七年级初一数学第二学期第八章 二元一次方程组单元 易错题难题同步练习试卷

七年级初一数学第二学期第八章 二元一次方程组单元 易错题难题同步练习试
卷
一、选择题
1．已知关于x ，y 的方程x 2m ﹣n ﹣2＋4y m ＋n ＋1＝6是二元一次方程，则m ，n 的值为（ ）
A ．m ＝1，n ＝－1
B ．m ＝－1，n ＝1
C ．14m ,n 33==-
D ．14
,33
m n =-=
2．已知|x+y －1|+(x －y+3)2=0，则(x+y)2019的值是（ ） A ．22019 B ．－1 C ．1 D ．－22019
3．已知方程组31331x y m
x y m
+=+⎧⎨+=-⎩的解满足0x y +>，则m 取值范围是（ ）
A ．m >1
B ．m <-1
C ．m >-1
D ．m <1
4．若方程6kx ﹣2y=8有一组解3
2x y =-⎧⎨=⎩
，则k 的值等于（（ ）
A ．2
3
-
B ．
23
C ．16
-
D ．
16
5．若关于x y ，的二元一次方程组232320x y k
x y k +=⎧⎨-=⎩
的解也是二元一次方程236x y +=的
解，则k 的值为（ ） A ．34
-
B ．
34
C ．
4
3
D ．43
-
6．下列各组数中①2
2x y =⎧⎨=⎩； ②21x y =⎧⎨=⎩
；③22x y =⎧⎨=-⎩
；④16
x y ⎧⎨⎩
==是方程410x y +=的解的有( ) A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
7．某次数学竞赛共出了25题，评分标准如下：答对一题加4分，答错一题扣1分，不答记0分，已知小杰不答的题比答错的题多2道，总分是74分，则他答对了（ ） A ．16题
B ．17题
C ．18题
D ．19题
8．若方程组111222a x b y c a x b y c +=⎧⎨+=⎩的解是3
4x y =⎧⎨=⎩
，则方程组111222327327a x b y c a x b y c +=⎧⎨+=⎩的解是( )
A ．2128x y =⎧⎨=⎩
B ．9
8x y =⎧⎨=⎩
C ．7
14x y =⎧⎨
=⎩
D ．9787x y ⎧
=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
9．已知二元一次方程3x-y=5,给出下列变形①y=3x+5②5
3
y x +=③-6x+2y=-10,其中正确的是（ ） A ．②
B ．②③
C ．①③
D ．①②
10．小明去买2元一支和3元一支的两种圆珠笔（一种圆珠笔至少买一支），恰好花掉30
元，则购买方案有（ ） A ．4种
B ．5种
C ．6种
D ．7种
二、填空题
11．已知关于x ，y 的二元一次方程()()12120m x m
y m +++=﹣﹣，无论实数m 取何值，此二元一次方程都有一个相同的解，则这个相同的解是______．
12．小明今年五一节去三峡广场逛水果超市，他分两次购进了A 、B 两种不同单价的水果．第一次购买A 种水果的数量比B 种水果的数量多50%，第二次购买A 种水果的数量比第一次购买A 种水果的数量少60%，结果第二次购买水果的总数量比第一次购买水果的总数量多20%，且第二次购买A 、B 水果的总费用比第一次购买A 、B 水果的总费用少10%（两次购买中A 、B 两种水果的单价不变），则B 种水果的单价与A 种水果的单价的比值是______．
13．解放碑某商场地下停车场有5个出入口，每天早晨7点开始对外停车且此时车位空置率为80%，在每个出入口的车辆数均是匀速出入的情况下，如果开放2个进口和3个出口，7小时车库恰好停满：如果开放3个进口和2个出口，4小时车库恰好停满．2019年清明节期间，由于商场人数增多，早晨7点时的车位空置率变为60%，又因为车库改造，只能开放2个进口和1个出口，则从早晨7点开始经过_______小时车库恰好停满． 14．将108个苹果放到一些盒子中，盒子有三种规格：一种可以装10个苹果，一种可以装9个苹果，一种可以装6个苹果，要求每种规格都要有且每个盒子均恰好装满，则不同的装法总数为_____． 15．关于x ，y 的方程组223321x y m x y m +=+⎧⎨-=-⎩的解满足不等式组50
30
x y x y ->⎧⎨-<⎩，则m 的取值范
围_____．
16．如图，长方形ABCD 被分成8块，图中的数字是其中5块的面积数，则图中阴影部分的面积是____﹒
17．假设北碚万达广场地下停车场有5个出入口，每天早晨6点开始对外停车且此时车位空置率为75%，在每个出入口的车辆数均是匀速出入的情况下，如果开放2个进口和3个出口，8小时车库恰好停满；如果开放3个进口和2个出口，2小时车库恰好停满．2019年元旦节期间，由于商场人数增多，早晨6点时的车位空置率变为60%，又因为车库改造，只能开放2个进口和1个出口，则从早晨6点开始经过________小时车库恰好停满． 18．国庆期间某外地旅行团来重庆的网红景点打卡，游览结束后旅行社对该旅行团做了一次“我最喜爱的巴渝景点”问卷调查（每名游客都填了调査表，且只选了一个景点），統计后发现洪崖洞、长江索道、李子坝轻轨站、磁器口榜上有名．其中选李子坝轻轨站的人
数比选磁器口的少8人；选洪崖洞的人数不仅比选磁器口的多，且为整数倍；选磁器口与洪崖洞的人数之和是选李子坝轻轨站与长江索道的人数之和的5倍；选长江索道与洪崖洞的人数之和比选李子坝轻轨站与磁器口的人数之和多24人．则该旅行团共有_______人.
