2020-2021学年重庆市渝北区两江中学八年级(上)月考数学试卷(12月份)(附答案详解)

2020-2021学年重庆市渝北区两江中学八年级（上）月考
数学试卷（12月份）
1.下列图案分别是重庆工商大学、重庆交通大学、重庆理工大学、西南大学的校徽局
部图，其中是轴对称图形的是()
A. B.
C. D.
2.现有两根长度为3cm和8cm的木条，想制作一个三角形木框，桌上有下列长度的几
根木条，应该选择长度为()的木条．
A. 11cm
B. 10cm
C. 5cm
D. 3cm
3.计算(2a2)3的结果是()
A. 2a5
B. 2a6
C. 6a6
D. 8a6
4.下列因式分解正确的是()
A. x2−xy+x=x(x−y)
B. a3+2a2b+ab2=a(a+b)2
C. x2−2x+4=(x−1)2+3
D. ax2−9=a(x+3)(x−3)
5.如图，将三角形纸板的直角顶点放在直尺的一边上，∠1=20°，∠2=60°，则∠3等
于()
A. 50°
B. 45°
C. 40°
D. 30°
6.如图所示，将形状大小完全相同的“●”按照一定规律摆成下列图形，第1个图形
中“●”的个数为4，第2个图形中“●”的个数为9，第3个图形中“●”的个数为14，…，以此类推，第6幅图形中“●”的个数为()
A. 25
B. 27
C. 29
D. 34
7.如图是两个全等三角形，图中的字母表示三角形的边长，则∠1的度数是()
A. 48°
B. 46°
C. 86°
D. 96°
8.如图，在△ABC中，D是BC边上一点，∠CAD=60°，且
DB=AD=AC，则∠B为()
A. 30°
B. 35°
C. 40°
D. 45°
9.若x2−kx+16是完全平方式，则k的值是()
A. 4
B. 8
C. 4或−4
D. 8或−8
10.等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为60°，则顶角的度数为()
A. 30°
B. 30°或150°
C. 60°或150°
D. 60°或120°
11.如图，△ABC内有一点D，AD平分∠CAB，CD⊥AD于点D，
连接DB，若△ADB的面积为3cm2，则△ABC的面积为()
A. 5cm2
B. 6cm2
C. 7cm2
D. 8cm2
12.如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于点E，点F，
G分别是AB，AC上的点．现有以下结论：①AB：AC=BD：
DC；②AG+AF=2AE；③AB=AG；S△ADG=S△ADF+
2S△DEF，其中正确的结论个数是()
