平面向量的数量积优秀教案第一课时
平面向量的数量积教案
平面向量的数量积教案一、教学目标：1. 理解平面向量的数量积的概念及其几何意义。
2. 学会计算平面向量的数量积，并能熟练运用数量积解决实际问题。
3. 掌握平面向量的数量积的性质，并能运用其性质进行向量运算。
二、教学重点：1. 平面向量的数量积的概念及其几何意义。
2. 平面向量的数量积的计算方法。
3. 平面向量的数量积的性质。
三、教学难点：1. 平面向量的数量积的计算方法。
2. 平面向量的数量积的性质的证明。
四、教学准备：1. 教师准备PPT，内容包括平面向量的数量积的概念、计算方法、性质及其应用。
2. 教师准备一些实际问题，用于引导学生运用平面向量的数量积解决实际问题。
五、教学过程：1. 导入（5分钟）教师通过PPT展示一些实际问题，引导学生思考如何运用向量的知识解决这些问题。
2. 讲解平面向量的数量积的概念（10分钟）教师通过PPT讲解平面向量的数量积的概念，并展示其几何意义。
3. 讲解平面向量的数量积的计算方法（15分钟）教师通过PPT讲解平面向量的数量积的计算方法，并给出一些例题进行讲解。
4. 练习平面向量的数量积的计算（10分钟）学生独立完成一些练习题，教师进行解答和讲解。
5. 讲解平面向量的数量积的性质（10分钟）教师通过PPT讲解平面向量的数量积的性质，并给出一些证明。
6. 练习平面向量的数量积的性质（10分钟）学生独立完成一些练习题，教师进行解答和讲解。
7. 应用平面向量的数量积解决实际问题（10分钟）教师给出一些实际问题，引导学生运用平面向量的数量积解决这些问题。
8. 总结（5分钟）教师对本节课的内容进行总结，并强调平面向量的数量积的重要性和应用价值。
9. 布置作业（5分钟）教师布置一些练习题，巩固学生对平面向量的数量积的理解和应用。
10. 课堂反馈（5分钟）教师通过课堂反馈了解学生对平面向量的数量积的掌握情况，为下一步的教学做好准备。
六、教学拓展：1. 教师通过PPT讲解平面向量的数量积与其他向量知识的联系，如向量的模、向量的加减法等。
《平面向量的数量积》教学设计
问题4：你能用文字语言来表述功的计算公式吗?如果我们将公式中的力与位移推广到一般向量，其结果又该如何表述？
定义：
已知两个非零向量与，它们的夹角为，我们把数量叫做与的数量积（或内积），记作：，即：，其中是与的夹角.
规定：零向量与任一向量的数量积为0.
问题5：向量的数量积运算与线性运算的结果有什么不同？（两个向量的内积是数量还是向量？）
用性质和运算律证明
学生独立完成
巩固所学
六.课堂练习
1. 若且与反向，则
2. 已知向量满足且则与的夹角为————。
3. 已知在方向上的投影为，则
4. 已知向量与，满足求的取值范围。
变式：在中，且则是（ ）。
A.锐角三角形 B.直角三角形
C.钝角三角形 D.等腰三角形
5.已知且求.
利用向量垂直的充要条件求解
3.情感态度与价值观
•在探究过程中让学生体验获取知识的成功感受，激发学生善于发现、勇于探索的精神；树立理论来源于实践又反作用于实践的辨证唯物主义的观点.
三、学习者特征分析
通过平时教学的反馈知道学生已具备了功等物理知识，熟知实数的运算体系，对向量的概念和线性运算都比较熟练，并且通过前面知识的学习初步体会了研究向量运算的一般方法。因此学生已经做好了学习本节的准备.
让学生在类比的基础上进行猜想归纳，得出数量积的运算律，然后教师明晰结论，最后再完成证明，这样做不仅培养了学生推理论证的能力，同时也增强了学生类比创新的意识，将知识的获得和能力的培养有机的结合在一起。
五.应用提高
例2.求证：
例3.已知.已知与的夹角求。
例4. 已知.已知且与不共线，为何值时，向量与互相垂直？
2.对教学内容组织及教学设计环节的反思
平面向量数量积授课教案
平面向量数量积授课优秀教案第一章：向量概念回顾1.1 向量的定义向量的表示方法：用箭头表示，起点为向量的始点，终点为向量的终点。
向量的方向：由始点到终点的方向。
向量的长度：始点到终点的线段长度，称为向量的模或大小。
1.2 向量的运算向量的加法：将两个向量的始点连接起来，得到一个新的向量，称为这两个向量的和。
向量的减法：将两个向量的始点连接起来，得到一个新的向量，称为这两个向量的差。
第二章：向量的数量积2.1 向量数量积的定义两个向量a和b的数量积，记作a·b，表示为a和b的模的乘积与它们夹角的余弦值的乘积。
a·b = |ab| cosθ，其中θ为a和b之间的夹角。
2.2 向量数量积的性质交换律：a·b = b·a分配律：a·(b+c) = a·b + a·c标量乘法：λa·b = (λa)·b = λ(a·b)第三章：向量数量积的应用3.1 投影向量向量a在向量b上的投影向量，记作proj_b a，表示为a与b的数量积除以b 的模的平方的开方。
proj_b a = (a·b) / |b|^2 b3.2 夹角余弦值的计算两个向量的夹角余弦值，可以通过它们的数量积除以它们的模的乘积来计算。
cosθ= (a·b) / (|ab|)第四章：向量的垂直与平行4.1 向量的垂直两个向量a和b垂直，当且仅当它们的数量积为0。
a·b = 0 表示a和b垂直。
4.2 向量的平行两个向量a和b平行，当且仅当它们的方向相同或相反。
如果a和b平行，则存在一个实数k，使得a = kb。
第五章：向量数量积的进一步应用5.1 向量场的概念向量场是一个定义在平面或空间上每一点上都有对应向量的集合。
向量场的例子：速度场、电场、磁场等。
5.2 向量场的数量积运算向量场A和向量场B的数量积，记作A·B，表示为A中每个向量与B中对应向量的数量积的和。
《平面向量数量积》教案
《平面向量数量积》教案一、教学目标知识与技能目标：使学生理解平面向量数量积的概念，掌握平面向量数量积的计算公式及性质，能够运用数量积解决一些几何问题。
过程与方法目标：通过探究平面向量数量积的概念和性质，培养学生的抽象思维能力和逻辑推理能力。
情感态度与价值观目标：激发学生对数学的兴趣，培养学生的团队合作精神，使学生感受到数学在现实生活中的应用价值。
二、教学重点与难点重点：平面向量数量积的概念，计算公式及性质。
难点：平面向量数量积的运算规律及其在几何中的应用。
三、教学方法采用问题驱动法、案例分析法和小组合作法，引导学生主动探究，发现平面向量数量积的规律，提高学生解决问题的能力。
四、教学准备教师准备PPT，涵盖平面向量数量积的概念、计算公式、性质及应用实例。
学生准备笔记本，以便记录学习过程中的疑问和感悟。
五、教学过程1. 导入新课教师通过展示一个实际问题，引导学生思考平面向量数量积的定义和作用。
