中职数学基础模块下册《平面向量的概念》ppt课件1精编版
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中职数学基础模块下册《平面向量的概念》PPT
与FD 共线的向量：AE、CE
与EF 共线的向量：DB、DC
第十六页，共二十二页。
回顾与总结
一(Yi)、向量的定义
既有大小又有方向的量叫做向量 二、向量的表示 1.几何表示:用有向线段表示 2.用小写字母表示 注意:印刷体与手写的区别
3.用表示向量的有向线段的起点和终点字母表示
第十七页，共二十二页。
（4）平行向量:方向相同或相反的非零向量叫(Jiao) 做平行向量. 规定:零向量与任一向量平行。
No 平行向量也叫共线向量
（5）相等向量：长度相等，方向相同的两个向量。
Image
第十八页，共二十二页。
四、例题
例(Li)1：思考下列问题：
1、下列命题正确的是
（1）共线向量都相等
（2）单位向量都相等
量。
2、向量无法比较大小。
第三页，共二十二页。
复习
既有大小，又
有(You)向线段： 带有方向有的方线向段。
在有向线段的终点处画上箭头表示它的方向。
B（终点）
记作：AB A（起点）
注意字母的顺序是：起点在前，终点在后.
有向线段AB的长度： |AB|
有向线段的三要素：起点、方向、长度.
第四页，共二十二页。
OB、DC、EO、AF 为一组共线向量，
第十五页，共二十二页。
练别写习出：图已中知与D、E、DF分相E 、(等FeEn)的别F 向、是F量D△和A共BC线各的边向的量中。点，分
答：
A
与DE 相等的向量：BF 、FA
与FD 相等的向量：AE
F
E
与EF 相等的向量：DB B
D
C
与DE 共线的向量：BF 、FA
同吗？
中职数学平面向量的概念ppt课件
中职数学平面向量的概念ppt 课件
目录
• 平面向量基本概念 • 平面向量运算规则 • 平面向量坐标表示法 • 平面向量数量积概念及性质 • 平面向量应用举例 • 总结回顾与拓展延伸
01
平面向量基本概念
向量定义及表示方法
01
向量的定义
向量是既有大小又有方向的量 ，通常用有向线段表示。
02
向量的表示方法
向量可以用小写字母或大写字 母加箭头表示，如$vec{a}$或 $overset{longrightarrow}{AB
}$。
03
向量的模
向量的大小称为向量的模，记 作$|vec{a}|$，模长是一个非负
实数。
向量模长与方向角
03
向量的模长
方向角
向量的模长等于有向线段的长度，可以通 过勾股定理或三角函数计算。
与零向量的数量积
任何向量与零向量的数 量积都是0。
夹角余弦值计算
夹角余弦公式
两向量的夹角余弦值可以通过它们的 数量积和模长来计算，即 cosθ=(a·b)/(|a||b|)。
夹角范围
夹角θ的取值范围为[0,π]，当θ=0时 ，两向量同向；当θ=π时，两向量反 向。
垂直条件判断
两向量垂直的充要条件是它们 的数量积为0，即a·b=0。
结合律
三个或三个以上的向量进行加法或乘法运算时，改变它们 的结合方式，结果不变。
分配律
一个实数与两个向量的和相乘等于该实数分别与这两个向 量相乘后再相加；两个实数的和与一个向量相乘等于这两 个实数分别与这个向量相乘后再相加。
03
平面向量坐标表示法
直角坐标系中向量表示方法
确定坐标原点O和x、y轴
在平面上选取一点作为坐标原点，并通过该点作两条互相垂直的数轴，分别称为 x轴和y轴。
目录
• 平面向量基本概念 • 平面向量运算规则 • 平面向量坐标表示法 • 平面向量数量积概念及性质 • 平面向量应用举例 • 总结回顾与拓展延伸
01
平面向量基本概念
向量定义及表示方法
01
向量的定义
向量是既有大小又有方向的量 ，通常用有向线段表示。
02
向量的表示方法
向量可以用小写字母或大写字 母加箭头表示，如$vec{a}$或 $overset{longrightarrow}{AB
}$。
03
向量的模
向量的大小称为向量的模，记 作$|vec{a}|$，模长是一个非负
实数。
向量模长与方向角
03
向量的模长
方向角
向量的模长等于有向线段的长度，可以通 过勾股定理或三角函数计算。
与零向量的数量积
任何向量与零向量的数 量积都是0。
夹角余弦值计算
夹角余弦公式
两向量的夹角余弦值可以通过它们的 数量积和模长来计算，即 cosθ=(a·b)/(|a||b|)。
夹角范围
夹角θ的取值范围为[0,π]，当θ=0时 ，两向量同向；当θ=π时，两向量反 向。
垂直条件判断
两向量垂直的充要条件是它们 的数量积为0，即a·b=0。
结合律
三个或三个以上的向量进行加法或乘法运算时，改变它们 的结合方式，结果不变。
分配律
一个实数与两个向量的和相乘等于该实数分别与这两个向 量相乘后再相加；两个实数的和与一个向量相乘等于这两 个实数分别与这个向量相乘后再相加。
03
平面向量坐标表示法
直角坐标系中向量表示方法
确定坐标原点O和x、y轴
在平面上选取一点作为坐标原点，并通过该点作两条互相垂直的数轴，分别称为 x轴和y轴。
《平面向量的概念》平面向量及其应用PPT课件
【思考】 (1)0与0相同吗？0是不是没有方向？ 提示：0与0不同，0是一个实数，0是一个向量，且 |0|=0.0有方向，其方向是任意的.
