2020年上海普陀区初三数学一模试卷与答案

普陀区2019学年度第一学期初三质量调研
数 学 试 卷
（时间：100分钟，满分：150分）
考生注意：
1．本试卷含三个大题，共25题．答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，
在草稿纸、本试卷上答题一律无效．
2．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主要步骤．
一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）
[下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上]
1．已知
3
5
x y =，那么下列等式中，不一定正确的是（ ▲ ） （A ）5=3x y ； （B ）+8x y =； （C ）
+85x y y =； （D ）3
5
x x y y +=
+． 2．下列二次函数中，如果函数图像的对称轴是y 轴，那么这个函数是（ ▲ ）
（A ）22y x x =+； （B ）221y x x =++； （C ）22y x =+； （D ）2(1)y x =-．
3．已知在Rt △ABC 中，90C ∠=︒，1
sin 3
A =
，那么下列说法中正确的是（ ▲ ）
（A ）1
cos 3B =； （B ）1cot 3
A =； （C ）tan A =； （D ）cot
B =． 4．下列说法中，正确的是（ ▲ ）
（A ）如果0k =，a 是非零向量，那么0ka =；
（B ）如果e 是单位向量，那么1e =；
（C ）如果b a =，那么b a =或b a =-；
（D ）已知非零向量a ，如果向量5b a =-，那么a ∥b ．
5．如果二次函数()2
y x m n =-+的图像如图1所示，
那么一次函数y mx n =+的图像经过（ ▲ ） （A ）第一、二、三象限； （B ）第一、三、四象限； （C ）第一、二、四象限； （D ）第二、三、四象限．
6．如图2，在Rt △ABC 中，90ACB ∠=︒，CD AB ⊥，垂足为点D ，如果
3
2
ADC CDB C C =△△，
9AD =，那么BC 的长是（ ▲ ）
（A ）4； （B ）6； （C
）； （D
）．
二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分） 7．化简：12()()2
a b a b →
→
→→+
--= ▲ ． 8．抛物线2(2)y a x =-在对称轴左侧的部分是上升的，那么a 的取值围是 ▲ ．
9．已知函数2()321f x x x =--，如果2x =，那么()f x = ▲ ．
10．如果抛物线22y ax ax c =++与x 轴的一个交点的坐标是(1,0)，那么与x 轴的另一个
交点的坐标是 ▲ ．
11．将二次函数222y x x =-+的图像向下平移m (0)m >个单位后，它的顶点恰好落在x
轴上，那么m 的值等于 ▲ ．
12．已知在Rt △ABC 中，90C ∠=︒，1cot 3
B =，2B
C =，那么AC = ▲ ．
13．如图3，△ABC 的中线AD 、CE 交于点G ，点F 在边AC 上，GF //BC ，那么
GF
BC
的值是 ▲ ．
14．如图4，在△ABC 与△AED 中，
AB BC
AE ED
=
，要使△ABC 与△AED 相似，还需添加 一个条件，这个条件可以是 ▲ ．（只需填一个条件）
15． 如图5，在Rt △ABC 中，90C ∠=︒，AD 是三角形的角平分线，
如果AB =
，AC =那么点D 到直线AB 的距离等于 ▲ ．
16．如图6，斜坡AB 长为100米，坡角30ABC ∠=︒，现因“改小坡度”工程的需要，将斜
坡AB 改造成坡度1:5i =的斜坡BD （A 、D 、C 三点在地面的同一条垂线上），那么由点A 到点D 下降了 ▲ 米．（结果保留根号）
图3
17．如图7，在四边形ABCD 中，90ABC ∠=︒，对角线AC 、BD 交于点O ，AO CO =，
CD BD ⊥，如果3CD =，5BC =，那么AB = ▲ ．
18．如图8，在Rt △ABC 中，90C ∠=︒，5AC =，5
sin 13
B =
，点P 为边BC 上一点，3PC =， 将△ABC 绕点P 旋转得到△A B C '''（点A 、B 、C 分别与点A '、B '、C '对应），使
B C ''//AB ，边A C ''与边AB 交于点G ，那么A G '的长等于 ▲ ．
三、解答题：（本大题共7题，满分78分）
19．（本题满分10分）
计算：
22
2sin 60cos60tan 604cos45︒-︒︒-︒．
20.（本题满分10分）
如图9，在△ABC 中，点D 、E 、F 分别在边AB 、AC 、BC 上，DE //BC ，EF //AB ，
:1:3AD AB =．
（1）当5DE =时，求FC 的长；
（2）设AD a =，CF b =，那么FE = ▲ ，EA = ▲ （用向量a 、b 表示）．
21．（本题满分10分）
如图10，在△ABC 中，点P 、D 分别在边BC 、AC 上，PA AB ⊥，
垂足为点A ，DP BC ⊥，
垂足为点P ，
AP BP
PD CD
=
． （1）求证：APD C ∠=∠；
（2）如果3AB =，2DC =，求AP 的长．
22．（本题满分10分）
函数m y x =
与函数x
y k
=（m 、k 为不等于零的常数）的图像有一个公共点()3,2A k -，其中正比例函数y 的值随x 的值增大而减小，求这两个函数的解析式．
23．（本题满分12分）
已知：如图11，四边形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，AOD BOC S S =△△．
（1）求证：
OA
CO
OB DO =
； （2）设△OAB 的面积为S ，k AB
CD
=，求证：2(1)ABCD S k S =+四边形．
24．（本题满分12分）
在平面直角坐标系xOy 中（如图12），已知抛物线28
()3
y ax a x c =+++(0)a ≠经过点A ()3,2--，与y 轴交于点B ()0,2-，抛物线的顶点为点C ，对称轴与x 轴交于点D ．
（1）求抛物线的表达式及点C 的坐标；
（2）点E 是x 轴正半轴上的一点，如果AED BCD ∠=∠，求点E 的坐标；
（3）在（2）的条件下，点P 是位于y 轴左侧抛物线上的一点，如果△PAE 是以AE 为直角边的直角三角形，求点P 的坐标．
25．（本题满分14分）
如图13，在梯形ABCD 中，AD //BC ，90C ∠=︒，2AD =，5BC =，3DC =，点E 在边BC 上，tan 3AEC ∠=．点M 是射线DC 上一个动点（不与点D 、C 重合），联结BM 交射线AE 于点N ，设DM x =，AN y =． （1）求BE 的长；
（2）当动点M 在线段DC 上时，试求y 与x 之间的函数解析式，并写出函数的定义域； （3）当动点M 运动时，直线BM 与直线AE 的夹角等于45︒，请直接写出这时线段DM 的
长．
备用图
普陀区2019学年度第一学期初三质量调研数学试卷
参考答案及评分说明
一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）
