(完整版)2.4.1平面向量数量积的物理背景及其含义教学设计
高中数学_2.4.1平面向量数量积的物理背景及其含义教学设计学情分析教材分析课后反思
教学设计2.4.1 平面向量数量积的物理背景及其含义【学习目标】 知识与技能 理解向量数量积的含义及其物理意义；初步掌握数量积的性质；培养抽象思维能力.过程与方法通过分析实际问题,经历由特殊到一般、由具体到抽象的过程；渗透分类讨论、数形结合等思想方法.情感态度价值观 通过物理背景，体会向量的科学价值,培养探索精神，提高应用意识.课前小组合作探究案【回顾旧知】问题1：我们已经学习了哪几种向量运算？向量运算数学符号运算结果问题2：两个非零向量,a b 的夹角θ是如何定义的？其取值范围是？ 问题3：物理背景：大力士拉飞机【小组合作探究】小组合作探究（一）理解数量积的含义1.（1）已知5a =,4b =,向量a 与b 的夹角为120︒，求a b ⋅. （2）已知4p =，3q =，12p q ⋅=-，求p 与q 的夹角；2.两个非零向量数量积的的正负由谁确定？请完成下表：θ 0θ=02πθ<<2πθ=2πθπ<<π如图所示：物理上的功是怎样计算的？a b ⋅值的正负3.已知ABC ∆中，AB a =，AC b =，当0a b ⋅<或0a b ⋅=时，试判断ABC ∆的形状.4.已知ABC ∆是边长为1的等边三角形，求：（1）_______AB AC ⋅=（2）_______AB BC ⋅=（3）_______AC BC ⋅=探究结论：小组合作探究（二）通过理解投影的概念，体会数量积的几何意义.1.若4,,60,,90,,150OA OB OC OA l OB l OC l ====︒=︒=︒，分别作出,,OA OB OC 在向量l 上的投影，并求投影的值.2.根据提示： a b a ⋅=cos b θb =cos a θ探究a b ⋅的几何意义：___________________________________________________________________________ 小组合作探究（三）应用概念，探究数量积的性质.1.由向量数量积的定义，完成以下问题：（a 与b 是非零向量） （1）________a b a b ⊥⇔⋅=（2）当a 与b 同向时，________a b ⋅=；当a 与b 反向时，________a b ⋅=； 特别地，____________a a a ⋅=⇒= （3）____a b a b ⋅（比较大小） 2. 已知25p p ⋅=， 求p小组合作探究（四）与实数运算律类比，探究数量积的运算律运算律和运算紧密相连，引进向量的数量积后，自然要看一看它满足怎样的运算律.你能推导向量数量积的下列运算律吗？已知,,a b c 和实数λ，则：（1）a b b a ⋅=⋅（2）()()()a b a b a b λλλ⋅=⋅=⋅；（3）()a b c a c b c +⋅=⋅+⋅辨析：()()a b c a b c ⋅⋅=⋅⋅一定对吗？教学过程问题设计意图师生活动问题1：我们已经学习了哪几种向量运算？问题2：两个非零向量,a b 的夹角θ是如何定义的？其取值范围是？ 问题3：物理中的功是如何计算的？ 回顾旧知学生回答向量的“数量积”的概念：已知两个_______向量a 与b ，我们把数量________叫做a 与b 的数量积（或内积），记作__________，即：cos a b a b θ⋅=，其中θ是a 与b 的夹角，cos a θ（cos b θ）叫做向量a 在b 方向上（或b 在a 方向上）的投影.我们规定：0与任一向量的数量积为0. 形成概念 教师板书 学生明确关键几点： （1）数量 （2）“.”不能省. （3）关于零向量的规定小组合作探究（一）理解数量积的含义1.（1）已知5a =,4b =,向量a 与b 的夹角为120︒，求a b ⋅. （2）已知4p =，3q =，12p q ⋅=-，求p 与q 的夹角；2.两个非零向量数量积的的正负由谁确定？3.已知ABC ∆中，AB a =，AC b =，当0a b ⋅<或0a b ⋅=时，试判断ABC ∆的形状.4.已知ABC ∆是边长为1的等边三角形，求：（1）_______AB AC ⋅=（2）_______AB BC ⋅=（3）_______AC BC ⋅=通过探究，理解数量积的定义，感受数量积是个实数. 教师展示学生探究成果，学生代表发言，师生共同点评小组合作探究（二）通过理解投影的概念，体会数量积的几何意义. 数形结合理解投影的概念，从形的由学生代表发言，师生共同探讨投1.若4,,60,,90,OA OB OC OA l OB l ====︒=︒,150OC l =︒，分别作出,,OA OB OC 在向量l 上的投影，并求投影的值.2.提示： a b a ⋅=cos b θb =cos a θ探究a b ⋅的几何意义： 角度认识数量积，理解数量积的几何意义影的概念及数量积的几何意义小组合作探究（三）应用概念，探究数量积的性质.1.由向量数量积的定义，完成以下问题：（a 与b 是非零向量） （1）________a b a b ⊥⇔⋅=（2）当a 与b 同向时，________a b ⋅=；当a 与b 反向时，________a b ⋅=；特别地，____________a a a ⋅=⇒= （3）____a b a b ⋅（比较大小） 2. 