优质课2.4.1平面向量的物理背景及其含义.ppt
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2019版数学人教A版必修4课件：2.4.1 平面向量数量积的物理背景及其含义
1
2
M 目标导航
UBIAODAOHANG
Z 知识梳理
HISHI SHULI
Z 重难聚焦
HONGNAN JVJIAO
D典例透析
IANLI TOUXI
3
【做一做1-1】 若向量a,b满足|a|=|b|=1,a与b的夹角为60°,则a·b等
于(
)
1
A.2
3
3
C.1+ 2
B.2
D.2
解析:a·b=|a||b|cos 60°= .
利用数量积的几何意义求a·b.
-15-
第十五页，编辑于星期日：点 四十四分。
2.4.1 平面向量数量积
的物理背景及其含义
M 目标导航
题型二
题型四
题型一
题型三
UBIAODAOHANG
Z 知识梳理
Z 重难聚焦
HISHI SHULI
HONGNAN JVJIAO
D典例透析
IANLI TOUXI
题型五
【变式训练1】 (1)若向量a,b满足|a|=|b|=1,a与b的夹角为60°,则
2.4
平面向量的数量积
第一页，编辑于星期日：点 四十四分。
-1-
2.4.1
平面向量数量积的物理背景及其含义
第二页，编辑于星期日：点 四十四分。
-2-
2.4.1 平面向量数量积
的物理背景及其含义
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UBIAODAOHANG
Z 知识梳理
HISHI SHULI
Z 重难聚焦
HONGNAN JVJIAO
其中正确的个数为(
)
A.4
B.3
C.2
D.1
解析:①③正确.
2
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HONGNAN JVJIAO
D典例透析
IANLI TOUXI
3
【做一做1-1】 若向量a,b满足|a|=|b|=1,a与b的夹角为60°,则a·b等
于(
)
1
A.2
3
3
C.1+ 2
B.2
D.2
解析:a·b=|a||b|cos 60°= .
利用数量积的几何意义求a·b.
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第十五页，编辑于星期日：点 四十四分。
2.4.1 平面向量数量积
的物理背景及其含义
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题型二
题型四
题型一
题型三
UBIAODAOHANG
Z 知识梳理
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HISHI SHULI
HONGNAN JVJIAO
D典例透析
IANLI TOUXI
题型五
【变式训练1】 (1)若向量a,b满足|a|=|b|=1,a与b的夹角为60°,则
2.4
平面向量的数量积
第一页，编辑于星期日：点 四十四分。
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2.4.1
平面向量数量积的物理背景及其含义
第二页，编辑于星期日：点 四十四分。
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2.4.1 平面向量数量积
的物理背景及其含义
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HISHI SHULI
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其中正确的个数为(
)
A.4
B.3
C.2
D.1
解析:①③正确.
2.4.1[平面向量数量积的物理背景及其含义]课件(苏教版必修4)
![2.4.1[平面向量数量积的物理背景及其含义]课件(苏教版必修4)](https://img.taocdn.com/s3/m/fa3873037cd184254b353539.png)
2.4.1 平面向量数量积的
物理背景及其含义
学法指导
• • • • 1.多动脑筋 2.数形结合 3.总结基本题型 4.限时训练
复习：数乘
b a
(1)| b | | | | a | (2)当 0时 a , b同向;
当 0时 a , b反向.
复习：向量的夹角
a
O
a b
O
θ
θ
例题：
a 8, b 7, C 60，求 BC CA 在△ABC中，
解：
| BC | 8 | CA | 7
A
7
B
60
120
120
8
C
BC CA | BC | | CA | cos120 1 8 7 ( ) 28 2
例题：
a 4, b 9, C 30，求 BC CA 在△ABC中，
• 总结规律：a, b反向 a b | a || b |
a和a的夹角为 0， cos0 1 练习
(1) | a | 2， a a 2 2 4 (2) | a | 10， a a 10 10 100 (3) | a | 8， a a 8 8 64
a | a |2
2
作业
• A.小结 • B.P121 A1（前两个）， A2
1. 2.