2. 探究平面向量数量积的概念（1）教师引导学生根据定义，探究平面向量数量积的计算公式。
（2）学生通过实例，理解并掌握平面向量数量积的计算方法。
3. 学习平面向量数量积的性质（1）教师引导学生总结平面向量数量积的性质。
（2）学生通过练习，巩固对平面向量数量积性质的理解。
4. 应用平面向量数量积解决几何问题教师展示几个应用实例，引导学生运用平面向量数量积解决几何问题。
学生分组讨论，合作解决问题，分享解题过程和心得。
5. 课堂小结教师引导学生总结本节课所学内容，强调平面向量数量积的概念、计算公式及性质。
学生整理学习笔记，反思自己在学习过程中的收获和不足。
6. 布置作业教师布置一些有关平面向量数量积的练习题，巩固所学知识。
学生认真完成作业，巩固课堂所学内容。
七、教学反思教师在课后对自己的教学过程进行反思，分析教学效果，针对学生的掌握情况，调整教学策略。
学生反思自己的学习过程，总结经验教训，提高学习效果。
八、教学评价教师通过课堂表现、作业完成情况和课后练习成绩，全面评价学生对平面向量数量积的掌握程度。
平面向量的数量积及运算律(一)教案
●（一）、新课引入——为什么定义平面向量数量积 在物理学中学过功的概念，一个物体在力F 的作用下产生位移S ，那么力F 所作的功W=FScos θ。
思考：W 是什么量？F 和S 是什么量？和向量有什么关系？W 是标量（实数），F 和S 是矢量（向量）这个式子建立了实数和向量之间的关系，是实数和向量互相转化的桥梁。
我们学过的向量运算a b,a b,a +-λ结果都是向量。
因此定义一个新的运算，不仅是物理学的需要，也是数学建立起实数和向量两个不同领域关系的需要。
●（二）、新课学习★新课学习阶梯一 ——怎么定义平面向量数量积 思考：模仿物理学功的定义：a b a b cos ⋅=θ思考：由数学中对称的思想，有余弦出没的地方就少不了正弦的陪伴，可否定义 a *b a b sin =θ，有什么几何意义？引导学生阅读课本P118，找出数学定义的特点：针对两个非零向量定义，规定零向量与任意向量的数量积为0。
1．两个非零向量夹角的概念 已知非零向量a 与b ，作OA ＝a ，OB ＝b ，则∠ＡＯＢ＝θ（０≤θ≤π）叫a 与b 的夹角（右图的夹角分别是什么） 2．平面向量数量积（内积）的定义：已知两个非零向量a 与b ，它们的夹角是θ，则数量|a ||b |cos θ 叫a 与b 的数量积，记作a ⋅b ，即有a ⋅b = |a ||b |cos θ，（０≤θ≤π）并规定0与任何向量的数量积为0 思考：功怎么用数量积表示：F S ⋅数学的定义从实践中来，又回到实践指导实践。
★新课学习阶梯二 ——怎么全方位认识这个定义学习数学两手都要硬，一手抓代数、一手抓几何，渗透数形结合的思想方法，而向量恰好是用量化的方法研究几何问题的最佳工具。
1几何意义：“投影”的概念：作图A BO ab θ AB O a b θ定义：|b |cos θ 叫做向量b 在a 方向上的投影思考：投影是否是长度？投影是否是向量？投影是否是实数？投影也是一个数量，不是向量；当θ为锐角时投影为正值；当θ为钝角时投影为负值；当θ为直角时投影为0；当θ = 0︒时投影为 |b |；当θ = 180︒时投影为 -|b |几何意义：数量积a ⋅b 等于a 的长度与b 在a 方向上投影|b |cos θ的乘积2．代数性质（两个向量的数量积的性质）：（1）两个非零向量a 与b ，a ⊥b ⇔ a ⋅b= 0（此性质可以解决几何中的垂直问题）；（2）两个非零向量a 与b ，当a 与b 同向时，a ⋅b = |a ||b |；当a 与b 反向时，a ⋅b = -|a ||b |（此性质可以解决直线的平行、点共线、向量的共线问题）；（3）cos θ =||||a b a b ⋅（此性质可以解决向量的夹角问题）； （4）a ⋅a = |a |2，||a a a =⋅，a ba b cos ⋅=θ（此性质可以解决长度问题即向量的模的问题）；（5）|a ⋅b | ≤ |a ||b |（此性质要注意和绝对值的性质区别，可以解决不等式的有关问题）；3．任何一种运算都满足一定的运算律，以方便运算，数量积满足哪些算律？ 实数的运算律向量数量积运算律 （交换律） ab=baa b?b a ⋅⋅ √ （结合律）(ab)c=a(bc)(a b)c?a (b c)⋅⋅⋅⋅ × （分配律）a(b+c)=ab+aca (b c)?a b ac ⋅+⋅+⋅ √ (a)b?(a b)?a (b)λ⋅λ⋅⋅λ √思考：运用对比联想的思想方法猜测向量数量积保留了实数哪些运算律，变异了哪些运算律？课下对成立的运算律给出证明，对不成立的运算律举出反例。
平面向量数量积授课教案
平面向量数量积授课优秀教案一、教学目标1. 知识与技能：（1）理解平面向量的概念，掌握向量的表示方法；（2）掌握向量的坐标运算，包括加法、减法和数乘；（3）理解向量数量积的概念，掌握数量积的计算公式和性质；（4）学会运用数量积解决实际问题。
2. 过程与方法：（1）通过图形和实例，培养学生的直观想象能力；（2）运用逻辑推理，引导学生发现向量数量积的计算规律；（3）通过练习题，提高学生运用向量数量积解决实际问题的能力。
3. 情感态度与价值观：（1）培养学生对数学的兴趣和好奇心；（2）培养学生勇于探索、积极思考的科学精神；（3）引导学生感受数学在生活中的应用，提高学生的数学素养。
二、教学重点与难点1. 教学重点：（1）平面向量的概念及表示方法；（2）向量的坐标运算；（3）向量数量积的计算公式和性质；（4）运用向量数量积解决实际问题。
2. 教学难点：（1）向量数量积的计算规律的发现；（2）向量数量积在实际问题中的应用。
三、教学准备1. 教具准备：黑板、粉笔、投影仪；2. 学具准备：笔记本、练习本、相关书籍。
四、教学过程1. 导入新课：（1）复习旧知识：回顾二维空间中的点、线、面的基本概念；（2）提出问题：如何表示一个平面内的向量？向量之间有什么基本的运算？2. 讲解向量的概念及表示方法：（1）介绍向量的定义；（2）讲解向量的表示方法，如用箭头表示、用坐标表示等。
3. 讲解向量的坐标运算：（1）向量的加法、减法和数乘；（2）举例说明运算规律。
4. 讲解向量数量积的概念和性质：（1）介绍数量积的定义；（2）讲解数量积的计算公式；（3）阐述数量积的性质。
5. 课堂练习：（1）布置练习题，让学生巩固所学知识；（2）挑选学生回答问题，及时给予评价和指导。
五、课后作业1. 复习本节课所学内容，整理笔记；2. 完成课后练习题，巩固向量数量积的知识；3. 思考实际生活中的向量数量积问题，提高数学应用能力。
