2019年山西省忻州市办事处联校高三数学理联考试题含解析

2019年山西省忻州市办事处联校高三数学理联考试题
含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 已知，，c=，则a，b，c的大小关系为（）
A. c<b<a
B.c<a<b
C.b<a<c
D.b<c<a 参考答案：
A
2. （理）已知ABCD是边长为4的正方形，E、F分别是AB、AD的中点，GC垂直于ABCD所在的平面，且GC=2，点B到平面EFG的距离
为（）
A． B． C．
D．
参考答案：
B
3. 集合，，则下列关系中，正确的是( )
A．；B.；C. ；D.
参考答案：
D
4. 如果满足，且，那么下列选项不恒成立的是（）．
（A）（B）（C）（D）
参考答案：
B
略
5. 不等式的解集为（）
A．（-1，1）B．（-1，0）C．（0，1）D．（0，2）
参考答案：
C
6. 函数的定义域为（）
A．［0，
1］ B．（）C．［，
1］ D．（）（1，+∞）
参考答案：
B
7. 在等差数列{a n}中，7a5+5a9=0，且a9>a5，则使数列前n项和S n取得最小值的n 等于（）
A．5 B．6 C ．7 D．8
参考答案：
B
8. 已知函数，则的大小关系是（）
A．B．
C．D．
参考答案：
B
9. 已知恒成立的x的取值范围是 A． B． C． D．
参考答案：
C
，所以要使不等式恒成立，则有恒成立，即
，所以，因为，所以，即，所以使不等式恒成立的的取值范围是，选C.
10. 某几何体的三视图如图所示，则它的体积是
A． B． C． D．
参考答案：
A
略
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 已知双曲线的焦距为，右顶点为A，抛物线
的焦点为F，若双曲线截抛物线的准线所得线段长为，且，则双曲线的渐近线方程为。

参考答案：
由题意知，
抛物线准线与双曲线的一个交点坐标为，
即代入双曲线方程为，得，
渐近线方程为.
12. 已知为正实数，且满足，则使恒成立的的取值范围为_________
参考答案：
略
13. 函数的图象与直线有且仅有两个不同的交点，则的取值范围是_________
参考答案：
14. 二项式展开式中，除常数项外，各项系数的和为。