已知25p p ⋅=， 求p应用概念探究数量积的性质展示学生的探究成果，由学生讲解，师生共同点评小组合作探究（四）与实数运算律类比，探究数量积的运算律 运算律和运算紧密相连，引进向量的数量积后，自然要看一看它满足怎样的运算律.你能推导向量数量积的下列运算律吗？已知,,a b c 和实数λ，则：（1）a b b a ⋅=⋅（2）()()()a b a b a b λλλ⋅=⋅=⋅； （3）()a b c a c b c +⋅=⋅+⋅辨析：()()a b c a b c ⋅⋅=⋅⋅一定对吗？ 与实数运算律类比，探究数量积的运算律（1）（2）由学生解决 （3）教师用微课给出证明【例练结合】典型例题1：例练结合 能力提升变式练习已知6,4a b ==，a 和b 的夹角为典型例题2：已知3,4a b ==，且a 与b 不共线，变式练习2：12,e e 是互相垂直的单位向量，课堂小结 4,a b =学情分析青岛地区高一上学期已经学习了函数、三角函数两个知识模块，前面又学习了向量的概念、线性运算、平面向量基本定理，具备了学习本节课的知识基础。
2.4.1平面向量的数量积的物理背景及其含义(教、学案) (2)
2. 4.1平面向量的数量积的物理背景及其含义一、教材分析本节学习的关键是启发学生理解平面向量数量积的定义，理解定义之后便可引导学生推导数量积的运算律，然后通过概念辨析题加深学生对于平面向量数量积的认识.主要知识点：平面向量数量积的定义及几何意义；平面向量数量积的5个重要性质；平面向量数量积的运算律.二．教学目标1．了解平面向量数量积的物理背景，理解数量积的含义及其物理意义；2．体会平面向量的数量积与向量投影的关系，理解掌握数量积的性质和运算律，并能运用性质和运算律进行相关的判断和运算；3．体会类比的数学思想和方法，进一步培养学生抽象概括、推理论证的能力。
三、教学重点难点重点： 1、平面向量数量积的含义与物理意义，2、性质与运算律及其应用。
难点：平面向量数量积的概念四、学情分析我们的学生属于平行分班，没有实验班，学生已有的知识和实验水平有差距。
有些学生对于基本概念不清楚，所以讲解时需要详细五、教学方法1．实验法：多媒体、实物投影仪。
2．学案导学：见后面的学案。
3．新授课教学基本环节：预习检查、总结疑惑→情境导入、展示目标→合作探究、精讲点拨→反思总结、当堂检测→发导学案、布置预习六、课前准备1．学生的学习准备：预习学案。
2．教师的教学准备：多媒体课件制作，课前预习学案，课内探究学案，课后延伸拓展学案。
七、课时安排：1课时八、教学过程(一)预习检查、总结疑惑检查落实了学生的预习情况并了解了学生的疑惑，使教学具有了针对性。
（二）情景导入、展示目标。
创设问题情景，引出新课1、提出问题1：请同学们回顾一下，我们已经研究了向量的哪些运算？这些运算的结果是什么？期望学生回答：向量的加法、减法及数乘运算。
2、提出问题2：请同学们继续回忆，我们是怎么引入向量的加法运算的？我们又是按照怎样的顺序研究了这种运算的？期望学生回答：物理模型→概念→性质→运算律→应用3、新课引入：本节课我们仍然按照这种研究思路来研究向量的另外一种运算：平面向量数量积的物理背景及其含义（三）合作探究，精讲点拨探究一：数量积的概念1、给出有关材料并提出问题3：（1）如图所示，一物体在力F的作用下产生位移那么力F所做的功：W= |F| |S| cosα。
高中数学 2.4.1平面向量的数量积的物理背景及其含义教案 新人教A版必修四
2.4.1平面向量的数量积的物理背景及其含义教学目的：1.掌握平面向量的数量积及其几何意义；2.掌握平面向量数量积的重要性质及运算律；3.了解用平面向量的数量积可以处理垂直的问题；4.掌握向量垂直的条件.教学重点：平面向量的数量积定义教学难点：平面向量数量积的定义及运算律的理解和平面向量数量积的应用教学过程：一、复习引入：（1）两个非零向量夹角的概念： 已知非零向量ａ与ｂ，作OA ＝ａ，OB ＝ｂ，则∠ＡＯＢ＝θ（０≤θ≤π）叫ａ与ｂ的夹角.说明：（1）当θ＝０时，ａ与ｂ同向；（2）当θ＝π时，ａ与ｂ反向；（3）当θ＝2π时，ａ与ｂ垂直，记ａ⊥ｂ；（4）注意在两向量的夹角定义，两向量必须是同起点的.范围0︒≤θ≤180︒（2）两向量共线的判定（3）练习1.若a=(2，3)，b=(4，-1+y)，且a∥b，则y=（ C ）A.6B.5C.7D.82.若A(x ，-1)，B(1，3)，C(2，5)三点共线，则x 的值为（ B ）A.-3B.-1C.1D.3（4）力做的功：W = |F|⋅|s|cos θ，θ是F 与s 的夹角.二、讲解新课：1．平面向量数量积（内积）的定义：已知两个非零向量ａ与ｂ，它们的夹角是θ，则数量|a||b|cos θ叫ａ与ｂ的数量积，记作a ⋅b ，即有a ⋅b = |a||b|cos θ，（０≤θ≤π）.并规定0向量与任何向量的数量积为0.⋅探究：1、向量数量积是一个向量还是一个数量？它的符号什么时候为正？什么时候为负？2、两个向量的数量积与实数乘向量的积有什么区别？（1）两个向量的数量积是一个实数，不是向量，符号由cosθ的符号所决定.（2）两个向量的数量积称为内积，写成a⋅b；今后要学到两个向量的外积a×b，而a⋅b是两个向量的数量的积，书写时要严格区分.符号“· ”在向量运算中不是乘号，既不能省略，也不能用“×”代替. （3）在实数中，若a≠0，且a⋅b=0，则b=0；但是在数量积中，若a≠0，且a⋅b=0，不能推出b=0.