六、教学拓展1. 引导学生探索向量数量积的推广：（1）从二维向量推广到三维向量；（2）探讨更高维向量的数量积。
平面向量的数量积第一课时教案-数学必修四第二章平面向量2.4人教A版
第二章平面向量2.4 平面向量的数量积第一课时平面向量数量积的物理背景及其含义1 教学目标[1]掌握平面向量的数量积[2]掌握平面向量数量积的几何意义[3]掌握平面向量数量积的运算律2教学重点/难点重点：平面向量数量积的定义及几何意义难点：平面向量数量积的运算律的理解和运用3 专家建议[1]平面向量数量积满足数乘结合律，但不满足乘法结合律，应加以详细讲解[2]稍微向外扩展一下点乘与叉乘的区别，加深对数量积的理解4 教学方法互动探究，类比式教学，启发式教学5 教学过程5.1 引入【师】首先，请同学们回答我三个问题，请看：【板演/PPT】问题1：前面几节课，我们学习过向量的什么知识？问题2：我们是怎么探索和研究向量的加法运算和减法运算的？问题3：在物理学中，我们是如何求一个力所做功的多少的？【生】讨论，思考【师】我们来把问题一个一个地解决掉【板演/PPT】答问题1：平面向量的相关定义（零向量，单位向量，平行向量，共线向量）平面向量的线性运算和坐标运算（数乘运算，坐标的加减法运算）答问题2：从物理角度入手探索，再理解概念，再学习运算律，再到知识的运用答问题3：如果一个物体在力F 的作用下产生位移S ，那么力F 所做的功就可以用如下公式计算：θcos ||||S F W = （θ是F 和S 的夹角）【师】同学们，大家都知道力和位移是矢量，功是一个标量，它由力和位移两个向量来确定，这给我们一种启示，能否把“功”看成是这两个向量的一种运算的结果呢？5.2 新知介绍[1] 平面向量的数量积定义【师】从以上问题，我们知道，数学与物理知识之间存在着联系，那我们再从物理问题入手，思考下，物理中的人拉船模型中的数学知识【板演/PPT 】人的拉力（F ）的方向与船前进（S ）的方向往往是成一个夹角的，我们设为θ，那么这个力所做的功的大小与三个因素有关，（前提是忽略摩擦），力的大小、方向、船的位移。
其实，就两个矢量，力（F ）和位移（S ），夹角是力和位移之间的一种关系，能够形成功，一是要有力，二是要有位移。
平面向量数量积的教案
平面向量数量积的教案教学目标：1. 理解平面向量的概念及其几何表示。
2. 掌握平面向量的数量积的定义及其性质。
3. 学会运用数量积解决实际问题。
教学内容：一、平面向量的概念及其几何表示1. 向量的定义2. 向量的几何表示3. 向量的坐标表示二、平面向量的数量积1. 数量积的定义2. 数量积的性质a. 交换律b. 分配律c. 互补律3. 数量积的计算公式三、数量积的运算律1. 交换律的应用2. 分配律的应用3. 互补律的应用四、数量积与向量垂直1. 数量积与向量垂直的定义2. 数量积与向量垂直的性质3. 数量积与向量垂直的应用五、数量积在实际问题中的应用1. 力学中的问题2. 几何中的问题3. 其它实际问题教学方法：1. 采用讲授法，系统地讲解平面向量的概念、数量积的定义及其性质。
2. 通过例题演示数量积的运算律及应用。
3. 引导学生运用数量积解决实际问题，培养学生的实际应用能力。
教学准备：1. 教案、PPT课件2. 课堂练习题3. 相关实际问题素材教学过程：一、导入（5分钟）1. 复习平面向量的概念及其几何表示。
2. 引出本节课的主题——平面向量的数量积。
二、新课讲解（20分钟）1. 讲解平面向量的数量积的定义。
2. 引导学生通过实例理解数量积的几何意义。
3. 讲解数量积的性质，如交换律、分配律、互补律。
4. 给出数量积的计算公式。
三、数量积的运算律（15分钟）1. 通过例题讲解数量积的交换律、分配律、互补律的应用。
2. 引导学生总结数量积的运算律。
四、数量积与向量垂直（15分钟）1. 讲解数量积与向量垂直的定义。
2. 引导学生掌握数量积与向量垂直的性质。
3. 通过例题展示数量积与向量垂直的应用。
五、数量积在实际问题中的应用（15分钟）1. 给出力学、几何等方面的实际问题。
2. 引导学生运用数量积解决实际问题。
3. 总结数量积在实际问题中的应用。
六、课堂练习（10分钟）1. 让学生独立完成课堂练习题。
《平面向量数量积》教案
《平面向量数量积》教案一、教学目标1. 理解平面向量的概念，掌握向量的表示方法。
2. 掌握向量的数量积运算，了解数量积的性质和运算规律。
3. 能够运用数量积解决实际问题，提高数学应用能力。
二、教学内容1. 向量的概念及表示方法2. 向量的数量积定义及计算公式3. 数量积的性质和运算规律4. 数量积在坐标系中的运算5. 数量积的应用三、教学重点与难点1. 重点：向量的概念，数量积的计算公式，数量积的性质和运算规律。
2. 难点：数量积在坐标系中的运算，数量积的应用。
四、教学方法1. 采用讲授法，讲解向量及数量积的基本概念、性质和运算规律。
2. 利用案例分析法，分析数量积在实际问题中的应用。
3. 利用数形结合法，直观展示数量积在坐标系中的运算。
4. 引导学生通过小组讨论、探究，提高学生的参与度和自主学习能力。
五、教学安排1. 第一课时：向量的概念及表示方法2. 第二课时：向量的数量积定义及计算公式3. 第三课时：数量积的性质和运算规律4. 第四课时：数量积在坐标系中的运算5. 第五课时：数量积的应用六、教学过程1. 导入：通过复习实数乘法的分配律，引导学生思考向量数量积的定义。
2. 讲解向量的概念，向量的表示方法，向量的几何直观。
3. 引入向量数量积的概念，讲解数量积的计算公式。
4. 通过实例，演示数量积的运算过程，让学生感受数量积的意义。
5. 总结数量积的性质和运算规律，引导学生发现数量积与向量坐标的关系。
七、案例分析1. 利用数量积解释物理学中的力的合成与分解。
2. 利用数量积解决几何问题，如求解平行四边形的对角线长度。
3. 利用数量积判断两个向量是否垂直。
八、数量积在坐标系中的运算1. 讲解坐标系中向量的表示方法，向量的坐标运算。
2. 推导数量积在坐标系中的运算公式。
3. 通过实例，演示数量积在坐标系中的运算过程。
4. 引导学生掌握数量积在坐标系中的运算方法，提高运算能力。
九、数量积的应用1. 利用数量积解决线性方程组。
《平面向量的数量积》教案新部编本1