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
13.正五边形的一个内角的度数是______度．
14.因式分解：2a2−2=______．
15.若代数式2a2+3a+1的值为6，则代数式6a2+9a+5的值为______．
16.如图，∠ABC内部有一点D，使得∠DBC=15°，过D作DE⊥
BC于点E，过点D作DF//BC交AB于点F，且DF=FB，若
DE=4cm，则DF=______cm．
17.如图，在△ABC中，AD平分∠CAB，AB=AC+CD，若
∠CAB=81°，则∠B的度数为______．
18.如图，在△ABC中，∠B=40°，将△ABC沿着直线l
折叠，使点B落在点F的位置，则∠1−∠2的度数是
______°.
19.(1)计算：(3ab2)2⋅(a3b)3÷3ab；
(2)因式分解2a3−12a2+18a．
20.如图，在△ABC中，过点B作BD//AC，E是BC的中点，连接DE并延长交AC于F点．
(1)求证：△BDE≌△CFE；
(2)当AE⊥BC，AF=1，BD=2时，求AB的长．
21.如图：
(1)若△ABC关于y轴的对称图形为△A1B1C1，其中点A的对称点为A1，点B的对称
点为B1，点C的对称点为C1；请作出△A1B1C1并写出△A1B1C1各顶点的坐标．
(2)请计算△A1B1C1的面积．
22.先化简，再求值：当点P(1,y)与点Q(x,2)关于x轴对称时，求[(3x+2y)(3x−2y)+
(x−2y)2−2x(2x−y)]÷2x的值．
23.如图，在△ABC中，∠CAB=40°，AD平分∠CAB，
CE⊥AB，AD与CE相交于点F．
(1)求∠CFA的度数；
(2)若CG是△ABC的角平分线，若∠B=4∠ECG，求
∠ECG的度数．
24.阅读下面材料：
材料1：如果一个多项式中的字母按照任何次序轮换后，原多项式不变，那么称该多项式是轮换多项式，简称轮换式．例如：多项式a2+b2，将字母a换字母b，字母b换字母a，得到多项式b2+a2，而b2+a2=a2+b2，所以多项式a2+b2是轮换式，我们把含有两个字母的轮换式称为二元轮换式，其中含字母a，b的二元轮换式的基本轮换式是a+b和ab，像a2+b2，(a+2)(b+2)等二元轮换式都可以用a+ b，ab表示，例如：a2+b2=(a+b)2−2ab．
材料2：因为(x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab，所以，对于二次项系数为1的二次三项式x2+px+q的因式分解，就是把常数项q分解成两个数的积，且使这两数的和等于p，即如果有a，b两数满足a⋅b=q，a+b=p，则有x2+px+q=(x+
a)(x+b).如分解因式x2+5x+6：因为2×3=6，2+3=5，所以x2+5x+6=
(x+2)(x+3)．
请根据以上材料解决下列问题：
(1)式子：①3a−3b；②2a2+2b2；③a2−b2；④a3+ab+b3中，属于轮换式
的是______；(填序号)
(2)因式分解：x2−5x−6=______；72b−3a2b−15ab=______；
(3)若x2+mx+24=(x+a)(x+b)(其中m>0)，且a3b−a2b2+ab3=672，求
m的值并把式子x2+mx+24因式分解．
25.如图，在△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC，CD平
分∠ACB交AB于点D，过点A作AE⊥CD交CD延长线
于点E，交CB延长线于点F，取FC的中点G，连接DG，
过点C作CH⊥AC交DG延长线于点H．
(1)求证：AF=CD；
(2)求证：AC=CH+2BD．
26.如图，B(b,o)、A(0,a)分别是x，y轴上两点，其中√a−4与(b−4)2互为相反数．点
C是第二象限内一点，且OC=OB，点P是直线BC上一动点．
(1)若∠COA=60°，且△APB是等腰三角形，求∠APB的度数；
(2)点P在直线BC上运动过程中，当AP最短时，求∠OPB的大小．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：选项A、C、D均不能找到这样的一条直线，使这个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；
选项B能找到这样的一条直线，使这个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形；
故选：B．
利用轴对称图形定义进行解答即可．
此题主要考查了轴对称图形，关键是掌握如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．
2.【答案】B
【解析】解：设第三根木条的长度为xcm，
则8−3<x<8+3，即5<x<11，
∴10cm符合题意，
故选：B．
根据三角形的三边关系列出不等式，判断即可．
本题考查的是三角形的三边关系，掌握三角形两边之和大于第三边、三角形的两边差小于第三边是解题的关键．
3.【答案】D
【解析】解：(2a2)3=23⋅a6=8a6，故选：D．
根据即的乘方法则，即可解答．
本题考查了积的乘方，解决本题的关键是熟记积的乘方法则．
4.【答案】B
【解析】解：A、x2−xy+x=x(x−y+1)，故此选项错误；
B、a3+2a2b+ab2=a(a+b)2，正确；
C、x2−2x+4=(x−1)2+3，不是因式分解，故此选项错误；
D、ax2−9，无法分解因式，故此选项错误；
故选：B．
直接利用提取公因式法以及公式法分解因式，进而分析即可．
此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确应用公式是解题关键．
5.【答案】C
【解析】解：由题意得：∠4=∠2=60°；
由三角形外角的性质得：∠4=∠1+∠3，
∴∠3=∠4−∠1=60°−20°=40°，
故选：C．
如图，首先运用平行线的性质求出∠4，然后借助三角形的
外角性质求出∠3，即可解决问题．
该题主要考查了三角形外角的性质、平行线的性质等几何知识点及其应用问题；解题的关键是牢固掌握三角形外角的性质、平行线的性质等几何知识点，这也是灵活运用、解题的基础．
6.【答案】C
【解析】解：由图可知，第1个图形=4=4×1+0，
第2个图形=9=4×2+1，
第3个图形=14=4×3+2，
......
