平面向量基本概念ppt
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平面向量概念PPT课件
（１）金属与浓硫酸反应：浓硫酸可以与除 Au、Pt外的金属加热反应，一般不产生H2， 而是产生硫的化合物SO2；
思 考：
１.反应前后溶液及铜丝有 那些变化？
铜与浓硫酸反应
２.实验发生后品红溶液有 何变化？
３.盛品红溶液试管口的棉 花起什么作用？
二、浓硫酸的化学性质
1、酸性 2、特性
A．吸水性
浓硫酸能够吸收现成的由水分子组成的水——物质本身含水。
问：在盛有少量硫酸铜晶体的试管中注入浓硫 酸，会有什么现象发生？ 蓝色会褪去。
应用：做干燥剂
CO2、Cl2、H2、O2、NO2、SO２、HCl等
不能干燥 碱性气体：NH3 还原性气体：H2S、HBr、HI
实验
在烧杯中放入少量蔗糖，用少量水调成糊状， 注入浓硫酸，用玻棒搅拌。
“黑面包”实验
2)与非金属反应
答：平行关系.
b
c
平行向量：方向相同或相反的非零向量.
记作：a // b // c
因为零向量的方向不确定，所以规定零向量与 任一向量平行.
<>
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例1:在梯形中找到平行向量.
D
C
F
E
A
B
AB、DC、EF 是一组平行向量。
练习
<>
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问题4： AB 与 BA 这两个向量的长度相等吗？
想 这两个向量平行吗？ 一 想 这两个向量相等吗？ ？
例3：在4 5达到方格中有一个向量AB,以图中 的格点为起点和终点作向量，其中与AB相等的 向量有多少个？与AB长度相等的共线向量有多少个？
B
相等的有 7个
长度相等
A
的有15个
思 考：
１.反应前后溶液及铜丝有 那些变化？
铜与浓硫酸反应
２.实验发生后品红溶液有 何变化？
３.盛品红溶液试管口的棉 花起什么作用？
二、浓硫酸的化学性质
1、酸性 2、特性
A．吸水性
浓硫酸能够吸收现成的由水分子组成的水——物质本身含水。
问：在盛有少量硫酸铜晶体的试管中注入浓硫 酸，会有什么现象发生？ 蓝色会褪去。
应用：做干燥剂
CO2、Cl2、H2、O2、NO2、SO２、HCl等
不能干燥 碱性气体：NH3 还原性气体：H2S、HBr、HI
实验
在烧杯中放入少量蔗糖，用少量水调成糊状， 注入浓硫酸，用玻棒搅拌。
“黑面包”实验
2)与非金属反应
答：平行关系.
b
c
平行向量：方向相同或相反的非零向量.
记作：a // b // c
因为零向量的方向不确定，所以规定零向量与 任一向量平行.
<>
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例1:在梯形中找到平行向量.
D
C
F
E
A
B
AB、DC、EF 是一组平行向量。
练习
<>
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问题4： AB 与 BA 这两个向量的长度相等吗？
想 这两个向量平行吗？ 一 想 这两个向量相等吗？ ？
例3：在4 5达到方格中有一个向量AB,以图中 的格点为起点和终点作向量，其中与AB相等的 向量有多少个？与AB长度相等的共线向量有多少个？
B
相等的有 7个
长度相等
A
的有15个
6.1 平面向量的概念 课件(共21张PPT)
规定： 0 和任意向量平行.
（2）相等向量—长度相等且方向相同的向量，记作 a=b .
（3）共线向量—就是平行向量.
二、探究本质 得出新知
问题12：平行向量所在直线是否一定平行？共线向量所在直线 是否一定共线？
提示：不一定
总结：向量可以自由平移.
三、举例应用 掌握定义
例1.一辆汽车从点出发向西行驶了100千米到达B点，然后又 改变方向向西偏北 50 走了200千米到达C点，最后又改变方向， 向东行驶了100千米到达点D． (1)作出向量 AB, BC,CD ； (2)求 AD .
其中正确的有( A )
A.2个
B.3个
C.4个
D.5个
解:①正确;
②由 a = b 得 a 与 b的模相等,但不确定方向,故②错误;
③错误; ④所有单位向量的模都相等,都为1,但方向不确定,故④不 正确;⑤正确.故选A.
四、学生练习 加深理解
3.如图，D, E, F 分别是 ABC 的边 AB, BC,CA的中点，在以 A, B,C, D, E, F 为起点和终点的向量中．
（1）找出与向量 EF 相等的向量； （2）找出与向量 DF 共线的向量．
四、学生练习 加深理解
解：（1）因为 E, F分别为 BC,CA 的中点，所以 EF//BA ，
且
EF
1 2
BA
.又因为
D
是BA
的中点，所以
EF
BD
DA，所以
与 EF 向量相等的向量为BD, DA .
（2）因为 D, F 分别为 BA, AC 的中点，
第六章 平面向量及其应用
6.1 平面向量的概念
一、创设情境 引入新课
问题1：道路标识牌上的箭头和数字指的是什么？ 问题2：老鼠由点A向东北方向逃窜，猫快速由点B向正东
（2）相等向量—长度相等且方向相同的向量，记作 a=b .
（3）共线向量—就是平行向量.
二、探究本质 得出新知
问题12：平行向量所在直线是否一定平行？共线向量所在直线 是否一定共线？
提示：不一定
总结：向量可以自由平移.