1．(B)； 2．(C)； 3．(A)； 4．(D)； 5．(B)； 6．(C)．
二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）
三、解答题
7． 2a b →→
+； 8． 2a <； 9． 7； 10．30-(,) ； 11．1； 12．6；
13． 13
；
14．B E ∠=∠（
AB AC
AE AD
=
等）； 15．2 ； 16
．50-； 17．
15
4
； 18．
20
13
．
（本大题共7题，其中第19---22题每题10分，第23、24题每题12分，第25题14分，满分78分）
19
．解：原式212⨯-= ··································································· （4分）
31-=
······················································································· （3分）
3=+． ······················································································ （3分）
20．解：（1）∵DE //BC ，EF //AB ，
∴DE BF =． ··················································································· （1分） ∵5DE =，∴5BF =． ······································································ （1分） ∵DE //BC ， ∴
AD DE
AB BC
=
． ·················································································· （1分） ∵
13AD AB =，∴51
3
BC =． ·
··································································· （1分） 解得 15BC =， ················································································· （1分） 10FC =． ························································································ （1分） （2）FE =2a -，EA =1
2
a b -+． ························································ （2分+2分）
21．解：（1）∵PA AB ⊥，DP PC ⊥，
∴90BAP CPD ∠=∠=︒． ···································································· （1分） 在Rt △ABP 与Rt △PCD 中，
AP BP PD CD
=， ∴Rt △ABP ∽Rt △PCD ． ··································································· （1分） ∴APB PDC ∠=∠． ··········································································· （1分） ∵DPB APB APD ∠=∠+∠，DPB PDC C ∠=∠+∠，
得APD C ∠=∠． ··············································································· （2分）
（2）∵Rt △ABP ∽Rt △PCD ．
∴B C ∠=∠．
∴AB AC =．···················································································· （1分） ∵3AB =，2DC =，∴1AD =．·························································· （1分） ∵APD C ∠=∠，PAD CAP ∠=∠，
∴△APD ∽△ACP ． ········································································ （1分） ∴AD AP AP AC
=． ················································································ （1分）
得AP = ···················································································· （1分）
22．解：由点A ()3,2k -在函数x y k
=的图像上，可得 32k k -=
． ················································································ （1分） 整理，得2230k k --=． ··································································· （1分）
解得 13k =，21k =-． ····································································· （2分） ∵正比例函数y 的值随x 的值增大而减小，
∴1k =-． ························································································ （2分） 得 y x =-，点A ()3,3-． ································································· （2分） 由点A ()3,3-在函数m y x
=的图像上，可得 9m =-． ·
·················································································· （1分） ∴9y x
=-． ····················································································· （1分） 两个函数的解析式分别为y x =-，9y x =-
．
23．证明：
（1）过点A 作AH ⊥BD ，垂足为点H . ···················································· （1分）
∵S △AOD =AH DO ⋅⋅21, S △AOB =AH OB ⋅⋅2
