江苏省扬州大学附属中学2019-2020学年高一(上)第一次月考数学试卷

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江苏省扬州大学附属中学2019-2020学年高一(上)第一次月考
数学试卷
试卷副标题
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上
第I 卷（选择题)
请点击修改第I 卷的文字说明 一、单选题
1．在下列选项中，能正确表示集合A {2,=-0，2}和2B {x |x 2x 0}=+=关系的是( ) A.A B =
B.A B ⊇
C.A B ⊆
D.A B ⋂=
【来源】辽宁省沈阳市2018-2019学年高一期末数学试题 【答案】B 【解析】 【分析】
由题意，求解一元二次方程2x 2x 0+=，得：x 0=或x 2=-，可得{}B 2,0=-，即可作差判定，得到答案。

【详解】
由题意，解方程2x 2x 0+=，得：x 0=或x 2=-，{}B 2,0=-， 又A {2,=-0，2}，所以B A ⊆， 故选：B ． 【点睛】
本题考查了集合的包含关系判断及应用，其中解答中正确求解集合B 是解答本题的关键，着重考查了推理与运算能力，属于简单题。

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线…………线…………2．设全集{}1,2,3,4,5U =，集合{}{}1,2,3,2,4A B ==，则图中阴影部分所表示的集合是（）
A ．{}1,3,4
B ．{}2,4
C ．{}4,5
D ．{}4
【来源】江苏省扬州大学附属中学2019-2020学年高一(上)第一次月考数学试卷 【答案】D 【解析】 【分析】
由Venn 图中阴影部分确定的集合为B∩（∁U A ），然后根据集合的基本运算求解即可． 【详解】
由Venn 图中阴影部分可知对应集合为B∩（∁U A ），
∵全集U ＝{1，2，3，4，5}，集合A ＝{1，2，3}，B ＝{2，4}， ∴∁U A ＝{4，5}，B∩（∁U A ）＝{4}． 故选：D ． 【点睛】
本题主要考查集合的基本运算，利用Venn 图确定对应的集合是解决本题的关键． 3．函数1()2x f x a +=+（0a >且1a ≠）的图象恒过定点（） A ．（0，3）
B ．（1，3）
C ．（-1，2）
D ．（-1，3）
【来源】江苏省扬州大学附属中学2019-2020学年高一(上)第一次月考数学试卷 【答案】D 【解析】 【分析】
令x +1＝0，即x ＝﹣1时，y ＝a 0
+2＝3，故可得函数y ＝a x +1+2（a ＞0，且a ≠1）的图象
必经过定点． 【详解】
令x +1＝0，即x ＝﹣1时，y ＝a 0
+2＝3
∴函数y ＝a
x +1
+2（a ＞0，且a ≠1）的图象必经过点（﹣1，3）
故选：D ． 【点睛】
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本题考查函数过特殊点，解题的关键是掌握指数函数的性质，属于基础题． 4．若函数21)2f x x =-，则(3)f 等于（ ）． A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
【来源】北京海淀外国语实验中学2017-2018学年高一上学期期中考试数学试题 【答案】A 【解析】
21)2f x x =-，
当2x =时，2
(3)2220f =-⨯=． 故选A ．
5．已知()f x 是奇函数，当0x >时()(1)f x x x =-+，当0x <时，()f x 等于（ ） A ．(1)x x --
B ．(1)x x -
C ．(1)x x -+
D ．(1)x x +
【来源】2010年贵州省遵义四中高一上学期期中考试理科数学试卷 【答案】B 【解析】 【分析】
由0x <时，0x ->，则()(1)f x x x -=-，根据函数的奇偶性，即可得到函数的解析式； 【详解】
当x 0<时，x 0->，则()()f x x 1x -=-．
又()f x 是R 上的奇函数，所以当x 0<时()()()f x f x x 1x =--=--． 故选项A 正确． 【点睛】
本题主要考查了利用函数的奇偶性求解函数的解析式，其中解答中合理利用函数的奇偶性转化求解是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题． 6．满足条件{}{},,a A a b c ⊆⊆的所有集合A 的个数是 （ ） A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
【来源】2015-2016学年陕西省西安市七十中高一上学期期中考试数学试卷（带解析) 【答案】D 【解析】
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试题分析：满足题意的集合A 可以为{}{}{}{},,,,,,,a a b a c a b c ，共4个 考点：集合的子集
