上海民办风范中学九年级数学上册第三单元《旋转》检测卷(有答案解析)

一、选择题
1．观察下列“风车”的平面图案，其中既是轴对称又是中心对称图形的有（ ） A ． B ． C ． D ． 2．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC ＝45°，点D 在AC 边上．将△ABD 绕点A 逆时针旋转45°得到△ACD ′，且D ′、D 、B 三点在同一条直线上，则∠ABD 的大小为（ ）
A ．15°
B ．22.5°
C ．25°
D ．30°
3．如图，将△ABC 绕点A 旋转，得到△AEF ，下列结论正确的个数是（ ） ①△ABC ≌△AEF ；②AC=AE ；③∠FAB=∠EAB ；④∠EAB=∠FAC ．
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4 4．如图，将△ABC 绕点C(0,1)旋转180°得到△A′B′C′，设点A 的坐标为(,)a b ，则点A′的坐
标为( )
A ．(,)a b --
B ．2(),a b --+
C ．(),1a b --+
D ．(,1)a b --- 5．如图，在等边△ABC 中，AC=8，点O 在AC 上，且AO=3，点P 是边AB 上一动点，连接OP ，将线段OP 绕点O 逆时针旋转60°得到线段OD ，要使点D 恰好落在BC 上，则AP 的长是（ ）．
A ．4
B ．5
C ．6
D ．8
6．如图，将等边ABC 绕点C 逆时针旋转得到A B C ''，旋转角为
()060αα︒<<︒．若160BDA '∠=︒，则α的大小是（ ）
A ．20°
B ．40°
C ．60°
D ．80°
7．如图，正方形ABCD 内一点P ，5AB =，2BP =，把ABP △绕点B 顺时针旋转90°得到CBP '，则PP '的长为（ ）
A ．22
B ．23
C ．3
D ．32 8．如图所示，ABC 中，65C =︒∠，将ABC ∆绕点A 顺时针旋转后，得到AB C ''∆，且C '在边BC 上，则B C B ''∠的度数是（ ）
A ．46°
B ．48°
C ．50°
D ．52°
9．下列关于防范“新冠肺炎”的标志中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A ．戴口罩讲卫生 B ．勤洗手勤通风
C ．有症状早就医
D ．少出门少聚集
10．如图，等边△OAB 的边OB 在x 轴上，点B 坐标为（2，0），以点O 为旋转中心，把△OAB 逆时针转90︒，则旋转后点A 的对应点A '的坐标是（ ）
A ．（-1，3）
B ．（3，-1）
C ．（31-，）
D ．（-2，1） 11．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ． 12．如图，以点A 为中心，把△ABC 逆时针旋转120°，得到△AB'C′（点B 、C 的对应点分别为点B′、C′），连接BB'，若AC'∥BB'，则∠CAB'的度数为（ ）
A ．45°
B ．60°
C ．70°
D ．90°
二、填空题
13．如图，在AOB 中，90AOB ∠=︒，30B ∠=︒，A OB ''△是由AOB 绕点O 顺时针旋转1(8)0αα<︒角度得到的，若点A '在AB 上，则旋转角α=___︒．
14．如图，在Rt ABC △中，C 为直角顶点，20ABC ∠=︒，O 为斜边AB 的中点，将OA 绕点O 逆时针旋转()0180θθ︒<<︒至OP ，当BCP 恰为以BC 为腰的等腰三角形时，θ的值为______．
15．点()1,2--A 绕点()10
B ,旋转180︒得到点
C ，则点C 坐标为_______________________．
16．如图所示，把一个直角三角尺ACB 绕30角的顶点B 顺时计旋转，使得点A 落在CB 的延长线上的点E 处，则BCD ∠的度数为______．
17．一副三角板如图放置，将三角板ADE 绕点A 逆时针旋转(090)αα<<，使得三角板ADE 的一边所在的直线与BC 垂直，则α的度数为______.
18．矩形是中心对称图形，对矩形ABCD 而言，点A 的对称点是点____.
