数学基础模块下册立体几何
中职数学基础模块下册第九章《立体几何》单元检测试题及参考答案
中职数学基础模块下册第九章《立体几何》单元检测试题及参考答案中的夹角的正弦值。
解答：1）由于A1B1与CD平行，所以∠A1BC=∠ABCD=90°，又因为AB=1，BC=2，所以A1B1=√5.在平面A1B1C1D1中，A1B1与A1D1垂直，所以∠A1B1D1=90°，又因为A1B1=√5，A1D1=2√2，所以cos∠A1B1D1=√2/2，因此∠A1B1D1=45°。
所以∠A1BC1=∠A1B1D1=45°，所以∠A1BD=90°-45°=45°。
2）由于BC1与CC1D1垂直，所以cos∠BCC1D1=BC1/CC1D1=2/3，所以∠BCC1D1≈48.19°。
又因为BC1与BC垂直，所以cos∠ABC1=sin∠BCC1D1=sin48.19°≈0.7431，所以sin∠ABC1≈0.6682.16、（10分）一个正四面体的棱长为a，求其高和侧面积。
解答：设正四面体的高为h，则由勾股定理可得：h^2=a^2-(a/2)^2=a^2/4×3所以h=a√3/2.正四面体的侧面是四个全等的正三角形，所以侧面积为4×(a^2√3/4)=a^2√3.所以正四面体的高为a√3/2，侧面积为a^2√3.17、（10分）如图所示，四棱锥ABCDV的底面是边长为a的正方形，V是底面正方形中心，AV=VB=VC=VD=h，求四棱锥的侧面积和体积。
解答：首先连接AV、BV、CV、DV，可以得到四个全等的三角形，所以四棱锥的侧面积为4×1/2×a×h=2ah。
由勾股定理可得：h^2=(a/2)^2+(h-VG)^2又因为VG=h/2，所以h^2=(a/2)^2+(h/2)^2所以h=√(5/4)a。
四棱锥的底面积为a^2，所以体积为1/3×a^2×h=1/3×a^2×√(5/4)a=(√5/12)a^3.17、解：（1）因为PA垂直于平面ABC，所以PA垂直于AC和AB，即PA垂直于BC的平面，即BC垂直于PA，即BC垂直于PC。
中职数学语文版(2021)基础模块下册《空间几何体》课件
S
D A
C B
简单多面体--棱锥
三、棱锥的分类
按底面多边形的边数， 可以分为三棱锥、四棱锥、 五棱锥等；如果一个棱锥的底面是正多边形，并且 顶点在底面的射影是底面的中心，这样的棱锥叫做 正棱锥。
简单旋转体
这些几何体 是如何形成 的？它们的 结构特征是
什么？
简单旋转体 轴
OA A
O B
简单旋转体--圆锥
S
(1)旋转轴叫做圆锥的轴。
(2) 垂直于轴的边旋转而成的圆
面叫做圆锥的底面。
(3)不垂直于轴的边旋转而成的
曲面叫做圆锥的侧面。
B
O
(4)无论旋转到什么位置,不垂直
于轴的边都叫做圆锥的母线。
轴
侧
面 母
A
线
底
面
简单旋转体--圆锥
二、圆锥的表示
特征: ① 底面是圆, ② 母线长相等, ③ 母线、底面圆半径、轴围成
这些面所围成的几何体叫做棱锥。 这个多边形叫做棱锥的底面。
S
顶点
有公共顶点的各个三角形叫做
高 D
侧棱 侧面
棱锥的侧面。 各侧面的公共顶点叫做棱锥的 顶点。
E
O
AB
C 底面
相邻侧面的公共边叫做棱锥的 侧棱。
过顶点的铅垂线与底面交点到顶点的距离叫做棱锥的高。
简单多面体--棱锥
二、棱锥的表示
用顶点和底面各顶点的 字母表示:
E F
A
D
C B
简单多面体--棱柱
三、棱柱的分类 棱柱的底面可以是三角形、四边形、五边形、 ……
按底面多边形的边数可分为三棱柱、四棱柱、五棱柱等
三棱柱
数学基础模块(下册)第九章 立体几何
【课题】平面的基本性质【教学目标】知识目标：（1）了解平面的概念、平面的基本性质；（2）掌握平面的表示法与画法．能力目标：培养学生的空间想象能力和数学思维能力．【教学重点】平面的表示法与画法．【教学难点】对平面的概念及平面的基本性质的理解．【教学设计】教材通过观察平静的湖面、窗户的玻璃面、黑板面等，引入平面的概念，并介绍了平面的表示法与画法．注意，平面是原始概念，原始概念是不能定义的，教材是用“光滑并且可以无限延展的图形”来描述平面．在教学中要着重指出，平面在空间是可以无限延展的．在讲“通常用平行四边形表示平面”时要向学生指出：(1) 所画的平行四边形表示它所在的整个平面，需要时可以把它延展出去；(2) 有时根据需要也可用其他平面图形，如三角形、多边形、圆、椭圆等表示平面，故加上“通常”两字；(3) 画表示水平平面的平行四边形时，通常把它的锐角画成 45 °，横边画成邻边的2倍．但在实际画图时，也不一定非按上述规定画不可；在画直立的平面时，要使平行四边形的一组对边画成铅垂线；在画其他位置的平面时，只要画成平行四边形就可以了；(4) 画两个相交平面，一定要画出交线；(5) 当用字母表示平面时，通常把表示平面的希腊字母写在平行四边形的锐角内，并且不被其他平面遮住的地方；(6) 在立体几何中，被遮住部分的线段要画成虚线或不画．“确定一个平面”包含两层意思，一是存在性，即“存在一个平面”；二是唯一性，即“只存在一个平面”．故“确定一个平面”也通常说成“有且只有一个平面”.【教学备品】教学课件．【课时安排】2课时．(90分钟)【教学过程】教学过程教师行为学生行为教学意图时间*揭示课题平面的基本性质*创设情境兴趣导入观察平静的湖面（图9−1 (1)）、窗户的玻璃面（图9−1 (2)）、黑板面、课桌面、墙面等，发现它们都有一个共同的特征：平坦、光滑，给我们以平面的形象，但是它们都是有限的．（1） (2)图9−1介绍质疑引导分析了解思考启发学生思考8*动脑思考探索新知【新知识】平面的概念就是从这些场景中抽象出来的．数学中的平面是指光滑并且可以无限延展的图形．平静的湖面、窗户的玻璃面、黑板面、课桌面、墙面等，讲解说明思考母来命名，如图9−过 程行为 行为 意图 间如图9−3所示的正方体一般写作正方体1111ABCD A B C D ，也可以简记作正方体1A C .图9−3解 这6个面可以分别表示为：平面AC 、平面11A C 、平面1AB 、平面1BC 、平面1CD 、平面1DA ． 【试一试】请换一种方法表示这6个面． 强调引领讲解 说明 思考 主动 求解 通过例题进一步领会27*运用知识 强化练习1.举出生活中平面的实例．2.画出一个平面，写出字母并表述出来． 提问 指导思考 口答领会知识32*创设情境 兴趣导入 【实验】把一根铅笔平放在桌面上，发现铅笔的一边就紧贴在桌面上．也就是铅笔紧贴桌面的一边上的所有的点都在桌面上（如图9−4）．质疑 引导 分析思考启发 学生思考37桌子BA铅过 程行为行为意图间图9−4 *动脑思考 探索新知 【新知识】直线与平面都可以看做点的集合．点A 、B 在直线l 上，记作A l B l ∈∈、；点A 、B 在平面α内，记作A B αα∈∈、．（如图9−5）由上述实验和大量类似的事实中，归纳出平面的性质1：如果直线l 上的两个点都在平面α内，那么直线l 上的所有点都在平面α内．此时称直线l 在平面α内或平面α经过直线l ．记作l α⊆．画直线l 在平面α内的图形表示时，要将直线画在平行四边形的内部（如图9−5）．讲解 说明 引领 分析思考 理解带领 学生 分析42*创设情境 兴趣导入 【观察】观察教室里墙角上的一个点，它是相邻两个墙面的公共点，可以发现，除这个点外两个墙面还有其他的公共点，并且这些公共点的集合就是这两个墙面的交线．质疑思考带领 学生 分析45图9−5过程行为行为意图间*动脑思考探索新知【新知识】由上述观察和大量类似的事实中，归纳出平面的性质2：如果两个平面有一个公共点，那么它们还有其他公共点，并且所有公共点的集合是过这个点的一条直线（如图9−6）．此时称这两个平面相交，并把所有公共点组成的直线l叫做两个平面的交线．平面α与平面β相交，交线为l，记作lαβ=.【说明】本章中的两个平面是指不重合的两个平面，两条直线是指不重合的两条直线．画两个平面相交的图形时，一定要画出它们的交线.图形中被遮住部分的线段，要画成虚线（如图9−7（1）），或者不讲解说明引领分析仔细分析讲解关键词语思考理解记忆带领学生分析引导式启发学生得出结果55图9−7图9−6过程行为行为意图间画（如图9−7（2））.【试一试】请画出两个相交的平面，并标注字母．*创设情境兴趣导入【实验】在桌面上只放一颗或两颗尖朝上的图钉，是否能将一块硬纸板架起如果在桌面上放置三颗尖朝上的图钉，那么结果会怎样质疑思考带领学生分析60*动脑思考探索新知【新知识】由上述实验和大量类似的事实中，归纳出平面的性质3：不在同一条直线上的三个点，可以确定一个平面（如图9−8）．