3.
a· b=|a| |b| cosθ
数量积几何意义 重要性质
b
0
Oa
0
b
O
a
2
b
Oa
b
我们学过功的概念，即一个物体在力F的作用下产生 位移s
F θ S
力F所做的功W可用下式计算
物理背景及其含义
学法指导
• • • • 1.多动脑筋 2.数形结合 3.总结基本题型 4.限时训练
复习：数乘
b a
(1)| b | | | | a | (2)当 0时 a , b同向;
当 0时 a , b反向.
复习：向量的夹角
a
O
a b
O
θ
θ
例题：
a 8, b 7, C 60，求 BC CA 在△ABC中，
解：
| BC | 8 | CA | 7
A
7
B
60
120
120
8
C
BC CA | BC | | CA | cos120 1 8 7 ( ) 28 2
例题：
a 4, b 9, C 30，求 BC CA 在△ABC中，
• 总结规律：a, b反向 a b | a || b |
a和a的夹角为 0， cos0 1 练习
(1) | a | 2， a a 2 2 4 (2) | a | 10， a a 10 10 100 (3) | a | 8， a a 8 8 64
a | a |2
2
作业
• A.小结 • B.P121 A1（前两个）， A2
1. 2.
3.
a· b=|a| |b| cosθ
数量积几何意义 重要性质
b
0
Oa
0
b
O
a
2
b
Oa
b
我们学过功的概念，即一个物体在力F的作用下产生 位移s
F θ S
力F所做的功W可用下式计算
向量的物理背景与概念 PPT
么向量？（平行向量）
(6) 两个非零向量相等的充分必要条件是什么？ （长度相等且方向相同）
(7) 共线向量一定在同一直线上吗？（ 不一定 ）
3.下列说法中错误的是（ ） A.零向量是没有方向的 B.零向量的长度为零 C.零向量与任一向量平行 D.零向量的方向是任意的
4.把平面上一切单位向量的始点放在同一点,那么
若表示向量的有向线段没有标注起点和终点字母， 向意量 用也ar可,br用,黑cr,体L 字母表a，示b，c，…（书写时用注
3向模、量 ,记向Au作u量Bur 的的| Auu大模Bur 小| ，，或就者是记向作量| arAu|uBur的长度称为向量的
问题|6a、|向| b量 |的有模意能义 否比较a大小b？ 没有意义
位移是既有大小又有方向，路程是只有大小 没有方向
观察归纳——形成概念
探究一：向量的概念
我们把这种既有 大小 ，又有 方向 的 量叫做向量. 问题4：①向量的要素是什么?
②向量与数量的区别是什么?
③向量之间能否比较大小?
向量与数量的区别： 既有大小，又有方向的量叫做向量(物理学中称为矢量); 只有大小，没有方向的量叫做数量(物理学中称为标量).
5、相等向量——长度相等且方向相同的向量，记
作 a=b
6、共线向量——平行向量又叫做共线向量
问题8、零向量的方向是没有还是方向任意？ 问题9、向量 AB 与向量 BA 是相等向量吗？ 问题10、向量的平行与直线的平行有区别吗？ 问题11.如图5中有平行向量、相反向量、相等向量、 共线向量吗？
问题12、物理中的力与数学中的向量是一样的吗？ 有向线段与向量是一样的吗？
第二章 平面向量 2.1平面向量的实际背景及基本概念
情境创设--引入概念
(6) 两个非零向量相等的充分必要条件是什么？ （长度相等且方向相同）
(7) 共线向量一定在同一直线上吗？（ 不一定 ）
3.下列说法中错误的是（ ） A.零向量是没有方向的 B.零向量的长度为零 C.零向量与任一向量平行 D.零向量的方向是任意的
4.把平面上一切单位向量的始点放在同一点,那么
若表示向量的有向线段没有标注起点和终点字母， 向意量 用也ar可,br用,黑cr,体L 字母表a，示b，c，…（书写时用注
3向模、量 ,记向Au作u量Bur 的的| Auu大模Bur 小| ，，或就者是记向作量| arAu|uBur的长度称为向量的
问题|6a、|向| b量 |的有模意能义 否比较a大小b？ 没有意义
位移是既有大小又有方向，路程是只有大小 没有方向
观察归纳——形成概念
探究一：向量的概念
我们把这种既有 大小 ，又有 方向 的 量叫做向量. 问题4：①向量的要素是什么?
②向量与数量的区别是什么?
