南通内部高考模拟试卷7含答案

2015年高考模拟试卷(7)
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分 ． 1．复数
2
12i i
-+＝ ． 2． 设全集U ＝{1,2,3,4,5}，N C U ＝{2,4}，则N ＝ ．
3． 从1,2,3,4这四个数中一次随机地取两个数，则其中一个数是另一个数的两倍的概率是 ． 4．某单位有职工52人,现将所有职工按l,2,3,…,52随机编号,若采用系统抽样的方法抽取一个容量
为4的样本,已知6号,32号,45号职工在样本中,则样本中还有一个职工的编号是________. 5．执行如图所示的程序框图,若输出s 的值为11,则输入自然数n 的 值是 ．
6．一个圆柱的轴截面是正方形，其侧面积与一个球的表面积相等， 那么这个圆柱的体积与这个球的体积之比为________．
7． 已知各项均为正数的等比数列{}n a 中，4a 与14a 的等比中项为
22，则7112a a +的最小值为 .
8． 给出下列几个命题：
①若函数()f x 是定义域为R 的奇函数，对于任意的x R ∈
都有()(2)0f x f x +-=，则函数()f x 的图象关于直线1x =对称；
②已知12,x x 是函数()f x 定义域内的两个值，当12x x <时，12()()f x f x >，则()f x 是减函数； ③设函数13y x x =-+
+的最大值和最小值分别为M 和m ，则2M m =；
④若()f x 是定义域为R 的奇函数，且(2)f x +也为奇函数，则()f x 是以4为周期的周期函数． 其中正确的命题序号是 ．（写出所有正确命题的序号）
9．设F 1、F 2是双曲线x 2
3
－y 2
＝1的两个焦点，P 在双曲线上，当△F 1PF 2的面积为2时， 12PF PF ⋅u u u r u u u u r 的值为 ．
10．已知函数2
()(,)f x x ax b a b R =-++∈的值域为(,0]-∞，若关于x 的不等式()1f x c >-的解集为(4,1)m m -+，则实数c 的值为 ．
11．已知正实数,a c 满足22
3a c ac +-=，则2a c +的最大值为 ．
12．已知圆C ：4)2(2
2=+-y x ，点P 在直线l ：2+=x y 上，若圆C 上存在两点A 、B 使得
PB PA 3=，则点P 的横坐标的取值范围是 ．
13．在ABC ∆中，内角A B C 、、所对的边分别为a b c 、、，30B =o
，6c =，令()b f a =． 若函数()()g a f a k =-（k 是常数）只有一个零点．则实数k 的取值范围是 ．
14．设两个向量22
(2,cos )a λλθ=+-r 和(,sin )2
m b m θ=+r ，其中,,m R λθ∈．
若2a b =r r ，则m
λ
的取值范围是 ．
二、解答题：本大题共6小题，共90分．
15．（本小题满分14分）在ABC ∆中，角A B C 、、的对边分别为a b c 、、，已知5
sin 13
B =， 且a b c 、、成等比数列．
(1)求11
tan tan A C
+
的值； (2)若cos 12ac B =，求a c +的值．
16．（本小题满分14分）如图，直角梯形ABCD 中，AB ∥1
,2
CD AB CD =,AB BC ⊥,平面ABCD ⊥平面BCE ,BCE ∆为等边三角形，,M F 分别是,BE BC 的中点，1
4
DN DC =．
(1)证明EF ⊥AD ; (2)证明MN ∥平面ADE ;
(3)若1,2AB BC ==,求几何体ABCDE 的体积．
17．（本小题满分14分）在平面直角坐标系xoy 中，已知椭圆22
221(0)x y a b a b
+=>>
的离心率为
2
，其焦点在圆22
1x y +=上． （1）求椭圆的方程；
（2）设,,A B M 是椭圆上的三点（异于椭圆的顶点），且存在锐角θ，使
cos sin OM OA OB θθ=+u u u u r u u u r u u u r ．
① 求证:直线OA 与OB 的斜率的乘积为定值；
② 求22
OA OB +的值．
18． (本小题满分16分) 某小区想利用一矩形空地ABCD 建造市民健身广场，设计时决定保留空地边上的一个水塘（如图中阴影部分），水塘可近似看作一个等腰直角三角形，其中60AD m =，40AB m =，且EFG ∆中，90EGF ∠=o ，经测量得到10,20AE m EF m ==．为保证安全同时考虑美观，健身广场周围准备加设一个保护栏．设计时经过点G 作一条直线交AB DF 、于N M 、，从而得到五边形MBCDN 的市民健身广场．