【说明】“确定一个平面”指的是“存在着一个平面，并且只存在着一个平面”．利用三角架可以将照相机放稳（图9−9），就是性质3的应用．讲解说明引领分析仔细分析思考理解记忆带领学生分析图9−8过程行为行为意图间图9−9根据上述性质，可以得出下面的三个结论．1．直线与这条直线外的一点可以确定一个平面（如图9−10（1））.2．两条相交直线可以确定一个平面（如图9−10（2））．3．两条平行直线可以确定一个平面（如图9−10（3））.（3）【试一试】请用平面的性质说明这三个结论．工人常用两根平行的木条来固定一排物品（如图9−11（1））；营业员用彩带交叉捆扎礼品盒（如图9−11（2）），都是上述结论的应用．讲解关键词语引领分析仔细分析讲解关键词语理解记忆引导式启发学生得出结果70A α(1)α(2)α过 程行为行为意图间（1） （2）图9−11【想一想】如何用两根细绳来检查一把椅子的4条腿的下端是否在同一个平面内 *巩固知识 典型例题例2 在长方体1111ABCD A B C D -（如图9−12）中，画出由A 、C 、1D 三点所确定的平面γ与长方体的表面的交线．分析 画两个相交平面的交线，关键是找出这两个平面的两个公共点．解 点A 、1D 为平面γ与平面11ADD A 的公共点，点A 、C 为平面γ与平面ABCD 的公共点，点C 、1D 为平面γ与平面11CC D D 的公共点，分别将这三个点两两连接，得到直线11AD AC CD 、、就是为由1A C D 、、三点所确定的平面γ与长方体的表面的交线（如图9−12（2））．图9−12说明 强调 引领 讲解 说明观察 思考 主动 求解通过例题进一步领会 注意 观察 学生 是否 理解γ【教师教学后记】【课题】直线与直线、直线与平面、平面与平面平行的判定与性质【教学目标】知识目标：（1）了解两条直线的位置关系；（2）掌握异面直线的概念与画法，直线与直线平行的判定与性质；直线与平面的位置关系，直线与平面平行的判定与性质；平面与平面的位置关系，平面与平面平行的判定与性质．能力目标：培养学生的空间想象能力和数学思维能力．【教学重点】直线与直线、直线与平面、平面与平面平行的判定与性质．【教学难点】异面直线的想象与理解．【教学设计】本节结合正方体模型，通过观察实验，发现两条直线的位置关系除了相交与平行外，在空间还有既不相交也不平行，不同在任何一个平面内的位置关系．由此引出了异面直线的概念．通过画两条异面直线培养学生的画图、识图能力，逐步建立空间的立体观念．空间两条直线的位置关系既是研究直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系的开始，又是学习后两种位置关系的基础．因此，要让学生树立考虑问题要着眼于空间，克服只在一个平面内考虑问题的习惯．通过观察教室里面墙与墙的交线，引出平行直线的性质，在此基础上，提出问题“空间中，如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角的度数存在着什么关系请通过演示进行说明．”这样安排知识的顺序，有利于学生理解和掌握所学知识．要防止学生误认为“一条直线平行于一个平面，就平行于这个平面内的所有的直线”，教学时可通过观察正方体模型和课件的演示来纠正学生的这个错误认识．平面与平面的位置关系是通过观察教室中的墙壁与地面、天花板与地面而引入的．【教学备品】教学课件．【课时安排】2课时．(90分钟)【教学过程】教学过程教师行为学生行为教学意图时间*揭示课题直线与直线、直线与平面、平面与平面平行的判定与性质*创设情境兴趣导入观察图9−13所示的正方体，可以发现：棱11A B与AD所在的直线，既不相交又不平行，它们不同在任何一个平面内．图9−13观察教室中的物体，你能否抽象出这种位置关系的两条直线介绍质疑引导分析了解思考启发学生思考2*动脑思考探索新知在同一个平面内的直线，叫做共面直线，平行或相交的两条直线都是共面直线．不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线.图9－13所示的正方体中，直线11A B与直线AD就是两条异面直线．这样，空间两条直线就有三种位置关系：平行、相交、异面．将两支铅笔平放到桌面上(如图9−14)，抬起一支铅笔的讲解说明思考一端（如D 端），发现此时两支铅笔所在的直线异面．图9 −14（请画出实物图）受实验的启发，我们可以利用平面做衬托，画出表示两条异面直线的图形（如图9 −15）．(1) (2) 图9−15利用铅笔和书本，演示图9−15（2）的异面直线位置关系．引领 分析 仔细 分析关键 语句理解 记忆带领 学生 分析5*创设情境 兴趣导入我们知道，平面内平行于同一条直线的两条直线一定平行．那么空间中平行于同一条直线的两条直线是否一定平行呢 观察教室内相邻两面墙的交线（如图9−16）．发现：1AA ∥1BB ，1CC ∥1BB ，并且有1AA ∥1CC ．质疑引导 分析思考启发 学生思考7图9−16桌子BA CD两支铅笔*动脑思考 探索新知由上述观察及大量类似的事实中，归纳出平行线的性质：平行于同一条直线的两条直线平行．我们经常利用这个性质来判断两条直线平行． 【想一想】空间中，如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角的度数存在着什么关系请通过演示进行说明．讲解 说明 引领 分析思考 理解带领 学生 分析10*创设情境 兴趣导入将平面 内的四边形ABCD 的两条边AD 与DC ，沿着对角线AC 向上折起，将点D 折叠到1D 的位置(如图9−17)．此时A 、B 、C 、1D 四个点不在同一个平面内．图9−17质疑 引领 分析 思考带领 学生 分析13*动脑思考 探索新知这时的四边形AB C 1D 叫做空间四边形． 【想一想】折叠过程中，哪些量发生了变化，哪些量没有发生变化讲解 说明理解 带领 学生 分析15 *巩固知识 典型例题例1 已知空间四边形ABCD 中，E 、F 、G 、H 分别为AB 、BC 、CD 、DA 的中点（如图9−18）．判断四边形EFGH 是否为平行四边形解 联结BD ．因为E 、H 分别为说明 强调 引领观察 思考通过例题进一*运用知识强化练习1．结合教室及室内的物品，举出空间两条直线平行的例子.2．把一张矩形的纸对折两次，然后打开（如第2题图），说明为什么这些折痕是互相平行的直线与这个平面相交，画直线与平面相交的图形时，要把直线延伸到平行四边形外（如图9−19（2））.如果一条直线与一个平面没有公共点，那么就称这条直线与这个平面平行. 直线l与平面α平行，记作l∥α.画直线与平面平行的图形时，要把直线画在平行四边形外，并与平行四边形的一边平行（如图9−19（3））．（1）（2）（3）这样，直线与平面的位置关系有三种：直线在平面内、直线与平面相交、直线与平面平行．直线与平面相交及直线与平面平行统称为直线在平面外．引领分析仔细分析讲解关键词语思考理解记忆带领学生分析引导式启发学生得出结果30*创设情境兴趣导入在桌面上放一张白纸，在白纸上画出两条平行直线，沿着其中的一条直线将纸折起（如图9−20）．观察发现：在折起的各个位置上，另一条直线始终与桌面保持平行．图9−20质疑思考引导学生分析32l αlααl2为了叙述简便起见，将线段1DD 所在的直线，直接写作直线1DD ，本章教材中都采用这种表述方法．图9−211111ABCD A B C D -中，因为四边形图9−22（请画出实物图） *动脑思考 探索新知从大量的实验与观察中，归纳出直线与平面平行的性质： 如果一条直线与一个平面平行，并且经过这条直线的一个平面和这个平面相交，那么这条直线与交线平行.如图9−23所示，设直线l 为平面α与平面β的交线，直线m 在平面β内且m α∥，则m l ∥．图9-23讲解说明 引领 分析思考 理解带领 学生 分析45*巩固知识 典型例题例 3 在如图9−24所示的一块木料中，已知BC ∥平面1111A B C D ，BC ∥11B C ，要经过平面11A C 内的一点P 与棱BC 将木料锯开，应当怎样画线分析 设点P 和棱BC 确定的平面α，则EF 是α与平面1111A B C D 的交线，由于BC ∥平面1111A B C D ，故EF ∥BC ，11B C BC ∥．所以11EF B C ∥．解 画线的方法是：在平面说明 强调 引领 讲解说明观察 思考 主动 求解通过例题进一步领会48铅笔图9−24水，管内的水柱相当于一条直线，水准器内的水泡在中央，表示水准器所在的直线与地平面平行．