三、举例应用 掌握定义
例1.一辆汽车从点出发向西行驶了100千米到达B点，然后又 改变方向向西偏北 50 走了200千米到达C点，最后又改变方向， 向东行驶了100千米到达点D． (1)作出向量 AB, BC,CD ； (2)求 AD .
其中正确的有( A )
A.2个
B.3个
C.4个
D.5个
解:①正确;
②由 a = b 得 a 与 b的模相等,但不确定方向,故②错误;
③错误; ④所有单位向量的模都相等,都为1,但方向不确定,故④不 正确;⑤正确.故选A.
四、学生练习 加深理解
3.如图，D, E, F 分别是 ABC 的边 AB, BC,CA的中点，在以 A, B,C, D, E, F 为起点和终点的向量中．
（1）找出与向量 EF 相等的向量； （2）找出与向量 DF 共线的向量．
四、学生练习 加深理解
解：（1）因为 E, F分别为 BC,CA 的中点，所以 EF//BA ，
且
EF
1 2
BA
.又因为
D
是BA
的中点，所以
EF
BD
DA，所以
与 EF 向量相等的向量为BD, DA .
（2）因为 D, F 分别为 BA, AC 的中点，
第六章 平面向量及其应用
6.1 平面向量的概念
一、创设情境 引入新课
问题1：道路标识牌上的箭头和数字指的是什么？ 问题2：老鼠由点A向东北方向逃窜，猫快速由点B向正东
中职数学基础模块下册《平面向量的概念》课件
向量的投影可以看作是向量在某个方 向上的分量，通过计算向量的数量积 可以得到向量的投影。
速度和加速度的计算
在运动学中，速度和加速度可以表示 为位置向量的时间导数，通过计算向 量的数量积可以得到速度和加速度的 大小。
THANKS
感谢观看
数量积的几何意义
01
数量积表示向量a与向量b的长度 和它们之间的夹角的余弦值的乘 积。
02
当两向量同向时，数量积为两向 量长度之积；当两向量反向时， 数量积为两向量长度之差的绝对 值。
数量积的应用举例
力的合成与分解
向量的投影
在物理中，力可以视为向量，力的合 成与分解可以通过计算向量的数量积 来实现。
详细描述
向量模是表示向量长度的概念， 记作|a|。向量模具有非负性、齐 次性、三角形不等式等性质。
向量模的计算方法
总结词
掌握向量模的计算方法是实际应用中必不可少的技能。
详细描述
向量模的计算公式为|a| = 根号(x^2 + y^2)，其中x和y分别是向量在x轴和y轴上的分量。此外，还有 向量模的运算性质，如|a+b|≤|a|+|b||a-b|≤|a|+|b||a-b|≥||a|-|b||等，这些性质在实际问题中具有广泛 的应用。
平面向量数乘的定义与性质
总结词
数乘是标量与向量的乘积，结果仍为 向量，满足分配律。
详细描述
数乘是实数与向量的乘积，其实质是 标量与向量的乘积。数乘的结果仍为 向量，且满足分配律，即 m(a+b)=ma+mb。
平面向量加法与数乘的几何意义
总结词
平面向量加法的几何意义是将两个向量首尾相接， 按平行四边形法则或三角形法则确定的合成向量； 数乘的几何意义是改变向量的模长和方向。
6.1平面向量的概念课件共34张PPT
探究点二 相等向量与共线向量
如图，O是正六边形DEF的中心，分别写出图中与向量
→ OA
，
O→B，O→C相等的向量，与向量A→D共线的向量．
解析： 与O→A相等的向量有C→B，D→O，E→F； 与O→B相等的向量有F→A，E→O，D→C； 与O→C相等的向量有A→B，F→O，E→D. 与向量A→D共线的向量有9个：D→A，E→F，F→E，A→O，O→A，O→D，D→O，B→C， → CB.
探究点三 向量的表示及应用 在蔚蓝的大海上，有一艘巡逻艇在执行巡逻任务．它首先从A点出
发向西航行了200 km到达B点，然后改变航行方向，向西偏北50°航行了 400 km到达C点，最后又改变航行方向，向东航行了200 km到达D点．此时， 它完成了此片海域的巡逻任务．
(1)作出A→B，B→C，C→D； (2)求|A→D|.
[对点训练] 在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，对角线AC与BD相交于点O，EF是过点O 且平行于AB的线段，在所标的方向向量中： (1)写出与A→B共线的向量； (2)写出与E→F方向相同的向量； (3)写出与O→B，O→D的模相等的向量； (4)写出与E→O相等的向量．
解析： 在等腰梯形ABCD中，AB∥CD∥EF，AD＝BC. (1)题干图中与A→B共线的向量有D→C，E→O，O→F，E→F. (2)题干图中与E→F方向相同的向量有A→B，D→C，E→O，O→F. (3)题干图中与O→B的模相等的向量为A→O，与O→D的模相等的向量为O→C. (4)题干图中与E→O相等的向量为O→F.