教师学科教案[ 20 – 20 学年度第__学期]任教学科：_____________任教年级：_____________任教老师：_____________xx市实验学校《向量数量积的运算律》教案一、教学目标1.知识与技能：掌握平面向量的数量积的定义、运算率及其物理意义掌握平面向量的数量积坐标运算及应用2.过程与方法：（1）通过向量数量积物力背景的了解，体会物理学和数学的关系（2）通过向量数量积定义的给出，体会简单归纳与严谨定义的区别（3）通过向量数量积分配率的学习，体会类比，猜想，证明的探索式学习方法3.情感、态度与价值观：通过本节探究性学习，让学生尝试数学研究的过程。
二、教学重点、难点重点：平面向量数量积的定义难点：数量积的性质及运算率三、教学方法探究性设计方法，提出问题，创设情境，引导学生参与教学过程四、课时1课时五、教学过程定定义深化对于从前的射影的概念，我们进行重新的认识 向量在轴上的正射影： 作图定义：|b r |cos θ叫做向量b r 在a r所在轴上的正射影正射影也是一个数量，不是向量；当θ为锐角时正射影为正值；当θ为钝角时正射影为负值；当θ为直角时正射影为0；当θ = 0︒时正射影为|b r |；当θ = 180︒时正射影为-|b r|挖掘向量在轴上的正射影的定义，和我们这两节的向量数量积有什么关系？（或找出其本质）练习：P108 例1 学生主导发现问题，教师引导提出和解决问题注意：射影是可正可负可为零的教学中，学生不太容易理解的，也不经常用到的概念，变作例题形式有利于加深印象应应用举例例1.已知a r =（3，-1），b r =（1，-2），求a b r r g，|a r|，|b r |，<a r ,b r >例2.求证菱形的两条对角线互相垂直.练习.已知点A （1，2），B （2，3），C （-2，5），求证AB AC ⊥u u u r u u u r例3.已知点A （1，2），B （3，4），C （5，0），求BAC ∠的正弦值练习.已知a r =(3,4)，求：（1）a r 的单位向量；（2）与a r 垂直的单位向量；（3）与a r平行的单位向量主要体会向量代数运算的方便和简便，以及几何性质的直观熟练准确的运用向量数量积进行运算，并对某些结论性的内容有所了解课课堂小结 1.数量积的定义、性质、运算率 2.几种特殊情况的讨论（注意事项）教师提出问题：向量的运算已经接触到了加法、减法、数乘及数量积的运算，那么它们的区别和联系是什么？尤其是数乘和数量积的运算，同是乘法，有何区别？主要学生总结，教师不做过多引让学生掌握最主要的内容；作作业 1、 看书总结平面向量数量积的注意事项（分别从定义、运算率、性质、与数乘的区别总结）2、 总结一些你认为很有用的式子（可以从例题、习题总结）导 让大多数学生知道还有某些注意事项1、 找向量夹角时，向量必须同起点；2、 定义中注意垂直时数量积为0；3、 两个向量的数量积称为内积，写成a ⋅b ；符号“· ”在向量运算中既不能省略，也不能用“×”4、 数量积不满足结合率和消去率：在实数中，若a ≠0，且a ⋅b =0，则b =0；但是在数量积中，若a ≠0，且a ⋅b =0，不能推出b =0因为其中cos θ有可能为0已知实数a 、b 、c (b ≠0)，则ab=bc ⇒ a=c 但是a ⋅b = b ⋅c a = c在实数中，有(a ⋅b )c = a (b ⋅c )，但是(a ⋅b )c ≠ a (b ⋅c )5、两个向量的数量积是一个实数，不是向量，符号由cos θ的符号所决定。
平面向量的数量积课时
本文档为word 文档 下载后可编辑打印第一课时 2.4.1 平面向量的数量积的物理背景及其含义教学要求：掌握平面向量的数量积及其几何意义；掌握平面向量数量积的重要性质及运算律；了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题；教学重点：平面向量的数量积定义及应用.教学难点：平面向量数量积的定义及运算律的理解.教学过程：一、复习准备：1. 如何由坐标得到两个向量共线?2. 物理中力做的功是怎样定义的？二、讲授新课：1.教学向量的数量积的概念.①.两个非零向量夹角的概念：已知非零向量ａ与ｂ，作＝ａ，OB ＝ｂ，则∠ＡＯＢ＝θ（０≤θ≤π）叫ａ与ｂ的夹角.注意：当θ＝０时ａ与ｂ同向；当θ＝π时，ａ与ｂ反向；当θ＝2π时，ａ与ｂ垂直，记ａ⊥ｂ；②.平面向量数量积（内积）的定义: 已知两个非零向量ａ与ｂ，它们的夹角是θ，则数量|a ||b |cos θ叫ａ与ｂ的数量积，记作a ⋅b ，即有a ⋅b = |a ||b |cos θ，（分析：符号由cos θ的符号所决定；两个向量的数量积称为内积，写成a ⋅b ；）③.“投影”的概念：作图定义：|b |cos θ叫做向量b 在a 方向上的投影. 投影也是一个数量，不是向量；当θ为锐角时投影为正值；当θ为钝角时投影为负值；当θ为直角时投影为0；当θ = 0︒时投影为 |b |；当θ = 180︒时投影为 -|b |④．向量的数量积的几何意义：数量积a ⋅b 等于a 的长度与b 在a 方向上投影|b |cos θ的乘积.⑤.性质：e ⋅a = a ⋅e =|a |cos θ ，a ⊥b ⇔ a ⋅b = 0，当a 与b 同向时，a ⋅b = |a ||b |；当a 与b 反向时，a ⋅b = -|a ||b |. 特别的a ⋅a = |a |2或a a a ⋅=|| cos θ =||||b a b a ⋅）⑥探究：运算律 a ⋅b=b.a (λa).b=λ(a.b)2.教学例题①.讲解范例：例1 已知|a |=5， |b |=4， a 与b 的夹角θ=120o ，求a ·b .例2 已知|a |=6， |b |=4， a 与b 的夹角为60o 求(a+2b)·(a-3b).例3 已知|a |=3， |b |=4， 且a 与b 不共线，k 为何值时，向量a+kb 与a-kb 互相垂直.（教师演示→学生模仿→学生演示）②.练习：已知｜ａ｜＝３，｜ｂ｜＝６，当①ａ∥ｂ，②ａ⊥ｂ，③ａ与ｂ的夹角是60°时，分别求ａ·ｂ.3. 小结：1.平面向量数量积（内积）的定义；2.向量的数量积的几何意义.三、巩固练习：1．已知|a |=1，|b |=2，(1)若a ∥b ，求a ·b ；(2)若a 、b 的夹角为６０°，求|a +b |；(3)若a -b 与a垂直，求a 与b 的夹角.2．设m 、n 是两个单位向量，其夹角为６０°，求向量a =2m +n 与b =2n -3m 的夹角.3．对于两个非零向量a 、b ，求使|a +t b |最小时的t 值，并求此时b 与a +t b 的夹角.4．已知a +b =2i -8j ，a -b =-8i +16j ，其中i 、j 是直角坐标系中x 轴、y 轴正方向上的单位向量，那么a ·b =？5.作业：课本P119 A 组 1，2，3题.