2019-2020年高中数学9.9《棱柱与棱锥_第五课时》教案旧人教版必修

2019-2020年高中数学9.9《棱柱与棱锥•第五课时》教案旧人教版必修
•教学目标
（一）教学知识点
1•棱锥及其底面、侧面、侧棱、顶点、高、对角面
2•棱锥的表示方法、分类.
3. 棱锥的截面性质定理.
4•正棱锥的性质及其各元素间的关系式.
（二）能力训练要求
1. 使学生了解棱锥及其底面、侧面、侧棱、顶点、高、对角面的概念
2. 使学生掌握一般棱锥与正棱锥的区别与联系
.
3. 使学生掌握棱锥的截面性质定理.
4. 使学生掌握正棱锥的性质及各元素间的关系式
（三）德育渗透目标
1. 培养学生善于通过观察分析实物形状到归纳其性质的能力
2. 提高学生对事物的感性认识到理性认识的能力
3. 培养学生“理论源于实践，用于实践”的观点
•教学重点
1. 棱锥的截面性质定理.
2. 正棱锥的性质.
•教学难点
培养学生善于比较，从比较中发现事物与事物的区别，将比较法作为一种重要的学习方法.
•教学方法
指导学生自学法
在学生已经有了对生活中顶尖底平带棱的锥体的实物形状的感性认识后，在前面学习棱柱的基础上，通过学生自己观察、归纳出能反映棱锥的特征定义.在教师的适当指导下，让
学生发现棱锥的性质并利用空间直线和平面相应的位置关系及平面几何的知识，对其性质进行推理论证，从而做到既对前面知识的复习巩固，又有助于学生对棱锥性质的更深刻的认识，
为学生能够对棱锥的有关问题处理自如奠定基础
•教具准备
多媒体课件一个：
作P47图9-71，通过它直观形象的演示，帮助学生深刻理解和掌握棱锥的定义及其性质投影片三张.
第一张：课本P47图9-71 （记作9.8.1 A）
第二张：课本P49棱锥的截面性质定理（记作9.8.1 B）
第三张：课本P48例1 （记作9.8.1 C）
•教学过程
I .课题导入
［师］前面，我们对棱柱的定义和性质已有一定的研究，今天我们将继续学习与棱柱既
有联系又有区别的另一种几何体一一棱锥，希望大家用类比的思想、比较的方法去学习这一
节的内容.
n .讲授新课
［师］生活中我们所见到的工人搭的帐篷，还有木塔等都给我们以顶尖底平带棱的锥体
形象（打开多媒体课件与投影片9.8.1 A）,观察图形具有哪些特点•
（学生观察、思考）
［生］有一个面是多边形，其余各面都是三角形
［师］好•那么能说有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥吗? ［生甲］不能•例如图中的几何体满足以上两个条件，但它不是棱锥.
E
［师］很好！对于一个定义即对一种事物的本质特征的描述，从教学角度来讲，要求前
后条件既充分又必要，例如，对于“有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥”，显然前者是后者的必要条件而非充分条件•故不能作为棱锥的定义•那么该如何用确切而
简要的语言文字表述棱锥的定义呢？
［生］有一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形围成的几何体叫棱锥•［师］下面请大家互相用符号语言表达图中（9.8.1 A）棱锥的底面、侧面、侧棱、顶点、高、对角面，并对其文字语言加以推敲理解.
（学生互相提问学习，教师查看）
［师］如图中的棱锥可记作：棱锥S—ABCDE或棱锥S—AC,即可以用表示棱锥的顶
点和底面各顶点，或用底面的一条对角线端点的字母表示.另外，按棱锥底面多边形的边数
可分为三棱锥、四棱锥、五棱锥等.
请同学们继续观察、归纳棱锥具有的性质.（学生观察、思考，教师可点拨）
［师］在棱柱中有平行于底面的截面与底面全等这一性质，那么在棱锥中还有没有这一
结论了呢？
［生］没有.
［师］大家猜想对于棱锥来说，平行于底面的截面与底面有什么关系？
［生］相似.