→ 2．已知D为平行四边形ABPC两条对角线的交点，则|P→D|的值为( )
|AD|
A．12
B．13
C．1
D．2
平面向量概念PPT教学课件
分别写出图中与
相等的向量和共线
的向量。
答： DE、EF、FD
A
与DE 相等的向量：BF、FA
与FD相等的向量：AE
F
E
与EF 相等的向量：DB B
D
C
与DE 共线的向量：BF、FA
与FD共线的向量：AE、CE
与EF 共线的向量：DB、DC
<>
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回顾与总结
一、向量的定义 既有大小又有方向的量叫做向量
5.一般要测出六段位移x1､x2､x3､x4､x5､x6. 6.根据测量结果,利用“实验原理”中给出的公式算出加速度
a1､a2､a3的值,(注意T=0.1 s)求出a1､a2､a3的平均值,就是小 车做匀变速直线运动的加速度.
双 基 精 练 自主探究·基础备考
1.当纸带与运动物体连接时,打点计时器在纸带上打出点痕.下 列关于纸带上点痕的说法中,正确的是( )
B（终点）
注意字母的顺序是：起点在前，终点在后.
有向线段AB的长度：|AB|
有向线段的三要素：起点、方向、长度.
<>返回ຫໍສະໝຸດ 退出2）向量的表示法：
yB
①几何表示法：用有向线段表示向量
有向线段的方向表示向量的方向
有向线段的长度表示向量的大小. 0
②字母表示：
a
A x
Ⅰ、用有向线段的起点和终点的大写字母加箭
时刻的瞬时速度等于这段时间内的平均速度即
vn
xn
xn1 2T
,
求出打各个计数点时纸带的瞬时速度,再作出
v-t图象,图线的斜率即为做匀变速直线运动物体的加速度.
三､实验器材 电火花计时器或电磁打点计时器､一端附有滑轮的长木板､小
平面向量实用PPT课件PPT课件
AQ
4 3
13
9
9 第26页/共63页
例4：已知点M(-1,0),N(1,0)，且点P使 MP MN, PM PN, NM PN成公差小于零的等差数列。
（1）求点P的横坐标所满足的方程。 （2）若 为 PM与 PN的夹角，求 的取值范围。
MP MN x 1, y 2,0 2x 2 PM PN x 1,y1 x,y x2 y2 1 NM NP 2,0 x 1, y 2x 2
a
B
③几何图形：用有箭头的线段来表示； A
3.向量的模：向量的大小叫作向量的模，记作
|
a |或
AB
4.零向量：规定模为零的向量叫作零向量；记作 0
零向量的方向是不确定的！
第1页/共63页
5.向量相等：
如果向量 a和
相等的向量，
记b 的作模a 相 b等 且方向相同，那a么这两个向量叫作
规定：零向量都是相等的。
AB 4,8, AC 6,4
直线AB的方程：y=2(x-1)
1
点P（4，6） Qx, y
cosBAC
65
直线AC的方程：y=-2/3(x-1)
SABC
1 2
AB
AC sinBAC
32
Q x, 2 x 1
3
SAPQ
x
1 2
SABC
12
16
4 x
1
AP
2
12
16
AQ 13
s
inBAC x 5,3
则平行四边形的对角线所表示的向量 OC c
就叫做向量 a 和 b 的和，记作 c a b
求向量和的运算，叫做向量的加法.
第4页/共63页
2024版中职数学平面向量的概念ppt课件
01向量的定义向量是既有大小又有方向的量，通常用有向线段表示。
02向量的表示方法向量可以用小写字母或大写字母加箭头表示，如$vec{a}$或$overset{longrightarrow}{AB}$。
03向量的模向量的大小称为向量的模，记作$|vec{a}|$，模长是一个非负实数。
向量定义及表示方法03向量的模长等于有向线段的长度，可以通过勾股定理或三角函数计算。
向量的模长向量与正方向（通常是x 轴正方向）的夹角称为向量的方向角，记作$theta$，取值范围是$[0, pi]$或$[0, 180^circ]$。
方向角向量与坐标轴正方向的夹角的余弦值称为向量的方向余弦，可以通过方向角计算得到。
方向余弦向量模长与方向角模长为0的向量称为零向量，记作$vec{0}$，零向量没有方向。
零向量单位向量相反向量模长为1的向量称为单位向量，单位向量具有确定的方向。
与给定向量大小相等、方向相反的向量称为相反向量，记作$-vec{a}$。
030201零向量、单位向量和相反向量向量共线与平行关系向量共线如果两个向量在同一直线上或者平行于同一直线，则称这两个向量共线。
共线向量满足$vec{a} = kvec{b}$（$k$为实数）。
向量平行如果两个向量的方向相同或相反，则称这两个向量平行。
平行向量满足$vec{a} parallel vec{b}$。
共线与平行的关系在平面内，共线的向量一定平行，但平行的向量不一定共线。
加法定义两个向量相加，即将它们的对应分量相加得到新的向量。
几何意义向量的加法满足平行四边形法则或三角形法则，即两个向量相加的结果可以表示为以这两个向量为邻边的平行四边形的对角线，或者可以表示为将其中一个向量的终点连接到另一个向量的起点的向量。
01减法定义02几何意义两个向量相减，即将被减数的各分量减去减数的对应分量得到新的向量。
向量的减法可以表示为将减数向量的终点连接到被减数向量的起点的向量，这个向量与减数向量方向相反，大小相等。
平面向量的概念PPT课件
04
平面向量数量积概念及性 质
数量积定义及几何意义
数量积定义
两个向量的数量积是一个标量，等于它们模长的乘积与它们夹 角余弦的乘积。
几何意义
数量积反映了两个向量的相对位置和角度关系，正值表示同向， 负值表示反向，零表示垂直。
数量积性质及运算规律
性质
满足交换律、分配律、结合律，与标量乘法相容等。
运算规律
向量坐标与点坐标关系
向量坐标
向量坐标是由起点指向终点的有 向线段，在直角坐标系中可以用