本文档为word 文档 下载后可编辑打印 第二课时 2.4.2平面向量数量积的坐标表示、模、夹角教学要求：使学生掌握平面向量数量积的坐标表示, 掌握向量垂直的坐标表示的条件，及平面内两点间的距离公式,能用所学知识解决有关综合问题.教学重点：平面向量数量积的坐标表示的应用.教学难点：平面向量数量积的坐标表示的综合运用教学过程：一、复习准备：1.平面向量的数量积的物理背景及其含义?2.向量的数量积的几何意义.3.平面向量数量积的运算律.二、讲授新课：1．教学坐标表示.① 平面两向量数量积的坐标表示: 两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和.即a b ⋅2121y y x x +=② 平面内两点间的距离公式: 如果表示向量a 的有向线段的起点和终点的坐标分别为),(11y x 、),(22y x ，那么||(a x =-③ 向量垂直的判定: 设11(,)a x y =，22(,)b x y =，则a b ⊥ ⇔02121=+y y x x④ 两向量夹角的余弦（πθ≤≤0） co s θ =||||a ba b ⋅⋅222221212121y x y x y y x x +++= 2．教学例题.① 讲解例5：已知A (1， 2)，B (2， 3)，C (-2， 5)，试判断△ABC 的形状，并给出证明 练习：在△ABC 中，=(2， 3)，=(1， k )，且△ABC 的一个内角为直角，求k 值. （学生板演→教师修正→学生修正）② 讲解例6：设a = (5， -7)，b = (-6， -4)，求a ·b 及a 、b 间的夹角θ(精确到1o )练习：已知A (1，0)，B (3，1)，C (2，0)，且a =，a =，则a 与b 的夹角为多少？ （学生板演→教师修正→学生修正）3．小结： 平面内两点间的距离公式；向量垂直的判定；两向量夹角的余弦.三、巩固练习： 1．已知A (3，2)，B (-1，-1)，若点P (x ，-21)在线段AB 的中垂线上，则x = . 2．a =(2，3)，b =(-2，4)，则(a +b )·(a -b )= . 3. 已知A (1，2)，B (2，3)，C (-2，5)，则△ABC 为（ ）A.直角三角形 B .锐角三角形 C.钝角三角形 D.不等边三角形4. 已知a ＝（１，3），b ＝（3＋１，3－１），则a 与b 的夹角是多少?5. 如图，以原点和A (5， 2)为顶点作等腰直角△OAB ，使∠B = 90︒，求点B和向量AB 的坐标.6. 已知a (4,2), 求与a 垂直的单位向量的坐标.7. 作业：课本P119 练习（1）（2）。
平面向量的数量积教案
2.4《平面向量的数量积》教案（第一课时）2017级应用数学专业康萍一．教学内容分析本课内容选自普通高中课程标准实验教科书数学必修4(人教A版）§2。
4 平面向量的数量积的第一课时,本课主要内容是向量的数量积的定义及运算律，本节课让学生了解从特殊到一般再由一般到特殊的这种认识规律和体会概念法则的学习过程。
二．学生学习情况分析学生在学习本节内容之前，已熟知了实数的运算体系，掌握了向量的概念及其线性运算，具备了功等物理知识,并且初步体会了研究向量运算的一般方法。
在功的计算公式和研究向量运算的一般方法的基础上，学生基本上能类比得到数量积的含义和运算律,对于运算律不一定给全或给对,对运算律的证明可能会存在一定的困难,教学中老师要注意引导学生分析判断。
三．设计思想遵循新课标以人为本的理念，以启发式教学思想和建构主义理论为指导,采用探究式教学,以多媒体手段为平台，利用问题让学生自主地参与探究,在探究过程中注重学生学习过程的体验和数学能力的发展，引导学生积极将知识融入自己的知识体系。
四．教学目标知识与技能：以物理中功的实例认识理解平面向量数量积的含义及物理意义。
过程与方法：培养学生观察、归纳、类比、联想和数形结合等发现规律的一般方法。
情感态度价值观：让学生经历由实例到抽象的数学定义的形成过程，性质的发现到论证过程，进一步参悟数学的本质。
五．教学重点和难点重点是平面向量数量积的概念、用平面向量数量积表示向量的模及夹角；难点是平面向量数量积的定义及运算律的理解，平面向量数量积的应用.六．教学过程设计活动一：创设问题情景，引出新课1、提出问题1：请同学们回顾一下，我们已经研究了向量的哪些运算？这些运算的结果是什么？答:向量的加法、减法及数乘运算。
这些运算的结果是向量.很好,那既然两个向量可以进行加法、减法运算。
我们自然就想：两个向量能进行乘法运算吗？如果能，结果也是向量吗?【设计意图】1。
让学生明白新旧知识的联系性。
平面向量的数量积教案
平面向量的数量积教案一、教学目标：1. 理解平面向量的数量积的定义及其几何意义。
2. 掌握平面向量的数量积的计算公式及运算性质。
3. 学会运用平面向量的数量积解决实际问题。
二、教学内容：1. 平面向量的数量积的定义向量的数量积又称点积，是指两个向量在数量上的乘积。
对于平面向量a和b，它们的数量积定义为：a·b = |a||b|cosθ，其中|a|和|b|分别表示向量a和b的模长，θ表示向量a和b之间的夹角。
2. 平面向量的数量积的几何意义（1）向量a和b的夹角为θ时，它们的数量积|a||b|cosθ表示在平行四边形法则下，向量a和b共同作用于某一点产生的合力的大小。
（2）向量a和b的夹角为90°时，它们的数量积为0，表示向量a和b垂直。
3. 平面向量的数量积的计算公式及运算性质（1）计算公式：a·b = |a||b|cosθ（2）运算性质：①交换律：a·b = b·a②分配律：a·(b+c) = a·b + a·c③数乘律：λa·b = (λa)·b = λ(a·b)三、教学重点与难点：1. 教学重点：平面向量的数量积的定义、几何意义、计算公式及运算性质。
2. 教学难点：平面向量的数量积的几何意义的理解及应用。
四、教学方法：1. 采用讲授法，讲解平面向量的数量积的定义、几何意义、计算公式及运算性质。
2. 利用多媒体课件，展示平面向量的数量积的图形演示，增强学生的直观感受。
3. 结合例题，引导学生运用平面向量的数量积解决实际问题。
五、课后作业：1. 理解并掌握平面向量的数量积的定义、几何意义、计算公式及运算性质。
2. 完成课后练习题，巩固所学知识。
3. 思考如何运用平面向量的数量积解决实际问题。
六、教学案例与分析：1. 案例一：在平面直角坐标系中，有两个向量a = (3, 2)和b = (4, -1)，求向量a和b的数量积。
平面向量数量积授课优秀教案
