(特效提高)2014高考数学一轮精品复习5.1平面向量的概念及线性运算题库理

5.1 平面向量的概念及线性运算
一、选择题
1. 已知两个非零向量a ，b 满足|a +b |=|ab |，则下面结论正确的是（ ）
A.a ∥b
B. a ⊥b
C.{0,1,3}
D.a +b =ab
答案 B
2．对于非零向量a ，b ，“a ＋b ＝0”是“a ∥b ”的( )．
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
解析 若a ＋b ＝0，则a ＝－b .
∴a ∥b ；
若a ∥b ，则a ＝λb ，a ＋b ＝0不一定成立．
答案 A
3．设P 是△ABC 所在平面内的一点，BC →＋BA →＝2BP →，则( )．
A.PA →＋PB →＝0
B.PC →＋PA →＝0
C.PB →＋PC →＝0
D.PA →＋PB →＋PC →＝0
解析 如图，根据向量加法的几何意义，BC →＋BA →＝2BP →⇔P 是AC 的中点，
∴PA →＋PC →＝0.
答案 B
4．已知向量a ＝(x,2)，b ＝(3，－1)，若(a ＋b )∥(a －2b )，则实数x 的值为( )
A ．－3
B ．2
C ．4
D ．－6
解析 因为(a ＋b )∥(a －2b )，a ＋b ＝(x ＋3,1)，a －2b ＝(x －6,4)，
∴4(x ＋3)－(x －6)＝0，x ＝－6.
答案 D
5．在四边形ABCD 中，AB →＝a ＋2b ，BC →＝－4a －b ，CD →＝－5a －3b ，则四边形ABCD 的形状是
( )．
A ．矩形
B ．平行四边形
C ．梯形
D ．以上都不对
解析 由已知AD →＝AB →＋BC →＋CD →＝－8a －2b ＝2(－4a －b )＝2BC →.
∴AD →∥BC →，又AB →与CD →不平行，
∴四边形ABCD 是梯形．
答案 C
6．已知△ABC 和点M 满足MA →＋MB →＋MC →＝0，若存在实数m ，使得AB →＋AC →＝mAM →成立，则m ＝
( )．
A ．2
B ．3
C ．4
D ．5
解析 ∵MA →＋MB →＋MC →＝0，∴点M 是△ABC 的重心，
∴AB →＋AC →＝3AM →，∴m ＝3.
答案 B
7.已知点O 为△ABC 外接圆的圆心，且＋＋＝0，则△ABC 的内角A 等于( )
A ．30°
B ．60°
C ．90°
D ．120°
解析：由＋＋＝0得＋＝，由O 为△ABC 外接圆的圆心，结合向量加法的几何意义知四边形OACB 为菱形，且∠CAO ＝60°.
答案：A
二、填空题
8.已知平面上不共线的四点O ，A ，B ，C ，若－3＋2＝0|AB ||BC |
________. 解析：由－3＋2＝0，得－＝2(－)， 即＝2|AB ||BC |
2. 答案：2
9．给出下列命题：
①向量AB →的长度与向量BA →的长度相等；
②向量a 与b 平行，则a 与b 的方向相同或相反；
③两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同；
④两个有公共终点的向量，一定是共线向量；
⑤向量AB →与向量CD →是共线向量，则点A 、B 、C 、D 必在同一条直线上．
其中不正确的个数为________．
解析 ①中，∵向量AB →与BA →为相反向量，
∴它们的长度相等，此命题正确．
②中若a 或b 为零向量，则满足a 与b 平行，但a 与b 的方向不一定相同或相反，∴此命题错误．
③由相等向量的定义知，若两向量为相等向量，且起点相同，则其终点也必定相同，∴该命题正确．
④由共线向量知，若两个向量仅有相同的终点，则不一定共线，∴该命题错误．
⑤∵共线向量是方向相同或相反的向量，∴若AB →与CD →是共线向量，则A ，B ，C ，D 四点不一定
在一条直线上，∴该命题错误．
答案 3
10.已知向量夹角为，且；则.
