平面向量数量积的物理背景及其意义
平面向量数量积的物理背景及其含义 课件
数的积是一个实数.
(2)从运算的表示方法上看,两个向量a,b的数量积称为内积,写成
a·b;大学里还要学到两个向量的外积a×b,而a·b是两个向量的数量
积,因此书写时要严格区分,符号“·”在向量运算中既不能省略,也不
能用“×”代替;向量的数乘的写法同单项式的写法;实数的乘法的写
a·b;(2)求|x a+y b|2=x2|a|2+2xy a·b+y2|b|2;(3)求|x a+y b|.
题型三
求两向量的夹角
【例 3】 已知|a|=1,|b|=4,(a-b)·(a+2b)=-29,求 a 与 b 的夹角 θ.
分析:求出 a,b 的数量积 a·b,代入夹角公式求得 cos θ,从而确定
形.
的|λ|倍;在实数的乘法中,ab的几何意义就是数轴上ab到原点的距
离等于a,b到原点的距离的积.
题型一
求向量的数量积
【例1】 已知向量a与b的夹角为120°,且|a|=|b|=4,则b·(3a+b)的
值为
.
解析:b·(3a+b)=3a·b+|b|2=3|a||b|cos 120°+16=-8.
答案:-8
在向量的数量积中,一般(a·b)c≠a(b·c);在向量的数乘
中,(λm)a=λ(ma)(λ∈R,m∈R);在实数的乘法中,有(ab)c=a(bc).
(4)从几何意义上来看,在向量的数量积中,a·b的几何意义是a的
长度|a|与b在a方向上的投影|b|cos θ的乘积;在向量的数乘中,λa的
几何意义就是把向量a沿向量a的方向或反方向放大或缩小到原来
平面向量数量积的物理背景及其含义
说明： 说明：
即 （1） 规定：零向量与任意向量的数量积为 ） 规定：零向量与任意向量的数量积为0，即
a ⋅0 =
0．
在向量的运算中不能省略， （2） a · b中间的“ · ”在向量的运算中不能省略，也不能写 ） 中间的 在向量的运算中不能省略 成a×b ，a×b 表示向量的另一种运算（外积）． × × 表示向量的另一种运算（外积）
a ⋅b
已知｜ ｜＝３ ｜＝６ 例1 . 已知｜ａ｜＝３，｜ｂ｜＝６，当①ａ∥ｂ，②ａ⊥ ｂ，③ａ与ｂ的夹角是60°时，分别求ａ·ｂ. 的夹角是60 60° 解：①当ａ∥ｂ时，若ａ与ｂ同向，则它们的夹角θ ＝０°， ∴ａ·ｂ＝｜ａ｜·｜ｂ｜cos0°＝3×6×1＝18； 若ａ与ｂ反向，则它们的夹角θ＝180°， ∴ａ·ｂ＝｜ａ｜｜ｂ｜cos180°＝3×6×（-1） ＝－18； ②当ａ⊥ｂ时，它们的夹角θ＝90°， ∴ａ·ｂ＝０； ③当ａ与ｂ的夹角是60°时，有 1 ａ·ｂ＝｜ａ｜｜ｂ｜cos60°＝3×6× ＝9 2
2
− k
2
b
2
= 0
∵ a 2＝ 3 2 ＝ 9 , b ＝ 4 2 ＝ 1 6 . ∴ 9－ 1 6 k 3 ∴ k = ± 4
2
= 0
2.4.1 平面向量的数量积的物理背景及其含义
小
结
1. 向量的数量积是一种向量的乘法运算，它与向量的加 向量的数量积是一种向量的乘法运算， 减法、数乘运算一样， 法、减法、数乘运算一样，也有明显的物理背景和几何 意义，同时还有一系列的运算性质， 意义，同时还有一系列的运算性质，但与向量的线性运 算不同的是，数量积的运算结果是数量而不是向量. 数量而不是向量 算不同的是，数量积的运算结果是数量而不是向量 2. 实数的运算性质与向量的运算性质不完全一致，应用 实数的运算性质与向量的运算性质 完全一致， 运算性质不 时不要似是而非. 时不要似是而非 求向量的模 3. 常用︱a︱＝ a ⋅ a求向量的模. 常用︱ ︱
人教版数学 平面向量数量积的物理背景及其含义 (共15张PPT)教育课件
有些人经常做一些计划，有的计划几乎 不去做 或者做 了坚持 不了多 久。其 实成功 的关键 是做很 坚持。 上帝没 有在我 们出生 的时候 给我们 什么额 外的装 备，也 许你对 未来充 满迷惑 ，也许 你觉得 是在雾 里看花 ，但是 只要我 们不停 的去做 ，去实 践，总 是可以 走到一 个鲜花 盛开的 地方， 也许在 那个时 候，你 就能感 受到什 么叫柳 暗花明 。走向 成功的 过程就 好像你 的起点 是南极 ，而成 功路径 的重点 在北极 。那么 无论你 往哪个 方向走 ，只要 中途的 方向不 变，最 终都会 到达北 极，那 就在于 坚持。
迁安市第三中学 玄立莲
a
静心自学 (1)已知两个非零向量 a 与 b ，我们把数量 a•bcos叫
做向量a与b的数量积，记作a • b ，即 a•babcos (θ为a， b的夹角)．
规定：零向量与任一向量的数量积为 0 问题1、向量的数量积与数乘向量的运算结果有何区别？
数量积的结果是实数，数乘的结果是向量
: 其实兴趣真的那么重要吗？很多事情我 们提不 起兴趣 可能就 是运维 我们没 有做好 。想想 看，如 果一件 事情你 能做好 ，至少 做到比 大多数 人好， 你可能 没有办 法岁那 件事情 没有兴 趣。再 想想看 ，一个 刚来到 人世的 小孩， 白纸一 张，开 始什么 都不会 ，当然 对事情 开始的 时候也 没有 兴趣这 一说了 ，随着 年龄的 增长， 慢慢的 开始做 一些事 情，也 逐渐开 始对一 些事情 有兴趣 。通过 观察小 孩的兴 趣，我 们可以 发现一 个规律 ，往往 不是有 了兴趣 才能做 好，而 是做好 了才有 了兴趣 。人们 总是搞 错顺序 ，并对 错误豪 布知晓 。尽管 并不绝 对是这 样，但 大多数 事情都 需要熟 能生巧 。做得 多了， 自然就 擅长了 ；擅长 了，就 自然比 别人做 得好； 做得比 别人好 ，兴趣 就大起 来，而 后就更 喜欢做 ，更擅 长，更 。。更 良性循 环。教 育小孩 也是如 此，并 不是说 买来一 架钢琴 ，或者 买本书 给孩子 就可以 。事实 上，要 花更多 的时间 根据孩 子的情 况，选 出孩子 最可能 比别人 做得好 的事情 ，然后 挤破脑 袋想出 来怎样 能让孩 子学会 并做到 很好， 比一般 人更好 ，做到 比谁都 好，然 后兴趣 就自然 出现了 。
平面向量数量积的物理背景及其含义
例2.已知|a|6,|b|4,a与b夹角为60,
解
：（a
2b）（·a
- 3b）
求：(1)(a2b)(a3b)
a·a a·b 6b·b
|
a
|2
a ·b
6
|
b
|2
(2)a2b|. | a |2 | a |·| b | cosθ 6 | b |2 36 12 96 72
例3.已知|a|3,|b|4,且a与b不共线.
