圆心角和圆周角的综合应用
圆心角和圆周角的综合应用
圆心角与圆周角复习一、知识梳理1、圆心角圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角．1°圆心角所对的弧叫做1°的弧． n°的圆心角所对的弧就是n°的弧．2、圆心角的性质性质1：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等；相等的弦或相等的弧所对的圆心角相等．性质2：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦、两个弦心距中有一对量相等，那么它们所对应的其余各组量都相等．如图所示，OE⊥AB于E，OF⊥CD于F，若下列四个等式：①∠AOB=∠COD；②AB=CD；③；④OE＝OF中有一个等式成立，则其他三个等式也成立，即：若①成立②，③，④成立；若②成立①，③，④成立；若③成立①，②，④成立；若④成立①，②，③成立．特别强调：(1)不能忽略“在同圆或等圆中”这个前提条件，若没有这一条件，虽然圆心角相等，但所对的弧、弦不一定相等．(2)若无特殊说明，性质中“弧”一般指劣弧．3、圆周角(1)圆周角：顶点在圆上，两边和圆相交的角叫做圆周角．(2)圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半．推论1：半圆(或直径)所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径．推论2：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等；相等的圆周角所对的弧相等．4、重要结论：圆的内接四边形对角互补习题库 一．同弧（等弧）所对的圆周角相等； 同弧（等弧）所对的弦相等；同弧（等弧）所对的圆周角等于圆心角的一半；在处理角的问题时，除了要熟悉和圆相关的角的性质外，还要熟悉三角形角的性质、四边形角的性质，并能将这些性质进行综合应用。
(1)同弧与圆心角、圆周角的关系1.如图，点A 、B 、P 在⊙O 上，点P 为动点，要是△ABP 为等腰三角形，则所有符合条件的点P 有 个.2. 如图，ABC △内接于圆O ，50A =∠，60ABC =∠，BD 是圆O 的直径， BD 交AC于点E ，连结DC ，则AEB ∠= .3.如图，AB 是⊙O 的直径，弦DC 与AB 相交于点E ，若∠ACD=60°，∠ADC=50°，则∠ABD= ，∠CEB= .4．如图，△ABC 内接于⊙O ，点P 是C A上任意一点（不与C A 、重合），POC ABC ∠=∠则,55的取值范围是 ．(2)等弧与圆周角 1．如图所示，AB 是⊙O 的直径，AD ＝DE ，AE 与BD 交于点C ，则图中与∠DBE 相等的角有( ) A ．2个 B ．3个 C ．4个D ．5 个2.如图，已知AB 是半圆O 的直径，∠BAC=32º，D 是弧AC 的中点，那么∠DAC 的度数是（ ） A.25º B.29º C.30º D.32°3.如图，点D 是弧AC 的中点，则图中与∠ABD 相等的角的个数是（ ）。
圆心角、圆周角的应用
Ａ Ｅ Ｂ＝ ９ ０ 。 一 Ｂ ＝ ３ ６ 。 ． 选 Ａ．
图３
温 馨小提示 ： 掌握平行 四边形 的性质 、 直 径 所 对 的 圆周 角是 直
角 是 解题 的 关键 ．
４ ． 利 用 圆 内 接 四 边 形 对 角 互 补 求 角
例 ４ （ ２ ０ １ ３年 莱 芜 卷 ） 如 图 ４， 在 ｏ ０中， 已知 Ｏ Ａ Ｂ＝ ２ ２ ． ５ 。 ，
则 Ｃ的 度 数 为 （
Ａ． １ ３ ５。
） ．
Ｂ． １ ２ ２． ５。 Ｃ． １ｌ ５． ５。 Ｄ． １ １ ２． ５。