把水准器在平板上交叉放置两次（如图9−26），如果两次检测，水准器内的水泡都在中央，就表示台面与地面平行，可以进行比赛，否则就需要进行调整．图9−26质疑思考引导 学生 分析57*动脑思考 探索新知实例中，技术人员使用的方法就是我们常用的判定平面与平面平行的方法：如果一个平面内的两条相交直线都与另一个平面平行，那么这两个平面平行． 【想一想】如果一个平面内的一条直线平行于另一个平面内的一条直线 , 那么这两个平面是否一定平行 讲解 说明思考 理解带领 学生 分析60*巩固知识 典型例题例 4 设平面α内的两条相交直线m ，n 分别平行于另一个平面β内的两条直线k ，l （如图9−27），试判断平面α，β是否平行解 因为m 在β外、l 在β内，且m ∥l ，所以直线m ∥平面β．同理可得 直线n ∥平面β．由于m 、n 是平面α内两条相交直线，故可以判断α∥β．说明强调 引领讲解 说明观察 思考 主动 求解通过例题进一步领会65图9−27A m nβαkl*创设情境 兴趣导入将一本书放在与桌面平行的位置，用作业本靠紧书一边，绕着这条边移动作业本，观察作业本和书的交线与作业本和桌面的交线之间的关系（如图9−28）．图9−28（请画出实物图） 质疑 思考 引导 学生 分析70*动脑思考 探索新知由大量的观察和实验得到两个平面平行的性质：如果一个平面与两个平行平面相交，那么它们的交线平行．如图9−29所示，如果αβ∥，平面γ与α、β都相交，交线分别为m 、n ，那么m ∥n ．讲解 说明 引领 分析 思考 理解 带领 学生 分析75 *运用知识 强化练习1．画出下列各图形：（1）两个水平放置的互相平行的平面． （2）两个竖直放置的互相平行的平面． （3）与两个平行的平面相交的平面．提问思考及时 了解桌子 书放到不同图[0,180]1BC AD1CBC∠1DAD∠AB1BC AD1CBC∠m'm n'n m'n'θm n O130BAB∠=︒1AB DC1AB1CC解（1）因为DC∥AB，所以1BAB∠为异面直线1AB与DC所成的角．即所求角为30︒.（2）因为1CC∥1BB，所以1∠AB B为异面直线1AB与1CC所成的角．在直角△1ABB中190ABB∠=︒，130BAB∠=︒，所以说明强调观察通过例题nm'm'noθnm'mo1903060AB B ∠=︒-︒=︒，即所求的角为60︒.引领讲解 说明思考 主动 求解进一步领会17*运用知识 强化练习在如图所示的正方体中，求下列各对直线所成的角的度数：（1）1DD 与BC ； （2）1AA 与1BC ．提问 指导思考 解答领会知识21*创设情境 兴趣导入正方体1111ABCD A B C D -中（图9−33），直线1BB 与直线AB 、BC 、CD 、AD 、AC 所成的角各是多少可以发现，这些角都是直角．质疑 引导思考启发 学生思考ABC D 1D1C1B1A图9−329.3.1题图图9−33分析26*动脑思考 探索新知如果直线l 和平面α内的任意一条直线都垂直，那么就称直线l 与平面α垂直，记作α⊥l ．直线l 叫做平面α的垂线，垂线l 与平面α的交点叫做垂足.画表示直线l 和平面α垂直的图形时，要把直线l 画成与平行四边形的横边垂直（如图9−34所示），其中交点A 是垂足．图9−34讲解 说明引领 分析思考 理解带领 学生 分析30*创设情境 兴趣导入将一根木棍PA 直立在地面α上，用细绳依次度量点P 与地面上的点A 、B 、C 、D 的距离（图9−35），发现PA 最短．质疑思考带领 学生 分析32图9−35*动脑思考探索新知如图9−35所示，PAα⊥，线段PA叫做垂线段，垂足A 叫做点P在平面α内的射影．直线PB与平面α相交但不垂直，则称直线PB与平面α斜交，直线PB叫做平面α的斜线，斜线和平面的交点叫做斜足．点P与斜足B之间的线段叫做点P到这个平面的斜线段．过垂足与斜足的直线叫做斜线在平面内的射影．如图9−35中，直线AB是斜线PB在平面α内的射影．从上面的实验中可以看到，从平面外一点向这个平面引垂线段和斜线段，垂线段最短．因此，将从平面外一点P到平面α的垂线段的长叫做点P到平面α的距离．讲解说明引领分析仔细分析讲解关键词语思考理解记忆带领学生分析40*创设情境兴趣导入如图9−36所示，炮兵在发射炮弹时，为了击中目标，需要调整好炮筒与地面的角度．图9−36质疑思考带领学生分析42*动脑思考探索新知斜线l与它在平面α内的射影l'的夹角，叫做直线l与平面α所成的角．如图9−37所示，PBA∠就是直线PB与平面α所成的角．讲解说明思考规定：当直线与平面垂直时，所成的角是直角；当直线与平面平行或直线在平面内时，所成的角是零角．显然，直线与平面所成角的取值范围是[0,90]．【想一想】如果两条直线与一个平面所成的角相等，那么这两条直线一定平行吗图9−37引领分析仔细分析讲解关键词语理解记忆带领学生分析47*巩固知识典型例题例2 如图9−38所示，等腰∆ABC的顶点A在平面α外，底边BC在平面α内，已知底边长BC=16，腰长AB=17，又知点A到平面α的垂线段AD=10．求（1）等腰∆ABC的高AE的长；（2）斜线AE和平面α所成的角的大小（精确到1º）．分析三角形AEB是直角三角形，知道斜边和一条直角边，利用勾股定理可以求出AE的长；AED∠是AE和平面α所成的角，三角形ADE是直角三角形，求出AED∠的正弦值即可求出斜线AE和平面α所成的角．解(1) 在等腰∆ABC中，AE BC⊥，故由BC=16可得说明强调引领观察思考主动求解通过例题进一步领会图9−38BE =8.在Rt ∆AEB 中，∠AEB =90°，因此222217815AE AB BE =-=-=.（2）联结DE .因为AD 是平面α的垂线，AE 是α的斜线，所以DE 是AE 在α内的射影.因此AED ∠是AE 和平面α所成的角. 在Rt ∆ADE 中，102sin 153AD AED AE ∠===，所以42AED ∠≈︒.即斜线AE 和平面α所成的角约为42︒. 【想一想】为什么这三条连线都画成虚线讲解 说明思考注意 观察 学生 是否 理解 知识 点55*运用知识 强化练习长方体ABCD −1111A B C D 中，高DD 1=4cm ，底面是边长为3cm 的正方形，求对角线D 1B 与底面ABCD 所成角的大小（精确到1′）.练习9.3.2图提问 巡视 指导思考 求解及时 了解 学生 知识 掌握 得情 况60 *创设情境 兴趣导入在建筑房屋时，有时为了美观和排除雨水的方便，需要考虑屋顶面与地面形成适当的角度（如图9−39（1））；在修筑河堤时，为使它经济且坚固耐用，需要考虑河堤的斜坡与地面形成适当的角度（如图9−39（2））．在白纸上画出一条线，沿着这条线将白纸对折，然后打开进行观察．质疑 引导分析思考启发 思考63*动脑思考 探索新知平面内的一条直线把平面分成两部分，每一部分叫做一个半平面．从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角．这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面．以直线l （或CD ）为棱，两个半平面分别为αβ、的二面角，记作二面角l αβ--（或CD αβ--）（如图9−40）．过棱上的一点，分别在二面角的两个面内作与棱垂直的射线，以这两条射线为边的最小正角叫做二面角的平面角．如图9−41所示，在二面角α−l −β的棱l 上任意选取一点O ，以点O 为垂足，在面α与面β内分别作OM l ⊥、ON l ⊥，则MON ∠就是这个二面角的平面角．讲解 说明 引领分析 仔细分析 讲解 关键 词语思考 理解 记忆带领 学生 分析70*创设情境 兴趣导入用纸折成一个二面角，在棱上选择不同的点作出二面角的质疑思考启发 思考图9−40CD图9−41loNMβαCD（2）图9−39（1）平面角，度量它们是否相等，想一想是什么原因． 72*动脑思考 探索新知二面角的平面角的大小由αβ、的相对位置所决定，与顶点在棱上的位置无关，当二面角给定后，它的平面角的大小也就随之确定．因此，二面角的大小用它的平面角来度量．当二面角的两个半平面重合时，规定二面角为零角；当二面角的两个半平面合成一个平面时，规定二面角为平角．因此二面角取值范围是[0,180]．平面角是直角的二面角叫做直二面角．例如教室的墙壁与地面就组成直二面角，此时称两个平面垂直．平面α与平面β垂直记作αβ⊥ 讲解 说明 引领 分析思考 理解 记忆带领 学生 分析76*巩固知识 典型例题例3 在正方体1111ABCD A B C D -中（如图9−42），求二面角1D AD B --的大小．