（1）假设()DN x m =，试将五边形MBCDN 的面积y 表示为x 的函数，并注明函数的定义域； （2）问：应如何设计，可使市民健身广场的面积最大？并求出健身广场的最大面积．
A B
C
D
E
F M N
G
19．（本小题满分16分）已知函数2()2ln f x x x ax =-+（a ∈R ）． （1）当2a =时，求()f x 的图象在1x =处的切线方程；
（2）若函数()()g x f x ax m =-+在1
[e]e
,上有两个零点，求实数m 的取值范围；
（3）若函数()f x 的图象与x 轴有两个不同的交点12(0)(0)A x B x ，，，，且120x x <<， 求证：12
(
)02
x x f +'<（其中()f x '是()f x 的导函数）
． 20．（本小题满分16分）设数列{}n a 的各项均为正数，若对任意的*n N ∈，存在*k N ∈，
使得2
2n k n n k a a a ++=成立，则称数列{}n a 为“k J 型”数列．
（1）若数列{}n a 是“2J 型”数列，且28a =，81a =，求2n a ；
（2）若数列{}n a 既是“3J 型”数列，又是“4J 型”数列，证明数列{}n a 是等比数列．
A
第Ⅱ卷（附加题，共40分）
21．[选做题]本题包括A 、B 、C 、D 四小题，每小题10分；请选定其中两题，并在相应的答题区域内．．．．．．．．．．．．．．．．．．作答．．． A ．（选修４－１：几何证明选讲）如图，O e 的直径AB 的延长线与弦CD 的延长线相交于点P ，
E 为O e 上一点，AE AC =，求证：PDE POC ∠=∠．
B ．（选修４－２：矩阵与变换）已知二阶矩阵M 有特征值3λ=，及对应的一个特征向量
111e ⎡⎤
=⎢⎥⎣⎦
u r ，并且M 对应的变换将点(1,2)-．变换成(9,15)，求矩阵M ．
C ．（选修４－４：坐标系与参数方程）在极坐标系中，圆C 的圆心坐标为(2,
)3
C π
，
半径为2． 以
极点为原点，极轴为x 的正半轴，取相同的长度单位建立平面直角坐标系，直线l 的参数方程为
112
x y t ⎧=⎪⎪⎨
⎪=⎪⎩（t 为参数） （1）求圆C 的极坐标方程；
（2）设l 与圆C 的交点为,A B ， l 与x 轴的交点为P ，求PA PB +
D ．（选修４－５：不等式选讲）已知1x ，2x ，3x 为正实数，若1231x x x ++=，求证：22
2
321123
1x x x x x x +
+≥
【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分． 22．（本小题满分10分）如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ^底面ABCD ，AD AB ^， //AB DC ， 2AD DC AP ===，1AB =，点E 为棱PC 的中点． （1）证明BE DC ^；
（2）若F 为棱PC 上一点，满足BF AC ^，求二面角F AB P --的余弦值．
23．（本小题满分10分）已知(12)(*)n n a n N =∈ （1）若2(,)n a a b a b Z =+∈，求证a 是奇数； （2）求证对于任意*n N ∈，都存在正整数k ，使得1n a k k =-
2015年高考模拟试卷(7)参考答案
第Ⅰ卷（必做题，共160分）
一、填空题
1． i ； 2． {1,3,5}； 3． 1
3； 4． 19； 5． 4； 6． 3∶2．【解析】设圆柱的底面半径是r ，
则该圆柱的母线长是2r ，圆柱的侧面积是2πr ·2r ＝4πr 2
，设球的半径是R ，则球的表面积是4πR 2，根据已知4πR 2＝4πr 2，所以R ＝r ．所以圆柱的体积是πr 2·2r ＝2πr 3
，球的体积是43πr 3，
所以圆柱的体积和球的体积的比是2πr 3
43
πr
3
＝3∶2； 7．8； 8．③④；9．3；10． 21
4-；
11
．．【解析】22
22222
235
3(2)35(2)3[1]3[1]1()c
a c a ac
a
a c c c a c ac a c ac a a
++++==+=++-+-+-． 令(0)c k k a =>，则2235(2)3[1]1k a c k k ++=++-，令235()3[1](0)1k f k k k k
+=+>+- 得22
3(2)(45)()(1)k k f k k k +-'=
