2017-2018年八年级数学上册11.3多边形及其内角和教案(新版)新人教版

§ 11.3.1多边形
教学目标
1•了解多边形及有关概念，理解正多边形及其有关概念.
2•区别凸多边形与凹多边形.
重点难点
1 .重点:
(1)了解多边形及其有关概念，理解正多边形及其有关概念.
(2)区别凸多边形和凹多边形.
2 .难点：
多边形定义的准确理解.
教学过程
一、新课讲授
投影：图形见课本P19图11.3 一I .
你能从投影里找出几个由一些线段围成的图形吗？
上面三图中让同学边看、边议.
在同学议论的基础上，老师给以总结，这些线段围成的图形有何特性？
(1)它们在同一平面内.
(2)它们是由不在同一条直线上的几条线段首尾顺次相接组成的.
这些图形中有三角形、四边形、五边形、六边形、八边形，那么什么叫做多边形呢? 提问：三角形的定义.
你能仿照三角形的定义给多边形定义吗？
1. 在平面内，由一些线段首位顺次相接组成的图形叫做多边形.
如果一个多边形由n条线段组成，那么这个多边形叫做n边形.（一个多边形由几条线段组成,
就叫做几边形•）
2.多边形的边、顶点、内角和外角.
多边形相邻两边组成的角叫做多边形的内角，多边形的边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角.
3. 多边形的对角线
连接多边形的不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线.
让学生画出五边形的所有对角线.
4. 凸多边形与凹多边形
看投影：图形见课本P19. 11. 3—6.
在图（1 ）中，画出四边形ABCD勺任何一条边所在的直线，整个图形都在这条直线的同一侧，这样的四边形叫做凸四边形，这样的多边形称为凸多边形；而图（2）就不满足上述凸多边形的特征,
因为我们画BD所在直线，整个多边形不都在这条直线的同一侧，我们称它为凹多边形，今后我们在习题、练习中提到的多边形都是凸多边形.
5. 正多边形
由正方形的特征出发，得出正多边形的概念.
二、 课堂练习 课本P21练习1. 2. 三、 课堂小结
引导学生总结本节课的相关概念. 四、 课后作业
课本P24第1题. 备用题： 一、判断题.
1 .由四条线段首尾顺次相接组成的图形叫四边形.（
2
.由不在一直线上四条线段首尾次顺次相接组成的图形叫四边形.（
）
3 .由不在一直线上四条线段首尾顺次接组成的图形，且其中任何一条线段所在的直线、使整
个图形都在这直线的同一侧，叫做四边形.（
）
4 •在同一平面内，四条线段首尾顺次连接组成的图形叫四边形.（ ）
二、填空题.
1 .连接多边形 ________ 的线段，叫做多边形的对角线. 2
.多边形的任何 _______ 所在的直线，整个多边形都 在这条直线的 ___________ ，这样的多边形叫凸多
边形.
3 .各个角 ___________ ，各条边 ______________ 的多边形，叫正多边形.
三、解答题.
1 .画出图（1）中的六边形 ABCDEF 勺所有对角线.
各个角都相等，各条边都相等的多边形叫做 正多边形•
iF 三角形
止方耗
itii 边形
■I 六边砒
2
.如图（2）, O 为四边形ABCD 内一点，连接 OA OB OC 0D 可以得几个三角形？它与边数
有何关系？
3 .如图（3），O 在五边形 ABCDE 勺AB 上，连接 OG OD OE 可以得到几个三角形？它与边数
有何关系?
4 .如图（4）,过A 作六边形ABCDEF 勺对角线，可以得到几个三角形？它与边数有何关系 ？
§ 11.3.2多边形的内角和
教学目标
1•使学生了解多边形的内角、外角等概念.
2 •能通过不同方法探索多边形的内角和与外角和公式，并会应用它们进行有关计算. 重点难点 1 .重点：
（1） 多边形的内角和公式. （2）
多边形的外角和公式.
2 .难点：多边形的内角和定理的推导.
教学过程
一、探究
1•我们知道三角形的内角和为 180° .
2•我们还知道，正方形的四个角都等于
90°,那么它的内角和为 360°,同样长方形的内角和
F C
也是360 °.
3 •正方形和长方形都是特殊的四边形，其内角和为360。