［师］继续猜想截面的面积与底面面积有何关系？所截得的棱锥的高与已知棱锥的高有什么关系？
［生］截面面积与底面面积之比为它们相似比的平方，所截得的棱锥的高与已知棱锥的
高的比等于相似比.
［师］至此，我们可以得到关于棱锥截面的性质了（打出投影片9.8.1 B）.我们怎样利用所学的理论知识进行推理论证以上这条性质呢？请一位同学叙述一下证明思路
［生］由多边形相似的判定：对应边成比例，对应角相等可判定两多边形相似，从而由相似性质可得它们的面积比等于相似比的平方，而对应线段成比例需由平面几何中三角形相似得到.
［师］思路清楚，即整个过程由面面平行性质定理过渡到线线平行再转化到平面三角形中的线段成比例，从而使结论获解.
请同学们认真画图，写出已知、求证、证明过程
（学生做、教师巡视，请一位同学板演）
［师］做完的同学请对照课本P48的推导过程，检查自己的证明过程是否严密.
以上我们所证得的棱锥这一性质可以作为性质定理直接应用到今后的学习中去了.现在观察课本P48的推导过程可得==…二,由此可得棱锥的又一性质，怎样用文字语言表述？
［生］如果棱锥被平行于底面的平面所截，则棱锥的侧棱和高被截面分成的线段比相等
（教师板书这一性质）
［师］课下，大家已对正棱锥进行了预习，当一个棱锥满足什么条件时就成为一个正棱 锥了呢？ ［生］底面是多边形，顶点在底面的射影是底面的中心 （教师板书）
［师］依据正棱锥的定义可直观地得到它的哪些性质呢？ ［生乙］正棱锥的侧棱相等；各侧面都是全等的等腰三角形； 正棱锥的斜高都相等；正 棱锥的高、斜高和斜高在底面内的射影组成一个直角三角形； 正棱锥的高、侧棱和侧棱在底
面内的射影也组成一个直角三角形 •
［师］还发现其他性质了吗？
［生丙］正棱锥的侧棱与底面所成的角都相等；正棱锥的侧面与底面所成的二面角都 相等• ［师］以上这些性质虽都可以直观、 自然地观察得到，但课下还是应该利用所学理论知 识进行推理论证的.
下面我们结合图形，进一步探讨正棱锥中各元素间的关系，为研究方便可将课本 P 48图
9-74正棱锥中棱锥 S — OBM 从整个图中拿出来研究.
（教师画三棱锥 S — OBM ）
观察图中三棱锥S- OBM 的侧面三角形形状有何特点 . ［生］全是直角三角形，因为可以证得/
SOM=Z SOB=Z SMB = Z OMB=90° .
［师］若分别假设正棱锥的高 SO=h,斜高SM=h ',底面边长的一半 BM=,底面正多边形
外接圆半径 OB=R,内切圆半径 OM=r ，侧棱SB=l ，侧面与底面的二面角/ SMO= a ，侧棱与底 面组成的角/ SBO= 3，/ BOM= （n 为底面正多边形的边数）.请试着通过解三角形得出以上 各元素间的关系式.
（学生动手计算，教师巡视、指导） ［生］ h==h '・ sin a =l • sin 3 ,
h '===,
［师］继续观察图形进行思考：怎样去比较/ SBO 与/ SBM 、/ OBM 与/ SBM 的大小
关系？
［生］在厶 SBO 与厶 SBM 中,sinSBO=,sinSBM=, •••在△ SOM 中，SM>SO,「. >. /• si nSBM>s in SBO.
•••/ SBM € (0,), / SBO € (0,), •••/ SBM> / SBO.
另在△ OBM 与厶 SBM 中,cosOBM=,cosSBM=, •/ SB>OB,「. >.
P —
2si
n
180 n
■/ cosOBM >cosSBM,
•••/ OBM € (0, ), / SBM€ (0,),
•••/ OBM< / SBM.
［师］以上关系式是在解决与正棱锥有关的问题中常常用到的，应引起大家的注意.