因为其中cosθ有可能为0.（4）已知实数a、b、c(b≠0)，则ab=bc ⇒ a=c.但是a⋅b = b⋅c a = c如右图：a⋅b = |a||b|cosβ = |b||OA|，b⋅c = |b||c|cosα = |b||OA|⇒ a⋅b = b⋅c 但a ≠ c(5)在实数中，有(a⋅b)c = a(b⋅c)，但是(a⋅b)c ≠ a(b⋅c)显然，这是因为左端是与c共线的向量，而右端是与a共线的向量，而一般a与c不共线.2．“投影”的概念：作图定义：|b|cosθ叫做向量b在a方向上的投影.投影也是一个数量，不是向量；当θ为锐角时投影为正值；当θ为钝角时投影为负值；当θ为直角时投影为0；当θ = 0︒时投影为 |b|；当θ = 180︒时投影为-|b|.3．向量的数量积的几何意义：数量积a⋅b等于a的长度与b在a方向上投影|b|cosθ的乘积.探究：两个向量的数量积的性质：设a、b为两个非零向量，1、a⊥b ⇔ a⋅b = 02、当a与b同向时，a⋅b = |a||b|；当a与b反向时，a⋅b = -|a||b|.特别的a⋅a = |a|2或aaa⋅=|| |a⋅b| ≤ |a||b| cosθ =||||baba⋅探究：平面向量数量积的运算律1．交换律：a ⋅ b = b ⋅ a证：设a，b夹角为θ，则a ⋅ b = |a||b|cosθ，b ⋅ a = |b||a|cosθ∴a ⋅ b = b ⋅ a2．数乘结合律：(λa)⋅b =λ(a ⋅b) = a ⋅(λb)证：若λ> 0，(λa)⋅b =λ|a||b|cos θ， λ(a ⋅b) =λ|a||b|cos θ，a ⋅(λb) =λ|a||b|cos θ，若λ< 0，(λa)⋅b =|λa||b|cos(π-θ) = -λ|a||b|(-cos θ) =λ|a||b|cos θ，λ(a ⋅b) =λ|a||b|cos θ， a ⋅(λb) =|a||λb|cos(π-θ) = -λ|a||b|(-cos θ) =λ|a||b|cos θ.3．分配律：(a + b)⋅c = a ⋅c + b ⋅c在平面内取一点O ，作= a ， = b ，= c ， ∵a + b （即）在c 方向上的投影等于a 、b 在c 方向上的投影和，即 |a + b| cos θ = |a| cos θ1 + |b| cos θ2∴| c | |a + b| cos θ =|c| |a| cos θ1 + |c| |b| cos θ2， ∴c ⋅(a + b) = c ⋅a + c ⋅b 即：(a + b)⋅c = a ⋅c + b ⋅c说明：（1）一般地，(ａ·ｂ)с≠ａ（ｂ·с）（2）ａ·с＝ｂ·с，с≠0ａ＝ｂ（3）有如下常用性质：ａ２＝｜ａ｜２，（ａ＋ｂ）（с＋ｄ）＝ａ·с＋ａ·ｄ＋ｂ·с＋ｂ·ｄ三、讲解范例：例1．证明：(ａ＋ｂ)２＝ａ２＋２ａ·ｂ＋ｂ２例2．已知|a|=12， |b|=9，254-=∙b a ，求a 与b的夹角。
高中数学 241 平面向量数量积的物理背景及其含义教案
2.4.1 平面向量数量积的物理背景及其含义【学情分析】本节以力对物体做功作为背景，研究平面向量的数量积，以及对运算律的理解和平面向量的数量积的灵活应用．但是，学生作为初学者不清楚向量的数量积数数量还是向量，寻找两向量的夹角又容易想当然．通过情境创设、探究和思考引导学生认知、理解并掌握相关的内容．利用向量数量积运算讨论一些几何元素的位置关系、距离和角，这些刻画几何元素（点、线、面）之间度量关系的基本量学生容易混淆．利用数量积运算来反映向量的长度和两个向量间夹角的关系解决问题，是学生学习本节内容的重点又是难点．由向量的线性运算迁移，引申到向量的乘法运算这是个很自然的过渡，深入浅出、符合学生的认知规律，也有利于明确本节课的教学任务，激发学生的学习兴趣和求知欲望．【教学目标】（1）懂得平面向量数量积的含义及其物理背景；（2）会进行平面向量数量积的运算；（3）会用数量积判定两个向量的垂直关系；（4）能运用数量积求两个向量夹角的余弦值．【教学重点】平面向量数量积的概念和性质及运算律的探究和应用．【教学难点】平面向量数量积的定义及对运算律的探究、理解，平面向量数量积的灵活应用．cosθb叫做记作：a b cosθb（其与b的夹（cosθb）叫方向上（b在方向上）的投影．）a b=a b（a与都是非零向量）；=a b，则至少有一个类比a,b属于ab=0等价于．而且此性质=b a b ；共线反=-b a b ．22==a a a a 或2=a a a a与二次根式性质类比)，这是求向量长度的又一方法．从例1得出性质≤b a b 和数量积的几何意义．b学生通过自主阅读，总结并发=b b a ； )()()λλ==a b a b a b )+=+a b c a c b c 对向量数量积的运算律进一步研究．）()()=a b c a b c 成立吗？显然，等式左边与向量a共线，右边与向量c 共线，而不一定共线，因此结论不一定成立；=a b b c 能否推出？（反例：当a =0，时，有0==a b b c ，但不能得到c =0）．结合实数0),有ab=bc ⇒a=c 进行类比，辨析．与法则之间的区别与联系．注意利用学生的错误这一重要资源，和易混点，掌握知识．老师可以将例题内容与多 1.【教学反思】本节课教学效果不错，主要是把学习的主动权交还给学生，注意学生的主动探索、思考及师生互动，还以物理知识为背景，建立了数学的平面向量数量积的概念和运算，使得学习内容直观、生动，抓住重点．使学生懂得对已有的知识进行迁移、采用类比的方法让学生主动学习合作交流，体验数学的发现和创造过程，培养学生数学表达和交流的能力．在课堂中会体现自我，学会自己寻找解题的突破口，在探究中学会思考，在合作中学会推进，在观察中学会比较，进而推进整个教学程序的展开．但自我感觉“讲”的还是偏多了一点，对于学生解题中出项的错误这一资源展开、分析得不够，以后应该更加注意引导．。
