3.4文克勒地基上梁的计算
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等于F0之半，且指向上方。根据
符号规定，在右侧截面有V=－F0 /2，由此得C=F0λ/2kb 。
O
F0
wF 0exco xs sin x
2kb
+V 符号规定
wF 0exco xs sin x
2kb
将上式对x依次取一阶、二阶和三 阶导数：
w F 2 k 0A x b ， F k 02B b x,M 4 F 0C x,V F 2 0D x
如地基压缩层内土质均匀，可用在载荷试 验p-s曲线确定k。取对应于基底平均反力p 及其对应的沉降值s。
kp p/ s,
p为平均反力， s为刚性荷载板沉降值
对粘性土地基 ：
承压板边长
k (bp /b)kp
30cm
太沙基建议的方法：1ch*1ch的方形载荷板
砂土
考虑了砂土的变形模量随深度逐渐增大的影响。
w e x C 3 cx o C 4 s sx i n
对称性：在x=0处，dw/dx=0，代 入上式得C3－C4=0。令C3=C4=C， 则上式成为
w e x C cx o ss x i n
F0 x
静力平衡条件：再在O点处紧靠
F0的左、右侧把梁切开，则作用 于O点左右两侧截面上的剪力均
M V b d d p / 2 q x x d d / 2 d M x x d x 0 M dM V dx
q d ( V d x ) V b p 0d x dV bpq
dx
EI
d2w dx2
M
将上式连续对坐标x取两次导数，便得：
Ed d I4w 4xdd2M 2xd dV xb pq 对于没有分布荷载作用（q = 0）的梁段，上式成为：
dd4xw4
k bw0 EI
d4w44w0
dx4
四阶常系数线性常微分方程
dd4xw4 44w0
特征方程 特征方程根
r4440
r1,2 1i r3,4 1i
解得该方程的通解为：
wex(C1coxsC2sinx) ex(C3coxsC4sinx)
式中C１、C２、C３和C４为积分常数
dw dx
VddM xEIdd3w x3
设外荷载在梁ⅡA、B两截面上所产生的弯矩和剪力分别 为Ma、Va及Mb、Vb，则
FA
4
FB
4
Cl
MA 2
MB 2
Dl
M
a
FA 2
FB 2
Dl
M A
2
M B
2
Al
V
a
FA
4
Cl
FB
4
MA 2
Dl
MB 2
M b
FA 2
Dl
FB 2
M A
2
Al
M B
2
V
b
解上述方程组得：
F A E l F l D l V a E l F l A l M a
3.4.3柔度指数
梁的柔度特征值
4 kb
4 EI
L—柔度指数
表征文克勒地基上梁的相对刚柔程度的一个无量纲值
按l值的大小将梁可划分三种：
L/4 短梁（刚性梁） /4L 有限长 (有梁限刚)度梁 L 长梁（柔性梁）
计算模式：
➢对于短梁，采用基底反力呈直线分布的简 化方法计算；
➢对于有限长梁，应用叠加原理，转化为无 限长梁计算；
➢ 未能考虑到地基的成层性、非均质性以及 土体应力应变关系的非线性等重要因素。
三、有限压缩层地基模型
有限压缩层地基模型：把计算沉降的分层总 和法应用于地基上梁和板的分析，地基沉降 等于各计算分层在侧限条件下压缩量之和。
公式同弹性半空间地基模型，柔度矩阵：
nc
ij t 1
h tij ti Es ti
A x e xc C x e xc
o o x x s s s siix x n n ,,D B x x e e x xs cio x n x s
对F0左边的截面（x＜0），需用x 的绝 对值代入计算，计算结果为w和M时正
负号不变，但 和V则取相反的符号。
w e x C 1 c x C o 2 s x e i s x C 3 n c x C o 4 s x i s M0
➢对于长梁，如柔度较大的梁，可直接按无 限长梁进行简化计算；但如梁上的集中荷 载与梁端的最小距离x<π/ 时，按有限长 梁计算。