7．下列函数中，既是奇函数，又在（0，1）上是增函数的是（） A ．()1y x x =-
B ．2
1
y x x =
- C ．1y x x
=+
D ．12y x x
=-
【来源】江苏省扬州大学附属中学2019-2020学年高一(上)第一次月考数学试卷 【答案】D 【解析】 【分析】
运用奇偶性和单调性的定义，判断即可得到所求结论． 【详解】
A ，令y ＝f （x ）＝x （x ﹣1），f （﹣x ）＝x （x +1），﹣f （x ）＝﹣x （x ﹣1）＝x （1﹣x ），不满足f （﹣x ）＝﹣f （x ），不为奇函数；
B ，y ＝f （x ）21x =-x ，f （﹣x ）21x =+x ，﹣f （x ）=2
1
x -+x 不满足f （﹣x ）＝﹣f （x ），不为奇函数；
C ，y ＝f （x ）＝x 1
x
+满足f （﹣x ）＝﹣f （x ），为奇函数， 又x=13时，y ＝3+13=103，x=12时，y ＝2+12=52，即1132<，但
105
32
>，所以不满足在（0，1）上是增函数； D ，y ＝f （x ）＝2x 1
x
-
（x ≠0）满足f （﹣x ）＝﹣f （x ），为奇函数，且在（0，1）递增，符合题意；故选：D ． 【点睛】
本题考查函数的奇偶性和单调性的判断，注意运用定义法和单调性的定义，属于基础题． 8．已知集合 中有且只有一个元素，那么实数 的取值集合是（ ） A.
B.
C.
D.
【来源】山西省太原市2018-2019学年高一上学期期中考试数学试卷 【答案】B 【解析】 【分析】
由题意分方程为一次方程和二次方程两种情况分别求解. 【详解】
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…………订………级：___________考号：______…………订………由集合 中有且只有一个元素， 得a=0或
, ∴实数a 的取值集合是{0,
} 故选：B ． 【点睛】
本题考查实数的取值集合的求法，考查单元素集的性质等基础知识.
9．如图，函数()f x 的图象是曲线OAB ，其中点O ，A ，B 的坐标分别为（0，0），（1，
2），（3，1），则()13f f ⎛⎫
⎪ ⎪⎝⎭
的值为（）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
【来源】江苏省扬州大学附属中学2019-2020学年高一(上)第一次月考数学试卷 【答案】B 【解析】 【分析】
由条件求得f （3）＝1，
()13f =1，从而求得f [()
1
3f ]＝f （1）的值． 【详解】
由题意可得f （3）＝1，∴()13f =1，∴f [()
1
3f ]＝f （1）＝2， 故选：B ． 【点睛】
本题主要考查求函数的值，考查了函数图像的应用，属于基础题．
10．已知函数(3)5,1()2,1a x x f x a x x
-+≤⎧⎪
=⎨>⎪⎩是(－∞，＋∞)上的减函数，则a 的取值范围
是
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A.(0，3)
B.(0，3]
C.(0，2)
D.(0，2]
【来源】甘肃省兰州第一中学2019届高三9月月考数学（文)试题 【答案】D 【解析】 【分析】
由()f x 为R 上的减函数，根据1x ≤和1x >时，()f x 均单调递减，且
2(3)151
a
a -⨯+≥
，即可求解. 【详解】
因为函数()f x 为R 上的减函数，
所以当1x ≤时，()f x 递减，即30a -<，当1x >时，()f x 递减，即0a >， 且2(3)151
a
a -⨯+≥
，解得2a ≤， 综上可知实数a 的取值范围是(0,2]，故选D. 【点睛】
本题主要靠考查了分段函数的单调性及其应用，其中熟练掌握分段的基本性质，列出相应的不等式关系式是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题. 11．设()f x 为奇函数，且在(),0-∞内是减函数，()20f =，则()
0f x x
<的解集为（）
A ．{}|22x x x <->或
B ．{}|202x x x <-<<或
C ．{}
|202x x -<<或x>
D ．{}
|2002x x x -<<<<或
【来源】江苏省扬州大学附属中学2019-2020学年高一(上)第一次月考数学试卷 【答案】A 【解析】 【分析】
由条件画出函数f （x ）的单调性的示意图，数形结合可得 ()f x x
＜0的解集．
【详解】
∵f （x ）为奇函数，且在（﹣∞，0）内是减函数，故在（0，+∞）上单调递减． ∵f （2）＝0，∴f （﹣2）＝﹣f （2）＝0，故函数f （x ）的图象如图所示：