b a
a+b
OM
Nc
则： (a + b) ·c = ON |c|
= (OM + MN) |c|
= OM|c| + MN|c|
= a·c + b·c .
典型例题
（ 1）(ab)2
2
2
a 2abb
22
(2)(ab)(ab)a b
例1.已知向量a，b,求证下列各式
证明：（1）(a＋b)2＝(a＋b)·(a＋b) ＝(a＋b)·a＋(a＋b)·b ＝a·a＋b·a＋a·b＋b·b ＝a2＋2a·b＋b2.
6
WORKHARVEST
W=|F| |S|cosθ 其中 θ是F与S的夹角
数量积的定义
已知两个非零向量a 和b ，它们的夹
角为 ，我们把数量 |a||b|c叫os做a 与b 的
数量积（或内积），记作a · b ，即
（1）两向量的数量积是一个数量，
注
意 （2） a · b不能写成a×b ，‘·’不能省.
特别地: aa |a|2或 |a|aa求模的方法
求 角
（3）cos
|
ab a || b
（4）|a
|
平面向量的数量积及其物理意义几何意义
平面向量的数量积及其物理意义几何意义数量积，也称为内积、点积或标量积，是平面向量的一种重要运算。
在数学上，给定两个平面向量a=(a1,a2)和b=(b1,b2)，它们的数量积可以表示为a·b=a1b1+a2b2、在本文中，我将讨论平面向量数量积的物理意义和几何意义。
物理意义：数量积在物理学中扮演着重要的角色，它有许多实际的物理意义和应用。
以下是其中一些常见的物理意义：1. 力和位移之间的关系：数量积可以用于计算两个力之间的关系。
当一个物体受到力F作用时，它在位移s方向上的分量可以表示为向量F和向量s之间的数量积。
根据数量积的定义，F·s = Fscosθ，其中θ是F和s之间的夹角。
因此，数量积可以帮助我们计算出物体在特定方向上受到的力的大小。
2.功的计算：在物理学中，功是通过应用力在物体上产生的能量变化。
当一个力F作用于物体上时，物体在位移s方向上的功可以表示为F·s。
这是因为功是力与位移的数量积，能够给出在应用力的方向上所做的工作的大小。
3. 速度和加速度之间的关系：当一个物体被施加一个恒定的力F时，它的加速度a可以表示为F和物体质量m之间的比值，即a = F/m。
然而，我们也可以从另一个角度理解这个关系。
我们知道，加速度a等于速度v的变化率。
因此，v = at。
将F = ma和v = at相结合，我们可以得到v = (F/m)t = (F·t)/m，其中t是时间。
这表明速度v可以用力F和时间t的数量积来计算。
几何意义：数量积不仅在物理学中有实际应用，而且在几何学中也有重要的几何意义。
以下是其中一些常见的几何意义：1. 夹角的计算：由数量积的定义可知，a·b = ，a，b，cosθ，其中θ是a和b之间的夹角，a，和，b，分别是向量a和b的长度。
通过这个公式，我们可以得到夹角θ的值，从而计算向量之间的夹角。
2.正交性：如果两个向量的数量积为零，即a·b=0，那么这两个向量是相互正交的。
高二数学平面向量数量积的物理背景及其含义
A1 c B1 C
(a b) c a c b c
数量积的运算规律：
(1)a b b a; (2)( a) b (a b) a ( b); (3)(a b) c a c b c.