图9−42解 AD 为二面角的棱， 1AA 与AB 是分别在二面角的两个面内并且与棱AD 垂直的射线，所以1A AB ∠为二面角1D AD B --的平面角．因为在正方体1111ABCD A B C D -中，1A AB ∠是直角．所以二面角1D AD B --为90°.说明 强调引领讲解 说明观察 思考 主动 求解通过例题进一步领会81*运用知识 强化练习在正方体1111ABCD A B C D -中，求二面角1A DD B --的大小.提问 巡视 指导思考 求解及时 了解 学生 知识 掌握 得情况86*理论升华 整体建构 思考并回答下面的问题：异面直线所成的角、二面角的平面角的概念 结论：经过空间任意一点分别作与两条异面直线平行的直线，这两条相交直线的夹角叫做两条异面直线所成的角．过棱上的一点，分别在二面角的两个面内作与棱垂直的射线，以这两条射线为边的最小正角叫做二面角的平面角． 质疑 归纳强调回答及时了解学生知识掌握情况87*归纳小结 强化思想本次课学了哪些内容重点和难点各是什么 引导 回忆*自我反思 目标检测本次课采用了怎样的学习方法你是如何进行学习的你的学习效果如何在正方体1AC 中，求平面11ABC D 与平面ABCD 所成的二面角的大小．提问 巡视 指导反思 动手 求解检验 学生 学习练习9.3.3继续探索活动探究【教师教学后记】【课题】直线与直线、直线与平面、平面与平面垂直的判定与性质【教学目标】知识目标：（1）了解空间两条直线垂直的概念；（2）掌握与平面垂直的判定方法与性质，平面与平面垂直的判定方法与性质．能力目标：培养学生的空间想象能力和数学思维能力．【教学重点】直线与平面、平面与平面垂直的判定方法与性质．【教学难点】判定空间直线与直线、直线与平面、平面与平面垂直．【教学设计】在平面内，过一点可以作一条且只能作一条直线与已知直线垂直；在空间中，过一点作与已知直线垂直的直线，能作无数条.例1是判断异面直线垂直的巩固性题目，根据异面直线垂直的定义，只要判断它们所成的角为90即可.在判定直线与平面垂直时，要特别注意“平面内两条相交的直线”的条件．可举一些实例，以加深学生对条件的理解．两个平面互相垂直是两个平面相交的特殊情况．在日常生活和工农业生产中，两个平面互相垂直的例子非常多，教学时可以多结合一些实例，以引起学生的兴趣．例4是判断平面与平面垂直的巩固性题目，关键是在平面B AC内找到一条直线AC与1平面B1BDD1垂直．例5是巩固平面与平面垂直的性质的题目.。
数学基础模块下册立体几何PPT课件
平行公理
如图, 在长方体ABCDA`B`C`D`中， BB`//AA` , DD`//AA` , 那么 BB`//DD` 吗？
9.2 直线与直
平行公理
取一块长方形纸板 ABCD, E , F 分别为 AB，CD 的中 点，将纸板沿 EF 折起，在空间中 直线 AD 与 BC 的位置关系如何 ?
直线与平面平行的判定
图形表 述：
符号表 述：
} a
b
a // b
a // α “ 面外、面内、平行 ” 三条件
缺一不可
得出结论： 平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线 与此平面平行。
9.2 直线与平
例题
如图，在长方体ABCD--A`B`C`D`
，“只有”是说平
9.1 平面的基
平面的基本性质 3结论
（1） 直线与这条直线外的一点有且只有一个平面。
（2） 两条相交直线有且只有一个平面。
（3） 两条平行直线有且只有一个平面。
A l
（1）
l1 l2
（2）
l1 l2
（3）
9.1 平面的基
9.2 判定与
直线与直线平行
观察下面两 张图，你能发现 到什么？
9.1 平面的基
平面的基本性
质2 观察下图， 你能发现到什么 ？
9.1 平面的基
平面的基本性 质2
图形表
l
述：
A●
符号表 述：
l
（平面与平面相交，交线为 l）
得出结论： 如果两个平面有一个公共点，那么它们一定还有其他公 共点，并且所有公共点的集合是过这个点的一条直线(即这两个平面相 交)。
9.1 平面的基
9.1 平面的基
中职教育-数学(基础模块)下册 第九章 立体几何.ppt
根据公理1和公理3，还可以得出以下三个推论： 推论1 经过一条直线和这条直线外一点，可以确定一个平面（如图 （a）所示）． 推论2 经过两条相交直线，可以确定一个平面（如图（b）所示）． 推论3 经过两条平行直线，可以确定一个平面（如图（c）所示）．
AB ，BC ，CD ，DA 的中点．证明：四边形 EFGH 是一个平行四边形．
证明 因 E ，F 分别为边 A B，B C的中点，即 EF 为△ABC 的中位
线，所以
EF ∥AC ，且 EF 1 AC ． 2
同理可得
GH ∥AC ，且 GH 1 AC ． 2
因此，
EF ∥GH ，且 EF GH ，
（a）
（b）
为了简便，点 O 可以在两条异面直线中的一条上选取．例如，在 图中，点 O 选取在直线 b 上，过点 O 作 a∥a ，a 与 b 所成的角 θ 就是 异面直线 a ，b 所成的角．
例题解析
例 1 如图所示正方体，求直线 BA1 和 CC1 所成角的大小．
解 因 CC1 ∥BB1 ，所以直线 BA1 和 BB1 所成的角就是直线 BA1 和 CC1 所成的角．
9.1 9.2 9.3 9.4 9.5
• 平面的基本性质
• 直线与直线、直线与平面、平面 与平面平行的判定与性质
• 直线与直线、直线与平面、平面 与平面所成的角
• 直线与直线、直线与平面、平面 与平面垂直的判定与性质
• 柱、锥、球及其简单组合体
…
9.1 平面的基本性质
9.1.1 平面的概念及表示 数学中的平面是指光滑并且可以无限延展的图形． 为了直观形象，我们通常用一个平行四边形来表示平面，并用小写
中职数学基础模块下册《立体几何》课件 (一)
中职数学基础模块下册《立体几何》课件(一)中职数学基础模块下册《立体几何》课件，是为中职学生编写的数学课件，旨在帮助学生更好地掌握立体几何的知识和技能。
本文将从以下几个方面展开探讨：该课件的概况、教学内容、教学方法和教学效果。
一. 课件概述中职数学基础模块下册《立体几何》课件，是国家教育部根据中职教育教学大纲编写的，全书共分为14个章节，包括平面图形、空间直线、平面的位置关系、长方体、多面体、棱台、棱锥、圆锥、球的表面积和体积等内容。
该课件通过教学活动、课堂练习和实验演示等多种形式，将理论知识与实际操作相结合，为学生提供了一个互动式学习的平台。
二. 教学内容该课件的教学内容丰富、全面，既包括了立体几何的基本概念和定理，又涉及了多面体的表面积和体积计算等实际问题。
例如，第四章“长方体”中，课件通过图示和实例，让学生了解长方体的定义和性质；并通过运用长方体的表面积和体积公式，让学生掌握计算长方体表面积和体积的方法；第六章“棱台”则通过立体模型和实例，让学生理解棱台的基本属性和计算方法。
通过这些内容，帮助学生加深对立体几何知识的理解和应用能力。
三. 教学方法中职数学基础模块下册《立体几何》课件采用了多种教学方法，如概念讲解、图像表述、数学公式应用和实际问题分析等。
其中，课件中的实验演示部分，通过动态模拟实验环节，让学生更好地理解概念和定理；而课件中的教学活动部分，则通过对课件中实例的引导和讨论，培养学生的分析和解决问题的能力。
除此之外，课件中的课堂练习和测试部分，既可让学生自我检验学习效果，又可为教师提供有针对性的教学反馈。
四. 教学效果由于该课件贴近课程内容实际，注重理论知识与实践操作的结合，使得学生更好地掌握相关知识和技能。
同时，该课件的互动式学习方式，也有效激发学生的学习兴趣和学习动力，提高了学习效率和教育效果。
综上，中职数学基础模块下册《立体几何》课件是一份系统、科学、实用的教学工具，南加州大学该课件不仅有助于学生巩固立体几何相关知识，还能够锻炼学生的数学思考能力和实际问题解决能力。
数学基础模块下册立体几何
平面的基本性质1
观察下图，你能得到什么结论？
9.1 平面的基本性质
平面的基本性质1
图形表述：
符号表述： Al, B l; A , B l （直线l在平面内或平面经过直线l）
得出结论： 如果一条直线上两点在一个平面内，那么这条直线上的所有的点都在这个平面内。 (即直线在平面内)
9.1 平面的基本性质
平面的基本性质3
观察下图，你能发现到什么？
9.1 平面的基本性质
平面的基本性质3
图形表述：
符号表述： ABC三点不共线推断出有且只有一个平面α，使得A α,B α, C α
即A,B,C不共线 A,B,C确定一平面
得出结论： 过不在同一直线上的三点，有且只有一个平面 .