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………○…………线………：___________
………○…………线………则由
()f x x
＜0可得x •f （x ）＜0，即x 和f （x ）异号，故有x ＜﹣2，或x ＞2，
故选：A ．
【点睛】
本题主要考查函数的单调性和奇偶性的综合应用，属于基础题．
12．若函数()3
1f x ax bx =++在[],m n 上的值域为[]
2,4，则()3
2g x ax bx =+-在
[],n m --上的值域为（）
A ．[]4,2--
B ．[]
6,3--
C ．[]1,1-
D ．[]
5,3--
【来源】江苏省扬州大学附属中学2019-2020学年高一(上)第一次月考数学试卷 【答案】D 【解析】 【分析】
构造函数h （x ），根据函数的奇偶性及对称性即可求解． 【详解】
函数()3
1f x ax bx =++在[m,n]上的值域为[2,4]，
设h （x ）＝3ax bx +=()
1f x -，则h （x ）在[m,n]上的值域为[1,3]， 且满足h （﹣x ）＝()()3
a x
b x -+-=-h （x ），
∴h （x ）是定义域R 上的奇函数；∴h （x ）在[-n,
-m]上的值域为[-3, -1] 又g （x ）＝h （x ）-2，∴g （x ）在[-n,
-m]上的值域为[-5, -3] 故选：D ． 【点睛】
本题考查了函数的奇偶性的应用问题，构造函数是解题的关键，是基础题．
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第II 卷（非选择题)
请点击修改第II 卷的文字说明 二、填空题
13．函数y 1
3
x -的定义域为____________． 【来源】2018年9月9日《每日一题》人教必修1-每周一测 【答案】[3
2
，3）∪（3，+∞） 【解析】 【分析】
具体函数的定义域，要求函数的每一部分要有意义，最终将每一部分的定义域取交集即可.本题需满足230
30
x x -≥⎧⎨-≠⎩,解不等式即可.
【详解】
函数y +13x -有意义，需满足23030
x x -≥⎧⎨-≠⎩，解得x ≥3
2且x ≠3，∴函数的定义
域为[3
2
，3）∪（3，+∞）． 故答案为：[3
2
，3）∪（3，+∞）.
【点睛】
这个题目考查了具体函数的定义域问题，常见的有：对数，要求真数大于0即可；偶次根式，要求被开方数大于等于0；分式，要求分母不等于0，次数是零次幂的式子，要求底数不为0;多项式要求每一部分的定义域取交集. 14．若f (x )＝(x ＋a )(x －4)为偶函数，则实数a ＝__________.
【来源】2012年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（重庆卷带解析) 【答案】4 【解析】
试题分析：∵2()()(4)(4)4f x x a x x a x a =+-=+--为偶函数，∴40a -=，4a =. 考点：偶函数的性质.
15．已知函数25,5
()(2),5
x x x f x f x x ⎧-≤=⎨->⎩，则(8)f 的值为 .
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……外…………○…………※※请※※不※……内…………○…………【来源】2015-2016学年江苏省泰兴中学高二下学期期中数学（文)试卷（带解析) 【答案】−76 【解析】
试题分析：()()(8)6448076f f f ===-=- 考点：分段函数求值
16．若函数()2
44f x x x =--的定义域为[]0,m ，值域为
[]8,4--，则m 的取值范围
是__________.
【来源】江苏省扬州大学附属中学2019-2020学年高一(上)第一次月考数学试卷 【答案】[2，4]． 【解析】 【分析】
根据二次函数的图象和性质可得：函数f （x ）＝x 2
﹣4x ﹣4的图象是开口向上，且以直
线x ＝2为对称轴的抛物线，故f （0）＝f （4）＝﹣4，f （2）＝﹣8，可得m 的取值范围． 【详解】
函数f （x ）＝x 2
﹣4x ﹣4的图象是开口向上，且以直线x ＝2为对称轴的抛物线 ∴f （0）＝f （4）＝﹣4，f （2）＝﹣8
∵函数f （x ）＝x 2
﹣4x ﹣4的定义域为[0，m ]，值域为[﹣8，﹣4]，
∴2≤m ≤4
即m 的取值范围是[2，4]． 故答案为：[2，4]．
【点睛】
本题考查了二次函数在闭区间上的最值问题，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．
三、解答题
17．计算
（1）
()
1123
3
2
103
41162563274π-⎛⎫⎛⎫-++-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
；
（2）已知13x x -+=，求1x x --.