19．如图，在平面直角坐标系中，四边形OBCD 是菱形，OB ＝OD ＝2，∠BOD ＝60°，将菱形OBCD 绕点O 旋转任意角度，得到菱形OB 1C 1D 1，则点C 1的纵坐标的最小值为_____．
20．在平面直角坐标系中，将点P （﹣3，2）绕点Q （﹣1，0）顺时针旋转90°，所得到的对应点P '的坐标为____．
三、解答题
21．如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知Rt DOE ，=90DOE ∠︒，3OD =，点D 在y 轴上，点E 在x 轴上，在ABC 中，点A ，C 在x 轴上，5AC =，
180ACB ODE ∠+∠=︒，B OED ∠=∠，BC DE =．按下列要求画图（保留作图痕迹）：
（1）将ODE 绕O 点按逆时针方向旋转90°得到OMN （其中点D 的对应点为点M ，点E 的对应点为点N ），在图（1）画出OMN ；
（2）将ABC 沿x 轴向右平移得到A B C '''（其中A ，B ，C 的对应点分别为点A '，B '，C '），使得B C ''与（1）中OMN 的边NM 重合，画出平移后的三角形A B C '''； （3）求OE 的长．
22．如图，在平面直角坐标系中，已知点()4,2A ，()4,0B ．
（1）画出将OAB 绕原点逆时针旋转90°得到的11OA B ；
（2）直接写出A 的对应点1A （ ， ），B 的对应点1B （ ， ）；
（3）若点A ，1A 关于某点中心对称，则对称中心的坐标为______．
23．如图，在等腰直角三角形MNC 中，90CNM ∠=︒且CN MN =，将MNC 绕点C 顺时针旋转60︒，得到ABC ，连接AM ．
（1）判断CAM 的形状并证明；
（2）若32AB =，求AM 的长．
24．如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC 的三个顶点的坐标分别为A （-1，1）、B （-3，1）、C （-1，4）．
（1）画出△ABC 绕点C 顺时针旋转90°后得到的△A 1B 1C ；
（2）画出△ABC 关于点P （1，0）对称的△A 2B 2C 2．
25．在ABC ∆中，AB AC =，BAC α∠=．
（1）直接写出ABC ∠的大小为______．（用含α的式子表示）
（2）当060α︒<<︒时，将线段BC 绕点B 逆时针旋转60︒得到线段BD ，连接AD 、CD ．
①求证：ABD ACD ∆≅∆；
②当40α=︒，求ACD ∠的度数．
26．如图，△ABC 为等边三角形，点P 是线段AC 上一动点(点P 不与A ，C 重合)，连接BP ，过点A 作直线BP 的垂线段，垂足为点D ，将线段AD 绕点A 逆时针旋转60︒得到线段AE ，连接DE ，CE ．
（1）求证：BD =CE ；
（2）延长ED 交BC 于点F ，求证：F 为BC 的中点．
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一、选择题
1．A
解析：A
【分析】
根据轴对称图形和中心对称图形的两个概念对各选项分析判断即可得解．
【详解】
解：A、既是轴对称又是中心对称图形，故此项正确；
B、是轴对称，不是中心对称图形，故此项错误；
C、不是轴对称，是中心对称图形，故此项错误；
D、是轴对称，不是中心对称图形，故此项错误．
故选：A．
【点睛】
本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．2．B
解析：B
【分析】
由旋转的性质可得∠BAC=∠CAD'=45°，AD=AD'，由等腰三角形的性质可得∠AD'D=67.5°，∠D'AB=90°，即可求∠ABD的度数．
【详解】
解：∵将△ABD绕点A逆时针旋转45°得到△ACD′，
∴∠BAC=∠CAD'=45°，AD=AD'，
∴∠AD'D=1
(180°-45°)=67.5°，∠D'AB=90°，
2
∴∠ABD=90°-67.5°=22.5°；
故选：B．
【点睛】
本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，直角三角形两锐角互余等知识；熟练运用旋转的性质和等腰三角形的性质是解题的关键．
3．B
解析：B
【分析】
由旋转的性质得到△ABC≌△AEF，再由全等三角形的性质逐项判断即可．
【详解】
∵△ABC绕点A旋转得到△AEF，
∴△ABC≌△AEF，
∴AC=AF ，不能确定AC=AE，故①正确，②错误；
∵∠EAF=∠BAC ，
∴∠EAF-∠BAF=∠BAC-∠BAF ，
∴即∠EAB=∠FAC ，
但不能确定∠EAB 等于∠FAB ，故③错误，④正确；
综上所述，结论正确的是①④，共2个．
故选：B.