在选择计算方法时，除了按λl值划分梁的类型外， 还需兼顾外荷载的大小和作用点位置。
在实际工程中，基础梁还存在一端为有 限梁端，另一端为无限长，称为半无限 长梁。
3.4.4基床系数的的确定
例题3-2，推导外伸半无限长梁的挠度公式。
集中力
M
F0
4
Cx
V
F0
2
Dx
集中力偶
4
对称性
在推导交叉条形基础柱荷载分配公式时用到该公式！
（5）弹塑性模型 剑桥模型（Cam-Clay）——用于粘土 莱特-邓肯模型（Lade-Duncan）——用于砂土
（6）粘弹性模型
一、 文克勒地基模型 1867年捷克工程师文克勒提出如下假设：
地基上任一点所受的压力强度p与该点的地基 沉降量s成正比。
p=kS
K为基床反力系数，单位kN/m3
➢ 把地基划分许多竖直土柱，每条土柱可由一根 弹簧代替。压力与变形成正比。
EI
d4w dx4
bp
上式是基础梁的挠曲微分方程，对哪一种地基模型都适用。
采用文克勒地基模型时
EI
d4w dx4
bp
pk s
sw
EI
d4w dx4
bk
w
文克勒地基上梁
的挠曲微分方程
dd4xw4
k bw EI
0
柔度特征值： 4 kb 4 EI
λ单位为m-1,其倒数为特征长度。 λ值与地基基 床系数和梁的抗弯刚度有关， λ值越小，则基础 的相对刚度愈大。
d2w M EI dx2
pk w
w e x C 1 c x C o 2 s x e i s x C 3 n c x C o 4 s x i s
2 .集中荷载作用下的解答 (1)竖向集中力作用下
F0 x
边界条件：当x→∞时，w→0。将
O
此边界条件代入上式，得C１=C２=0。 梁的右半部，上式成为：
➢ 基底反力图形与竖向位移相似，如刚度大（基 础）受荷后基础底面仍保持平面，基底反力图 形按直线规律变化。
（a）
反力图 （b）
反力图 （c）
图3-8 文克勒地基模型
（a）侧面无摩阻力的土柱体系；（b）弹簧模型；（c）文克勒地基上的刚性基础
适用范围：
1）地基主要受力层为软土； 2）厚度不超过基础底面宽度之半的薄压缩层
1）布辛奈斯科解，作用P时距r表面沉降s为
Sp (1 2)/E 0r
2）均荷作用下，矩形中心点沉降，可对上式 积分得
按叠加法，网格i中点的沉降为所有n个网格上的基底 压力分别引起的沉降之和，即
即对于整个基础有
[δ]称为地基柔 度矩阵
优点：能够扩散应力和变形，可以反应邻近 荷载的影响。
缺点：
➢ 模型的扩散能力往往超过地基实际情况， 沉降量和沉降范围比实测结果大。
F 0 M 0
2）变形协调 Wi Si
挠度=沉降量
➢ 解析解：指能以函数的形式解析地表达出 来地解答。如文克勒地基上梁的解答。
➢ 数值解：把梁或板微分方程离散化，最终 得到一组线性代数方程，从而求得近似地 数值解。
有限单元法 有限差分法
3.4 文克勒地基上梁计算
3.4.1 无限长梁的解答 一、微分方程
Fl
E lD
l V b
Fl
E l Al M
b
M
A
E l
F
l
C
l
V 2
a
E l
FlD l M
a
F l
E
l
C
l
V 2
b
Fl
E lD l M
b
F B F l E l D l V a F l E l A l M a
E l
FlD
l V b
E l
Fl Al M
b
M
B
Fl
注意：1）在每次计算时，均需把坐标原点 移到相应的集中荷载作用点处；正确利 用对称性；
2）Aa、Da、Cb等系数是根据相应λx 值分别查表得到；
3.4.2有限长梁
思路：把有限长 梁转化为无限长 梁计算。
以无限长梁为基础，利用叠加原理来求得满足 有限长梁两自由边界条件的解答。
附加荷载FA 、MA和FB 、MB称为梁端边界条件力。
粘性土
例题3-1
例图3-1中的条形基础抗弯刚度EI =4.3×103 MPa·m4，长 l=17m，底面宽b =2.5m，预估平均沉降sm=39.7mm。试计 算基础中点C处的挠度、弯矩和基底净反力。
主要步骤：