(2)若a=b，则两向量在大小与方向上有何关系？ 提示：若a=b，意味着|a|=|b|，且a与b的方向相同. (3)“向量平行”与“几何中的平行”一样吗？ 提示：向量平行与几何中的直线平行不同，向量平行 包括所在直线重合的情况，故也称向量共线.
【思维·引】1.紧扣向量的定义解答. 2.紧扣零向量、单位向量的定义解答.
【解析】1.选D.三角函数线、摩擦力、速度既有大小 又有方向，是向量；海拔、质量、三角形的边长、体 积只有大小没有方向，不是向量.
2.由零向量的方向是任意的，知①错误，③正确；由 零向量的定义知②正确；由单位向量的模是1，知④正 确. 答案：②③④
提示：(1)×.两个有共同起点，且长度相等的向量，方 向不一定相同，其终点也不一定相同. (2)×.任意两个单位向量只是长度相等，方向不一定相 同，故不一定相等. (3)√.由平行向量的定义可知.
(4)×.若 则A，B，C，D也可能落在同一条直
线上.
AB＝CD，
2.下列物理量：①质量；②速度；③位移；④力；
提示：向量不仅有大小，而且有方向.大小是代数特征 ，方向是几何特征.看一个量是否为向量，就要看它是 否具备了大小和方向两个要素，二者缺一不可，所以 只描述其中一个方面不可以.
(2)由向量的几何表示方法我们该如何准确地画出向量 ？ 提示：要准确画出向量，应先确定向量的起点，再确 定向量的方向，最后根据向量的大小确定向量的终点.
(3)向量的模：向量的大小叫做向量的长度或模，如 a，AB 的模分别记做|a|,| AB |.
【思考】
平行(且1长度)为定2 的义向量中个数的有___“____大_个. 小”与“方向”分别描述了向量的哪
中职教育-数学(基础模块)下册课件：第七章 平面向量.ppt
，E→．F
→
FG
（3）相等向量为
→
AB
C→D ，D→E
→
GH
．
（4）互为负向量的向量为
→
BC
D→E ，B→C
→
GH
．
7.2 平面向量的线性运算
7.2.1 平面向量的加法
如右图所示，一人从A点出发，走到B点，又从B点
走到C点，则他的最终位移
→
AC
可以看作是位移
→
AB
与
B→C 的和．
如右图所示，已知向量a与b，
解 位移是向量，它包括大小和方向 两个要素．本题中，虽然这两个向量的 模相等，但它们的方向不同，所以，两 辆汽车的位移不相同．如图所示为用有 向线段表示两辆汽车的位移．
方向相同或相反的两个非零向量称为平行向量．向量a与b平行记作 a ∥b ． 如图所示，向量 a ，b ，c平行，任意作一条与向量a所在直线平行的直线l，
如右
图所示，
设有两个
非零向量
a
，b
，
作
→
OA
a
，O→B
b
，则
AOB θ(0°剟θ 180°) 称为向量 a ，b 的夹角．
显然，当 θ 0°时，a 与 b 同向；当 θ 180°时，a 与 b 反向；当 θ 90° 时，a 与 b 垂直，记作 a b ．
我们将 a b cosθ 称为向量 a ，b 的内积（或数量积），记作 a gb ，
7.1
• 平面向量的概念
7.2
• 平面向量的线性运算
7.3
• 平面向量的坐标表示
7.4
• 平面向量的内积
7.1 平面向量的概念
标量是指只有大小、没有方向的量，如长度、质量、温度、面积等； 向量是指既有大小、又有方向的量，如速度、位移、力等．
中职数学基础模块下册《平面向量的概念》课件
向量的投影可以看作是向量在某个方 向上的分量，通过计算向量的数量积 可以得到向量的投影。
速度和加速度的计算
在运动学中，速度和加速度可以表示 为位置向量的时间导数，通过计算向 量的数量积可以得到速度和加速度的 大小。
THANKS
感谢观看
数量积的几何意义
01
数量积表示向量a与向量b的长度 和它们之间的夹角的余弦值的乘 积。
02
当两向量同向时，数量积为两向 量长度之积；当两向量反向时， 数量积为两向量长度之差的绝对 值。
数量积的应用举例
力的合成与分解
向量的投影
在物理中，力可以视为向量，力的合 成与分解可以通过计算向量的数量积 来实现。
详细描述
向量模是表示向量长度的概念， 记作|a|。向量模具有非负性、齐 次性、三角形不等式等性质。
向量模的计算方法
总结词
掌握向量模的计算方法是实际应用中必不可少的技能。
详细描述
向量模的计算公式为|a| = 根号(x^2 + y^2)，其中x和y分别是向量在x轴和y轴上的分量。此外，还有 向量模的运算性质，如|a+b|≤|a|+|b||a-b|≤|a|+|b||a-b|≥||a|-|b||等，这些性质在实际问题中具有广泛 的应用。
平面向量数乘的定义与性质
总结词
数乘是标量与向量的乘积，结果仍为 向量，满足分配律。
详细描述
数乘是实数与向量的乘积，其实质是 标量与向量的乘积。数乘的结果仍为 向量，且满足分配律，即 m(a+b)=ma+mb。
平面向量加法与数乘的几何意义
总结词
平面向量加法的几何意义是将两个向量首尾相接， 按平行四边形法则或三角形法则确定的合成向量； 数乘的几何意义是改变向量的模长和方向。
6.1平面向量的概念课件共34张PPT
探究点二 相等向量与共线向量
如图，O是正六边形DEF的中心，分别写出图中与向量
→ OA
，
O→B，O→C相等的向量，与向量A→D共线的向量．
解析： 与O→A相等的向量有C→B，D→O，E→F； 与O→B相等的向量有F→A，E→O，D→C； 与O→C相等的向量有A→B，F→O，E→D. 与向量A→D共线的向量有9个：D→A，E→F，F→E，A→O，O→A，O→D，D→O，B→C， → CB.
