发电机机组最优组合

发电机机组最优组合数学模型
本文主要讨论如何合理计划使用发电机，使得每天发电机的总成本达到最 少，是一个分段优化的问题。

鉴于题目的要求，我们建立了两个最优化模型。

对于问题一，是通过找出发电机最优组合来求每天电力生产总成本的最小 值，以每天电力生产总成本作为目标函数，并建立整数规划模型。

在模型一中， 我们根据题目的条件及相关数据，通过分析各时段的成本得出：各时段的电力生 产总成本w = W ij +T j * X j +
（ P j - P jmin ）* M j * X ij ，然后对各时段成本求和得到 目标成本函数w 。

根据题目所给的已
知条件进行合理的假设下，分析确定模型 的约束条件。

通过lingolO.O 软件编程求解，确定不同型号发电机在不同时段的 使用数量，找出最优解，得到电力生产过程中每天的最小成本
w =1463430元。

不同型号的发电机组在不同时段最优组合结果如下：
（单位：台）
本文是一个通过合理计划使用发电机，使得每天发电机的总成本达到最少的 优化问题。

电力生产供电时要满足用电需求且不宜造成过大浪费。

本文需满足的条件：
为满足每日电力需求（单位：兆瓦（MW ）），每日电力需求如下表1-1 :
发电机只能从以下给出的四种不同类型的发电机（型号一、型号二、型号三 和型号四）中选用。

每种发电机都有一个最大发电能力，当接入电网时，其输出 功率不应低于某一最小输出功率。

所有发电机都存在一个启动成本，以及工作于
最小功率状态时的固定的每小时成本，并且如果功率高于最小功率，则超出部分 的功率每兆瓦每小时还存在一个成本，即边际成本。

具体数据均列于下表 1-2 :
要启动成本，与启动发电机不同，关闭发电机不需要付出任何代价。

本文需解决的问题：
在每个时段应分别使用哪些发电机才能使每天的总成本最小，最小总成本为
多少？
2•模型的假设与符号说明
2.1模型的假设
假设1:发电机工作时的输出功率不变；假设2:同一时段同一种型号的发电机输出功率相同；假设3:发电机在每个时段启动或关闭时的时间不计；假设4:发电机在发电过程中自身的功率损耗不计；假设5:发电机组在传输电的过程中消耗的功率不计；
符号说明
3•问题分析
本题研究的是发电机最优组合问题。

题目中有四种不同型号的发电机，每种发电机都有启动成本、固定成本和边际成本，并且规定了七个不同的供电时段。

题目要求每个时段发电机组合既能够满足用电需求，同时也使得成本费用最小，不造成过多浪费。

其中固定成本和边际成本较容易确定，而启动成本（电机启动时所花费的代价）则难于有效地确定。

鉴此，我们不能将各个时段分开分别求最优解。

因为各时段的启动成本不能独立的由本时段各变量确定，在要求每天的电
力生产成本最小的大前提下，还受到前后处于工作状态的发电机数量的影响，它是一个动态确定问题，由于动态规划方法反映了过程逐段演变的前后联系和动态特征，在计算中可以较好的解决此问题，提高结果的准确性。

因此，我们将这七个时段作为一个整体，考虑前后两相邻时段发电机开启的数量，尽量在前一时段的基础上减少启动成本。

因为如果后一个时段某种型号的电机数量减小，则只需要关闭电机即可，它不需要付出任何代价，这样就可以大大减少时段的启动成本。

当然，每种发电机成本都是由启动成本、固定成本和边际成本三部分组成，有关影响这三种成本的因素，都是我们需要考虑的。

启动成本
固定成本I 〉
边际成本I 〉
图3-1 :各时段成本组成图
针对问题，从发电厂的角度看，不管何种方案都必须满足各个时段电力需求的条件。

而电力生产过程中优化的发电机组合，就是能使得电力生产成本费用最小。

各种型号的发电机成本都是由启动成本、固定成本和边际成本三部分组成，故我们所建立的模型需在综合考虑到影响这三种成本的因素。

可以分别设出各个时段不同型号发电机的数量和输出功率，然后分别表示出七个时段的成本，再累
加求和即为电力生产每天的总成本。

考虑到各种约束条件及启动成本的动态确 定，我们可以使用动态规划模型，最终求解。

4.问题的解答
4.1模型的建立 4.1.1确定目标函数
电力生产的总成本是由发电机的启动成本、 固定成本及边际成本组成。

为了 提出一种发电机的最优组合使得电力成本最小的数学模型， 本文通过分析局部优 化因素，通过求解各时段发电机的最小成本 w ，再进行累加求和得到最小成本
Wf 。