9.2 平面与平面平行
平面与平面的画法
： 两个平面平行应怎样画?相交又怎样画?
画两个互相平行的平面时，要注意使表示平面的两个平行四边形的对应边平行。
9.2 平面与平面平行
平面与平面平行的判定
如何保证乒乓球台的台面与地面平行呢？
水准器在台面上交叉放置两次，两次检测水准器内的水泡都在中间，表示乒乓球台的台面与地面平行 9.2 平面与平面平行
9.1 平面的基本性质
平面的基本性质2
观察下图，你能发现到什么？
9.1 平面的基本性质
平面的基本性质2
图形表述：
l
A ●
符号表述：
l
（平面与平面相交，交线为 l）
得出结论： 如果两个平面有一个公共点，那么它们一定还有其他公共点，并且所有公共点的 集合是过这个点的一条直线(即这两个平面相交)。
平面可以用希腊字母表示，如α、β、γ等。也可以用代表表示平面的平行四边形的四个顶点 或相对的两个顶点字母表示，如平面ABCD，平面AC或平面BD。
中职数学基础模块下立体几何测试题 (一)
中职数学基础模块下立体几何测试题 (一)
中职数学基础模块下的立体几何是数学知识中的重要内容之一，本文
将根据中职数学基础模块下的立体几何测试题，从以下几点进行分析。
一、二维与三维
立体几何是几何的一个分支，与平面几何、解析几何等其他几何分支
不同，它关注的是三维模型，如正方体、球体、棱柱等。
而在立体几
何中存在一些与二维几何相似的概念，如点、线、面等，但这些概念
在立体几何中具有更加丰富的内涵，需要结合三维模型进一步理解。
二、空间距离
在立体几何中，我们还需要掌握空间距离的概念。
空间距离表示的是
物体之间的距离，需要在三维模型的基础上进行计算。
例如，在确定
两个顶点之间的距离时，我们需要绘制一条连接这两个顶点的线段并
计算其长度。
三、基本图形
正方体、球体、棱柱等是立体几何中的基本图形，在掌握这些基本图
形的基础上，我们才能进一步理解和掌握其他复杂的立体模型。
例如，当我们要确定一个棱锥的体积时，我们需要先将其分解为一个棱锥和
一个棱柱，再进行计算。
四、综合运用
在立体几何测试题中，我们需要综合应用上述知识点来解决问题。
例
如，可能会给出一个立方体的体积和表面积，要求我们根据这些数据
计算其边长；或者可能会要求我们计算一个锥体的侧面积和总表面积，需要我们首先将其进行分解。
总之，立体几何作为数学知识中的一部分，其相关概念和计算方法是
非常重要的，而在学习和应用的过程中，需要结合不同的题目进行理
解和练习，不断提高自己的认知水平和实际应用能力。
职高数学9.5.2圆柱、圆锥
二、圆锥的结构特征
思考2：以直角三角形的一条直角边所在直线
为旋转轴，其余两边旋转形成的面所围成的旋 转体叫做圆锥，那么如何定义圆锥的轴、底面、 侧面、母线？
S圆锥侧＝ 1 cl ＝ r l 2
的边旋转而成的曲面。
（4）圆柱侧面的母线——无论 旋转到什么位置，不垂直于轴的 A 边。
O B
底面
2.圆柱的表示方法：用表示它的轴的字母表示,
如:“圆柱OO'”
一、圆柱的结构特征
思考2：在圆柱的形成中，旋转轴叫做圆柱的轴，垂直
于轴的边旋转而成的圆面叫做圆柱的底面，平行于轴的 边旋转而成的曲面叫做圆柱的侧面，平行于轴的边在旋 转中的任何位置叫做圆柱侧面的母线. 你能结合图形正
以矩形的一边所在直线为旋转轴，其 余三边旋转形成的面所围成的旋转体.
一、圆柱的结构特征
1.定义：以矩形的一边所在直线 为旋转轴,其余边旋转形成的曲面
所围成的几何体叫做圆柱。
（1）圆柱的轴——旋转轴.
A’
O’
（2）圆柱的底面——垂直于轴
的边旋转而成的圆面。
母 线
（3）圆柱的侧面——平行于轴
B’
轴
侧 面
x y
3 x y 4x
所以y=12. 即圆锥母线长为12cm.