【点睛】
此题考查了旋转的性质.掌握旋转前后的图形全等是解答此题的关键.
4．B
解析：B
【分析】
设A 的坐标为(,)m n ，根据旋转的性质得到C 是A 和A '的中点，利用中点公式可以求出点A '的坐标．
【详解】
解：设A 的坐标为(,)m n ，
∵A 和A '关于点(0,1)C 对称， ∴02m a +=，12
n b +=，解得m a =-，2n b =-+， ∴点A '的坐标2(),a b --+． 故选：B ．
【点睛】
本题考查图形的旋转，解题的关键是利用中点公式求出旋转后的点坐标．
5．B
解析：B
【分析】
连接DP ，根据题意，得OP OD =，=60DOP ∠，从而得到120AOP COD ∠+∠=；再根据等边三角形和三角形内角和性质，得120AOP OPA ∠+∠=，从而得
COD OPA ∠=∠，通过全等三角形判定，即可得到答案．
【详解】
如图，点D 落在BC 上，连接DP
∵线段OP 绕点O 逆时针旋转60°得到线段OD
∴OP OD =，=60DOP ∠
∴180120AOP COD DOP ∠+∠=-∠=
∵等边△ABC
∴180120AOP OPA A ∠+∠=-∠=
∴COD OPA ∠=∠
即：OP OD COD OPA A C =⎧⎪∠=∠⎨⎪∠=∠⎩
∴AOP CDO △≌△
∴AP OC =
∵AC=8，AO=3
∴5OC AC AO =-=
∴5AP OC ==
故选：B ．
【点睛】
本题考查了等边三角形、全等三角形、旋转、三角形内角和的知识；解题的关键是熟练掌握等边三角形、全等三角形、旋转、三角形内角和的性质，从而完成求解．
6．A
解析：A
【分析】
利用旋转的性质结合等边三角形的性质和三角形外角的性质，可得出答案；
【详解】
解：如图，
∵ABC 和A B C ''均为等边三角形，
∴60A A '∠=∠=︒
由旋转得，旋转角为ACA α'∠=,
∵160BDA '∠=︒
∴160DOA A ''∠+∠=︒
∴100DOA '∠=︒
∵DOA COA '∠=∠，180ACA CAA COA ''∠+∠+∠=︒ ∴20ACA '∠=︒
∴ 的大小是20°
故选：A
【点睛】
本题主要考查旋转的性质以及等边三角形的性质和三角形外角的性质等知识，正确掌握旋转的性质是解题关键．
7．A
解析：A
【分析】
由△ABP绕点B顺时针旋转90°得到△CBP'，根据旋转的性质得BP=BP′，∠PBP′=90，则
△BPP′为等腰直角三角形，由此得到BP，即可得到答案．．
【详解】
解：解：∵△ABP绕点B顺时针旋转90°得到△CBP'，
而四边形ABCD为正方形，BA=BC，
∴BP=BP′，∠PBP′=90，
∴△BPP′为等腰直角三角形，而BP=2，
∴
．
故选：A．
【点睛】
本题考查了旋转的性质：旋转前后的两个图形全等，对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角，对应点到旋转中心的距离相等．也考查了正方形和等腰直角三角形的性质．8．C
解析：C
【分析】
根据旋转的性质和∠C＝65°，从而可以求得∠AC′B′和∠AC′C的度数，从而可以求得∠B′C′B 的度数．
【详解】
∵将△ABC绕点A顺时针旋转后，可以得到△AB′C′，且C′在边BC上，
∴AC＝AC′，∠C＝∠AC′B′，
∴∠C＝∠AC′C，
∵∠C＝65°，
∴∠AC′B′＝65°，∠AC′C＝65°，
∴∠B′C′B＝180°−∠AC′B′−∠AC′C＝50°，
故选：C．
【点睛】
本题考查旋转的性质，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．
9．C
解析：C
【分析】
直接利用轴对称图形和中心对称图形的概念求解．
【详解】
解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；
B、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不合题意；
C、既是中心对称图形也是轴对称图形，故此选项符合题意；
D、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不合题意；