✓首先判断梁的柔度；
✓将有限长梁转化为无限长梁计算；求得边 界条件力；
✓将外荷载和梁端边界条件力同时作用于无 限长梁，求得待求截面处弯矩、挠度等结 果。
地基；
3）塑性区较大时； 4）支承在桩上的连续基础，可以用弹簧体系
代替群桩。
优点：形式简单、参数少，应用比较广泛。
缺陷：该模型不能扩散应力和变形，不能传 递剪力。
二、 弹性半空间地基模型
弹性半空间地基模型：假定将地基视为均质的线性 变形半空间，用弹性力学求解地基附加应力或位移， 地基上任意点沉降与整个基底反力及相邻荷载分布 有关。
Ax
当计算截面位于M0的左边时，上 式中的x取绝对值，w和M取与计
算结果相反的符号，而 和V的符
号不变。
3、多个集中荷载作用下无限长梁计算
F D 集中力
M
F0
4
Cx
V 0 2
x
集中力偶
把各荷载单独作用时在该截面引起的效应叠加， 即得到共同作用下的总效应：
集中力
M
F0
4
Cx
V
F0
2
Dx
集中力偶
在实际工程中基础梁还存在一端为有限梁端另一端为无限长称为半无限有分层时的薄压缩层地基对于厚度为按预估沉降量计算基床系数k的大小取决于基底压力大小及分布土的压缩性土层厚度邻近荷载等等因素
基础工程
3.3 地基计算模型
土的应力应变特性：非线性、弹塑性、土的各向异性、结构 性、流变性、剪胀性。
影响土应力应变关系的应力条件：应力水平、应力路径、 应力历史。
（2）集中力偶作用下
x
当x→∞时，w→0，C１=C２=0。
O
当x=0时w0，所以C3=0。 M0 M0/2
在右侧截面有M=M0/2，由此得
C4=M0λ2/kb，于是
wM02 exsinx
kb
求w对x的一、二和三阶导数后，所得的式子归纳如下：
w
M02
kb
Bx
,
M03
kb
Cx
M
M0 2
Dx
,V
M0
2
x dx
q
+q
F
q
M0
M
M+dM
o
x
V V+dV
w bp
+V
+M
bp
w
挠曲曲线
x
(a)
(b)(c)ຫໍສະໝຸດ 图3-11 文克勒地基上基础梁的计算图式
（a）梁上荷载和挠曲；（b）梁的微单元；（c）符号规定
根据材料力学，梁挠度w的微分方程式为：
EI
d2w dx2
M
由梁的微单元的静力平衡条件∑M =0、∑V =0得到：
基床系数k的大小取决于基底压力大小及分布、土 的压缩性、土层厚度、邻近荷载等等因素。
1）按预估沉降量计算
k p0 / sm 对于厚度为 h 的薄压缩层地基
物理意义：使 土体产生单位 位移所需的应
力；
sm zh /E s p0h /E s
k Es /h 有分层时
k 1 /
hi
E si
2）按载荷试验成果确定
E
l
C
l
V 2
a
Fl
E lD l M
a
E l
F
l
C
l
V 2
b
E l
FlD l M
b
掌握有限长梁的计算
有限长梁的计算步骤：
1、将有限长梁视为无限长梁，求解所有集中力和力偶作 用下梁端A,B处的内力，并叠加为 Ma Va Mb Vb 2、在无限长梁A,B处施加梁端边界条件力MA，PA ，MB，PB, 使其产生的A,B处的内力为，-Ma，-Va ，-Mb，-Vb；可求出 梁端边界条件力。 3、在无限长梁上，计算梁上外荷载以及两端边界力共同 作用下无限长梁上待求位置处的内力及位移。
σtij—第i个棱柱体中第t分层由P=1/f引起的竖向附加应力的平均值(取中点)
优点：
➢较好地反映了地基土扩散应力和变形地能 力，反映邻近荷载的影响；
➢考虑了土层沿深度和水平方向的变化。
缺点：未能考虑土的非线性和基底反力的塑 性重分布。
四、 相互作用基本条件
两个条件
1）静力平衡
外荷载和基底反力作用下满足
进行地基上梁和板分析时，必须解决基底压 力分布和沉降计算问题，它涉及土应力应变 关系，表达这种关系模式称为地基模型。
（1）线弹性模型 文克勒地基模型，弹性半空间地基 模型，有限压缩层地基模型
（2）刚塑性模型 用于地基承载力、边坡稳定、
土压力等计算。
（3）理想弹塑性模型