，那么一般的四边形的内角和为多少
呢？
画一个任意的四边形，用量角器量出它的四个内角，计算它们的和，与同伴交流你的结果. 从中你得到什么结论？
同学们进行量一量，算一算及交流后老师加以归纳得到四边形的内角和为360。

的感性认识，
是否成为定理要进行推导.
二、思考几个问题
1. 从四边形的一个顶点出发可以引几条对角线？它们将四边形分成几个三角形？那么四边形的
内角和等于多少度？
2. 从五边形一个顶点出发可以引几条对角线？它们将五边形分成几个三角形？那么这五边形的
内角和为多少度？
3•从n边形的一个顶点出发，可以引几条对角线？它们将n边形分成几个三角形？n边形的内
角和等于多少度？
综上所述，你能得到多边形内角和公式吗？
设多边形的边数为n,则
n边形的内角和等于(n —2)・180 ° .
想一想：要得到多边形的内角和必需通过“三角形的内角和定理”来完成，就是把一个多边形
分成几个三角形•除利用对角线把多边形分成几个三角形外，还有其他的分法吗？你会用新的分法
得到n边形的内角和公式吗？
由同学动手并推导在与同伴交流后，老师归纳：(以五边形为例)
分法一：在五边形ABCD内任取一点O,连结OA OB OC OD OE则得五个三角形.其五个三角形内角和为5X 180°，而/ 1,7 2,7 3,7 4，/ 5不是五边形的内角应减去，二五边形的内角和为5X 180°—2X 180° = ( 5—2)X 180° =540°.
如果五边形变成n边形，用同样方法也可以得到n个三角形的内角和减去一个周角，即可得：n
边形内角和=n X 180 ° 一2X 180° = (n —2)X 180°.
c
分法二：在边AB上取一点0,连0E OD OC则可以（5- 1）个三角形，而/ 1、/ 2、/ 3、 /4不是五边形的内角，应舍去.
•••五边形的内角和为（5 —1）X 180° —180° = （5 —2）X 180°
用同样的办法，也可以把n边形分成（n —1 ）个三角形，把不是n边形内角的/ AOB舍去，即
可得n边形的内角和为（n —」2 )X 180 ° .
三、例题
例1如果一个四边形的一组对角互补，那么另一组对角有什么关系？ 已知：四边形 ABCD 的/A +Z C = 180 ° .求：/ B 与/ D 的关系.
分析：本题要求/ B 与Z D 的关系，由于已知Z A +Z C = 180。