第n故图形=4n+(n−1)=5n−1，
当n=6时，第6个图形=5×6−1=29，
故选：C．
由点的分布情况得出a n=4n+(n−1)=5n−1，据此求解即可．
本题考查了规律型中得图形的变化类，根据图形中点的个数的变化找出变化规律是解题的关键．
7.【答案】C
【解析】解：如图所示：∵两个全等三角形，
∴∠1=∠2=180°−48°−46°=86°．
故选：C．
直接利用全等三角形的性质得出∠1=∠2，再利用
三角形内角和定理得出答案．
此题主要考查了全等三角形的性质，正确得出对应角是解题关键．
8.【答案】A
【解析】解：∵AD=AC，∠CAD=60°，
∴△ADC为等边三角形，
∴∠ADC=60°，
∵AD=BD，
∴∠B=∠BAD，
∵∠ADC=∠B+∠BAD，
∴∠B=30°，
故选：A．
根据已知条件易判定△ADC为等边三角形，可得∠ADC=60°，由等腰三角形的性质结合三角形外角的性质可求解．
本题主要考查等边三角形，三角形外角的性质，等腰三角形的性质，求解∠ADC的度数是解题的关键．
9.【答案】D
【解析】解：∵x2−kx+16是完全平方式，
∴−kx=±2⋅x⋅4，
解得：k=±8，
故选：D．
根据完全平方式得出−kx=±2⋅x⋅4，再求出k即可．
本题考查了完全平方式，能熟记完全平方式的特点是解此题的关键，注意：完全平方式
有两个：a2+2ab+b2和a2−2ab+b2．10.【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质及三角形内角和定理．此题难度适中，注意掌握分类讨论思想与数形结合思想的应用．
分别从此等腰三角形是锐角三角形与钝角三角形去分析求解即可求得答案．
【解答】解：如图1，
∵∠ABD=60°，BD是高，
∴∠A=90°−∠ABD=30°；
如图2，∵∠ABD=60°，BD是高，
∴∠BAD=90°−∠ABD=30°，
∴∠BAC=180°−∠BAD=150°；
∴顶角的度数为30°或150°．
故选：B．
11.【答案】B
【解析】解：延长CD交AB于E，
∵AD平分∠CAB，CD⊥AD于点D，
∴∠CAD=∠EAD，∠ADC=∠ADE=90°，
在△ADC与△ADE中，
{∠CAD=∠EAD AD=AD
∠ADC=∠ADE
，
∴△ADC≌△ADE(ASA)，
∴CD=DE，
∴S△ACD=S△ADE，S△BCD=S△BDE，∴S△ABC=2S△ADB，
∵△ADB的面积为3cm2，
∴△ABC的面积为6cm2，
故选：B．
延长CD交AB于E，根据角平分线的定义和垂直的定义得到∠CAD=∠EAD，∠ADC=∠ADE=90°，根据全等三角形的性质得到CD=DE，求得S△ABC=2S△ADB，于是得到答案．
本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的定义，三角形的面积的计算，证得△ADC≌△ADE是解题的关键．
12.【答案】C
【解析】解：过点D作DM⊥AC，垂足为M，
∵AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于点E，
∴DE=DM，∠EAD=∠DAG，
设A到BC的距离为ℎ，
∴S△ABD
S△ACD =
1
2
AB⋅DE
1
2
AC⋅DM
=
1
2
BD⋅ℎ
1
2
CD⋅ℎ
，
∴AB：AC=BD：DC，即①正确；∵DE⊥AB，DN⊥AC，
∴∠AED=∠AMD=90°，
在△AED和△AMD中，
{∠AED=∠AMD ∠EAD=∠DAG DE=DM
，
∴△AED≌△AMD(AAS)，
∴AE=AM，
在Rt△DEF和Rt△DMG中，
{DE=DG
DF=DM，
∴Rt△DEF≌Rt△DMG(HL)，
∴EF=MG，
∵AG=AM+GM，AF=AE−EF，
∴AG+AF=AM+GM+AE−EF=2AE，即②正确；
S△ADG=S△ADM+S△DEF=S△ADE+S△DEF=S△ADF+S△DEF+S△DEF=S△ADF+2S△DEF，即④正确；
③若AB=AG，则E必为BF的中点，但无此条件，故错误，
故正确的命题有3个，
故选：C．
