平面向量的数量积的物理背景及其含义
平面向量数量积的物理背景及其含义
又│COSθ│ 1
思考：在什么情况下取等号？ 0 或 180
返回练习
a•b=│a││b│COSθ
(4)cos ＝ 练习
a b ab
设|a|＝12，|b|＝9，a•b＝－ 54 2 ，求a和b的夹角
cos ＝ －
2 2
平面向量的数量积
课堂小结：
1、向量的数量积的定义 已知两个非零向量 a 与 b，它们的夹角为θ，我们把
a b a b cos
数量 a b cos 叫做 a与b 的数量（或内积,点乘），即
规定：零向量与任意向量的数量积为0，即 a 0 0．
2、向量投影的几何意义
向量的投影可正、可负、可为零
课堂小结：
3、向量数量积的性质 设 a, b都是非零向量 ,则 1)a b a b 0 2）当a , b 同向时a b | a || b | ； 当a , b反向时a b | a || b | ； 2 2 特别的a a 或 a a a
平面向量的数量积
问题情境
θ
F
F θ S
O
位移S
A
如果一个物体在力F作用下产生位移S，那么F所 做的功为: W=│F││S│COSθ
θ表示力F的方向与位移S的方向的夹角。
平面向量的数量积
学习目标：
1、掌握平面向量的数量积的定义及投影定义 2、掌握平面向量数量积的性质 请同学们思考如下问题：
看课本103—104页并思考如下问题： 1、向量的夹角是如何定义（规定）的？
A BC•CA=-20 b 60° C 变式： │ │ │ 若 a=5, b=8,a与b平行，则 a b = │ a B
平面向量数量积的物理背景及其含义 课件
(4)|a·b| ≤ |a||b|.
并证明第(4)条性质． 证明 |a·b|≤|a||b|. 设 a 与 b 的夹角为 θ，则 a·b＝|a||b|cos θ. 两边取绝对值得：|a·b|＝|a||b||cos θ|≤|a||b|. 当且仅当|cos θ|＝1， 即 cos θ＝±1，θ＝0 或 π 时，取“＝”． 所以|a·b|≤|a||b|.
例如，|a|＝2，|b|＝1，a 与 b 的夹角 θ＝120°，则 a 在 b 方
向上的投影为 －1 ，b 在 a 方向上的投影为 －12 .
问题 2 向量 b 在 a 方向上的投影不是向量，而是数量，它的 符号取决于夹角 θ 的范围. θ 范围 θ 是锐角 θ 是直角 θ 是钝角
图形
符号 |b|cos θ > 0 |b|cos θ＝0 |b|cos θ < 0
3．数量积的几何意义 a·b 的几何意义是数量积 a·b 等于 a 的长度|a|与 b 在 a 的方 向上的投影_|b_|_c_o_s_θ_的乘积．
探究点一 平面向量数量积的含义 已知两个非零向量 a 与 b，我们把数量|a||b|cos θ 叫做 a 与 b 的 数量积(或内积)，记作 a·b，即 a·b＝|a||b|cos θ，其中 θ 是 a 与 b 的夹角，θ∈[0，π]．规定：零向量与任一向量的数量积为 0.
问题 1 如果一个物体在力 F 的作用下产生位移 s，那么力 F 所 做的功 W＝_|F_|_|s_|c_o_s__θ_＝_F_·s_.
问题 2 向量的数量积是一个数量，而不再是向量．
对于两个非零向量 a 与 b. 当 θ∈__0_，___π2___时，a·b>0； 当__θ_＝__2π____时，a·b＝0，即 a⊥b； 当 θ∈__π2__，__π___时，a·b<0.
平面向量数量积的物理背景及其含义 课件
数的积是一个实数.
(2)从运算的表示方法上看,两个向量a,b的数量积称为内积,写成
a·b;大学里还要学到两个向量的外积a×b,而a·b是两个向量的数量
积,因此书写时要严格区分,符号“·”在向量运算中既不能省略,也不
能用“×”代替;向量的数乘的写法同单项式的写法;实数的乘法的写
a·b;(2)求|x a+y b|2=x2|a|2+2xy a·b+y2|b|2;(3)求|x a+y b|.
题型三
求两向量的夹角
【例 3】 已知|a|=1,|b|=4,(a-b)·(a+2b)=-29,求 a 与 b 的夹角 θ.
分析:求出 a,b 的数量积 a·b,代入夹角公式求得 cos θ,从而确定
形.
的|λ|倍;在实数的乘法中,ab的几何意义就是数轴上ab到原点的距
离等于a,b到原点的距离的积.
题型一
求向量的数量积
【例1】 已知向量a与b的夹角为120°,且|a|=|b|=4,则b·(3a+b)的
值为
.
解析:b·(3a+b)=3a·b+|b|2=3|a||b|cos 120°+16=-8.
答案:-8
在向量的数量积中,一般(a·b)c≠a(b·c);在向量的数乘
中,(λm)a=λ(ma)(λ∈R,m∈R);在实数的乘法中,有(ab)c=a(bc).
(4)从几何意义上来看,在向量的数量积中,a·b的几何意义是a的
长度|a|与b在a方向上的投影|b|cos θ的乘积;在向量的数乘中,λa的
几何意义就是把向量a沿向量a的方向或反方向放大或缩小到原来
平面向量数量积的物理背景及其含义
说明： 说明：
即 （1） 规定：零向量与任意向量的数量积为 ） 规定：零向量与任意向量的数量积为0，即
a ⋅0 =
0．
在向量的运算中不能省略， （2） a · b中间的“ · ”在向量的运算中不能省略，也不能写 ） 中间的 在向量的运算中不能省略 成a×b ，a×b 表示向量的另一种运算（外积）． × × 表示向量的另一种运算（外积）
a ⋅b
已知｜ ｜＝３ ｜＝６ 例1 . 已知｜ａ｜＝３，｜ｂ｜＝６，当①ａ∥ｂ，②ａ⊥ ｂ，③ａ与ｂ的夹角是60°时，分别求ａ·ｂ. 的夹角是60 60° 解：①当ａ∥ｂ时，若ａ与ｂ同向，则它们的夹角θ ＝０°， ∴ａ·ｂ＝｜ａ｜·｜ｂ｜cos0°＝3×6×1＝18； 若ａ与ｂ反向，则它们的夹角θ＝180°， ∴ａ·ｂ＝｜ａ｜｜ｂ｜cos180°＝3×6×（-1） ＝－18； ②当ａ⊥ｂ时，它们的夹角θ＝90°， ∴ａ·ｂ＝０； ③当ａ与ｂ的夹角是60°时，有 1 ａ·ｂ＝｜ａ｜｜ｂ｜cos60°＝3×6× ＝9 2
2
− k
2
b
2
= 0
∵ a 2＝ 3 2 ＝ 9 , b ＝ 4 2 ＝ 1 6 . ∴ 9－ 1 6 k 3 ∴ k = ± 4
2
= 0
2.4.1 平面向量的数量积的物理背景及其含义
小
结
1. 向量的数量积是一种向量的乘法运算，它与向量的加 向量的数量积是一种向量的乘法运算， 减法、数乘运算一样， 法、减法、数乘运算一样，也有明显的物理背景和几何 意义，同时还有一系列的运算性质， 意义，同时还有一系列的运算性质，但与向量的线性运 算不同的是，数量积的运算结果是数量而不是向量. 数量而不是向量 算不同的是，数量积的运算结果是数量而不是向量 2. 实数的运算性质与向量的运算性质不完全一致，应用 实数的运算性质与向量的运算性质 完全一致， 运算性质不 时不要似是而非. 时不要似是而非 求向量的模 3. 常用︱a︱＝ a ⋅ a求向量的模. 常用︱ ︱
平面向量数量积的物理背景及几何意义
s
对非零向量a与b，定义| b | cosθ叫向量b
在a 方向上的投影．
| a | cosθ叫 向量a在b 方向上的投影．
数量积的几何意义
作 O Aa ， O Bb，过点B作BB1直线OA
则 O B 1 的数量是| b | cosθ （不是向量）
B
B
B
b
b
b
O
B1 a A
θ为锐角时，
| b | cosθ＞0
向量的数量积运算类似于多项式运算
例 2.已 知 |a|6,|b|4,a与 b夹 角 为 60, 求 ： (1)(a2b)(a3b)
(2)a2b|.
