八年级上学期第二次月考学业水平调研数学卷(含答案)

八年级上学期第二次月考学业水平调研数学卷（含答案）
一、选择题
1．如图，一次函数图象经过点A ，且与正比例函数y=-x 的图象交于点B ，则该一次函数的表达式为（ ）
A ．y=-x+2
B ．y=x+2
C ．y=x-2
D ．y=-x-2
2．如图，直线(0)y x b b =+>分别交x 轴、y 轴于点A 、B ，直线(0)y kx k =<与直线(0)y x b b =+>交于点C ，点C 在第二象限，过A 、B 两点分别作AD OC ⊥于D ，BE OC ⊥于E ，且8BE BO +=，4=AD ，则ED 的长为（ ）
A ．2
B ．32
C ．52
D ．1
3．对函数31y x =-，下列说法正确的是( )
A ．它的图象过点(3,1)-
B ．y 值随着x 值增大而减小
C ．它的图象经过第二象限
D ．它的图象与y 轴交于负半轴
4．下列运算正确的是（ ）
A ．=2
B ．|﹣3|=﹣3
C ．=±2
D ．=3
5．如图，已知∠ABC=∠DCB ，下列所给条件不能证明△ABC ≌△DCB 的是（ ）
A ．∠A=∠D
B ．AB=D
C C ．∠ACB=∠DBC
D ．AC=BD 6．计算021( 3.14)()
2π--+=（ ） A ．5 B ．-3 C ．54 D ．14
- 7．能表示一次函数y ＝mx +n 与正比例函数y ＝mnx （m ，n 是常数且m ≠0）的图象的是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ． 8．64的立方根是（ ）
A ．4
B ．±4
C ．8
D ．±8 9．如图，正方形ABCD 的边长为10，AG=CH=8，BG=DH=6，连接GH ，则线段GH 的长为
（ ）
A ．2.8
B ．22
C ．2.4
D ．3.5
10．下列关于10的说法中，错误的是（ ）
A ．10是无理数
B ．3104<<
C ．10的平方根是10
D ．10是10的算
术平方根 二、填空题
11．1﹣π的相反数是_____．
12．若△ABC 的三边长分别为a ，b ，c ．下列条件：①∠A ＝∠B ﹣∠C ；②a 2＝（b +c ）（b ﹣c ）；③∠A ：∠B ：∠C ＝3：4：5；④a ：b ：c ＝5：12：13．其中能判断△ABC 是直角三角形的是_____（填序号）．
13．已知113-=a b ，则分式232a ab b a ab b
+-=--__________． 14．若3a 的整数部分为2，则满足条件的奇数a 有_______个．
15．已知一次函数()12y k x =-+，若y 随x 的增大而减小，则k 的取值范围是___．
16．如图，△ABC 中，AD 平分∠BAC ，AB ＝4，AC ＝2，且△ABD 的面积为2，则△ABC 的面积为_________．
17．化简：32|=__________．
18．16_______．
19．若分式2223
x x -+的值为零，则x 的值等于___． 20．如图，Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AD 是∠BAC 的平分线，CD ＝4，AB ＝16，则△ABD 的
面积等于_____．
三、解答题
21．（1）计算：()2
38116-+--；
（2）求()3121x -+=中x 的值.
22．如图，AO BO ⊥，DO EO ⊥，AO BO =，DO EO =.
求证：AE BD =.
23．如图，在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，BD 是ABC ∆的一条角平分线.点O 、E 、F 分别在BD 、BC 、AC 上，且四边形OECF 是正方形.
（1）求证：点O 在BAC ∠的平分线上；
（2）若5AC =，12BC =，且正方形OECF 的面积为4，求ABO ∆的面积.