一起看一例题•(打出投影片9.8.1 C,读题)
分析：此题可利用棱锥的截面性质定理、正棱锥的性质及平面几何中解三角形的知识综合解决.
解：连结OM 、OA，
在Rt△ SOM 中，0M=.
•• •棱锥S—ABC是正棱锥，
•••点O是正三角形ABC的中心.
•/ AB=2AM=2 • OM • tan60°
=2•,
•- S A ABC=AB2=• 4 • 3(l2-h2)
22
=3(l2-h2).
依棱锥截面的性质，有=,
22
•- S A A B'C - =(l -h ).
川.课堂练习
课本P 46 1、2.
1. 下列命题是否正确？如果正确，请给出证明；否则请举出反例.
( 1)正棱锥的侧面是正三角形；
( 2)正棱锥的侧面是等腰三角形；
( 3)底面是正多边形的棱锥是正棱锥；
( 4)正棱锥的各侧面与底面所成的二面角都相等.
答案：(1)X .反例：底面边长与侧棱长不相等的正棱锥.
(2)V .由正棱锥顶点在底面的射影是底面正多边形的中心，可证出正棱锥顶点到底面正多边形顶点的距离都相等.
(3)X .反例：底面是正多边形，但顶点在底面的射影不是底面正多边形中心的棱锥
(4)V .正棱锥的斜高及其在底面的射影的夹角，是侧面与底面所成二面角的平面角，此角的正弦等于正棱锥的高与斜高之比，所以各侧面与底面所成的二面角的平面角都相等
2. 已知一个正六棱锥的高为h,侧棱长为V,求它的底面边长和斜高.
答案：,.
IV.课时小结
本节课我们讨论了棱锥及其有关概念，探讨了棱锥的截面性质定理，弄清楚了正棱锥的性质及其中各元素之间的关系式.要求大家对概念要逐字推敲,做到真正理解，要灵活地将棱
锥截面性质定理与正棱锥的性质应用到计算证明中.
V.课后作业
(一)课本P52习题9.8的2、4.
(二) 1.预习内容
(1)对正棱锥中各元素之间的关系式进一步深入巩固.
( 2)正棱锥的侧面积、全面积公式.
(3)阅读P55的锥体体积公式的推导过程.
2. 预习提纲
（1）如何用“立体图形平面化”的思想推得正棱柱的侧面积
（2）试体会棱锥体积公式与棱柱体积公式的联系与区别
•板书设计
•教学目标
（一）教学知识点
1. 正棱锥中各元素之间的关系式•
2. 正棱锥的侧面积、全面积公式.
3. 棱锥体积公式的推导及计算•
（二）能力训练要求
1. 使学生进一步熟练巩固正棱锥中各元素之间的关系
2•理解正棱锥的侧面积公式、棱锥的体积公式的推导过程
3. 掌握正棱锥的侧面积、全面积公式及棱锥的体积公式
（三）德育渗透目标
1. 培养学生善于用联系的观点分析问题、解决问题的能力
2. 培养学生“创造条件促成事物转化”的思想.
3. 让学生体会特殊到一般的认识规律.
4. 认识到祖原理是我国古代数学伟大的成就之一，从而激起学生的爱国热情，投身于积极
的学习中.
•教学重点
正棱锥的侧面积与棱锥的体积公式.
•教学难点
体会“特殊到一般”的认识规律和“创造条件促成事物转化”的思想在推导棱锥体积会式过程中的应用.