（4）非线性弹性模型 E-μ模型（邓肯-张Duncan-Chang、双曲线） K-G模型
符号规定，在右侧截面有V=－F0 /2，由此得C=F0λ/2kb 。
O
F0
wF 0exco xs sin x
2kb
+V 符号规定
wF 0exco xs sin x
2kb
将上式对x依次取一阶、二阶和三 阶导数：
w F 2 k 0A x b ， F k 02B b x,M 4 F 0C x,V F 2 0D x
如地基压缩层内土质均匀，可用在载荷试 验p-s曲线确定k。取对应于基底平均反力p 及其对应的沉降值s。
kp p/ s,
p为平均反力， s为刚性荷载板沉降值
对粘性土地基 ：
承压板边长
k (bp /b)kp
30cm
太沙基建议的方法：1ch*1ch的方形载荷板
砂土
考虑了砂土的变形模量随深度逐渐增大的影响。
w e x C 3 cx o C 4 s sx i n
对称性：在x=0处，dw/dx=0，代 入上式得C3－C4=0。令C3=C4=C， 则上式成为
w e x C cx o ss x i n
F0 x
静力平衡条件：再在O点处紧靠
F0的左、右侧把梁切开，则作用 于O点左右两侧截面上的剪力均
M V b d d p / 2 q x x d d / 2 d M x x d x 0 M dM V dx
q d ( V d x ) V b p 0d x dV bpq
dx
EI
d2w dx2
M
将上式连续对坐标x取两次导数，便得：
Ed d I4w 4xdd2M 2xd dV xb pq 对于没有分布荷载作用（q = 0）的梁段，上式成为：
dd4xw4
k bw0 EI
d4w44w0
dx4
四阶常系数线性常微分方程
dd4xw4 44w0
特征方程 特征方程根
r4440
r1,2 1i r3,4 1i
解得该方程的通解为：
wex(C1coxsC2sinx) ex(C3coxsC4sinx)
式中C１、C２、C３和C４为积分常数
dw dx
VddM xEIdd3w x3
设外荷载在梁ⅡA、B两截面上所产生的弯矩和剪力分别 为Ma、Va及Mb、Vb，则
FA
4
FB
4
Cl
MA 2
MB 2
Dl
M
a
FA 2
FB 2
Dl
M A
2
M B
2
Al
V
a
FA
4
Cl
FB
4
MA 2
Dl
MB 2
M b
FA 2
Dl
FB 2
M A
2
Al
M B
2
V
b
解上述方程组得：
F A E l F l D l V a E l F l A l M a
3.4.3柔度指数
梁的柔度特征值
4 kb
4 EI
L—柔度指数
表征文克勒地基上梁的相对刚柔程度的一个无量纲值
按l值的大小将梁可划分三种：
L/4 短梁（刚性梁） /4L 有限长 (有梁限刚)度梁 L 长梁（柔性梁）
计算模式：
➢对于短梁，采用基底反力呈直线分布的简 化方法计算；
➢对于有限长梁，应用叠加原理，转化为无 限长梁计算；
➢ 未能考虑到地基的成层性、非均质性以及 土体应力应变关系的非线性等重要因素。
三、有限压缩层地基模型
有限压缩层地基模型：把计算沉降的分层总 和法应用于地基上梁和板的分析，地基沉降 等于各计算分层在侧限条件下压缩量之和。
公式同弹性半空间地基模型，柔度矩阵：
nc
ij t 1
h tij ti Es ti
A x e xc C x e xc
o o x x s s s siix x n n ,,D B x x e e x xs cio x n x s
对F0左边的截面（x＜0），需用x 的绝 对值代入计算，计算结果为w和M时正
负号不变，但 和V则取相反的符号。
w e x C 1 c x C o 2 s x e i s x C 3 n c x C o 4 s x i s M0
➢对于长梁，如柔度较大的梁，可直接按无 限长梁进行简化计算；但如梁上的集中荷 载与梁端的最小距离x<π/ 时，按有限长 梁计算。
在选择计算方法时，除了按λl值划分梁的类型外， 还需兼顾外荷载的大小和作用点位置。