19．若关于x、y的二元一次方程组
316
215
x my
x ny
+=
⎧
⎨
+=
⎩
的解是
7
3
x
y
=
⎧
⎨
=
⎩
，则关于x、y的二元一
次方程组
3()()16
2()()15
x y m x y
x y n x y
++-=
⎧
⎨
++-=
⎩
的解是__．
20．如图，在长方形ABCD中，放入六个形状，大小相同的长方形（即空白的长方形），AD＝12cm，FG＝4cm，则图中阴影部分的总面积是 __________2
cm.
三、解答题
21．学校计划为“我和我的祖国”演讲比赛购买奖品．已知购买3个A奖品和2个B奖品共需120元；购买5个A奖品和4个B奖品共需210元．
（1）求A，B两种奖品的单价；
（2）学校准备购买A，B两种奖品共30个，且A奖品的数量不少于B奖品数量的1
3
．请
设计出最省钱的购买方案，并说明理由．22．阅读以下内容：
已知有理数m，n满足m+n＝3，且
3274
232
m n k
m n
+=-
⎧
⎨
+=-
⎩
求k的值．
三位同学分别提出了以下三种不同的解题思路：
甲同学：先解关于m，n的方程组
3274
232
m n k
m n
+=-
⎧
⎨
+=-
⎩
，再求k的值；
乙同学：将原方程组中的两个方程相加，再求k的值；
丙同学：先解方程组
3
232
m n
m n
+=
⎧
⎨
+=-
⎩
，再求k的值．
（1）试选择其中一名同学的思路，解答此题；
（2）在解关于x，y的方程组
()
()
118
21
a x by
b x ay
⎧+-=
⎪
⎨
++=
⎪⎩
①
②
时，可以用①×7﹣②×3消去未知数
x，也可以用①×2+②×5消去未知数y．求a和b的值．
23．平面直角坐标系中，A（a，0），B（0，b），a，b满足
2
(25)220
a b a b
+++-=，将线段AB平移得到CD，A，B的对应点分别为C，D，其中点C在y轴负半轴上．
（1）求A ，B 两点的坐标；
（2）如图1，连AD 交BC 于点E ，若点E 在y 轴正半轴上，求
BE OE
OC
-的值； （3）如图2，点F ，G 分别在CD ，BD 的延长线上，连结FG ，∠BAC 的角平分线与∠DFG 的角平分线交于点H ，求∠G 与∠H 之间的数量关系．
24．数轴上有两个动点M ，N ，如果点M 始终在点N 的左侧，我们称作点M 是点N 的“追赶点”．如图，数轴上有2个点A ，B ，它们表示的数分别为-3，1，已知点M 是点N 的“追赶点”，且M ，N 表示的数分别为m ，n ．
（1）由题意得：点A 是点B 的“追赶点”，AB =1-(-3)=4(AB 表示线段AB 的长，以下相同)；类似的，MN =____________．
（2）在A ，M ，N 三点中，若其中一个点是另外两个点所构成线段的中点，请用含m 的代数式来表示n ． （3）若AM =BN ，MN =
4
3
BM ，求m 和n 值．
25．如图，已知()0,A a ，(),0B
b ，且满足|4|60a b -+
+=.
（1）求A 、B 两点的坐标；
（2）点(),C m n 在线段AB 上，m 、n 满足5n m -=，点D 在y 轴负半轴上，连CD 交
x 轴的负半轴于点M ，且MBC MOD S S ∆∆=，求点D 的坐标；
（3）平移直线AB ，交x 轴正半轴于E ，交y 轴于F ，P 为直线EF 上第三象限内的点，过P 作PG x ⊥轴于G ，若20PAB A ∆=，且12GE =，求点P 的坐标.
26．为了打造区域中心城市，实现攀枝花跨越式发展，我市花城新区建设正按投资计划有序推进．花城新区建设工程部，因道路建设需要开挖土石方，计划每小时挖掘土石方540m 3，现决定向某大型机械租赁公司租用甲、乙两种型号的挖掘机来完成这项工作，租赁公司提供的挖掘机有关信息如表：
（1）若租用甲、乙两种型号的挖掘机共8台，恰好完成每小时的挖掘量，则甲、乙两种型号的挖掘机各需多少台？
（2）请你设计一种方案，不仅每小时支付的租金最少，又恰好能完成每小时的挖掘量？
【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除
一、选择题 1．A 解析：A 【分析】
根据二元一次方程的概念列出关于m 、n 的方程组，解之即可． 【详解】
∵关于x ，y 的方程x 2m ﹣n ﹣2＋4y m ＋n ＋1＝6是二元一次方程， ∴22111m n m n --=⎧⎨
++=⎩即23
m n m n -=⎧⎨+=⎩，
解得：1
1m n =⎧⎨
=-⎩ ， 故选：A ． 【点睛】
本题考查了二元一次方程的定义、解二元一次方程组，理解二元一次方程的定义，熟练掌握二元一次方程组的解法是解答的关键．
2．C
解析：C
【分析】
由绝对值和平方的非负性可得10
30
x y x y +-=⎧⎨-+=⎩，再解方程组代入原式进行计算即可.