探究点三 向量的表示及应用 在蔚蓝的大海上，有一艘巡逻艇在执行巡逻任务．它首先从A点出
发向西航行了200 km到达B点，然后改变航行方向，向西偏北50°航行了 400 km到达C点，最后又改变航行方向，向东航行了200 km到达D点．此时， 它完成了此片海域的巡逻任务．
(1)作出A→B，B→C，C→D； (2)求|A→D|.
[对点训练] 在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，对角线AC与BD相交于点O，EF是过点O 且平行于AB的线段，在所标的方向向量中： (1)写出与A→B共线的向量； (2)写出与E→F方向相同的向量； (3)写出与O→B，O→D的模相等的向量； (4)写出与E→O相等的向量．
解析： 在等腰梯形ABCD中，AB∥CD∥EF，AD＝BC. (1)题干图中与A→B共线的向量有D→C，E→O，O→F，E→F. (2)题干图中与E→F方向相同的向量有A→B，D→C，E→O，O→F. (3)题干图中与O→B的模相等的向量为A→O，与O→D的模相等的向量为O→C. (4)题干图中与E→O相等的向量为O→F.
→ 2．已知D为平行四边形ABPC两条对角线的交点，则|P→D|的值为( )
|AD|
A．12
B．13
C．1
D．2
平面向量概念PPT教学课件
分别写出图中与
相等的向量和共线
的向量。
答： DE、EF、FD
A
与DE 相等的向量：BF、FA
与FD相等的向量：AE
F
E
与EF 相等的向量：DB B
D
C
与DE 共线的向量：BF、FA
与FD共线的向量：AE、CE
与EF 共线的向量：DB、DC
<>
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回顾与总结
一、向量的定义 既有大小又有方向的量叫做向量
5.一般要测出六段位移x1､x2､x3､x4､x5､x6. 6.根据测量结果,利用“实验原理”中给出的公式算出加速度
a1､a2､a3的值,(注意T=0.1 s)求出a1､a2､a3的平均值,就是小 车做匀变速直线运动的加速度.
双 基 精 练 自主探究·基础备考
1.当纸带与运动物体连接时,打点计时器在纸带上打出点痕.下 列关于纸带上点痕的说法中,正确的是( )
B（终点）
注意字母的顺序是：起点在前，终点在后.
有向线段AB的长度：|AB|
有向线段的三要素：起点、方向、长度.
<>返回ຫໍສະໝຸດ 退出2）向量的表示法：
yB
①几何表示法：用有向线段表示向量
有向线段的方向表示向量的方向
有向线段的长度表示向量的大小. 0
②字母表示：
a
A x
Ⅰ、用有向线段的起点和终点的大写字母加箭
时刻的瞬时速度等于这段时间内的平均速度即
vn
xn
xn1 2T
,
求出打各个计数点时纸带的瞬时速度,再作出
v-t图象,图线的斜率即为做匀变速直线运动物体的加速度.
三､实验器材 电火花计时器或电磁打点计时器､一端附有滑轮的长木板､小
中职数学基础模块下册《平面向量的概念》公开课课件
01
02
03
平行四边形的性质
通过平面向量的线性组合 ，可以证明平行四边形的 对边相等、对角线互相平 分等性质。
三角形的重心
利用平面向量，可以求出 三角形的重心坐标，进而 求出其他几何量。
空间几何
平面向量可以扩展到三维 空间，用于描述空间几何 图形的位置和方向。
平面向量在物理中的应用
力的合成与分解
在物理中，力是矢量，可以用平 面向量来表示和运算。通过力的 合成与分解，可以求解物体的运
向量的正交分解
将一个向量分解为两个相互垂直的向量的线性组合。
向量的坐标表示
将一个向量用一组有序实数对（x,y）表示，这组实数对称为该向量的坐标。
05
平面向量的解题技巧与方法
运用向量性质简化问题
01
向量具有方向性
利用向量的方向性，可以解决一些与向量方向相关的问题，如向量旋转
、向量投影等。
02
向量模的非负性
中职数学基础模块下册《平 面向量的概念》公开课课件
汇报人： 202X-12-22
目 录
• 平面向量的基本概念 • 平面向量的运算 • 平面向量的应用 • 平面向量的性质与定理 • 平面向量的解题技巧与方法 • 平面向量与其他数学知识的联系与区别
01
平面向量的基本概念
平面向量的定义与表示
向量的定义
数乘向量
数乘向量的定义
数乘向量是指将一个实数与一个向量相乘，得到一个新的向量。其实质是将向量 的每个分量都乘以该实数。
数乘向量的运算规则
数乘向量的运算规则是线性运算的分配律，即对于任意实数k和任意向量a，有 ka=k(a1,a2,...,an)=(k*a1,k*a2,...,k*an)。
高教版中职数学(基础模块)下册7.1《平面向量的概念及线性运算》ppt课件1
【例2】:如图，设O是正六边形的中心，分别写 出图中与向量 、 相等的向量， OA 、 OC 负向 OB OC B A 量。
C
O
F
D
E
解：
B
A
OA CB DO
OB DC EO
O
C F
OC AB ED FO
D E
OC BA DE OF
下面几个命题：
（1）若a = b， b = c，则a = c。
两个向量a、 b，其差a − b仍然是一
个向量，其起点是减向量b的终点，
B b O a
A
终点是被减向量a的终点．
a
b
b
O
a (b)
a
b
a b
向量减法法则
a
a
ab
b b
B
A
O
a
ba
A
b
B
作法：在平面内任取一 点O, 作OA a, OB b, 则BA a b.
