2021版高中全程复习方略配套课件：数系的扩充与复数的引入(数学文人教A版湖南专用)

④除法：
=_________________
(c+di≠0).
(2)复数加法的运算定律
复数的加法满足交换律、结合律，即对任何z1、z2、z3∈C， 都有z1+z2=_z_2_+_z_1_,(z1+z2)+z3=__z_1_+_(_z_2+_z_3_)__.
【即时应用】
(1)设z=3i+2,则1- =________.
(2)1+i+i2+i3=_________.
(3)
为实数，则实数a=_________.
(4) +(3+i)(1-i)=_________.
【解析】(1)∵z=3i+2,∴ =2-3i,1- =1-(2-3i)=-1+3i
(2)1+i+i2+i3=1+i-1-i=0(3)∵Fra bibliotek为实数，
∴ (1-a)=0,∴a=1.
① 对应的复数， 对应的复数； ② 对应的复数.
【解题指南】(1)(2)两题解题的关键是把所给复数化成a+bi (a,b∈R)的形式，再利用复数的几何意义求解.(3)利用 对 应的复数等于点A对应的复数减去点C对应的复数和向量的运算 去解决. 【规范解答】(1)选D. 所以复数z所对应的点在第四象限. (2)选D.由图可得z=3+i,
【创新探究】复数命题新动向
【典例】(2011·陕西高考)设集合M={y|y=|cos2x-sin2x|,
x∈R},N={x||x- |＜ ，i为虚数单位，x∈R},则M∩N
为( )
(A)(0,1)
(B)(0,1］
(C)［0,1)
(D)［0,1］
【解题指南】集合M为函数值域，N为不等式的解集，其中 为复数的模，弄清集合的元素是解题的关键.
【规范解答】选C.∵y=|cos2x-sin2x|=|cos2x|∈［0,1］,所 以M=［0,1］, 又∵ ∴N=(-1,1),M∩N=［0,1),故选C.
【阅卷人点拨】通过对本题的深入研究，我们可以得到如下创 新点拨和备考建议:
创 本题的创新点如下： 新 不同于以往的复数高考题，不是单独考查复数的基本 点 知识，而是和三角函数、不等式、集合相交汇出题， 拨 综合性较大，是高考题的一个新动向. 备 解决复数的综合问题在备考时要高度关注： 考 (1)掌握好复数的有关概念、复数的运算法则，是解答 建 该类题的关键. 议 (2)对于复数综合题只要明确复数在其中的作用即可.
【提醒】解题时，需注意两方面问题：一是正确理解和表达 有关概念，如a+bi为实数的条件，其共轭复数是什么,a+bi的 虚部是什么等;二是加强复数代数形式的四则运算的熟练程度.
【例1】(2011·安徽高考)设i是虚数单位，复数
为纯虚
数，则实数a为( )
(A)2
(B)-2
(C)-
(D)
【解题指南】先把复数化成a+bi(a,b∈R)的形式，再根据
1.(2011·天津高考)i是虚数单位，复数
(A)2+i
(B)2-i
(C)-1+2i
(D)-1-2i
【解析】选B.
=( )
2.（2011·浙江高考）若复数z=1+i,i为虚数单位，则
(1+z)·z=( )
（A）1+3i
（B）3+3i
（C）3-i
（D）3-2i
【解析】选A.∵z=1+i,∴(1+z)z=(2+i)(1+i)=1+3i.
复数为纯虚数的概念列出关于a的条件去解答即可.
【规范解答】选A.
又 是纯虚数，
则
所以a=2.
【反思·感悟】处理有关复数基本概念的问题，关键是掌握复数的
相关概念，找准复数的实部与虚部，从定义出发解决问题.
复数的几何意义 【方法点睛】复数的几何意义及应用 (1)|z|表示复数z对应的点与原点的距离. |z1-z2|表示两点间的距离，即表示复数z1与z2对应点间的距离 . (2)结合复数的几何意义、运用数形结合的思想，可把复数、 解析几何有机地结合在一起，达到了学科内的融合，而且解题 方法更灵活.
数 的
a+bi为虚数⇔b_≠__0__
分
类
a+bi为纯虚数⇔________
(3)复数相等：a+bi=c+di⇔_______(a,b,c,d∈R).
(4)共轭复数：a+bi与c+di共轭⇔_______(a,b,c,d∈R). (5)复数的模 向量 的长度叫做复数z=a+bi的模，记作____或_______， 即|z|=|a+bi|= ________(a,b∈R).
实轴上的点都表示_实__数__；除原点以外，虚轴上的点都表示
_纯__虚__数__.
(3)复数的几何表示：
复数z=a+bi
复平面内的点_Z_(_a_,_b_)_
平面向量_____.
【即时应用】
判断下列命题是否正确？(请在括号内填写“√”或“×”)
①原点是实轴与虚轴的交点
()
②1+ 对应的点位于第四象限
【即时应用】
判断下列命题是否正确？(请在括号中填写“√”或“×”)
(1)若3+(2+x)i为实数(x∈R),则x=-2.
()
(2)已知x,y∈R,若(x+2)+yi=3+2i，则x=1,y=2. ( )
(3)2i+3的共轭复数为-3+2i.
()
(4)|1+i|＞|2-i|.
()
【解析】(1)3+(2+x)i若为实数，则2+x=0,∴x=-2,故(1)正确
对应的点为(2,-1)，即点H.
(3)①
∴ 对应的复数为-3-2i.
∵
，∴ 对应的复数为-3-2i.