解 ： （ 1） .(a2b)(a3b)a2ab6b2
a2abcos6b272
2
2
(2 )a 2 ba 4 a b 4 b 23 7
例 3.已 知 |a|3,|b|4,且 a与 b不 共 线 . k为 何 值 时 ,(akb)(akb)？
a b a b c o s 2 2 c o s 4 5 0 2
单a位b 设 向| aa量、 | | ，b b| 是c 是 o s 非a 与 零( 1 向e)e 的量a 夹，e 角是 a ，e 则与 b| a 方 |向c相o 同的s
(2 )a b ab 0判断垂直的又一条
(√ )
结合律： (ab)c=a(bc)
(ab)ca(bc) (×)
(a)b(ab)a(b)(√ )
分配律： (a+b)c=ab+bc (ab)cacbc ( √ )
消去律: ab=bc(b≠0) a=c
× abbc(b0) ac( )
数量积的运算律 已知向量a、b、c和实数 ，则:
人教版数学 平面向量数量积的物理背景及其含义 (共15张PPT)教育课件
有些人经常做一些计划，有的计划几乎 不去做 或者做 了坚持 不了多 久。其 实成功 的关键 是做很 坚持。 上帝没 有在我 们出生 的时候 给我们 什么额 外的装 备，也 许你对 未来充 满迷惑 ，也许 你觉得 是在雾 里看花 ，但是 只要我 们不停 的去做 ，去实 践，总 是可以 走到一 个鲜花 盛开的 地方， 也许在 那个时 候，你 就能感 受到什 么叫柳 暗花明 。走向 成功的 过程就 好像你 的起点 是南极 ，而成 功路径 的重点 在北极 。那么 无论你 往哪个 方向走 ，只要 中途的 方向不 变，最 终都会 到达北 极，那 就在于 坚持。
迁安市第三中学 玄立莲
a
静心自学 (1)已知两个非零向量 a 与 b ，我们把数量 a•bcos叫
做向量a与b的数量积，记作a • b ，即 a•babcos (θ为a， b的夹角)．
规定：零向量与任一向量的数量积为 0 问题1、向量的数量积与数乘向量的运算结果有何区别？
数量积的结果是实数，数乘的结果是向量
: 其实兴趣真的那么重要吗？很多事情我 们提不 起兴趣 可能就 是运维 我们没 有做好 。想想 看，如 果一件 事情你 能做好 ，至少 做到比 大多数 人好， 你可能 没有办 法岁那 件事情 没有兴 趣。再 想想看 ，一个 刚来到 人世的 小孩， 白纸一 张，开 始什么 都不会 ，当然 对事情 开始的 时候也 没有 兴趣这 一说了 ，随着 年龄的 增长， 慢慢的 开始做 一些事 情，也 逐渐开 始对一 些事情 有兴趣 。通过 观察小 孩的兴 趣，我 们可以 发现一 个规律 ，往往 不是有 了兴趣 才能做 好，而 是做好 了才有 了兴趣 。人们 总是搞 错顺序 ，并对 错误豪 布知晓 。尽管 并不绝 对是这 样，但 大多数 事情都 需要熟 能生巧 。做得 多了， 自然就 擅长了 ；擅长 了，就 自然比 别人做 得好； 做得比 别人好 ，兴趣 就大起 来，而 后就更 喜欢做 ，更擅 长，更 。。更 良性循 环。教 育小孩 也是如 此，并 不是说 买来一 架钢琴 ，或者 买本书 给孩子 就可以 。事实 上，要 花更多 的时间 根据孩 子的情 况，选 出孩子 最可能 比别人 做得好 的事情 ，然后 挤破脑 袋想出 来怎样 能让孩 子学会 并做到 很好， 比一般 人更好 ，做到 比谁都 好，然 后兴趣 就自然 出现了 。
平面向量数量积的物理背景及其含义
例2.已知|a|6,|b|4,a与b夹角为60,
解
：（a
2b）（·a
- 3b）
求：(1)(a2b)(a3b)
a·a a·b 6b·b
|
a
|2
a ·b
6
|
b
|2
(2)a2b|. | a |2 | a |·| b | cosθ 6 | b |2 36 12 96 72
例3.已知|a|3,|b|4,且a与b不共线.
b a
a+b
OM
Nc
则： (a + b) ·c = ON |c|
= (OM + MN) |c|
= OM|c| + MN|c|
= a·c + b·c .
典型例题
（ 1）(ab)2
2
2
a 2abb
22
(2)(ab)(ab)a b
例1.已知向量a，b,求证下列各式
证明：（1）(a＋b)2＝(a＋b)·(a＋b) ＝(a＋b)·a＋(a＋b)·b ＝a·a＋b·a＋a·b＋b·b ＝a2＋2a·b＋b2.
6
WORKHARVEST
W=|F| |S|cosθ 其中 θ是F与S的夹角
数量积的定义
已知两个非零向量a 和b ，它们的夹
角为 ，我们把数量 |a||b|c叫os做a 与b 的
数量积（或内积），记作a · b ，即
（1）两向量的数量积是一个数量，
注
意 （2） a · b不能写成a×b ，‘·’不能省.
