瑞金一中2018届高三下学期文科数学限时考(5)

高三下学期文科数学限时练（5）
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）
1.已知集合A={-1,-2,0,1}，B={x|e x
<1}，则集合C=A ∩B 的元素的个数为（ ） A.1 B.2 C.3 D.4
2.设i 是虚数单位，z=(3-i)(1+i)，则复数z 在复平面内对应的点位于第（ ）象限 A. 一 B. 二 C. 三 D. 四
3.下列说法正确的是（ ）
A.命题“0,sin x x x ∀>≤”的否定是“0,sin x x x ∃≤>”.
B.命题“y sin sin x x y ≠≠若，则”的逆否命题是真命题.
C.
两平行线22102230x y x y +-=+-=与D.直线1212:10:20,l ax y l x ay l l ++=+-=⊥,的充要条件是=1a ±.
4.某几何体的三视图如图所示，其正视图和俯视图都是由边长为2的等边三角形和边长为2的正方形构成，左视图是一个圆，则该几何体的体积为（ ）
A. 2)π
B. (
2)3π+
C. 4)π+
D. 4)π 5.已知3
(,)2αππ∈，4tan()3απ+=
，则cos()4
π
α+=（ ）
6.执行如图所示的程序框图，输出S 的值为（ ）
A. 78
B. 89
C.67
D. 1
7.已知周期为π的函数()sin()(0,||)2
f x x π
ωϕωϕ=+><关于直线12
x π=-对称，将()y f x =的
图像向左平移
4
π
个单位得到函数()y g x =的图像，则下列结论正确的是（ ） A. ()g x 为偶函数. B. ()g x 图像关于点(,0)6π对称
C. ()g x 在区间[,]
412
ππ-
上单调递增 D. ()g x 为奇函数. 8.已知不等式组0
2x y x y ≥⎧⎪≥⎨⎪+≤⎩
表示的平面区域为M.当a 从0a 变化到1时，动直线0x y a -+= 扫过区域M 中的那部分区域为N ，其中0a 表示),((,)M z x y x y =-∈的最小值，若从M 区域内随机取
一点，则该点取自区域N 的概率为（ ） A.
18 B. 14 C. 34 D. 78
9.函数22(1)(1)x x
e x y xe
--=的大致图像是（ ）
10.《九章算术》中有如下的问题：“今有刍童，下广三尺，袤四尺，上袤一尺，无广，高一尺”，意思是：今有底面为矩形的屋脊状楔体，两侧面为全等的等腰梯形，下底面宽3尺，长4尺，上棱长1尺，高1尺（如图），若该几何体所有顶点在一个球体的表面上，则该球体的表面积为（ ） A. π或50π B. 26π C. 49π D. 50π
11.设双曲线22
221(0,0)x y a b a b
-=>>上的左焦点为F ，P 是双曲线虚轴的一个端点,过F 的直线交
双曲线的右支于Q 点,若20PF PQ +=,则双曲线的离心率为( )
A.
12.定义在（0，+∞）上的函数()f x 的导函数为()f x '，且对(0,)x ∀∈+∞都有
1l n ()l n ()
x
f x x f x x
-'<
，则（ ）（其中e ≈2.7） A. 3
4
2
4()()2()f e e f e ef e >> B. 3
4
2
()2()4()e f e ef e f e >> C. 3
4
2
()4()2()e f e f e ef e >> D. 2
3
4
4()2()()f e ef e e f e >>
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13.已知3
(,2),(2,)2
a x
b ==，若()a b a -⊥，则|2|a b +=___________.
14.已知14
2,0
()log ,0x x f x x x ⎧≤⎪=⎨>⎪⎩则[(4)]f f -=__________.
15.若抛物线2
2(0)x py p =>在点（1,2）处的切线也与圆2
2
2220x y x y a +-++-=相切，则
实数a 的值为________________. 16.在△ABC 中若∠A=
3
π
，AD 是∠BAC 的平分线，且32BD DC =,则
cosB=________. （第6题） 。

。

。

A B C D
（第4题）
.
三、解答题：（本大题共6小题，共70分）
17.(本小题满分12分) 设等比数列{n a }的各项都为正数，数列{b n }满足2121b a a n n n -+=⋅，且
12b 4,b 64==.
（1）求{n a }的通项； （2）求数列{b n }的前n 项和为T n .
