两角和与差正弦、余弦、正切公式

两角和与差的正弦、余弦和正切公式
知识梳理
1、(1)两角和与差的余弦
cos(α＋β)＝_____________________________________________， cos(α－β)＝_____________________________________________. (2)两角和与差的正弦
sin(α＋β)＝_____________________________________________， sin(α－β)＝_____________________________________________. (3)两角和与差的正切
tan(α＋β)＝_____________________________________________， tan(α－β)＝_____________________________________________.
(α，β，α＋β，α－β均不等于k π＋π
2
，k ∈Z )
其变形为：
tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)， tan α－tan β＝tan(α－β)(1＋tan αtan β)． 2、辅助角公式
()ϕααα++=+sin cos sin 22b a b a ，
其中⎩⎪⎨
⎪⎧
cos φ＝ ，sin φ＝ ，tan φ＝b
a ，角φ称为辅助角．
3、常见的角的变换为：
①()()αββββαα--=-+=;；②()()[]αββαα-++=2
1
； ③()()[]αββαα--+=
2
1
；④()αβαβα-+=+2； ⑤()()βαβαα-++=2；⑥()()βαβαβ--+=2；
课堂检测
1．计算sin 43°cos 13°－cos 43°sin 13°的结果等于 ( ) A.12 B.33 C.22 D.32 2．已知534sin 6cos =
+⎪⎭⎫
⎝
⎛
-
απα，则⎪⎭
⎫ ⎝⎛
+67sin πα的值是 （ ） A ．－235 B.235 C ．－45 D.4
5
3．函数f (x )＝sin 2x －cos 2x 的最小正周期是 ( A.π2
B ．π
C ．2π
D ．4π 4．设0≤α<2π，若sin α>3cos α，则α的取值范围是 ( ) A.⎪⎭
⎫
⎝⎛2,3ππ B.⎪⎭⎫
⎝⎛ππ,3 C.⎪⎭⎫ ⎝⎛34,3ππ D.⎪⎭
⎫ ⎝⎛23,3ππ 5．已知向量a ＝(sin x ，cos x )，向量b ＝(1，3)，则|a ＋b |的最大值为( )
A ．1 B. 3 C ．3 D ．9
例题解析
考点一：三角函数式的化简、求值 例1 （1）求值：[2sin 50°＋sin 10°(1＋3tan 10°)]2sin 280°；
（2）sin(θ＋75°)＋cos(θ＋45°)－3·cos(θ＋15°)．
变式练习：求值：(1)2cos 10°－sin 20°sin 70°； (2)tan(π6－θ)＋tan(π6＋θ)＋3tan(π6－θ)tan(π
6
＋θ)．
考点二：给值求值问题(已知某角的三角函数值，求另一角的三角函数值)
例2 已知0<β<π4<α<3π4，13
5
43sin ,5
34
cos =⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭
⎫ ⎝⎛-βπαπ，求sin(α＋β)的值．
变式练习：1、已知
（α为锐角），则sinα=（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
2、已知α，β为锐角，且cos （α+β）=，sinα=，则cosβ的值为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
3、已知α、β为锐角，若sinα=，sin （α+β）=，则cos2β的值为（ ）
A ．
B ．
C ．
或 D ．
4、
cosasin （a +）+sinasin （a ﹣
）=（ ）
A ．
B ．﹣
C ．
D ．﹣
5、设sinα﹣sinβ=，cosα+cosβ=，则cos （α+β）= ．
6、已知函数f （x ）=2sin （x ﹣），x ∈R ．（1）求f （0）的值；
（2）设α∈[0，]，β∈[π，
]，f （3α+
）=
，f （3β+2π）=﹣，求sin （α
+β）的值．
考点三：给值求角问题(已知某角的三角函数值，求另一角的值)
例3 已知0<α<π2<β<π，tan α2＝12，cos(β－α)＝2
10
.(1)求sin α的值； (2)求β的值．
变式练习：1、已知向量=（sinθ，1），=（cosθ，），且∥，其中θ∈（0，）．（1）求θ的值；（2）若sin（x﹣θ）=，0＜x＜，求cosx的值．
2、若sin A＝
5
5，sin B＝
10
10，且A、B均为钝角，求A＋B的值．
考点四：转化与化归思想的应用
例已知向量a＝(cos α，sin α)，b＝(cos β，sin β)，|a－b|＝25 5.
(1)求cos(α－β)的值；(2)若－π
2<β<0<α<
π
2，且sin β＝－
5
13，求sin α的值．
练习：1、已知，且tanα=﹣3．
（1）求的值；（2）求的值．
2、已知≤β≤α≤，cos（α﹣β）=，sin（α+β）=﹣，求sin2α，cos2β的值．。