平面向量的数量积的物理背景及其含义

人教版高中数学必修4

教学设计

《2.4.1平面向量数量积的物理背景及其含义》

丰南区唐坊高中苗云桥

一．教学内容分析

本课内容选自普通高中课程标准实验教科书数学必修4（人教A版）§2.4 平面向量的数量积的第一课时,本课主要内容是向量的数量积的定义及运算律,本节课让学生了解从特殊到一般再由一般到特殊的这种认识规律和体会概念法则的学习过程.

二．学生学习情况分析

学生在学习本节内容之前，已熟知了实数的运算体系，掌握了向量的概念及其线性运算，具备了功等物理知识，并且初步体会了研究向量运算的一般方法。在功的计算公式和研究向量运算的一般方法的基础上,学生基本上能类比得到数量积的含义和运算律,对于运算律不一定给全或给对,对运算律的证明可能会存在一定的困难,教学中老师要注意引导学生分析判断.

三．设计思想

遵循新课标以人为本的理念，以启发式教学思想和建构主义理论为指导，采用探究式教学，以多媒体手段为平台，利用问题让学生自主地参与探究，在探究过程中注重学生学习过程的体验和数学能力的发展，

引导学生积极将知识融入自己的知识体系。

四．教学目标

知识与技能：以物理中功的实例认识理解平面向量数量积的含义及物理意义。

过程与方法：培养学生观察、归纳、类比、联想和数形结合等发现规律的一般方法。

情感态度价值观：让学生经历由实例到抽象的数学定义的形成过程，性质的发现到论证过程，进一步参悟数学的本质。

五．教学重点和难点

重点是平面向量数量积的概念、用平面向量数量积表示向量的模及夹角；难点是平面向量数量积的定义及运算律的理解，平面向量数量积的应用。

六．教学过程设计

活动一：创设问题情景，引出新课

1、提出问题：请同学们回顾一下，我们已经研究了向量的哪些运算？这些运算的结果是什么？

答：向量的加法、减法及数乘运算。这些运算的结果是向量。

很好，那既然两个向量可以进行加法、减法运算。我们自然就想：两个向量能进行乘法运算吗？如果能，结果也是向量吗？

【设计意图】1.让学生明白新旧知识的联系性。2.明确研究向量的数量积这种运算的途径。

活动二：探究数量积的概念

1、给出有关材料并提出问题1：

（1）如图所示，一物体在力F 的作用下产生位移S ，

那么力F 所做的功：W = |F | |S | cos α。

（2）这个公式有什么特点？请完成下列填空：

① W （功）是 数 量，② F （力）是 向 量，

③ S （位移）是 向 量，④α是 F 与S 的夹角 。

（3）你能用文字语言表述“功的计算公式”吗?

答：功是力与位移的大小及其夹角余弦的乘积

这就给我们一种启示：能否把功W 看成两个向量F 和S 的一种运算结果呢？为此我们引入平面向量数量积，今天，我们就来学习平面向量的数量积。

2、明晰数量积的定义

（1）数量积的定义：

已知两个非零向量a 与b ，它们的夹角为θ，我们把数量θcos b a 叫做向量a 与b 的数量积（或内积）

，记作：b a ⋅，即：θcos b a b a =⋅。 （2）定义说明：

①记法“b a ⋅”中间的“·”不可以省略，也不可以用“⨯”代替。

②规定：零向量与任何向量的数量积为零。

【设计意图】1.认识向量的数量积的实际背景。2.使学生在形式上认识数量积的定义。3.从数学和物理两个角度创设问题情景，使学生明白为什么研究这种运算,从而产生强烈的求知欲望。

3、提出问题3：向量的数量积运算与线性运算的结果有什么不同？影响数量积大小的因素有哪些？数量积的正负由谁决定？并指导学生完成下表

θ的范围

0°≤θ<90° θ=90° 90°<θ≤180° b a ⋅的符号 答：线性运算的结果是向量，而数量积的结果则是数量，这个数量的大小不仅和向量a 与b 的模有关，还和它们的夹角有关，数量积的正负由夹角决定。

【设计意图】引导学生通过自主研究，明确两个向量的夹角决定它们的数量积的符号，进一步从细节上理解向量数量积的定义。

4、出示例1及练习（学生独立完成） 例1：已知4,5==b a , b a 与的夹角θ，b a ⋅=时，求当120θ

S F

α

已知正三角形ABC 的边长为1，求=⋅AC AB -----=⋅BC AB -----=⋅BC AC ---- 【设计意图】通过计算巩固对定义的理解，初步熟悉平面向量数量积公式。 活动三：探究数量积的运算性质 1、以填空的形式提出问题： （1）将尝试练习中的① ② ③的结论推广到一般向量，你能得到哪些结论？ （2）比较b a ⋅与b a 的大小，你有什么结论？

2、请证明上述结论。

3、明晰：数量积的性质

设a 与b 是非零向量，则

1、0=⋅⇔⊥b a b a

2、b a b a b a b a b a b a -=⋅=⋅反向时，与当同向时，与当; 特别地，时当b a =22;a a a a a a a a a =⋅===⋅或

3、b a b a ≤⋅

【设计意图】将尝试练习的结论推广得到数量积的运算性质，使学生感到亲切自然，同时也培养了学生由特殊到一般的思维品质和类比创新的意识。

活动四：研究数量积的几何意义

（1）给出向量投影的概念： 如图，我们把θcos b （θcos a ） 叫做向量b 在a 方向上（a 在b 方向上）的投影， 记做：OB 1=θcos b （2）提出问题：向量的投影一定是正值吗？如果不是，那么它的正负由什么决定？

答：不是，由两向量夹角大小决定，并分析各种角度的向量投影情形。

（3）提出问题：数量积的几何意义是什么？ 答：数量积b a ⋅等于a 的长度a 与b 在a 的方向上的投影θcos b 的乘积。

【设计意图】让学生了解向量投影的概念，使学生从代数和几何两个方面对数量积的特征有了更加充分的认识。

活动五：探究数量积的运算律

1、提出问题：我们学过了实数乘法的哪些运算律？这些运算律对向量是否也适用？

答:①交换律：ab=ba ②结合律：(ab)c=a(bc)

③分配律：(a+b)c=ac+bc ④消去率：ab=bc(b ≠0)则a=c 猜想：①a b b a ⋅=⋅ ②())(c b a c b a ⋅⋅=⋅⋅ )()()(b a b a b a ⋅=⋅=⋅λλλ ③c b c a c b a ⋅+⋅=⋅+)( ④()

c a b c b b a =⇒≠⋅=⋅0