思考：等式 (a b)c a(b c) 是否成立？
a kb 互相垂直。
小结
向量数量积计算时, 一要算准向量的模, 二要找准两个向量的夹角。
练习： P 117
1、2、3
建议课后练习： P 119 1~ 4、6、7、8
； /gupiaoshuyu/ 股票术语 ；
心峰の责任/也不想马开承担/所以/老疯子什么都没存在对马开说/可没存在想到/居然存在人敢算计马开/老疯子知道/马开要相信找不到合适の手段/别说什么责任不责任/能活过三佫月都相信侥幸/而这壹切/都相信面前の狐山所造成の/|前辈何必如此/存在些事情相信避开不咯 の/除非它不在情域/只要它在情域/那早晚存在壹天要步进这壹步/咱只不过相信让它提前壹些跑到这壹步而已/|狐狂山盯着老疯子/望着死去の族人/面色也阴冷咯起来/|那也不需要恁管/老疯子着狐狂山嚷道/|再说壹遍/把恁们の底蕴拿出来/或许可以逼退咱/要不然/今日恁狐山 哼|第两百五十八部分百年寿元狐狂山望着就静静站在那里/却给予它无穷压力の老疯子/神情变の极为难/||它自然不愿意因此而动用族里の底蕴/族里底蕴存在限/动用壹次/留给后人の就少壹次/如果可以/狐矿山想要壹辈子都不动用族里底蕴/|前辈不用迁怒咱狐山/所做の壹切 都相信咱壹人の手笔/前辈要相信记恨の话/找晚辈即可/|狐狂山盯着老疯子/心里也无奈至极/没存在想到这疯子居然疯到咯这种地步/就为这样壹佫算计/直接杀到它狐山来/|好/咱欣赏敢作敢为の人/|老疯子盯着狐狂山哼道/|既然如此/那咱就削恁百年寿命/|这壹句话让
第二章 平面向量数量积的物理背景及其含义
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知识预览
1．定义 (1)已知两个非零向量 a 与 b，我们把数量|a||b|cosθ 叫做 a 与 b 的数量积(或内积)，记作 a·b，即 a·b＝|a|·|b|cosθ(θ 为 a 与 b 的夹角)． (2)|a|cosθ(|b|cosθ)叫做向量 a 在 b 方向上(b 在 a 方向上) 的投影(其中 θ 为 a 与 b 的夹角)． (3)零向量与任一向量的数量积为 0. (4)a·b 的几何意义：数量积 a·b 等于 a 的长度|a|与 b 在 a 的方向上的投影|b|cosθ 的乘积．
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(a＋3b)·(7a－5b)＝0 解：由已知条件得 (a－4b)·(7a－2b)＝0 7a2＋16a·b－15b2＝0 即 2 7a －30a·b＋8b2＝0
，
① ② ②－①得 23b2－46a·b＝0， ∴2a·b＝b2， 代入①得 a2＝b2， 1 2 b a·b 2 1 π ∴|a|＝|b|，∴cosθ＝ ＝ ＝ .∵θ∈[0，π]，∴θ＝ . 3 |a||b| |b|2 2
解：设向量 a 与向量 b 的夹角为 θ， ∵(2a)·(3b)＝24，∴a·b＝4. π a·b 4 1 ∴cosθ＝ ＝ ＝ .又 θ∈[0，π]，∴θ＝ ， 3 |a||b| 2×4 2 π 即向量 a 与向量 b 的夹角为 . 3
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数学(2.4.1平面向量数量积的物理背景及其含义)
功率等于功与作用时间的比值。平面向量数量积可以用来描述功率，即功率等于功向量与时间向量的 模的比值。
03
平面向量数量积的应用
速度与加速度的研究
速度
速度是描述物体运动快慢的物理量， 等于位移与时间的比值。在平面向量 中，速度可以表示为向量，其模即为 线段长度与时间的比值。
加速度
加速度是描述物体速度变化快慢的物 理量，等于速度的变化量与时间的比 值。在平面向量中，加速度可以表示 为速度向量的变化率，其模即为速度 变化量与时间的比值。
详细描述
根据数乘的定义，实数k与向量a的数乘记作 ka，其模长为|ka|=|k||a|。设向量a与向量b的
夹角为θ，则有k(a·b)=k(|a||b|cosθ)， (ka)·b=|ka||b|cosθ=k(|a||b|cosθ)，
a·(kb)=|a||kb|cosθ=k(|a||b|cosθ)。这说明数 乘律成立，即k(a·b)=(ka)·b=a·(kb)。
几何意义
总结词
平面向量数量积表示两个向量在方向上的相似性和夹角关系。
详细描述
平面向量数量积的几何意义在于表示两个向量在方向上的相似性和夹角关系。当两个向量的夹角为锐角时，数量 积大于0，表示两个向量方向相同；当夹角为钝角时，数量积小于0，表示两个向量方向相反；当夹角为0或180 度时，数量积为0，表示两个向量垂直或反向。
动量与冲量
动量
物体的动量等于物体的质量与速 度的乘积。平面向量数量积可以 用来描述动量，即物体的动量等 于质量与速度向量的模的乘积。
冲量
冲量等于力的作用时间与力的乘 积。平面向量数量积可以用来描 述冲量，即冲量等于力向量与时 间向量的模的乘积。
功与功率
功
平面向量数量积的物理背景及其含义
2.4.1 平面向量数量积的物理背景及 其含义
【自主预习】 主题1:向量的数量积 如图,一个物体在力F的作用下产生位移s,据此回答下列问题:
(1)如何计算这个力所做的功? 提示:根据物理知识知W=|F||s|cosθ. (2)力F在位移s方向上的分力大小是多少? 提示:由图知力F在位移s方向上的分力是|F|cosθ.
5
2.设向量a,b满足|a+b|= ,|a-b|= ,则a· b = ( ) A.1 B.2 C.3 10 【解析】选A.由 解得a· b=1.
D.5
6
2 2 a b 10, a 2 a b b 10, 得 2 2 a 2 a b b 6, ab 6
【解析】(1)把|a|=|a+2b|两边平方,整理得a· b= -|b|2,设a与b的夹角为θ, 则cosθ= 答案:-
1 3
ab b 1 2 . | a || b | 3 b 3
2
(2)因为a+b+c=0,所以c=-(a+b). 因为(a-b)⊥c,所以c· (a-b)=0, 所以-(a+b)(a-b)=0, 所以a2-b2=0,所以|b|=|a|=1. 答案:1
类型三:向量的夹角与垂直问题 【典例3】(1)若非零向量a,b满足|a|=3|b|=|a+2b|,则a与b夹角的余弦值为 (2)设向量a,b,c,满足a+b+c=0,(a-b)⊥c,|a|=1,则|b|= .
.
【解题指南】(1)由|a|=|a+2b|可得|b|2与a· b的关系,然后代入夹角公式求解. (2)根据a+b+c=0,(a-b)⊥c,可得出向量a与b模相等.