• 要点:1.平移到同一起点；2.指向被减向量.
向量加法法则总结与拓展
• 向量加法的三角形法则: – 1.将向量平移使得它们首尾相连 – 2.和向量即是第一个向量的首指向第二个向量的尾 • 向量加法的平行四边形法则: – 1.将向量平移到同一起点 – 2.和向量即以它们作为邻边平行四边形的共起点的 对角线 • 三角形法则推广为多边形法则：
多个向量相加， 如：AB BC CD DE EF AF ，
任一组平行向量都可移到同一条直线上,平行向量也叫
共线向量 规定：零向量与任一向量平行
记作:
0 // a
3. 向量的负向量：长度相等且方向相反的向量。
中职数学基础模块下册《平面向量的概念》课件
叉积的性质
叉积具有分配律、差积公式、对称性、反对 称性等基本性质。
叉积的计算
向量积的计算公式为 |→AB×→AC|=|→AB|·|→AC|·sin∠BAC，其 中向量最终结果垂直于这两个向量所在的平 面。
应用举例
向量的叉积可以用于计算向量面积、判断线 段间的相对位置关系、求解平面的法向量等 多个方面。
归一化向量
归一化向量是指将向量长度 变为1，仍然保持同样的方向。 其计算方法为将向量除以它 的模。
第五部分：向量的数量积
1
数量积的定义
向量的数量积也称内积，是两个向量
数量积的计算
2
的数量乘积与它们夹角的余弦值之积。 可用向量坐标或向量的模、夹角余弦
|→AB·→AC|= |→AB|·|→AC|·co s∠BAC
学生体验
我们将通过有趣的例题和 动手实践，让每个学生真 正体验到向量运算的乐趣。
第二部分：平面向量的定义
1
点的坐标表示
点P在平面直角坐标系上的坐标表示
向量的定义
2
为(x, y)，其中x,y分别是P在x轴和y轴 上的投影。
向量是具有大小和方向的量，可以表
示为有向线段。向量AB通常分：课堂练习
实战演练
课后作业
教师点拨
通过精心设计的例题和练习题， 让学生巩固和加深对向量的认 识和掌握。
作业包含基础练习和挑战练习， 涵盖向量的知识点和应用场景， 以巩固学生所学知识。
在教学过程中及时对学生提出 的问题进行解答和点拨，还会 针对不同情况和问题，给予个 性化的建议和指导。
平面向量的线性运算
向量的线性运算包括数量乘法 和数量加法，并满足分配律、 结合律、交换律等基本性质。
第四部分：向量的模及方向
叉积具有分配律、差积公式、对称性、反对 称性等基本性质。
叉积的计算
向量积的计算公式为 |→AB×→AC|=|→AB|·|→AC|·sin∠BAC，其 中向量最终结果垂直于这两个向量所在的平 面。
应用举例
向量的叉积可以用于计算向量面积、判断线 段间的相对位置关系、求解平面的法向量等 多个方面。
归一化向量
归一化向量是指将向量长度 变为1，仍然保持同样的方向。 其计算方法为将向量除以它 的模。
第五部分：向量的数量积
1
数量积的定义
向量的数量积也称内积，是两个向量
数量积的计算
2
的数量乘积与它们夹角的余弦值之积。 可用向量坐标或向量的模、夹角余弦
|→AB·→AC|= |→AB|·|→AC|·co s∠BAC
学生体验
我们将通过有趣的例题和 动手实践，让每个学生真 正体验到向量运算的乐趣。
第二部分：平面向量的定义
1
点的坐标表示
点P在平面直角坐标系上的坐标表示
向量的定义
2
为(x, y)，其中x,y分别是P在x轴和y轴 上的投影。
向量是具有大小和方向的量，可以表
示为有向线段。向量AB通常分：课堂练习
实战演练
课后作业
教师点拨
通过精心设计的例题和练习题， 让学生巩固和加深对向量的认 识和掌握。
作业包含基础练习和挑战练习， 涵盖向量的知识点和应用场景， 以巩固学生所学知识。
在教学过程中及时对学生提出 的问题进行解答和点拨，还会 针对不同情况和问题，给予个 性化的建议和指导。
平面向量的线性运算
向量的线性运算包括数量乘法 和数量加法，并满足分配律、 结合律、交换律等基本性质。
第四部分：向量的模及方向
中职数学基础模块下册《平面向量的概念》ppt公开课课件
（1）找出与向量 DA 相等的向量； （2）找出向量 DC 的负向量； （3）找出与向量 AB 平行的向量． 要结合平行四边形 的性质进行分析．两个 向量相等，它们必须是 方向相同，模相等；两 个向量互为负向量，它 们必须是方向相反，模 相等；两个平行向量的 方向相同或相反．
A
图7－5
B
巩固知识
例2
表示：
0,
| 0 | 0
单位向量: 模为1个单位长度的向量.