【来源】江苏省扬州大学附属中学2019-2020学年高一(上)第一次月考数学试卷 【答案】（1）129
2
；（2） 【解析】 【分析】
（1）根据分数指数幂的定义，及指数的运算性质，代入计算可得答案；
（2）由x +x ﹣1＝3，可得（x +x ﹣1）2＝9，即x 2+x ﹣2
＝7，将所求平方，代入即可得答案．
【详解】
（1）121
3
10332411()(6)(256)2)3274π--++-+ 1213
324
3324151[()][()](4))1323
=-++-+
151112964216432322
=-++-+==； （2）∵1x x -+＝3，
∴（1x x -+）2＝x 2+x ﹣2
+2＝9， ∴x 2+x ﹣2
＝7．
则（1x x --）2＝x 2+x ﹣2
﹣2＝5，
∴1x x --=． 【点睛】
本题考查的知识点是有理指数幂的定义，有理指数幂的化简和求值，熟练掌握有理指数幂的运算性质，是解答的关键，是中档题．
18．已知全集 ，集合 ， ∁ ；
已知集合 ，且 ，求实数a 的取值范围．
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【来源】江苏省镇江市2018-2019学年高一上学期期中考试数学试题 【答案】（1） ； （2） . 【解析】 【分析】
（1）根据补集与交集的定义，计算即可；
（2）根据集合间的包含关系，列不等式组求出a 的取值范围． 【详解】
全集 ，集合 ， ， ∁ ， ∁ ；
集合 ， 又 ，
，
解得 ，
实数a 的取值范围是 ． 【点睛】
本题考查了集合间的基本运算问题，考查不等式的解法，是基础题． 19．已知函数23
()1
x f x x -=
+． （1）判断函数()f x 在区间[0,)+∞上的单调性，并用定义证明其结论； （2）求函数()f x 在区间[2,9]上的最大值与最小值．
【来源】新疆兵团第二师华山中学2018-2019学年高一上学期第一次调研考试数学试题 【答案】（1）证明见解析；（2）最大值为3(9)2f =；小值为1
(2)3
f = 【解析】 【详解】
试题分析：（1）利用单调性的定义，任取[
)12,0,x x ∈+∞，且12x x <，比较()()12f x f x -和0即可得单调性；
（2）由函数的单调性即可得函数最值. 试题解析：
（1）解：()f x 在区间[)0,+∞上是增函数. 证明如下：
任取[
)12,0,x x ∈+∞，且12x x <，
()()()()()()()()()()()()()
1221121212121212122312315232311111111x x x x x x x x f x f x x x x x x x x x -+-+----=
-=-=
++++++++.
∵()()12120,110x x x x -++，
∴()()120f x f x -<，即()()12f x f x <. ∴函数()f x 在区间[)0,+∞上是增函数.
（2）由（1）知函数()f x 在区间[]2,9上是增函数， 故函数()f x 在区间[]2,9上的最大值为2933
(9)912
f ⨯-==+，
最小值为()2231
2213
f ⨯-=
=+.
点睛：
本题考查利用函数的奇偶性求函数解析式,判断并证明函数的单调性,属于中档题目.证明函数单调性的一般步骤：（1）取值：在定义域上任取12,x x ，并且12x x >（或
12x x <）；（2）作差： ()()12f x f x -，并将此式变形（要注意变形到能判断整个式子符号为止）；（3）定号：()()12f x f x -和0比较； （4）下结论.
20．已知函数()y f x =(x ∈R )是偶函数，当0x ≥时，2()2f x x x =-． (1) 求函数()f x 的解析式；
(2) 若函数()f x 在区间[,2]a a +上具有单调性，求实数a 的取值范围.