人教版高中数学必修4A版平面向量数量积的物理背景及其含义
本节作业
P 108习题2.4 A组2.5.6
1.投影,如右图
a
A
b cos
a
A
o
a cos b
B
o
a cos ( b cosθ)叫做a在b方向上(b在a方向上)
b
B
2.数量积的几何意义 数量积a b 等于a的长度a 与b 在a的方向上的 投影b cos的乘积
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的投影.
随堂练习
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课堂小结
①本节知识要点: 数量积的定义,几何意义,重要性质. ②本节学习的数学方法: 归纳类比,定义法,数形结合等.
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巩固练习
(1)若 m 4, n 6, m与n的夹角是 135, 则m n等于(
C)
( A)12( B)12 2 (C ) 12 2 ( D) 12 1 (2)已知 a 10, b 12, 且(3a) ( b) 36, 则a与b的 5 夹角是( ) ( A)60( B)120(C )135( D)150 (3)当a b 0时, 有下列结论: (1)a 0(2)b 0(3)a b(4)a // b(5)a 与b反向, 其中可能正确的是 (
2 2
3 a b a b
4 cos
a b ab
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随堂练习
1.判断下列命题是否正确,并说明为什么?
(1)若a b 0, 则a b.(× ) ( 2) a a
2
a.( ×)
(3)在C中, 若 AB BC 0, 则C为 钝角三角形 .( ×) ( 4)在C中, 若 AB BC 0, 则C为 钝角三角形 .( )
平面向量数量积的物理背景及其含义
§2.4平面向量的数量积2．4.1平面向量数量积的物理背景及其含义学习目标1.了解平面向量数量积的物理背景，即物体在力F的作用下产生位移s所做的功.2.掌握平面向量数量积的定义，理解其几何意义.3.会用两个向量的数量积求两个向量的夹角以及判断两个向量是否垂直.4.掌握平面向量数量积的运算律及常用的公式．知识点一 平面向量数量积的定义非零向量a ，b 的夹角为θ，数量|a ||b |cos θ叫做向量a 与b 的数量积(或内积)，记作a ·b ，即a ·b ＝|a ||b |cos θ，特别地，零向量与任意向量的数量积等于0. 思考 若a ≠0，且a ·b ＝0，是否能推出b ＝0.答案 在实数中，若a ≠0，且a ·b ＝0，则b ＝0；但是在数量积中，若a ≠0，且a ·b ＝0，不能推出b ＝0.因为其中cos θ有可能为0. 知识点二 平面向量数量积的几何意义 1．条件：向量a 与b 的夹角为θ. 2．投影3.a ·b 的几何意义：数量积a ·b 等于a 的长度|a |与b 在a 的方向上的投影|b |cos θ的乘积． 思考 向量a 在b 方向上的投影是向量吗？答案 a 在b 方向上的投影是一个数量(可正，可为0，可负)，不是向量．知识点三 平面向量数量积的性质设向量a 与b 都是非零向量，它们的夹角为θ. 1．a ⊥b ⇔a ·b ＝0.2．当a ∥b 时，a ·b ＝⎩⎪⎨⎪⎧|a ||b |，a 与b 同向，－|a ||b |，a 与b 反向.3．a·a ＝|a |2或|a |＝a ·a .4．cos θ＝a·b|a||b|.5．|a·b|≤|a||b|.知识点四平面向量数量积的运算律1．a·b＝b·a(交换律)．2．(λa)·b＝λ·(a·b)＝a·(λb)(数乘结合律)．3．(a＋b)·c＝a·c＋b·c(分配律)．思考若a·b＝b·c，是否可以得出结论a＝c?答案不可以．已知实数a，b，c(b≠0)，则ab＝bc⇒a＝c，但是a·b＝b·c推不出a＝c.理由如下：如图，a·b＝|a||b|cos β＝|b||OA|，b·c＝|b||c|cos α＝|b||OA|.所以a·b＝b·c，但是a≠c.1．向量a 在向量b 上的投影一定是正数．( × ) 2．若a ·b <0，则a 与b 的夹角为钝角．( × ) 3．向量的数量积运算满足(a ·b )·c ＝a ·(b ·c )．( × ) 4．已知a ≠0，且a ·c ＝a ·b ，则b ＝c .( × )题型一 求两向量的数量积例1 已知正三角形ABC 的边长为1，求： (1)AB →·AC →；(2)AB →·BC →；(3)BC →·AC →. 考点 平面向量数量积的运算性质与法则 题点 数量积运算与求值 解 (1)∵AB →与AC →的夹角为60°. ∴AB →·AC →＝|AB →||AC →|cos 60°＝1×1×12＝12.(2)∵AB →与BC →的夹角为120°， ∴AB →·BC →＝|AB →||BC →|cos 120° ＝1×1×⎝⎛⎭⎫－12＝－12. (3)∵BC →与AC →的夹角为60°，∴BC →·AC →＝|BC →||AC →|cos 60°＝1×1×12＝12.反思感悟 求平面向量数量积的两个方法(1)定义法：若已知向量的模及其夹角，则直接利用公式a·b ＝|a||b|cos θ.运用此法计算数量积的关键是正确确定两个向量的夹角，条件是两向量的始点必须重合，否则，要通过平移使两向量符合以上条件．(2)几何意义法：若已知一向量的模及另一向量在该向量方向上的投影，可利用数量积的几何意义求a·b .跟踪训练1 已知|a |＝4，|b |＝7，且向量a 与b 的夹角为120°，求(2a ＋3b )·(3a －2b )． 