，所以可以从四边形的内角和入 手，就可得到完满的答案.
D
解：如图，四边形 ABCD 中, Z A +Z C = 180
vZ A+Z B+Z C+Z D= (4 — 2)x 360 ° =180°, •••Z B +Z D= 360° — (Z A +Z C ) =180°
这就是说：如果四边形一组对角互补，那么另一组对角也互补.
例2如图，在六边形的每个顶点处各取一个外角，这些外角的和叫做六边形的外角和.六边
求：Z 1+Z 2+Z 3+Z 4+Z 5+Z 6 的值.
分析：关于外角问题我们马上就会联想到平角，这样我们就得到六边形的 的内角的总和为 6X 180° .由于六边形的内角和为（
6— 2）X 180° =720
这样就可求得Z 1+Z 2+Z 3+Z 4+ Z 5+Z 6=360°. 解：v 六边形的任何一个外角加上它相邻的内角和为
180° . •六边形的六个外角加上各自相邻内角的总和为
6X 180° .
ABCDEF 勺外
角. 6个外角加上它相邻
形的外角和等于多少?
Z 5,Z 6分别为六边形
由于六边形的内角和为（6—2 ）X 180 ° =720°
如果把六边形横成 n 边形.（n 为不小于3的正整数） 同样也可以得到其外角和等于 360°.即
多边形的外角和等于 360 ° .
所以我们说多边形的外角和与它的边数无关.
对此，我们也可以象以下这种，理解为什么多边形的外角和等于 360 ° .
如下图，从多边形的一个顶点
A 出发，沿多边形各边走过各顶点，再回到
A 点，然后转向出发
时的方向，在行程中所转的各个角的和就是多边形的外角和，由于走了一周，所得的各个角的和等 于一个周角，所以
多边形的外角和等于
360 °.
课本P24练习1、2、3题.
P24习题11.3第2、3题
五、 课堂小结
引导学生总结本节课主要内容. 六、 课后作业
课本P24习题11.3第4、5、6题.
•••它的外角和为 6 X
180
720° =360°
一、判断题.
1 •当多边形边数增加时，它的内角和也随着增加•（）
2 •当多边形边数增加时•它的外角和也随着增加.（）
3 •三角形的外角和与一多边形的外角和相等.（）
4 •从n边形一个顶点出发，可以引出（n —2）条对角线，得到（n —2）个三角形.（）
5.四边形的四个内角至少有一个角不小于直角.（）
二、填空题.
1•一个多边形的每一个外角都等于30°,则这个多边形为___________ 边形.
2 •一个多边形的每个内角都等于135°，则这个多边形为________________ 边形.
3•内角和等于外角和的多边形是___________ 边形.
4 .内角和为1440°的多边形是_____________ •
5• 一个多边形的内角的度数从小到大排列时，恰好依次增加相同的度数，其中最小角为100° ,
最大的是140°,那么这个多边形是 ______________ 边形.
6 •若多边形内角和等于外角和的3倍，则这个多边形是 __________ 边形.
7 •五边形的对角线有________ 条，它们内角和为__________ •
8. ________________________________________________ —个多边形的内角和为4320 °,则它的边数为_____________________________________________________________ •
9 •多边形每个内角都相等，内角和为720 °,则它的每一个外角为____________ .
10 .四边形的/ A、/ B、/ C / D的外角之比为1 : 2: 3: 4,那么/ A: Z B: / C: / D ______________
11 .四边形的四个内角中，直角最多有 ________________ 个，钝角最多有___________ 个，锐角最多有
个.
12 .如果一个多边形的边数增加一条，那么这个多边形的内角和增加 ________ ，外角和增
加_______ .
三、选择题.
1 .多边形的每个外角与它相邻内角的关系是（）
A.互为余角 B •互为邻补角C •两个角相等 D •外角大于内角
2 •若n边形每个内角都等于150°，那么这个n边形是（）
A.九边形 B •十边形 C •十一边形D.十二边形
3 •一个多边形的内角和为720。

，那么这个多边形的对角线条数为（
）
A. 6条B . 7条C . 8条D . 9条
4 .随着多边形的边数n的增加，它的外角和（)
A .增加
B .减小
C .不变
D .不定
5 •若多边形的外角和等于内角和的号，它的边数是（ ）
A . 3
B . 4 C
6 .一个多边形的内角和是
1800 °,那么这个多边形是（
C .十边形
D .十二边形
108。

，则这个多边形（ ）
C .六边形
D .七边形
8，一个多边形每个外角都是 60°,这个多边形的外角和为（
A . 180°
B . 360°
C . 720°
D . 1080°
9. n 边形的n 个内角中锐角最多有(
)个.
A . 1个
B . 2个
C . 3个
D . 4个 A .八边形 B .九边形 C .十边形 D ，十一边形
四、解答题.
1 . 一个多边形少一个内角的度数和为
2300° .
（1）求它的边数；
（2）求少的那个内角的度数.
2. 一个八边形每一个顶点可以引几条对角线？它共有多少条对角线？ n 边形呢?
3.
已知多边形的内角和为其外角和的 5倍，求这个
多边形的边数.
1
4.
若一个多边形每个外角都等于它相
邻的内角的
：，求这个多边形的边数.
5 .多边形的一个内角的外角与其余内角的和为 600°，求这 个多边形的边数.
6 . n 边形的内角和与外角和互比为
13: 2,求n .
7.五边形 ABCDE 的各内角都相等，且 AE = DE AD// CB 吗？ 8 .将五边形砍去一个角，得到的是怎样的图形？
9.四边形 ABCD 中，/ A+Z B=210°,Z C = 4/ D .求：/ C 或/ D 的度数.
10 .在四边形 ABCD 中, AB= AC = AD, Z DAC= 2 Z BAC 求证：Z DBC= 2 Z BDC
A .五边形
B .八边形 7 .一个多边形每个内角为 A .四边形
B ，五边形
10 .多边形的内角和为它的外角和的
4倍，这个多边形是（。