江苏省徐州 九年级(上)第一次段测数学试卷

九年级（上）第一次段测数学试卷
题号一二三四总分
得分
一、选择题（本大题共8小题，共24.0分）
1.下列方程中，是一元二次方程的是（ ）
A. x2−2x+x3=0
B. 2x2−x−3=0
C. x2+y=1
D. x=1x
2.方程（x+1）2=4的解是（ ）
A. x1=2，x2=−2
B. x1=3，x2=−3
C. x1=1，x2=−3
D. x1=1，x2=−2
3.下列方程中，有两个不相等的实数根的是（ ）
A. x2+2x+3=0
B. x2+2x−3=0
C. x2−2x+3=0
D. x2+2x+1=0
4.若方程x2-8x+7=0的两个根分别是x1、x2，则x1•x2的值是（ ）
A. 8
B. −8
C. 7
D. −7
5.下列语句，错误的是（ ）
A. 直径是弦
B. 相等的圆心角所对的弧相等
C. 弦的垂直平分线一定经过圆心
D. 平分弧的半径垂直于弧所对的弦
6.如图，⊙O中，CD是切线，切点是D，直线CO交⊙O于B、A，
∠A=20°，则∠C的度数是（ ）
A. 25∘
B. 65∘
C. 50∘
D.
75∘
7.如图．在△ABC中，∠B=90°，∠A=30°，AC=4cm，将△ABC
绕顶点C顺时针方向旋转至△A'B'C的位置，且A、
C、B'三点在同一条直线上，则点A所经过的最短路
线的长为（ ）
A. 43cm
B. 8cm
C. 163πcm
D. 83πcm
8.如图，在△ABC中，AB＝10，AC＝8，BC＝6，以边AB的中点O为圆心，作半圆
与AC相切，点P、Q分别是边BC和半圆上的动点，连接PQ，则PQ长的最大值与最小值的和是（）
A. 6
B. 213+1
C. 9
D. 323
二、填空题（本大题共8小题，共24.0分）
9.方程x（x-1）（x+2）=0的根是______．
10.若m是方程2x2+3x-5=0的根，则代数式2m2+3m+5的值是______．
11.若一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）有一根是1，则a+b+c=______．
12.某县2008年农民人均年收入为7 800元，计划到2010年，农民人均年收入达到9
100元．设人均年收入的平均增长率为x，则可列方程______．
13.点A、B在⊙O上，若∠AOB=40°，则∠OAB=______．
14.如图，△ABC内接于⊙O，∠C=30°，AB=5，则⊙O的直径为
______．
15.母线长为2，底面圆的半径为1的圆锥的侧面积为______．
16.如图，半圆O的直径AB=4，弦CD∥AB，AC是45°弧，则阴影
部分的面积是______．
三、计算题（本大题共1小题，共8.0分）
17.如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的弦，过点C的切线交AB的延长线于点D，
若∠D=30°，求∠A的度数．
四、解答题（本大题共5小题，共64.0分）
18.解下列方程：
（1）4x2-1=0；
（2）x2-4x+3=0；
（3）2x2-5x+2=0；
（4）x+3-x（x+3）=0
19.商场某种商品平均每天可销售30件，每件盈利50元．为了尽快减少库存，商场决
定采取适当的降价措施．经调查发现，每件商品每降价1元，商场平均每天可多售出2件．设每件商品降价x元．据此规律，请回答：
（1）商场日销售量增加______件，每件商品盈利______元（用含x的代数式表示）；
（2）在上述条件不变、销售正常情况下，每件商品降价多少元时，商场日盈利可达到2100元？
20.如图所示，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的弦，∠ACB的平
分线交⊙O于点D．若AB=10，AC=6，求BC、BD的长．
21.如图：在△ABC中AB=BC，以AB为直径的⊙O与AC交于点D，过D作DF⊥BC，
交AB的延长线于E，垂足为F．求证：直线DE是⊙O的切线．
22.阅读材料：
已知，如图（1），在面积为S的△ABC中，BC=a，AC=b，AB=c，内切圆O的半径为r．连接OA、OB、OC，△ABC被划分为三个小三角形．
∵S=S△OBC+S△OAC+S△OAB=12BC•r+12AC•r+12AB•r=12（a+b+c）r．
∴r=2Sa+b+c．
（1）类比推理：若面积为S的四边形ABCD存在内切圆（与各边都相切的圆），
如图（2），各边长分别为AB=a，BC=b，CD=c，AD=d，求四边形的内切圆半径r；