考点 平面向量数量积的运算性质与法则 题点 数量积运算与求值 解 (2a ＋3b )·(3a －2b ) ＝6a 2－4a ·b ＋9b ·a －6b 2 ＝6|a |2＋5a ·b －6|b |2＝6×42＋5×4×7·cos 120°－6×72 ＝－268.题型二 求向量的模例2 已知|a |＝|b |＝5，向量a 与b 的夹角为π3，求|a ＋b |，|a －b |.考点 平面向量数量积的应用 题点 利用数量积求向量的模 解 a ·b ＝|a ||b |cos θ＝5×5×12＝252.|a ＋b |＝(a ＋b )2＝|a |2＋2a ·b ＋|b |2＝25＋2×252＋25＝5 3.|a －b |＝(a －b )2＝|a |2－2a ·b ＋|b |2＝25－2×252＋25＝5.引申探究若本例中条件不变，求|2a ＋b |，|a －2b |. 解 a ·b ＝|a ||b |cos θ＝5×5×12＝252，|2a ＋b |＝(2a ＋b )2＝4|a |2＋4a ·b ＋|b |22|a －2b |＝(a －2b )2＝|a |2－4a ·b ＋4|b |2＝25－4×252＋4×25＝5 3.反思感悟 求解向量模的问题就是要灵活应用a 2＝|a |2，即|a |＝a 2，勿忘记开方． 跟踪训练2 已知|a |＝1，|b |＝3，且|a －b |＝2，求|a ＋b |. 考点 平面向量数量积的应用 题点 利用数量积求向量的模解 方法一 ∵|a －b |2＝(a －b )2＝a 2－2a ·b ＋b 2 ＝1＋9－2a ·b ＝4，∴a ·b ＝3. ∴|a ＋b |2＝(a ＋b )2＝a 2＋2a ·b ＋b 2 ＝1＋9＋2×3＝16，∴|a ＋b |＝4.方法二 ∵|a －b |2＝(a －b )2＝a 2－2a ·b ＋b 2， |a ＋b |2＝(a ＋b )2＝a 2＋2a ·b ＋b 2，∴|a －b |2＋|a ＋b |2＝2a 2＋2b 2＝2×1＋2×9＝20. 又|a －b |＝2，∴|a ＋b |2＝16，∴|a ＋b |＝4. 题型三 求向量的夹角例3 (1)设n 和m 是两个单位向量，其夹角是60°，求向量a ＝2m ＋n 与b ＝2n －3m 的夹角． 考点 平面向量数量积的应用 题点 利用数量积求向量的夹角 解 ∵|n |＝|m |＝1且m 与n 夹角是60°， ∴m·n ＝|m||n |cos 60°＝1×1×12＝12.|a |＝|2m ＋n |＝(2m ＋n )2＝4×1＋1＋4m·n＝4×1＋1＋4×12＝7，|b |＝|2n －3m |＝(2n －3m )2＝4×1＋9×1－12m·n2a·b ＝(2m ＋n )·(2n －3m )＝m·n －6m 2＋2n 2 ＝12－6×1＋2×1＝－72. 设a 与b 的夹角为θ， 则cos θ＝a·b|a||b |＝－727×7＝－12.又∵θ∈[0，π]，∴θ＝2π3，故a 与b 的夹角为2π3.(2)已知非零向量a ，b 满足|a |＝|b |＝|a ＋b |，求a 与a ＋b 的夹角及a 与a －b 的夹角． 考点 平面向量数量积的应用 题点 利用数量积求向量的夹角 解 如图所示，在平面内取一点O ，作OA →＝a ，OB →＝b ，以OA ，OB 为邻边作平行四边形OACB ，使|OA →|＝|OB →|， ∴四边形OACB 为菱形，OC 平分∠AOB ， 这时OC →＝a ＋b ，BA →＝a －b .由于|a |＝|b |＝|a ＋b |，即|OA →|＝|AC →|＝|OC →|， ∴∠AOC ＝60°，即a 与a ＋b 的夹角为60°.∵∠AOC ＝60°，∴∠AOB ＝120°， 又|OA →|＝|OB →|，∴∠OAB ＝30°， 即a 与a －b 的夹角为30°.反思感悟 (1)求向量的夹角，主要是利用公式cos θ＝a·b |a||b|求出夹角的余弦值，从而求得夹角．可以直接求出a·b 的值及|a |，|b |的值，然后代入求解，也可以寻找|a |，|b |，a·b 三者之间的关系，然后代入求解．(2)求向量的夹角，还可结合向量线性运算、模的几何意义，利用数形结合的方法求解． (3)求向量的夹角时，注意向量夹角的范围是[0，π]．跟踪训练3 已知|a |＝|b |＝2，(a ＋2b )·(a －b )＝－2，求a 与b 的夹角． 考点 平面向量数量积的应用 题点 利用数量积求向量的夹角解 ∵(a ＋2b )·(a －b )＝|a |2－2|b |2＋a ·b ＝－2. |a |＝|b |＝2，∴a ·b ＝2， 设a 与b 的夹角为θ，∴cos θ＝a ·b |a ||b |＝12， 又∵θ∈[0，π]，∴θ＝π3.向量的夹角与垂直问题典例 (1)已知向量a ，b 满足(2a ＋b )·(a －b )＝6，且|a |＝2，|b |＝1，则a 与b 的夹角为________．答案 π3解析 设a 与b 的夹角为θ，依题意有：(2a ＋b )·(a －b )＝2a 2－a ·b －b 2＝7－2cos θ＝6，所以cos θ＝12，因为0≤θ≤π，故θ＝π3.(2)已知向量a ，b ，且|a |＝1，|b |＝2，(a ＋2b )⊥(3a －b )， ①求向量a 与b 夹角的大小； ②求|a －2b |的值．解 ①设a 与b 的夹角为θ，由已知得(a ＋2b )·(3a －b )＝3a 2＋5a ·b －2b 2 ＝3＋10cos θ－8＝0，所以cos θ＝12，又0°≤θ≤180°，所以θ＝60°，即a 与b 的夹角为60°.②因为|a －2b |2＝a 2－4a ·b ＋4b 2＝1－4＋16＝13，所以|a －2b |＝13.[素养评析] 向量既有大小又有方向，我们可以通过代数运算来求解夹角、模等，这正是数学核心素养数学运算的具体体现．1．已知|a |＝1，|b |＝2，a 与b 的夹角为π3，则a·b 等于( )A ．1B ．2C ．3D ．