在实际工程中，基础梁还存在一端为有 限梁端，另一端为无限长，称为半无限 长梁。
3.4.4基床系数的的确定
例题3-2，推导外伸半无限长梁的挠度公式。
集中力
M
F0
4
Cx
V
F0
2
Dx
集中力偶
4
对称性
在推导交叉条形基础柱荷载分配公式时用到该公式！
（5）弹塑性模型 剑桥模型（Cam-Clay）——用于粘土 莱特-邓肯模型（Lade-Duncan）——用于砂土
（6）粘弹性模型
一、 文克勒地基模型 1867年捷克工程师文克勒提出如下假设：
地基上任一点所受的压力强度p与该点的地基 沉降量s成正比。
p=kS
K为基床反力系数，单位kN/m3
➢ 把地基划分许多竖直土柱，每条土柱可由一根 弹簧代替。压力与变形成正比。
EI
d4w dx4
bp
上式是基础梁的挠曲微分方程，对哪一种地基模型都适用。
采用文克勒地基模型时
EI
d4w dx4
bp
pk s
sw
EI
d4w dx4
bk
w
文克勒地基上梁
的挠曲微分方程
dd4xw4
k bw EI
0
柔度特征值： 4 kb 4 EI
λ单位为m-1,其倒数为特征长度。 λ值与地基基 床系数和梁的抗弯刚度有关， λ值越小，则基础 的相对刚度愈大。
d2w M EI dx2
pk w
w e x C 1 c x C o 2 s x e i s x C 3 n c x C o 4 s x i s
2 .集中荷载作用下的解答 (1)竖向集中力作用下
F0 x
边界条件：当x→∞时，w→0。将
O
此边界条件代入上式，得C１=C２=0。 梁的右半部，上式成为：
➢ 基底反力图形与竖向位移相似，如刚度大（基 础）受荷后基础底面仍保持平面，基底反力图 形按直线规律变化。
（a）
反力图 （b）
反力图 （c）
图3-8 文克勒地基模型
（a）侧面无摩阻力的土柱体系；（b）弹簧模型；（c）文克勒地基上的刚性基础
适用范围：
1）地基主要受力层为软土； 2）厚度不超过基础底面宽度之半的薄压缩层
1）布辛奈斯科解，作用P时距r表面沉降s为
Sp (1 2)/E 0r
2）均荷作用下，矩形中心点沉降，可对上式 积分得
按叠加法，网格i中点的沉降为所有n个网格上的基底 压力分别引起的沉降之和，即
即对于整个基础有
[δ]称为地基柔 度矩阵
优点：能够扩散应力和变形，可以反应邻近 荷载的影响。
缺点：
➢ 模型的扩散能力往往超过地基实际情况， 沉降量和沉降范围比实测结果大。
F 0 M 0
2）变形协调 Wi Si
挠度=沉降量
➢ 解析解：指能以函数的形式解析地表达出 来地解答。如文克勒地基上梁的解答。
➢ 数值解：把梁或板微分方程离散化，最终 得到一组线性代数方程，从而求得近似地 数值解。
有限单元法 有限差分法
3.4 文克勒地基上梁计算
3.4.1 无限长梁的解答 一、微分方程
Fl
E lD
l V b
Fl
E l Al M
b
M
A
E l
F
l
C
l
V 2
a
E l
FlD l M
a
F l
E
l
C
l
V 2
b
Fl
E lD l M
b
F B F l E l D l V a F l E l A l M a
E l
FlD
l V b
E l
Fl Al M
b
M
B
Fl
注意：1）在每次计算时，均需把坐标原点 移到相应的集中荷载作用点处；正确利 用对称性；
2）Aa、Da、Cb等系数是根据相应λx 值分别查表得到；
3.4.2有限长梁
思路：把有限长 梁转化为无限长 梁计算。
以无限长梁为基础，利用叠加原理来求得满足 有限长梁两自由边界条件的解答。
附加荷载FA 、MA和FB 、MB称为梁端边界条件力。
粘性土
例题3-1
例图3-1中的条形基础抗弯刚度EI =4.3×103 MPa·m4，长 l=17m，底面宽b =2.5m，预估平均沉降sm=39.7mm。试计 算基础中点C处的挠度、弯矩和基底净反力。
主要步骤：
✓首先判断梁的柔度；
✓将有限长梁转化为无限长梁计算；求得边 界条件力；