高中数学 2.4.1平面向量数量积的物理背景及其定义教案人教版必修4
2.4.1 平面向量数量积的物理背景及定义一、教学目标1.知识与技能：掌握平面向量的数量积的定义、运算率及其物理意义2.过程与方法：（1）通过向量数量积物力背景的了解，体会物理学和数学的关系（2）通过向量数量积定义的给出，体会简单归纳与严谨定义的区别（3）通过向量数量积分配率的学习，体会类比，猜想，证明的探索式学习方法3.情感、态度与价值观：通过本节探究性学习，让学生尝试数学研究的过程。
二、教学重点、难点重点：平面向量数量积的定义难点：数量积的性质及运算率三、教学方法：探究性设计方法，提出问题，创设情境，引导学生参与教学过程四、教学过程教学环节教学内容师生互动设计意图引入以物理学中的做功为背景引入问题：观察讨论做功的公式中左右两端的量分别是什么量？什么影响了功的大小？如何精确的给出数学中的定义？力做的功：W = |F ||s|c os ，是F与s的夹角a abb 教师提出问题，学生思考由旧知识引出新内容；同时联系物理学和数学，理解具体和一般的关系定义形成问题：给一个精确定义问题：定义向量的一种乘积运算，使得做功公式符合这种运算一、两个非零向量夹角的概念已知非零向量a与b，作OA ＝a，OB＝b，则∠ＡＯＢ＝θ（０≤θ≤π）叫a与b的夹角说明：（1）当θ＝０时，a与b同向；（2）当θ＝π时，a与b反向；（3）当θ＝2时，a与b 垂直，记a⊥b；（4）注意在两向量的夹角定义，两向量必须是同起点的范围0≤≤180C二、平面向量数量积（内积）的定义：已知两个非零向量a与b，它们的夹角是θ，则数量|a||b|c os叫a与b的数量积，记作a b，即有a b=|a||b|c os，（０≤θ≤π）并规定0与任何向量的数量积为0教师引导学生，注意：1.两向量必须同起点；2.的取值范围；3.数量积的定义公式形式；4.注意特殊向量零向量让学生自己体会数学的概括性、严谨性及可操作性定义深化问题：根据向量数量积的定义进行变形分析，总结性质（考虑特殊情况）结论：两个向量的数量积的性质：设a、b为两个非零向量，e是与b同向的单位向量学生自己回顾、探索、根据已有知识养成学生自己动脑、动手探索总结1、e a = a e =|a |c os2、a b a b = 03、 aa = |a |2或||a a a =4、c os =||||a ba b5、|ab | ≤ |a ||b |问题：在以往接触的实数运算中，有很多运算率，结合实数乘法的运算率谈谈平面向量数量积的运算率问题：数量积满足乘法交换率、分配率、结合率、消去率吗？ 如何验证。
平面向量数量积的物理背景及其含义(教案
平面向量数量积的物理背景及其含义教案章节：一、向量数量积的定义及计算公式【教学目标】1. 了解平面向量数量积的定义及其物理意义；2. 掌握平面向量数量积的计算公式；3. 能够运用向量数量积解决实际问题。
【教学内容】1. 向量数量积的定义：两个向量相乘的结果称为向量数量积，记作a·b，其中a、b为平面向量。
2. 向量数量积的物理意义：表示两个向量在空间中的投影长度乘积。
3. 向量数量积的计算公式：a·b = |a||b|cosθ，其中|a|、|b|分别为向量a、b的长度，θ为向量a、b之间的夹角。
【教学过程】1. 引入新课：通过讲解物理中力的作用效果，引导学生思考力的方向和大小对作用效果的影响，从而引出向量数量积的概念。
2. 讲解向量数量积的定义：结合图形，解释向量数量积的含义，让学生理解它是两个向量在空间中的投影长度乘积。
3. 推导向量数量积的计算公式：引导学生利用向量的长度和夹角，推导出向量数量积的计算公式。
4. 应用实例：让学生运用向量数量积的计算公式，解决实际问题，如力的合成与分解。
【课堂练习】1. 已知两个向量a、b，长度分别为|a|=3，|b|=4，夹角为θ=60°，求向量a与向量b的数量积。
2. 如图，在直角坐标系中，向量OA=(2,3)，向量OB=(4,6)，求向量OA与向量OB的数量积。
教案章节：二、向量数量积的性质及运算规律【教学目标】1. 掌握向量数量积的性质；2. 熟悉向量数量积的运算规律。
【教学内容】1. 向量数量积的性质：（1）交换律：a·b = b·a；（2）分配律：a·(b+c) = a·b + a·c；（3）数乘律：k·a = a·k（k为实数）。
2. 向量数量积的运算规律：（1）结合律：(a·b)·c = a·(b·c)；（2）分配律：(a+b)·c = a·c + b·c。
2.4.1平面向量数量积的物理背景及其含义(教学设计)