特别地: aa |a|2或 |a|aa求模的方法
求 角
（3）cos
|
ab a || b
（4）|a
|
高二数学平面向量数量积的物理背景及其含义
如图可知：
(a b) c a c b c
| OB1 || OB | cos | a b | cos | OA1 || a | cos1 | A1B1 || AB2 || b | cos2
| OB1 || OA1 | | A1 B1 | | a b | cos | a | cos 1 | b | cos 2
A
a
1
b
2
B2
B
c (a b) | c || a b | cos c a c b
O
| c || a | cos 1 | c || b | cos 2
A1 c B1 C
(a b) c a c b c
数量积的运算规律：
(1)a b b a; (2)( a) b (a b) a ( b); (3)(a b) c a c b c.
2
2
(2)(a b)(a b) a b .
2
2
(3) (a b)3 (a)3 3(a)2 b 3a (b)2 (b)3
例3.已知 | a | 6,| b | 4 ，a 与 b 的夹角60º ， 求 (a 2b) (a 3b),| a b |。
2 | a | a a _____ . | a | a a
(3) | a b | ____ ≤ | a || b | .( 填 或 )
注：常记 a a 为 a 。
2
(a)2 | a |2
例1.已知 | a | 5,| b | 4 ，a 与 b 的夹角θ=120º ， 求 a b 。
方向上（ a 在 b 方向上）的投影.并且规定，零向量与任一向量 的数量积为零，即 a 0 0 。 B
2.4.1平面向量数量积的物理背景及其含义
2
2
题2、 已知 a 6， b 4， a与b的夹角为60 ，
0
求(a＋2b) (a－3b)
题3、 已知 a 3， b 4，且a与b不共线.k为 何值时，向量 a k b与a k b互相垂直.
提高练习：
1、三角形ABC为正三角形，问：
(1) AB与 AC 夹角为 600 (2) AB与 BC 夹角为 1200 (3) AB在 AC 上的投影为 (4) AB在 BC 上的投影为
(3)a (b c) a b a c (分配律)
说明：向量数量积不满足消去律，
也就是说：
当a 0, a b a c时，不一定有b c.
巩固训练
题1、求证：
(1)(a b) a 2a b b
2
2
2
(2)(a b)(a b) a b
平面向量数量积 的物理背景及其 含义
一、向量数量积的物理背景
在物理课中，我们学过功的概念， 即如果一个物体在力 F 的作用下产生 位移 S ，那么力 F 所做的功
W F S cos
F
S
我们将功的运算类比到两个向量 的一种运算，得到向量“数量积”的 概念。
W F S cos
1 | AB | 2 1 | AB | 2
2、判断下列说法的正误，并说明理由
(1)在ABC中，若AB BC ＜0，则ABC是锐角。
假
(2)在ABC中，若AB BC 0，则ABC是钝角。
真
(3)在ABC中，若AB BC 0，则ABC是直角。
真
3、 已知 a 2, b 3, a与b的夹角为 120 (1)a b =-3 (5) a b
平面向量数量积的物理背景及其含义(高中数学课件)
2
2
a a ab b a bb
a 2a b b
2
2
（ 2） (a b) (a b) a a - a b b a - b b
a b
2
2
平面向量数量积的物理背景及其含义
| b | 4 ， 例2．已知 | a | 6 ， a 与 b 的夹角为 60o ，
求 (a 2b) (a 3b) . 解： (a 2b) (a 3b)
a a a b 6b b
| a |2 a b 6 | b |2 | a |2 | a || b | cos60 6 | b |2 1 6 6 4 6 4 2 72
| b | cos 叫做 b 在 a方向上的投影；
| a | cos 叫做 a在 b方向上的投影；
| a | cos
平面向量数量积的物理背景及其含义
a b | a || b | cos
平面向量数量积的几何意义
数量积 a b 等于 a 的长度 | a | 与 b 在 a 上的投 影 | b | cos 的乘积．
a b | a || b | ；
用于计算向量的模 用于计算向量的夹角,以 及判断三角形的形状.
(4) | a b | ≤
| a || b | .
平面向量数量积的物理背景及其含义
B
b
O OB | b | cos
1
a b | a || b | cos
a
B1
A
| b | cos a b |a| a b |b|
平面向量数量积的物理背景及其含义
证明分配律：
b
向量a、b、a + b在c 上的射影的数量分别 是OM、MN、 ON, 则
平面向量数量积的物理背景及其含义课件
『规律总结』 1.利用数量积求解长度问题是数量积的重要应用，要掌握此 类问题的处理方法：
(1)a＝a·a＝|a|2 或|a|＝ a·a． (2)|a±b|＝ a±b2＝ a2＋b2±2a·b． 2．向量夹角公式 cos〈a，b〉＝|aa|·|bb|的计算中涉及了向量运算和数量运算， 计算时要区别进行的是向量运算还是数量运算．从而保证计算结果准确无误．
(2)∵|a|＝|a－b|，∴a·b＝12|a|2， 又|a＋b|＝ a＋b2＝ |a|2＋2a·b＋|b|2＝ 3|a|， 设 a 与 a＋b 的夹角为 θ， 则 cosθ＝a|a·||aa＋＋bb|＝|aa2||＋a＋a·bb|＝|a|a|2|＋· 312||aa||2＝ 23， 又 θ∈[0，π]，∴θ＝π6，即 a 与 a＋b 的夹角为π6．
『规律总结』 依据向量数量积的有关知识判断平面图形的形状，关键是由已知条件建立数量积、 向量的长度、向量的夹角等之间关系，移项、两边平方是常用手段，这样可以出现数量积及向 量的长度等信息，为说明边相等、边垂直指明方向．
混淆向量的模与实数的运算
典例 5
已知|a|＝2，|b|＝3，a与b的夹角为120°，求|a＋b|及|a－b|的值．
『规律总结』 求一个向量在另一个向量方向上的投影时，首先要根据题 意确定向量的模及两向量的夹角，然后代入公式计算即可．
命题方向3 ⇨利用向量的数量积解决有关模、夹角问题
典例 3 (1)已知|a|＝|b|＝5，向量 a、b 夹角 θ＝π3，求|a＋b|． (2)已知 a，b 是两个非零向量，且|a|＝|b|＝|a－b|.求 a 与 a＋b 的夹角．
[解析] 在△ABC 中，易知A→B＋B→C＋C→A＝0， 即 a＋b＋c＝0， 因此 a＋c＝－b，a＋b＝－c， 从而aa＋＋bc22＝＝－－bc22，， 两式相减可得 b2＋2a·b－c2－2a·c＝c2－b2， 则 2b2＋2(a·b－a·c)＝2c2， 因为 a·b＝c·a＝a·c， 所以 2b2＝2c2，即|b|＝|c|． 同理可得|a|＝|b|，故|A→B|＝|B→C|＝|C→A|，即△ABC 是等边三角形．
平面向量数量积的物理背景及其含义
ab=|a| |b| cosθ
为正; 当0°≤θ < 90°时ab为正; ° ° 为正 为负. 当90°<θ ≤180°时ab为负. ° ° 为负 为零. 当θ =90°时ab为零. ° 为零
e b 设 a, 是非零向量, 是与 方向相同的 b 是非零向量,
单位向量, a e 的夹角, 单位向量, 是 与 的夹角,则 θ
a b =
|
a
| |
b
| c o s
θ
(1)e a = a e =| a | cosθ
(2)a ⊥ b a b = 0 (3)当a与b同向时,a b =| a || b |;
b
O
B
θ B1 a
A
当a与b 向时,a b = | a || b |;
2
a a =| a |
a b (4) cosθ = | a || b |
平面向量的数量积及运算律 数量积的运算律: 数量积的运算律:
(1)a b = b a (2)(λa) b = λ(a b) = a (λb) (3)(a + b) c = a c + b c
其中, 其中, , , 是任意三个向量, ∈R a b c是任意三个向量, λ 注:1 (a b) c ≠ a (b c) ,
平面向量的数量积及运算律
过点B作 OB 作OA = a, = b ,过点 作 BB1 垂直于直线OA,垂足为 B1,则 OB1 = | b | cosθ 垂直于直线 , | b | cosθ叫向量 在a 方向上的投影 叫向量b 方向上的投影 叫向量 B B B b b b
θ
O a BA 1 θ为锐角时, 为锐角时, 为锐角时 | b | cosθ>0
平面向量数量积的背景及其含义
0
| a | | a |· | cosθ 6 | b | |b
2
2
36 12 96 72
例4、已知 | a | 3, | b | 4, 且a与b不共线.k为 何值时, 向量a k b与a k b垂直.