②
∴ 对应的复数为(3+2i)-(-2+4i)=5-2i.
【反思·感悟】解决此类问题，一方面要了解复数的几何意义( 如复数的向量表示，复数表示的点在复平面内的位置)，了解复 数加、减运算的几何意义，另一方面要准确地进行复数代数形 式的四则运算.
.
(2)由复数相等知，
，∴ ，故(2)正确.
(3)2i+3的共轭复数为-2i+3,故(3)错误.
(4)|1+i|= ,|2-i|= ,故(4)错误.
答案：(1)√ (2)√ (3)× (4)×
2.复数的几何意义
(1)复平面的概念：建立_直__角__坐__标__系___来表示复数的平面叫
做复平面.
(2)实轴、虚轴：在复平面内,x轴叫做_实__轴__,y轴叫做_虚__轴__，
3.(2011·湖南高考)若a,b∈R,i为虚数单位，且(a+i)i=b+i,
则( )
(A)a=1,b=1
(B)a=-1,b=1
(C)a=-1,b=-1
(D)a=1,b=-1
【解析】选D.∵(a+i)i=b+i,∴-1+ai=b+i,再根据复数相等的充
要条件得a=1,b=-1.
4.（2012·岳阳模拟）复数 (i为虚数单位）在复平面 上对应的点位于( ) (A)第一象限 (B)第二象限 (C)第三象限 (D)第四象限 【解析】选C. ∴ 对应的点为(-1,-3)，在第三象限.
(D)3
【解题指南】根据复数的四则运算法则求解. 【规范解答】(1)选C.
(2)选A.( )2 011=i2 011=i3=-i. (3)选A.(1+z)· = +|z|2=1-i+2=3-i.
【反思·感悟】进行复数代数形式的四则运算，一方面要严 格执行运算法则；另一方面也要注意一些常用的运算技巧， 如本题中的 =i的性质，其实复数的除法运算就是分母实 数化的运算.
【例3】(1)(2011·重庆高考)复数
=( )
(A)
(B)
(C)
(D)
(2)(2011·湖北高考)i为虚数单位，则
=( )
(A)-i
(B)-1
(C)i
(D)1
(3)(2011·浙江高考)把复数z的共轭复数记作 ,i为虚数
单位.若z=1+i,则(1+z)· =( )
(A)3-i
(B)3+i
(C)1+3i
2021版高中全程复习方 略配套课件：数系的扩 充与复数的引入（数学 文人教A版湖南专用）
2020/9/11
三年30考 高考指数:★★★★★ 1.理解复数的基本概念，理解复数相等的充要条件； 2.了解复数的代数表示形式及其几何意义； 3.会进行复数代数形式的四则运算; 4.了解复数的代数形式的加、减运算的几何意义.
()
③若z=3+2i，则 在复平面上对应的点在第三象限 ( )
【解析】①原点在实轴上，且在虚轴上，故①正确；②∵1+
=1-i,1-i对应点为(1,-1)在第四象限，故②正确；③由 =
3-2i知③不正确.
答案：①√ ②√ ③×
3.复数的运算 (1)复数的加、减、乘、除运算法则 设z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d∈R),则 ①加法：z1+z2=(a+bi)+(c+di)=_(_a_+_c_)_+_(_b_+_d_)_i_; ②减法：z1-z2=(a+bi)-(c+di)=_(_a_-_c_)_+_(_b_-_d_)_i_; ③乘法：z1·z2=(a+bi)·(c+di)=_(_a_c_-_b_d_)_+_(_a_d_+_b_c_)_i_;
复数的代数运算 【方法点睛】1.复数的代数运算技巧 复数的四则运算类似于多项式的四则运算，此时含有虚数单位 i的看作一类，不含i的看作另一类，分别合并即可，但要注意 把i的幂写成最简单的形式，在运算过程中，要熟悉i的特点及 熟练应用运算技巧.
2.几个常用结论 在进行复数的代数运算时，记住以下结论，可提高计算速度. (1) (2)-b+ai=i(a+bi); (3)i4n=1,i4n+1=i,i4n+2=-1,i4n+3=-i,i4n+i4n+1+i4n+2+i4n+3=0,n∈N*.
(4)原式
= +(4-2i)=(1+2i)+(4-2i)=5.
答案：(1)-1+3i (2)0 (3)1 (4)5
复数的有关概念 【方法点睛】解决有关复数概念问题的方法 (1)复数的分类及对应点的位置问题都可以转化为复数的实部 与虚部应该满足的条件问题，只需把复数化为代数形式，列出 实部、虚部满足的方程(不等式)组即可. (2)求复数模的常规思路是利用复数的有关运算先求出复数z， 然后利用复数的模公式求解.
1.复数的基本概念是考查的重点. 2.复数代数形式的乘除运算、复数相等是考查的重点，也是热 点. 3.题型以客观题为主.
1.复数的有关概念 (1)复数的定义 形如a+bi(a,b∈R)的数叫复数，其中实部是_a_，虚部是_b_. (2)复数的分类
满足条件(a,b为实数)
复
a+bi为实数⇔b_=_0___
【例2】(1)(2011·山东高考)复数z=
在复平面内对应的点所在象限为( )
(A)第一象限
(B)第二象限
(C)第三象限
(D)第四象限
(2)若i为虚数单位，图中复平面内
点Z表示复数z，则表示复数 的
点是( )
(A)E
(B)F
(C)G
(D)H
(i为虚数单位)
(3)如图，平行四边形OABC，顶点O、A、C分别表示0，3+2i, -2+4i,试求：