③向量之间能否比较大小?
向量与数量的区别： 既有大小，又有方向的量叫做向量(物理学中称为矢量); 只有大小，没有方向的量叫做数量(物理学中称为标量).
5、相等向量——长度相等且方向相同的向量，记
作 a=b
6、共线向量——平行向量又叫做共线向量
问题8、零向量的方向是没有还是方向任意？ 问题9、向量 AB 与向量 BA 是相等向量吗？ 问题10、向量的平行与直线的平行有区别吗？ 问题11.如图5中有平行向量、相反向量、相等向量、 共线向量吗？
问题12、物理中的力与数学中的向量是一样的吗？ 有向线段与向量是一样的吗？
第二章 平面向量 2.1平面向量的实际背景及基本概念
情境创设--引入概念
数学(2.4.1平面向量数量积的物理背景及其含义)
功率
功率等于功与作用时间的比值。平面向量数量积可以用来描述功率，即功率等于功向量与时间向量的 模的比值。
03
平面向量数量积的应用
速度与加速度的研究
速度
速度是描述物体运动快慢的物理量， 等于位移与时间的比值。在平面向量 中，速度可以表示为向量，其模即为 线段长度与时间的比值。
加速度
加速度是描述物体速度变化快慢的物 理量，等于速度的变化量与时间的比 值。在平面向量中，加速度可以表示 为速度向量的变化率，其模即为速度 变化量与时间的比值。
详细描述
根据数乘的定义，实数k与向量a的数乘记作 ka，其模长为|ka|=|k||a|。设向量a与向量b的
夹角为θ，则有k(a·b)=k(|a||b|cosθ)， (ka)·b=|ka||b|cosθ=k(|a||b|cosθ)，
a·(kb)=|a||kb|cosθ=k(|a||b|cosθ)。这说明数 乘律成立，即k(a·b)=(ka)·b=a·(kb)。
几何意义
总结词
平面向量数量积表示两个向量在方向上的相似性和夹角关系。
详细描述
平面向量数量积的几何意义在于表示两个向量在方向上的相似性和夹角关系。当两个向量的夹角为锐角时，数量 积大于0，表示两个向量方向相同；当夹角为钝角时，数量积小于0，表示两个向量方向相反；当夹角为0或180 度时，数量积为0，表示两个向量垂直或反向。
动量与冲量
动量
物体的动量等于物体的质量与速 度的乘积。平面向量数量积可以 用来描述动量，即物体的动量等 于质量与速度向量的模的乘积。
冲量
冲量等于力的作用时间与力的乘 积。平面向量数量积可以用来描 述冲量，即冲量等于力向量与时 间向量的模的乘积。
功与功率
功
功率等于功与作用时间的比值。平面向量数量积可以用来描述功率，即功率等于功向量与时间向量的 模的比值。
03
平面向量数量积的应用
速度与加速度的研究
速度
速度是描述物体运动快慢的物理量， 等于位移与时间的比值。在平面向量 中，速度可以表示为向量，其模即为 线段长度与时间的比值。
加速度
加速度是描述物体速度变化快慢的物 理量，等于速度的变化量与时间的比 值。在平面向量中，加速度可以表示 为速度向量的变化率，其模即为速度 变化量与时间的比值。
详细描述
根据数乘的定义，实数k与向量a的数乘记作 ka，其模长为|ka|=|k||a|。设向量a与向量b的
夹角为θ，则有k(a·b)=k(|a||b|cosθ)， (ka)·b=|ka||b|cosθ=k(|a||b|cosθ)，
a·(kb)=|a||kb|cosθ=k(|a||b|cosθ)。这说明数 乘律成立，即k(a·b)=(ka)·b=a·(kb)。
几何意义
总结词
平面向量数量积表示两个向量在方向上的相似性和夹角关系。
详细描述
平面向量数量积的几何意义在于表示两个向量在方向上的相似性和夹角关系。当两个向量的夹角为锐角时，数量 积大于0，表示两个向量方向相同；当夹角为钝角时，数量积小于0，表示两个向量方向相反；当夹角为0或180 度时，数量积为0，表示两个向量垂直或反向。
动量与冲量