故选：C．
【点睛】
本题考查中心对称图形和轴对称图形的知识，关键是掌握好中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，图形旋转180°后与原图重合．
10．C
解析：C
【分析】
如图，过点A作AE⊥OB于E，过点A′作A′H⊥x轴于H．利用全等三角形的性质解决问题即可．
【详解】
解：如图，过点A作AE⊥OB于E，过点A′作A′H⊥x轴于H．
∵B（2，0），△AOB是等边三角形，
∴OA=OB=AB=2，
∵AE⊥OB，
∴OE=EB=1，
∴2222
--
AO OE
==
13
2
∵A′H⊥OH，
∴∠A′HO=∠AEO=∠AOA′=90°，
∴∠A′OH+∠AOE=90°，∠AOE+∠OAE=90°，
∴∠A′OH=∠OAE，
∴△A′OH≌△OAE（AAS），
∴A′H=OE=1，3
∴A′（31），
故选：C．
【点睛】
本题考查坐标与图形变化-旋转，等边三角形的性质，解直角三角形等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
11．C
解析：C
【分析】
根据轴对称图形和中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．
【详解】
A、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意；
B、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意；
C、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项符合题意；
D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意．
故选：C．
【点睛】
本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．12．D
解析：D
【分析】
先根据旋转的性质得到∠BAB′=∠CAC′=120°，AB=AB′，根据等腰三角形的性质易得
∠AB′B=30°，再根据平行线的性质由AC′∥BB′得∠C′AB′=∠AB′B=30°，然后利用
∠CAB′=∠CAC′-∠C′AB′进行计算．
【详解】
∵以点A为中心，把△ABC逆时针旋转120°，得到△AB'C′，
∴∠BAB′=∠CAC′=120°，AB=AB′，
∴∠AB′B=1
（180°-120°）=30°，
2
∵AC′∥BB′，
∴∠C′AB′=∠AB′B=30°，
∴∠CAB′=∠CAC′-∠C′AB′=120°-30°=90°．
故选：D．
【点睛】
此题考查旋转的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，平行线的性质，解题关键在于掌握旋转前后两图形全等，对应点到旋转中心的距离相等，对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角．
二、填空题
13．【分析】根据旋转的性质得出OA=OA′得出△OAA′是等边三角形则
∠AOA′=60°则可得出答案【详解】解：∵∠AOB=90°∠B=30°∴∠A=60°∵△A′OB′是由△AOB绕点O顺时针旋转α角
解析：60
【分析】
根据旋转的性质得出OA=OA′，得出△OAA′是等边三角形．则∠AOA′=60°，则可得出答案．
【详解】
解：∵∠AOB=90°，∠B=30°，
∴∠A=60°．
∵△A′OB′是由△AOB 绕点O 顺时针旋转α角度得到的，
∴OA=OA′．
∴△O AA′是等边三角形．
∴∠AOA′=60°，即旋转角α的大小是60°．
故答案为：60°．
【点睛】
本题考查图形旋转的性质及等边三角形的知识，熟练掌握旋转的性质是解题的关键． 14．40°或100°【分析】由题意可以分为BC=BP 或BC=PC 两种情况说明讨论
【详解】解：当时如图1∵为斜边的中点∴∴∴∴；当时如图2同理可证∴∴∴故答案为40°或100°【点睛】本题考查直角三角形和
解析：40°或100°
【分析】
由题意可以分为BC=BP 或BC=PC 两种情况说明讨论．