24．（1）求式中x 的值：2
(1)16x -=；
（2）计算：2020312527--25．如图，正比例函数y ＝
34
x 与一次函数y ＝ax +7的图象相交于点P （4，n ），过点A （2，0）作x 轴的垂线，交一次函数的图象于点B ，连接OB ．
（1）求a 值；
（2）求△OBP 的面积；
（3）在坐标轴的正半轴上存在点Q ，使△POQ 是以OP 为腰的等腰三角形，请直接写出Q 点的坐标．
四、压轴题
26．定义：在平面直角坐标系中，对于任意两点(),A a b ，(),B c d ，若点(),T x y 满足3a c x +=，3
b d y +=那么称点T 是点A ，B 的融合点．例如：()1,8A -，()4,2B -，当点(),T x y 满足1413x -+=
=，()8223
y +-==时，则点()1,2T 是点A ，B 的融合点． （1）已知点()1,5A -，()7,4B ，()2,3C ，请说明其中一个点是另外两个点的融合点． （2）如图，点()4,0D ，点(),25E t t +是直线l 上任意一点，点(),T x y 是点D ，E 的融合点．
①试确定y 与x 的关系式；
②在给定的坐标系xOy 中，画出①中的函数图象；
③若直线ET 交x 轴于点H ．当DTH 为直角三角形时，直接写出点E 的坐标．
27．对于实数x ，若231a x ≤+，则符合条件的a 中最大的正数为X 的內数，例如：8的内数是5；7的内数是4．
（1）1的内数是______，20的內数是______，6的內数是______；
（2）若3是x 的內数，求x 的取值范围；
（3）一动点从原点出发，以3个单位/秒的速度按如图1所示的方向前进，经过t 秒后，动点经过的格点（横，纵坐标均为整数的点）中能围成的最大实心正方形的格点数（包括正方形边界与内部的格点）为n ，例如当1t =时，4n =，如图2①……；当4t =时，9n =，如图2②，③；……
①用n 表示t 的內数；
②当t的內数为9时，符合条件的最大实心正方形有多少个，在这些实心正方形的格点中，直接写出离原点最远的格点的坐标．（若有多点并列最远，全部写出）
28．直角三角形ABC中，∠ACB=90°，直线l过点C．
（1）当AC=BC时，如图①，分别过点A、B作AD⊥l于点D，BE⊥l于点E．求证：
△ACD≌△CBE．
（2）当AC=8，BC=6时，如图②，点B与点F关于直线l对称，连接BF，CF，动点M从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿AC边向终点C运动，同时动点N从点F出发，以每秒3个单位的速度沿F→C→B→C→F向终点F运动，点M、N到达相应的终点时停止运动，过点M作MD⊥l于点D，过点N作NE⊥l于点E，设运动时间为t秒．
①CM=，当N在F→C路径上时，CN=．（用含t的代数式表示）
②直接写出当△MDC与△CEN全等时t的值．
∆中，线段AM为BC边上的中线．动点D在直线AM上时，以29．如图，在等边ABC
∆，连结BE．
CD为一边在CD的下方作等边CDE
∠的度数；
（1）求CAM
∆≅∆；
（2）若点D在线段AM上时，求证：ADC BEC
∠是否（3）当动点D在直线AM上时，设直线BE与直线AM的交点为O，试判断AOB
为定值？并说明理由．
30．已知在△ABC中，AB＝AC，射线BM、BN在∠ABC内部，分别交线段AC于点G、H．（1）如图1，若∠ABC＝60°，∠MBN＝30°，作AE⊥BN于点D，分别交BC、BM于点
E、F．
①求证：∠1＝∠2；
②如图2，若BF＝2AF，连接CF，求证：BF⊥CF；
（2）如图3，点E为BC上一点，AE交BM于点F，连接CF，若∠BFE＝∠BAC＝2∠CFE，
求ABF
ACF
S
S的值．
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一、选择题
1．B
解析：B
【解析】
【分析】
【详解】
解：设一次函数的解析式y=kx+b（k≠0），
∵一次函数图象经过点A，且与正比例函数y=-x的图象交于点B，
∴在直线y=-x中，令x=-1，解得：y=1，则B的坐标是（-1，1）．
把A（0，2），B（-1，1）的坐标代入一次函数的解析式y=kx+b
得：2{1b k b =-+=，解得2{1
b k ==， 该一次函数的表达式为y=x+2．
故选B ．
2．D
解析：D
【解析】
【分析】
图中直线y=x+b 与x 轴负半轴，y 轴正半轴分别交于A ，B 两点，可以根据两点的坐标得出OA=OB ，由此可证明△AOD ≌△OBE ，证出OC=AD ，BE=OD ，在Rt △OBE 中，运用勾股定理可求出BE 的长，再根据线段的差可求出DE 的长.
【详解】
直线y=x+b(b ＞0)与x 轴的交点坐标A 为（-b ，0）与y 轴的交点坐标B 为（0，-b ）， 所以，OA=OB ，
又∵AD ⊥OC ，BE ⊥OC ，
∴∠ADO=∠BEO=90°，
∵∠DOA+∠DAO=90°，∠DOA+∠DOB=90°，
∴∠DAO=∠DOB ，
在△DAO 和△BOE 中，
DAO BOE ADO BEO OA OB ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
∴△DAO ≌EOB ，
∴OD=BE.AD=OE ，
∵AD=4，
∴OE=4，
∵BE+BO=8，
∴B0=8-BE ，
在Rt △OBE 中，222BO BE OE =+，
∴222
(8)BE BE OE -=+
解得，BE=3，
∴OD=3，
∴ED=OE-OD=4-3=1.
【点睛】
此题主要考查了一次函数的应用以及全等三角形的判定与性质，根据全等三角形的性质求出OD=BE 是解题的关键. 3．D
解析：D
【解析】
【分析】
根据一次函数的性质，对每一项进行判断筛选即可.