A 4x OO
B
证明：平行于圆锥底面的截面与底面的面积的比，等 于顶点到截面的距离与圆锥的高的平方比 ．
三、圆锥的侧面积
圆锥的侧面展开图是扇形
S圆锥侧面积
1 cl 2
rl
四.圆锥的表面积
数学基础模块(下册)第九章立体几何
，【课题】平面的基本性质【教学目标】知识目标：（1）了解平面的概念、平面的基本性质；（2）掌握平面的表示法与画法．能力目标：培养学生的空间想象能力和数学思维能力．$【教学重点】平面的表示法与画法．【教学难点】对平面的概念及平面的基本性质的理解．【教学设计】教材通过观察平静的湖面、窗户的玻璃面、黑板面等，引入平面的概念，并介绍了平面的表示法与画法．注意，平面是原始概念，原始概念是不能定义的，教材是用“光滑并且可以无限延展的图形”来描述平面．在教学中要着重指出，平面在空间是可以无限延展的．在讲“通常用平行四边形表示平面”时要向学生指出：(1) 所画的平行四边形表示它所在的整个平面，需要时可以把它延展出去；$(2) 有时根据需要也可用其他平面图形，如三角形、多边形、圆、椭圆等表示平面，故加上“通常”两字；(3) 画表示水平平面的平行四边形时，通常把它的锐角画成 45 °，横边画成邻边的2倍．但在实际画图时，也不一定非按上述规定画不可；在画直立的平面时，要使平行四边形的一组对边画成铅垂线；在画其他位置的平面时，只要画成平行四边形就可以了；(4) 画两个相交平面，一定要画出交线；(5) 当用字母表示平面时，通常把表示平面的希腊字母写在平行四边形的锐角内，并且不被其他平面遮住的地方；(6) 在立体几何中，被遮住部分的线段要画成虚线或不画．“确定一个平面”包含两层意思，一是存在性，即“存在一个平面”；二是唯一性，即“只存在一个平面”．故“确定一个平面”也通常说成“有且只有一个平面”.【教学备品】(教学课件．【课时安排】2课时．(90分钟)【教学过程】教学过程教师行为】学生行为教学意图时间*揭示课题平面的基本性质*创设情境兴趣导入—观察平静的湖面（图9−1 (1)）、窗户的玻璃面（图9−1 (2)）、黑板面、课桌面、墙面等，发现它们都有一个共同的特征：平坦、光滑，给我们以平面的形象，但是它们都是有限的．（1） (2)图9−1介绍~质疑`引导分析了解《思考、&启发学生思考，！8*动脑思考探索新知【新知识】平面的概念就是从这些场景中抽象出来的．数学中的平面是指光滑并且可以无限延展的图形．平静的湖面、窗户的玻璃面、黑板面、课桌面、墙面等，~讲解说明>思考*《母来命名，如图9−过 程行为 学生 行为意图 间 【说明】如图9−3所示的正方体一般写作正方体1111ABCD A B C D ，也可以简记作正方体1A C .图9−3解 这6个面可以分别表示为：平面AC 、平面11A C 、平面1AB 、平面1BC 、平面1CD 、平面1DA ． 【试一试】请换一种方法表示这6个面． 强调`引领 讲解说明]&思考 主动 求解）通过例题进一步领会…！27*运用知识 强化练习1.举出生活中平面的实例．（2.画出一个平面，写出字母并表述出来．提问 指导思考 口答·领会知识32*创设情境 兴趣导入 【实验】把一根铅笔平放在桌面上，发现铅笔的一边就紧贴在桌面上．也就是铅笔紧贴桌面的一边上的所有的点都在桌面上（如图9−4）．…质疑$引导 分析—思考启发 学生思考$…37桌子BA铅笔过 程行为学生 行为意图间/图9−4 *动脑思考 探索新知 【新知识】直线与平面都可以看做点的集合．点A 、B 在直线l 上，记作A l B l ∈∈、；点A 、B 在平面α内，记作A B αα∈∈、．（如图9−5）由上述实验和大量类似的事实中，归纳出平面的性质1：如果直线l 上的两个点都在平面α内，那么直线l 上的所有点都在平面α内．此时称直线l 在平面α内或平面α经过直线l ．记作l α⊆．￥画直线l 在平面α内的图形表示时，要将直线画在平行四边形的内部（如图9−5）．。
数学基础模块下册立体几何
点、直线和平面的位置关系
点在直线上
一个点被一条直线完全包 含。
点在平面内
一个点被一个平面完全包 含。
直线在平面内
一条直线被一个平面完全 包含。
点、直线和平面的度量关系
两点之间的距离
两个点之间的最短距离。
点到直线的距离
点到直线上任意一点的最短距离。
点到平面的距离
点到平面上任意一点的最短距离。
04
空间拓展
将平面几何图形向三维空间进行拓展 ，形成空间几何图形，如长方体、球 体等。
空间几何图形的分类与性质
分类ห้องสมุดไป่ตู้
根据空间几何图形的形状、大小 和位置关系，可以分为点、线、 面、体等不同类型。
性质
空间几何图形具有不同的性质， 如对称性、平行性、垂直性等。 这些性质可以通过几何定理和性 质进行证明和应用。
培养空间思维能力
学习立体几何有助于培养学生的空间思维能力和想象力，提高他们分析问题和 解决问题的能力。这种能力不仅在数学和物理学中有重要应用，也在日常生活 中有着广泛的应用。
立体几何的历史与发展
古代起源
立体几何起源于古希腊时期，当 时的学者如欧几里德等对几何学
进行了系统化的整理和发展。
近代发展
随着数学的发展和各领域的需要 ，立体几何在近代得到了进一步 的发展和完善。例如，射影几何 的兴起和发展为几何学注入了新
光的折射和反射等都需要用到立体几何的知识。
量子力学
03
量子力学中的波函数和概率幅等概念可以用立体几何中的流形
和纤维丛等概念来描述和理解。
THANKS
感谢观看
CATALOGUE
空间几何图形的性质与证明
空间几何图形的性质
7.1空间几何体教案-2023-2024学年中职数学(语文版·2021)基础模块下册
1. 教学重点
本节课的核心内容是空间几何体的认识和性质。具体重点包括：
- 常见空间几何体的名称和形状，如正方体、长方体、球体等。
- 空间几何体的基本性质，如表面积、体积等。
- 使用立体几何图形进行空间想象和解决问题的方法。
2. 教学难点
本节课的难点内容主要是空间几何体的理解和运用。具体难点包括：
4. 师生互动环节（10分钟）
教师组织学生进行小组讨论，让学生分享自己的学习心得和疑问。教师参与讨论，解答学生的疑问，并给予指导和鼓励。同时，教师可以提出一些拓展性问题，如“空间几何体在生活中有哪些应用？”、“如何计算不规则几何体的体积？”等，激发学生的思考和探索欲望。
5. 课堂小结（5分钟）
教师对本节课的主要内容进行简要回顾，强调空间几何体的认识和性质。然后，提出课后作业，要求学生复习本节课的内容，并完成相关练习题。
- 球体是一种所有点到球心的距离都相等的空间几何体。
- 空间几何体的表面积是指围成几何体的面的总面积。
- 空间几何体的体积是指几何体所占空间的大小。
板书设计应具有艺术性和趣味性，可以通过使用颜色、图标、图片等元素，使得板书更加生动和吸引人。例如，可以使用不同颜色的粉笔来突出不同的知识点，或者在板书中加入一些简单的几何图形和符号，以帮助学生更好地理解和记忆。同时，教师可以尝试将板书设计成一个小游戏或者谜题，让学生在解答的过程中学习和掌握知识。这样的设计不仅能够激发学生的学习兴趣，还能够提高他们的主动性和参与度。
当堂检测：
1. 判断题：请判断以下陈述是否正确。
- 正方体是一种六个面都是正方形的空间几何体。（）
- 球体是一种所有点到球心的距离都相等的空间几何体。（）
- 长方体的体积大于正方体的体积。（）
数学基础模块(下册)第九章 立体几何.pdf
坦、光滑，给我们以平面的形象，但是它们都是有限的．
质疑 思考
启发 学生 思考
（1）
(2)
引导
图9−1
分析
8
*动脑思考 探索新知
【新知识】
平面的概念就是从这些场景中抽象出来的．数学中的平面
是指光滑并且可以无限延展的图形．
讲解
平静的湖面、窗户的玻璃面、黑板面、课桌面、墙面等， 说明
思考
都是平面的一部分．
如果直线 l 上的两个点都在平面 α 内，那么直线 l 上的所有点 都在平面 α 内．
此时称直线 l 在平面 α 内或平面 α 经过直线 l．记作 l ． 引领 画直线 l 在平面 α 内的图形表示时，要将直线画在平行四 分析
理解
带领 学生 分析
边形的内部（如图 9−5）．
图 9−5 42
*创设情境 兴趣导入
一寸光阴不可轻
【课题】9.1 平面的基本性质
【教学目标】 知识目标： （1）了解平面的概念、平面的基本性质； （2）掌握平面的表示法与画法． 能力目标： 培养学生的空间想象能力和数学思维能力．
【教学重点】 平面的表示法与画法．
【教学难点】 对平面的概念及平面的基本性质的理解．
【教学设计】 教材通过观察平静的湖面、窗户的玻璃面、黑板面等，引入平面的概念，并介绍了平
【观察】
质疑
观察教室里墙角上的一个点，它是相邻两个墙面的公共
思考
带领 学生 分析
点，可以发现，除这个点外两个墙面还有其他的公共点，并且
பைடு நூலகம்
这些公共点的集合就是这两个墙面的交线．
45
*动脑思考 探索新知
【新知识】
由上述观察和大量类似的事实中，归纳出平面的性质 2：
同济大学出版社 基础模块 下册 第九单元 立体几何
一、 直线与直线平行
注意
顺次连结空间中不共面的四个点所构成的图形叫作 空间四边形.
一、 直线与直线平行
【例1】
已知图9-12所示的 空间四边形ABCD中，点 M，N，P，Q分别是边 BC，CD，DA，AB的中 点.试判断四边形MNPQ 是否为平行四边形.