解：a+kb与a-kb互相垂直的条件是 （ a+kb）· （a-kb）=0 即a· k· b=0 a-k· b· 9-16 k 2 =0
( 2) | b | cos 叫做b在a方向上的投影 ;
(3)规定 : 0与任一向量的数量积为0.
新课
思考 : (a , b均为非零向量)
(1)a b ____; ( 2) ____ 时, a b 0; ____ 时, a b 0;
( 3)a , b同向时, a b ____; a , b反向时, a b ____;
1 5 8 ( ) 20 2
数量积运算律:
(1)a b b a; ( 2)( a ) b (a b) a ( b); ( 3)( a b) c a c b c .
A
a ab b
B
C
O
A1
c
B1
例2、试证 :
§ 2.4.1 平面向量数量积 的物理背景及其含义
引入
a与b的数量积 (内积) : 已知两个非向量 与b, 把数量 | a || b | cos a
, 称之.记作a b, 即a b | a || b | cos .
说明 :
(1)是a与b的夹角;
数量积a b等于a 的长度与b在a方向 上投影的乘积.
(4)a a a ____;
平面向量数量积的物理背景及其含义
§2.4平面向量的数量积2．4.1平面向量数量积的物理背景及其含义学习目标1.了解平面向量数量积的物理背景，即物体在力F的作用下产生位移s所做的功.2.掌握平面向量数量积的定义，理解其几何意义.3.会用两个向量的数量积求两个向量的夹角以及判断两个向量是否垂直.4.掌握平面向量数量积的运算律及常用的公式．知识点一 平面向量数量积的定义非零向量a ，b 的夹角为θ，数量|a ||b |cos θ叫做向量a 与b 的数量积(或内积)，记作a ·b ，即a ·b ＝|a ||b |cos θ，特别地，零向量与任意向量的数量积等于0. 思考 若a ≠0，且a ·b ＝0，是否能推出b ＝0.答案 在实数中，若a ≠0，且a ·b ＝0，则b ＝0；但是在数量积中，若a ≠0，且a ·b ＝0，不能推出b ＝0.因为其中cos θ有可能为0. 知识点二 平面向量数量积的几何意义 1．条件：向量a 与b 的夹角为θ. 2．投影3.a ·b 的几何意义：数量积a ·b 等于a 的长度|a |与b 在a 的方向上的投影|b |cos θ的乘积． 思考 向量a 在b 方向上的投影是向量吗？答案 a 在b 方向上的投影是一个数量(可正，可为0，可负)，不是向量．知识点三 平面向量数量积的性质设向量a 与b 都是非零向量，它们的夹角为θ. 1．a ⊥b ⇔a ·b ＝0.2．当a ∥b 时，a ·b ＝⎩⎪⎨⎪⎧|a ||b |，a 与b 同向，－|a ||b |，a 与b 反向.3．a·a ＝|a |2或|a |＝a ·a .4．cos θ＝a·b|a||b|.5．|a·b|≤|a||b|.知识点四平面向量数量积的运算律1．a·b＝b·a(交换律)．2．(λa)·b＝λ·(a·b)＝a·(λb)(数乘结合律)．3．(a＋b)·c＝a·c＋b·c(分配律)．思考若a·b＝b·c，是否可以得出结论a＝c?答案不可以．已知实数a，b，c(b≠0)，则ab＝bc⇒a＝c，但是a·b＝b·c推不出a＝c.理由如下：如图，a·b＝|a||b|cos β＝|b||OA|，b·c＝|b||c|cos α＝|b||OA|.所以a·b＝b·c，但是a≠c.1．向量a 在向量b 上的投影一定是正数．( × ) 2．若a ·b <0，则a 与b 的夹角为钝角．( × ) 3．向量的数量积运算满足(a ·b )·c ＝a ·(b ·c )．( × ) 4．已知a ≠0，且a ·c ＝a ·b ，则b ＝c .( × )题型一 求两向量的数量积例1 已知正三角形ABC 的边长为1，求： (1)AB →·AC →；(2)AB →·BC →；(3)BC →·AC →. 考点 平面向量数量积的运算性质与法则 题点 数量积运算与求值 解 (1)∵AB →与AC →的夹角为60°. ∴AB →·AC →＝|AB →||AC →|cos 60°＝1×1×12＝12.(2)∵AB →与BC →的夹角为120°， ∴AB →·BC →＝|AB →||BC →|cos 120° ＝1×1×⎝⎛⎭⎫－12＝－12. (3)∵BC →与AC →的夹角为60°，∴BC →·AC →＝|BC →||AC →|cos 60°＝1×1×12＝12.反思感悟 求平面向量数量积的两个方法(1)定义法：若已知向量的模及其夹角，则直接利用公式a·b ＝|a||b|cos θ.运用此法计算数量积的关键是正确确定两个向量的夹角，条件是两向量的始点必须重合，否则，要通过平移使两向量符合以上条件．(2)几何意义法：若已知一向量的模及另一向量在该向量方向上的投影，可利用数量积的几何意义求a·b .跟踪训练1 已知|a |＝4，|b |＝7，且向量a 与b 的夹角为120°，求(2a ＋3b )·(3a －2b )． 考点 平面向量数量积的运算性质与法则 题点 数量积运算与求值 解 (2a ＋3b )·(3a －2b ) ＝6a 2－4a ·b ＋9b ·a －6b 2 ＝6|a |2＋5a ·b －6|b |2＝6×42＋5×4×7·cos 120°－6×72 ＝－268.题型二 求向量的模例2 已知|a |＝|b |＝5，向量a 与b 的夹角为π3，求|a ＋b |，|a －b |.考点 平面向量数量积的应用 题点 利用数量积求向量的模 解 a ·b ＝|a ||b |cos θ＝5×5×12＝252.|a ＋b |＝(a ＋b )2＝|a |2＋2a ·b ＋|b |2＝25＋2×252＋25＝5 3.|a －b |＝(a －b )2＝|a |2－2a ·b ＋|b |2＝25－2×252＋25＝5.引申探究若本例中条件不变，求|2a ＋b |，|a －2b |. 解 a ·b ＝|a ||b |cos θ＝5×5×12＝252，|2a ＋b |＝(2a ＋b )2＝4|a |2＋4a ·b ＋|b |22|a －2b |＝(a －2b )2＝|a |2－4a ·b ＋4|b |2＝25－4×252＋4×25＝5 3.