【详解】
A 将x=3代入31y x =-得：3×3-1=8，A 选项错;
B ．一次函数k ＞0，y 值随着x 值增大而增大，B 选项错；
C ．一次函数k ＞0，y 值随着x 值增大而增大，当x=0时，y=-1，故此函数的图像经过
一、三、四象限，C 选项错；
D ．当x=0时，y=-1，一次函数的图象与y 轴交于负半轴，D 项正确.
故选D.
【点睛】
本题考查了一次函数的性质，解决本题的关键是正确理解题意，熟练掌握一次函数的性质. 4．A
解析：A
【解析】
【分析】
根据算术平方根和立方根的定义、绝对值的性质逐一计算可得结论．
【详解】
A ．
=2，此选项计算正确； B ．|﹣3|=3，此选项计算错误；
C ．
=2，此选项计算错误； D ．不能进一步计算，此选项错误． 故选A ．
【点睛】
本题考查了算术平方根，解题的关键是掌握算术平方根和立方根的定义、绝对值性质． 5．D
解析：D
【解析】
A ．添加∠A =∠D 可利用AAS 判定△ABC ≌△DC
B ，故此选项不合题意；
B ．添加AB =D
C 可利用SAS 定理判定△ABC ≌△DCB ，故此选项不合题意；
C ．添加∠ACB =∠DBC 可利用ASA 定理判定△ABC ≌△DCB ，故此选项不合题意；
D ．添加AC =BD 不能判定△ABC ≌△DCB ，故此选项符合题意．
故选D ．
6．A
解析：A
【解析】
【分析】
根据0指数幂和负整数幂定义进行计算即可.
【详解】
021( 3.14)()1452
π--+=+= 故选：A
【点睛】
考核知识点：幂的运算.理解0指数幂和负整数幂定义是关键.
7．C
解析：C
【解析】
【分析】
对于各选项：先通过一次函数的性质确定m 、n 的符合，从而得到mn 的符合，然后根据正比例函数的性质对正比例函数图象进行判断，从而可确定该选项是否正确．
【详解】
A 、由一次函数图象得m ＞0，n ＞0，所以mn ＞0，则正比例函数图象过第一、三象限，所以A 选项错误；
B 、由一次函数图象得m ＞0，n ＜0，所以mn ＜0，则正比例函数图象过第二、四象限，所以B 选项错误；
C 、由一次函数图象得m ＜0，n ＞0，所以mn ＜0，则正比例函数图象过第二、四象限，所以C 选项正确；
D 、由一次函数图象得m ＜0，n ＞0，所以mn ＜0，则正比例函数图象过第二、四象限，所以D 选项错误．
故选：C ．
【点睛】
本题考查了正比例函数图象：正比例函数y ＝kx 经过原点，当k ＞0，图象经过第一、三象限；当k ＜0，图象经过第二、四象限．也考查了一次函数的性质．
8．A
解析：A
【解析】
试题分析：∵43=64，∴64的立方根是4，
故选A
考点：立方根．
9．B
解析：B
【解析】
【分析】
延长BG 交CH 于点E ，根据正方形的性质证明△ABG ≌△CDH ≌△BCE ，可得GE=BE-BG=2，HE=CH-CE=2，∠HEG=90°，从而由勾股定理可得GH 的长．
【详解】
解：如图，延长BG 交CH 于点E ，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABC=90°，AB=CD=10，
∵AG=8，BG=6，
∴AG2+BG2=AB2，
∴∠AGB=90°，
∴∠1+∠2=90°，
又∵∠2+∠3=90°，
∴∠1=∠3，
同理：∠4=∠6，
在△ABG和△CDH中，
AB＝CD＝10
AG＝CH＝8
BG＝DH＝6
∴△ABG≌△CDH（SSS），
∴∠1=∠5，∠2=∠6，
∴∠2=∠4，
在△ABG和△BCE中，
∵∠1＝∠3，AB＝BC，∠2＝∠4，
∴△ABG≌△BCE（ASA），
∴BE=AG=8，CE=BG=6，∠BEC=∠AGB=90°，
∴GE=BE－BG=8－6=2，
同理可得HE=2，
在Rt△GHE中，
2222
GH GE HE
=+=+=
2222
故选：B．
【点睛】
本题主要考查正方形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理及其逆定理的综合运用，通过证三角形全等得出△GHE为直角三角形且能够求出两条直角边的长是解题的关键．
10．C
解析：C
【解析】
试题解析：A10是无理数，说法正确；
B 、3＜4，说法正确；
C 、10，故原题说法错误；
D 是10的算术平方根，说法正确；
故选C ．
二、填空题
11．π﹣1．
【解析】
【分析】
根据相反数的定义即可得到结论．
【详解】
1﹣π的相反数是．
故答案为：π﹣1．
【点睛】
本题考查了相反数的意义，一个数的相反数就是在这个数前面添上“-”号． 解析：π﹣1．
【解析】
【分析】
根据相反数的定义即可得到结论．
【详解】
1﹣π的相反数是()1
1ππ=﹣﹣﹣． 故答案为：π﹣1．
【点睛】
本题考查了相反数的意义，一个数的相反数就是在这个数前面添上“-”号．
12．①②④
【解析】
【分析】
根据三角形的内角和定理和勾股定理的逆定理逐个判断即可．
【详解】
解：∵∠A＝∠B﹣∠C，
∴∠A+∠C＝∠B，
∵∠A+∠C+∠B＝180°，
∴∠B＝90°，
∴△A
解析：①②④
【解析】
【分析】
根据三角形的内角和定理和勾股定理的逆定理逐个判断即可．