（2）理解应用：如图（3），在等腰梯形ABCD中，AB∥DC，AB=21，CD=11，AD=13，⊙O1与⊙O2分别为△ABD与△BCD的内切圆，设它们的半径分别为r1和r2，求r1r2的值．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】
解：A、未知数的最高次数是3，不是一元二次方程，故本选项错误，
B、符合一元二次方程的定义，故本选项正确，
C、含有两个未知数，不是一元二次方程，故本选项错误，
D、是分式方程，不是一元二次方程，故本选项错误，
故选：B．
根据一元二次方程的定义，依次分析各个选项即可得到答案．
本题考查了一元二次方程的定义，正确掌握一元二次方程的定义是解决本题的关键．
2.【答案】C
【解析】
解：（x+1）2=4
则x+1=±2，
解得：x1=-1+2=1，x2=-1-2=-3．
故选：C．
利用直接开平方的方法解一元二次方程得出答案．
此题主要考查了直接开平方法解方程，正确开平方是解题关键．
3.【答案】B
【解析】
解：A、△=22-4×1×3=-8＜0，
∴一元二次方程x2+2x+3=0没有实数根；
B、△=22-4×1×（-3）=16＞0，
∴一元二次方程x2+2x-3=0有两个相等的实数根；
C、△=（-2）2-4×1×3=-8＜0，
∴一元二次方程x2-2x+3=0没有实数根；
D、△=22-4×1×1=0，
∴一元二次方程x2+2x+1=0有两个相等的实数根．
故选：B．
根据方程的系数结合根的判别式，逐一求出四个选项中一元二次方程的根的判别式△的值，取△＞0的选项即可得出结论．
本题考查了根的判别式，牢记“当△＞0时，方程有两个不相等的实数根”是解题的关键．
4.【答案】C
【解析】
解：∵方程x2-8x+7=0的两个根分别是x1，x2，
∴x1•x2==7．
故选：C．
根据根与系数的关系即可得出x1•x2==7，此题得解．
本题考查了根的判别式，牢记一元二次方程的两根之积等于是解题的关
键．
5.【答案】B
【解析】
解：直径是弦，A正确，不符合题意；
在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，B错误，符合题意；
弦的垂直平分线一定经过圆心，C正确，不符合题意；
平分弧的半径垂直于弧所对的弦，D正确，不符合题意；
故选：B．
根据圆心角、弧、弦的关系，垂径定理，圆的有关概念判断即可．
本题考查的是圆心角、弧、弦的关系，垂径定理，掌握圆的有关概念、垂径定理是解题的关键．
6.【答案】C
【解析】
解：连接OD，
∵CD是⊙O的切线，
∴∠ODC=90°，
∠COD=2∠A=40°，
∴∠C=90°-40°=50°，
故选：C．
连接OD，根据切线的性质得到∠ODC=90°，根据圆周角定理得到
∠COD=2∠A，计算即可．
本题考查的是切线的性质和圆周角定理，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键．
7.【答案】D
【解析】
解：∵∠B=90°，∠A=30°，A、C、B'三点在同一条直线上，
∴∠ACA′=120°．
又AC=4，
∴L=（cm）．
故选：D．
点A所经过的最短路线是以C为圆心、CA为半径的一段弧线，运用弧长公式计算求解．
此题考查了旋转的性质和弧长的计算，搞清楚点A的运动轨迹是关键．难度中等．
8.【答案】C
【解析】
解：如图，设⊙O与AC相切于点E，
连接OE，作OP1⊥BC垂足为P1交
⊙O于Q1，
此时垂线段OP1最短，P1Q1最小值
为OP1-OQ1，
∵AB=10，AC=8，BC=6，
∴AB2=AC2+BC2，
∴∠C=90°，
∵∠OP1B=90°，
∴OP1∥AC
∵AO=OB，
∴P1C=P1B，
∴OP1=AC=4，
∴P1Q1最小值为OP1-OQ1=1，
如图，当Q2在AB边上时，P2与B重合时，P2Q2经过圆心，经过圆心的弦最长，
P2Q2最大值=5+3=8，
∴PQ长的最大值与最小值的和是9．
故选：C．
如图，设⊙O与AC相切于点E，连接OE，作OP1⊥BC垂足为P1交⊙O于
Q1，此时垂线段OP1最短，P1Q1最小值为OP1-OQ1，求出OP1，如图当Q2在AB边上时，P2与B重合时，
P2Q2最大值=5+3=8，由此不难解决问题．
本题考查切线的性质、三角形中位线定理等知识，解题的关键是正确找到点PQ 取得最大值、最小值时的位置，属于中考常考题型．
9.【答案】x=0，x=1，x=-2
【解析】
解：方程x（x-1）（x+2）=0，
可得x=0或x-1=0或x+2=0，
解得：x=0，x=1，x=-2．
故答案为：x=0，x=1，x=-2．