两个坐标值表示。
点坐标
点坐标是直角坐标系中点的位置表 示，同样可以用两个坐标值表示。
关系
向量坐标与点坐标密切相关，向量 的起点和终点坐标可以决定向量的 坐标，而点的坐标可以用来表示向 量的起点或终点。
向量运算坐标表示法
坐标法求解向量问题
求解向量坐标
通过已知点的坐标和向量的关系，可以 求解向量的坐标。
求解向量模长
通过向量的坐标可以计算向量的模长， 进而求解与模长相关的问题。
求解向量夹角
通过向量的坐标可以计算向量的夹角， 进而求解与夹角相关的问题。
求解向量运算结果
通过向量的坐标表示法可以求解向量的 加法、减法和数乘运算结果。
向量运算满足基本定律
加法结合律
(a + b) + c = a + (b + c)
数乘结合律
(kl)a = k(la)
加法交换律
a+b=b+a
数乘分配律
k(a + b) = ka + kb
向量共线定理，使得b = λa
03
平面向量坐标表示法
直角坐标系中向量表示方法
平面向量概念ppt课件
其中正确命题是_①___④__⑤__⑥___(填命题的序号)．
“ 雪 亮 工 程 "是以区 （县） 、乡（ 镇）、 村（社 区）三 级综治 中心为 指挥平 台、以 综治信 息化为 支撑、 以网格 化管理 为基础 、以公 共安全 视频监 控联网 应用为 重点的 “群众 性治安 防控工 程”。
2．(2014 浙江)记 max{x，y}＝xy，，xx<≥yy，，min{x， y}＝yx，，xx≥<yy，，设 a，b 为平面向量，则( D )
“ 雪 亮 工 程 "是以区 （县） 、乡（ 镇）、 村（社 区）三 级综治 中心为 指挥平 台、以 综治信 息化为 支撑、 以网格 化管理 为基础 、以公 共安全 视频监 控联网 应用为 重点的 “群众 性治安 防控工 程”。
【学习目标】 1．理解平面向量的概念，理解两个向量相等的含义； 理解向量的几何表示． 2．掌握向量的加法、减法的运算，并理解其几何意 义． 3．掌握向量数乘的运算及其几何意义，理解两个向 量共线的含义． 4．了解向量线性运算的性质及其几何意义．
【解析】取 AE 的三等分点 M，使 |AM|＝
13|AE|，连结 DM. 设|AM|＝t，则|ME|＝2t. 又|AE|＝14|AC|， ∴|AC|＝12t，|EC|＝9t， ||AADB||＝||AAME||＝13，
“ 雪 亮 工 程 "是以区 （县） 、乡（ 镇）、 村（社 区）三 级综治 中心为 指挥平 台、以 综治信 息化为 支撑、 以网格 化管理 为基础 、以公 共安全 视频监 控联网 应用为 重点的 “群众 性治安 防控工 程”。
一、向量及其几何意义 例1给出下列命题： ①已知 λ，μ∈R，则(λ＋μ)a 与 a 共线； ②向量 a 与向量 b 平行，则 a 与 b 的方向相同或相反； ③向量A→B与C→D是共线向量，则 A，B，C，D 必在同一 直线上； ④四边形 ABCD 是平行四边形的充要条件是A→B＝D→C； ⑤已知 A，B，C 是不共线的三点，O 是△ABC 内的一 点，若O→A＋O→B＋O→C＝0，则 O 是△ABC 的重心； ⑥O 是平面内一定点，A，B，C 是平面内不共线的三 个点，动点 P 满足O→P＝O→A＋λ|AA→ →BB|＋|AA→ →CC|，λ∈[0，＋∞)， 则点 P 的轨迹一定通过△ABC 的内心．
“ 雪 亮 工 程 "是以区 （县） 、乡（ 镇）、 村（社 区）三 级综治 中心为 指挥平 台、以 综治信 息化为 支撑、 以网格 化管理 为基础 、以公 共安全 视频监 控联网 应用为 重点的 “群众 性治安 防控工 程”。
2．(2014 浙江)记 max{x，y}＝xy，，xx<≥yy，，min{x， y}＝yx，，xx≥<yy，，设 a，b 为平面向量，则( D )
“ 雪 亮 工 程 "是以区 （县） 、乡（ 镇）、 村（社 区）三 级综治 中心为 指挥平 台、以 综治信 息化为 支撑、 以网格 化管理 为基础 、以公 共安全 视频监 控联网 应用为 重点的 “群众 性治安 防控工 程”。
【学习目标】 1．理解平面向量的概念，理解两个向量相等的含义； 理解向量的几何表示． 2．掌握向量的加法、减法的运算，并理解其几何意 义． 3．掌握向量数乘的运算及其几何意义，理解两个向 量共线的含义． 4．了解向量线性运算的性质及其几何意义．
【解析】取 AE 的三等分点 M，使 |AM|＝
13|AE|，连结 DM. 设|AM|＝t，则|ME|＝2t. 又|AE|＝14|AC|， ∴|AC|＝12t，|EC|＝9t， ||AADB||＝||AAME||＝13，
“ 雪 亮 工 程 "是以区 （县） 、乡（ 镇）、 村（社 区）三 级综治 中心为 指挥平 台、以 综治信 息化为 支撑、 以网格 化管理 为基础 、以公 共安全 视频监 控联网 应用为 重点的 “群众 性治安 防控工 程”。
一、向量及其几何意义 例1给出下列命题： ①已知 λ，μ∈R，则(λ＋μ)a 与 a 共线； ②向量 a 与向量 b 平行，则 a 与 b 的方向相同或相反； ③向量A→B与C→D是共线向量，则 A，B，C，D 必在同一 直线上； ④四边形 ABCD 是平行四边形的充要条件是A→B＝D→C； ⑤已知 A，B，C 是不共线的三点，O 是△ABC 内的一 点，若O→A＋O→B＋O→C＝0，则 O 是△ABC 的重心； ⑥O 是平面内一定点，A，B，C 是平面内不共线的三 个点，动点 P 满足O→P＝O→A＋λ|AA→ →BB|＋|AA→ →CC|，λ∈[0，＋∞)， 则点 P 的轨迹一定通过△ABC 的内心．
《平面向量基本概念》PPT课件
3.向量AB的大小：指向量AB的长度（或称为 模 ）
记作： | A B |
4.两个特殊向量：
零向量： 长度为0的向量称为零向量 记作：0 |0|= 0?