2.4.1 平面向量的数量积的物理背景及其含义（教学设计）[教学目标]一、 知识与能力：1． 掌握平面向量的数量积的物理背景及几何意义；2． 掌握平面向量数量积的运算律；二、过程与方法：渗透数形结合的数学思想方法，培养学生转化问题的能力；借助物理背景，感知数学问题，探究知识的来龙去脉；培养学生转化问题的能力.三、情感、态度与价值观：培养对现实世界中的数学现象的好奇心，学习从数学角度发现和提出问题；树立学科之间相互联系、相互促进的辩证唯物主义观点.[教学重点]向量的数量积的定义及性质．[教学难点]对向量数量积的定义及性质的理解和应用．一、 复习回顾，新课引入1． 向量共线定理 向量b 与非零向量a 共线的充要条件是：有且只有一个非零实数λ，使b =λa .2．平面向量基本定理：如果1e ，2e 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2使a=λ11e +λ22e3．平面向量的坐标表示分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量i 、j 作为基底.任作一个向量a ，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数x 、y ，使得yj xi a +=，把),(y x 叫做向量a 的（直角）坐标，记作),(y x a =4．平面向量的坐标运算若),(11y x a =，),(22y x b =，则b a +),(2121y y x x ++=，b a -),(2121y y x x --=，),(y x a λλλ=.若),(11y x A ，),(22y x B ，则()1212,y y x x --= 5．a ∥b (b ≠0)的充要条件是x 1y 2-x 2y 1=06．线段的定比分点及λP 1， P 2是直线l 上的两点，P 是l 上不同于P 1， P 2的任一点，存在实数λ，使 P 1=λ2PP ，λ叫做点P 分21P P 所成的比，有三种情况：λ>0(内分) (外分) λ<0 (λ<-1) ( 外分)λ<0 (-1<λ<0)问题：如图一个力F 作用于一个物体上，使该物体位移S ，（1） 如何计算这个力所做的功？W =|S||F|cos θ.（2） 如何从数学的角度来理解这个公式呢？○1θ的意义是什么？ ○2|F|cos θ的意义是什么？○3|S|cos θ 的意义是什么？ 二、师生互动，新课讲解：1．两个非零向量夹角的概念已知非零向量ａ与ｂ，作＝ａ，OB ＝ｂ，则∠ＡＯＢ＝θ（０≤θ≤π）叫ａ与ｂ的夹角.说明：（1）当θ＝０时，ａ与ｂ同向；（2）当θ＝π时，ａ与ｂ反向；（3）当θ＝2π时，ａ与ｂ垂直，记ａ⊥ｂ； （4）注意在两向量的夹角定义，两向量必须是同起点的.范围0︒≤θ≤180︒2．平面向量数量积（内积）的定义：已知两个非零向量和，它们的夹角为θ，我们把数量||·||·cos θ叫做a 和b 的数量积（或内积）。
高中数学 (2.4.1 平面向量数量积的物理背景及其含义)教案 新人教A版必修4
2.4 平面向量的数量积2.4.1 平面向量数量积的物理背景及其含义整体设计教学分析前面已经知道,向量的线性运算有非常明确的几何意义,因此利用向量运算可以讨论一些几何元素的位置关系.既然向量可以进行加减运算,一个自然的想法是两个向量能否做乘法运算呢?如果能,运算结果应该是什么呢?另外,距离和角是刻画几何元素(点、线、面)之间度量关系的基本量.我们需要一个向量运算来反映向量的长度和两个向量间夹角的关系.众所周知,向量概念的引入与物理学的研究密切相关,物理学家很早就知道,如果一个物体在力F 的作用下产生位移s(如图1),那么力F所做的功图1W=|F||s|cosθ功W是一个数量,其中既涉及“长度”,也涉及“角”,而且只与向量F,s有关.熟悉的数的运算启发我们把上式解释为两个向量的运算,从而引进向量的数量积的定义a·b=|a||b|cosθ.这是一个好定义,它不仅满足人们熟悉的运算律(如交换律、分配律等),而且还可以用它来更加简洁地表述几何中的许多结果.向量的数量积是一种新的向量运算,与向量的加法、减法、数乘运算一样,它也有明显的物理意义、几何意义.但与向量的线性运算不同的是,它的运算结果不是向量而是数量.三维目标1.通过经历探究过程,掌握平面向量的数量积及其几何意义.掌握平面向量数量积的重要性质及运算律.2.了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题,并掌握向量垂直的条件.3.通过问题的解决,培养学生观察问题、分析问题和解决问题的实际操作能力;培养学生的交流意识、合作精神;培养学生叙述表达自己解题思路和探索问题的能力.重点难点教学重点:平面向量数量积的定义.教学难点:平面向量数量积的定义及其运算律的理解和平面向量数量积的应用.课时安排1课时教学过程导入新课思路1.我们前面知道向量概念的原型就是物理中的力、速度、位移以及几何中的有向线段等概念,向量是既有大小、又有方向的量,它与物理学中的力学、运动学等有着天然的联系,将向量这一工具应用到物理中,可以使物理题解答更简捷、更清晰,并且向量知识不仅是解决物理许多问题的有利工具,而且用数学的思想方法去审视相关物理现象,研究相关物理问题,可使我们对物理问题认识更深刻.物理中有许多量,比如力、速度、加速度、位移等都是向量,这些物理现象都可以用向量来研究.在物理课中,我们学过功的概念,即如果一个物体在力F 的作用下产生位移s,那么力F 所做的功W 可由下式计算:W =|F ||s|cosθ其中θ是F 与s 的夹角.