解析 ： 在ｏ ０上 取 一 点 Ｄ（ 点 Ｃ、 点 Ｄ 在 弦 ＡＢ 的 异 侧 ） ， 连 接
Ａ ． 。 ． ＯＢＡ ＝ ＯＡＢ＝２ ２． ５。 ． ＡＤ ＝１ ８ ０。 一 ＯＡＢ一 Ｄ ＝１ ３ ５。 ．
责任 编 辑 ： 王 二 喜
一
０／ 王宗俊
算问题时 ， 往往 有十分重要 的作用 ．
１ ． 利 用 圆心 角 求 圆 周 角
一
圆 心 角 与 圆 周 角 是 与 圆 有 关 的两 个 重 要 的 角 ， 二 者不 同 ， 但 它
们 又好像一 对孪生兄弟 ， 关 系非 常密切 ． 在 解 决 与 圆有 关 的角 的 计
的度数 为（
Ａ． ３ ６。
） ．
Ｂ． ４ ６。 Ｃ． ２ ７。 Ｄ． ６ ３。
解析： ’ ． ’ 四边形 Ａ Ｂ Ｃ Ｄ是 平 行 四边 形 ，
。
．
．
Ｂ＝ ＡＤＣ ＝５ ４。 ．
．
．
．
朋 是 ｏ Ｏ 的直 径 ，
Ｅ＝９ ０。．
平面几何中的圆心角和圆周角的关系
平面几何中的圆心角和圆周角的关系在平面几何中，圆是一种重要的几何图形，它的特殊性质在数学中被广泛研究和应用。
其中，圆心角和圆周角的关系也成为了数学中一道重要的题目。
一、圆心角和圆周角的定义圆是由一条固定的线段，称为半径，围绕着一个固定点，称为圆心，所形成的几何图形。
圆心角是以圆心为顶点的角，圆周角是圆上的两条弧所夹的角。
在一个圆心角所对的弧中，圆周角为其一半。
二、圆心角和圆周角的比例关系圆周角是在圆弧上所夹的角，其大小与所夹圆弧的长度有关，其大小越大，所夹的圆弧也越大。
而圆心角是以圆心为顶点的角，其大小与所夹的弧长也有关，当弧长相等时，圆心角越大，其夹角也越大。
而在同一圆上，对于圆心角和圆周角，其夹角的大小正好呈比例关系。
具体地说，设在同一圆上，圆周角所对的弧为a, 圆心角所对的弧为b。
则它们的夹角大小满足如下公式：圆周角a / 弧长a = 圆心角b / 弧长b通常情况下，弧长等于圆周长的1/4，即弧长= πd / 2，其中d 为圆的直径。
故上述公式可以进一步简化为：圆周角a / πd = 圆心角b / 2这就意味着，同一圆上的圆心角和圆周角的夹角大小，与其所对的弧长是成正比例的。
这是圆形的独特性质，也是许多圆形问题的基础。
三、圆心角和圆周角的应用在实际应用中，圆心角和圆周角的性质经常被用于计算弧长、圆周长和面积等问题。
同时，这些性质也与很多其它数学问题有关。
例如，在三角函数中，圆的等分问题可以转化为求解三角函数值，并利用圆心角和圆周角的性质进行计算；在计算机图形学中，圆的描述和计算也往往基于圆心角和圆周角的性质。
此外，圆心角和圆周角的比例关系还有一种特殊情况，即当圆弧所对角为直径时，其圆心角大小为180度，圆周角大小为半圆弧长。
这种情况下，圆心角和圆周角的夹角大小为定值，可以被用于计算任意角的大小。
例如，在求解三角函数值时，通过将任意角转化为以直径为所对角的圆心角，然后再利用圆心角和圆周角的性质，就可以得出任意角的三角函数值。
圆、圆心角、圆周角 综合
图2OBAC图3OBAC《圆、圆心角、圆周角》 姓名知识点：1、 顶点在圆心，两边与圆相交的角，叫圆心角。
顶点在圆上，两边与圆相交的角，叫圆周角。
2、 圆心角定理：在同圆或等圆中，相等圆心角所对的弦相等、弧相等、所对弦的弦心距也相等。
弧的度数等于弧所对圆心角的度数。
3、 同圆或等圆中（所对）：① 圆心角相等， ② 弦相等 ③ 弧相等 ④ 弦心距相等；任选一个作为条件，其它三个结论成立。
4、 圆周角定理：圆周角的度数等于同弧所对的圆心角度数的一半（等于所对弧度数的一半）。
5、 由圆周角定理可得：半圆（或直径）所对的圆周角是直角。
90O 的圆周角所对的弦是直径，弧是半圆。
6、 等弧的概念：只有在同圆或等圆中才有相等的圆心角所对的是等弧。
夹在两平行弦间的两弧相等。
7、 在半径为R 的圆中，垂直于半径中点的弦长等于 。