资料范本本资料为word版本，可以直接编辑和打印，感谢您的下载平面向量数量积授课优秀教案地点：__________________时间：__________________说明：本资料适用于约定双方经过谈判，协商而共同承认，共同遵守的责任与义务，仅供参考，文档可直接下载或修改，不需要的部分可直接删除，使用时请详细阅读内容平面向量的数量积授课教案张辉授课内容：平面向量的数量积授课类型：复习课授课教师：张辉教学目标：①通过物理中"功"等实例，理解平面向量数量积的含义及其物理意义；②体会平面向量的数量积与向量投影的关系；③掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算；④能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系。
教学重点：平面向量数量积的运算教学难点：平面向量与其他知识点的综合问题的处理命题走向：本讲以选择题、填空题考察本章的基本概念和性质，重点考察平面向量的数量积的概念及应用。
重点体会向量为代数几何的结合体，此类题难度不大，分值5~9分。
平面向量的综合问题是“新热点”题型，其形式为与直线、圆锥曲线、三角函数等联系，解决角度、垂直、共线等问题，以解答题为主。
预测09年高考：（1）一道选择题和填空题，重点考察平行、垂直关系的判定或夹角、长度问题；属于中档题目。
（2）一道解答题，可能以三角、数列、解析几何为载体，考察向量的运算和性质；教学过程：一．知识点梳理（1）数量积的概念已知两个非零向量与，它们的夹角为，则·=︱︱·︱︱cos叫做与的数量积（或内积）。
规定；向量的投影：︱︱cos=∈R，称为向量在方向上的投影。
投影的绝对值称为射影；（2）数量积的几何意义：·等于的长度与在方向上的投影的乘积。
（3）向量数量积的性质①向量的模与平方的关系：。
②乘法公式成立；；③平面向量数量积的运算律交换律成立：；对实数的结合律成立：；分配律成立：。
高中数学必修4《平面向量的数量积》教案
⾼中数学必修4《平⾯向量的数量积》教案 ⾼中数学必修4《平⾯向量的数量积》教案【⼀】 教学准备 教学⽬标 1.掌握平⾯向量的数量积及其⼏何意义; 2.掌握平⾯向量数量积的重要性质及运算律; 3.了解⽤平⾯向量的数量积可以处理垂直的问题; 4.掌握向量垂直的条件. 教学重难点 教学重点：平⾯向量的数量积定义 教学难点：平⾯向量数量积的定义及运算律的理解和平⾯向量数量积的应⽤ 教学过程 1.平⾯向量数量积(内积)的定义：已知两个⾮零向量a与b，它们的夹⾓是θ， 则数量|a||b|cosq叫a与b的数量积，记作a×b，即有a×b = |a||b|cosq，(0≤θ≤π). 并规定0向量与任何向量的数量积为0. ×探究：1、向量数量积是⼀个向量还是⼀个数量?它的符号什么时候为正?什么时候为负? 2、两个向量的数量积与实数乘向量的积有什么区别? (1)两个向量的数量积是⼀个实数，不是向量，符号由cosq的符号所决定. (2)两个向量的数量积称为内积，写成a×b;今后要学到两个向量的外积a×b，⽽a×b是两个向量的数量的积，书写时要严格区分.符号“· ”在向量运算中不是乘号，既不能省略，也不能⽤“×”代替. (3)在实数中，若a?0，且a×b=0，则b=0;但是在数量积中，若a?0，且a×b=0，不能推出b=0.因为其中cosq有可能为0. ⾼中数学必修4《平⾯向量的数量积》教案【⼆】 教学准备 教学⽬标 1.掌握平⾯向量的数量积及其⼏何意义; 2.掌握平⾯向量数量积的重要性质及运算律; 3.了解⽤平⾯向量的数量积可以处理有关长度、⾓度和垂直的问题; 4.掌握向量垂直的条件. 教学重难点 教学重点：平⾯向量的数量积定义 教学难点：平⾯向量数量积的定义及运算律的理解和平⾯向量数量积的应⽤ 教学⼯具 投影仪 教学过程 ⼀、复习引⼊： 1.向量共线定理向量与⾮零向量共线的充要条件是：有且只有⼀个⾮零实数λ，使=λ 五，课堂⼩结 (1)请学⽣回顾本节课所学过的知识内容有哪些?所涉及到的主要数学思想⽅法有那些? (2)在本节课的学习过程中，还有那些不太明⽩的地⽅，请向⽼师提出。
第三节第1课时系统知识牢基础——平面向量的数量积教案
第三节 平面向量的数量积及其应用第1课时 系统知识牢基础——平面向量的数量积知识点一 平面向量的数量积 1．向量的夹角(1)定义：已知两个非零向量a 和b ，作OA ―→＝a ，OB ―→＝b ，则∠AOB 就是向量a 与b 的夹角．(2)范围：设θ是向量a 与b 的夹角，则0°≤θ≤180°.(3)共线与垂直：若θ＝0°，则a 与b 同向；若θ＝180°，则a 与b 反向；若θ＝90°，则a 与b 垂直．2．平面向量的数量积(1)定义：已知两个非零向量a 与b ，它们的夹角为θ，则数量|a ||b |cos θ叫做a 与b 的数量积(或内积)，记作a ·b ，即a ·b ＝|a ||b |cos θ，规定零向量与任一向量的数量积为0，即0·a ＝0.(2)几何意义：数量积a ·b 等于a 的长度|a |与b 在a 的方向上的投影|b |cos θ的乘积． [提醒] (1)数量积a·b 也等于b 的长度|b|与a 在b 方向上的投影|a|cos θ的乘积，这两个投影是不同的．(2)a 在b 方向上的投影也可以写成a·b|b|，投影是一个数量，可正可负也可为0，它的符号取决于θ角的范围． 3．向量数量积的性质设a ，b 是两个非零向量，e 是单位向量，α是a 与e 的夹角，于是我们就有下列数量积的性质：(1)e ·a ＝a ·e ＝|a ||e |cos α＝|a |cos α. (2)a ⊥b ⇔a ·b ＝0.(3)a ，b 同向⇔a ·b ＝|a ||b |； a ，b 反向⇔a ·b ＝－|a ||b |. 特别地a ·a ＝|a |2＝a 2或|a |＝a·a . (4)若θ为a ，b 的夹角，则cos θ＝a·b |a||b|. (5) |a ·b |≤|a |·|b |.4．谨记常用结论(a ±b )2＝|a ±b |2＝|a |2±2a ·b ＋|b |2＝a 2±2a ·b ＋b 2； a 2－b 2＝(a ＋b )(a －b )． 以上结论可作为公式使用． 5．平面向量数量积的运算律 (1)a ·b ＝b ·a (交换律)．(2)λa ·b ＝λ(a ·b )＝a ·λ(b )(结合律)． (3)(a ＋b )·c ＝a ·c ＋b ·c (分配律)．[提醒]对于实数a ，b ，c 有(a ·b )·c ＝a ·(b ·c )，但对于向量a ，b ，c 而言，(a ·b )·c ＝a ·(b ·c )不一定成立，即不满足向量结合律．