•教学方法
指导学生自学法
通过自学，让学生真正理解正棱锥的侧面积可以将其侧面展开后推导得出的过程，而不是简单机械地死记硬背.通过阅读课本P54的材料，理解祖原理并以特殊的锥体一一三棱锥为典例，实现一般棱锥的体积公式推导过程.从而不仅仅使学生熟练掌握这一公式，更重要的是使
学生体会其中的“由特殊到一般”的认识规律和“创造条件促成事物的转化”的思想的应用•教具准备
多媒体课件一个
先作一个三棱柱ABC —A' B' C'.设S A ABC=S,高为h,则V ABC-A B，C =Sh.沿平面A' BC
和平面A' B ' C,将这个三棱柱分割成三个三棱锥，分别记三棱锥A—A' BC为几何体I,三
棱锥B'—A' BC（或B—A' B ' C）为几何体H,三棱锥 C ' —A' B ' C为几何体川，观察可得几何体I与n的底面积相等，高也相等，几何体n与川也有相等的底面积和相等的高，因此根据祖原理得出这三个几何体体积相等，将这三个几何体合并后与原三棱柱的体积相等，故又得V A-A'BC=V B'—A'BC=V C' —A ' B ' c=Sh,即三棱锥的体积等于它的底面积乘以高的积的.通过
以上演示，让学生运用由特殊到一般的认识规律得出任意一个棱锥的体积公式
投影片三张.
第一张：本课时教案练习（记作9.8.2 A）
第二张：本课时教案例 1 （记作9.8.2 B）
第三张：本课时教案例 2 （记作9.8.2 C）
•教学过程
I .课题导入
［师］上节课我们一起研究了棱锥的定义、性质及正棱锥的性质和它的各元素之间的关系.下面练习
分析：根据图形中的线面关系,把要求的元素转移到平面图形中, 利用平面几何知识求解.
［师］大家根据分析的思路作出必要的辅助线去求解
（学生练习，教师巡视、指导一一同学板演）
解：过点S作SO丄底面AC, SG丄BC, 0、G为垂足，过点A作AE丄SB,垂足为E,连结CE.
•••△SAB^A SBC,••• CE 丄SB.
•••/ AEC为侧面SAB与侧面SBC所成二面角的平面角•••/ AEC=120°，连结EO.
•/ AO=CO, AE=EC,
•••/ AEO=60° .
Rt△ BOG 中，BG=a,Z OBG=45
• BO==a.
在Rt△ AOE 中，OE==a,AE==a,
• AE=EC=a,
BE=== a.
•••/ CBE = Z SBG, / SGB= / CEB=90
Rt△SBG s Rt△CBE,
..=
1 a
--SG= • EC= ―—• a=a.
■. 3
a
3
在Rt △ SBG 中，
SB=== a.
在Rt △ SOG 中，SO=
==a.
棱锥的斜高为a,高为a,侧棱长为a.
［师］此题体现了“空间问题平面化”的思想，即将所求的各元素转化到平面图形中，进而应用平面几何中的性质、定理解决•一般地，在立体几何中，求线段的长度常常是将它转
化到某个三角形中去，然后利用余弦定理、勾股定理、正弦定理及相似三角形等知识予以解决•今天，将要对正棱锥的侧面积、全面积及棱锥的体积进行深入学习
n •讲授新课
［师］请大家在前面求正棱柱侧面积公式的基础上，试叙述如何去推导正棱锥的侧面积公式•
（学生思考、推证）
［生］可以将其侧面展开，得到的展开图的面积就是正棱锥的侧面积•
［师］这就是“空间问题平面化”思想的又一次体现•请继续推理论证并说明具体操作过
程•
［生］正棱锥的各个侧面都是全等的等腰三角形，然后沿着一条侧棱剪开、铺平；得到正棱锥的侧面展开图•因每一个等腰三角形的面积等于正棱锥底面边长（a）和斜高（h'）乘积的一半，所以得
S正棱锥侧=门• S三角形=n（ah' ）=（na）• h' =Ch'（其中C为底面周长，n为侧面三角形个数）（板书）
［师］很好，由此可归纳出结论：如果正棱锥的底面周长为C,斜高为h',那么它的侧面
积是S 正棱锥侧=Ch '•另外，正棱锥的全面积为S 正棱锥全=S 正棱锥侧+ S 正棱锥底•
一起来体会一下这个公式的应用•
（打出投影片982 B,读题）
［例1］正三棱锥底面边长为a,侧棱与底面成45°角，求此棱锥的侧面积与全面积•
分析：可根据正棱锥的侧面积与全面积公式求得•
解：如图所示，设正三棱锥S—ABC的高为SO,斜高为SD,在Rt△ SAO中，
••• AO=SA • cos45°
■/ AO =AD = • a, •• SA= a. 在Rt △ SBD中SD== a,
--S 侧=• 3 a • SD= a .