【详解】
解：∵∠A＝∠B﹣∠C，
∴∠A+∠C＝∠B，
∵∠A+∠C+∠B＝180°，
∴∠B＝90°，
∴△ABC是直角三角形，故①符合题意；
∵a2＝（b+c）（b﹣c）
∴a2+c2＝b2，
∴△ABC是直角三角形，故②符合题意；
∵∠A：∠B：∠C＝3：4：5，∠A+∠B+∠C＝180°，
∴∠A＝45°，∠B＝60°，∠C＝75°，
∴△ABC不是直角三角形，故③不符合题意；
∵a：b：c＝5：12：13，
∴a2+b2＝c2，
∴△ABC是直角三角形，故④符合题意；
故答案为：①②④．
【点睛】
此题主要考查直角三角形的判定，解题的关键是熟知勾股定理逆定理与三角形的内角和定理的运用.
13．【解析】
【分析】
首先把两边同时乘以，可得，进而可得，然后再利用代入法求值即可．
【详解】
解：∵，
∴ ，
∴，
∴
故答案为：
【点睛】
此题主要考查了分式化简求值，关键是掌握代入求值时，
解析：3 4
【解析】【分析】
首先把
113-=a b
两边同时乘以ab ，可得3b a ab -= ，进而可得3a b ab -=-，然后再利用代入法求值即可．
【详解】 解：∵113-=a b
， ∴3b a ab -= ，
∴3a b ab -=-， ∴2323263334a b ab a ab b ab ab a ab b a b ab ab ab 故答案为：
34
【点睛】 此题主要考查了分式化简求值，关键是掌握代入求值时，有直接代入法，整体代入法等常用方法．
14．9
【解析】
【分析】
的整数部分为，则可求出a 的取值范围，即可得到答案.
【详解】
解：的整数部分为，则a 的取值范围 8＜a ＜27 所以得到奇数有：9、11、13、15、17、19、21、23、2
解析：9
【解析】
【分析】
的整数部分为2，则可求出a 的取值范围，即可得到答案.
【详解】
2，则a 的取值范围 8＜a ＜27
所以得到奇数a 有：9、11、13、15、17、19、21、23、25 共9个
故答案为：9
【点睛】
此题主要考查了估算无理数的大小，估算是我们具备的数学能力，“夹逼法”是估算的一般方法.
15．k ＜1．
【解析】
【分析】
一次函数y=kx+b ，当k ＜0时，y 随x 的增大而减小．据此列不等式解答即可．
【详解】
解：∵一次函数y=（k-1）x+2中y随x的增大而减小，
∴k-1＜0，
解得k
解析：k＜1．
【解析】
【分析】
一次函数y=kx+b，当k＜0时，y随x的增大而减小．据此列不等式解答即可．
【详解】
解：∵一次函数y=（k-1）x+2中y随x的增大而减小，
∴k-1＜0，
解得k＜1，
故答案是：k＜1．
【点睛】
本题主要考查了一次函数的增减性．一次函数y=kx+b，当k＞0时，y随x的增大而增大；当k＜0时，y随x的增大而减小．
16．3；
【解析】
【分析】
过D作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，由面积可求得DE，根据角平分线的性质可求得DF，可求得△ACD的面积，进而求△ABC的面积．
【详解】
解：过点D作DE⊥AB于E，
解析：3；
【解析】
【分析】
过D作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，由面积可求得DE，根据角平分线的性质可求得DF，可求得△ACD的面积，进而求△ABC的面积．
【详解】
解：过点D作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，
∵S△ABD=2
∴1
2
AB•DE=2，
又∵AB=4
∴1
2
×4×DE=2，解得DE=1，
∵AD平分∠BAC，且DE⊥AB，DF⊥AC ∴DF=DE=1，
∴S△ACD=1
2
AC•DF=
1
2
×2×1=1，
∴S△ABC=S△ABD+S△ACD=2+1=3
故答案为：3．
【点睛】
本题主要考查角平分线的性质，掌握角平分线上的点到角两边的距离相等是解题的关键．17．【解析】
【分析】
先判断两个实数的大小关系，再根据绝对值的代数意义化简，进而得出答案．【详解】
解：∵，
∴原式
，
故答案为：．
【点睛】
此题主要考查了绝对值的代数意义，正确判断实数的大小
解析：2
【解析】
【分析】
先判断两个实数的大小关系，再根据绝对值的代数意义化简，进而得出答案．
【详解】
2
<，
∴原式2)
=-
2
=-
故答案为：2．
【点睛】
此题主要考查了绝对值的代数意义，正确判断实数的大小是解题关键．
18．4
【解析】
根据算术平方根的概念去解即可．算术平方根的定义：一个非负数的正的平方根，即为这个数的算术平方根，由此即可求出结果．
【详解】
解：原式==4．
故答案为4．
【点睛】
此题主
解析：4
【解析】
【分析】
根据算术平方根的概念去解即可．算术平方根的定义：一个非负数的正的平方根，即为这个数的算术平方根，由此即可求出结果．
【详解】
解：原式．
故答案为4．
【点睛】
此题主要考查了算术平方根的定义，算术平方根的概念易与平方根的概念混淆而导致错误．
19．【解析】
【分析】
当分式的值为0时，分式的分子为0，分母不为0，由此求解即可.