这是因为(a ·b )·c 表示一个与c 共线的向量，而a ·(b ·c )表示一个与a 共线的向量，而a 与c 不一定共线，所以(a ·b )·c ＝a ·(b ·c )不一定成立．[重温经典]1．(教材改编题)设a ，b 是非零向量．“a ·b ＝|a ||b |”是“a ∥b ”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A 设a 与b 的夹角为θ.因为a ·b ＝|a |·|b |cos θ＝|a |·|b |，所以cos θ＝1，即a 与b 的夹角为0°，故a ∥b .当a ∥b 时，a 与b 的夹角为0°或180°， 所以a ·b ＝|a |·|b |cos θ＝±|a |·|b |，所以“a ·b ＝|a |·|b |”是“a ∥b ”的充分不必要条件．2．已知向量a ，b 满足|a |＝1，|b |＝23，a 与b 的夹角的余弦值为sin 17π3，则b ·(2a －b )等于( ) A ．2 B ．－1 C ．－6D ．－18解析：选D ∵a 与b 的夹角的余弦值为sin 17π3＝－32，∴a ·b ＝－3，b ·(2a －b )＝2a ·b －b 2＝－18.3．已知a ·b ＝－122，|a |＝4，a 和b 的夹角为135°，则|b |的值为( )A ．12B ．6C ．3 3D ．3解析：选B 因为a ·b ＝|a||b|cos 135°＝－122， 所以|b |＝－1224×⎝⎛⎭⎫－22＝6.4．(易错题)已知|a |＝5，|b |＝4，a 与b 的夹角θ＝120°，则向量b 在向量a 方向上的投影为________．解析：由数量积的定义知，b 在a 方向上的投影为|b |cos θ＝4×cos 120°＝－2. 答案：－25．已知两个单位向量e 1，e 2的夹角为π3，若向量b 1＝e 1－2e 2，b 2＝3e 1＋4e 2，则b 1·b 2＝________.解析：b 1·b 2＝(e 1－2e 2)·(3e 1＋4e 2)＝3|e 1|2－2e 1·e 2－8|e 2|2.其中|e 1|2＝|e 2|2＝1，e 1·e 2＝|e 1|·|e 2|·cos π3＝1×1×12＝12，所以b 1·b 2＝－6.答案：－66.如图，在△ABC 中，AB ＝3，AC ＝2，D 是边BC 的中点，则AD ―→·BC ―→＝________.解析：AD ―→·BC ―→＝12(AB ―→＋AC ―→)·(－AB ―→＋AC ―→)＝12(－AB ―→2＋AC ―→2)＝－52.答案：－52知识点二 平面向量数量积的坐标表示已知非零向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，a 与b 的夹角为θ.结论 几何表示 坐标表示模 |a |＝a·a |a |＝x 21＋y 21夹角 cos θ＝a·b |a||b|cos θ＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21·x 22＋y 22a ⊥b 的 充要条件a ·b ＝0 x 1x 2＋y 1y 2＝01．(多选)设向量a ＝(2,0)，b ＝(1,1)，则( ) A ．|a |＝|b | B ．(a －b )∥b C ．(a －b )⊥bD ．a 与b 的夹角为π4解析：选CD 因为a ＝(2,0)，b ＝(1,1)，所以|a |＝2，|b |＝2，所以|a |≠|b |，故A 错误；因为a ＝(2,0)，b ＝(1,1)，所以a －b ＝(1，－1)，所以(a －b )与b 不平行，故B 错误；又(a －b )·b ＝1－1＝0，故C 正确；又cos 〈a ，b 〉＝a ·b|a |·|b |＝222＝22，所以a 与b 的夹角为π4，故D 正确．2．已知向量a ＝(2,1)，b ＝(－1，k )，a ·(2a －b )＝0，则k ＝________. 解析：∵2a －b ＝(4,2)－(－1，k )＝(5,2－k )， 由a ·(2a －b )＝0，得(2,1)·(5,2－k )＝0， ∴10＋2－k ＝0，解得k ＝12. 答案：123．已知向量a 与b 的夹角为60°，且a ＝(－2，－6)，|b |＝10，则a ·b ＝________. 解析：因为a ＝(－2，－6)，所以|a |＝(－2)2＋(－6)2＝210，又|b |＝10，向量a 与b 的夹角为60°，所以a ·b ＝|a ||b |cos 60°＝210×10×12＝10.答案：104．(易错题)向量a ＝(3,4)在b ＝(1，－1)方向上的投影为________． 解析：a 在b 方向上的投影为a ·b |b |＝－22. 答案：－225．(教材改编题)a ，b 为平面向量，已知a ＝(4,3)，2a ＋b ＝(3,18)，则a ，b 夹角的余弦值等于________．解析：设b ＝(x ，y )，则2a ＋b ＝(8＋x,6＋y )＝(3,18)，所以⎩⎪⎨⎪⎧ 8＋x ＝3，6＋y ＝18，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－5，y ＝12，故b ＝(－5,12)，所以cos a ，b＝a·b |a||b|＝1665. 答案：16656．(易错题)已知向量a ＝(2,7)，b ＝(x ，－3)，且a 与b 的夹角为钝角，则实数x 的取值范围为____________________．解析：由a ·b ＝2x －21<0，得x <212，当a 与b 共线时，2x ＝7－3，则x ＝－67，故x 的取值范围为x <212且x ≠－67.答案：⎝⎛⎭⎫－∞，－67∪⎝⎛⎭⎫－67，212 7．向量a ＝(1,2)，b ＝(－1,1)，若k a ＋b 与b 互相垂直，则实数k 的值为________． 解析：∵k a ＋b ＝(k －1,2k ＋1)，b ＝(－1,1)，∴(k a ＋b )·b ＝(k －1)×(－1)＋2k ＋1＝k ＋2＝0，k ＝－2. 答案：－2。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
2.4《平面向量的数量积》教案（第一课时）
教材分析：
教材从学生熟知的功的概念出发，引出了平面向量数量积的概念及其几何意义，接着介绍了向量数量积的5个重要性质，运算律。
向量的数量积把向量的长度和三角函数联系起来，这样为解决三角形的有关问题提供了方便，特别能有效地解决线段的垂直问题。
教学目标：
1.掌握平面向量数量积的定义
2.掌握平面向量数量积的重要性质及运算律
教学重点：
平面向量的数量积定义.