S 底=a?, S
B
••• S 全=(+) a2.
［师］请大家翻开课本P48看棱锥的截面性质的推导过程，试思考：如果棱锥被平行于底面的平面所截，那么截得的小棱锥与已知棱锥的侧面积比与它们对应高的比有什么关系？与它们的底面积之比的关系呢？为什么？
［生］由P48的推导过程，可得在棱锥的各个侧面的三角形中，A' B'// AB,B ' C'// BC,• △SA' B's^ SABA SB' C 'S SBC,…
贝y有==,==,….
由此得如果棱锥被平行于底面的平面所截，则截得的小棱锥与已知棱锥的侧面积之比也
等于它们对应高的比；截得的棱锥与已知棱锥的侧面积之比也等于它们的底面积之比.(板
书)
［师］至此，又得到一条关于棱锥的性质，在以后的计算过程中可以直接将其应用.
接下来，再讨论棱锥的体积公式的由来
(打出多媒体课件，教师演示、解说，学生观察、思考)
刚才是以特殊的三棱锥为典例演示的，那么我们可根据从特殊到一般得出：对于任意一个棱锥，设它的底面积为S,高为h,那么它的体积应等于一个底面积为S,高为h的三棱锥的
体积，即任意棱锥的体积为V棱锥=Sh.
一起体会一下这个公式在解题中的应用.
(打出投影片9.8.2 C,读题)
从一个正方体中，如图那样截去4个三棱锥后，得到一个正三棱锥A—BCD,求它的体积是正方体体积的几分之几？
分析：在准确识图的基础上，求出所截得的每个三棱锥的体积和正三棱锥A—BCD的体
积即可.
解：设正方体体积为Sh,则每个截去的三棱锥的体积为・Sh=Sh.
•••三棱锥A—BCD的体积为
Sh-4 • Sh=Sh,
•••正三棱锥A —BCD的体积是正方体体积的.
川.课堂练习
假设正棱锥的底面边长为a,侧棱长为2a,求对角面的面积和侧面积.
解：如图所示，在正四棱锥P—ABCD中，AB=a,PB=2a,作P0丄底面ABCD于点0.连结
2 2 2 2 2 BD，则0€ BD,且P0丄BC,由AB=a，得BD = a.在Rt△ PAB 中，PO =PB -BO = (2a) -(a).
P
C
二PO=a,S 对角面=P0 • BD=a2.
又作PE丄BC于点E,这时E是BC的中点.
…PE =PB -BE = (2a) -(a).
••• PE=a.
S侧=4 x PE • BC=a2.
•对角面面积为a2,侧面积为a2.
IV•课时小结
通过本节学习，我们又一次体会到了“空间图形平面化”的思想在推导正棱锥侧面积中的运用，体会到了“由特殊到一般”的认识规律和“创造条件促成事物的转化”的思想在推导棱锥体积过程中的应用•要求大家不仅要在理解的基础上熟练记忆并应用这些公式，而且在以后的学习过程中，要尝试着将这些思想应用到其他问题的解决中
V•课后作业
(一)课本P53 9、10.
(二)1•预习内容
(1)正棱锥直观图的画法•
(2)动手做课本P51图9-78与图9-79的模型•
(3)作课本P52图9-81的图形，并试着沿其中的虚线折叠，再适当对接，粘成五种正多面体•
(4)阅读课本9.9节后的材料，了解为什么只有五种正多面体•
2. 预习提纲
(1)画正棱锥直观图的基本步骤是什么•
(2)多面体的概念及分类如何•
(3 )正多面体的概念及其种类如何•
•板书设计
棱锥(二)
1.正棱锥的侧面积公式练习
2.棱锥的一条性质
3.棱锥的体积公式小结。