(完整版)《平面向量的数量积》教学设计及反思

《平面向量的数量积》教学设计及反思

交口第一中学赵云鹏平面向量的数量积是继向量的线性运算之后的又一重要运算，也是高中数学的一个重要概念，它是沟通代数、几何与三角函数的一种重要工具，在每年高考中也是重点考查的内容。向量作为一种运算工具，其知识体系是从实际的物理问题中抽象出来的，它在解决几何问题中的三点共线、垂直、求夹角和线段长度、确定定比分点坐标以及平移等问题中显示出了它的易理解和易操作的特点。

一、总体设想：

本节课的设计有两条暗线：一是围绕物理中物体做功，引入数量积的概念和几何意义；二是围绕数量积的概念通过变形和限定衍生出新知识――垂直的判断、求夹角和线段长度的公式。教学方案可从三方面加以设计：一是数量积的概念；二是几何意义和运算律；三是两个向量的模与夹角的计算。

二、教学目标：

1. 了解向量的数量积的抽象根源。

2. 了解平面的数量积的概念、向量的夹角

3. 数量积与向量投影的关系及数量积的几何意义

4. 理解掌握向量的数量积的性质和运算律，并能进行相关的判断和计算

三、重、难点：

【重点】1.平面向量数量积的概念和性质

2.平面向量数量积的运算律的探究和应用

【难点】平面向量数量积的应用

四、课时安排：

2课时

五、教学方案及其设计意图：1．平面向量数量积的物理背景平面向量的数量积，其源自对受力物体在其运动方向上做功等物理问题的抽象。首先说明放置在水平面上的物体受力F 的作用在水平方向上的位移是s，此问题中出现了两个矢量，即数学中所谓的向量，这时物体力F 的所做的功为W F s cos ，这里的是矢量F 和s 的夹角，也即是两个向量夹角的定义基础，在定义两个向量的夹角时，要使学生明确“把向量的起点放在同一点上”这一重要条件，并理解向量夹角的范围。这给我们一个启示：功是否是两个向量某种运算的结果呢？以此为基础引出了两非零向量a, b 的数量积的概念。

2．平面向量数量积（内积）的定义

已知两个非零向量ａ与ｂ，它们的夹角是θ，则数量|a||b|cos 叫ａ与ｂ的数量积，记作a b，即有a b = |a||b|cos ，（０≤θ≤π）.

并规定0 与任何向量的数量积为0.

零向量的方向是任意的，它与任意向量的夹角是不确定的，按数量积

的定义a b = |a||b|cos 无法得到，因此另外进行了规定。

3. 两个非零向量夹角的概念

已知非零向量ａ与ｂ，作OA＝ａ，OB ＝ｂ，则∠ＡＯＢ＝θ（０

≤θ≤π）

叫ａ与ｂ的夹角.

a b a b cos ，a b 是记法， a b cos 是定义的实质――它是一个实数。按照

推理，当0 时，数量积为正数；当时，数量积为零；

22

当时，数量积为负。

2

投影也是一个数量，它的符号取决于角的大小。当为锐角时投影为正值；当为钝角时投影为负值；当为直角时投影为0；当= 0 时投影为

|b|；当= 180 时投影为|b|. 因此投影可正、可负，还可为零

根据数量积的定义，向量b在a方向上的投影也可以写成

注意向量a 在b 方向上的投影和向量b 在a 方向上的投影是不同的，应结合图形加以区分

5．向量的数量积的几何意义：

数量积a b 等于a 的长度与b 在a 方向上投影|b|cos 的乘积. 向量数量积的几何意义在证明分配律方向起着关键性的作用。其几何意义实质上是将乘积拆成两部分： a 和 b cos 。此概念也以物体做功为基础给出。b cos 是向量b 在a 的方向上的投影。

6．两个向量的数量积的性质：

ab

a

4. “投影”的概念

定义：|b|cos 叫做向量b在a 方向上的投影。

设a、b 为两个非零向量，则

(1) a b a b = 0；

(2) 当a 与b 同向时，ab = |a||b|；当a 与b 反向时，a b =

|a||b|. 特别的aa = |a|2或|a| a a

(3) |a b| ≤|a||b|

(4) cos a b，其中为非零向量a和b的夹角。

ab

例1. (1) 已知向量a ,b，满足b 2,a与b的夹角为 600,则b在a上的投影为 ________

(2)若b 4,a b 6,则a在b方向上投影为 ____________

例2. 已知a 3 ，b 4 ，按下列条件求a b

(1)a//b (2)a b (3) a与b的夹角为 1500

7. 平面向量数量积的运算律

1．交换律：a b = b a

证：设a，b 夹角为，则a b = |a||b|cos ，b a = |b||a|cos

∴a b = b a

2．数乘结合律：( a) b = (ab) = a( b)

证：若> 0，( a) b = |a||b|cos ，(ab) = |a||b|cos ，a ( b) = |a||b|cos ，若< 0，( a) b =| a||b|cos( ) = |a||b|( cos ) =

|a||b|cos ，(ab)

|a||b|cos ，

a( b) =|a|| b|cos( ) = |a||b|( cos ) = |a||b|cos .

3．分配律：(a + b) c = ac + b c

在平面内取一点O，作OA = a， AB = b，OC = c，∵a + b （即OB）

在c 方向上的投影等于a、b 在c 方向上的投影和，即|a + b| cos = |a| cos 1 + |b| cos 2

∴| c | |a + b| cos =|c| |a| cos 1 + |c| |b| cos 2 ，∴c(a + b) = ca + cb

即：(a + b)c = ac + bc

说明：（1）一般地，（ａ·ｂ）с≠ａ（ｂ·с）（2）ａ·с＝ｂ·с，с≠0 ａ＝ｂ（3）有如下常用性质：ａ２＝｜

ａ｜

ａ＋ｂ）（с＋ｄ）＝ａ·с＋ａ·ｄ＋ｂ·с＋ｂ·ｄ

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（ａ＋ｂ）＝ａ＋

ｂ＋ｂ

例3 已知a、b都是非零向量，且a + 3b与7a 5b垂直，a4b 与7a 2b

垂直，求a 与b 的夹角.

解：由（a + 3b）（7a 5b）= 0

（a 4b）（7a 2b） = 0 两式相减：2ab = b2 代入①或②得：a2 = b2 设a、b 的7a2 + 16ab 15b2= 0①

7a2 30ab + 8b2 =

②

a b b

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∴ = 60 |a||b| 2|b|22