【详解】
解：∵分式的值为零，且
∴x﹣2＝0，
解得：x ＝2．
故答案为：2．
【点睛】
本题考查了分式值为0的
解析：【解析】
【分析】
当分式的值为0时，分式的分子为0，分母不为0，由此求解即可.
【详解】 解：∵分式
2223
x x -+的值为零，且2230x +≥ ∴x ﹣2＝0，
故答案为：2．
【点睛】
本题考查了分式值为0的条件，灵活利用分式值为0的条件是解题的关键.
20．【解析】
【分析】
作DH⊥AB于H，如图，根据角平分线的性质得到DH=DC=4，然后利用三角形面积公式计算．
【详解】
作DH⊥AB于H，如图，
∵AD是∠BAC的平分线，
∴DH=DC=4，
解析：【解析】
【分析】
作DH⊥AB于H，如图，根据角平分线的性质得到DH=DC=4，然后利用三角形面积公式计算．
【详解】
作DH⊥AB于H，如图，
∵AD是∠BAC的平分线，
∴DH=DC=4，
∴△ABD的面积=1
2
×16×4=32．
故答案为：32．
【点睛】
本题考查了角平分线的性质及三角形面积公式，熟练掌握“角的平分线上的点到角的两边的距离相等”是解题的关键．
三、解答题
21．（1）-5；（2）x=0
【解析】
【分析】
（1）先化简立方根，乘方，二次根式，然后进行有理数的加减运算；（2）利用立方根的
概念解方程.
【详解】
解：（1）原式214=-+-
5=-.
（2）()3
112x -=- ()
311x -=- 11x -=-
0x = 【点睛】
本题考查立方根及算术平方根的求法，掌握概念正确计算是本题的解题关键.
22．见解析
【解析】
【分析】
利用SAS 证出△AOE ≌△BOD ，然后根据全等三角形的性质即可得出结论．
【详解】
解：∵AO BO ⊥，DO EO ⊥，
∴∠DOE =∠AOB =90°
∴∠DOE ＋∠AOD =∠AOB ＋∠AOD
∴∠AOE=∠BOD
在△AOE 和△BOD 中
AO BO AOE BOD EO DO =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
∴△AOE ≌△BOD （SAS ）
∴AE BD =
【点睛】
此题考查的是全等三角形的判定及性质，掌握利用SAS 判定两个三角形全等是解决此题的关键．
23．（1）证明见解析；（2）13.
【解析】
【分析】
（1）过点O 作OM ⊥AB ，由正方形的性质可得OE=OF ，OE ⊥BC ，OF ⊥AC ，根据角平分线上的点到角两边距离相等可得OM=OG ，所以OM=OF ，于是根据角平分线的判定定理可得点O 在∠BAC 的平分线上；
（2）由勾股定理得AB 的长，根据正方形的面积可求OE 的长，于是可得OM 的长，根据三角形的面积计算公式可求.
【详解】
解：（1）证明：过点O 作OM ⊥AB ，
∵四边形OECF 是正方形，
∴OE=OF ，∠OEC=∠OFC =90°，
∴OE ⊥BC ，OF ⊥AC,
∵BD 是∠ABC 的一条角平分线，OM ⊥AB,
∴OE=OM ，
∴OF=OM ，
∴点O 在∠BAC 的平分线上；
（2）∵5AC =，12BC =，90C ∠=︒，
∴在Rt △ABC 中，根据勾股定理222251213AB AC BC +=+=, ∵正方形OECF 的面积为4，
∴OM=OE=2，
∴1113213.22
ABO S AB OM ∆=
⋅⋅=⨯⨯= 【点睛】
本题考查角平分线的性质和判定，正方形的性质，勾股定理.熟记角平分线的性质定理和判定定理是解决此题的关键.