-+，进而可求得max 4
()()285
f k f ==，所
以max (2)a c +=； 12．[]2,2-；13．6k ≥或3k =．【解析
】222cos 22
a c
b B a
c +-==，
得
()0)b f a a ==>
函数()()g a f a k =-
只有一个零点，即方程22
(9a k -+=在(0,)+∞上只有一解，
即函数2(9(0)y a a =-+>与2y k =的图像只有一个交点，所以236k ≥或2
9k =，
从而6k ≥或3k =；14． 61m λ
-≤≤．【解析】由2a b =r r ，得22
22cos 2sin m
m λλθθ
+=⎧⎨-=+⎩ 由222
cos 2sin 2(sin 1)m λθθθ-=+=--，得
222m λ-≤-≤，又22m λ=-，
则2
24(1)2m m -≤--≤，∴224920
4960
m m m m ⎧-+≤⎪⎨-+≥⎪⎩
解得
124m ≤≤，而222
2m m m m
λ-==-，故61m λ-≤≤.
二、解答题
15． (1)根据题意得，2
b a
c =．
由正弦定理得2
sin sin sin B A C =，
11cos cos sin()
tan tan sin sin sin sin A C A C A C A C A C +∴
+=+=
sin 113
sin sin sin 5
B A
C B =
==，
(2)cos 12ac B =Q cos 0B ∴>
5sin 13B =
Q ，12cos 13B ∴=． 212
13cos b ac B
∴===．
由余弦定理得2
2
()22cos b a c ac ac B =+--
37a c ∴+=
16．(1) Q BCE ∆为等边三角形，F 是BC 的中点 ∴EF BC ⊥，
又因为平面ABCD ⊥平面BCE ，交线为BC ,EF ⊂平面BCE 根据面面垂直的性质定理得 EF ⊥平面ABCD ； 又Q AD ⊂平面ABCD ∴ EF ⊥AD .
(2)取AE 中点G ，连接,MG DG
Q ,AG GE BM ME ==
∴GM AB P ,且12
GM AB = ,
Q 1,2AB CD AB CD =
P ,1
4
DN DC = ∴DN AB P ,且12
DN AB = ,
∴四边形DGMN 是平行四边形
∴DG MN P ,
又Q DG ⊂平面ADE ，MN ⊄平面ADE
∴MN P 平面ADE .
(3)依题，直角梯形ABCD 中，,,1,2,2AB CD AB BC AB CD BC ⊥===P ,
则直角梯形ABCD 的面积为11
()(12)2322
ABCD S AB CD BC =
+⨯=+⨯=梯形 , 由（1）可知EF ⊥平面ABCD ，EF 是四棱锥E ABCD -的高,
在等边BCE ∆中，由边长2BC =,得02sin 603EF =⨯=
N
T
M
H
G
F
E
D
C
B
A
故几何体ABCDE 的体积为
11333
E ABCD
ABCD V
S EF -=⋅⋅=⨯=梯形17．（1）根据题意得1c =
，于是1a b =
=,
所以椭圆方程为2
212
x y +=． （2）①设1122(,),(,)A x y B x y 则22
112
222
12
1
2
x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，
又设(,)M x y ，由cos sin OM OA OB θθ=+u u u u r u u u r u u u r 得1212cos sin cos sin x x x y y y θθ
θθ
=+⎧⎨=+⎩，
又M Q 在椭圆上，2
21212(cos sin )(cos sin )12x x y y θθθθ+∴
++= 整理得2222
2212121212()cos ()sin 2()cos sin 1222
x x x x y y y y θθθθ+++++=, cos sin 0θθ≠Q ，12
1202
x x y y ∴
+=． 12121
2
OA OB y y k k x x ∴=
=-为定值． ②22
2
2222222121212121212()()(1)(1)1()222
x x x x y y y y y y y y =-==--=-++ 2
2
1
21y y ∴+= ,又222
21212()()222
x x y y +++=Q ,22122x x ∴+= ,
22222211223OA OB x y x y ∴+=+++=.