【详解】 解：根据题意可得10?
30?
x y x y +-=⎧⎨-+=⎩①②，用①加上②可得，2x+2=0，解得x=-1，则y=2， 故原式=(2-1)2019=1. 故选择C. 【点睛】
本题结合非负性考查了列和解二元一次方程组.
3．C
解析：C 【分析】
直接把两个方程相加，得到12
m
x y ++=，然后结合0x y +>，即可求出m 的取值范围. 【详解】 解：31331x y m
x y m +=+⎧⎨
+=-⎩
，
直接把两个方程相加，得： 4422x y m +=+，
∴12
m
x y ++=
， ∵0x y +>， ∴
102
m
+>， ∴1m >-； 故选：C. 【点睛】
本题考查了加减消元法解方程组，解题的关键是掌握解方程组的方法，正确得到
12
m
x y ++=
，然后进行解题. 4．A
解析：A 【分析】
根据方程的解满足方程，课的关于k 的方程，根据解方程，可得答案． 【详解】 解：由题意，得 6×（-3）k-2×2=8，
解得k=-23
, 故选A ． 【点睛】
本题考查了二元一次方程，利用方程的解满足方程得出关于的k 方程是解题关键．
5．B
解析：B 【分析】
首先解关于x 的方程组，求得x ，y 的值，然后代入方程2x ＋3y ＝6，即可得到一个关于k 的方程，从而求解． 【详解】 解232320x y k x y k +=⎧⎨
-=⎩得72x k
y k
=⎧⎨=-⎩，
由题意知2×7k ＋3×（−2k ）＝6， 解得k ＝34
． 故选：B 【点睛】
此题考查了解二元一次方程组，二元一次方程组的解，能使方程组中每个方程的左右两边相等的未知数的值即是方程组的解．解题的关键是要知道两个方程组之间解的关系．
6．B
解析：B 【详解】
解：把①2
2x y ==⎧⎨⎩
代入得左边=10=右边；
把②2
{1
x y ==代入得左边=9≠10； 把③2
{2x y ==-代入得左边=6≠10； 把④1{
6
x y ==代入得左边=10=右边；
所以方程4x +y =10的解有①④2个． 故选B ．
7．D
解析：D 【分析】
设答对了x 道题，答错了y 道题，则不答的题有()25?
–x y +，根据“不答的题比答错的题多2道”以及“总分是74分”，列出方程组解出即可．
【详解】
设答对了x 道题，答错了y 道题，则不答的题有()25?–x y +， 根据题意得：()25?–2
474x y y x y ⎧+=+⎨-=⎩
，
解得：192
x y =⎧⎨
=⎩，
故小杰他答对了19题， 故选：D ． 【点睛】
本题主要考查了二元一次方程组的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，列出方程．
8．C
解析：C 【分析】
先将111222327327a x b y c a x b y c +=⎧⎨+=⎩化简为11
1222
3277327
7a x b y c a x b y c ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，然后用“整体代换”法，求出方程组
的解即可； 【详解】
解：111
2
22327327a x b y c a x b y c +=⎧⎨+=⎩，
111222
32773277a x b y c a x b y c ⎧+=⎪⎪∴⎨⎪+=⎪⎩，
设3
727
x t y s ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，
1112
22a t b s c a t b s c +=⎧∴⎨+=⎩， 方程组111222a x b y c a x b y c +=⎧⎨+=⎩的解是34x y =⎧⎨=⎩
，
∴方程组111222a t b s c a t b s c +=⎧⎨
+=⎩的解为3
4t s =⎧⎨=⎩
，
3
37247
x y ⎧=⎪⎪∴⎨⎪=⎪⎩，
解得：714x y =⎧⎨=⎩
．
故选C ． 【点睛】
此题考查了解二元一次方程组，弄清阅读材料中的“整体代入”方法是解本题的关键．
9．B
解析：B 【分析】
根据等式基本性质进行分析即可. 【详解】
用x 表示y 为y=3x-5，故①不正确；用y 表示x 为5
3
y x +=，故②正确；方程两边同乘以-2可得-6x+2y=-10，故③正确. 故选B. 【点睛】
考核知识点：二元一次方程.