巩固知识
典型例题
例1 一架飞机从A处向正南方向飞行200km，另一架飞机从A处 朝北偏东45°方向飞行200km， 两架飞机的位移相同吗？分别用有向 线段表示两架飞机的位移．两架飞机位移的有向线段表示分别为图中 的有向线段 a 与 b． 下列各图中哪个表示正确？ 东 南 b A a A b 100km.
④
课堂小结:
1、向量定义：既有大小又有方向的量。
AB
A 度
B
2．向量的长度：向量的大小就是向量的长
（或称为模）。记作 3．零向量：长度为0的向量叫做零向量，记 作0 （手写体）。
| AB |
8．相等向量：长度相等且方向相同的向量叫 做相等向量。 注意：1°零向量与零向量相等。 2°任意两个相等的非零向量，都可以 用一条有向线段来表示，并且与有向线段的起点 无关。 a
始点
AB,
或
a
终点
1.向量的大小(模): 向量 AB 或 a 的大小 (模)表示： | AB | 或 | a |
向量是不能比较大小的,但 向量的模是可以进行大小比较的.
三. 向量的有关概念
a
b
| a || b |
a b
中职数学基础模块下册《平面向量的概念》ppt课件
变式一：与向量OA长度相等的向量 有多少个？ 11个
变式二：是否存在与向量OA长度相等，方向 相反的向量？ 存在，为 FE
变式三：与向量OA长度相等的共线向量有哪些？ CB、DO、FE
1.下面几个命题： （1）若a = b，b = c，则a = c。
（2）若|a|=0，则a = 0
（3）若|a|=|b|，则a = b （4）两个向量a、b相等的充要条件是
01
2.1向量的基本概念
单击此处添加正文，文字是您思想的提炼，为了演示发 布的良好效果，请言简意赅地阐述您的观点。
01.
唉, 哪儿去了?
单击此处添加正文
02.
嘻嘻!大笨猫!
单击此处添加正文
03.
A
单击此处添加正文
04.
B
单击此处添加正文
一、向量的定义
既有大小，又有方向的量叫做向量。
二 、向量的表示方法
方向走了 米到10达C2点，到达C点后又改变方向向西走了10
米到达D点（1）作出向量AB,BC,CD;(2) 求AD的模
D C
1m
北
西
A
B东
南
小结:
向量
定义
几何表示法：有向线段
பைடு நூலகம்表示
符号表示法：
a ，b
AB
长度（模）
向量的有关概念
特殊向量
向量间 的关系
零向量 单位向量 平行（共线）
相等
作业：课本86页 习题2.1第2题，第3题
3．向量间的关系
（１）平行向量：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量。
a
如：
b
c
平行向量又叫做共线向量 记作 a ∥b ∥c
变式二：是否存在与向量OA长度相等，方向 相反的向量？ 存在，为 FE
变式三：与向量OA长度相等的共线向量有哪些？ CB、DO、FE
1.下面几个命题： （1）若a = b，b = c，则a = c。
（2）若|a|=0，则a = 0
（3）若|a|=|b|，则a = b （4）两个向量a、b相等的充要条件是
01
2.1向量的基本概念
单击此处添加正文，文字是您思想的提炼，为了演示发 布的良好效果，请言简意赅地阐述您的观点。
01.
唉, 哪儿去了?
单击此处添加正文
02.
嘻嘻!大笨猫!
单击此处添加正文
03.
A
单击此处添加正文
04.
B
单击此处添加正文
一、向量的定义
既有大小，又有方向的量叫做向量。
二 、向量的表示方法
方向走了 米到10达C2点，到达C点后又改变方向向西走了10
米到达D点（1）作出向量AB,BC,CD;(2) 求AD的模
D C
1m
北
西
A
B东
南
小结:
向量
定义
几何表示法：有向线段
பைடு நூலகம்表示
符号表示法：
a ，b
AB
长度（模）
向量的有关概念
特殊向量
向量间 的关系
零向量 单位向量 平行（共线）
相等
作业：课本86页 习题2.1第2题，第3题
3．向量间的关系
（１）平行向量：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量。
a
如：
b
c
平行向量又叫做共线向量 记作 a ∥b ∥c
2024版中职数学基础模块下册平面向量的概念课件
中职数学基础模块下册平面向 量的概念课件
2024/1/30
1
2024/1/30
CONTENTS
• 平面向量基本概念 • 平面向量运算 • 平面向量坐标表示法 • 平面向量数量积与投影 • 平面向量应用举例
2
2024/1/30
01
平面向量基本概念
3
向量定义及表示方法
2024/1/30
向量的定义
向量是既有大小又有方向的量，常 用带箭头的线段表示，线段的长度 表示向量的大小，箭头的指向表示 向量的方向。
18
数量积定义及性质
数量积定义
性质1
两个向量的数量积是一个标量，其大小等于 这两个向量的模与它们夹角的余弦的乘积， 方向由夹角决定。
交换律，即a·b=b·a。
性质2
分配律，即(a+b)·c=a·c+b·c。
性质3
与零向量的数量积，a·0=0。
2024/1/30
19
投影概念及计算方法
2024/1/30
坐标运算
若向量a=(x,y)，则λa=(λx,λy)。
