，D 、E 、F 分别是ΔABC 的边AB 、BC 、CA 的中点，写出以A 、B 、C 、D 、E 、F 这六个点中任意两个点为起点和终点的向量中，与DF⃗⃗⃗⃗⃗ 平行的所有向量.答案：BE →,EC →,BC →,EB →,CE →,CB →14.如图，ABCD 的对角线交于点O,则在以A 、B 、C 、D 、O 这五个点中任意两个点为起点和终点的向量中，与和AD ⃗⃗⃗⃗⃗ 都不平行的向量有哪些？答案：AO →,AC →,OC →,CO →,CA →,OA →, BO →,BD →,OD →,DO →,DB →,OB →B AC信达15.如图所示，四边形ABCD 和BCED 都是平行四边形,（1）写出与BC →相等的向量：_______.（2）写出与BC →共线的向量：_______. 【解析】由相等向量和共线向量概念可求. 答案：(1)AD →,DE →(2)CB →,AD →,DA →,DE →,ED →,AE →,EA →16.一位模型赛车手遥控一辆赛车沿正东方向行进1米，逆时针方向转变α度，继续按直线向前行进1米，再逆时针方向转变α度，按直线向前行进1米，按此方法继续操作下去. （1）按1∶100比例作图说明当α=45°时，操作几次时赛车的位移为零；（2）按此法操作使赛车能回到出发点，α应满足什么条件？【解析】（1）如图所示，操作8次后，赛车的位移为零；（2）要使赛车能回到出发点，只需赛车的位移为零，按（1）的方式作图，则所作图形是内角为180°-α的正多边形，故有：n(180°-α)=(n-2)180°. ∴即α=360°n ,n 为不小于3的整数.。

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精校版作业25-向量的物理背景与概念、几何表示(答案)
班级___________ 姓名__________
1．给出下列物理量：①密度；②温度；③速度；④质量；⑤功；⑥位移. 正确的是 ( D )
A. ①②③是数量，④⑤⑥是向量
B. ②④⑥是数量，①③⑤是向量
C. ①④是数量，②③⑤⑥是向量
D. ①②④⑤是数量，③⑥是向量
2. 下列说法错误的是 ( D )
A. 向量与的长度相同
B. 单位向量的长度都相等
C. 向量的模是一个非负实数
D. 零向量是没有方向的向量
3. 给出下列结论：①数轴是向量；②角有正角和负角之分，所以角是向量.其中 ( D )
A. ①正确，②错误
B. ①错误，②正确
C. ①②都正确
D. ①②都错误
4. 关于零向量，下列说法中错误的是 ( A )
A. 零向量是没有方向的
B. 零向量的长度是0
C. 零向量与任一向量平行
D. 零向量的方向是任意的
5. 下列说法中错误的是 ( )
（A ）有向线段可以表示向量但不是向量，且向量也不是有向线段（B ）若向量a →与b →不共线，则a →与b →都是非零向量
（C ）长度相等但方向相反的两个向量不一定共线
（D ）方向相反的两个非零向量必不相等
【解析】选C.
6. 若向量与任意向量都平行，则=__0→___；若||=1,则向量是单位向量 .
7. 把平面上一切单位向量的终点放在同一点,那么这些向量的起点所构成的图形是单位圆 . 把平行于某一直线的一切向量平移到同一起点，则这些向量的终点构成的图形是_______.
8. 给出下列命题：
①向量的大小是实数 ② 平行向量的方向一定相同 ③向量可以用有向线段表示 ④向量就是有向线段正确的有 ①③ .
9. 给出下列命题：①若||=0,则=0；②若是单位向量，则||=1；③与不平行，则与都是非零向量. 其中真命题是 ②③ (填序号)
11. 举例说明：“如果//, //,那么//”是一个假命题.
答案：当b →是两向量，而a →, c →均不是零向量时，这是假命题
12. 下列各组中的两个量是不是向量？如果是向量，说明它们是不是平行向量.
(1) 两个平面图形各自的面积. 答案：不是向量
(2) 停放在广场上的两辆小汽车各自受到的重力. 答案：是向量，是平行向量
(3) 小船驶向河对岸的速度与水流速度. 答案：是向量，不是平行向量
(4) 浮在水面的物体受到的重力与与浮力. 答案：是向量，是平行向量
13. 如图，D 、E 、F 分别是ΔABC 的边AB 、BC 、CA 的中点，写出以A 、B 、C 、D 、E 、F
这六个点中任意两个点为起点和终点的向量中，与
平行的所有向量.
答案： BE →, EC →,BC →, EB →, CE →, CB →
F
D B
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14. 如图，
ABCD 的对角线交于点O,则在以A 、B 、C 、D 、O 这五个点中任意两个点为起点和终点的向量中，与和都不平行的向量有哪些？
答案：AO →, AC →, OC →, CO →, CA →, OA →, BO →, BD →, OD →, DO →, DB →, OB →
15. 如图所示，四边形ABCD 和BCED 都是平行四边形,
（1）写出与BC →相等的向量：_______.
（2）写出与BC →共线的向量：_______.
【解析】由相等向量和共线向量概念可求.
答案：
(1) AD →, DE → (2) CB →, AD →, DA →, DE →, ED →, AE →, EA →
16.一位模型赛车手遥控一辆赛车沿正东方向行进1米，逆时针方向转变α度，继续按直线向前行进1米，再逆时针方向转变α度，按直线向前行进1米，按此方法继续操作下去.
（1）按1∶100比例作图说明当α=45°时，操作几次时赛车的位移为零；
（2）按此法操作使赛车能回到出发点，α应满足什么条件？
【解析】（1）如图所示，操作8次后，赛车的位移为零；
（2）要使赛车能回到出发点，只需赛车的位移为零，按（1）的方式作图，则所作图形是内角为180°-α的正多边形，故有：n(180°-α)=(n -2)180°.
∴即α=360°
n , n 为不小于3的整数.
O
D A C。

人教版高中数学高一-作业25-向量的物理背景与概念、几何表示(答案)

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