24．（1）x =5或﹣3；（2）﹣9．
【解析】
【分析】
（1）直接利用平方根的定义化简得出答案；
（2）直接利用立方根以及算术平方根的定义化简得出答案．
【详解】
（1）(x ﹣1)2=16，
x ﹣1=±4，
解得：x =5或﹣3；
（2）2020312527--=﹣1﹣5﹣3
=﹣9．
【点睛】
此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．
25．（1）a=-1；（2）7；（3）点Q 的坐标为（5，0）或（8，0）或（0，5）或（0，6）
【解析】
【分析】
（1）先由点P在正比例函数图象上求得n的值，再把点P坐标代入一次函数的解析式即可求出结果；
（2）易求点B坐标，设直线AB与OP交于点C，如图，则点C坐标可得，然后利用△OBP 的面积＝S△BCO+S△BCP代入相关数据计算即可求出结果；
（3）先根据勾股定理求出OP的长，再分两种情况：当OP=OQ时，以O为圆心，OP为半径作圆分别交y轴和x轴的正半轴于点Q1、Q2，如图2，则点Q1、Q2即为所求，然后利用等腰三角形的定义即可求出结果；当PO=PQ时，以P为圆心，OP为半径作圆分别交y轴和x轴的正半轴于点Q4、Q3，如图3，则点Q4、Q3也为所求，然后利用等腰三角形的性质即可求得结果．
【详解】
解：（1）把点P（4，n）代入y＝3
4
x，得：n＝
3
4
×4＝3，∴P（4，3），
把P（4，3）代入y＝ax+7得，3＝4a+7，∴a＝﹣1；（2）∵A（2，0），AB⊥x轴，∴B点的横坐标为2，∵点B在y＝﹣x+7上，∴B（2，5），
设直线AB与OP交于点C，如图1，当x=2时，
33
2
42
y=⨯=，∴C（2，
3
2
），
∴△OBP的面积＝S△BCO+S△BCP＝1
2
⨯2×（5﹣
3
2
）+
1
2
⨯（4﹣2）×（5﹣
3
2
）＝7；
（3）过点P作PD⊥x轴于点D，∵P（4，3），∴OD=4，PD=3，∴22
345
OP=+=，当OP=OQ时，以O为圆心，OP为半径作圆分别交y轴和x轴的正半轴于点Q1、Q2，如图2，则点Q1、Q2即为所求，且Q2（5，0）、Q1（0，5）；
当PO=PQ时，以P为圆心，OP为半径作圆分别交y轴和x轴的正半轴于点Q4、Q3，如图
3，则点Q 4、Q 3也为所求，
由于PO=PQ 3，∴DQ 3=DO =4，∴Q 3（8，0），
过点P 作PF ⊥y 轴于点F ，同理可得：FQ 4=FO =3，∴Q 4（0，6）．
综上所述，在坐标轴的正半轴上存在点Q ，使△POQ 是以OP 为腰的等腰三角形，点Q 的坐标为（5，0）或（8，0）或（0，5）或（0，6）．
【点睛】
本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、勾股定理、三角形的面积和等腰三角形的性质等知识，属于常考题型，熟练掌握一次函数的相关知识和等腰三角形的性质是解题的关键．
四、压轴题
26．（1）点C 是点A 、B 的融合点；（2）①2-1y x =；②见详解；③点E 的坐标为：（2，9）或（8，21）
【解析】
【分析】 （1）根据融合点的定义3a c x +=，3
b d y +=，即可求解； （2）①由题意得：分别得到x 与t 、y 与t 的关系，即可求解；
②利用①的函数关系式解答；
③分∠DTH ＝90°、∠TDH ＝90°、∠HTD ＝90°三种情况，分别求解即可．
【详解】
解：（1）x ＝-17233a c ++==，y ＝54333
b d ++==， 故点C 是点A 、B 的融合点； （2）①由题意得：x ＝
433a c t ++=，y ＝2533b d t ++=，则3-4t x =， 则()23-452-13
x y x +==； ②令x ＝0，y ＝-1；令y ＝0，x ＝
12，图象如下：
③当∠THD＝90°时，
∵点E（t，2t＋5），点T（t，2t−1），点D（4，0），且点T（x，y）是点D，E的融合点．
∴t＝1
3
（t＋4），
∴t＝2，
∴点E（2，9）；
当∠TDH＝90°时，