2024/1/30
11
向量运算性质总结
交换律
向量加法满足交换律，即 a+b=b+a。
零元
存在零向量0，使得对于任 意向量a，都有a+0=a。
数乘结合律
对于任意实数λ、μ和向量 a，都有(λμ)a=λ(μa)。
结合律
向量加法满足结合律，即 (a+b)+c=a+(b+c)。
这两个向量的和。
2024/1/30
三角形法则
将两个向量平移至同一起 点，首尾相接，从第一个 向量起点指向第二个向量 终点的向量即为这两个向
2024/1/30
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2024/1/30
CONTENTS
• 平面向量基本概念 • 平面向量运算 • 平面向量坐标表示法 • 平面向量数量积与投影 • 平面向量应用举例
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2024/1/30
01
平面向量基本概念
3
向量定义及表示方法
2024/1/30
向量的定义
向量是既有大小又有方向的量，常 用带箭头的线段表示，线段的长度 表示向量的大小，箭头的指向表示 向量的方向。
18
数量积定义及性质
数量积定义
性质1
两个向量的数量积是一个标量，其大小等于 这两个向量的模与它们夹角的余弦的乘积， 方向由夹角决定。
交换律，即a·b=b·a。
性质2
分配律，即(a+b)·c=a·c+b·c。
性质3
与零向量的数量积，a·0=0。
2024/1/30
19
投影概念及计算方法
2024/1/30
坐标运算
若向量a=(x,y)，则λa=(λx,λy)。
2024/1/30
11
向量运算性质总结
交换律
向量加法满足交换律，即 a+b=b+a。
零元
存在零向量0，使得对于任 意向量a，都有a+0=a。
数乘结合律
对于任意实数λ、μ和向量 a，都有(λμ)a=λ(μa)。
结合律
向量加法满足结合律，即 (a+b)+c=a+(b+c)。
这两个向量的和。
2024/1/30
三角形法则
将两个向量平移至同一起 点，首尾相接，从第一个 向量起点指向第二个向量 终点的向量即为这两个向
平面向量的概念PPT课件
04
平面向量数量积概念及性 质
数量积定义及几何意义
数量积定义
两个向量的数量积是一个标量，等于它们模长的乘积与它们夹 角余弦的乘积。
几何意义
数量积反映了两个向量的相对位置和角度关系，正值表示同向， 负值表示反向，零表示垂直。
数量积性质及运算规律
性质
满足交换律、分配律、结合律，与标量乘法相容等。
运算规律
向量坐标与点坐标关系
向量坐标
向量坐标是由起点指向终点的有 向线段，在直角坐标系中可以用
两个坐标值表示。
点坐标
点坐标是直角坐标系中点的位置表 示，同样可以用两个坐标值表示。
关系
向量坐标与点坐标密切相关，向量 的起点和终点坐标可以决定向量的 坐标，而点的坐标可以用来表示向 量的起点或终点。
向量运算坐标表示法
坐标法求解向量问题
求解向量坐标
通过已知点的坐标和向量的关系，可以 求解向量的坐标。
求解向量模长
通过向量的坐标可以计算向量的模长， 进而求解与模长相关的问题。
求解向量夹角
通过向量的坐标可以计算向量的夹角， 进而求解与夹角相关的问题。
求解向量运算结果
通过向量的坐标表示法可以求解向量的 加法、减法和数乘运算结果。
向量运算满足基本定律
加法结合律
(a + b) + c = a + (b + c)
数乘结合律
(kl)a = k(la)
加法交换律
a+b=b+a
数乘分配律
k(a + b) = ka + kb
向量共线定理，使得b = λa
03
平面向量坐标表示法
直角坐标系中向量表示方法
6.1平面向量的概念课件共45张PPT
即时训练1-1:判断下列命题是否正确,若不正确,请简述理由.
(2)单位向量都相等;
解:(2)不正确,单位向量的模均相等且为1,但方向并不确定.
即时训练 1-1:判断下列命题是否正确,若不正确,请简述理由.
→
→
(3)四边形 ABCD 是平行四边形当且仅当=;
(4)一个向量方向不确定当且仅当模为 0;
有紧紧抓住概念的核心才能顺利解决与向量概念有关的问题.
即时训练 1-1:判断下列命题是否正确,若不正确,请简述理由.
→
→
(1)向量与是共线向量,则 A,B,C,D 四点必在同一直线上;
解:(1)不正确,共线向量即平行向量,只要求方向相同或相反即可,并不
→
→
要求两个向量,在同一直线上.
(3)两个特殊向量:
①零向量与非零向量:
长度为0的向量叫做零向量.印刷时用加粗的阿拉伯数字零表示,即0;书写
→
时,可写为.长度不为 0 的向量称为非零向量.
②单位向量:长度等于1个单位长度的向量,叫做单位向量.
2.向量间的关系
(1)平行向量(共线向量):方向相同或相反的非零向量叫做平行向量,向量
图所示的向量中,
→
→
(1)分别找出与, 相等的向量;
→
→
→
→
解:(1)=,=.
[例 2] O 是正方形 ABCD 对角线的交点,四边形 OAED,OCFB 都是正方形,在如
图所示的向量中,
→
(2)找出与共线的向量;
→
→
→
→
解:(2)与共线的向量有,,.