原式利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为一元一次方程来求解．
此题考查了解一元二次方程-因式分解法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
10.【答案】10
【解析】
解：把m代入方程2x2+3x-5=0，得到2m2+3m=5，
所以2m2+3m+5=10．
故答案为：10．
一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值．
此题考查了一元二次方程的解，解题时应注意把2m2+3m当成一个整体．利
用了整体的思想．
11.【答案】0
【解析】
解：把x=1代入一元二次方程得：a+b+c=0，
故答案是：0．
由一元二次方程解得的意义把方程的根代入方程，得到a+b+c=0．
本题考查的是一元二次方程的解，关键是把方程的解代入方程．
12.【答案】7800（x+1）2=9100
【解析】
解：设人均年收入的平均增长率为x，根据题意可列出方程为：7800（x+1）
2=9100．
故答案为：7800（x+1）2=9100．
主要考查增长率问题，一般用增长后的量=增长前的量×（1+增长率），如果设人均年收入的平均增长率为x，根据题意即可列出方程．
本题重点考查列一元二次方程解答有关平均增长率问题．本题易错误为：7800（1+x）×2=9100，其错误的原因是把2009年、2010年人均年收入相对的整体“1”看成2008年的人均年收入．对于平均增长率问题，在理解的基础上，可归
结为a（1+x）2=b（a＜b）；平均降低率问题，在理解的基础上，可归结为a（1-x）2=b（a＞b）．
13.【答案】70°
【解析】
解：如图，
∵∠AOB=40°，OA=OB，
∴∠OAB=∠OBA==70°，
故答案为：70°．
由∠AOB=40°，OA=OB知∠OAB=∠OBA=，代入计算可得．
本题主要考查圆的基本性质，解题的关键是掌握圆的所有半径都相等及等腰三角形的性质．
14.【答案】10
【解析】
解：连接OA、OB；
∵∠C=30°，
∴∠AOB=60°；
∵OA=OB，
∴△OAB是等边三角形；
∴OA=OB=AB=5；
所以⊙O的直径为10．
连接OA、OB，根据圆周角定理，易知∠AOB=60°；因此△ABO是等边三角形，可求出⊙O的半径，也就得出了⊙O的直径．
本题主要考查了圆周角定理的应用．
15.【答案】2π
【解析】
解：∵圆锥的底面圆的半径为1，
∴圆锥的底面圆的周长=2π×1=2π，
∴圆锥的侧面积=×2π×2=2π．
故答案为：2π．
先计算出底面圆的周长，它等于圆锥侧面展开图扇形的弧长，而母线长为扇
形的半径，然后根据扇形的面积公式计算即可．
本题考查了圆锥的侧面积公式：S=l•R．圆锥侧面展开图为扇形，底面圆的周
长等于扇形的弧长，母线长为扇形的半径．
16.【答案】2
【解析】
解：连接OC，OD，BC．
∵CD∥AB，
∴∠DCB=∠ABC，
∴=，
∵是45°弧，
∴∠AOC=∠DOB=45°，
∴∠COD=90°，
∵AB∥CD，
∴△ACD的面积=△COD的面积=
∴阴影部分的面积=△COD的面积=×2×2=2．
故答案为2．
连接OC，OD，判断出阴影部分的面积=△OCD的面积即可求解．
本题主要考查了扇形的面积公式，正确理解阴影部分的面积=扇形COD的面积是解题的关键．
17.【答案】解：连结OC，如图，
∵CD为⊙O的切线，
∴OC⊥CD，
∴∠OCD=90°，
而∠D=30°，
∴∠COD=60°，
∵OA=OC，
∴∠A=∠ACO，
∴∠COD=∠A+∠ACO=2∠A，
∴∠A=12×60°=30°．
【解析】
连结OC，如图，根据切线的性质得∠OCD=90°，再利用互余得∠COD=60°，由于OA=OC，则∠A=∠ACO，然后根据三角形外角性质求解．
本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了等腰三角形的性质．
18.【答案】解：（1）4x2-1=0，
（2x+1）（2x-1）=0，
∴2x+1=0或2x-1=0，
∴x1=-12，x2=12；
（2）x2-4x+3=0，
（x-3）（x-1）=0，
∴x-3=0或x-1=0，
∴x1=3，x2=1；
（3）2x2-5x+2=0，
（2x-1）（x-2）=0，
∴2x-1=0或x-2=0，
∴x1=12，x2=2；
（4）x+3-x（x+3）=0，
（x+3）（1-x）=0，
∴x+3=0或1-x=0，
∴x1=-3，x2=1．
【解析】