单位向量： 长度等于1个单位长度的向量，叫做单位向量．
精选ppt
3
向量之间的关系：
5.平行向量的定义：
➢方向相同或相反的非零向量叫做平行向量。 ➢我们规定：零向量与任一向量平行，即 0//a
有向线段的三个要素：起点、方向、长度
精选ppt
14
能不能说向量就是有向线段?
因为我们现在所研究的向量，与起点位置无关. 用有向线段表示向量时，起点可以取任意位置。
所以数学中的向量也叫 自由向量
如图：它们表示2条 不同的有向线段;但 都表示同一个向量. A
B
D
C
精选ppt
15
（1）与任意向量都平行的向量是 什么向量？
b
a// b// c
c
a ,b ,c 为 共 线 向 量
B
l
O
A
C
任意一组平行向量都可以平移到同一直线上
平行向量就是共线向量
若非零向量AB//CD ，那么AB//CD吗？
精选ppt
6
例2．如图，设O是正六边形 ABCDEF的中心，分别写出图中
与向量OA、OB、OC相等的向量．
练习∶上题中
B
A
(1)向量OA与FE相等吗?
精选ppt
18
（1）若两个向量在同一条直线上，那么 这两个向量是什么向量？ （2）共线向量一定在一条直线上吗？
（3）若 a // b ,b // c ,则 a // c 成 立 吗 ?
精选ppt
19
6.1平面向量的概念课件共45张PPT
即时训练1-1:判断下列命题是否正确,若不正确,请简述理由.
(2)单位向量都相等;
解:(2)不正确,单位向量的模均相等且为1,但方向并不确定.
即时训练 1-1:判断下列命题是否正确,若不正确,请简述理由.
→
→
(3)四边形 ABCD 是平行四边形当且仅当=;
(4)一个向量方向不确定当且仅当模为 0;
有紧紧抓住概念的核心才能顺利解决与向量概念有关的问题.
即时训练 1-1:判断下列命题是否正确,若不正确,请简述理由.
→
→
(1)向量与是共线向量,则 A,B,C,D 四点必在同一直线上;
解:(1)不正确,共线向量即平行向量,只要求方向相同或相反即可,并不
→
→
要求两个向量,在同一直线上.
(3)两个特殊向量:
①零向量与非零向量:
长度为0的向量叫做零向量.印刷时用加粗的阿拉伯数字零表示,即0;书写
→
时,可写为.长度不为 0 的向量称为非零向量.
②单位向量:长度等于1个单位长度的向量,叫做单位向量.
2.向量间的关系
(1)平行向量(共线向量):方向相同或相反的非零向量叫做平行向量,向量
图所示的向量中,
→
→
(1)分别找出与, 相等的向量;
→
→
→
→
解:(1)=,=.
[例 2] O 是正方形 ABCD 对角线的交点,四边形 OAED,OCFB 都是正方形,在如
图所示的向量中,
→
(2)找出与共线的向量;
→
→
→
→
解:(2)与共线的向量有,,.