10．A
解析：A 【分析】
根据题意列出二元一次方程，再结合实际情况求得正整数解． 【详解】
解：设买x 支2元一支的圆珠笔，y 支3元一支的圆珠笔， 根据题意得：2330x y ，且,x y 为正整数，
变形为：3023
x
y
，由x 为正整数可知，302x 必须是3的整数倍， ∴当3023x ，即1y =时，13.5x =不是整数，舍去；
当3026x ，即2y =时，12x =是整数，符合题意；
当3029x
，即3y =时，10.5x =不是整数，舍去；
当30212x ，即4y =时，9x =是整数，符合题意； 当30215x ，即5y =时，7.5x =不是整数，舍去； 当30218x ，即6y =时，6x =是整数，符合题意； 当30221x ，即7y =时， 4.5x =不是整数，舍去； 当30224x ，即8y =时，3x =是整数，符合题意； 当30227x
，即9y =时， 1.5x =不是整数，舍去；
故共有4种购买方案，
故选：A．
【点睛】
本题考查了二元一次方程的应用，解题定关键是根据题意列出不定方程，然后根据实际问题对解得要求，逐一列举出来舍去不符合题意的即可．
二、填空题
11．【分析】
将方程整理成关于m的一元一次方程，若无论实数m取何值，此二元一次方程都有一个相同的解，则与m无关，从而令m的系数为0，从而得关于x和y的二元一次方程组，求解即可．
【详解】
将（m+1）
解析：
1
1 x
y
=-⎧
⎨
=⎩
【分析】
将方程整理成关于m的一元一次方程，若无论实数m取何值，此二元一次方程都有一个相同的解，则与m无关，从而令m的系数为0，从而得关于x和y的二元一次方程组，求解即可．
【详解】
将（m+1）x+（2m-1）y+2-m=0整理得：mx+x+2my-y+2-m=0，即m（x+2y-1）+x-y+2=0，因为无论实数m取何值，此二元一次方程都有一个相同的解，
所以
210
20
x y
x y
+-=
⎧
⎨
-+=
⎩
，
解得：
1
1
x
y
=-
⎧
⎨
=
⎩
．
故答案为：
1
1
x
y
=-
⎧
⎨
=
⎩
．
【点睛】
考查了含参数的二元一次方程有相同解问题，解题关键是利用转化思想．
12．【分析】
根据水果数量的等量关系，可设第一次购买种水果数量为个，用分别表示第一次购买种水果的数量和第二次购买两种水果的数量．再分别设两种水果的单价为元和元，根据两次购买价钱的等量关系列方程，所列方
解析：1 2
【分析】
根据水果数量的等量关系，可设第一次购买B 种水果数量为x 个，用x 分别表示第一次购买A 种水果的数量和第二次购买两种水果的数量．再分别设两种水果的单价为a 元和b 元，根据两次购买价钱的等量关系列方程，所列方程中x 是可以约去的，化简即得到a 与
b 的数量关系． 【详解】
解：设第一次购买B 种水果数量为x ，
∴第一次购买A 种水果的数量为：3
(150%)2
x x +=
， ∴第二次购买A 种水果数量为：3323
(160%)2
2
55x x
x -==， ∴第二次购买水果的总数量为：356
()(120%)32
2
5
x x x
x ++==， ∴第二次购买B 种水果个数为：312
355
x x x -=，
设A 种水果单价为a 元，B 种水果单价为b 元，依题意得：
3312()(110%)255
a
x bx a x b x +-=+， 化简得：2a b =
∴
12
b a =， B ∴水果的单价与A 水果的单价的比值是12
，
故答案为：12
． 【点睛】
本题考查了一次方程的应用，在缺少确切数值的情况下，可先假设等量关系中的关键量为未知数，再列方程化简求值．
13．【分析】
先设1个进口1小时开进辆车，1个出口1小时开出辆车，车位总数是 根据已知条件如果开放2个进口和3个出口，7小时车库恰好停满，可列出方程
根据已知条件如果开放3个进口和2个出口，4小时车库 解析：
358
【分析】
先设1个进口1小时开进x 辆车，1个出口1小时开出y 辆车，车位总数是a 根据已知条件如果开放2个进口和3个出口，7小时车库恰好停满，可列出方程
7(23)80%x y a -=
根据已知条件如果开放3个进口和2个出口，4小时车库恰好停满，可列出方程
4(32)80%x y a -=
方程组可求得x 、y 关于a 的关系式
题中所求空置率变为60%，只能开放2个进口和1个出口时，几个小时停满，
60%(2)a x y ÷-将x 、y 关于a 的关系式代入即可求解.
【详解】
设1个进口1小时开进x 辆车，1个出口1小时开出y 辆车，车位总数是a
7(23)80%4(32)80%x y a
x y a -=⎧⎨
-=⎩
解得：13175
2175a x a y ⎧
=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
13235
60%(2)0.6(2)1751758
a a a x y a ÷-=÷⨯
-=（小时） 故答案为：35
8
【点睛】
本题解题关键是可以设出1个进口1小时开进x 辆车，1个出口1小时开出y 辆车，车位总数是a ，根据已知条件便可列出方程组，得出x 、y 关于a 的关系式，求解的问题同列方程组思路相同.