4考点 平面向量数量积的运算性质与法则 题点 数量积运算与求值答案 A解析 a·b ＝1×2×cos π3＝1，故选A.2．在等腰直角三角形ABC 中，若∠C ＝90°，AC ＝2，则BA →·BC →的值等于( ) A ．－2 B ．2 C ．－2 2 D ．2 2 考点 平面向量数量积的运算性质与法则 题点 数量积运算与求值 答案 B解析 BA →·BC →＝|BA →||BC →|cos ∠ABC ＝2×2×cos 45°＝2.3．已知|a |＝8，|b |＝4，〈a ，b 〉＝120°，则向量b 在a 方向上的投影为( ) A ．4 B ．－4 C ．2 D ．－2 考点 向量的投影 题点 求向量的投影 答案 D解析 向量b 在a 方向上的投影为 |b |cos 〈a ，b 〉＝4×cos 120°＝－2.4．已知菱形ABCD 的边长为a ，∠ABC ＝60° ，则BD →·CD →等于( ) A ．－32a 2B ．－34a 2C.34a 2 D.32a 2 考点 平面向量数量积的运算性质与法则 题点 数量积运算与求值 答案 D解析 如图所示，由题意，得BC ＝a ，CD ＝a ，∠BCD ＝120°.∴BD →·CD →＝(BC →＋CD →)·CD → ＝BC →·CD →＋CD →2 ＝a ·a ·cos 60°＋a 2＝32a 2.5．已知向量a ，b 的夹角为60°，且|a |＝2，|b |＝1，若c ＝2a －b ，d ＝a ＋2b ， 求：(1)c ·d ；(2)|c ＋2d |. 考点 平面向量数量积的应用 题点 利用数量积求向量的模解 (1)c ·d ＝(2a －b )·(a ＋2b )＝2a 2－2b 2＋3a ·b ＝2×4－2×1＋3×2×1×12＝9.(2)|c ＋2d |2＝(4a ＋3b )2＝16a 2＋9b 2＋24a ·b ＝16×4＋9×1＋24×2×1×12＝97，∴|c ＋2d |＝97.1．两向量a 与b 的数量积是一个实数，不是一个向量，其值可以为正(当a ≠0，b ≠0,0°≤θ<90°时)，也可以为负(当a ≠0，b ≠0,90°<θ≤180°时)，还可以为0(当a ＝0或b ＝0或θ＝90°时)． 2．两个向量的数量积是两个向量之间的一种运算，与实数乘实数、实数乘向量的乘法运算是有区别的，在书写时一定要把它们严格区分开来，绝不可混淆． 3．求投影有两种方法(1)b 在a 方向上的投影为|b |cos θ(θ为a ，b 的夹角)，a 在b 方向上的投影为|a |cos θ. (2)b 在a 方向上的投影为a ·b |a|，a 在b 方向上的投影为a ·b |b |.4．对于两非零向量a ，b ，a ⊥b ⇔a ·b ＝0. 5．求向量模时要灵活运用公式|a |＝a 2.1．设非零向量a ，b ，c 满足|a |＝|b |＝|c |，a ＋b ＝c ，则a 与b 的夹角θ为( ) A ．150° B ．120° C ．60° D ．30° 考点 平面向量数量积的应用 题点 利用数量积求向量的夹角 答案 B解析 由|a |＝|b |＝|c |且a ＋b ＝c ，得|a ＋b |＝|b |，平方得|a |2＋|b |2＋2a ·b ＝|b |2⇒2a ·b ＝－|a |2⇒2|a |·|b |·cos θ＝－|a |2⇒cos θ＝－12⇒θ＝120°.2．已知|a |＝3，|b |＝4，且a 与b 的夹角θ＝150°，则a ·b 等于( ) A ．－6 B ．6 C ．－6 3 D ．6 3 考点 平面向量数量积的运算性质与法则 题点 数量积运算与求值 答案 C3．已知a ，b 方向相同，且|a |＝2，|b |＝4，则|2a ＋3b |等于( ) A ．16 B ．256 C ．8 D ．64 考点 平面向量数量积的应用 题点 利用数量积求向量的模 答案 A解析 ∵|2a ＋3b |2＝4a 2＋9b 2＋12a ·b ＝16＋144＋96＝256，∴|2a ＋3b |＝16. 4．已知|a |＝6，|b |＝3，a ·b ＝－12，则向量a 在向量b 方向上的投影是( ) A ．－4 B ．4 C ．－2 D ．2 考点 向量的投影 题点 求向量的投影 答案 A解析 根据投影的定义，设a ，b 的夹角为θ，可得向量a 在b 方向上的投影是|a |cos θ＝a·b |b|＝－4，故选A.5．已知平面上三点A ，B ，C ，满足|AB →|＝3，|BC →|＝4，|CA →|＝5，则AB →·BC →＋BC →·CA →＋CA →·AB →的值等于( )A ．－7B ．7C ．25D ．－25 考点 平面向量数量积的运算性质与法则 题点 数量积运算与求值解析 由条件知∠ABC ＝90°，所以原式＝0＋4×5cos(180°－C )＋5×3cos(180°－A ) ＝－20cos C －15cos A＝－20×45－15×35＝－16－9＝－25.6．设向量a ，b 满足|a ＋b |＝10，|a －b |＝6，则a ·b 等于( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．5考点 平面向量数量积的运算性质与法则 题点 数量积运算与求值 答案 A解析 ∵|a ＋b |2＝(a ＋b )2＝a 2＋2a ·b ＋b 2＝10，① |a －b |2＝(a －b )2＝a 2－2a ·b ＋b 2＝6，② 由①－②得4a ·b ＝4，∴a ·b ＝1.7．在△ABC 中，AB ＝6，O 为△ABC 的外心，则AO →·AB →等于( ) A. 6 B ．6 C ．12 D ．18 考点 平面向量数量积的应用 题点 数量积在三角形中的应用 答案 D解析 如图，过点O 作OD ⊥AB 于D ，可知AD ＝12AB ＝3，则AO →·AB →＝(AD →＋DO →)·AB →＝AD →·AB →＋DO →·AB →＝3×6＋0＝18，故选D.8．