[例 2] O 是正方形 ABCD 对角线的交点,四边形 OAED,OCFB 都是正方形,在如
平面向量ppt
平面向量的基本定理
如果e1和e2是同一平面内的两个不 共线向量，那么对该平面内的任一向量a， 有且只有一对实数λ、μ，使a= λ*e1+ μ*e2。
相关练习 1．若a =0，则对任一向量b ，有 a · b=0. 2．若a ≠0，则对任一非零向量b , 有a · b≠0． 错（当a⊥b时， a · b=0） 3．若a ≠0，a · b =0，则b=0 错 （当a和b都不为零，且a⊥b时， a · b=0） 4．若a · b=0，则a · b中至少有 一个为0. 错
3、数乘运算： 实数λ与向量a的积是一个向量，这 种运算叫做向量的数乘，记作λa， |λa|=|λ||a|，当λ > 0时，λa的方 向和a的方向相同，当λ < 0时，λa的 方向和a的方向相反，当λ = 0时，λa= 0。 设λ、μ是实数，那么：（1） (λμ)a= λ(μa)（2）(λ + μ)a= λa+ μa（3）λ(a± b) = λa± λb （4）(－λ)a=－(λa) = λ(－a)。
在平面直角坐标系内，每一个平面向量 都可以用一对实数唯一表示。 注意：平面向量的坐标与点的坐标 不一样，平面向量的坐标是相对的。而 点的坐若一向量的起点在原点，例如该 向量为（1，2）那么该向量上的所有点 都可以用（a，2a）表示。即，若一向量 的起点在原点，那么该向量上的任意一 点的横纵坐标比例关系与向量坐标的比 例关系是一样的。
a·b的几何意义：数量积a·b等于a的长 度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos θ 的乘积。 两个向量的数量积等于它们对应坐 标的乘积的和。即：若 a=(x1,y1),b=(x2,y2),则 a·b=x1x2+y1y2 向量的数量积的性质 (1)a·a=∣a∣^2≥0 (2)a·b=b·a (3)k(ab)=(ka)b=a(kb)
高一数学平面向量的概念及线性运算PPT优秀课件
a＋b＝λLeabharlann a－b)，即(λ－1)a＝(1＋λ)b，
∴ λ－1＝0 1＋λ＝0
，λ 无解，故假设不成立，即 a＋b 与 a－b 不平行，故选 D.
错源二：向量有关概念理解不当
【例2】 如图，由一个正方体的12条棱构成的向量组成了一个集合M，则集合M的元 素个数为________．
错解：正方体共有12条棱，每条棱可以表示两个向量，一共有24个向量．答案是24. 错解分析：方向相同长度相等的向量是相等向量，故AA1―→＝BB1―→＝CC1―→ ＝ DD1―→ ， AB―→ ＝ DC―→ ＝ D1C1―→ ＝ A1B1―→ ， AD―→ ＝ BC―→ ＝ B1C1―→＝A1D1―→.错解的原因是把相等的向量都当成不同的向量了． 正解：12条棱可以分为三组，共可组成6个不同的向量，答案是6. 答案：6
错解分析：错解一，忽视了 a≠0 这一条件．错解二，忽视了 0 与 0 的区别，AB―→＋
BC―→＋CA―→＝0；错解三，忽视了零向量的特殊性，当 a＝0 或 b＝0 时，两个等号同时
成立．
正解：∵向量 a 与 b 不共线，
∴a，b，a＋b 与 a－b 均不为零向量．
若 a＋b 与 a－b 平行，则存在实数 λ，使
∴|AM―→|＝12|AD―→|＝12|BC―→|＝2.故选 C.
【例2】 (2010年安徽师大附中二模)设O在△ABC的内部，且OA―→＋OB―→＋ 2OC―→＝0，则△ABC的面积与△AOC的面积之比为( ) (A)3 (B)4 (C)5 (D)6
解析：由 OC―→＝－12(OA―→＋OB―→)，设 D 为 AB 的中点， 则 OD―→＝12(OA―→＋OB―→)， ∴OD―→＝－OC―→，∴O 为 CD 的中点， ∴S△AOC＝12S△ADC＝14S△ABC，∴SS△△AAOBCC＝4.故选 B.
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它们的终点的轨迹是什么图形？
-
例1.试根据图中的比例尺以及三地的位置,在图 中分别用向量表示A地至B、C两地的位移，并 求出A地至B、C两地的实际距离(精确到1km).
1:8000000
-
向量的定义：
既有大小，又有方向的量叫做向量（物理学中称 为矢量） 只有大小，没有方向的量（如年龄、身高、长度 等）叫做数量（物理学中称为标量）
B
D
C
-
（1）与任意向量都平行的向量是 什么向量？ （2）与零向量相等的向量必定是 什么向量？ （3）单位向量是相等向量吗？
-
判断： （1）平行向量是否方向一定相同？ （2）不相等的向量一定不平行吗？
-
下列结论正确的是： （1）如果两向量相等，那么它们的 起点和终点分别重合； （2）两个相等向量的模相等； （3）任一向量与它的相反向量 (长度相同,方向相反的向量)不相等.
四边形BCMD是平行四边形，请分别写出：
（1）与CM模相等且共线的向量； A （2）与FE相等的向量。
解：（1）EF、BD、DA、MC D FE、DB、AD
F
M
（2）DB、MC、AD
B
E
C
-
带有方向的线段叫做有向 线段，以A为起点、B为终点 的有向线段记作AB。
思考：一条有向线段由哪几个基本要素所确定？
有向线段的三个要素：起点、方向、长度
-
能不能说向量就是有向线段?
因为我们现在所研究的向量，与起点位置无关. 用有向线段表示向量时，起点可以取任意位置。
所以数学中的向量也叫 自由向量
如图：它们表示2条 不同的有向线段;但 都表示同一个向量. A
平行向量就是共线向量
-
课本P77 习题2.1 A组 2、3
-
两个特殊向量：
1、零向量：长度为 0 的向量。记作 0 2、单位向量：长度为 1 个单位长度的向量。
零向量大小为0，方向不确定的.可以是任意方向. 单位向量大小为1，方向不一定相同。 所以单位向量可以有无数个。
1
思考：平面直角坐标系内，起点在原点的单位向量，
(2)任意两个相等的非零向量,都可用同一条有向线 段来表示,并且与有向线段的起点无关.即两个长度 相等且指向一致的有向线段表示同一个向量.