1, ∴OB DO AH OB AH DO S S AOB
AOD =⋅⋅⋅⋅=∆∆2121. ····························································· （2分） 同理，BOC AOB S CO S OA
∆∆=． ·········································································· （1分） ∵AOD BOC S S =△△， ∴DO CO OB OA
=． ··············································································· （1分）
（2）∵OA
CO OB DO =，AOB COD ∠=∠， ∴△OCD ∽△OAB ． ····································································· （1分）
AB BO AO
22k AB CD S S OAB OCD =⎪⎭
⎫ ⎝⎛=∆∆． ·································································· （1分） ∵△OAB 的面积为S ，∴S k S OCD ⋅=∆2. ············································· （1分） 又∵k OB
DO S S OAB AOD ==∆∆，∴S k S AOD ⋅=∆． ············································ （1分） 同理，S k S BOC ⋅=∆. ······································································ （1分） ∴AOB BOC COD DOA ABCD S S S S S =+++△△△△四边形
S k S k S k S ⋅+⋅+⋅+=2
S k k ⋅++=)12(2
S k 2)1(+=．································································· （1分）
24．解：（1）由抛物线28
()3
y ax a x c =+++经过点A ()3,2--和点B ()0,2-， 得2,893() 2.3c a a c =-⎧⎪⎨-++=-⎪⎩ 解得4,32.
a c ⎧=⎪⎨⎪=-⎩ ··············································· （2分） ∴抛物线的表达式是24423
y x x =+-． ············································· （1分） 点C 的坐标是3(,5)2
--． ··································································· （1分）
（2）联结AB 交CD 于点F ，过点A 作AH OD ⊥，H 为垂足．
∵A ()3,2--，B ()0,2-，∴3AB =．
2
∵5CD =，∴3CF =．
在Rt △BCF 中，1tan 2
BF BCF CF ∠==． ················································· （1分） 在Rt △AEH 中，tan AH AEH EH ∠=
， ∵AED BCD ∠=∠， ∴12
AH EH =．∴4EH =． ···································································· （1分） ∵3OH =，∴1OE =．
∴点E 的坐标是()1,0． ······································································· （1分）
（3）∵△PAE 是以AE 为直角边的直角三角形， ∴90PAE ∠=︒或90PEA ∠=︒．
设点P 点的坐标为24(,42)3
m m m +-．
①当90PAE ∠=︒时，点P 只能在AE 的下方．
过点P 作PG AH ⊥，G 为垂足． ∴3PG m =+，2443
AG m m =--． ∵GAE AHE AEH ∠=∠+∠，GAE PAE PAG ∠=∠+∠，
∴PAG AEH ∠=∠．∴tan tan PAG AEH ∠=∠． ∴PG AH AG EH =．∴23142
43
m m m +=--． ··················································· （1分） 解得3m =-，32
m =-． ∵3m =-不合题意舍去，∴32
m =-．
2
②当90PEA ∠=︒时．
同理可得点P 的坐标是． ··································· （2分） 25．解：（1）过点A 作AH BC ⊥，H 为垂足．
∵AH BC ⊥，∴90AHE ∠=︒．
∵90C ∠=︒，∴AHE C ∠=∠．∴AH //DC ．
∵AD //BC ，3DC =∴3AH DC ==． ······························································· （1分） 同理可得2HC AD ==． ··························································································· （1分） 在Rt △AEH 中，90AHE ∠=︒，tan 3AEH ∠=，∴3AH HE
=． ∴1EH =． ················································································································ （1分） ∵5BC =，∴2BE =． ····························································································· （1分）
（2）延长BM 、AD 交于点G ． ············································································· （1分） ∵DG //BC ，∴DG DM BC MC
=． 由DM x =，3DC =，5BC =， 得53DG x x =-，解得53x DG x
=-． ·········································································· （1分） ∴633x AG x
+=-． ········································································································· （1分） ∵AG //BC ，∴
AN AG BN BE =． 在Rt △AEH 中，90AHE ∠=︒，1EH =，3AH =，。