图 9-14
二、 直线与平面平行
直线和平面平行有如下的性质定理： 定理 如果一条直线和一个平面平行，且经过这条直线的 平面和这个平面相交，那么这条直线就和两个平面的交线平行. 空间几何中经常应用这条定理，即根据“线与面平行”来 判定“线与线平行”.如图9-15所示，已知平面α和平面β相交 于直线m，直线l//β且直线l在平面α内，则l//m.
在空间中，直线和平面的位置关系还有另外两种情况，即直线与平面 相交及直线与平面平行.如果一条直线和一个平面只有一个公共点，则叫作 直线与平面相交，这个公共点叫作直线与平面的交点.如图9-13（b）所示， 图中直线l与平面α相交于A点，可记作l∩α=A.如果直线和平面没有公共点， 则称直线与平面平行，如图9-13（c）所示，可记作l//α.
分析 根据直线与平面平行的性质，要想证得直线PB 与平面MAC平行，首先要证得直线PB与平面MAC内的一 条直线平行.观察图9-16，需要做出辅助线，即连结MO， 然后可进行求证.
二、 直线与平面平行
二、 直线与平面平行
做一做
下列说法是否正确，正确的说明理由，不正确的举出 反例.
（1）如果直线l上有无数个点不在平面α内，那么 l//α； （2）如果直线l与平面α不平行，那么直线l一定与平面 α相交； （3）如果直线l在平面α外，那么l//α； （4）如果直线l//平面α，那么直线l与平面α内的所有 直线都平行.
数学基础模块(下册)第九章 立体几何
【课题】9。
1 平面的基本性质【教学目标】知识目标:（1)了解平面的概念、平面的基本性质；(2)掌握平面的表示法与画法．能力目标：培养学生的空间想象能力和数学思维能力．【教学重点】平面的表示法与画法．【教学难点】对平面的概念及平面的基本性质的理解．【教学设计】教材通过观察平静的湖面、窗户的玻璃面、黑板面等，引入平面的概念，并介绍了平面的表示法与画法．注意,平面是原始概念,原始概念是不能定义的，教材是用“光滑并且可以无限延展的图形”来描述平面．在教学中要着重指出,平面在空间是可以无限延展的．在讲“通常用平行四边形表示平面"时要向学生指出：（1) 所画的平行四边形表示它所在的整个平面，需要时可以把它延展出去；（2）有时根据需要也可用其他平面图形，如三角形、多边形、圆、椭圆等表示平面，故加上“通常”两字;(3）画表示水平平面的平行四边形时，通常把它的锐角画成 45 °,横边画成邻边的2倍．但在实际画图时，也不一定非按上述规定画不可；在画直立的平面时，要使平行四边形的一组对边画成铅垂线；在画其他位置的平面时，只要画成平行四边形就可以了;（4）画两个相交平面，一定要画出交线；(5）当用字母表示平面时，通常把表示平面的希腊字母写在平行四边形的锐角内,并且不被其他平面遮住的地方；(6）在立体几何中,被遮住部分的线段要画成虚线或不画．“确定一个平面”包含两层意思,一是存在性，即“存在一个平面”;二是唯一性，即“只存在一个平面"．故“确定一个平面"也通常说成“有且只有一个平面”。
【教学备品】教学课件．【课时安排】2课时．（90分钟）【教学过程】教学过程教师行为学生行为教学意图时间＊揭示课题9。
1 平面的基本性质*创设情境兴趣导入观察平静的湖面(图9−1(1)）、窗户的玻璃面（图9−1(2））、黑板面、课桌面、墙面等，发现它们都有一个共同的特征:平坦、光滑，给我们以平面的形象，但是它们都是有限的．(1） (2）图9−1介绍质疑引导分析了解思考启发学生思考8*动脑思考探索新知【新知识】平面的概念就是从这些场景中抽象出来的．数学中的平面是指光滑并且可以无限延展的图形．平静的湖面、窗户的玻璃面、黑板面、课桌面、墙面等，都是平面的一部分．我们知道，直线是可以无限延伸的，通常画出直线的一部分来表示直线．同样,我们也可以画出平面的一部分来表示平面．通常用平行四边形表示平面，并用小写的希腊字母αβγ、、、来表示不同的平面．如图9−2，记作平面α、平面β．讲解说明引领分析思考理解带领学生分析过 程行为 行为 意图 间 也可以用平行四边形的四个顶点的字母或两个相对顶点的字母来命名，如图9−2（1）中的平面α也可以记作平面ABCD ,平面AC 或平面BD ． 【说明】根据具体情况,有时也用其他的平面图形表示平面，如圆、三角形等．当平面水平放置的时候，通常把平行四边形的锐角画成45°,横边画成邻边的2倍长（如图9−2(1））．当平面正对我们竖直放置的时候，通常把平面画成矩形(如图9−2（2））．仔细 分析 关键 语句记忆20*巩固知识 典型例题例1 表示出正方体1111ABCD A B C D -（如图9−3）的6个面1． 【说明】如图9−3所示的正方体一般写作正方体1111ABCD A B C D -,也可以简记作正方体1A C .图9−3 说明强调 引领讲解观察 思考 主动通过例题进一步领会αABC Dβ（2）图9−2（1）过程行为行为意图间果直线l上的两个点都在平面α内,那么直线l上的所有点都在平面α内．此时称直线l在平面α内或平面α经过直线l．记作lα⊆．画直线l在平面α内的图形表示时，要将直线画在平行四边形的内部(如图9−5）．引领分析理解带领学生分析42＊创设情境兴趣导入【观察】观察教室里墙角上的一个点,它是相邻两个墙面的公共点，可以发现，除这个点外两个墙面还有其他的公共点，并且这些公共点的集合就是这两个墙面的交线．质疑思考带领学生分析45*动脑思考探索新知【新知识】由上述观察和大量类似的事实中，归纳出平面的性质2：如果两个平面有一个公共点，那么它们还有其他公共点,并且所有公共点的集合是过这个点的一条直线（如图9−6）．此时称这两个平面相交,并把所有公共点组成的直线l叫做两个平面的交线．平面α与平面β相交,交线为l，记作lαβ=.【说明】本章中的两个平面是指不重合的两个平面,两条直线是指不重合的两条直线．讲解说明引领分析思考理解带领学生分析图9−5过程行为行为意图间画两个平面相交的图形时,一定要画出它们的交线.图形中被遮住部分的线段，要画成虚线（如图9−7（1）），或者不画（如图9−7（2））。
数学基础模块下册秦静主编电子版
数学基础模块下册秦静主编电子版
以下为数学基础模块下册的部分参考内容：
一、代数基础
1. 一元二次方程的解法：配方法、公式法、完全平方式。
2. 多项式的运算：加、减、乘、除，长除法、综合除法。
3. 指数、幂、对数等基本概念的理解和运用。
二、函数与图像
1. 函数的概念和基本性质，如定义域、值域、奇偶性、单调性、周期性等。
2. 常见函数的图像和性质，如一次函数、二次函数、指数函数、对数函数、三角函数等。
3. 函数的运算：复合、反函数、逆函数等。
三、三角学
1. 基本三角函数的定义、图像和性质，如正弦函数、余弦函数、正切函数等。
2. 同角三角函数的互化公式和三角恒等式的应用。
3. 解三角形的基本方法，如正弦定理、余弦定理、正切定理等。
四、向量与坐标系
1. 二维、三维向量的概念和基本运算，如加、减、数量积、向量积等。
2. 坐标系的概念和种类，如直角坐标系、极坐标系等。
3. 坐标系中几何图形的表示和常见性质，如直线、圆、曲线等。
五、立体几何
1. 空间几何中的基本概念，如点、直线、平面、多面体等。
2. 空间几何中的性质和公式，如平面与直线的位置关系、棱锥的体积等。
3. 立体几何中的解题方法，如三视图、投影、剖面等。
以上内容仅为部分参考内容，详细内容请参见数学基础模块下册秦静主编的相关教材或资料。
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9.1 平面的基本性质
平面的基本性质2
观察下图，你能发现到什么？
9.1 平面的基本性质
平面的基本性质2
图形表述：
l
A
●
符号表述：
l
（平面与平面相交，交线为 l）
得出结论： 如果两个平面有一个公共点，那么它们一定还有其他公共点，并且所有公共点的
集合是过这个点的一条直线(即这两个平面相交)。
9.1 平面的基本性质
平面的基本性质3
（1）“
不在一条直线上”和“三点”是基本性质3的重点字眼，如果没有前者，
那么只能说“有一个平面”，但不唯一。如果将“三点”改成“四点”那么过四点不一定 确定一个平面．由此可见“不在一条直线上的三点”是确定一个平面的恰到好处的条件。
（2） 深刻理解“有且只有”的含义，这里的“有”是说平面存在，“只有”是说平 面唯一，“有且只有”强调平面存在并且唯一这两方面，这就表明这个图形是确定的，所
9.2 直线与直线平行
知识巩固
9.2 直线与直线平行
例题
如图所示： 正方体的棱所在的直线中，与直线A1B异面的 有哪些？
D1C1
C1C
CD
D 1D
AD
9.2 直线与直线平行
直线与直线平行的性质
平面内平行于同一条直线的两条直线一定平行，那么空间中的呢？
9.2 直线与直线平行
平行公理
设直线a//b，将直线a在空间中作平行移动，在平移过程中a与b仍保持平行吗 ?