： 判 对 (3)向 于量 向 若 a之 量 断 b间 或|a只 a |向 b有 |,这 b |相 ，则 种 ,没 a 等 说 量 有 关 b 法大 系 是 。小错 ，之的分
-
例2．如图，设O是正六边形 ABCDEF的中心，分别写出图中
与向量OA、OB、OC相等的向量．
练习∶上题中
B
A
(1)向量OA与FE相等吗?
(2)与向量 OA长度相等的向量 C
有多少个？ 11
O F
（3）与向量 OA共线的向量有
哪几个？
D
E
CB DO FE
-
★题 １ ２ ３ ★★题 ４ ５ ★★★题 ６
相等向量一定是平行向量吗? 平行向量一定是相等向量吗?
向量相等
向量平行
-
r
向量之间的关系：
a
r
7.共线向量与平行向量的关系：
b
rrr a// b// c
r c
a r,b r,c r为 共 线 向 量
B
l
O
A
C
任意一组平行向量都可以平移到同一直线上
平行向量就是共线向量
若非零向量AB//CD ，那么AB//CD吗？
用有向线段表示；
有向线段的长度表示向量的大小
箭头所指的方向表示向量的方向
a B（终点）
A（起点）
(2) 字母表示：
i)用有向线段的起点与终点字母来表示；
上述向量可表示为：
uuur AB
注意：起点一定要写在终点的前面
ii)用小写的字母来表示；
rrr 如 ： a,b,c… …
-
有向线段：
B（终点）
A（起点）
ra b
r 记 做 ： a r//br//cr
c
r
ur
e
f
ru r 那 么 e 与 f 之 间 是 什 么 关 系 ？
两向量的平行与平面几何里两线段的平行有什么区别？ -
向量之间的关系：
6.相等向量的定义： 长度相等且方向相同的向量。
， ： ( 1 ) 向 a 与 b 相 量 记 等 a 作 b规定：0 = 0
-
（1）若两个向量在同一条直线上， 那么这两个向量是什么向量？ （2）共线向量一定在一条直线上吗？
（3）若 a /b / ,b /c /,则 a /c /成？ 立吗
-
设O为正△ABC的中心，则向量AO，B0，CO是 （ B）
A.相等向量
B.模相等的向量
C.共线向量
D.共起点的向量
-
如图，Ｄ、E、F分别是△ABC各边上的中点，
3.向量AB的大小：指向量AB的长度（或称为 模 ）
u u ur 记作： | A B |
4.两个特殊向量：
rr 零向量： 长度为0的向量称为零向量 记作：0 | 0 | = ?0
单位向量： 长度等于1个单位长度的向量，叫做单位向量． -
向量之间的关系：
5.平行向量的定义：
➢➢方我向们r 相规同定或：相零反向的量非与零任向一量向量叫平做行平，行即向量0。//a
英林中学高一数学组 林秀芬
-
2.猫能捉住老鼠吗?
•老鼠由A向东北方向以6m/s 的速度逃窜,而猫由B向东南 方向10m/s的速度追. 问猫能 否抓到老鼠?
A
B
-
嘻嘻!大笨猫！
C
唉, 哪儿去了?
D
向量的概念及表示：
1.向量的定义： 既有大小又有方向的量称为向量.
2.向量的表示方法：
1）几何表示； 2）字母表示；
数量与向量的区别：数量只有大小，是一个代数量，可以进 行代数运算、比较大小；向量有方向，大小，双重性，不能 比较大小。
【练习】在质量、重力、路程、速度、加速度、 时间、功、面积、位移这些量中，哪些是数量？ 哪些是向量？ 数量有：质量 路程 时间 功 面积
向量有：重力 速度 加速度 位移 -
(1) 几何表示：向的量称为向量. 2.向量的表示方法：1）几何表示；2）字母表示； 3.向量的大小又称为： 模 4.两个特殊向量：
零向量： 长度为0的向量称为零向量 单位向量： 长度等于1个单位长度的向量，叫做单位向量． 5.平行向量的定义：方向相同或相反的非零向量.0// a 6.相等向量的定义: 长度相等且方向相同的向量。 相反向量的定义： 长度相等且方向相反的向量。 7.共线向量与平行向量的关系：
-
例1.试根据图中的比例尺以及三地的位置,在图 中分别用向量表示A地至B、C两地的位移，并 求出A地至B、C两地的实际距离(精确到1km).
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向量的定义：
既有大小，又有方向的量叫做向量（物理学中称 为矢量） 只有大小，没有方向的量（如年龄、身高、长度 等）叫做数量（物理学中称为标量）
B
D
C
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（1）与任意向量都平行的向量是 什么向量？ （2）与零向量相等的向量必定是 什么向量？ （3）单位向量是相等向量吗？
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判断： （1）平行向量是否方向一定相同？ （2）不相等的向量一定不平行吗？
-
下列结论正确的是： （1）如果两向量相等，那么它们的 起点和终点分别重合； （2）两个相等向量的模相等； （3）任一向量与它的相反向量 (长度相同,方向相反的向量)不相等.