反思感悟 求解向量模的问题就是要灵活应用a 2＝|a |2，即|a |＝a 2，勿忘记开方． 跟踪训练2 已知|a |＝1，|b |＝3，且|a －b |＝2，求|a ＋b |. 考点 平面向量数量积的应用 题点 利用数量积求向量的模解 方法一 ∵|a －b |2＝(a －b )2＝a 2－2a ·b ＋b 2 ＝1＋9－2a ·b ＝4，∴a ·b ＝3. ∴|a ＋b |2＝(a ＋b )2＝a 2＋2a ·b ＋b 2 ＝1＋9＋2×3＝16，∴|a ＋b |＝4.方法二 ∵|a －b |2＝(a －b )2＝a 2－2a ·b ＋b 2， |a ＋b |2＝(a ＋b )2＝a 2＋2a ·b ＋b 2，∴|a －b |2＋|a ＋b |2＝2a 2＋2b 2＝2×1＋2×9＝20. 又|a －b |＝2，∴|a ＋b |2＝16，∴|a ＋b |＝4. 题型三 求向量的夹角例3 (1)设n 和m 是两个单位向量，其夹角是60°，求向量a ＝2m ＋n 与b ＝2n －3m 的夹角． 考点 平面向量数量积的应用 题点 利用数量积求向量的夹角 解 ∵|n |＝|m |＝1且m 与n 夹角是60°， ∴m·n ＝|m||n |cos 60°＝1×1×12＝12.|a |＝|2m ＋n |＝(2m ＋n )2＝4×1＋1＋4m·n＝4×1＋1＋4×12＝7，|b |＝|2n －3m |＝(2n －3m )2＝4×1＋9×1－12m·n2a·b ＝(2m ＋n )·(2n －3m )＝m·n －6m 2＋2n 2 ＝12－6×1＋2×1＝－72. 设a 与b 的夹角为θ， 则cos θ＝a·b|a||b |＝－727×7＝－12.又∵θ∈[0，π]，∴θ＝2π3，故a 与b 的夹角为2π3.(2)已知非零向量a ，b 满足|a |＝|b |＝|a ＋b |，求a 与a ＋b 的夹角及a 与a －b 的夹角． 考点 平面向量数量积的应用 题点 利用数量积求向量的夹角 解 如图所示，在平面内取一点O ，作OA →＝a ，OB →＝b ，以OA ，OB 为邻边作平行四边形OACB ，使|OA →|＝|OB →|， ∴四边形OACB 为菱形，OC 平分∠AOB ， 这时OC →＝a ＋b ，BA →＝a －b .由于|a |＝|b |＝|a ＋b |，即|OA →|＝|AC →|＝|OC →|， ∴∠AOC ＝60°，即a 与a ＋b 的夹角为60°.∵∠AOC ＝60°，∴∠AOB ＝120°， 又|OA →|＝|OB →|，∴∠OAB ＝30°， 即a 与a －b 的夹角为30°.反思感悟 (1)求向量的夹角，主要是利用公式cos θ＝a·b |a||b|求出夹角的余弦值，从而求得夹角．可以直接求出a·b 的值及|a |，|b |的值，然后代入求解，也可以寻找|a |，|b |，a·b 三者之间的关系，然后代入求解．(2)求向量的夹角，还可结合向量线性运算、模的几何意义，利用数形结合的方法求解． (3)求向量的夹角时，注意向量夹角的范围是[0，π]．跟踪训练3 已知|a |＝|b |＝2，(a ＋2b )·(a －b )＝－2，求a 与b 的夹角． 考点 平面向量数量积的应用 题点 利用数量积求向量的夹角解 ∵(a ＋2b )·(a －b )＝|a |2－2|b |2＋a ·b ＝－2. |a |＝|b |＝2，∴a ·b ＝2， 设a 与b 的夹角为θ，∴cos θ＝a ·b |a ||b |＝12， 又∵θ∈[0，π]，∴θ＝π3.向量的夹角与垂直问题典例 (1)已知向量a ，b 满足(2a ＋b )·(a －b )＝6，且|a |＝2，|b |＝1，则a 与b 的夹角为________．答案 π3解析 设a 与b 的夹角为θ，依题意有：(2a ＋b )·(a －b )＝2a 2－a ·b －b 2＝7－2cos θ＝6，所以cos θ＝12，因为0≤θ≤π，故θ＝π3.(2)已知向量a ，b ，且|a |＝1，|b |＝2，(a ＋2b )⊥(3a －b )， ①求向量a 与b 夹角的大小； ②求|a －2b |的值．解 ①设a 与b 的夹角为θ，由已知得(a ＋2b )·(3a －b )＝3a 2＋5a ·b －2b 2 ＝3＋10cos θ－8＝0，所以cos θ＝12，又0°≤θ≤180°，所以θ＝60°，即a 与b 的夹角为60°.②因为|a －2b |2＝a 2－4a ·b ＋4b 2＝1－4＋16＝13，所以|a －2b |＝13.[素养评析] 向量既有大小又有方向，我们可以通过代数运算来求解夹角、模等，这正是数学核心素养数学运算的具体体现．1．已知|a |＝1，|b |＝2，a 与b 的夹角为π3，则a·b 等于( )A ．1B ．2C ．3D ．4考点 平面向量数量积的运算性质与法则 题点 数量积运算与求值答案 A解析 a·b ＝1×2×cos π3＝1，故选A.2．在等腰直角三角形ABC 中，若∠C ＝90°，AC ＝2，则BA →·BC →的值等于( ) A ．－2 B ．2 C ．－2 2 D ．2 2 考点 平面向量数量积的运算性质与法则 题点 数量积运算与求值 答案 B解析 BA →·BC →＝|BA →||BC →|cos ∠ABC ＝2×2×cos 45°＝2.3．已知|a |＝8，|b |＝4，〈a ，b 〉＝120°，则向量b 在a 方向上的投影为( ) A ．4 B ．－4 C ．2 D ．－2 考点 向量的投影 题点 求向量的投影 答案 D解析 向量b 在a 方向上的投影为 |b |cos 〈a ，b 〉＝4×cos 120°＝－2.4．已知菱形ABCD 的边长为a ，∠ABC ＝60° ，则BD →·CD →等于( ) A ．－32a 2B ．－34a 2C.34a 2 D.32a 2 考点 平面向量数量积的运算性质与法则 题点 数量积运算与求值 答案 D解析 如图所示，由题意，得BC ＝a ，CD ＝a ，∠BCD ＝120°.∴BD →·CD →＝(BC →＋CD →)·CD → ＝BC →·CD →＋CD →2 ＝a ·a ·cos 60°＋a 2＝32a 2.5．已知向量a ，b 的夹角为60°，且|a |＝2，|b |＝1，若c ＝2a －b ，d ＝a ＋2b ， 求：(1)c ·d ；(2)|c ＋2d |. 