14．【分析】
先列出方程10x+9y+6z ＝108，再根据x ，y ，z 是正整数，进行计算即可得出结论． 【详解】
解：设装10个苹果的有x 盒，装9个苹果的有y 盒，装6个苹果的有z 盒， ∵每种规格都要有且
解析：【分析】
先列出方程10x+9y+6z ＝108，再根据x ，y ，z 是正整数，进行计算即可得出结论． 【详解】
解：设装10个苹果的有x 盒，装9个苹果的有y 盒，装6个苹果的有z 盒， ∵每种规格都要有且每个盒子均恰好装满，
∴0＜x ＜10，0＜y≤11，0＜z≤15，且x ，y ，z 都是整数， 则10x+9y+6z ＝108， ∴x ＝
1089610--y z ＝3(3632)
10
--y z ，
∵0＜x ＜10，且为整数， ∴36﹣3y ﹣2z 是10的倍数，
即：36﹣3y﹣2z＝10或20或30，
当36﹣3y﹣2z＝10时，y＝262
3
-z
，
∵0＜y≤11，0＜z≤15，且y，z都为整数，
∴26﹣2z＝3或6或9或12或15或18或21或24，
∴z＝23
2
（舍）或z＝10或z＝
17
2
（舍）或z＝7或z＝
11
2
（舍）或z＝4或z＝
5
2
（舍）
或z＝1，
当z＝10时，y＝2，x＝3，当z＝7时，y＝4，x＝3，当z＝4时，y＝8，x＝3
当z＝1时，y＝8，x＝3，
当36﹣3y﹣2z＝20时，y＝162
3
-z
，
∵0＜y≤11，0＜z≤15，且y，z都为整数，
∴16﹣2z＝3或6或9或12或15或18或21或24，
∴z＝13
2
（舍）或z＝5或z＝
7
2
（舍）或z＝2或z＝
1
2
（舍）
当z＝5时，y＝2，x＝6，当z＝2时，y＝4，x＝6，
当36﹣3y﹣2z＝30时，y＝62
3
-z
，
∵0＜y≤11，0＜z≤15，且y，z都为整数，∴6﹣2z＝3，
∴z＝3
2
（舍）
即：满足条件的不同的装法有6种，
故答案为6．
【点睛】
此题主要考查了三元一次方程，整除问题，分类讨论时解本题的关键．
15．m＞﹣
【分析】
利用方程组中两个式子加减可得到和x-3y用m来表示，根据等量代换可得到关于m的一元一次不等式组，解出来即可得到答案
【详解】
将两个方程相加可得5x﹣y＝3m+2，
将两个方程相减
解析：m＞﹣2
3
【分析】
利用方程组中两个式子加减可得到5x y
-和x-3y用m来表示，根据等量代换可得到关于m的一元一次不等式组，解出来即可得到答案
【详解】
将两个方程相加可得5x﹣y＝3m+2，
将两个方程相减可得x﹣3y＝﹣m﹣4，
由题意得
320
40 m
m
+>
⎧
⎨
--<
⎩
，
解得：m＞
2
3 -，
故答案为：m＞
2
3 -．
【点睛】
此题考查含参数的二元一次方程组与不等式组相结合的题目，注意先观察，通过二元一次方程的加减得到不等式组的相关式子，再进行等量代换
16．98
【解析】
【分析】
设未知的三块面积分别为x，y，z（如图）．根据S△BCF=S△ABF+S△CDF，
S△ABE=S△ADE+S△BCE列出三元一次方程组，再利用加减消元法即可求得y的值．
【
解析：98
【解析】
【分析】
设未知的三块面积分别为x，y，z（如图）．根据S△BCF=S△ABF+S△CDF，S△ABE=S△ADE+S△BCE 列出三元一次方程组，再利用加减消元法即可求得y的值．
【详解】
设未知的三块面积分别为x，y，z（如图），
则x+y+76=24+87+55+19+z，z+y+87=55+x+24+19+76，
即x+y-z=109①，z+y-x=87② 由①+②得，y=98.