四边形BCMD是平行四边形，请分别写出：
（1）与CM模相等且共线的向量； A （2）与FE相等的向量。
解：（1）EF、BD、DA、MC D FE、DB、AD
F
M
（2）DB、MC、AD
B
E
C
-
带有方向的线段叫做有向 线段，以A为起点、B为终点 的有向线段记作AB。
思考：一条有向线段由哪几个基本要素所确定？
有向线段的三个要素：起点、方向、长度
-
能不能说向量就是有向线段?
因为我们现在所研究的向量，与起点位置无关. 用有向线段表示向量时，起点可以取任意位置。
所以数学中的向量也叫 自由向量
如图：它们表示2条 不同的有向线段;但 都表示同一个向量. A
平行向量就是共线向量
-
课本P77 习题2.1 A组 2、3
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两个特殊向量：
1、零向量：长度为 0 的向量。记作 0 2、单位向量：长度为 1 个单位长度的向量。
零向量大小为0，方向不确定的.可以是任意方向. 单位向量大小为1，方向不一定相同。 所以单位向量可以有无数个。
1
思考：平面直角坐标系内，起点在原点的单位向量，
(2)任意两个相等的非零向量,都可用同一条有向线 段来表示,并且与有向线段的起点无关.即两个长度 相等且指向一致的有向线段表示同一个向量.
： 判 对 (3)向 于量 向 若 a之 量 断 b间 或|a只 a |向 b有 |,这 b |相 ，则 种 ,没 a 等 说 量 有 关 b 法大 系 是 。小错 ，之的分
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例2．如图，设O是正六边形 ABCDEF的中心，分别写出图中
与向量OA、OB、OC相等的向量．
练习∶上题中
B
A
(1)向量OA与FE相等吗?
(2)与向量 OA长度相等的向量 C
有多少个？ 11
O F
（3）与向量 OA共线的向量有
哪几个？
D
E
CB DO FE
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★题 １ ２ ３ ★★题 ４ ５ ★★★题 ６
相等向量一定是平行向量吗? 平行向量一定是相等向量吗?
向量相等
向量平行
-
r
向量之间的关系：
a
r
7.共线向量与平行向量的关系：
b
rrr a// b// c
r c
a r,b r,c r为 共 线 向 量
B
l
O
A
C
任意一组平行向量都可以平移到同一直线上
平行向量就是共线向量
若非零向量AB//CD ，那么AB//CD吗？
用有向线段表示；
有向线段的长度表示向量的大小
箭头所指的方向表示向量的方向
a B（终点）
A（起点）
(2) 字母表示：
i)用有向线段的起点与终点字母来表示；
上述向量可表示为：
uuur AB
注意：起点一定要写在终点的前面
ii)用小写的字母来表示；
rrr 如 ： a,b,c… …
-
有向线段：
B（终点）
A（起点）
ra b
r 记 做 ： a r//br//cr
c
r
ur
e
f
ru r 那 么 e 与 f 之 间 是 什 么 关 系 ？
两向量的平行与平面几何里两线段的平行有什么区别？ -
向量之间的关系：
6.相等向量的定义： 长度相等且方向相同的向量。
， ： ( 1 ) 向 a 与 b 相 量 记 等 a 作 b规定：0 = 0
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（1）若两个向量在同一条直线上， 那么这两个向量是什么向量？ （2）共线向量一定在一条直线上吗？
（3）若 a /b / ,b /c /,则 a /c /成？ 立吗
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设O为正△ABC的中心，则向量AO，B0，CO是 （ B）
A.相等向量
B.模相等的向量
C.共线向量
D.共起点的向量
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如图，Ｄ、E、F分别是△ABC各边上的中点，
3.向量AB的大小：指向量AB的长度（或称为 模 ）
u u ur 记作： | A B |
4.两个特殊向量：
rr 零向量： 长度为0的向量称为零向量 记作：0 | 0 | = ?0
单位向量： 长度等于1个单位长度的向量，叫做单位向量． -
向量之间的关系：
5.平行向量的定义：
➢➢方我向们r 相规同定或：相零反向的量非与零任向一量向量叫平做行平，行即向量0。//a
英林中学高一数学组 林秀芬
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2.猫能捉住老鼠吗?
•老鼠由A向东北方向以6m/s 的速度逃窜,而猫由B向东南 方向10m/s的速度追. 问猫能 否抓到老鼠?
A
B
-
嘻嘻!大笨猫！
C
唉, 哪儿去了?
D
向量的概念及表示：
1.向量的定义： 既有大小又有方向的量称为向量.
2.向量的表示方法：
1）几何表示； 2）字母表示；
数量与向量的区别：数量只有大小，是一个代数量，可以进 行代数运算、比较大小；向量有方向，大小，双重性，不能 比较大小。
【练习】在质量、重力、路程、速度、加速度、 时间、功、面积、位移这些量中，哪些是数量？ 哪些是向量？ 数量有：质量 路程 时间 功 面积
向量有：重力 速度 加速度 位移 -
(1) 几何表示：向的量称为向量. 2.向量的表示方法：1）几何表示；2）字母表示； 3.向量的大小又称为： 模 4.两个特殊向量：
零向量： 长度为0的向量称为零向量 单位向量： 长度等于1个单位长度的向量，叫做单位向量． 5.平行向量的定义：方向相同或相反的非零向量.0// a 6.相等向量的定义: 长度相等且方向相同的向量。 相反向量的定义： 长度相等且方向相反的向量。 7.共线向量与平行向量的关系：