(完整版)平面向量的数量积优秀教案第一课时.docx

2.4 《平面向量的数量积》教案（第一课时）

教材分析：

教材从学生熟知的功的概念出发，引出了平面向量数量积的概念及其几何意义，接着介绍了向量数量积的 5 个重要性质，运算律。向量的数量积把向量的长度和三角函数联系起来，这样为解决三角形的有关问题提供了方便，特别能有效地解决线段的垂直问题。

教学目标：

1.掌握平面向量数量积的定义

2.掌握平面向量数量积的重要性质及运算律

教学重点：

平面向量的数量积定义 .

教学难点：

平面向量数量积的定义及运算律的理解和平面向量数量积的应用

教学方法：

1.问题引导法

2.师生共同探究法

教学过程：

一．回顾旧知

向量的数乘运算定义：一般地，实数λ与向量 a 的积是一个向量，记作 a ，

它的长度和方向规定如下：

（1）a a

（2）当λ >0 时 , a 的方向与a方向相同，当λ<0时, a 的方向与a方向相反特别地，当0 或a0 时，a0

向量的数乘运算律：设 a , b 为任意向量，λ,μ为任意实数，则有：

①λ( μa )=a

② ( λ+μ) a = a a

③λ( a +b )=a b

二．情景创设

问题 1. 我们已经学习了向量的加法，减法和数乘，它们的运算结果都是向量，

那么向量与向量之间有没有“乘法”运算呢？这种新的运算结果又是什么呢？

三．学生活动

联想：物理中，功就是矢量与矢量“相乘”的结果。

问题 2. 在物理课中，我们学过功的概念，即如果一个物体在力 F 的作用下产生位移 s，那么力 F 所做的功为多少？

W 可由下式计算： W＝｜ F ｜·｜s｜cosθ，其中θ是 F 与 s 的夹角 .

若把功 W 看成是两向量 F 和 S 的某种运算结果，显然这是一种新的运算，

我们引入向量数量积的概念 .

四．建构数学

1.向量数量积的定义

已知两个非零向量 a 与b，它们的夹角是θ，则数量｜ a ｜｜b｜cosθ叫 a 与b的数量积，

记作· ，即有· ＝｜

a ｜｜

b ｜cosθ

a b a b

说明：（ 1）向量的数量积的结果是一个实数，而不是向量，符号由夹角决定

（ 2）是a与b的夹角；范围是0≤θ≤π，（注意在两向量的夹角定义中，两向量必须是同起点的.）

当θ＝ 0 时，a与 b 同向；a·b＝｜ a｜｜ b ｜cos0＝｜a｜｜ b ｜

当θ＝π

时，a与 b 垂直，记a⊥ b ；· ＝｜a｜｜ b ｜cos=0 22

当θ＝π

时，

a 与

b 反向；

a

·＝｜

a

｜｜ b ｜cos=－｜

a

｜｜b ｜

b

（3）规定0·a＝0；a2＝a·＝｜a｜2或｜a｜＝ a a＝2

a

a

（4）符号“·”在向量运算中不是乘号，既不能省略，也不能用“×”代替

2.向量数量积的运算律

已知 a ，b，c和实数λ，则向量的数量积满足下列运算律：

① a ·b＝b·(交换律 )

a

② (λa ) ·b＝λ ( a·b )＝a·(λb ) (数乘结合律 )

③ ( a＋b ) ·＝·＋ b ·(分配律 )

c a cc

④ (≠( b· )（一般不满足结合律）

c a c

五．例题剖析

加深对数量积定义的理解

例 1判断正误，并简要说明理由.

① a ? 0 ＝ 0 ；

② 0 a＝ 0；

③若 a0 ，则对任意非零向量b，有 a b0

④如果 a b 0 ，那么 a 与b夹角为锐角

⑤若 a c b c ，则 a b

⑥若 c0 且 a c b c ，则 a b

⑦若

a //

b ，则 a b a

｜｜ b ｜

· ＝｜

⑧ a 与 b 是两个单位向量，则 a 2＝ b 2

数量积定义运用

r r

3，θ为 a 与b的夹角，分别在下列条件下求a·b 例 2：已知a2，b

（1） a 与b的夹角为 135°（ 2）a∥b（3）a⊥b

变式：已知｜ a ｜＝4，｜ b ｜＝6，a与b的夹角θ为60°，求

（ 1） a b（2）a a b（3）2a b a3b

概念辨析，正确理解向量夹角定义

→→

例 3已知△ ABC中，a＝5，b＝8，C＝60°，求BC·CA

变式：三角形 ABC中，若 BC CA 0 , 判断三角形 ABC的形状

例4.在平行四边形ABCD 中 ,已知 AB 4, AD3, DAB 60 ,

求: 1 .AD BC

2 .AB DA

六．课堂小结

通过本节学习，要求大家掌握平面向量的数量积的定义、重要性质、运算律，并能运用它们解决相关的问题.

七．课堂检测

1. 若m =4 ，n=6，m与n的夹角为1500，则m n.

2. 若a b <0，则 a 与 b 的夹角的取值范围是（）

A. 0,

B.,

C.,

D.,

2222

3. 下列等式中，其中正确的是（）

22a b b222222

① a a③ a b a b ④ a b = a2a b b

② 2 =

a

a

A.1 个

B.2个

C.3个

D.4个

4. 已知a 5 ， b8 ， a b20 ，则 a 与 b 的夹角为。

5.已知单位向量e1和e2的夹角为600，则2e1e23e1 2e2。

八．课后作业

必做题：课本 81 页习题 2.4第 1， 2 题

九．教学反思

教学中应该强调向量数量积是实数，但与实数运算律有很大区别。讲解数量积定义时可适当拓展数量积几何意义，让学生了解投影的概念。