过点D作DM⊥AC，垂足为M，根据角平分线的性质及三角形面积公式可判断①；根据全等三角形的判定方法AAS及HL可得△AED≌△AMD，Rt△DEF≌Rt△DMG，利用全等三角形的性质可判断④；若AB=AG，则E必为BF的中点，但无此条件，由此可判断③．
此题考查的是全等三角形的判定与性质、角平分线的性质，利用AAS和HL判定两三角形全等是解决此题的关键．
13.【答案】108
【解析】解：(5−2)⋅180=540°，540÷5=108°，所以正五边形的一个内角的度数是108度．
因为n边形的内角和是(n−2)⋅180°，因而代入公式就可以求出内角和，再用内角和除以内角的个数就是一个内角的度数．
本题考查正多边形的基本性质，解题时应先算出正n边形的内角和再除以n即可得到答案．
14.【答案】2(a+1)(a−1)
【解析】解：原式=2(a2−1)
=2(a+1)(a−1)．
故答案为：2(a+1)(a−1)．
原式提取2，再利用平方差公式分解即可．
此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
15.【答案】20
【解析】解：∵2a2+3a+1=6，即2a2+3a=5，
∴6a2+9a+5
=3(2a2+3a)+5
=20．
故答案为：20．
由题意列出关系式，求出2a2+3a的值，将所求式子变形后，把2a2+3a的值代入计算即可求出值．
此题考查了代数式求值，利用了整体代入的思想，是一道基本题型．
16.【答案】8
【解析】解：过D作DH⊥AB于H，
∵DF//BC，∠DBC=15°，
∴∠FDB=∠DBE=15°，
∵DF=FB，
∴∠FBD=∠FDB=15°，
∴∠ABD=∠CBD，
∵DE⊥BC，DE=4cm，
∴DH=DE=4(cm)，
∵∠DFH=∠FBD+∠FDB=30°，∠DHF=90°，
∴DF=2DH=8(cm)，
故答案为：8．
过D作DH⊥AB于H，根据平行线的性质得到∠FDB=∠DBE=15°，根据等腰三角形的性质得到∠FBD=∠FDB=15°，求得DH=DE=4(cm)，根据直角三角形的性质即可得到答案．
本题考查了角平分线的性质，平行线的性质，含30°角的直角三角形的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．
17.【答案】33°
【解析】解：如图，在AB上截取AE=AC，连接DE，
∵AD平分∠CAB，
∴∠EAD=∠CAD，
∵AD=AD，
∴△EAD≌△CAD(SAS)，
∴ED=CD，
∴AC+CD=AE+ED，
∵AB=AC+CD，
∴AB=AE+ED，
∴AE+EB=AE+ED，
∴EB=ED，
∴∠EDB=∠B，
∴∠C=∠AED=∠EDB+∠B=2∠B，
∵∠CAB=81°，且∠CAB+∠C+∠B=180°，
∴81°+2∠B+∠B=180°，
解得，∠B=33°，
故答案为：33°．
由AD是△ABC的角平分线这一条件想到构造全等三角形，在AB上截取AE=AC，连接DE，将∠C转化为△EBD的外角，推导出∠C与∠B之间的关系，再根据三角形的内角和等于180°列出等式，即可求出∠B的度数．
此题重点考查全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、三角形内角和定理及其推论等知识，解题的关键是正确地作出所需要的辅助线，构造全等三角形和等腰三角形．
18.【答案】80
【解析】解：如图，设DF与CE交于点H，
由折叠的性质得：∠F=∠B=40°，
根据外角性质得：∠1=∠DHB+∠B，∠DHB=∠2+∠F，
∴∠1=∠2+∠F+∠B=∠2+2∠B=∠2+80°，即∠1−∠2=80°．
故答案是：80．
由折叠的性质得到∠F=∠B，再利用外角性质即可求出所求角的度数．
本题主要考查了折叠的性质，三角形内角和定理，熟练掌握三角形内角和定理求解角的度数是解决问题的关键．
19.【答案】解：(1)原式=9a2b4⋅a9b3÷3ab
=9×1÷3×a2+9−1b4+3−1
=3a10b6；
(2)原式=2a(a2−6a+9)
=2a(a−3)2．
【解析】(1)先计算积的乘方，幂的乘方，然后再算单项式乘以单项式，单项式除以单项式；