18．（1）作GH ⊥EF ，垂足为H ，因为DN x =，所以
40,60NH x NA x =-=-，因为
,NH NA
HG AM
= 所以
406010x x AM --=
，所以6001040x
AM x
-=- 过M 作//MT BC 交CD 于T ，则 MBCDW
MBCT MTDN S
S S =+1
(40)60(60)2
AM x AM =-⨯++⨯，
所以600101(60)(60010)
(40)6040240x x x y x x -+-=-⨯+⨯
-- ()x
x ---=4060524002
由于N 与F 重合时，30AM AF ==适合条件，故(]0,30x ∈,
（2）()()⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡+-+--=---=404040040524004060524002
x x x x y ，
所以当且仅当x
x -=
-40400
40，即(]30,020∈=x 时，y 取得最大值2000，
答：当20DN m =时，得到的市民健身广场面积最大，最大面积为22000m ． 19．，切点坐标为(11)
，，
（2
所以，()g x 在1,e e
⎡⎤⎢⎥⎣⎦
上的最小值是()g e
()g x 在1,e e ⎡⎤
⎢⎥⎣⎦上有两个零点的条件是()2110
1120g m g m e e =->⎧⎪⎨⎛⎫=--≤ ⎪⎪⎝⎭
⎩，解得2
112m e <≤+ 所以实数m 的取值范围是211,2e ⎛
⎤
+
⎥⎝⎦
. （3）因为()f x 的图象与x 轴交于两个不同的点()()12,0,,0A x B x
所以方程2
2ln 0x x ax -+=的两个根为12,x x ，则2
1112
2222ln 0
2ln 0
x x ax x x ax ⎧-+=⎪⎨-+=⎪⎩，两式相减得 ()()121212
2ln ln x x a x x x x -=+--，又()()22
2ln ,2f x x x ax f x x a x '=-+=-+，则
()()121212121212
2ln ln 44
2x x x x f x x a x x x x x x -+⎛
⎫'=
-++=- ⎪++-⎝
⎭ 下证
()1212122ln ln 4
0x x x x x x --<+-（*），即证明()21111222
2ln 0,x x x x t x x x x -+<=+
120,01,x x t <<∴<<Q 即证明()()
21ln 01
t u t t t -=
+<+在01t <<上恒成立 因为()()()()2
222
21211114(1)(1)(1)
t t t u t t t t t t t -+---'=+=-=+++又01t <<，所以()0u t '> 所以，()u t 在()0,1上是增函数，则()()10u t u <=，从而知
()211122
2ln 0x x x
x x x -+<+
故
()1212122ln ln 40x x x x x x --<+-，即1202x x f +⎛⎫
'< ⎪⎝⎭
成立
20． （1）由题意得，2468,,,,a a a a …成等比数列，且公比18321()2
a q a ==,
14221
()2
n n n a a q --∴==．
（2）由{}n a 是“4J 型”数列得159131721,,,,,a a a a a a ,…成等比数列，设公比为t ． 由{}n a 是“3J 型”数列得1471013,,,,,a a a a a …成等比数列，设公比为1α；
2581114,,,,,a a a a a …成等比数列，设公比为2α； 3691215,,,,,a a a a a …成等比数列，设公比为3α；
则
431311a t a α==，4
31725a t a α==，432139
a t a α==， 123ααα∴==，不妨令123αααα===，则4
3
t α=．
1(32)13211k k k a a a α----∴==
22
2
(31)13
315111k k k k k a a a t a a α
α
α
-
-----====
13
2
3
313
39111k k k k k a a a t a a α
α
α
-
---∴====,
综上，1
1n n a a -=，从而{}n a 是等比数列．
第Ⅱ卷（附加题，共40分）
21． A ． AE AC =Q ，AB 为直径
OAC OAE ∴∠=∠
POC OAC OCA OAC OAC EAC ∴∠=∠+∠=∠+∠=∠
又EAC PDE ∠=∠Q
PDE POC ∴∠=∠.