考点 平面向量数量积的应用 题点 利用数量积求向量的模解 (1)c ·d ＝(2a －b )·(a ＋2b )＝2a 2－2b 2＋3a ·b ＝2×4－2×1＋3×2×1×12＝9.(2)|c ＋2d |2＝(4a ＋3b )2＝16a 2＋9b 2＋24a ·b ＝16×4＋9×1＋24×2×1×12＝97，∴|c ＋2d |＝97.1．两向量a 与b 的数量积是一个实数，不是一个向量，其值可以为正(当a ≠0，b ≠0,0°≤θ<90°时)，也可以为负(当a ≠0，b ≠0,90°<θ≤180°时)，还可以为0(当a ＝0或b ＝0或θ＝90°时)． 2．两个向量的数量积是两个向量之间的一种运算，与实数乘实数、实数乘向量的乘法运算是有区别的，在书写时一定要把它们严格区分开来，绝不可混淆． 3．求投影有两种方法(1)b 在a 方向上的投影为|b |cos θ(θ为a ，b 的夹角)，a 在b 方向上的投影为|a |cos θ. (2)b 在a 方向上的投影为a ·b |a|，a 在b 方向上的投影为a ·b |b |.4．对于两非零向量a ，b ，a ⊥b ⇔a ·b ＝0. 5．求向量模时要灵活运用公式|a |＝a 2.1．设非零向量a ，b ，c 满足|a |＝|b |＝|c |，a ＋b ＝c ，则a 与b 的夹角θ为( ) A ．150° B ．120° C ．60° D ．30° 考点 平面向量数量积的应用 题点 利用数量积求向量的夹角 答案 B解析 由|a |＝|b |＝|c |且a ＋b ＝c ，得|a ＋b |＝|b |，平方得|a |2＋|b |2＋2a ·b ＝|b |2⇒2a ·b ＝－|a |2⇒2|a |·|b |·cos θ＝－|a |2⇒cos θ＝－12⇒θ＝120°.2．已知|a |＝3，|b |＝4，且a 与b 的夹角θ＝150°，则a ·b 等于( ) A ．－6 B ．6 C ．－6 3 D ．6 3 考点 平面向量数量积的运算性质与法则 题点 数量积运算与求值 答案 C3．已知a ，b 方向相同，且|a |＝2，|b |＝4，则|2a ＋3b |等于( ) A ．16 B ．256 C ．8 D ．64 考点 平面向量数量积的应用 题点 利用数量积求向量的模 答案 A解析 ∵|2a ＋3b |2＝4a 2＋9b 2＋12a ·b ＝16＋144＋96＝256，∴|2a ＋3b |＝16. 4．已知|a |＝6，|b |＝3，a ·b ＝－12，则向量a 在向量b 方向上的投影是( ) A ．－4 B ．4 C ．－2 D ．2 考点 向量的投影 题点 求向量的投影 答案 A解析 根据投影的定义，设a ，b 的夹角为θ，可得向量a 在b 方向上的投影是|a |cos θ＝a·b |b|＝－4，故选A.5．已知平面上三点A ，B ，C ，满足|AB →|＝3，|BC →|＝4，|CA →|＝5，则AB →·BC →＋BC →·CA →＋CA →·AB →的值等于( )A ．－7B ．7C ．25D ．－25 考点 平面向量数量积的运算性质与法则 题点 数量积运算与求值解析 由条件知∠ABC ＝90°，所以原式＝0＋4×5cos(180°－C )＋5×3cos(180°－A ) ＝－20cos C －15cos A＝－20×45－15×35＝－16－9＝－25.6．设向量a ，b 满足|a ＋b |＝10，|a －b |＝6，则a ·b 等于( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．5考点 平面向量数量积的运算性质与法则 题点 数量积运算与求值 答案 A解析 ∵|a ＋b |2＝(a ＋b )2＝a 2＋2a ·b ＋b 2＝10，① |a －b |2＝(a －b )2＝a 2－2a ·b ＋b 2＝6，② 由①－②得4a ·b ＝4，∴a ·b ＝1.7．在△ABC 中，AB ＝6，O 为△ABC 的外心，则AO →·AB →等于( ) A. 6 B ．6 C ．12 D ．18 考点 平面向量数量积的应用 题点 数量积在三角形中的应用 答案 D解析 如图，过点O 作OD ⊥AB 于D ，可知AD ＝12AB ＝3，则AO →·AB →＝(AD →＋DO →)·AB →＝AD →·AB →＋DO →·AB →＝3×6＋0＝18，故选D.8．已知a ，b 是单位向量，a·b ＝0，若向量c 满足|c －b －a |＝1，则|c |的取值范围为( ) A ．[2－1，2＋1] B ．[2－1，2＋2] C ．[1，2＋1]D ．[1，2＋2]考点 平面向量数量积的应用 题点 向量模与夹角的综合应用 答案 A解析 如图所示，令OA →＝a ，OB →＝b ，OD →＝a ＋b ，OC →＝c ，则|OD →|＝ 2.又|c －b －a |＝1，所以点C 在以点D 为圆心、半径为1的圆上，易知当点C 与O ，D 共线时，|OC →|取到最值，最大值为2＋1，最小值为2－1，所以|c |的取值范围为[2－1，2＋1]．故选A. 二、填空题9．(2017·全国Ⅰ)已知向量a ，b 的夹角为60°，|a |＝2，|b |＝1，则|a ＋2b |＝________. 考点 平面向量数量积的应用 题点 利用数量积求向量的模 答案 2 3 解析 方法一|a ＋2b |＝(a ＋2b )2＝a 2＋4a ·b ＋4b 2＝22＋4×2×1×cos 60°＋4×12＝12＝2 3.方法二(数形结合法)由|a |＝|2b |＝2知，以a 与2b 为邻边可作出边长为2的菱形OACB ，如图，则|a ＋2b |＝|OC →|.又∠AOB ＝60°，所以|a ＋2b |＝2 3.10．设e 1，e 2是两个单位向量，它们的夹角为60°，则(2e 1－e 2)·(－3e 1＋2e 2)＝________. 考点 平面向量数量积的运算性质与法则 题点 数量积运算与求值 答案 －9211．已知在△ABC 中，AB ＝AC ＝4，AB →·AC →＝8，则△ABC 的形状是________． 