平抛运动与面组合模型探析

平抛运动与面组合模型探析
郑行军
【期刊名称】《高中数理化》
【年(卷),期】2017(000)017
【总页数】4页(P29-32)
【作者】郑行军
【作者单位】福建省福鼎市第一中学
【正文语种】中文
平抛运动是中学物理中涉及运动合成与分解的典型应用．纵观近几年的高考试题我们发现,平抛运动考点的题型有个特点就是将平抛运动与斜面、曲面相结合,二者合理组合设计问题,具有一定的灵活性和综合性,既可考查基础又可考查能力,是考试的热点问题．下面就不同组合的命题设计与分析策略进行归类说明．
分析策略研究平直型斜面的组合问题时,除了要运用平抛运动的位移和速度规律外,还要充分运用斜面的倾角,找出倾角与分位移或分速度的关系,从而使问题得到顺利解决．
1.1 斜面抛出型
1) 由抛出点至斜面落点构建运动轨迹(如图1或图2所示).
解题策略物体落点在斜面时,位移与斜面倾角间存在关联性,可利用位移构建矢量三角形进行解题,思路如下:
2) 由抛出点至距斜面最远点构建运动轨迹(如图3).
解题策略至离斜面最远时的轨迹特点是速度方向与斜面平行,若涉及时间可利用速
度关联斜面倾角构建速度矢量三角形进行解题,思路如下：
若涉及斜面的最远距离,可沿斜面和垂直斜面建立直角坐标系,分解速度和加速度(如图4所示),即可求出离斜面的最远距离: 2gcos θ·y=y=.
例1 在斜面顶端水平抛出一可视为质点的小球,小球落在斜面上,已知斜面的倾角是37°,如图5所示,不考虑空气阻力,则下列判断正确的是( ).
A 若已知小球平抛的初速度,就能推算出小球抛出点和落地点间的距离;
B 小球离斜面的最远点是运动轨迹的中点;
C 若增大小球抛出的速度,可以增大小球落到斜面时的速度与斜面的夹角；
D 若小球做平抛运动的时间为t,则在t/2时刻小球离斜面最远
小球落在斜面时,可分解位移构建位移三角形,由x=v0t,y=gt2,tan 37°=,s合=，即可推算出抛出点和落地点间的距离s合,选项A正确;将小球的运动分解为沿斜面方向的匀加速运动和垂直斜面方向的匀减速运动,离斜面最远时垂直斜面方向的速度为零,运动时间为总时间的一半,但是最远点不是运动轨迹的中点,选项B错误;平抛运动某时刻速度方向与水平方向夹角的正切值是位移与水平方向夹角正切值的2倍,小球落在斜面上时位移与水平方向的夹角一定,则可知小球落到斜面时的速度与斜面的夹角是定值,与初速度无关,选项C错误;小球离斜面最远时速度方向与斜面平行,由tan 37°=,得t1==,选项D正确．
平抛运动在水平方向上做匀速直线运动,在竖直方向上做自由落体运动,当质点落至斜面时,可根据分位移和斜面倾角的关系找出初速度与时间的关系,进而求解其他物理量;当小球的速度方向与斜面平行时,距离斜面最远,可利用速度关系求平抛运动的时间;平抛运动某时刻速度方向与水平方向夹角的正切值是位移与水平方向夹角正切值的2倍,根据该规律分析小球落到斜面时的速度与斜面的夹角．
1.2 斜面抛入型
1) 以落点速度方向与斜面垂直(如图6所示)或相切(如图7所示)构建运动轨迹.
解题策略落点速度与斜面垂直或相切时,可将落点速度进行分解构建速度三角形进行解题,思路如下：
2) 以落点与抛出点距离最近构建运动轨迹(如图8所示).
解题策略当落点与抛出点距离最近时,位移恰好与斜面垂直,可分解位移构建位移三角形进行解题,思路如下:
3) 以关联抛出点高度构建运动轨迹(如图9).
解题策略可结合斜面倾角与高度、分位移的几何关系进行解题,思路如下:
例2 一斜面倾角为θ,A、B两个小球均以水平初速度v0水平抛出,如图10所示．A球垂直撞在斜面上,B球落到斜面上的位移最短,不计空气阻力,则A、B 2个小球下落时间tA与tB之间的关系为( ).
A tA=tB;
B tA=2tB;
C tB=2tA;
D 无法确定
如图11,A球垂直撞在斜面上,则
tan θ=,vy=gtA, 所以tA=.