【详解】
解：当BC BP =时，如图1．
∵90ACB ∠=︒，O 为斜边AB 的中点，
∴CO OA OP OB ===，∴COB POB ≌△△，
∴20ABP ABC ∠=∠=︒，∴22040θ=⨯︒=︒；
当BC PC =时，如图2，同理可证COB COP ≌△△，
∴20P ABC OCB OCP ∠=∠=∠=∠=︒，
∴140COP COB ∠=∠=︒，∴
14040100θ=︒-︒=︒．
故答案为40°或100°．
【点睛】
本题考查直角三角形和等腰三角形的综合运用，熟练掌握直角三角形斜边上中线的性质、三角形全等的判定和性质、等腰三角形等边对等角的性质是解题关键． 15．【分析】过AC 两点向x 轴作垂线构造全等三角形得到CF 和AE 相等BF 和BE 相等即可得到结果【详解】解：过点A 作AE ⊥x 轴过点C 作CF ⊥x 轴∴∠AEB=∠CFB=90°由旋转性质可得AB=BC ∵∠CBF
解析：()32，
【分析】
过A 、C 两点向x 轴作垂线，构造全等三角形，得到CF 和AE 相等，BF 和BE 相等，即可得到结果．
【详解】
解：过点A 作AE ⊥x 轴，过点C 作CF ⊥x 轴，
∴∠AEB=∠CFB=90°，
由旋转性质可得AB=BC ，
∵∠CBF=∠EBA ，
∴△ABE ≌△CFB
∴CF=AE ，BF=EB ，
又∵EB=2，
∴BF=2，CF=2，
∴OF=2+1=3，
∴C （3，2）
故答案为：（3，2）．
【点睛】
本题考查旋转变换和三角形全等的判定和性质，正确作出辅助线证明全等是解题的关键．16．【分析】根据旋转的性质△ABC≌△EDBBC=BD求出∠CBD的度数再求
∠BCD的度数【详解】解：根据旋转的性质△ABC≌△EDBBC=BD则△CBD是等腰三角形∠BDC=∠BCD∠CBD=180°
解析：15︒
【分析】
根据旋转的性质△ABC≌△EDB，BC=BD，求出∠CBD的度数，再求∠BCD的度数．
【详解】
解：根据旋转的性质△ABC≌△EDB，BC=BD，
则△CBD是等腰三角形，∠BDC=∠BCD，∠CBD=180°-∠DBE=180°-30°=150°，
∠BCD=1
（180°-∠CBD）=15°．
2
故答案为15°．
【点睛】
本题考查了旋转的性质，解题时根据旋转的性质，确定各角之间的关系，利用已知条件把一个直角三角尺ACB绕着30°角的顶点B顺时针旋转求出即可．
17．15°或60°【分析】分情况讨论：①DE⊥BC②AD⊥BC然后分别计算的度数即可解答【详解】解：①如下图当DE⊥BC时如下图∠CFD＝60°旋转角为：＝∠CAD＝60°-45°＝15°；（2）当AD
解析：15°或60°.
【分析】
分情况讨论：①DE⊥BC，②AD⊥BC，然后分别计算α的度数即可解答.
【详解】
解：①如下图，当DE⊥BC时，
如下图，∠CFD＝60°，
旋转角为：α＝∠CAD＝60°-45°＝15°；
（2）当AD⊥BC时，如下图，
旋转角为：α＝∠CAD＝90°-30°＝60°；
【点睛】
本题考查了垂直的定义和旋转的性质，熟练掌握并准确分析是解题的关键.
18．C【分析】根据把一个图形绕某一点旋转180°如果旋转后的图形能够与原来的图形重合那么这个图形就叫做中心对称图形这个点叫做对称中心可得答案【详解】解：矩形是中心对称图形对称中心是对角线的交点点A的对称
解析：C
【分析】
根据把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心可得答案．
【详解】
解：矩形是中心对称图形，对称中心是对角线的交点，点A的对称点是点C，
故答案为C．
【点睛】
本题考查了中心对称图形，关键是掌握中心对称图形的性质．
19．【分析】连接OC过点C作CE⊥x轴于E由直角三角形的性质可求BE＝BC ＝1CE＝由勾股定理可求OC的长据此进一步分析即可求解【详解】如图连接OC过点C作CE⊥x轴于点E∵四边形OBCD是菱形∴OD∥
解析：23
【分析】
连接OC，过点C作CE⊥x轴于E，由直角三角形的性质可求BE＝1
2
BC＝1，CE＝3，由
勾股定理可求OC的长，据此进一步分析即可求解．【详解】
如图，连接OC，过点C作CE⊥x轴于点E，
∵四边形OBCD是菱形，
