2004华中师范大学高等代数

华中师范大学二〇〇四年攻读硕士研究生入学考试试题
考试科目：高等代数
一、()15设12,,...,n a a a 是数域P 上n 个不同的数，解线形方程组
12112222221122111111221n n n n n n n n n n n n n n x x x a x a x a x a a x a x a x a a x a x a x a ----+++=⎧⎪+++=⎪⎪+++=⎨⎪⎪⎪+++=⎩
二、()15设P 是数域，()3,21n n A P m x x x ⨯∈=++是A 的最小多项式，求1.A -
三、()20设P
是数域，
()()12,,,,n n ij n nn A a P a ααα⨯==∈ 的代数余子式0.nn A ≠ ()1证明12,,,n ααα 线形无关；
()2当
0A =时，求线形方程组*0A X =的基础解系，其中*A 是A 的伴随矩阵。

四、()30设P 是数域，12{|'},{|n n n n V A P A A V B P B ⨯⨯=∈==∈是上三角矩阵}，
()1证明12,V V 都是n n P ⨯的子空间；
()2证明1212,.n n n n P V V P V V ⨯⨯=+≠⊕
五、()30设()p x 是数域P 上的不可约多项式，α是()p x 的复根
()1证明()p x 的常数项不等于零；
()2证明对任意正整数()(),,1;m m p x x =
()3设()322,p x x
x =-+求51.α
六、()20设n 元实二次型()'12,,,n f x x x x Ax = 经过正交线形替换x Qy =（其
中Q 是正交矩阵）化为222212323n y y y ny ++++ ,证明：
()1A 的特征值是1,2,3,,;n
()2存在正定矩阵B 使得2.A B =
七、()20设A 是数域P 上n 维线形空间V 的线形变换，,V α∈ ()10,0.n n A A α-≠=证明：
()()()()211,,,,n A A A αααα- 是V 的基；
()2设W 是A 的不变子空间，121,,,,0n a a a P a ∈≠ 并且存在向量 ()()()21123,n n a a A a A a A W βαααα-=++++∈ 则.W V =。