∵点E（t，2t＋5），点T（4，7），点D（4，0），且点T（x，y）是点D，E的融合点．
∴4＝1
3
（4＋t）
∴t＝8，
∴点E（8，21）；当∠HTD＝90°时，
由于EH 与x 轴不平行，故∠HTD 不可能为90°；
故点E 的坐标为：（2，9）或（8，21）．
【点睛】
本题是一次函数综合运用题，涉及到直角三角形的运用，此类新定义题目，通常按照题设顺序，逐次求解．
27．（1）2，7，4；（2）83
x ≥；（3）①t 的内数=有2个，离原点最远的格点的坐标有两个，为()8,4-±．
【解析】
【分析】
（1）根据内数的定义即可求解；
（2）根据内数的定义可列不等式2331x ≤+，求解即可；
（3）①分析可得当1t =时，即t 的内数为2时，4n =；当4t =时，即t 的内数为3时，9n =，当5t =时，即t 的内数为4时，16n =……归纳可得结论；②分析可得当t 的内数为奇数时，最大实心正方形有2个；当t 的内数为偶数时，最大实心正方形有1个；且最大实心正方形的边长为：t 的內数－1，即可求解．
【详解】
解：（1）22311=⨯+，所以1的内数是2；
232017⨯+>，所以20的内数是7；
23614⨯+>，所以6的内数是4；
（2）∵3是x 的內数，
∴2331x ≤+， 解得83
x ≥； （3）①当1t =时，即t 的内数为2时，4n =；
当4t =时，即t 的内数为3时，9n =，
当5t =时，即t 的内数为4时，16n =，
……
∴t 的内数=
②当t 的内数为2时，最大实心正方形有1个；
当t 的内数为3时，最大实心正方形有2个，
当t 的内数为4时，最大实心正方形有1个，
……
即当t 的内数为奇数时，最大实心正方形有2个；当t 的内数为偶数时，最大实心正方形有1个；
∴当t 的內数为9时，符合条件的最大实心正方形有2个，
由前几个例子推理可得最大实心正方形的边长为：t 的內数－1，
∴此时最大实心正方形的边长为8，
离原点最远的格点的坐标有两个，为()8,4-±．
【点睛】
本题考查图形类规律探究，明确题干中内数的定义是解题的关键．
28．（1）证明见解析；（2）①CM =8t -，CN =63t -；②t =3.5或5或6.5．
【解析】
【分析】
（1）根据垂直的定义得到∠DAC=∠ECB ，利用AAS 定理证明△ACD ≌△CBE ；
（2）①由折叠的性质可得出答案；
②动点N 沿F→C 路径运动，点N 沿C→B 路径运动，点N 沿B→C 路径运动，点N 沿C→F 路径运动四种情况，根据全等三角形的判定定理列式计算．
【详解】
（1）∵AD ⊥直线l ，BE ⊥直线l ，
∴∠DAC+∠ACD=90°，
∵∠ACB=90°，
∴∠BCE+∠ACD=90°，
∴∠DAC=∠ECB ，
在△ACD 和△CBE 中，
ADC CEB DAC ECB CA CB ∠∠⎧⎪∠∠⎨⎪⎩
＝＝＝，
∴△ACD ≌△CBE （AAS ）；
（2）①由题意得，AM=t ，FN=3t ，
则CM=8-t ，
由折叠的性质可知，CF=CB=6，
∴CN=6-3t ；
故答案为：8-t ；6-3t ；
②由折叠的性质可知，∠BCE=∠FCE ，
∵∠MCD+∠CMD=90°，∠MCD+∠BCE=90°，
∴∠NCE=∠CMD ，
∴当CM=CN 时，△MDC 与△CEN 全等，
当点N 沿F→C 路径运动时，8-t=6-3t ，
解得，t=-1（不合题意），
当点N 沿C→B 路径运动时，CN=3t-6，
则8-t=3t-6，
解得，t=3.5，
当点N 沿B→C 路径运动时，由题意得，8-t=18-3t ，
解得，t=5，
当点N 沿C→F 路径运动时，由题意得，8-t=3t-18，
解得，t=6.5，
综上所述，当t=3.5秒或5秒或6.5秒时，△MDC 与△CEN 全等．
【点睛】
本题考查了折叠的性质，全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理，灵活运用分情况讨论思想是解题的关键．
29．（1）30°；（2）证明见解析；（3）AOB ∠是定值，60AOB ∠=︒.