即图中阴影部分的面积是98﹒ 故答案为：98. 【点睛】
本题主要考查了矩形的性质，解决本题的关键是理清三角形与矩形间的面积关系，列出三元一次方程组，再通过加减消元，得到阴影部分的面积．
17．【解析】 【分析】
设1个进口1小时开进x 辆车，1个出口1小时开出y 辆，根据“如果开放2个进口和3个出口，8个小时车库恰好停满；如果开放3个进口和2个出口，2个小时车库恰好停满．”列出方程组求得x 解析：32
15
【解析】 【分析】
设1个进口1小时开进x 辆车，1个出口1小时开出y 辆，根据“如果开放2个进口和3个出口，8个小时车库恰好停满；如果开放3个进口和2个出口，2个小时车库恰好停满．”列出方程组求得x 、y ，进一步代入求得答案即可． 【详解】
设1个进口1小时开进x 辆车，1个出口1小时开出y 辆，车位总数为a ，由题意得：
82375%23275%x y a x y a （
）（）-=⎧⎨
-=⎩
解得：316
332x a y a ⎧
=⎪⎪⎨
⎪=⎪⎩
． 则60%a ÷（2x -y ）=60%a ÷（
316a ×2332-a ）＝32
15
（小时）． 故答案为
32
15
． 【点睛】
本题考查了二元一次方程组的实际运用，找出题目蕴含的数量关系是解决问题的关键．
18．48 【分析】
设选洪崖洞的有a 人，选长江索道的有b 人，选李子坝轻轨站的有c 人，选磁器口的有d 人，根据题意可列出4个方程，然后整理得到不含c 的两个方程，再分情况讨论整数倍x 的值，得到符合题意的解即可
解析：48 【分析】
设选洪崖洞的有a 人，选长江索道的有b 人，选李子坝轻轨站的有c 人，选磁器口的有d 人，根据题意可列出4个方程，然后整理得到不含c 的两个方程，再分情况讨论整数倍x 的值，得到符合题意的解即可. 【详解】
解：设选洪崖洞的有a 人，选长江索道的有b 人，选李子坝轻轨站的有c 人，选磁器口的有d 人，
根据题意可列方程： c=d ﹣8，
a=xd （x ＞1，且为整数）， d+a=5（b+c ）， b+a=c+d+24， 整理可得：
283727d b
a b
=-⎧⎨
=-⎩， 当x=2时，解得b=16，d=﹣20，不符合题意，舍去；
当x=3时，解得b=6，d=10，a=30，c=2，则旅行团共有6+10+30+2=48人； 当x ＞3时，求得的b 均为负数，不符合题意. 故答案为48. 【点睛】
本题主要考查列方程，解多元一次方程，解此题的关键在于根据题意准确列出方程.
19．【解析】
分析：令x+y=a ，x-y=b ，根据已知，比较后得出a ，b 的值，从而得出结论． ．
详解：令x+y=a ，x-y=b ，则关于x 、y 的二元一次方程组变为：．∵二元一次方程组的解是，
解析：52x y =⎧⎨=⎩
【解析】
分析：令x +y =a ，x -y =b ，根据已知，比较后得出a ，b 的值，从而得出结论． ．
详解：令x +y =a ，x -y =b ，则关于x 、y 的二元一次方程组316215x y m x y x y n x y ++-=⎧⎨++-=⎩（
）（）（）（）变为：
316215a mb a nb +=⎧⎨
+=⎩．∵二元一次方程组316215x my x ny +=⎧⎨+=⎩的解是73x y =⎧⎨=⎩，∴7
3a b =⎧⎨=⎩，∴73x y x y +=⎧⎨-=⎩，解得：52x y =⎧⎨=⎩
．
点睛：本题主要考查二元一次方程组的解法，关键是熟练掌握二元一次方程组的解法即代入消元法和加减消元法，本题要注意整体思想的运用．
20．48 【解析】
设小长方形的长为x cm ，宽为y cm ，根据图形可得
①－②得4y ＝8，所以y ＝2，代入②得x ＝6，因此阴影部分总面积＝12×10－6×2×6＝48. 故答案：48. 【方法点睛】本
解析：48 【解析】
设小长方形的长为x cm ，宽为y cm ，根据图形可得3124x y x y +=⎧⎨-=⎩
，①，②
①－②得4y ＝8，所以y ＝2，代入②得x ＝6，因此阴影部分总面积＝12×10－6×2×6＝482cm . 故答案：48.
【方法点睛】本题目是一道二元一次方程组的问题，找出等量关系是解决问题的关键.
三、解答题
21．（1）A 的单价30元，B 的单价15元（2）购买A 奖品8个，购买B 奖品22个，花费最少 【分析】
（1）设A 的单价为x 元，B 的单价为y 元，根据题意列出方程组32120
54210
x y x y +=⎧⎨+=⎩，即可求
解；
（2）设购买A 奖品z 个，则购买B 奖品为(30)z -个，购买奖品的花费为W 元，根据题意得到由题意可知，1
(30)3
z z ≥-，3015(30)45015W z z z =+-=+，根据一次函数的性质，即可求解； 【详解】
解：（1）设A 的单价为x 元，B 的单价为y 元， 根据题意，得
32120
54210x y x y +=⎧⎨
+=⎩
， 3015x y =⎧∴⎨=⎩
，
∴A 的单价30元，B 的单价15元；
（2）设购买A 奖品z 个，则购买B 奖品为(30)z -个，购买奖品的花费为W 元， 由题意可知，1
(30)3
z z ≥
-， 152
z ∴≥
， 3015(30)45015W z z z =+-=+，
当=8z 时，W 有最小值为570元，
即购买A 奖品8个，购买B 奖品22个，花费最少； 【点睛】
本题考查二元一次方程组的应用，一次函数的应用；能够根据条件列出方程组，将最优方案转化为一次函数性质解题是关键．
22．（1）见解析；（2）a 和b 的值分别为2，5． 【分析】
（1）分别选择甲、乙、丙，按照提示的方法求出k 的值即可； （2）根据加减消元法的过程确定出a 与b 的值即可． 【详解】
解：（1）选择甲，3274232m n k m n +=-⎧⎨+=-⎩
①
②，
①×3﹣②×2得：5m ＝21k ﹣8， 解得：m ＝
2185
k -， ②×3﹣①×2得：5n ＝2﹣14k ， 解得：n ＝
2145
k
-， 代入m+n ＝3得：
21821455
k k
--+＝3， 去分母得：21k ﹣8+2﹣14k ＝15， 移项合并得：7k ＝21， 解得：k ＝3； 选择乙，
3274232m n k m n +=-⎧⎨
+=-⎩
①②， ①+②得：5m+5n ＝7k ﹣6， 解得：m+n ＝
7-6
5