我们知道力和位移都是向量,而功是一个标量(数量). 故从力所做的功出发,我们就顺其自然地引入向量数量积的概念.思路2.前面我们已学过,任意的两个向量都可以进行加减运算,并且两个向量的和与差仍是一个向量.我们结合任意的两个实数之间可以进行加减乘除(除数不为零)运算,就自然地会想到,任意的两个向量是否可以进行乘法运算呢？如果能,其运算结果是什么呢？ 推进新课新知探究提出问题①a ·b 的运算结果是向量还是数量？它的名称是什么?②由所学知识可以知道,任何一种运算都有其相应的运算律,数量积是一种向量的乘法运算,它是否满足实数的乘法运算律？③我们知道,对任意a,b∈R ,恒有(a+b)2=a 2+2ab+b 2,(a+b)(a-b)=a 2-b 2.对任意向量a 、b ,是否也有下面类似的结论?(1)(a +b )2=a 2+2a ·b +b 2;(2)(a +b )·(a -b )=a 2-b 2.活动:已知两个非零向量a 与b ,我们把数量|a ||b |cosθ叫做a 与b 的数量积(或内积),记作a ·b ,即a ·b =|a ||b |cosθ(0≤θ≤π).其中θ是a 与b 的夹角,|a |cosθ(|b |cosθ)叫做向量a 在b 方向上(b 在a 方向上)的投影.如图2为两向量数量积的关系,并且可以知道向量夹角的范围是0°≤θ≤180°.图2在教师与学生一起探究的活动中,应特别点拨引导学生注意:(1)两个非零向量的数量积是个数量,而不是向量,它的值为两向量的模与两向量夹角的余弦的乘积;(2)零向量与任一向量的数量积为0,即a ·0=0;(3)符号“·”在向量运算中不是乘号,既不能省略,也不能用“×”代替;(4)当0≤θ<2π时cosθ>0,从而a ·b >0;当2π<θ≤π时,cosθ<0,从而a ·b <0.与学生共同探究并证明数量积的运算律.已知a ,b ,c 和实数λ,则向量的数量积满足下列运算律:①a ·b =b ·a (交换律);②(λa )·b =λ(a ·b )=a ·(λb )(数乘结合律);③(a +b )·c =a ·c +b ·c (分配律).特别是:(1)当a ≠0时,由a ·b =0不能推出b 一定是零向量.这是因为任一与a 垂直的非零向量b ,都有a ·b =0.图3(2)已知实数a 、b 、c(b≠0),则ab=bc ⇒a=c.但对向量的数量积,该推理不正确,即a ·b =b ·c 不能推出a =c .由图3很容易看出,虽然a ·b =b ·c ,但a ≠c .(3)对于实数a 、b 、c 有(a·b)c=a(b·c);但对于向量a 、b 、c ,(a ·b )c =a (b ·c )不成立.这是因为(a ·b )c 表示一个与c 共线的向量,而a (b ·c)表示一个与a 共线的向量,而c 与a 不一定共线,所以(a ·b )c =a (b ·c )不成立.讨论结果:①是数量,叫数量积.②数量积满足a ·b =b ·a (交换律);(λa )·b =λ(a ·b )=a ·(λb )(数乘结合律);(a +b )·c =a ·c +b ·c (分配律).③(1)(a +b )2=(a +b )·(a +b )=a ·b +a ·b +b ·a +b ·b =a 2+2a ·b +b 2;(2)(a +b )·(a -b )=a ·a -a ·b +b ·a -b ·b =a 2-b 2.提出问题①如何理解向量的投影与数量积？它们与向量之间有什么关系？②能用“投影”来解释数量积的几何意义吗？活动:教师引导学生来总结投影的概念,可以结合“探究”,让学生用平面向量的数量积的定义,从数与形两个角度进行探索研究.教师给出图形并作结论性的总结,提出注意点“投影”的概念,如图4.图4定义:|b |cosθ叫做向量b 在a 方向上的投影.并引导学生思考:1°投影也是一个数量,不是向量;2°当θ为锐角时投影为正值;当θ为钝角时投影为负值;当θ为直角时投影为0;当θ=0°时投影为|b |;当θ=180°时投影为-|b |.教师结合学生对“投影”的理解,让学生总结出向量的数量积的几何意义:数量积a ·b 等于a 的长度与b 在a 方向上投影|b |cosθ的乘积.让学生思考:这个投影值可正、可负,也可为零,所以我们说向量的数量积的结果是一个实数.教师和学生共同总结两个向量的数量积的性质:设a 、b 为两个非零向量,e 是与b 同向的单位向量.1°e ·a =a ·e =|a |cosθ.2°a ⊥b ⇔a ·b =0.3°当a 与b 同向时,a ·b =|a ||b |;当a 与b 反向时,a ·b =-|a ||b |.特别地a ·a =|a |2或|a |=a a •. 4°cosθ=||||b a b a •.5°|a ·b |≤|a ||b |.上述性质要求学生结合数量积的定义自己尝试推证,教师给予必要的补充和提示,在推导过程中理解并记忆这些性质.讨论结果:①略(见活动).②向量的数量积的几何意义为数量积a ·b 等于a 的长度与b 在a 方向上投影|b |cosθ的乘积.应用示例思路1例 1 已知平面上三点A 、B 、C 满足|AB |=2,|BC |=1,|CA |=3,求AB ·BC +BC ·CA +CA AB 的值. 活动:教师引导学生利用向量的数量积并结合两向量的夹角来求解,先分析题设然后找到所需条件.因为已知AB 、BC 、CA 的长度,要求得两两之间的数量积,必须先求出两两之间的夹角.