【解析】
【分析】
（1）根据等边三角形的性质可以直接得出结论；
（2）根据等边三角形的性质就可以得出AC AC =，DC EC =，，
60ACB DCE ∠=∠=︒，由等式的性质就可以BCE ACD ∠=∠，根据SAS 就可以得出ADC BEC ∆≅∆；
（3）分情况讨论：当点D 在线段AM 上时，如图1，由（2）可知ACD BCE ≅∆∆，就可以求出结论；当点D 在线段AM 的延长线上时，如图2，可以得出ACD BCE ≅∆∆而有30CBE CAD ∠=∠=︒而得出结论；当点D 在线段MA 的延长线上时，如图3，通过得出ACD BCE ≅∆∆同样可以得出结论．
【详解】
（1）ABC ∆是等边三角形，
60BAC ∴∠=︒．
线段AM 为BC 边上的中线，
12
CAM BAC ∴∠=∠， 30CAM ∴∠=︒．
（2）ABC ∆与DEC ∆都是等边三角形，
AC BC ∴=，CD CE =，60ACB DCE ∠=∠=︒，
ACD DCB DCB BCE ∴∠+∠=∠+∠，
ACD BCE ∠∠∴=．
在ADC ∆和BEC ∆中
AC BC ACD BCE CD CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
()ACD BCE SAS ∴∆≅∆；
（3）AOB ∠是定值，60AOB ∠=︒，
理由如下：
①当点D 在线段AM 上时，如图1，
由（2）可知ACD BCE ≅∆∆，则30CBE CAD ∠=∠=︒，
又60ABC ∠=︒，
603090CBE ABC ∴∠+∠=︒+︒=︒，
ABC ∆是等边三角形，线段AM 为BC 边上的中线
AM ∴平分BAC ∠，即11603022
BAM BAC ∠=∠=⨯︒=︒ 903060BOA ∴∠=︒-︒=︒．
②当点D 在线段AM 的延长线上时，如图2，
ABC ∆与DEC ∆都是等边三角形，
AC BC ∴=，CD CE =，60ACB DCE ∠=∠=︒，
ACB DCB DCB DCE ∴∠+∠=∠+∠，
ACD BCE ∠∠∴=，
在ACD ∆和BCE ∆中
AC BC ACD BCE CD CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
()ACD BCE SAS ∴∆≅∆，
30CBE CAD ∴∠=∠=︒，
同理可得：30BAM ∠=︒，
903060BOA ∴∠=︒-︒=︒．
③当点D 在线段MA 的延长线上时，
ABC ∆与DEC ∆都是等边三角形，
AC BC ∴=，CD CE =，60ACB DCE ∠=∠=︒，
60ACD ACE BCE ACE ∴∠+∠=∠+∠=︒，
ACD BCE ∠∠∴=，
在ACD ∆和BCE ∆中
AC BC ACD BCE CD CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
()ACD BCE SAS ∴∆≅∆，
CBE CAD ∴∠=∠，
同理可得：30CAM ∠=︒
150CBE CAD ∴∠=∠=︒
30CBO ∴∠=︒，
∵30BAM ∠=︒，
903060BOA ∴∠=︒-︒=︒．
综上，当动点D 在直线AM 上时，AOB ∠是定值，60AOB ∠=︒．
【点睛】
此题考查等边三角形的性质，全等三角形的判定及性质，等边三角形三线合一的性质，解题中注意分类讨论的思想解题.
30．（1）①见解析；②见解析；（2）2
【解析】
【分析】
（1）①只要证明∠2+∠BAF＝∠1+∠BAF＝60°即可解决问题；
②只要证明△BFC≌△ADB，即可推出∠BFC＝∠ADB＝90°；
（2）在BF上截取BK＝AF，连接AK．只要证明△ABK≌CAF，可得S△ABK＝S△AFC，再证明AF＝FK＝BK，可得S△ABK＝S△AFK，即可解决问题；
【详解】
（1）①证明：如图1中，
∵AB＝AC，∠ABC＝60°
∴△ABC是等边三角形，
∴∠BAC＝60°，
∵AD⊥BN，
∴∠ADB＝90°，
∵∠MBN＝30°，
∠BFD＝60°＝∠1+∠BAF＝∠2+∠BAF，
∴∠1＝∠2
②证明：如图2中，
在Rt △BFD 中，∵∠FBD ＝30°，
∴BF ＝2DF ，
∵BF ＝2AF ，
∴BF ＝AD ，
∵∠BAE ＝∠FBC ，AB ＝BC ，
∴△BFC ≌△ADB ，
∴∠BFC ＝∠ADB ＝90°，
∴BF ⊥CF
（2）在BF 上截取BK ＝AF ，连接AK
．
∵∠BFE ＝∠2+∠BAF ，∠CFE ＝∠4+∠1，
∴∠CFB ＝∠2+∠4+∠BAC ，
∵∠BFE ＝∠BAC ＝2∠EFC ，
∴∠1+∠4＝∠2+∠4
∴∠1＝∠2，∵AB ＝AC ，
∴△ABK ≌CAF ，
∴∠3＝∠4，S △ABK ＝S △AFC ，
∵∠1+∠3＝∠2+∠3＝∠CFE ＝∠AKB ，∠BAC ＝2∠CEF ，
∴∠KAF ＝∠1+∠3＝∠AKF ，
∴AF ＝FK ＝BK ，
∴S △ABK ＝S △AFK ，
∴ABF AFC
S 2S ∆∆=． 【点睛】
本题考查全等三角形的判定和性质、等边三角形的性质、等腰三角形的判定和性质、直角三角形30度角性质等知识，解题的关键是能够正确添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题．。