k ， 代入m+n ＝3得：
7-6
5
k ＝3， 去分母得：7k ﹣6＝15，
解得：k ＝3； 选择丙， 联立得：3232m n m n +=⎧⎨
+=-⎩①
②
，
①×3﹣②得：m ＝11， 把m ＝11代入①得：n ＝﹣8，
代入3m+2n ＝7k ﹣4得：33﹣16＝7k ﹣4， 解得：k ＝3； （2）根据题意得：13
27
a b +=⎧⎨
+=⎩，
解得：5
2
b a =⎧⎨
=⎩， 检验符合题意，
则a 和b 的值分别为2，5． 【点睛】
此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．
23．（1）(40),(03)A B -，
，；（2）1BE OE
OC
-=；（3）G ∠与H ∠之间的数量关系为
2180G H ∠=∠-︒． 【分析】
（1）根据非负数的性质和解二元一次方程组求解即可；
（2）设(0,),(0,)C c E y ，先根据平移的性质可得(43)D c +，
，过D 作DP x ⊥轴于P ，再根据三角形ADP 的面积得出
8(3)44(3)222c y y c +++=+，从而可得32
c
y +=，然后根据线段的和差可得BE OE c OC -=-=，由此即可得出答案； （3）设AH 与CD 交于点Q ，过H ，G 分别作DF 的平行线MN ，KJ ，设
,BAH CAH DFH GFH αβ∠=∠=∠=∠=，由平行线的性质可得180(),1802()QHF DGF αβαβ∠=︒-+∠=︒-+，由此即可得出结论．
【详解】
（1）
∵2(25)0a b ≥++≥
，且2(25)0a b ++=
∴250
220a b a b ++=⎧⎨+-=⎩
解得：43a b =-⎧⎨=⎩
则(40),(03)A B -，
，； （2）设(0,),(0,)C c E y
∵将线段AB 平移得到CD ，(40),(03)A B -，
， ∴由平移的性质得(43)D c +，
如图1，过D 作DP x ⊥轴于P
∴4,3,,AO OP DP c OE y OC c ===+==- ∵ADP
AOE
OEDP S S
S =+梯形
∴
()222AP DP OA OE OE DP OP
⋅⋅+⋅=+ 即8(3)44(3)
222
c y y c +++=+ 解得32
c
y += ∴()232BE OE BO OE OE BO OE y c -=--=-=-=-
∴
1BE OE c
OC c
--==-；
（3）G ∠与H ∠之间的数量关系为2180G H ∠=∠-︒，求解过程如下： 如图2，设AH 与CD 交于点Q ，过H ，G 分别作DF 的平行线MN ，KJ ∵HD 平分BAC ∠，HF 平分DFG ∠
∴设,BAH CAH DFH GFH αβ∠=∠=∠=∠= ∵AB 平移得到CD ∴//,//AB CD BD AC
∴BAH AQC FQH α∠=∠=∠=，180BAC ACD BDC ACD ∠+∠=︒=∠+∠ ∴2BAC BDC FDG α∠=∠=∠= ∵//MN FQ
∴,MHQ FQH NHF DFH αβ∠=∠=∠=∠= ∴180180()QHF MHQ NHF αβ∠=︒-∠-∠=︒-+ ∵//KJ DF
∴2,2DGK FDG DFG FGJ αβ∠=∠=∠=∠=
∴1801802()DGF DGK FGJ αβ∠=︒-∠-∠=︒-+
∴2180DGF QHF ∠=∠-︒．
【点睛】
本题属于一道较难的综合题，考查了解二元一次方程组、平移的性质、平行线的性质等知识点，较难的是题（3），通过作两条辅助线，构造平行线，从而利用平行线的性质是解题关键．
24．（1）n -m ；（2）①M 是AN 的中点，n =2m +3；②A 是MN 中点，n =-m -6；③N 是AM 的中点，1322=-n m ；（3）0 4m n =⎧⎨=⎩或6 2m n =-⎧⎨=-⎩或95 15m n ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩
． 【解析】
【分析】
（1）由两点间距离直接求解即可；
（2）分三种情况讨论：①M 是A 、N 的中点，n =2m +3；②当A 点在M 、N 点中点时，n =﹣6﹣m ；③N 是M 、A 的中点时，n 32
m -+=； （3）由已知可得|m +3|=|n ﹣1|，n ﹣m 43=
|m +3|，分情况求解即可． 【详解】
（1）MN =n ﹣m ．
故答案为：n ﹣m ；
（2）分三种情况讨论：
①M 是A 、N 的中点，
∴n +(-3)=2m ，
∴n =2m +3；
②A 是M 、N 点中点时，m +n =-3×2，
∴n =﹣6﹣m ；
③N 是M 、A 的中点时，-3+m =2n ，
∴n
32
m -+=；
（3）∵AM =BN ，
∴|m +3|=|n ﹣1|．
∵MN 43=BM ， ∴n ﹣m 43=
|m +3|， ∴3133412m n n m m +=-⎧⎨-=+⎩或3133412m n n m m +=-⎧⎨-=--⎩或3133412
m n n m m +=-+⎧⎨-=+⎩或3133412
m n n m m +=-+⎧⎨-=--⎩， ∴04m n =⎧⎨=⎩或62m n =-⎧⎨=-⎩或9515m n ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩
或35m n =⎧⎨=-⎩． ∵n ＞m ，
∴04m n =⎧⎨=⎩或62m n =-⎧⎨=-⎩或9515m n ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩
． 【点睛】
本题考查了列代数式，解二元一次方程组以及数轴上两点间的距离公式，解答本题的关键是：（1）根据两点间的距离公式求出线段AB 的长；（2）分三种情况讨论；（3）分四种情况讨论．解决该题型题目时，结合数量关系表示出线段的长度，再根据线段间的关系列
出方程是关键．
25．（1）(0,4)A ，0()6,B -； （2）4(0,)D -；（3）()8,8P --
【解析】
【分析】
（1）利用非负数的性质即可解决问题；
（2）利用三角形面积求法，由ABO ACO BCO S S S ∆∆∆=+列方程组，求出点C 坐标，进而由△ACD 面积求出D 点坐标.