【来源】江苏省南通市、盐城市六校联盟2017-2018学年高一第一学期期中联考数学试卷
【答案】（1）()22
2,0
=2,0
x x x f x x x x ⎧-≥⎨+<⎩；（2）31a a ≤-≥或 【解析】
试题分析：
(1)利用偶函数的性质求对称区间上的表达式；(2)明确函数()f x 的单调区间，函数()f x 在区间[],2a a +上具有单调性即[](]
,2,1a a +⊆-∞-或
[][),21+a a +⊆∞，
. 试题解析：
试卷第14页，总16页
…○…题※※
…○…（1）当0x <时，0x ->
()f x 为偶函数
()()()()2
2=22f x f x x x x x ∴-=---=+
()222,0
=2,0x x x f x x x x ⎧-≥∴⎨+<⎩
(2) 由题意可知：函数()f x 的单调增区间是[][
)1,0,1,-+∞， 单调减区间是(][]
,1,0,1-∞- 又函数
在区间[]
,2a a +上具有单调性
[](],2,1a a ∴+⊆-∞-或[][),21+a a +⊆∞，
即21a +≤-或1a ≥ 解得31a a ≤-≥或.
21．经市场调查，新街口某新开业的商场在过去一个月内（以30天计），顾客人数()f t （千人）与时间t （天）的函数关系近似满足1
()4f t t
=+（*t ∈N ），人均消费()g t （元）与时间t （天）的函数关系近似满足100(17,*),
()130(730,*).t t t N g t t t t N ≤≤∈⎧=⎨
-<≤∈⎩
（1）求该商场的日收益()w t （千元）与时间t （天）（130t ≤≤，*t ∈N ）的函数关系式；
（2）求该商场日收益的最小值（千元）．
【来源】江苏省南京市金陵中学2017-2018学年高一上学期期中考试数学试题
【答案】（1）400100,17,*,
()130
5194,730,*.t t t N w t t t t N t +≤≤∈⎧⎪
=⎨-+<≤∈⎪⎩
；（2）12103千元 【解析】
试题分析：（1）根据该商场的日收益=顾客人数×人均消费的钱数得w （t ）与t 的解析式；（2）根据第一问得到w （t ）为分段函数，分别求出各段的最值，第一段运用基本不等式求出最值，第二段是一个递减的一次函数求出最值比较即可
（1）()()()400100,17,*,130
5194,730,*.t t t N w t f t g t t t t N t +≤≤∈⎧⎪
==⎨-+<≤∈⎪⎩
（2）17t ≤≤时，()w t 单调递增，最小值在1t =处取到，()1500w =；
730t <≤时，5194t -单调递减，最小值在30t =时取到，
130
t
单调递减，最小值在30t =时取到，则()w t 最小值为()1301210
30519120303
w =-+=，
由12105003<，可得()w t 最小值为1210
3
． 答：该商场日收益的最小值为1210
3
千元．
22．二次函数()()2
210g x mx mx n m =-++>在区间[0,3]上有最大值4，最小值0.
（1）求函数()g x 的解析式； （2）设()()2g x x
f x x
-=
，若()0f x kx -≤在1,88
x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦
时恒成立，求k 的范围.
【来源】江苏省扬州大学附属中学2019-2020学年高一(上)第一次月考数学试卷 【答案】（1）g （x ）＝x 2
﹣2x +1；（2）[33，+∞） 【解析】 【分析】
（1）根据二次函数的性质讨论对称轴，即可求解最值，可得解析式． （2）求解f （x ）的解析式，f （x ）﹣kx ≤0在x ∈[1
8
，8]，分离参数即可求解． 【详解】
（1）g （x ）＝mx 2
﹣2mx +n +1（m ＞0）
其对称轴x ＝1，x ∈[0，3]上，
∴当x ＝1时，f （x ）取得最小值为﹣m +n +1＝0，…①． 当x ＝3时，f （x ）取得最大值为3m +n +1＝4，…②． 由①②解得：m ＝1，n ＝0
故得函数g （x ）的解析式为：g （x ）＝x 2
﹣2x +1
（2）由f （x ）()2241
g x x
x x x
x
--+=
=
当x ∈[
1
8
，8]时，f （x ）﹣kx ≤0恒成立， 即x 2﹣4x +1﹣kx 2
≤0恒成立， ∴x 2﹣4x +1≤kx 2
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∴2
1114(x x
-⋅
+≤k ． 设1
t x
=，则t ∈[18，8]
可得：1﹣4t +t 2＝（t ﹣2）2
﹣3≤k ．
当t ＝8时，（1﹣4t +t 2
）max ＝33 故得k 的取值范围是[33，+∞） 【点睛】
本题主要考查一元二次函数最值的求解，以及不等式恒成立问题，属于中档题．。