如图12所示,B球落到斜面上的位移最短,则始末位置的连线应垂直斜面,则
所以tA∶tB=1∶2,选项C正确．
小球垂直撞在斜面上,速度方向与斜面垂直,根据速度和斜面倾角的关系及平行四边形定则求平抛运动的时间;小球落到斜面上位移最短,则位移与斜面方向垂直,结合位移和斜面倾角的关系及平行四边形定则求运动的时间,即可进行比较分析．
分析策略研究与圆弧面结合的组合问题时,可结合平抛运动的位移和速度规律,运用圆弧面的半径或倾角,找出半径同分位移的关系或倾角同分速度的关系,从而解决问题．
1) 落点关联位置型(如图13或图14所示).
解题策略物体落至圆弧面时,位移与半径存在一定关联性,可通过分析分位移和半径
关系进行解题,思路如下：
2) 落点关联速度方向型(如图15或图16所示).
解题策略落点速度方向与圆弧面相切(图15)或垂直(图16)时,可将落点速度进行分解构建速度三角形进行解题,思路如下:
例3 如图17所示,AB是半圆弧的直径,处于水平,O是圆弧的圆心,C是圆弧上一点,∠OAC=37°,在A、O两点分别以一定的初速度同时水平抛出2个小球,结果都落在C点,则2个球抛出的初速度v1、v2的大小之比为( ).
A v1∶v2=32∶7;
B v1∶v2=16∶7;
C v1∶v2=16∶3;
D v1∶v2=16∶9
两球下落的高度相同,根据t=可知,下落的时间相同,设圆弧的半径为R,则从A点抛出的球平抛运动的水平位移x1=2Rcos237°=1.28R,从O点抛出的球做平抛运动的水平位移为
根据v0=知,v1∶v2=1.28∶0.28=32∶7,故选项A正确．
平抛运动的分析要利用位移和速度规律,本题两小球平抛的高度相同,则运动的时间相同,接触面为圆弧面且关联落点位置,可运用圆弧面的半径和几何关系求出水平位移之比,从而求出初速度之比．
分析策略研究与抛物面结合的组合问题时,可结合平抛运动的位移规律、速度规律及抛物面方程,找出分位移和抛物面方程横纵坐标的关系(如图18所示),从而解决问题,思路如下:
联立求时间t→求分位移和分速度→
例4 一探险队在探险时遇到一山沟,山沟的一侧OA竖直,另一侧的坡面OB呈抛物线形状,与一平台BC相连,如图19所示.已知山沟竖直一侧OA的高度为2h,平台离沟底h高处,C点离竖直OA的水平距离为2h.以沟底的O点为原点建立坐标系xOy,坡面的抛物线方程为y=x2.质量为m的探险队员在山沟的竖直一侧从A点沿
水平方向跳向平台.人视为质点,忽略空气阻力,重力加速度为g.求:
(1) 若探险队员从A点以速度v0水平跳出,掉在坡面OB某处,则他在空中运动时间为多少?
(2) 为了能跳在平台上,他在A点的初速度应满足什么条件?请计算说明.
(1) 设探险队员在OB坡面上的落点坐标为(x,y),由平抛规律可得x=v0t, 2h-y=
gt2,又y=x2,联立以上各式得t=．
(2) 将y=h代入y=x2,可求得xB=h,由平抛规律得解得vOB=,vOC=．所以为了能跳到平台上,他在A点的初速度应满足≤v0≤.
解决本题的关键在于了解平抛运动在水平方向和竖直方向上的运动规律,结合水平位移和竖直位移的表达式及抛物线方程求出运动的时间;再根据高度差,结合临界情况及水平位移求出最小初速度,根据高度差和C点到OA的水平距离求出最大初速度,从而得出A点初速度满足的条件．
通过以上分析可得,求解平抛运动与不同面“嫁接”问题时运用的方法都是先找出位移或速度与几何参量(如倾角、圆弧的半径、抛物面方程等)的隐含关系,然后综合水平方向运动与竖直方向运动的规律或是找到不同落点间的联系,联立方程使问题得解．因此在复习时应注意对平抛运动规律的总结,进而提高解题的能力．
(本论文系福建省教育科学“十三五”规划课题“互联网+物理习题的教学设想与实践探究”阶段性研究成果，课题编号：FJKYJD16-29)。