考点 平面向量数量积的应用 题点 数量积在三角形中的应用 答案 等边三角形解析 AB →·AC →＝|AB →||AC →|cos ∠BAC ，即8＝4×4cos ∠BAC ，于是cos ∠BAC ＝12，因为0°<∠BAC <180°，所以∠BAC ＝60°. 又AB ＝AC ，故△ABC 是等边三角形．12．已知|a |＝4，|b |＝3，(2a －3b )·(2a ＋b )＝61.则向量a 在向量a ＋b 方向上的投影为________． 考点 向量的投影题点 求向量的投影 答案101313解析 (2a －3b )·(2a ＋b )＝4a 2－3b 2－4a·b ＝4×16－3×9－4a·b ＝61，解得a·b ＝－6， ∴|a ＋b |2＝a 2＋b 2＋2a·b ＝16＋9－12＝13，a ·(a ＋b )＝a 2＋a ·b ＝10， ∴|a ＋b |＝13，设a 与a ＋b 的夹角为θ，∴cos θ＝104×13＝5213，则a 在a ＋b 方向上的投影为|a |cos θ＝4×5213＝101313.三、解答题13．在平行四边形ABCD 中，AD ＝1，∠BAD ＝60°，E 为CD 的中点，若AC →·BE →＝1，求AB 的长．考点 平面向量数量积的应用 题点 利用数量积求向量的模解 如图，由题意可知，AC →＝AB →＋AD →，BE →＝－12AB →＋AD →.因为AC →·BE →＝1，所以(AB →＋AD →)·⎝⎛⎭⎫－12AB →＋AD →＝1， 即AD →2＋12AB →·AD →－12AB →2＝1.①因为|AD →|＝1，∠BAD ＝60°， 所以①式可化为1＋14|AB →|－12|AB →|2＝1.解得|AB →|＝0(舍去)或|AB →|＝12，所以AB 的长为12.14．(2018·吉林长春调研)已知|a |＝1，a ·b ＝12，(a －b )·(a ＋b )＝12，求：(1)a 与b 的夹角；(2)a －b 与a ＋b 的夹角的余弦值． 考点 平面向量数量积的应用 题点 向量模与夹角的综合应用 解 (1)∵(a －b )·(a ＋b )＝|a |2－|b |2＝12，又|a |＝1，∴|b |2＝12，∴|b |＝22.设a 与b 的夹角为θ，则cos θ＝a ·b |a ||b |＝121×22＝22， ∵0°≤θ≤180°，∴θ＝45°，∴a 与b 的夹角为45°. (2)|a －b |＝(a －b )2＝a 2－2a ·b ＋b 2＝1－2×12＋12＝22，|a ＋b |＝(a ＋b )2＝a 2＋2a ·b ＋b 2＝1＋2×12＋12＝102，设a －b 与a ＋b 的夹角为α，则cos α＝(a ＋b )·(a －b )|a ＋b ||a －b |＝12102×22＝55.。
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人教版高中数学必修4教学设计《2.4.1平面向量数量积的物理背景及其含义》丰南区唐坊高中苗云桥一．教学内容分析本课内容选自普通高中课程标准实验教科书数学必修4（人教A版）§2.4 平面向量的数量积的第一课时,本课主要内容是向量的数量积的定义及运算律,本节课让学生了解从特殊到一般再由一般到特殊的这种认识规律和体会概念法则的学习过程.二．学生学习情况分析学生在学习本节内容之前，已熟知了实数的运算体系，掌握了向量的概念及其线性运算，具备了功等物理知识，并且初步体会了研究向量运算的一般方法。
在功的计算公式和研究向量运算的一般方法的基础上,学生基本上能类比得到数量积的含义和运算律,对于运算律不一定给全或给对,对运算律的证明可能会存在一定的困难,教学中老师要注意引导学生分析判断.三．设计思想遵循新课标以人为本的理念，以启发式教学思想和建构主义理论为指导，采用探究式教学，以多媒体手段为平台，利用问题让学生自主地参与探究，在探究过程中注重学生学习过程的体验和数学能力的发展，引导学生积极将知识融入自己的知识体系。
四．教学目标知识与技能：以物理中功的实例认识理解平面向量数量积的含义及物理意义。
过程与方法：培养学生观察、归纳、类比、联想和数形结合等发现规律的一般方法。
情感态度价值观：让学生经历由实例到抽象的数学定义的形成过程，性质的发现到论证过程，进一步参悟数学的本质。
五．教学重点和难点重点是平面向量数量积的概念、用平面向量数量积表示向量的模及夹角；难点是平面向量数量积的定义及运算律的理解，平面向量数量积的应用。
六．教学过程设计活动一：创设问题情景，引出新课1、提出问题：请同学们回顾一下，我们已经研究了向量的哪些运算？这些运算的结果是什么？答：向量的加法、减法及数乘运算。
这些运算的结果是向量。
很好，那既然两个向量可以进行加法、减法运算。
我们自然就想：两个向量能进行乘法运算吗？如果能，结果也是向量吗？【设计意图】1.让学生明白新旧知识的联系性。
2.明确研究向量的数量积这种运算的途径。
活动二：探究数量积的概念1、给出有关材料并提出问题1：（1）如图所示，一物体在力F 的作用下产生位移S ，那么力F 所做的功：W = |F | |S | cos α。
（2）这个公式有什么特点？请完成下列填空：① W （功）是 数 量，② F （力）是 向 量，③ S （位移）是 向 量，④α是 F 与S 的夹角 。
（3）你能用文字语言表述“功的计算公式”吗?答：功是力与位移的大小及其夹角余弦的乘积这就给我们一种启示：能否把功W 看成两个向量F 和S 的一种运算结果呢？为此我们引入平面向量数量积，今天，我们就来学习平面向量的数量积。
2、明晰数量积的定义（1）数量积的定义：已知两个非零向量a 与b ，它们的夹角为θ，我们把数量θcos b a 叫做向量a 与b 的数量积（或内积），记作：b a ⋅，即：θcos b a b a =⋅。
（2）定义说明：①记法“b a ⋅”中间的“·”不可以省略，也不可以用“⨯”代替。
②规定：零向量与任何向量的数量积为零。
【设计意图】1.认识向量的数量积的实际背景。
2.使学生在形式上认识数量积的定义。
3.从数学和物理两个角度创设问题情景，使学生明白为什么研究这种运算,从而产生强烈的求知欲望。