例证：证明圆周角的度数等于同弧所对的圆心角度数的一半（分类讨论）圆心在角边上时 圆心在角内时 圆心在角外时 证： 证： 证：一、选择题（24分）1、下列说法不正确的是 （ ）A 圆周角的度数等于所对弧的度数的一半。
B 圆是中心对称图形，也是轴对称图形C 垂直于直径的弦必被直径平分D 劣弧是大于半圆的弧2、在⊙O 中，AB 、AC 是互相垂直的两条弦，AB=8，AC=6，则⊙O 的半径为 （ ）A 4B 5C 8D 103、同圆中两条弦长为10和12，它们的弦心距为m 和n ，则 （ ）A m ＞nB m ＜nC m ＝nD m 、n 的大小无法确定 4、平面上有4个点，它们不在同一直线上，过其中3个点作圆，可以作出不重复的圆n 个，则n 的值不可能为 （ ） A 4 B 3 C 2 D 16、如图，⊙O 的直径CD=10，AB 是⊙O 的弦，AB ⊥CD 于M ，且DM ∶MC=4∶1，则AB 的长是 （ ）A 2B 8C 16 D91图1OBACCBOADDCBEA OACBEDO A CBD CBAOM 46OP第5题 第6题 第7题6、如图，AB 、CD 为⊙O 直径，则下列判断正确的是 （ ）A AD 、BC 一定平行且相等B AD 、BC 一定平行但不一定相等 C AD 、BC 一定相等但不一定平行 D AD 、BC 不一定平行也不一定相等7、点P 为⊙O 内一点，且OP ＝4，若⊙O 的半径为6，则过点P 的弦长不可能为 （ ）A 302B 12C 8D 10.58．如图所示，已知△ACD 和△ABE 都内接于同一个圆，则∠ADC+∠AEB+∠BAC=（ ） A.90° B.180° C.270° D.360°9．如图,AB 是⊙的直径,弦AB CD ⊥于E,如果16,20==CD AB ,那么线段OE 的长为 ( ) A ．10 B.8 C.6 D.4二、填空题（30分）1、．如图，CD 是⊙O 的直径，弦AB ⊥CD ，垂足为OC 的中点M ，AB=20，分别以DM 、CM 为直径作两个大小不同和⊙O 1和⊙O 2，则图中所示阴影部分的面积为 .（结果保留π）2、已知AB 是⊙O 的弦，且AB=OA ，则∠AOB ＝ 度。
新人教版九年级数学(上)——与圆有关的角(圆周角、圆心角)
OA BE FCD课前回顾1、垂径定理的概念及其推论：2、回顾练习：如图：AB 是的直径，CD 是弦，过A 、B 两点作CD 的垂线，垂足分别为E 、F ，若AB=10，AE=3，BF=5，求EC 的长。
知识点一、圆心角1、圆心角的定义：顶点在圆心的角叫做圆心角。
2、圆心角的度数与它所对的弧的度数之间的关系：圆心角的度数等于它所对弧的度数。
3、圆心角定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等。
4、圆心角定理推论：在同圆或等圆中，两个圆心角、两条弦、两条弧、两条弦的弦心距中有一组量相等，其余各组量都相等。
例题讲练例题一、概念理解1．______________的______________叫做圆心角． 2．如图，若长为⊙O 周长的nm，则∠AOB =____________．与圆有关的角——圆心角、圆周角3．在同圆或等圆中，两个圆心角及它们所对的两条弧、两条弦中如果有一组量相等，那么_ _____________________．4．在圆中，圆心与弦的距离(即自圆心作弦的垂线段的长)叫做弦心距，不难证明，在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们的弦心距也______．反之，如果两条弦的弦心距相等，那么_____________________．5. 求证：在同圆或等圆中，两条弦相等，那么它们的弦心距也相等。