动量
物体的动量等于物体的质量与速 度的乘积。平面向量数量积可以 用来描述动量，即物体的动量等 于质量与速度向量的模的乘积。
冲量
冲量等于力的作用时间与力的乘 积。平面向量数量积可以用来描 述冲量，即冲量等于力向量与时 间向量的模的乘积。
功与功率
功
平面向量的物理背景及其含义PPT优秀课件 人教版
a·b的几何意义：
bB
O
θ |b|cosθ B1 a
A
ab等于
a的长度
|
a
|与
b在a方向上的
|b|cos的乘积。
22.05.2019
江西省赣州一中刘利剑 整理 heishu800101@
练习：
1．若a =0，则对任一向量b ，有a · b=0．√
2．若a ≠0，则对任一非零向量b ,有a ·b≠0． ×
97.有三个人是我的朋友爱我的人.恨我的人.以及对我冷漠的人。 爱我的人教我温柔；恨我的人教我谨慎；对我冷漠的人教我自立。――[J·E·丁格] 98.过去的事已经一去不复返。聪明的人是考虑现在和未来，根本无暇去想过去的事。――[英国哲学家培根] 99.真正的发现之旅不只是为了寻找全新的景色，也为了拥有全新的眼光。――[马塞尔·普劳斯特] 100.这个世界总是充满美好的事物，然而能看到这些美好事物的人，事实上是少之又少。――[罗丹] 101.称赞不但对人的感情，而且对人的理智也发生巨大的作用，在这种令人愉快的影响之下，我觉得更加聪明了，各种想法，以异常的速度接连涌入我的脑际。――[托尔斯泰] 102.人生过程的景观一直在变化，向前跨进，就看到与初始不同的景观，再上前去，又是另一番新的气候――。[叔本华] 103.为何我们如此汲汲于名利，如果一个人和他的同伴保持不一样的速度，或许他耳中听到的是不同的旋律，让他随他所听到的旋律走，无论快慢或远近。――[梭罗] 104.我们最容易不吝惜的是时间，而我们应该最担心的也是时间；因为没有时间的话，我们在世界上什么也不能做。――[威廉·彭] 105.人类的悲剧，就是想延长自己的寿命。我们往往只憧憬地平线那端的神奇【违禁词，被屏蔽】，而忘了去欣赏今天窗外正在盛开的玫瑰花。――[戴尔·卡内基] 106.休息并非无所事事，夏日炎炎时躺在树底下的草地，听着潺潺的水声，看着飘过的白云，亦非浪费时间。――[约翰·罗伯克] 107.没有人会只因年龄而衰老，我们是因放弃我们的理想而衰老。年龄会使皮肤老化，而放弃热情却会使灵魂老化。――[撒母耳·厄尔曼] 108.快乐和智能的区别在于：自认最快乐的人实际上就是最快乐的，但自认为最明智的人一般而言却是最愚蠢的。――[卡雷贝·C·科尔顿] 109.每个人皆有连自己都不清楚的潜在能力。无论是谁，在千钧一发之际，往往能轻易解决从前认为极不可能解决的事。――[戴尔·卡内基] 110.每天安静地坐十五分钟·倾听你的气息，感觉它，感觉你自己，并且试着什么都不想。――[艾瑞克·佛洛姆] 111.你知道何谓沮丧---就是你用一辈子工夫，在公司或任何领域里往上攀爬，却在抵达最高处的同时，发现自己爬错了墙头。－－[坎伯] 112.「伟大」这个名词未必非出现在规模很大的事情不可；生活中微小之处，照样可以伟大。――[布鲁克斯] 113.人生的目的有二：先是获得你想要的；然后是享受你所获得的。只有最明智的人类做到第二点。――[罗根·皮沙尔·史密斯] 114.要经常听.时常想.时时学习，才是真正的生活方式。对任何事既不抱希望，也不肯学习的人，没有生存的资格。
高中数学第二章平面向量2.4.1平面向量数量积的物理背景及其含义课件新人教A版必修4
向量的数量积
定义
已知两个非零向量 a 与 b，我们把数量_|a_||_b_|c_o_s__θ叫作 a 与 b 的 数量积，记作_a_·_b_，即 a·b＝_|a_||_b_|c_o_s__θ，其中 θ 是 a 与 b 的夹角．零 向量与任一向量的数量积为__0__.