结合勾股定理可以注意到△A BC 是直角三角形,然后可利用数形结合来求解结果. 解:由已知,|BC |2+|CA |2=|AB |2,所以△A BC 是直角三角形.而且∠AC B=90°, 从而sin∠ABC=23,sin∠B AC=21. ∴∠A BC =60°,∠B AC =30°.∴AB 与BC 的夹角为120°,BC 与CA 的夹角为90°,CA 与AB 的夹角为150°. 故AB ·BC +BC ·CA +CA ·AB=2×1×cos120°+1×3cos90°+3×2cos150°=-4.点评:确定两个向量的夹角,应先平移向量,使它们的起点相同,再考察其角的大小,而不是简单地看成两条线段的夹角,如例题中AB 与BC 的夹角是120°,而不是60°. 变式训练已知|a |=6,|b |=4,a 与b 的夹角为60°,求(a +2b )·(a -3b ).解:(a +2b )·(a -3b )=a ·a -a ·b -6b ·b=|a |2-a ·b -6|b |2=|a |2-|a ||b |cosθ-6|b |2=62-6×4×cos60°-6×42=-72.例2 已知|a |=3,|b |=4,且a 与b 不共线,当k 为何值时,向量a +k b 与a -k b 互相垂直? 解:a +k b 与a -k b 互相垂直的条件是(a +k b )·(a -k b )=0,即a 2-k 2b 2=0.∵a 2=32=9,b 2=42=16,∴9-16k 2=0. ∴k=±43. 也就是说,当k=±43时,a +k b 与a -k b 互相垂直. 点评:本题主要考查向量的数量积性质中垂直的充要条件.变式训练已知向量a 、b 满足:a 2=9,a ·b =-12,求|b |的取值范围.解:∵|a |2=a 2=9,∴|a |=3.又∵a ·b =-12,∴|a ·b |=12.∵|a ·b |≤|a ||b |,∴12≤3|b |,|b |≥4.故|b |的取值范围是［4,+∞).思路2例1 已知在四边形ABCD 中,AB =a ,BC =b ,CD =c ,DA =d ,且a ·b =c ·d =b ·c =d ·a ,试问四边形ABCD 的形状如何？解:∵AB +BC +CD +DA =0,即a +b +c +d =0,∴a +b =-(c +d ).由上可得(a +b )2=(c +d )2,即a 2+2a ·b +b 2=c 2+2c ·d +d 2.又∵a ·b =c ·d ,故a 2+b 2=c 2+d 2.同理可得a 2+d 2=b 2+c 2.由上两式可得a 2=c 2,且b 2=d 2,即|a |=|c |,且|b |=|d |,也即AB=CD,且BC=DA,∴A BCD 是平行四边形.故AB =CD ,即a =-c .又a ·b =b ·c =-a ·b ,即a ·b =０,∴a ⊥b ,即AB ⊥BC .综上所述,ABCD 是矩形.点评:本题考查的是向量数量积的性质应用,利用向量的数量积解决有关垂直问题,然后结合四边形的特点进而判断四边形的形状.例2 已知a ,b 是两个非零向量,且|a |-|b |=|a +b |,求向量b 与a -b 的夹角.活动:教师引导学生利用向量减法的平行四边形法则,画出以a ,b 为邻边的ABCD,若AB =a ,CB =b ,则CA =a +b ,DB =a -b .由|a |-|b |=|a +b |,可知∠A BC =60°,b 与DB 所成角是150°.我们还可以利用数量积的运算,得出向量b 与a -b 的夹角,为了巩固数量积的有关知识,我们采用另外一种角度来思考问题,教师给予必要的点拨和指导,即由cos 〈b ,a -b 〉=||||)(b a b b a b --•作为切入点,进行求解. 解:∵|b |=|a +b |,|b |=|a |,∴b 2=(a +b )2.∴|b |2=|a |2+2a ·b +|b |2.∴a ·b =-21|b |2. 而b ·(a -b )=b ·a -b 2=21-|b |2-|b |2=23-|b |2, ①由(a -b )2=a 2-2a ·b +b 2=|b |2-2×(21-)|b |2+|b |2=3|b |2, 而|a -b |2=(a -b )2=3|b |2,∴|a -b |=3|b |. ② ∵cos〈b ,a -b 〉=,||||)(b a b b a b --• 代入①②,得cos 〈b ,a -b 〉=-2323||3||||2-=•b b b . 又∵〈b ,a -b 〉∈［0,π］,∴〈b ,a -b 〉=65π. 点评:本题考查的是利用平面向量的数量积解决有关夹角问题,解完后教师及时引导学生对本解法进行反思、总结、体会.变式训练设向量c =m a +n b (m,n∈R ),已知|a |=22,|c |=4,a ⊥c ,b ·c =-4,且b 与c 的夹角为120°,求m,n 的值.解:∵a ⊥c ,∴a ·c =0.又c =m a +n b ,∴c ·c =(m a +n b )·c ,即|c |2=m a ·c +n b ·c .∴|c |2=n b ·c .由已知|c |2=16,b ·c =-4,∴16=-4n.∴n=-4.从而c =m a -4b .∵b ·c =|b ||c |cos120°=-4,∴|b |·4·(21-)=-4.