(2)先提取公因式，然后利用完全平方公式进行因式分解．
本题考查整式的混合运算，因式分解，掌握幂的乘方(a m)n=a mn，积的乘方(ab)n= a n b n运算法则，完全平方公式(a±b)2=a2±2ab+b2的结构是解题关键．
20.【答案】(1)证明：如图，∵BD//AC，
∴∠D=∠EFC，∠EBD=∠C，
∵E是BC的中点，
∴BE=CE，
在△BDE和△CFE中，
{∠D=∠EFC ∠EBD=∠C BE=CE
，
∴△BDE≌△CFE(AAS)．
(2)如图，由(1)得，△BDE≌△CFE，∴BD=CF=2，
∵AF=1，
∴AC=AF+CF=1+2=3；
∵AE⊥BC，BE=CE，
∴AB=AC=3．
【解析】(1)由BD//AC可得∠D=∠EFC，∠EBD=∠C，再由E是BC的中点可得BE=CE，于是可以证明△BDE≌△CFE；
(2)由(1)可得CF=BD=2，已知AF=1，可求得AC的长，再根据AE是BC的垂直平分线可得AB=AC，求得AB的长．
此题重点考查全等三角形的判定与性质、线段垂直平分线的性质，解题的关键是按照对应顶点的顺序找对应边和对应角，发现其中相等的条件．
21.【答案】解：(1)如图，△A1B1C1即为所求，A1(2,3)，B1(1,−1)，C1(4,−2)．
(2)△A1B1C1的面积=3×5−1
2×1×3−1
2
×1×4−1
2
×2×5=6.5．
【解析】(1)利用轴对称变换的性质分别作出A，B，C的对应点A1，B1，C1即可解决问题．
(2)利用分割法把三角形面积看成矩形面积减去周围三个三角形面积即可．
本题考查作图−轴对称变换，三角形的面积等知识，解题的关键是掌握轴对称变换的性质，学会用分割法求三角形面积．
22.【答案】解：原式=(9x2−4y2+x2−4xy+4y2−4x2+2xy)÷2x
=(6x2−2xy)÷2x
=3x−y，
∵点P(1,y)与点Q(x,2)关于x轴对称，
∴x=1，y=−2，
∴原式=3×1−(−2)=3+2=5．
【解析】原式先算乘方，然后算乘除，最后算加减，有小括号先算小括号里面的进行化简，然后根据关于x轴对称的点的坐标特点求得x和y的值，最后代入求值．
本题考查整式的混合运算，关于x轴对称的点的坐标特点，掌握完全平方公式(a±b)2= a2±2ab+b2和平方差公式(a+b)(a−b)=a2−b2的结构以及平面直角坐标系内，关于x轴对称的点的坐标特点(横坐标不变，纵坐标互为相反数)是解题关键．
23.【答案】解：(1)∵∠CAB=40°，AD平分∠CAB，
∴∠CAD=20°，
∵CE⊥AB，
∴∠AEC=90°，
∴∠CAB+∠AEC+∠ACF=180°，
∴∠ACF=180°−90°−40°=50°，
∵∠CAD+∠ACF+∠CFA=180°，
∴∠CFA=180°−50°−20°=110°；
(2)∵CG是△ABC的角平分线，
∴∠ACG=1
2
∠ACB，
∴∠CGB=∠BAC+∠ACG=40°+1
2
∠ACB，
∵∠ACB=180°−∠CAB−∠B=140°−∠B，
∴∠CGB=40°+1
2(140°−∠B)=110°−1
2
∠B，
∵∠CEA=90°，
∴∠CGB+∠GCE=90°，
∴110°−1
2
∠B+∠GCE=90°，
∵∠B=4∠ECG，
∴110°−1
2
×4∠ECG+∠GCE=90°，
解得∠ECG=20°．
【解析】(1)根据角平分线的定义可求解∠CAD的度数，由垂直的定义结合三角形的内角和定理可求得∠ACF的度数，再根据三角形的内角和定理可求解；
(2)由角平分线的定义可得∠ACG=1
2
∠ACB，结合三角形的内角和外角的性质可得
∠CGB=110°−1
2∠B，利用∠CGB+∠GCE=90°及∠B=4∠ECG可得110°−1
2
×
4∠ECG+∠GCE=90°，进而可求解∠ECG的度数．
本题主要考查三角形的内角和定理，三角形的高线，角平分线，求解∠ACF=50°是解
题的关键．
24.【答案】②④(x−6)(x+1)−3b(a+8)(a−3)
【解析】解：(1)3a−3b≠3b−3a，
∴①不是轮换式．
2a2+2b2=2b2+2a2，
∴②是轮换式．