已知a ，b 是单位向量，a·b ＝0，若向量c 满足|c －b －a |＝1，则|c |的取值范围为( ) A ．[2－1，2＋1] B ．[2－1，2＋2] C ．[1，2＋1]D ．[1，2＋2]考点 平面向量数量积的应用 题点 向量模与夹角的综合应用 答案 A解析 如图所示，令OA →＝a ，OB →＝b ，OD →＝a ＋b ，OC →＝c ，则|OD →|＝ 2.又|c －b －a |＝1，所以点C 在以点D 为圆心、半径为1的圆上，易知当点C 与O ，D 共线时，|OC →|取到最值，最大值为2＋1，最小值为2－1，所以|c |的取值范围为[2－1，2＋1]．故选A. 二、填空题9．(2017·全国Ⅰ)已知向量a ，b 的夹角为60°，|a |＝2，|b |＝1，则|a ＋2b |＝________. 考点 平面向量数量积的应用 题点 利用数量积求向量的模 答案 2 3 解析 方法一|a ＋2b |＝(a ＋2b )2＝a 2＋4a ·b ＋4b 2＝22＋4×2×1×cos 60°＋4×12＝12＝2 3.方法二(数形结合法)由|a |＝|2b |＝2知，以a 与2b 为邻边可作出边长为2的菱形OACB ，如图，则|a ＋2b |＝|OC →|.又∠AOB ＝60°，所以|a ＋2b |＝2 3.10．设e 1，e 2是两个单位向量，它们的夹角为60°，则(2e 1－e 2)·(－3e 1＋2e 2)＝________. 考点 平面向量数量积的运算性质与法则 题点 数量积运算与求值 答案 －9211．已知在△ABC 中，AB ＝AC ＝4，AB →·AC →＝8，则△ABC 的形状是________． 考点 平面向量数量积的应用 题点 数量积在三角形中的应用 答案 等边三角形解析 AB →·AC →＝|AB →||AC →|cos ∠BAC ，即8＝4×4cos ∠BAC ，于是cos ∠BAC ＝12，因为0°<∠BAC <180°，所以∠BAC ＝60°. 又AB ＝AC ，故△ABC 是等边三角形．12．已知|a |＝4，|b |＝3，(2a －3b )·(2a ＋b )＝61.则向量a 在向量a ＋b 方向上的投影为________． 考点 向量的投影题点 求向量的投影 答案101313解析 (2a －3b )·(2a ＋b )＝4a 2－3b 2－4a·b ＝4×16－3×9－4a·b ＝61，解得a·b ＝－6， ∴|a ＋b |2＝a 2＋b 2＋2a·b ＝16＋9－12＝13，a ·(a ＋b )＝a 2＋a ·b ＝10， ∴|a ＋b |＝13，设a 与a ＋b 的夹角为θ，∴cos θ＝104×13＝5213，则a 在a ＋b 方向上的投影为|a |cos θ＝4×5213＝101313.三、解答题13．在平行四边形ABCD 中，AD ＝1，∠BAD ＝60°，E 为CD 的中点，若AC →·BE →＝1，求AB 的长．考点 平面向量数量积的应用 题点 利用数量积求向量的模解 如图，由题意可知，AC →＝AB →＋AD →，BE →＝－12AB →＋AD →.因为AC →·BE →＝1，所以(AB →＋AD →)·⎝⎛⎭⎫－12AB →＋AD →＝1， 即AD →2＋12AB →·AD →－12AB →2＝1.①因为|AD →|＝1，∠BAD ＝60°， 所以①式可化为1＋14|AB →|－12|AB →|2＝1.解得|AB →|＝0(舍去)或|AB →|＝12，所以AB 的长为12.14．(2018·吉林长春调研)已知|a |＝1，a ·b ＝12，(a －b )·(a ＋b )＝12，求：(1)a 与b 的夹角；(2)a －b 与a ＋b 的夹角的余弦值． 考点 平面向量数量积的应用 题点 向量模与夹角的综合应用 解 (1)∵(a －b )·(a ＋b )＝|a |2－|b |2＝12，又|a |＝1，∴|b |2＝12，∴|b |＝22.设a 与b 的夹角为θ，则cos θ＝a ·b |a ||b |＝121×22＝22， ∵0°≤θ≤180°，∴θ＝45°，∴a 与b 的夹角为45°. (2)|a －b |＝(a －b )2＝a 2－2a ·b ＋b 2＝1－2×12＋12＝22，|a ＋b |＝(a ＋b )2＝a 2＋2a ·b ＋b 2＝1＋2×12＋12＝102，设a －b 与a ＋b 的夹角为α，则cos α＝(a ＋b )·(a －b )|a ＋b ||a －b |＝12102×22＝55.。
平面向量数量积的物理背景及其含义课件
新知引入：
F
F2
θ
s
F1
功是 标量 由此引入向量“数量积”的概念。
新知介绍：
新知介绍：
新知介绍：
新知介绍：
C5 B
。
60
8
A
复习回顾：
新知ห้องสมุดไป่ตู้绍：
O
课堂练习：
课堂练习：
√
× ×
2.4 平面向量的数量积 2．4.1 平面向量数量积的物理背景及其含义
【课标要求】
1．通过物理中“功”等实例，理解平面向量数量积的 含义及其物理意义．
2．掌握向量a与b的数量积公式及其投影的定义．
3．掌握平面向量数量积的重要性质及运算律，并能运 用这些性质与运算律解决有关问题．
【核心扫描】 1 ．平面向量的数量积． (重点)
× ×
×
√
练习三：
K=6
练习四：
A
D
A
B
小结
1、向量的数量积的定义 2、向量的数量积的几何意义 3、向量的数量积的运算律 4 、必须掌握的五条重要性质
2[1].4.1平面向量数量积的物理背景及其含义
![2[1].4.1平面向量数量积的物理背景及其含义](https://img.taocdn.com/s3/m/15737b2958fb770bf78a554e.png)
投影：
若是a与b的夹角， b cos叫做向量 b在a方向上的投影，如图，OB1 b cos .