B．设
a b
M
c d
⎡⎤
=⎢⎥
⎣⎦
，由
a b
c d
⎡⎤
⎢⎥
⎣⎦
1
1
⎡⎤
⎢⎥
⎣⎦
=3
1
1
⎡⎤
⎢⎥
⎣⎦
，得
3
3
a b
c d
+=
⎧
⎨
+=
⎩
．
由
a b
c d
⎡⎤
⎢⎥
⎣⎦
1
2
-⎡⎤
⎢⎥
⎣⎦
=
9
15
⎡⎤
⎢⎥
⎣⎦
，得
29
215
a b
c d
-+=
⎧
⎨
-+=
⎩
，
可以解得
1
4
3
6
a
b
c
d
=-
⎧
⎪=
⎪
⎨
=-
⎪
⎪=
⎩
，
故
14
36
M
-⎡⎤
=⎢⎥
-⎣⎦
．
C．（1）法一：在直角坐标系中，圆心的坐标
为C，所以圆C的方程
为22
(1)(4
x y
-+=
即2220
x y x
+--=，
化为极坐标方程得22cos sin0
ρρθθ
--=，即4sin()
6
π
ρθ
=+.
法二：令圆Ｃ上任一点(,)
Pρθ，
在PCO
V中（其中Ｏ为极点），,2,2,
3
PO CO PC POC
π
ρθ
===∠=-，
由余弦定理得2
444cos()
3
π
ρρθ
=+--
从而圆Ｃ的极坐标方程为4cos()
3
π
ρθ
=-.
（2
）法一：把
1
1
2
x
y t
⎧
=
⎪⎪
⎨
⎪=
⎪⎩
代入2220
x y x
+--=得24
t=，所以点A、B对应的参数分
别为
12
2,2
t t
==-,
1
2
t=得点P
对应的参数为
t=-
所以PA PB
+
1020
2222
t t t t
=-+-=++-+=+-+=.
法二：把
1
1
2
x
y t
⎧
=
⎪⎪
⎨
⎪=
⎪⎩
化为普通方程得(1)
3
y x
=--，
令0y =得点Ｐ坐标为(4,0)P ， 又因为直线l 恰好经过圆Ｃ的圆心Ｃ，
故2PA PB PC +===D.
Q 222
321123123123
2()2x x x x x x x x x x x x +++++≥=++=，
∴ 222321123
1x x x x x x ++≥.
22． 依题意，以点A 为原点建立空间直角坐标系，
可得()1,0,0B ，()2,2,0C ，()0,2,0D ，()0,0,2P ．由E 为棱PC 的中点，得()1,1,1E ．
（1）向量()0,1,1BE =u u u r ，()2,0,0DC =u u u r
，故0BE DC
?u u u r u u u r ． 所以，BE DC ^.
（2）向量()1,2,0BC =u u u r ，()2,2,2CP =--u u u r ， ()2,2,0AC =u u u r ，()1,0,0AB =u u u r
．
由点F 在棱PC 上，设CF CP l =u u u r u u u r
，01l
＃．
故()12,22,2BF BC CF BC CP l l l l =+=+=--u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r
．
由BF AC ^，得0BF AC
?u u u r u u u r
，
因此，()()2122220l l -+-=，解得3
4
l =
． 即113(,,)222
BF u u u r =-．
设()1,,n x y z =u r 为平面FAB 的法向量，则1
10,
0,n AB n BF
ìï?ïíï?ïîu r u u u r u r u u u r
即0,113
0.2
22x x y z ì=ïï
ïíï-++=ïïî 不妨令1z =，可得()10,3,1n =-u r
为平面FAB 的一个法向量． 取平面ABP 的法向量()20,1,0n =u u r
，则
121211
cos ,10n n n n n n ×==
=-×u r u u r
u r u u r u r u r ． 易知，二面角F AB P --
． 23． （1
）由二项式定理得0
2
2
3
3
n
n
n n n n n a C C C C +C =+++…，
所以022********n n n n n a C C C C C =+++=+++……，为奇数．
（2）由（1），设(1,)n n a a a b Z ==+∈
(1,)n a a b Z =-∈
所以222((1(1(12)(1)n n n n
a b a a -=+-=-=-=-．
当n 为偶数时，2221a b =+，存在2
k a =，使得n a a =+==
当n 为奇数时，2
2
21a b =-，存在2
2k b =，使得n a a =+==；
综上，对于任意*n N ∈，都存在正整数k ，使得n a =。