几何意义
|a|cos θ(|b|cos θ)叫做向量 a 在 b 方向上(b 在 a 方向上)的 __投__影__．a·b 的几何意义：数量积 a·b 等于 a 的长度|a|与 b 在 a 的方 向上的投影|b|cos θ 的_乘__积___
为________，b 在 a 方向上的投影为________．
【解析】 (1)设B→A＝a，B→C＝b，则 a·b＝12，|a|＝|b|＝1.D→E＝12 A→C＝12(b－a)，D→F＝32D→E＝34(b－a)，A→F＝A→D＋D→F＝－12a＋34(b－a) ＝－54a＋34b，A→F·B→C＝－54a·b＋34b2＝－58＋34＝18.答Leabharlann ：(1)π3 (2)见解析性质
(1)a⊥b⇔___a_·_b___＝0； (2)当 a 与 b 同向时，a·b＝_|a_|_|b_|；当 a 与 b 反向时，a·b＝__－__|a_||_b_|_； (3)a·a＝|a|2 或|a|＝ a·a＝ a2；
a·b (4)cos θ＝__|_a_|·_|b_|__； (5)|a·b|≤|a||b|
考试标准
课标要点
学考要求 高考要求
平面向量数量积的概念及其物理意义
b
b
平面向量投影的概念
a
a
平面向量数量积的性质及运算律
b
b
知识导图
学法指导 1.本节的重点是平面向量数量积的概念、向量的模及夹角的表 示，难点是平面向量数量积运算律的理解及平面向量数量积的应 用． 2．向量的数量积与数的乘法既有区别又有联系，学习时注意 对比，明确数的乘法中成立的结论在向量的数量积中是否成立.
课件_人教版高中数学必修-平面向量的物理背景及其含义PPT课件_优秀版
它的长度和方向规定如下：(1)|λ |a=|λ| | a |
(2) 当λ>0时,λ a 的方向与 当λ<0时,λ a的方向与
a 方向相同；
a 方向相反；
特别地，当λ=0或 a = 0 时, λ a = 0 .
2.运算律
.设 a ,b 为任意向量，λ,μ为任意实数，则有： ①λ(μ a)=(λμ) a
bB
O
θ |b|cosθ B1 a
A
arbr等于
r a的长度
|
r a
|与
br在ar方向上的投
r
|b|cos 的乘积。
向量的数量积是一个数量，那么它什 么时候为正，什么时候为负？
rr r r
a ·b =|a | |b | cosθ
rr
当0°≤θ ＜ 90°时
为a·r正b；r
当90°＜θ ≤180°时
(2)(ra)rb
(ab)
r rr
rar(b)
(3)(ab)c acbc
其中，ar、 br、 cr是任意三个向量，R
注意：
rrr rrr (ab )c a(bc)
证明运算律(3)
证 明 ： 任 取 一 点 O ， 作 O A = a ， A B = b ， O C = c .
因 为 a（ b即 O B ） 在 c方 向 上 的 投 影A b 2 B
等 于 a、 b 在 c方 向 上 的 投 影 的 和 ， 即a 1
a b c o s a c o s1 b c o s2 O
Mc
N
C
c a b c o s c a c o s1 c b c o s2
c(a b ) ca cb
(a b )c a c b c
(2) 当λ>0时,λ a 的方向与 当λ<0时,λ a的方向与
a 方向相同；
a 方向相反；
特别地，当λ=0或 a = 0 时, λ a = 0 .
2.运算律
.设 a ,b 为任意向量，λ,μ为任意实数，则有： ①λ(μ a)=(λμ) a
bB
O
θ |b|cosθ B1 a
A
arbr等于
r a的长度
|
r a
|与
br在ar方向上的投
r
|b|cos 的乘积。
向量的数量积是一个数量，那么它什 么时候为正，什么时候为负？
rr r r
a ·b =|a | |b | cosθ
rr
当0°≤θ ＜ 90°时
为a·r正b；r
当90°＜θ ≤180°时
(2)(ra)rb
(ab)
r rr
rar(b)
(3)(ab)c acbc
其中，ar、 br、 cr是任意三个向量，R
注意：
rrr rrr (ab )c a(bc)
证明运算律(3)
证 明 ： 任 取 一 点 O ， 作 O A = a ， A B = b ， O C = c .