18.(本小题满分12分)某校高三课外兴趣小组为了解高三同学高考结束后是否打算观看2018年足球世界杯比赛的情况,从全校高三年级1500名男生、1000名女生中按分层抽样的方式抽取125名学生进行问卷调查,情况如下表:
（1）求出表中数据b ，c;
（2）判断是否有99%的把握认为观看2018年足球世界杯比赛与性别有关;
（3）为了计算“从10人中选出9人参加比赛”的情况有多少种，我们可以发现它与“从10人中选出1人不参加比赛”的情况有多少种是一致的.现有问题：在打算观看2018年足球世界杯比赛的同学中有5名男生、2名女生来自高三（5）班，从中推选5人接受校园电视台采访，请根据上述方法，求被推选出的5人中恰有四名男生、一名女生的概率.
附：22
(),()()()()
n ad bc K a b c d a c b d -=++++
19. (本小题满分12分)如图，在各棱长均为2的正三棱柱111ABC A B C -中，D 为棱11A B 的中点，E 在棱1BB 上，
13B E BE =，M ，N 为线段1C D 上的动点，其中，M 更靠近D ，且1MN =.F 在棱1AA 上，且1A E DF ⊥. （1）证明：1A E ⊥平面1C DF ； （2）若3
BM =，求三棱锥E AFN -的体积.
20. (本小题满分12分)已知0p >，抛物线1C ：22x py =与抛物线2C
：2
2y px =异于原点O 的交点为M ，且抛物线1C 在点M 处的切线与x 轴交于点A ，抛物线2C 在点M 处的切线与x 轴交
于点B ，与y 轴交于点C .
（1）若直线1y x =+与抛物线1C 交于点P ，Q ，且PQ =1C 的方程； （2）证明：BOC ∆的面积与四边形AOCM 的面积之比为定值. 21. (本小题满分12分)已知函数2
()3x
f x e x =+，()91
g x x =-. （1）求函数()4()x
x xe x f x ϕ=+-的单调区间；
（2）比较()f
x 与()g
x 的大小，并加以证明；
（二）选考题：共10分.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.作答时用2B 铅笔将所选题目对应的题号右侧方框涂黑，并且在解答过程中写清每问的小题号.
22.[选修4-4：坐标系与参数方程] (本小题满分10分)
在平面直角坐标系xOy 中，曲线M 的参数方程为x y ⎧=⎪⎪
⎨
⎪=⎪⎩
（t 为参数，且0t >），以坐标原
点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C 的极坐标方程为4cos ρθ=. （1）将曲线M 的参数方程化为普通方程，并将曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程； （2）求曲线M 与曲线C 交点的极坐标(0,02)ρθπ≥≤<. 23.[选修4-5：不等式选讲] (本小题满分10分) 已知函数()413f x x x =-+--. （1）求不等式()2f x ≤的解集；
（2）若直线2y kx =-与函数()f x 的图象有公共点，求k 的取值范围.
高三下学期文科数学限时练（2）参考答案
一.选择题：BACBA BCDAD BD 二．填空题：13.
14.2；15.
9
17
；16.
三、解答题：
17. 解：（1）因为{n a }为等比数列，由2121b a a n n n -+=⋅可得2
2b a n n =，………………2分 由12b 4,b 64==可得22
244,64a a ==，因为n a >0,所以242,8a a ==，…………… 4分 可得11,q=2a =公比，从而n-1
=2n a . ………………………………………………… 6分 （2）因为2n-12b (2)n ==2n-1
4，所以数列{b n }为等比数列，首项为4，公比为16，……8分
从而n 4(116)4
T (161)11615
n n -=
=--.………………………………………………………12分 18. 解：（1）根据分层抽样方法抽得女生50人，男生75人，所以b=50-20=30(人)，
c=75-25=50(人) ………………………………………………………………2分
（2）因为2
2
125(20253050)8.66 6.635(2030)(5025)(2050)(3025)
K ⨯-⨯=
≈>++++，所以有99%的把握认为观看2018年足球世界杯比赛与性别有关.…………………………………………7分 (说明：数值代入公式1分，计算结果3分，判断1分)
（3）设5名男生分别为A 、B 、C 、D 、E ，2名女生分别为a 、b ，由题意可知从7人中选出5人接受电视台采访，相当于从7人中挑选2人不接受采访，其中一男一女，所有可能的结果有
{A,B}{A,C}{A,D}{A,E}{A,a}{A,b}{B,C}{B,D}{B,E}{B,a}{B,b}{C,D}{C,E}{C,a} {C,b}{D,E}{D,a}{D,b}{E,a}{E,b}{a,b}，共21种，……………………………………9分 其中恰为一男一女的包括，{A,a}{A,b}{B,a}{B,b}{C,a}{C,b}{D,a}{D,b}{E,a}{E,b}, 共10种.……………………………………………………………………………………10分
因此所求概率为10
21
P =……………………………………………………………………12分
19.（1）证明：由已知得111A B C ∆为正三角形，D 为棱11A B 的中点，∴111C D A B ⊥， 在正三棱柱111ABC A B C -中，1AA ⊥底面111A B C ，则11AA C D ⊥.