✓将外荷载和梁端边界条件力同时作用于无 限长梁，求得待求截面处弯矩、挠度等结 果。
地基；
3）塑性区较大时； 4）支承在桩上的连续基础，可以用弹簧体系
代替群桩。
优点：形式简单、参数少，应用比较广泛。
缺陷：该模型不能扩散应力和变形，不能传 递剪力。
二、 弹性半空间地基模型
弹性半空间地基模型：假定将地基视为均质的线性 变形半空间，用弹性力学求解地基附加应力或位移， 地基上任意点沉降与整个基底反力及相邻荷载分布 有关。
Ax
当计算截面位于M0的左边时，上 式中的x取绝对值，w和M取与计
算结果相反的符号，而 和V的符
号不变。
3、多个集中荷载作用下无限长梁计算
F D 集中力
M
F0
4
Cx
V 0 2
x
集中力偶
把各荷载单独作用时在该截面引起的效应叠加， 即得到共同作用下的总效应：
集中力
M
F0
4
Cx
V
F0
2
Dx
集中力偶
在实际工程中基础梁还存在一端为有限梁端另一端为无限长称为半无限有分层时的薄压缩层地基对于厚度为按预估沉降量计算基床系数k的大小取决于基底压力大小及分布土的压缩性土层厚度邻近荷载等等因素
基础工程
3.3 地基计算模型
土的应力应变特性：非线性、弹塑性、土的各向异性、结构 性、流变性、剪胀性。
影响土应力应变关系的应力条件：应力水平、应力路径、 应力历史。
（2）集中力偶作用下
x
当x→∞时，w→0，C１=C２=0。
O
当x=0时w0，所以C3=0。 M0 M0/2
在右侧截面有M=M0/2，由此得
C4=M0λ2/kb，于是
wM02 exsinx
kb
求w对x的一、二和三阶导数后，所得的式子归纳如下：
w
M02
kb
Bx
,
M03
kb
Cx
M
M0 2
Dx
,V
M0
2
x dx
q
+q
F
q
M0
M
M+dM
o
x
V V+dV
w bp
+V
+M
bp
w
挠曲曲线
x
(a)
(b)(c)ຫໍສະໝຸດ 图3-11 文克勒地基上基础梁的计算图式
（a）梁上荷载和挠曲；（b）梁的微单元；（c）符号规定
根据材料力学，梁挠度w的微分方程式为：
EI
d2w dx2
M
由梁的微单元的静力平衡条件∑M =0、∑V =0得到：
基床系数k的大小取决于基底压力大小及分布、土 的压缩性、土层厚度、邻近荷载等等因素。
1）按预估沉降量计算
k p0 / sm 对于厚度为 h 的薄压缩层地基
物理意义：使 土体产生单位 位移所需的应
力；
sm zh /E s p0h /E s
k Es /h 有分层时
k 1 /
hi
E si
2）按载荷试验成果确定
E
l
C
l
V 2
a
Fl
E lD l M
a
E l
F
l
C
l
V 2
b
E l
FlD l M
b
掌握有限长梁的计算
有限长梁的计算步骤：
1、将有限长梁视为无限长梁，求解所有集中力和力偶作 用下梁端A,B处的内力，并叠加为 Ma Va Mb Vb 2、在无限长梁A,B处施加梁端边界条件力MA，PA ，MB，PB, 使其产生的A,B处的内力为，-Ma，-Va ，-Mb，-Vb；可求出 梁端边界条件力。 3、在无限长梁上，计算梁上外荷载以及两端边界力共同 作用下无限长梁上待求位置处的内力及位移。
σtij—第i个棱柱体中第t分层由P=1/f引起的竖向附加应力的平均值(取中点)
优点：
➢较好地反映了地基土扩散应力和变形地能 力，反映邻近荷载的影响；
➢考虑了土层沿深度和水平方向的变化。
缺点：未能考虑土的非线性和基底反力的塑 性重分布。
四、 相互作用基本条件
两个条件
1）静力平衡
外荷载和基底反力作用下满足
进行地基上梁和板分析时，必须解决基底压 力分布和沉降计算问题，它涉及土应力应变 关系，表达这种关系模式称为地基模型。
（1）线弹性模型 文克勒地基模型，弹性半空间地基 模型，有限压缩层地基模型
（2）刚塑性模型 用于地基承载力、边坡稳定、
土压力等计算。
（3）理想弹塑性模型
（4）非线性弹性模型 E-μ模型（邓肯-张Duncan-Chang、双曲线） K-G模型