因 为 a（ b即 O B ） 在 c方 向 上 的 投 影A b 2 B
等 于 a、 b 在 c方 向 上 的 投 影 的 和 ， 即a 1
a b c o s a c o s1 b c o s2 O
Mc
N
C
c a b c o s c a c o s1 c b c o s2
c(a b ) ca cb
(a b )c a c b c
平面向量的物理背景及其含义优秀课件 人教版
02.04.2019 江西省赣州一中刘利剑 整理 heishu800101@
平面向量的数量积的运算律：
数量积的运算律：
其中， a 、 b 、 c 是任意三个向量， R
注： ( a b ) c a ( b c )
02.04.2019 江西省赣州一中刘利剑 整理 heishu800101@
C
B
O
O a , O C b 解：设 A 则 A ， Ca b , C B a b 由此可得： A CC B ab ab
2 2 r r 0 | || |
ab a b
2 2 2
2
即 AC CB 0 ，∠ACB=90°
02.04.2019 江西省赣州一中刘利剑 整理 heishu800101@
02.04.2019
江西省赣州一中刘利剑 整理 heishu800101@
3、用向量方法证明：直径所对的圆周 角为直角。
如图所示，已知⊙O，AB为直径，C 为⊙O上任意一点。求证∠ACB=90° A 分析：要证∠ACB=90°，只须证向 CC B 0 量A 。 C C B，即A
方向相同的 e 是与 b 、 b是非零向量， 设a 单位向量， 是 a 与 e的夹角，则
B ( 3 ) 当 a 与 b 同向时 a b | a || b |; b θ A O B1 a 当 a 与 b 反向时 a b | a || b |; 2 2 a 特别地 a a |a |或 |a | a a ab (4 )cos ( 5 ) | a b | | a || b |
02.04.2019 江西省赣州一中刘利剑 整理 heishu800101@
平面向量的数量积的运算律：
数量积的运算律：
其中， a 、 b 、 c 是任意三个向量， R
注： ( a b ) c a ( b c )
02.04.2019 江西省赣州一中刘利剑 整理 heishu800101@
C
B
O
O a , O C b 解：设 A 则 A ， Ca b , C B a b 由此可得： A CC B ab ab
2 2 r r 0 | || |
ab a b
2 2 2
2
即 AC CB 0 ，∠ACB=90°
02.04.2019 江西省赣州一中刘利剑 整理 heishu800101@
02.04.2019
江西省赣州一中刘利剑 整理 heishu800101@
3、用向量方法证明：直径所对的圆周 角为直角。
如图所示，已知⊙O，AB为直径，C 为⊙O上任意一点。求证∠ACB=90° A 分析：要证∠ACB=90°，只须证向 CC B 0 量A 。 C C B，即A
方向相同的 e 是与 b 、 b是非零向量， 设a 单位向量， 是 a 与 e的夹角，则
B ( 3 ) 当 a 与 b 同向时 a b | a || b |; b θ A O B1 a 当 a 与 b 反向时 a b | a || b |; 2 2 a 特别地 a a |a |或 |a | a a ab (4 )cos ( 5 ) | a b | | a || b |
02.04.2019 江西省赣州一中刘利剑 整理 heishu800101@
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二、平面向量的数量积的运算律：
数量积的运算律：
(1)a b b a (2)(a ) b (a b ) a (b ) (3)( a b ) c a c b c 其中， a、b 、c是任意三个向量， R
∴ a· b=|a| |b|cosθ= √2×2×cos45 ° =2
b
O
B
θ |b|cosθ B1 a
A
的长度 | a |与 b 在a方向上的投影 a b 等于 a
| b | cos 的乘积。
练习： 1．若a =0，则对任一向量b ，有a · b=0． √
2．若a ≠0，则对任一非零向量b ,有a ·b≠0． × 3．若a ≠0，a · b =0，则b=0 × × 4．若a · b=0，则a ·b中至少有一个为0． 5．若a≠0，a ·b= b ·c，则a=c × 6．若a · b = a · c ,则b≠c,当且仅当a=0 × 时成立． 2 2 7．对任意向量 a 有 a | a | √
a· b=|a| |b| cosθ
|a| cosθ（|b| cosθ）叫 做向量a在b方向上（向 量b在a方向上）的投影。 规定:零向量与任一向量的数量积为0。
向量的数量积是一个数量，那么它什 么时候为正，什么时候为负？
a· b=|a| |b| cosθ
当0°≤θ ＜ 90°时a· b为正； 当90°＜θ ≤180°时a· b为负。 当θ =90°时a· b为零。
是非零向量， e 是与b 方向相同的 设 a、b 单位向量， 是a与e 的夹角，则 ( 1 ) e a a e | a | cos a b | a || b | cos
B (3)当a与b 同向时，a b | a || b |; b θ A O B1 a 当a与b 反向时，a b | a || b |; 2 2 特别地 a a | a | 或 | a | a a a a b (4) cos ( 5 ) | a b | | a || b | | a || b |
3、用向量方法证明：直径所对的圆周 角为直角。
如图所示，已知⊙O，AB为直径，C 为⊙O上任意一点。求证∠ACB=90° A 分析：要证∠ACB=90°，只须证向 量AC 例 3：求证： （1）(a＋b)2＝a2＋2a· b＋b2； （2）(a＋b)· (a－b)＝a2－b2.