∴|b |=2. 由c =m a -4b ,得a ·c =m a 2-4a ·b ,∴8m -4a ·b =0,即a ·b =2m. ① 再由c =m a -4b ,得b ·c =m a ·b -4b 2.∴m a ·b -16=-4,即m a ·b =12. ② 联立①②得2m 2=12,即m 2=6. ∴m=±6.故m=±6,n=-4.知能训练课本本节练习.解答:1.p·q=24.2.a·b<0时,△A BC为钝角三角形;a·b=0时,△A BC为直角三角形.3.投影分别为32,0,-32.图略.课堂小结1.先由学生回顾本节学习的数学知识,数量积的定义、几何意义,数量积的重要性质,数量积的运算律.2.教师与学生总结本节学习的数学方法,归纳类比、定义法、数形结合等.在领悟数学思想方法的同时,鼓励学生多角度、发散性地思考问题,并鼓励学生进行一题多解.作业课本习题2.4 A组2、3、4.设计感想本节的重要性是显而易见的,但本节有几个常见思维误区:不能正确理解向量夹角的定义,两个向量夹角的定义是指同一点出发的两个向量所构成的较小的非负角,因此向量夹角定义理解不清而造成解题错误是一些常见的误区.同时利用向量的数量积不但可以解决两向量垂直问题,而且还可以解决两向量共线问题,要深刻理解两向量共线、垂直的充要条件,应用的时候才能得心应手.。
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2．4．1平面向量数量积的物理背景及其含义
温溪高中徐佳
一、背景分析
1、学习任务分析
平面向量的数量积是继向量的线性运算之后的又一重要运算，也是高中数学的一个重要概念，在数学、物理等学科中应用十分广泛。
本节课的主要学习任务是通过物理中“功”的事例抽象出平面向量数量积的概念，在此基础上探究数量积的性质与运算律，使学生体会类比的思想方法，进一步培养学生的抽象概括和推理论证的能力。
其中数量积的概念既是对物理背景的抽象，又是研究性质和运算律的基础。
同时也因为在这个概念中，既有长度又有角度，既有形又有数，是代数、几何与三角的最佳结合点，不仅应用广泛，而且很好的体现了数形结合的数学思想，使得数量积的概念成为本节课的核心概念，自然也是本节课教学的重点。
2、学生情况分析
学生在学习本节内容之前，已熟知了实数的运算体系，掌握了向量的概念及其线性运算，具备了功等物理知识，并且初步体会了研究向量运算的一般方法：即先由特殊模型（主要是物理模型）抽象出概念，然后再从概念出发，在与实数运算类比的基础上研究性质和运算律。
这为学生学习数量积做了很好的铺垫，使学生倍感亲切。
但也正是这些干扰了学生对数量积概念的理解，一方面，相对于线性运算而言，数量积的结果发生了本质的变化，两个有形有数的向量经过数量积运算后，形却消失了，学生对这一点是较难接受的；另一方面，由于受实数乘法运算的影响，也会造成学生对数量积理解上的偏差，特别是对性质和运算律的理解。
因而本节课教学的难点仍是数量积的概念。
二、教学目标
1.知识与技能：
掌握平面向量的数量积的定义、运算律及其物理意义。
2.过程与方法：
（1）通过向量数量积物力背景的了解，体会物理学和数学的关系。
（2）通过向量数量积定义的得出，体会简单归纳与严谨定义的区别。
（3）通过向量数量积分配律的学习，体会类比，猜想，证明的探索式学习方法。
3.情感、态度与价值观：
通过本节探究性学习，让学生尝试数学研究的过程。
三、教学重点、难点
重点：平面向量数量积的定义
难点：平面向量数量积的定义及平面向量数量积的定义的应用。
四、教学基本流程
五、教学准备
1、实验教具：计算机、黑板、粉笔
2、教学支持资源：制作高效实用的电脑多媒体课件，主要作用是改变相关内容的呈现方式，以此来节约课时，增加课堂容量。
六、教学过程
少？
力做的功：
W = |F|⋅|s|cosθ，
θ是F与s的夹角
思考2：功是一个标量，它由力和位移两个向量所确定，能否把“功”看成两个向量的一种运算的结果？从中你得到那些启示？
小结：向量的数量积的定义及夹角的特征。
学生理解
数量积的
定义。
回答后归
纳夹角特
征：两个
向量同起
点，若不
同起点平
移至同起
点。
为了数学自身的完
善，而是有其客观
背景和现实意义
的，从而产生了进
一步研究这种新运
算的愿望。
使学生
在形式上认识数量
积的定义。
定义形成探究（一）:平面向量数量积的背景与含义思考3：对于两个非零向量a与b，
设其夹角为θ，把︱a|︱b︱cosθ叫
做a与b的数量积（或内积），记作
a·b，即a·b=︱a|︱b︱cosθ.
那么a·b的运算结果是向量还是数
量？
思考4：对于两个非零向量a与b，
其数量积a·b何时为正数？何时为
负数？何时为零？
思考5：对于两个非零向量a与b，
设其夹角为θ，那么︱a︱cosθ的几
何意义如何？
思考6：对于两个非零向量a与b，
设其夹角为θ，︱a︱cosθ叫做向量
a在b方向上的投影.那么该投影一
定是正数吗？向量b在a方向上的投
影是什么？
小结：向量的几何意义及投影的概念
教师提出
问题，学
生思考。
教师可在
学生回答
的基础上
进一步归
纳夹角对
投影的正
负情况的
影响，加
深学生对
投影的认
识。
这样做不仅让学生
从“形”的角度重
新认识数量积的概
念，从中体会数量
积与向量投影的关
系，同时也更符合
知识的连贯性。
让
学生体会数学的概
括性、严谨性及可
操作性。