又1111A B AA A =，∴1C D ⊥平面11ABB A ，∴11C D A E ⊥.
易证1A E AD ⊥，又1AD
C D D =，∴1A E ⊥平面1AC D .
（2）解：连结1MB ，则11BB MB ⊥，
∵12BB =
，BM =
，∴1MB =. 又11MD A B ⊥
，∴MD =
.由（1）知1C D ⊥平面AEF ，∴N 到平面AEF
的距离13
d DN ==
+.设1A E DF O =，∵1A E DF ⊥，∴1
11AOD A B E ∆∆，
∵13B E BE =，∴
11111B E A D A B A F =，∴1134A F =，∴14
3A F =. ∴E AFN N AEF V V --=112
2323
d =⨯⨯⨯
⨯21)9=⨯=.
20.（1）解：由212y x x py
=+⎧⎨=⎩，消去y 得2
220x px p --=.
设P ，Q 的坐标分别为11(,)x y ，22(,)x y ，
则122x x p +=，122x x p =-.
∴PQ =
=0p >，∴1p =.
故抛物线1C 的方程为2
2x y =.
（2）证明：由2222y px
x py
⎧=⎪⎨=⎪⎩，得2x y p ==或0x y ==，则(2,2)M p p
.
设直线AM ：12(2)y p k x p -=-，与2
2x py =联立得221124(1)0x pk x p k ---=. 由222111416(1)0p k p k ∆=+-=，得2
1(2)0k -=，∴12k =.
设直线BM ：22(2)y p k x p -=-，与22y px =联立得22
2224(1)0k y py p k ---=.
由22222416(1)0p p k k ∆=+-=，得2
2(12)0k -=，∴212
k =
. 故直线AM ：22(2)y p x p -=-，直线BM ：1
2(2)2
y p x p -=
-， 从而不难求得(,0)A p ，(2,0)B p -，(0,)C p ，∴2
BOC S p ∆=，
2
3ABM
S p ∆=，∴BOC ∆的面积与四边形AOCM 的面积之比为2221
32
p p p =-（为定值）.
21.解：（1）'()(2)(2)x
x x e ϕ=--，令'()0x ϕ=，得1ln 2x =，22x =；
令'()0x ϕ>，得ln 2x <或2x >；令'()0x ϕ<，得ln 22x <<.
故()x ϕ在(,ln 2)-∞上单调递增，在(ln 2,2)上单调递减，在(2,)+∞上单调递增. （2）()()f x g x >.证明如下：
设()()()h x f x g x =-2
391x e x x +-+，∵'()329x
h x e x =+-为增函数，
∴可设0'()0h x =，∵'(0)60h =-<，'(1)370h e =->，∴0(0,1)x ∈. 当0x x >时，'()0h x >；当0x x <时，'()0h x <.
∴min 0()()h x h x =02
00391x
e x x =+-+，又003290x
e x +-=，∴0
0329x e
x =-+，
∴2min 000()2991h x x x x =-++-+2
001110x x =-+00(1)(10)x x =--.
∵0(0,1)x ∈，∴00(1)(10)0x x -->， ∴min ()0h x >，()()f x g x >.
22.解：（1）∵
y
t x =
，∴x y x
=
，即2)y x =-，
又0t >
0>，∴2x >或0x <， ∴曲线M
的普通方程为2)y x =
-（2x >或0x <）.
∵4cos ρθ=，∴2
4cos ρρθ=，∴2
2
4x y x +=，即曲线C 的直角坐标方程为
2240x x y -+=.
（2
）由222)
40y x x x y ⎧=-⎪⎨
-+=⎪⎩
得2
430x x -+=，
∴11x =（舍去），23x =，
则交点的直角坐标为
，极坐标为)6
π
.
23.解：（1）由()2f x ≤，得1222x x ≤⎧⎨
-≤⎩或1402x <<⎧⎨≤⎩或4
282
x x ≥⎧⎨-≤⎩，
解得05x ≤≤，故不等式()2f x ≤的解集为[0,5].
（2）()413f x x x =-+--22,10,1428,4x x x x x -≤⎧⎪
=<<⎨⎪-≥⎩
，
作出函数()f x 的图象，如图所示，
直线2y kx =-过定点(0,2)C -， 当此直线经过点(4,0)B 时，1
2
k =
；当此直线与直线AD 平行时，2k =-. 故由图可知，1
(,2)[,)2
k ∈-∞-+∞.。