教学难点：
平面向量数量积的定义及运算律的理解和平面向量数量积的应用 教学方法：
1. 问题引导法
2. 师生共同探究法
教学过程：
一．回顾旧知
向量的数乘运算定义：一般地，实数λ与向量的积是一个向量，记作λ， 它的长度和方向规定如下：
（1）= （2）当λ>0时,λ的方向与a 方向相同，当λ<0时, λ的方向与a 方向相反 特别地，当0=λ或=时，=λ 向量的数乘运算律：设a ,b 为任意向量，λ,μ为任意实数，则有： ① λ(μ)=()λμ
② (λ+μ)=μλ+
③ λ(+)=λλ+
二．情景创设
问题1. 我们已经学习了向量的加法，减法和数乘，它们的运算结果都是向量，
那么向量与向量之间有没有“乘法”运算呢？这种新的运算结果又是什么呢？
三．学生活动
联想：物理中，功就是矢量与矢量“相乘”的结果。
问题2. 在物理课中，我们学过功的概念，即如果一个物体在力F 的作用下产生位移s ，那么力F 所做的功为多少？
W 可由下式计算：W ＝｜F ｜·｜s ｜cos θ，其中θ是F 与s 的夹角.
若把功W 看成是两向量F 和S 的某种运算结果，显然这是一种新的运算，我们引入向量数量积的概念.
四．建构数学
1.向量数量积的定义
已知两个非零向量a 与b ，它们的夹角是θ，则数量｜a ｜｜b ｜cos θ叫a 与b
的数量积，记作a ·b ，即有a ·b ＝｜a ｜｜b ｜cos θ
说明：（1）向量的数量积的结果是一个实数，而不是向量，符号由夹角决定
（2）θ是a 与b 的夹角；范围是0≤θ≤π，（注意在两向量的夹角定义中，两向量
必须是同起点的.）
当θ＝0时，a 与b 同向；a ·b ＝｜a ｜｜b ｜cos0＝｜a ｜｜b
｜ 当θ＝π2 时，a 与b 垂直，记a ⊥b ；a ·b ＝｜a ｜｜b ｜cos 2
π=0 当θ＝π时，a 与b 反向；a ·b ＝｜a ｜｜b ｜cos π=－｜a ｜｜b ｜
（3）规定·
a ＝0；a 2＝a ·a ＝｜a ｜2或｜a （4）符号“·”在向量运算中不是乘号，既不能省略，也不能用“×”代替
2. 向量数量积的运算律 已知a ，b ，c 和实数λ，则向量的数量积满足下列运算律：
①a ·b ＝b ·
a (交换律) ②(λa )·
b ＝λ (a ·b )＝a ·
(λb ) (数乘结合律) ③(a ＋b )·＝a ·＋b · (分配律) ④(a ·b )c ≠a (b ·
c ) （一般不满足结合律） 五．例题剖析
加深对数量积定义的理解
例1 判断正误，并简要说明理由.
① ∙＝；
② 0∙＝0；
③ 若a ≠0，则对任意非零向量b ，有0≠⋅b a
④ 如果〉⋅，那么a 与b 夹角为锐角
⑤ 若c b c a ⋅=⋅，则b a =
⑥ 若0≠c 且c b c a ⋅=⋅，则b a =
⑦ 若//，则a ·b ＝｜a ｜｜b ｜
⑧ 与是两个单位向量，则2＝2
数量积定义运用
例2： 已知a =2，b =3，θ为a 与b 的夹角，分别在下列条件下求·
（1）a 与b 的夹角为135° （2）∥ （3）⊥
变式：已知｜｜＝4，｜｜＝6，a 与b 的夹角θ为60°，求
（1） b a ⋅ （2）()b a a +⋅ （3）()()
b a b a 32+⋅-
概念辨析，正确理解向量夹角定义
例3 已知△ABC 中，a ＝5，b ＝8，C ＝60°，求BC →·CA →
变式：三角形ABC 中，若0〉⋅,判断三角形ABC 的形状
()BC AD DAB ABCD ⋅=∠==︒.1:,60,34,.4求中在平行四边形例
()DA AB ⋅.2
六．课堂小结
通过本节学习，要求大家掌握平面向量的数量积的定义、重要性质、运算律，并能运用它们解决相关的问题.
七．课堂检测
1.
=4
=6，m 与n 的夹角为0150，则=⋅n m .
2.若⋅<0，则与的夹角θ的取值范围是（ ） A. 0,2π⎡⎫⎪⎢⎣⎭ B. ,2ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭ C. ,2ππ⎛⎤ ⎥⎝⎦ D. ,2ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭
3.下列等式中，其中正确的是 （ ）
①
2a = ② 2a b a ⋅a ③ ()222b a b a ⋅=⋅ ④()2b a +=2
22b b a a +⋅+ A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
4.
5=
8=，20-=⋅b a ，则a 与b 的夹角为 。
5.已知单位向量1e 和2e 的夹角为060，则()()
=+⋅-2121232e e e e 。
八．课后作业
必做题：课本81页 习题2.4 第1，2题
九．教学反思
教学中应该强调向量数量积是实数，但与实数运算律有很大区别。
讲解数量积定义时可适当拓展数量积几何意义，让学生了解投影的概念。