9.2 直线与平面平行
直线与平面平行的性质
图形表述：
符号表述：
l // α l m
线平行 。
}
l // m
“ 线面平行，则线线平行 ”
得出结论： 一条直线和一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直
9.2 直线与平面平行
例题
判断下列命题的真假 ( 其中 a，b 表示直线，α 、β 表示平面 ) (1) 若直线 a 与平面 α 平行，则 a 与 α 内任一直线平行 . (2) 若直线 a ,b 都和平面 α 平行，则 a 与 b 平行 . (3) 若直线 a 和平面 α，β 都平行，则 α 与 β 平行 . (4) 若平面外的两条平行直线中的一条平行于这个平面，则另一条也平行 于这个平面 .
平面与平面平行的判定
： （1）如何用2根细绳来检查一把椅子的4条腿的下端是否在同一个平面呢？ （2）当三角板 ABC 的一条边平行桌面时， ABC 所在的平面是否平行桌面？ （3）当三角板 ABC 的两条边平行桌面时， ABC 所在的平面是否平行桌面？
：如果一个平面内有两条相交直线都与另一个平面平行，那么这 两个平面相互平行 .
机械设计 航天轨道 ▼ ▲
房屋设计图纸 ▲ 衣服款式立体图形 立体几何
平面的基本性质
直线与直线、直线与平面、平面与平面平行的判定与性质
立体几何
9.1 平面的基本性质
平面的概念
光滑的桌面、平整的纸张、平静的湖面等都是我们熟悉的平面形象， 数学中的平面概念是现实平面加以抽象的结果。
平面没有大小、厚薄和宽窄，平面在空间是无限延伸的。
异面直线
直线相交
平面相交
直线与平面 平行性质
9.2 直线与平面平行
平面与平面的位置关系
： 拿出两本书，看作两个平面，上下、左右移动和翻转，它们之间的 位置关系有几种？
通过观察可以发现，两本书可以平行，也可以是相交（平面 是无限延展的）。所以位置关系有平行与相交两种。
：（1）两个平面平行 没 有公共点；
9.2 直线与平面平行
例题
如图，在长方体ABCD--A`B`C`D`中，
平面A`C`，平面CD` (1) 与 AB 平行的平面是____________________________ ; 平面B`C，平面CD` (2) 与 AA`平行的平面是_________________________ ; 平面A`C`，平面BC` (3) 与 AD 平行的平面是_________________________ ;
9.2 直线与直线平行
平行公理
如图, 在长方体ABCD-A`B`C`D`中， BB`//AA` , DD`//AA` , 那么 BB`//DD` 吗？
9.2 直线与直线平行
平行公理
取一块长方形纸板ABCD, E , F 分别为 AB，CD 的中点，将纸板沿 EF 折起，在空间 中直线 AD 与 BC 的位置关系如何 ?
9.2 平面与平面平行
平面与平面平行的性质
符号表述：
// a b
}
a // b
“ 面面平行，则线线平行 ”
文字表述 ： 两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行
9.2 平面与平面平行
例题
判断下列结论是否成立： (1) 平行于同一个平面的两条直线平行 ; . (2) 平面α // β，β // γ，则α // γ. (3) 两个平面都与一条直线平行，则这两个平面平行 . (4) 一条直线与两个平行平面中的一个相交，则必与另一个相交 .
（2）两个平面相交 有 一条公共直线.
9.2 平面与平面平行
平面与平面的画法
： 两个平面平行应怎样画?相交又怎样画?
画两个互相平行的平面时，要注意使表示平面的两个平行四边形的对应边平行。
9.2 平面与平面平行
平面与平面平行的判定
如何保证乒乓球台的台面与地面平行呢？
水准器在台面上交叉放置两次，两次检测水准器内的水泡都在中间，表示乒乓球台的台面与地面平行 9.2 平面与平面平行
以也可以说成“确定一个”.
9.1 平面的基本性质
9.2 判定与性质
直线与直线平行
观察下面两张图，你能发现到什么？
9.2 直线与直线平行
直线与直线的位置关系
？ 平面内两条直线的位置关系有几种
相交直线（有一个公共点）
平行线（无公共点）
9.2 直线与直线平行
直线与直线的位置关系
？ 空间中两条直线线与平面平行的判定
球门的横梁与地面所在平面之间的位置关系是什么？
9.2 直线与平面平行
直线与平面平行的判定
图形表述：
符号表述：
a b a // b
}
a //
α
“ 面外、面内、平行 ” 三条件缺一不可
得出结论： 平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行。
9.1 平面的基本性质
平面的画法
(1)水平放置的平面： (2)垂直放置的平面：
通常把表示平面的平行四边形的锐角画成 45 °，且横边长等于其邻边长的 2 倍。
9.1 平面的基本性质
平面的画法
(3)在画图时，如果图形的一部分被另一部分遮住，可以把遮住部分画成虚线，也可以不画.
9.1 平面的基本性质
9.1 平面的基本性质
平面的基本性质3
观察下图，你能发现到什么？
9.1 平面的基本性质
平面的基本性质3
图形表述：
符号表述： ABC三点不共线推断出有且只有一个平面α，使得A α,B α, C α 即A,B,C不共线 A ,B,C确定一平面 得出结论： 过不在同一直线上的三点，有且只有一个平面 .
异面直线
平面与平面 平行性质
平面相交
平面与平面 平行性质
9.2 直线与平面平行
立体几何
立体几何
立体几何
立体几何
有的同学会问道：老师，我们现在学习立体几何由有什么用处，完全是为了应付考试的吧！ 了解它对我们有什么帮助？在生活中我们有运用到它了吗……
立体几何
学习立体几何会让你的立体感增强。以前看不出来的三维图形，现在都能看出来！ 当你的立体感增强后，在思考问题时，能做到从多个角度立体地看问题！ 你会发现实际中的应用实在是太多了，在我们生活中是随处可见的！
9.2 直线与直线平行
平行公理
从上述观察及大量类似的事实中，归纳出平行直线的性质：
我们常利用这个性质来判断两条直线平行。
9.2 直线与直线平行
直线与平面的位置关系
笔与平整的纸有多少种位置关系？
9.2 直线与平面平行
直线与平面的位置关系
①直线在平面内——有无数个公共点（交点）；a α ②直线与平面相交——有且只有一个公共点；a α ③直线与平面平行——没有公共点；a // α
平面的表示方法
平面可以用希腊字母表示，如α、β、γ 等。也可以用代表表示平面的平行四边形的四个顶点 或相对的两个顶点字母表示，如平面ABCD，平面AC或平面BD。
9.1 平面的基本性质
知识巩固
表示出长方体ABCD-A1B1C1D1的6个面。
平面AD1 平面AC 平面BC1 平面A1C1 平面DC1 平面AB1
9.1 平面的基本性质
平面的基本性质1
观察下图，你能得到什么结论？
9.1 平面的基本性质
平面的基本性质1
图形表述：
符号表述：
A l , B l; A , B l
（直线l在平面内或平面经过直线l）
得出结论： 如果一条直线上两点在一个平面内，那么这条直线上的所有的点都在这个平面内。
相交
平行
异面
9.2 直线与直线平行
异面直线的定义
观察： 在左图正方体ABCD-A1B1C1D1中，线段A1B与线段CC1 所在直线有什么特点？
定义： 不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线.
： 如图，A1C1 平面A1B1C1D1， BC
平面ABCD，问 A1C1，BC 是否是异面关系？