a2−b2≠b2−a2，
∴③不是轮换式．
a3+ab+b3=b3+ba+a3，
∴④是轮换式．
故答案为：②④．
(2)x2−5x−6=(x−6)(x+1)，72b−3a2b−15ab=−3b(a+8)(a−3)．
故答案为：(x−6)(x+1)，−3b(a+8)(a−3)．
(3)∵x2+mx+24=(x+a)(x+b)，
∴ab=24，a+b=m，
由a3b−a2b2+ab3=672得ab(a2−ab+b2)=672，
整理得ab[(a+b)2−3ab]=672，
∴24(m2−3×24)=672，
解得m=±10，
∵m>0，
∴m=10．
∴x2+mx+24=x2+10x+24=(x+4)(x+6)．
(1)根据题中所给定义及例题分别计算可得出属于轮换式的式子．
(2)利用十字相乘与提取公因式方法求解．
(3)先由原式得出ab=24，a+b=m，再将a3b−a2b2+ab3=672整理为ab[(a+
b)2−3ab]=672，进而求解．
本题考查因式分解，解题关键是掌握材料所讲定义及规律，掌握因式分解的方法．
25.【答案】证明：(1)∵∠ABC=90°，CE⊥AF，
∴∠ABF=∠ABC=90°，
∴∠AFB+∠FAB=90°，∠EFC+∠BCD=90°，∴∠FAB=∠BCD，
在△ABF和△CBD中，
{∠ABF=∠CBD AB=CB
∠FAB=∠DCB
，
∴△ABF≌△CBD(ASA)，∴AF=CD；
(2)如图，连接FD，
∵CE⊥AF，AB⊥CF，∴FD⊥AC，
∵CH⊥AC，
∴CH//FD，
∴∠HCG=∠DFG，
∵G是FC中点，
∴FG=CG，
在△FGD与△CGH中，
{∠DFG=∠HCG FG=CG
∠FGD=∠CGH
，
∴△FGD≌△CGH(ASA)，
∴CH=FD，
∵CE⊥AF，CE平分∠FCA，
∴AC=CF，
∴AD=DF，
由(1)可知△ABF≌△CBD，
∴FB=BD，
∴CF=CB+BF=AB+BF=AD+DB+BF=CH+2DB，
即AC=CH+2BD．
【解析】(1)根据垂直推出∠ABF=∠ABC=90°与∠FAB=∠BCD，则可证明△ABF≌△CBD，即可得出AF=CD；
(2)如图，连接FD，根据CE⊥AF，AB⊥CF，推出FD⊥AC，即可证明CH//FD，可有∠HCG=∠DFG，然后证明△FGD≌△CGH，推出CH=FD，根据已知条件即可有AD=DF，
由(1)知FB=BD，即可证明AC=CH+2BD．
本题主要考查了三角形全等的性质与判定，角平分线的性质，在(1)中找出条件证明△ABF≌△CBD是关键，在(2)中作出辅助线是解题的关键．
26.【答案】解：(1)∵其中√a−4与(b−4)2互为相反数，
∴√a−4+(b−4)2=0，
∴a=4，b=4，
∴OA=OB，
∴∠BAO=∠ABO=45°，
∵∠COA=60°，
∴∠COB=150°，
∵OC=OB，
∴∠OCB=∠OBC=15°，
∴∠ABP=30°，
∵△APB是等腰三角形，
∴①当AP=AB时，∠APB=∠ABP=30°，
②当AP=PB时，∠APB=180°−2∠ABP=120°，
③当BP=AB时，∠APB=75°．
综上所述；∠APB为30°或120°或75°．
(2)BC与y轴交点为F点，过点O作OE⊥OP交BP于点E，
∴∠EOP=∠AOB=90°，
∴∠POA=∠EOB，
当AP最短时有AP⊥BC，
∴∠PAO+∠AFP=90°，
∵∠OBF+∠OFB=90°，∠PFA=∠OFB，
∴∠PAO=∠OBP，
∴△OPA≌△OEB(ASA)
∴OP=OE，
∵OP⊥OE，
∴∠OPB=∠OEP=45°．
【解析】(1)根据非负性的性质求出A、B点的坐标，得出OA=OB，再根据OC=OB，求出∠COB=150°，最后分三种情况讨论求出∠APB的度数；
(2)当AP最短时有AP⊥BC，BC与y轴交点为F点，过点O作OE⊥OP交BP于点E，根据同角或等角的余角相等求出两对对应的角相等，再证△OPA≌△OEB(ASA)，最后通过等腰三角形性质求出∠OPB的大小．
本题考查了非负数、等腰三角形的性质、一次函数图像上点的坐标特性，掌握这些知识点的熟练应用，分情况讨论是解题关键．。