（1）根据平方差公式，转化为两个一元一次方程，再解方程即可；
（2）利用十字相乘法分解因式，转化为两个一元一次方程，再解方程即可；（3）利用十字相乘法分解因式，转化为两个一元一次方程，再解方程即可；（4）提公因式x+3，转化为两个一元一次方程，再解方程即可．
本题考查了用因式分解法解一元二次方程，解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法．
19.【答案】2x（50-x）
【解析】
解：（1）降价1元，可多售出2件，降价x元，可多售出2x件，盈利的钱数
=50-x，故答案为2x；50-x；
（2）由题意得：（50-x）（30+2x）=2100（0≤x＜50）
化简得：x2-35x+300=0，即（x-15）（x-20）=0，
解得：x1=15，x2=20
∵该商场为了尽快减少库存，
∴降的越多，越吸引顾客，
∴选x=20，
答：每件商品降价20元，商场日盈利可达2100元．
（1）降价1元，可多售出2件，降价x元，可多售出2x件，盈利的钱数=原来的盈利-降低的钱数；
（2）等量关系为：每件商品的盈利×可卖出商品的件数=2100，把相关数值代入计算得到合适的解即可．
考查一元二次方程的应用；得到可卖出商品数量是解决本题的易错点；得到总盈利2100的等量关系是解决本题的关键．
20.【答案】解：（1）∵AB是直径，
∴∠ACB=∠ADB=90°（直径所对的圆周角是直角），
在Rt△ABC中，AB=10，AC=6，
∴BC=AB2−AC2=102−62=8，即BC=8；
∵AB是直径，
∴∠ACB=∠ADB=90°，
∵∠ACB的平分线交⊙O于点D，
∴∠DCA=∠BCD，
∴AD=BD，
∴AD=BD，
∴在Rt△ABD中，AD=BD=22AB=22×10=52，即BD=52．
【解析】
根据直径得出∠ACB=∠ADB=90°，根据勾股定理求出BC的长度．根据直径所对的圆周角是直角可得∠ACB=∠ADB=90°，再根据角平分线的定义可得
∠DAC=∠BCD，然后求出AD=BD，再根据等腰直角三角形的性质其解即可．本题考查了勾股定理，圆周角定理，解题的关键是求出∠ACB=∠ADB=90°．
21.【答案】证明：连结OD，如图，
∵BA=BC，
∴∠A=∠C，
∵OA=OD，
∴∠A=∠ODA，
∴∠ODA=∠C，
∴OD∥BC，
∵DF⊥BC，
∴DE⊥OD，
∴直线DE是⊙O的切线．
【解析】
连结OD，如图，根据等腰三角形的性质，由BA=BC得∠A=∠C，由OA=OD得∠A=∠ODA，则∠ODA=∠C，于是根据平行线的判定得到OD∥BC，加上
DF⊥BC，所以DE⊥OD，然后根据切线的判定定理即可得到结论．
本题考查了切线的判定：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．在判定一条直线为圆的切线时，当已知条件中未明确指出直线和圆是否有公共点时，常过圆心作该直线的垂线段，证明该线段的长等于半径；当已知条件中明确指出直线与圆有公共点时，常连接过该公共点的半径，证明该半径
垂直于这条直线．
22.【答案】解：（1）如图2，连接OA、OB、OC、OD．
∵S=S△AOB+S△BOC+S△COD+S△AOD
=12ar+12br+12cr+12dr
=12(a+b+c+d)r，
∴r=2Sa+b+c+d．
（2）如图3，过点D作DE⊥AB于E，
∵梯形ABCD为等腰梯形，
∴AE=12(AB−CD)=12⋅(21−11)=5，
∴EB=AB-AE=21-5=16．
在Rt△AED中，
∵AD=13，AE=5，
∴DE=12，
∴DB=DE2+EB2=20．
∵S△ABD=12⋅AB⋅DE=12⋅21⋅12=126，
S△CDB=12⋅CD⋅DE=12⋅11⋅12=66，
∴r1r2=2S△ABDAB+BD+AD2S△CDBCD+CB+DB=2⋅12621+20+132⋅6611+13+20=149．【解析】
（1）已知已给出示例，我们仿照例子，连接OA，OB，OC，OD，则四边形被分
为四个小三角形，且每个三角形都以内切圆半径为高，以四边形各边作底，这与题目情形类似．仿照证明过程，r易得．
（2）（1）中已告诉我们内切圆半径的求法，如是我们再相比即得结果．但求内
切圆半径需首先知道三角形各边边长，根据等腰梯形性质，过点D作AB垂线，进一步易得BD的长，则r1、r2、易得．
本题考查了学生的学习、理解、创新新知识的能力，同时考查了解直角三角
形及等腰梯形等相关知识．这类创新性题目已经成为新课标热衷的考点，是
一道值得练习的基础题，同时要求学生在日常的学习中要注重自我学习能力
的培养．。