3、提出问题3：向量的数量积运算与线性运算的结果有什么不同？影响数量积大小的因素有哪些？数量积的正负由谁决定？并指导学生完成下表θ的范围0°≤θ<90° θ=90° 90°<θ≤180° b a ⋅的符号 答：线性运算的结果是向量，而数量积的结果则是数量，这个数量的大小不仅和向量a 与b 的模有关，还和它们的夹角有关，数量积的正负由夹角决定。
【设计意图】引导学生通过自主研究，明确两个向量的夹角决定它们的数量积的符号，进一步从细节上理解向量数量积的定义。
4、出示例1及练习（学生独立完成） 例1：已知4,5==b a , b a 与的夹角θ，b a ⋅=时，求当120θS Fα已知正三角形ABC 的边长为1，求=⋅AC AB -----=⋅BC AB -----=⋅BC AC ---- 【设计意图】通过计算巩固对定义的理解，初步熟悉平面向量数量积公式。
活动三：探究数量积的运算性质 1、以填空的形式提出问题： （1）将尝试练习中的① ② ③的结论推广到一般向量，你能得到哪些结论？ （2）比较b a ⋅与b a 的大小，你有什么结论？2、请证明上述结论。
3、明晰：数量积的性质设a 与b 是非零向量，则1、0=⋅⇔⊥b a b a2、b a b a b a b a b a b a -=⋅=⋅反向时，与当同向时，与当; 特别地，时当b a =22;a a a a a a a a a =⋅===⋅或3、b a b a ≤⋅【设计意图】将尝试练习的结论推广得到数量积的运算性质，使学生感到亲切自然，同时也培养了学生由特殊到一般的思维品质和类比创新的意识。
活动四：研究数量积的几何意义（1）给出向量投影的概念： 如图，我们把θcos b （θcos a ） 叫做向量b 在a 方向上（a 在b 方向上）的投影， 记做：OB 1=θcos b （2）提出问题：向量的投影一定是正值吗？如果不是，那么它的正负由什么决定？答：不是，由两向量夹角大小决定，并分析各种角度的向量投影情形。
（3）提出问题：数量积的几何意义是什么？ 答：数量积b a ⋅等于a 的长度a 与b 在a 的方向上的投影θcos b 的乘积。
【设计意图】让学生了解向量投影的概念，使学生从代数和几何两个方面对数量积的特征有了更加充分的认识。
活动五：探究数量积的运算律1、提出问题：我们学过了实数乘法的哪些运算律？这些运算律对向量是否也适用？答:①交换律：ab=ba ②结合律：(ab)c=a(bc)③分配律：(a+b)c=ac+bc ④消去率：ab=bc(b ≠0)则a=c 猜想：①a b b a ⋅=⋅ ②())(c b a c b a ⋅⋅=⋅⋅ )()()(b a b a b a ⋅=⋅=⋅λλλ ③c b c a c b a ⋅+⋅=⋅+)( ④()c a b c b b a =⇒≠⋅=⋅02、分析猜想：猜想①的正确性是显而易见的。
关于猜想②())(c b a c b a ⋅⋅=⋅⋅的正确性，请同学们先讨论：猜测②的左右两边的结果各是什么？它们一定相等吗？答：左边是与向量c 共线的向量，而右边则是与向量a 共线的向量，显然在向量c 与向量a 不共线的情况下猜测②是不正确的。
再分析③正确④错误。
【设计意图】要求学生通过对过去所学过的运算律的回顾类比得出数量积的运算律。
通过讨论纠错来理解不同运算的运算律不尽相同，看到数学的法则与法则间的相互联系与区别，体会法则，学习研究的重要性。
3、明晰：数量积的运算律：已知向量c b a ,,，则 （1）a b b a ⋅=⋅ （2）)()()(b a b a b a ⋅=⋅=⋅λλλ （3）c b c a c b a ⋅+⋅=⋅+)(【设计意图】让学生进一步明确数量积的运算律。
活动六：应用与提高1、学生独立完成：对任意向量a ，b 是否有以下结论：（1）()2222b b a a b a +⋅+=+ （2）()()22b a b a b a -=-+ 【设计意图】让学生体会解题中运算律的作用，比较向量运算与数运算的异同。
2、师生共同完成：已知4,6==b a ，b a 与的夹角为60°， 求)3()2(b a b a -⋅+，b a 2+【设计意图】让学生体会解题中数量积的综合运算及向量求模方法。
3、师生共同完成：已知|a|＝3，|b|＝4，且a 与b 不共线，k 为何值时，向量a ＋k b与a －k b 互相垂直？【设计意图】学会利用数量积来解决垂直问题，体会用数量积将几何问题转化为方程来求解，体现向量的工具性．4、巩固练习判断下列说法是否正确（1）；(2) 若0=⋅b a ，则a 与b 至少有一个为零向量；(3) 若0>⋅b a ，则a 与b 的夹角为锐角；(4) 若()0 ≠⋅=⋅c c b c a 则b a = (选做）在等腰△ABC 中，AB=AC,BC=4 ,则=⋅BC BA -----------.【设计意图】1.加强学生的练习。
2.通过观察、问答等方式对学生的掌握情况有了进一步的了解和把握。
a a 00=⋅活动七：师生共同小结1、本节课我们学习的主要内容是什么？2、平面向量的数量积有哪些应用？3、我们是按照怎样的思维模式进行概念的归纳和性质的探究？在运算律的探究过程中，渗透了哪些数学思想？【设计意图】通过学生讨论总结，加强了学生概念法则的理解和掌握，体会整个内容的研究过程，明白了为什么要学这些内容，学了这些内容可以做什么，这对以后的学习有什么指导意义。
活动八：布置作业1、课本P 119习题2.4A 组1、2、3。
2、拓展与提高： 已知b a 与都是非零向量，且b a b a 573-+与垂直b a b a 274--与垂直，求b a 与的夹角。
（本题供学有余力的同学选做）【设计意图】通过设计不同层次的作业既使学生掌握基础知识，又使学有余力的学生有所提高，从而达到激发兴趣和“减负”的目的。
八．教学反思本节课从总体上说是一节概念教学，从数学和物理两个角度创设问题情景来引入数量积概念能激发学生的学习兴趣，。
通过安排学生讨论影响数量积结果的因素并完成表格和将数量积的几何意义提前有助于学生更好理解数量积的结果是数量而不是向量。
数量积的性质和运算律是数量积概念的延伸，这两方面的内容按照创设一定的情景，让学生自己去探究、去发现结论,教师明晰后，再由学生或师生共同完成证明。
这样能更清楚地看到数学法则与法则间的联系与区别,体会法则学习研究的重要性,例题和练习的选择都是围绕数量积的概念和运算律展开的,这能使学生更好在掌握概念法则.。