∴OD∥BC，
∴∠BOD＝∠CBE＝60°，
∵CE⊥OE，
∴BE＝1
BC＝1，CE＝3，
2
∴2223
OC OE CE
=+=，
∴当点C1在y轴上时，点C1的纵坐标有最小值为23
-，
-．
故答案为：23
【点睛】
本题主要考查了菱形的性质与勾股定理的综合运用，熟练掌握相关概念是解题关键. 20．（12）【分析】根据题意画出图形即可解决问题【详解】如图观察图象可知P（12）故答案为：（12）【点睛】本题考查坐标与图形变化-旋转解题的关键是理解题意学会利用图象法解决问题属于中考常考题型
解析：（1，2）．
【分析】
根据题意，画出图形即可解决问题．
【详解】
如图，观察图象可知，P'（1，2）．
故答案为：（1，2）．
【点睛】
本题考查坐标与图形变化-旋转，解题的关键是理解题意，学会利用图象法解决问题，属于中考常考题型．
三、解答题
21．（1）见解析；（2）见解析；（3）6．
【分析】
（1）以点O为圆心，以OE为半径画弧，与y轴正半轴相交于点N，以OD为半径画弧，与x轴负半轴相交于点M，连接MN即可；
（2）以M为圆心，以AC长为半径画弧与x轴负半轴相交于点A'，B'与N重合，C'与M重合，然后顺次连接即可；
（3）设OE =x ，则ON =x ，作MF ⊥A 'B '于点F ，判断出B 'C '平分∠A 'B 'O ，再根据全等三角形的性质可得B 'F =B 'O =OE =x ，FC '=OC '=OD =3，利用勾股定理列式求出A 'F ，然后表示出A 'B '、A 'O ．在Rt △A 'B 'O 中，利用勾股定理列出方程求解即可．
【详解】
（1）以点O 为圆心，以OE 为半径画弧，与y 轴正半轴相交于点N ，以OD 为半径画弧，与x 轴负半轴相交于点M ，连接MN ；则△OMN 为所求，如图所示；
（2）以M 为圆心，以AC 长为半径画弧与x 轴负半轴相交于点A '，B '与N 重合，C '与M 重合，然后顺次连接B′A′，A′C′，则△A 'B 'C '为所求如图所示；
（3）设OE =x ，则ON =x ，作MF ⊥A 'B '于点F ，
由旋转知∠OED=∠MNO ，由平移知A'B'C'B ∠=∠，由已知B OED ∠=∠
∴∠MNO='''A B C ∠
∴B 'C '平分∠A 'B 'O ，且C 'O ⊥OB '，
∴∠B 'FM =∠MON =90°，∠FB 'M =∠OB 'M ．
∵B 'M =B 'M ，
∴△FB 'M ≌△OB 'M ，
∴B 'F =B 'O =OE =x ，FC '=OC '=OD =3．
∵A 'C '=AC =5，
∴A 'F 2253=-=4，
∴A 'B '=x +4，A 'O =5+3=8，
在Rt △A 'B 'O 中，x 2+82=(4+x )2，
解得：x =6，
即OE =6．
【点睛】
本题考查了利用旋转变换作图，平移变换作图，勾股定理，熟练掌握旋转变换与平移变换的性质是解答本题的关键．
22．（1）图见解析；（2）()12,4A -，()10,4B ；（3）()1
,3． 【分析】
（1）先根据旋转的性质画出点11,A B ，再顺次连接点11,,A O B 即可得；
（2）根据绕原点逆时针旋转90︒的点坐标变换规律即可得；
（3）根据中心对称的定义可得点A ，1A 的中心对称点为线段1AA 的中点，由此即可得．
【详解】
（1）先根据旋转的性质画出点11,A B ，再顺次连接点11,,A O B 即可得11OA B ，如图所示：
（2）绕原点逆时针旋转90︒的点坐标变换规律：先将横、纵坐标互换位置，再将横坐标变为相反数，
()()4,2,4,0A B ，
()()112,4,4,0B A -∴，
故答案为：()()112,4,0,4A B -；
（3）由中心对称的定义得：点A ，1A 的中心对称点为线段1AA 的中点， 则对称中心的坐标为4224,2
2-+⎛⎫ ⎪⎝⎭，即()1,3， 故答案为：()1,3．
【点睛】
本题考查了画旋转图形、找中心对称点等知识点，熟练掌握旋转的性质是解题关键． 23．（1）CAM 为等边三角形；见解析；（2）AM 6=．
【分析】
（1）根据有一个角为60︒的等腰三角形为等边三角形进行证明即可；
（2）根据勾股定理即可求解．
【详解】