（3）由平行线间距离相等得到20PAB EAB S S ∆∆==，继而求出E 点坐标，同理求出F 点坐标，再由GE=12求出G 点坐标，根据PGE OEF GPFO S S S ∆∆=+梯形求出PG 的长即可求P 点坐标.
【详解】
解：（1）40a -≥ 60b +≥， ∴460a b -++=，
40a ∴-=，60b +=，
4a ∴=，6b =-，
()0,4A ∴，()6,0B -，
（2）由BCM DOM S S ∆∆=
∴ABO DOM S S ∆∆=，
ABO ACD S S ∆∆∴=，
1122
ABO S AO BO ∆=⨯⨯=， 如图1，连CO ，作CE y ⊥轴，CF x ⊥轴，
ABO ACO BCO S S S ∆∆∆=+，
即()11641222
m m ⨯⨯+⨯⨯-= 53212
n m n m -=⎧∴⎨-=⎩，
32m n =-⎧∴⎨=⎩
， ()3,2C ∴-， 而12ACD S CE AD ∆=⨯⨯， ()134122
OD =⨯⨯+=， 4OD ∴=，
()0,4D ∴-，
（3）如图2：
∵EF ∥AB ，
∴20PAB EAB S S ∆∆==，
∴1202
AO BE ⨯=，即()4640OE ⨯+=， 4OE ∴=，
()4,0E ∴，
12GE =，
8GO ∴=，
()8,0G ∴-，
20ABF PBA S S ∆∆==，
()11642022
ABF S BO AF OF ∆∴=⨯⨯=⨯⨯+=， 83
OF ∴=， 80,3F ⎛⎫∴- ⎪⎝
⎭， PGE OEF GPFO S S S ∆∆=+梯形，
11818128422323PG PG ⎛⎫∴⨯⨯=⨯+⨯+⨯⨯ ⎪⎝⎭
， 8PG ∴=，
()8,8P ∴--，
【点睛】
本题考查的是二元一次方程的应用、三角形的面积公式、坐标与图形的性质、平移的性质，灵活运用分情况讨论思想、掌握平移规律是解题的关键．
26．（1）甲乙两种型号的挖掘机各需5台、3台；（2）应选择1辆甲型挖掘机和6辆乙型挖掘机，支付最少为820元
【解析】
分析：（1）设甲种型号的挖掘机需x 台、乙种型号的挖掘机需y 台．等量关系：甲、乙两种型号的挖掘机共8台；每小时挖掘土石方540m 3；
（2）设租用m 辆甲型挖掘机，n 辆乙型挖掘机，根据题意列出二元一次方程，求出其正整数解；然后分别计算支付租金，选择符合要求的租用方案．
详解：（1）设甲种型号的挖掘机需x 台、乙种型号的挖掘机需y 台．依题意得：
86080540x y x y +=⎧⎨+=⎩，解得： 53x y =⎧⎨=⎩
． 答：甲、乙两种型号的挖掘机各需5台、3台；
（2）设租用m 辆甲型挖掘机，n 辆乙型挖掘机．依题意得：
60m +80n =540，化简得：3m +4n =27，∴m =9﹣43n ，∴方程的解为53m n =⎧⎨=⎩或16m n =⎧⎨=⎩． 当m =5，n =3时，支付租金：100×5+120×3=860元
当m =1，n =6时，支付租金：100×1+120×6=820元．
答：有一种租车方案，即租用1辆甲型挖掘机和6辆乙型挖掘机，不仅每小时支付的租金最少，又恰好能完成每小时的挖掘量．
点睛：本题考查了二元一次方程组的应用．解决问题的关键是读懂题意，依题意列出等式（或不等式）进行求解．。