证明：（1）(a＋b)2＝(a＋b)· (a＋b) ＝(a＋b)· a＋(a＋b)· b ＝a· a＋b· a＋a· b＋b· b ＝a2＋2a· b＋b2.
例 3：求证： （1）(a＋b)2＝a2＋2a· b＋b2； （2）(a＋b)· (a－b)＝a2－b2. 证明：（2）(a＋b)· (a－b)＝(a＋b)· a－(a＋b)· b ＝a· a＋b· a－ a · b－b· b
设a,b为任意向量，λ,μ为 任意实数，则有： ① λ(μa)=(λμ) a ② (λ+μ) a=λa+μa
③ λ(a+b)=λa+λb
已知两个非零向量a和b，作OA=a， OB=b，则∠AOB=θ （0°≤θ ≤180°） 叫做向量a与b的夹角。
B
θ
O
A
当θ＝0°时，a与b同向；
O
A
B
B
当θ＝180°时，a与b反向； A 当θ＝90°时，称a与b垂直，
注： (a b ) c a (b c )
证明运算律(3)
向量a、b、a + b b 在c上的射影的数量 a a+b 分别是OM、MN、 ON, 则 M O (a + b) · c = ON |c| = (OM + MN) |c| = OM|c| + MN|c| = a· c + b· c.
记为a⊥b.
O
B
b O a A
我们学过功的概念，即一个物体在力F 的作用下产生位移s（如图）
F
θ
S
力F所做的功W可用下式计算
W=|F| |S|cosθ 其中θ是F与S的夹角
从力所做的功出发，我们引入向量 “数量积”的概念。
已知两个非零向量a与b，它们的 夹角为θ，我们把数量|a| |b|cosθ叫做 a与b的数量积（或内积），记作a· b
(2)a b a b 0
例1 已知|a|=5，|b|=4，a与b的夹角 θ=120°，求a·b。
解：a· b = |a| |b|cosθ= 5×4×cos120°
=5×4×（-1/2）= －10
例2 已知a=(1,1),b=(2,0),求a· b。
解： |a| =√2, |b|=2, θ=45 °
＝a2－b2.
例4、 已知 | a | 6, | b | 4,a 与b 的夹角为 60o , 求（a 2b ) (a 3b ) 。
解:
例5.已知 | a | 3,| b | 4,当且仅当k为何值时， 向量a kb与a kb 互相垂直？
作业：
1、若 | a || b | 1, a b 且2a 3b 与ka 4b 也 互相垂直，求k的值。 2、设a是非零向量，且b c , 求证： a b a c a (b c )
2.4.1 平面向量数量积的物理背景及其 含义
2.4.2 平面向量数量积的坐标表示、模、 夹角
一般地，实数λ与向量a 的积是一个向 量，记作λa，它的长度和方向规定如下： (1) |λa|=|λ| |a| (2) 当λ>0时,λa 的方向与a方向相同； 当λ<0时,λa 的方向与a方向相反；
特别地，当λ=0或a=0时, λa=0