（1）CAM 为等边三角形．
证明：∵MNC 绕点C 顺时针旋转60︒，得到ABC ，
∴CA CM =，ACM 60∠=︒
∴CAM 为等边三角形；
（2）∵NC M 是等腰直角三角形
∴ABC 是等腰直角三角形 ∵B CB=32A =∴()()2222AC 32326AB CB =
+=+= ∵CAM 为等边三角形
∴AM6
【点睛】
此题主要考查等边三角形的判定、勾股定理，熟练掌握等边三角形的判定定理是解题关键．
24．（1）见解析；（2）见解析
【分析】
（1）分别作出点A、B绕点C顺时针旋转90°后得到的对应点，再顺次连接可得；
（2）分别作出点A、B、C关于点P的对称点，再顺次连接可得．
【详解】
（1）如图，△A1B1C即为所求；
（2）如图，△A2B2C2即为所求．
【点睛】
本题考查了作图-旋转变换，中心对称等知识，解题的关键是熟练掌握旋转变换的定义和性质．
25．（1）90°－1
2
α；（2）①见解析；②∠ACD=10°．
【分析】
（1）由等腰三角形的性质与三角形内角和定理可得∠ABC的大小；
（2）①由旋转的性质可得BC=BD，∠DBC=60°，所以△BCD为等边三角形，于是BD=CD，再根据SSS可得△ABD≌△ACD；
②先由（1）求得∠ABC=70°，再由△BCD为等边三角形可得∠BDC=60°，于是可得∠ABD 的度数．
【详解】
解：(1)90°－1 2α
∵ AB=AC，
∴∠ABC=1
2
（180°－∠BAC）
=12
（180°－α） =90°－
12α (2)①线段BC 绕点B 逆时针旋转60°得到线段BD 则BC=BD ， ∠DBC =60°
∴△BCD 为等边三角形
∴ BD=CD
在△ABD 和△ACD 中，
∵AB =AC
BD= CD ，
AD=AD
∴△ABD ≌△ ACD （SSS ）
②当α=40°时，
∵ AB=AC ，∠ACB =∠ABC =90°－
12
α=70° ∵△BCD 为等边三角形
∴∠BCD =60°
∴∠ACD = ∠ACB －∠BCD ＝ 10°
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质以及旋转的性质，综合性较强，熟练掌握定理及性质是解题的关键．
26．（1）见解析；（2）见解析．
【分析】
（1）由等边三角形的性质和旋转的性质可得∠BAD=∠CAE ，AB=AC ，AD=AE ，即可证△BAD ≌△CAE ，可得BD=CE ；
（2）过点C 作CG ∥BP ，交EF 的延长线于点G ，由等边三角形的性质和全等三角形的性质可得CG=BD ，∠BDG=∠G ，∠BFD=∠GFC ，可证△BFD ≌△CFG ，可得结论；
【详解】
（1）∵线段AD 绕点A 逆时针旋转60°得到线段AE ，
∴△ADE 是等边三角形，
在等边△ABC 和等边△ADE 中，
∵ AB=AC ，AD=AE ，∠BAC=∠DAE=60°，
∴∠BAD=∠CAE ，
在△BAD 和△CAE 中， AB AC BAD CAE AD AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
， ∴△BAD ≌△CAE （SAS ），
∴BD=CE ；
（2）如图，过点C 作CG ∥BP 交DF 的延长线于点G ，
∴∠G=∠BDF ，
∵∠ADE=60°，∠ADB=90°，
∴∠BDF=30°，
∴∠G=30°，
由（1）可知，BD=CE ，∠CEA=∠BDA ，
∵AD ⊥BP ，
∴∠BDA=90°，
∴∠CEA=90°，
∵∠AED=60°，
∴∠CED=30°=∠G ，
∴CE=CG ，
∴BD=CG ，
在△BDF 和△CGF 中，
BDF G BFD CFG BD CG ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
∴△BDF ≌△CGF （AAS ），
∴BF=FC ，
即F 为BC 的中点．
【点睛】
本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，旋转的性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键．。