[例 2] O 是正方形 ABCD 对角线的交点,四边形 OAED,OCFB 都是正方形,在如
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足什么条件？
4、相等向量：
长度相等且方向相同的向量。 若向量 a 与 b 相等，记作:a ＝ b。 注：两个向量相等与它们的位置无关。 问:单位向量是相等向量吗？ 它们大小相等吗？ 答：不一定； 相等。 规定：零向量和零向量相等。
5、共线向量
我们知道：对于一个向量，只要不改
变它的大小和方向，是可以任意平行移动
a
答：平行关系. 3、平行向量：
b
c
方向相同或相反的非零向量.
记作：a // b // c
规定：零向量与任一向量平行.
例1:在梯形中找到平行向量.
D
C
F
E
A
B
AB、DC、EF 是一组平行向量。
思考
AB 与 BA 这两个向量的长度相等吗？
想 这两个向量平行吗？ 一 想 这两个向量相等吗？ ？
答：相等； 平行； 不两相向等量.相等满
小结：
1.向量的概念: 既有大小又有方向的量
2.向量的表示:
1.有向线段 2.字母 3.有向线段起点和终点字母
3.零向量: 长度为零的向量
4.单位向量: 长度为1个单位的向量
5.平行向量:
1.方向相同或相反的非零向量 2.零向量与任一向量平行
6.相等向量: 长度相等且方向相同的向量
7.共线向量: 平行向量就是共线向量
例2：在4 5达到方格中有一个向量AB,以图中 的格点为起点和终点作向量，其中与AB相等的 向量有多少个？与AB长度相等的共线向量有多少个？
B
相等的有 7个
长度相等
A
的有15个
平面向量的概念
阅读提纲：
一、向量的定义 二、向量的表示方法
三、向量的有关概念 1、向量的模（向量的长度） 2、零向量和单位向量 3、平行向量 4、相等向量 5、共线向量
新课
一、向量的定义：
向量是既有大小，又有方向的量.
注：1、只有大小，没有方向的量， 称为数量。
2、向量无法比较大小。
复习
有向线段：
答：应该叫做单位向量.
2、零向量和单位向量
（1）长度为0的向量叫零向量，记为 0，它的方向是任意的。
（2）长度为1的向量叫单位向量。
思考：把所有单位向量的
起点集中于一点o，问它
o
们终点的轨迹是什么？
答：如图：轨迹是以o为圆 心，半径为1的圆。
思考
如图，这组方向相同或相反的非零向量
之间，存在着什么关系？
A
有向线段的长度表示向量的大小. 0
x
②字母表示：
Ⅰ、用有向线段的起点和终点的大写字母加箭
头表示，如 AB
Ⅱ、手写时写成带箭头的小写字母，如：a
Ⅲ、印刷时用黑体小写字母表示，如：a
向量与有向线段的区别：
由有向线段的三要素：“起点、方向、 长度”可知，有向线段的起点是确定的。
而向量完全由它的方向和大小决定。
的，与起点无关。
任一组平行向量都可以移到同一直线上， 因此，平行向量也叫共线向量。
例2：如图设O是正六边形ABCDEF的中心，
分别写出图中与向量 OA、OB
（1）相等的向量； （2）共线的向量
解：
B
A
（1）OA CB DO C
OB DC EO
D
O
F
E
（2）OA、CB、DO、FE 为一组共线向量，
既有大小，又 带有方有向方的线向段。
在有向线段的终点处画上箭头表示它的方
向。
B（终点）
记作：AB A（起点）
注意字母的顺序是：起点在前，终点在后.
有向线段AB的长度： |AB| 有向线段的三要素：起点、方向、长度.
二、向量的表示方法：
yB
①几何表示法：用有向线段表示向量
a
有向线段的方向表示向量的方向
三、有关定义：
1、向量的大小： 就是向量的长度（或称模） 用有向线段的长度表示， 如：|AB|
思考
问题1： 长度为0的向量应该叫做什么向量？ 如何表示？它有方向吗？它与实数0的 意义相同吗？
答：应该叫做零向量,表示为 0.它方向是不 确定的,它与实数0的意义不同.
问题2：长度等于1个单位长度的向量应该叫 做什么向量？
回顾与总结
一、向量的定义 既有大小又有方向的量叫做向量
二、向量的表示
1.几何表示:用有向线段表示 2.用小写字母表示 注意:印刷体与手写的区别 3.用表示向量的有向线段的起点和终点字母 表示
（4）平行向量:方向相同或相反的非零向量 叫做平行向量.
规定:零向量与任一向量平行。
平行向量也叫共线向量 （5）相等向量：长度相等，方向相同的两个向量。
四、例题
例1：思考下列问题： 1、下列命题正确的是 （1）共线向量都相等 （2）单位向量都相等 （3）平行向量不一定是共线向量 （4）零向量与任一向量平行
练习:
1.下列说法正确的是 ( B )
A) 方向相同或相反的向量是平行向量. B) 零向量是0. C)长度相等的向量叫做相等向量. D) 共线向量是在一条直线上的向量.