参考答案：
671
略
15. 设则从小到大的关系为___________
参考答案：
16. 已知S n是等差数列{a n}（n∈N*）的前n项和，且S6＞S7＞S5，有下列五个命题：
①d＜0；
②S11＞0；
③S12＜0；
④数列{S n}中的最大项为S11；
⑤|a6|＞|a7|．
其中正确的命题是（写出你认为正确的所有命题的序号）
参考答案：
①、②、⑤
【考点】等差数列的性质．
【专题】等差数列与等比数列．
【分析】先由条件确定第六项和第七项的正负，进而确定公差的正负，再将S11，S12由第六项和第七项的正负判定，结合a6＞0，a7＜0，且a6+a7＞0判断⑤．
【解答】解：由题可知等差数列为a n=a1+（n﹣1）d，
由s6＞s7有s6﹣s7＞0，即a7＜0，
由s6＞s5同理可知a6＞0，
则a1+6d＜0，a1+5d＞0，
由此可知d＜0 且﹣5d＜a1＜﹣6d．
∵，
∴s11=11a1+55d=11（a1+5d）＞0，
s12=12a1+66d=12（a1+a12）=12（a6+a7），
∵S7＞S5，∴S7﹣S5=a6+a7＞0，
∴s12＞0．
由a6＞0，a7＜0，且a6+a7＞0，
可知|a6|＞|a7|．
即①②⑤是正确的，③④是错误的．
故答案为：①、②、⑤．
【点评】本题主要考查等差数列的前n项和公式的应用，体现了数学转化思想方法，是中档题．
17. 某大型家电商场为了使每月销售和两种产品获得的总利润达到最大，对某月即将出售的和进行了相关调査，得出下表:
如果该商场根据调查得来的数据，月总利润的最大值为元．
参考答案：
.
考点：线性规划.
【名师点睛】本题考查线性规划，属中题；线性规划也是高考中常考的知识点,一般以客观题形式出现,基本题型是给出约束条件求目标函数的最值,常见的结合方式有:纵截距、斜率、两点间的距离、点到直线的距离,解决此类问题常利用数形结合,准确作出图形是解决问题的关键.
三、解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. （本小题满分12分）设函数，曲线过点，且在点处的切线方程为.
（Ⅰ）求，的值；
（Ⅱ）证明：当时，；
（Ⅲ）若当时，恒成立，求实数的取值范围．
参考答案：
(Ⅰ)，
，
，
．………………………………4分(Ⅱ)，
设，，
，在上单调递增，
，在上单调递增，．
．………………………………8分
（Ⅲ）设，
，
(Ⅱ) 中知，，
，
①当即时，，在单调递增，
，成立．
②当即时，，
，令，得，
当时，，在上单调递减，不成立．
综上，．………………………………12分
19. （本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲
已知.
（Ⅰ）求函数的最小值；
（Ⅱ）若不等式的解集非空，求的取值范围.
参考答案：
解：（Ⅰ）
（3分）
函数的图象
为：
（5分）
从图中可知，函数的最小值为. （6分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知函数的最小值为，要使不等式的解集非空，
必须，即
. （9分）
∴的取值范围是
. （10分）
20. 已知函数，
（Ⅰ）求不等式的解集；
（Ⅱ）若方程有三个实数根，求实数a的取值范围.
参考答案：
（Ⅰ）；（Ⅱ）
【分析】
（Ⅰ）分别在、、三种情况下去掉绝对值，得到不等式，解不等式求得结果；（Ⅱ）将方程变为，分类讨论得到
的图象，通过数形结合求得取值范围.
【详解】（Ⅰ）当时，，可得：
当时，，解得：
当时，，则无解
综上所述：不等式的解集为：
（Ⅱ）由方程可变形：
令，则
作出函数的图象如下图所示：
结合图象可知：，又，
【点睛】本题考查绝对值不等式的求解、根据方程根的个数求解参数范围的问题，关键是能够将方程根个数问题转化为直线与函数交点的个数问题，通过数形结合的方式来进行求解.
21. 已知数列具有性质：①为整数；②对于任意的正整数，当为偶数时，
；当为奇数时，.
（1）若为偶数，且成等差数列，求的值；
（2）设(且N)，数列的前项和为，求证：；
（3）若为正整数，求证：当(N)时，都有.
参考答案：
解：（1）∵为偶数，∴可设，故，
若为偶数，则，由成等差数列，可知，
即，解得，故；（2分）
若为奇数，则，由成等差数列，可知，
即，解得，故；
∴的值为0或2．（4分）
（2）∵是奇数，∴，
，，依此类推，
可知成等比数列，且有，
又，，，…
∴当时，；当时，都有．（3分）故对于给定的，的最大值为
，所以．（6分）
（3）当为正整数时，必为非负整数．证明如下：
当时，由已知为正整数，可知为非负整数，故结论成立；
假设当时，为非负整数，若，则；若为正偶数，
则必为正整数；若为正奇数，则必为非负整数．
故总有为非负整数．（3分）
当为奇数时，；当为偶数时，．
故总有，所以，
当时，，即．（6分）
又必为非负整数，故必有．（8分）
【另法提示：先证“若为整数，且，则也为整数，且”，然后由是正整数，可知存在正整数，使得，由此推得，，及其以后的项均为０，可得当时，都有】
略
22. 已知椭圆E：+=1（a＞b＞0）的半焦距为c，原点O到经过两点（c，0），（0，b）的直线的距离为c．
（Ⅰ）求椭圆E的离心率；
（Ⅱ）如图，AB是圆M：（x+2）2+（y﹣1）2=的一条直径，若椭圆E经过A、B两点，求椭圆E的方程．
参考答案：
解：（Ⅰ）经过点（0，b）和（c，0）的直线方程为bx+cy﹣bc=0，则原点到直线的距离
为d==c，
即为a=2b，e===；
（Ⅱ）
由（Ⅰ）知，椭圆E的方程为x2+4y2=4b2，①
由题意可得圆心M（﹣2，1）是线段AB的中点，则|AB|=，
方法1、韦达定理法
易知AB与x轴不垂直，记其方程为y=k（x+2）+1，代入①可得
（1+4k2）x2+8k（1+2k）x+4（1+2k）2﹣4b2=0，
设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=．x1x2=，
由M为AB的中点，可得x1+x2=﹣4，得=﹣4，解得k=，
从而x1x2=8﹣2b2，于是
|AB|=?|x1﹣x2|=?==，解得b2=3，
则有椭圆E的方程为+=1．
方法2、点差法
设，则
①②
②-①得：即③
②+①得：即④
由③④得：，
∵|AB|=∴∴解得b2=3，则有椭圆E的方程为+=1．。