而总成本中的启动成本 W j (i 表示时段,j 表示发电机的型号，i, j 均为
自然数)是动态的，我们建立了动态整数规划模型
① i )不同型号的发电机在不同时间段的启动成本为 W j ，在第一时段，发电机 的启动不受其它影响，按正常成本计算，其数学表达式为：
W i 厂 q j *X ij (i = 1)
ii )在i ( 1 H 6 )后面的时段，如果后一时段相同型号发电机的使用个数 小于相邻的前一时段，由于正确的关闭发电机不需要付出任何代价，则其启动 成本为0,反之，按正常
发电机的启动成本来计算，其数学表达式如下：
② 第i 时段发电机的总成本 W 由发电机的启动成本 W j 、固定成本T j 及边际成 本M j
组成，其数学表达式为：
W i 二 W ij T j *X ij (P j - P jmin )* M j * X ij
③ 最终我们建立了目标函数，发电机组每天的总成本：
7
4
min W 八 '
W i
(i, j N )
i =1 j =1
4.1.2确定约束条件 i)
各种型号的发电机的输
出功率不应低于其最小输出功率，
高于最大输出功率，
故在不同时段的发电机的输出功率 P ij 有上、下限约束：
P jmin 亠 P ij 亠 P jmax,1 - j - 4
ii) 而4种不同发电机的数量是固定的，其数学表达式为：
W
（i 1）j
,（x
（i -1）r 州）* q X （i ・1）j - x ij
(仁i 乞6)
iii ）电力生产是为了满足需要，根据题目要求有：
4
Q i 八卩汇为- i （仁i 空7,1」4）
其中：i, j,X j 均为自然数；
Q i 表示每天第i 时段电力的供应量；
i 表示每天第i 时段电力的需求量。

4.1.3综上所述，得到问题一的多目标优化模型：（i, j,X j 均为自然数）
4.2模型的求解
根据题意，将各个时段各种不同型号发电机的成本进行累加， 然后写出相应 的约束
条件，使用Lingo10.0软件对模型一进行求解，得出发电机机组的最优组 合结果如下表： （一）发电机机组组合优化结果，即不同时段不同型号的发电机处于工作状态的 数量
表4-1 :不同时段不同型号的发电机处于工作状态的数量（单位：台）
sj°n
.P jmin - p
ij -
(仁i 辽7,仁p 4)
p
j max
7
4
min w 「、 ' 阿 T j * x ij
i =1 j =1
i i 0 乞
ij j
P
j min - 益P ij 兰P j max
4
八 P ij * X ij
j=1
(
P j -P jmin )* M j *
X ij
]
Q i s.t. 11 W ij
（仁 二 7,1
-4, X ij ,i, j N)
(i w (
i i
)
q j *
x
j
j 二 i
(x
(^1) j
=1)
-X ij )* q j
X
i 1)
X
(i 1) j
（仁i 乞6）
时段型号
0-66-99-1212-1414-1818-2222-24 '•、
型号1]0333220
型号24444444
型号33「88「8886
型号40303130注：没有开启发电机时，输出功率本应为0,而在计算时仍会产生一个输出功率, 这个值我们仍然按计算结果处理。

（二）由于不同型号的发电机在不同时段的输出功率不相同，只要其输出功率在此发电机额最小功率与最大功率之间，适当的调整输出功率，也会达到减小电力生产成本的效果。

通过模型计算求解，得出不同型号发电机在不同时段的输出功率如下表：表:不同型号发电机在不同时段的输出功率（单位：兆瓦）
\时段
0-66-99-1212-1414-1818-2222-24
型号
型号17501533100017507501300750
型号21500150015001500142515001500
型号32000200020002000200020002000
型号41800180018002917180018001800
（三）利用lingolO.O软件编程（运行程序见附录一），求解模型一，找出最优解（见附录程序一的运行结果），得到每天发电机机组的最小总成本为：
w =1463430 元
4.3结果分析
在这种发电机机组组合的方案下，我们可以发现，启动成本对电力生产总成本的影响极大，减小发电机重复启动次数，可以节省电力生产成本。

另外，结合固定成本与边际成本的大小，有效的分配组合发电机同样也是需要考虑的因素之一。

从上述表三中可以看出，各型号的发电机从第一到第七时段，处于工作状态的发电机数量大多保持不变或减小，只有少数型号发电机因固定成本极高，而使中间时段的发电机有增启的情况。

其不同型号发电机各时段的开启与关闭情况的结果直观柱状图如下：
■型号一匚型号
模型一各时段不同型号发电机启动情况
二型号三 -型号
四9876543210 量数启开
图4-1 :模型一各时段不同型号发电机启动情况
模型一中所有结果如下:
:模型一结果一览表
表
段的开启数量多。

两种结果比较具有一致性。

而单位成本的计算如下：其中t为选定时段；
S j 珥q j t*[（ P j- P jmin）*M j T j]}/ P j, V p 4, j N 利用MATLABS程（程序见附录一），画出四种不同型号发电机的单位成本如下图：
x 10 5
四种不同型号发电机单位成本
图4-2 :模型一四种不同型号发电机的单位成本
从上图可以明显看出型号为二的发电机单位成本最小， 而当大于某一功率值 时，型号三的成本为最低，故在使用发电机时，型号二和型号三的发电机开启数 量要尽可能多，型号一和四的发电机开启数量要尽可能小。

4.4结果检验
（1）发电机组的发电量必须满足每天各时段的电力需求量，
且需尽量减小无
用功，下图为实际发电量与需求量的对比图：
*发电机组各时段实际 输出功率
-每天各时段的电力需 求量
图4-3 :模型一电力需求量与发电机组实际发电量对比图
（2）为检验结果的正确性，通过Matlab 软件编程得出结果：发电机的最小总 成本
值为：1463429.500000 元。

3.4
本成位单
一 二三
四
号
号号号 型型型型 2 - 1.8 500
1000
1500
2000
发电功率
2500
3000
3500
模型一的电力需求量与发电机实际发电量对比
瓦兆：位单{量电。