OB、DC、EO、AF 为一组共线向量，
练习：已知D、E、F分别是 △ABC各边的中点，
分别写出图中与 DE、EF、FD相等的向量和共线
的向量。
答：
A
与DE 相等的向量：BF、FA
与FD相等的向量：AE
F
E
与EF 相等的向量：DB B
D
C
与DE 共线的向量：BF、FA
与FD共线的向量：AE、CE
与EF 共线的向量：DB、DC
4、相等向量：
长度相等且方向相同的向量。 若向量 a 与 b 相等，记作:a ＝ b。 注：两个向量相等与它们的位置无关。 问:单位向量是相等向量吗？ 它们大小相等吗？ 答：不一定； 相等。 规定：零向量和零向量相等。
5、共线向量
我们知道：对于一个向量，只要不改
变它的大小和方向，是可以任意平行移动
a
答：平行关系. 3、平行向量：
b
c
方向相同或相反的非零向量.
记作：a // b // c
规定：零向量与任一向量平行.
例1:在梯形中找到平行向量.
D
C
F
E
A
B
AB、DC、EF 是一组平行向量。
思考
AB 与 BA 这两个向量的长度相等吗？
想 这两个向量平行吗？ 一 想 这两个向量相等吗？ ？
答：相等； 平行； 不两相向等量.相等满
小结：
1.向量的概念: 既有大小又有方向的量
2.向量的表示:
1.有向线段 2.字母 3.有向线段起点和终点字母
3.零向量: 长度为零的向量
4.单位向量: 长度为1个单位的向量
5.平行向量:
1.方向相同或相反的非零向量 2.零向量与任一向量平行
6.相等向量: 长度相等且方向相同的向量
7.共线向量: 平行向量就是共线向量
例2：在4 5达到方格中有一个向量AB,以图中 的格点为起点和终点作向量，其中与AB相等的 向量有多少个？与AB长度相等的共线向量有多少个？
B
相等的有 7个
长度相等
A
的有15个
平面向量的概念
阅读提纲：
一、向量的定义 二、向量的表示方法
三、向量的有关概念 1、向量的模（向量的长度） 2、零向量和单位向量 3、平行向量 4、相等向量 5、共线向量
新课
一、向量的定义：
向量是既有大小，又有方向的量.
注：1、只有大小，没有方向的量， 称为数量。
2、向量无法比较大小。
复习
有向线段：
答：应该叫做单位向量.
2、零向量和单位向量
（1）长度为0的向量叫零向量，记为 0，它的方向是任意的。
（2）长度为1的向量叫单位向量。
思考：把所有单位向量的
起点集中于一点o，问它
o
们终点的轨迹是什么？
答：如图：轨迹是以o为圆 心，半径为1的圆。
思考
如图，这组方向相同或相反的非零向量
之间，存在着什么关系？
A
有向线段的长度表示向量的大小. 0
x
②字母表示：
Ⅰ、用有向线段的起点和终点的大写字母加箭
头表示，如 AB
Ⅱ、手写时写成带箭头的小写字母，如：a
Ⅲ、印刷时用黑体小写字母表示，如：a
向量与有向线段的区别：
由有向线段的三要素：“起点、方向、 长度”可知，有向线段的起点是确定的。
而向量完全由它的方向和大小决定。
的，与起点无关。
任一组平行向量都可以移到同一直线上， 因此，平行向量也叫共线向量。
例2：如图设O是正六边形ABCDEF的中心，
分别写出图中与向量 OA、OB
（1）相等的向量； （2）共线的向量
解：
B
A
（1）OA CB DO C
OB DC EO
D
O
F
E
（2）OA、CB、DO、FE 为一组共线向量，
既有大小，又 带有方有向方的线向段。
在有向线段的终点处画上箭头表示它的方
向。
B（终点）
记作：AB A（起点）
注意字母的顺序是：起点在前，终点在后.
有向线段AB的长度： |AB| 有向线段的三要素：起点、方向、长度.
二、向量的表示方法：
yB
①几何表示法：用有向线段表示向量
a
有向线段的方向表示向量的方向
三、有关定义：
1、向量的大小： 就是向量的长度（或称模） 用有向线段的长度表示， 如：|AB|
思考
问题1： 长度为0的向量应该叫做什么向量？ 如何表示？它有方向吗？它与实数0的 意义相同吗？
答：应该叫做零向量,表示为 0.它方向是不 确定的,它与实数0的意义不同.
问题2：长度等于1个单位长度的向量应该叫 做什么向量？
回顾与总结
一、向量的定义 既有大小又有方向的量叫做向量
二、向量的表示
1.几何表示:用有向线段表示 2.用小写字母表示 注意:印刷体与手写的区别 3.用表示向量的有向线段的起点和终点字母 表示
（4）平行向量:方向相同或相反的非零向量 叫做平行向量.
规定:零向量与任一向量平行。
平行向量也叫共线向量 （5）相等向量：长度相等，方向相同的两个向量。
四、例题
例1：思考下列问题： 1、下列命题正确的是 （1）共线向量都相等 （2）单位向量都相等 （3）平行向量不一定是共线向量 （4）零向量与任一向量平行
练习:
1.下列说法正确的是 ( B )
A) 方向相同或相反的向量是平行向量. B) 零向量是0. C)长度相等的向量叫做相等向量. D) 共线向量是在一条直线上的向量.
OB、DC、EO、AF 为一组共线向量，
练习：已知D、E、F分别是 △ABC各边的中点，
分别写出图中与 DE、EF、FD相等的向量和共线
的向量。
答：
A
与DE 相等的向量：BF、FA
与FD相等的向量：AE
F
E
与EF 相等的向量：DB B
D
C
与DE 共线的向量：BF、FA
与FD共线的向量：AE、CE
与EF 共线的向量：DB、DC