解析
答案 11．若M 为△ABC 内一点，且满足AM →＝34AB →＋14
AC →，则△ABM 与△ABC 的面积之比为________． 解析 由题知B 、M 、C 三点共线，设BM →＝λBC →，则：AM →－AB →＝λ(AC →－AB →)，
∴AM →＝(1－λ)AB →＋λAC →，
∴λ＝14
， ∴S △ABM S △ABC ＝14
. 答案 14
12．若点O 是△ABC 所在平面内的一点，且满足|OB →－OC →|＝|OB →＋OC →－2OA →|，则△ABC 的形状
为________．
解析 (等价转化法)OB →＋OC →－2OA →＝OB →－OA →＋OC →－OA →＝AB →＋AC →，
OB →－OC →＝CB →＝AB →－AC →，
∴|AB →＋AC →|＝|AB →－AC →|.
故A ，B ，C 为矩形的三个顶点，△ABC 为直角三角形．
答案 直角三角形
【点评】 本题采用的是等价转化法，将△ABC 的三个顶点转化到相应矩形中，从而判断三角形形状.本题也可用两边平方展开得出结论.
三、解答题
13．如图所示，△ABC 中，AD →＝23
AB →，DE ∥BC 交AC 于E ，AM 是BC 边上的中线，交DE 于N .设AB →＝a ，AC →＝b ，用a ，b 分别表示向量AE →，BC →，DE →，DN →，AM →，AN →.
解析 AE →＝23b ，BC →＝b －a ，DE →＝23(b －a )，DN →＝13
(b －a )， AM →＝12(a ＋b )， AN →＝13
(a ＋b )．
14．设a ，b 是两个不共线的非零向量，若a 与b 起点相同，t ∈R ，t 为何值时，a ，t b ，13
(a ＋b )三向量的终点在一条直线上？ 解析 设a －t b ＝λ⎣⎢⎡⎦
⎥⎤a －13a ＋b (λ∈R )， 化简整理得⎝ ⎛⎭⎪⎫23λ－1a ＋⎝ ⎛⎭
⎪⎫t －13λb ＝0， ∵a 与b 不共线，∴由平面向量基本定理有
⎩⎪⎨⎪⎧ 23λ－1＝0，
t －λ3＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧ λ＝32，t ＝12.
故t ＝12时，a ，t b ，13
(a ＋b )的终点在一条直线上． 15．如图所示，在△ABC 中，D 、F 分别是BC 、AC 的中点，＝23
，＝a ，＝b . (1)用a ，b 表示向量、、、、；
(2)求证：B 、E 、F 三点共线．
解析：(1)延长AD 到G ，
使＝12
， 连结BG 、CG ，得到▱ABGC ，
所以＝a ＋b ，
＝12＝12
(a ＋b )， ＝23＝13
(a ＋b )，
＝12＝12
b ， ＝－＝13(a ＋b )－a ＝13
(b －2a )， ＝－＝12b －a ＝12
(b －2a )． (2)证明：由(1)可知＝23
， 所以B 、E 、F 三点共线．
16．已知O ，A ，B 三点不共线，且OP →＝mOA →＋nOB →，(m ，n ∈R )．
(1)若m ＋n ＝1，求证：A ，P ，B 三点共线；
(2)若A ，P ，B 三点共线，求证：m ＋n ＝1.
证明 (1)m ，n ∈R ，且m ＋n ＝1，
∴OP →＝mOA →＋nOB →＝mOA →＋(1－m )OB →，
即OP →－OB →＝m (OA →－OB →)．
∴BP →＝mBA →，而BA →≠0，且m ∈R .
故BP →与BA →共线，又BP →，BA →有公共点B .
∴A ，P ，B 三点共线．
(2)若A ，P ，B 三点共线，则BP →与BA →共线，故存在实数λ，使BP →＝λBA →，∴OP →－OB →＝λ(OA →－
OB →)．
即OP →＝λOA →＋(1－λ)OB →.
由OP →＝mOA →＋nOB →.
故mOA →＋nOB →＝λOA →＋(1－λ)OB →.
又O ，A ，B 不共线，∴OA →，OB →不共线．
由平面向量基本定理得⎩⎪⎨⎪⎧ m ＝λ，n ＝1－λ.
∴m ＋n ＝1.。