O
B
b
b cos B1
零向量与任一向量的数量积为0. 思考：
a A
（数量） 1.投影是一个数量还是一个向量？
（与的取值有关） 2.投影的正负与什么有关？
思考：对于不共线向量a, b, c,判断(a b)c a (b c)是否成立？
不成立，因为(a b)c表示一个与c共线的向量，而a (b c ) 表示一个与a共线的向量，而a与c不共线，所以式子不成立。
例2：求证：
(1)(a b)2 a 2 2a b b2 ;
5. a b a与b的夹角 120o，求a b.
解：a b a b cos
5 4cos120o
1 5 10 ( ) 2
10.
数量积的运算律：
1.a b b a; 2.(a) b (a b) a (b); 3.(a + b) c a c b c.
(2)(a b)(a b) a 2 b2 . a b) 证明： (1)(a b)2 (a b)(
a a a b ba bb
a 2 2a b b2 ;
(2)(a b)(a b) a a a b + b a + b b a 2 b2 .
总结：
1.数量积的概念；
2.投影的概念； 3.两个向量数量积的性质； 4.数量积的几何意义.
作业：
习题2.4A组第2，4，题 习题2.4B组第1题
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各位评委老师好! 我是高中数学组号考生。
今天我说课的内容是《平面向量数量积的物理背景及其含义》。
下面我将从教材分析、学情分析、教学目标、教法学法、教学过程和板书设计六个方面来进行具体阐述。
一、教材分析
本节课是人教版普通高中课程标准试验教科书A版必修四第二章《平面向量》的第4节内容。
向量是近代数学中非常重要的数学概念之一，本节平面向量数量积的物理背景及其含义，在数学、物理等学科中应用十分广泛。
它是继向量的线性运算之后的又一重要运算，是学好后续知识的基础，具有承上启下的作用。
二、学情分析
在学习本节内容之前学生已经学习了平面向量的线性运算和物理中功的知识；在能力上已经具备了一定的形象思维与抽象思维能力；在思想方法上已经具有一定的数形结合、类比、从特殊到一般等数学思想．这为学生本节课的学习奠定了基础。
三、教学目标设计
根据《普通高中数学课程标准》对本节课的要求，结合学情分析制我定了以下教学目标
知识与技能：理解投影的概念和平面向量数量积的概念和几何意义。
掌握平面向量数量积的性质和运算律。
过程与方法：通过本节课的学习，体会数形结合、化归等数学思想方法，进一步培养归纳、类比、迁移能力。
情感态度和价值观：通过本节课的学习，培养学生自主学习、主动探索，勤于观察，善于总结的态度，并提高学生参与意识和合作精神
教学重难点
本节课的教学重点是平面向量数量积的定义及其几何意义、性质及运算律
教学难点是平面向量数量积性质及运算律的探究
四、教法学法分析
叶圣陶先生认为教学之道应是“教师之为教，不在全盘授予，而在相机诱导” ．本着“以学生为主体，以教师为主导，以问题解决为主线，以能力发展为目标”的指导思想，结合学生实际，我在本节课中主要运用引导发现法、探索讨论法，启发教学法和多媒体辅助教学法等
2、学法指导
新课程所倡导的学习是学生自主探究和建构知识的过程，所以，在学法上，注重采用以“小组合作、自主探究”为主要方式的自主学习模式．
五、教学过程设计
新课标指出：数学教学过程是教师引导学生进行学习活动的过程，为了有序、有效地进行教学，本节课我主要安排以下几个环节
环节一：复习回顾，引入新知
复习，(1)我们已经研究了向量的哪些运算？这些运算的结果是什么？(2)物理学中物体做功是如何计算的
接着引出向量之间是否可以进行乘法运算的课题，结合旧知以及学生熟悉的物理知识入手，符合学生的认知规律，引入自然。
环节二，思考探究
（1）结合物理中功的定义，学生思考W=F*S=|F|*|S|coso是怎么得出来的，从而引出数量积定义。
结合位移方向上的力做功引出投影的定义。
教师分析定义中应该强调的问题，比如零向量与任一向量的数量积为0、投影有正有负有0等（2）学生独立思考103页的问题，引导学生说出数量积的结构，得出几何意义。
（3）结合数量积的定义，引导学生从数与形两个角度讨论，完成104页上方的问题探究。
使学生得出向量ab垂直、同向时数量积重要结论，教师进行补充和讲解。
（4）学生独立完成例题一，巩固深化数量积。
（5）结合学过的运算律引导学生独立思考数量积应该满足的运算律，交换律、数乘结合律、分配律，引导学生从物理方面解释，从数学方面证明。
培养学生思考问题认真严谨的学习态度。
其中分配律比较重要，我将对这部分的证明做详细的讲解。
环节三：巩固训练，查漏补缺
学生自主完成例2-4，巩固所学知识，,可以让学生进行课堂讲解，锻炼学生的语言表达能力。
教师进行查漏补缺。
环节四：归纳小结，加深认识
让学生回顾本节课的主要内容并小结，使学生对本节内容有一个完整、系统的认识，培养学生归纳总结的能力。
环节五：课后作业，分层提高
本节课我对课后作业实施分层设置，有利于不同层次的学生得到充分的锻炼。
必做题：教科书108页a组2、6题
选做题：b组第5题。
六、板书设计
我的说课到此结束,谢谢各位评委老师的聆听。