例题二、基础应用6．已知：如图，A、B、C、D在⊙O上，AB=CD．求证：∠AOC=∠DOB．7．已知：如图，P是∠AOB的角平分线OC上的一点，⊙P与OA相交于E，F点，与OB 相交于G，H点，试确定线段EF与GH之间的大小关系，并证明你的结论．8．如图，AB为⊙O的直径，C，D为⊙O上的两点，且C为的中点，若∠BAD=20°，求∠ACO的度数．例题三：综合应用9．⊙O中，M为的中点，则下列结论正确的是( )．A．AB>2AM B．AB=2AMC．AB<2AM D．AB与2AM的大小不能确定10．如图，⊙O中，AB为直径，弦CD交AB于P，且OP=PC，试猜想与之间的关系，并证明你的猜想．11．如图，⊙O中，直径AB=15cm，有一条长为9cm的动弦CD在上滑动(点C与A，点D与B不重合)，CF⊥CD交AB于F，DE⊥CD交AB于E．(1)求证：AE=BF；(2)在动弦CD滑动的过程中，四边形CDEF的面积是否为定值?若是定值，请给出证明并求这个定值；若不是，请说明理由．CAB1、圆周角的定义：顶点在圆上，两条边与圆相交的角叫做圆周角．2、圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等；都等于这条弧所对的圆心角的一半。
浙教版九年级上册第三章 3.3垂径定理 圆心角定理 圆周角定理的综合应用
【综合训练提升】1. 如图，⊙O 的两条弦AB ，CD 相交于点M ，直径PQ 过点M ，且MP 评分∠AMC ，则图中相等的线段的对数为（ ）A. 1B. 2C. 3D.4第1题 第2题2. 如图，在⊙O 内有折线OABC ，若OA=8，AB=12，∠A=∠B=60°，则BC 的长为（ ） A. 19 B. 16 C. 18 D.203. 如图，在Rt △ABC 中，AB ⊥BC ，AB ＝6，BC ＝4，P 是△ABC 内部的一个动点，且满足∠P AB ＝∠PBC ，则线段CP 长的最小值为_______.第3题 第4题4. 如图，已知EF 是⊙O 的直径，把∠A 为60°的直角三角尺ABC 的一条直角边BC 放在直线EF 上，斜边AB 与⊙O 交于点P ，点B 与点O 重合；将三角尺ABC 沿OE 方向平移，直至点B 与点E 重合为止．设∠POF ＝x °，则x 的取值范围是________．5. 如图所示，A 是半圆上的一个三等分点，B 是AN ︵的中点，P 是直径MN 上一动点，⊙O 的半径为1，则姓 名 年级：九年级 学科：数 学 第 次课 课时课 题垂径定理 圆心角定理 圆周角定理的综合应用教 学目 标 熟练运用垂径定理、圆心角、圆周角定理解决综合题重 点难 点垂径定理、圆心角定理及圆周角定理的综合应用教 学 过 程P A ＋PB 的最小值是多少？6. 如图，四边形ABCD 的四个顶点在⊙O 上，且对角线AC ⊥BD ，OE ⊥BC 于点E . 求证：OE ＝12AD .7. 如图，⊙O 的两条弦AB ，CD 交于点E ，OE 平分∠BE D. （1）求证：AB ＝C D.（2）若∠BED ＝60°，EO ＝2，求BE －AE 的值.8.（1）如图①，AB 是⊙O 的直径，C ，P 是⊙O 上两点，AB ＝13，AC ＝5.若P 是AB ︵的中点，求P A 的长；（2）如图②，若P 是BC ︵的中点，求P A 的长．9. 如图所示，在⊙O 中，半径OA ⊥OB ，C ，D 是AB ︵的三等分点，AB 分别交OC ，OD 于点E ，F . 求证：AE ＝BF ＝CD .10. 如图，C 为△ABD 外接圆上的一动点(点C 不在BAD ︵上，且不与点B ，D 重合)，∠ACB ＝∠ABD ＝45°. （1）求证：BD 是该外接圆的直径. （2）连结CD ，求证：2AC ＝BC ＋C D.（3）若△ABC 关于直线AB 的对称图形为△ABM ，连结DM ，试探究AM ，BM ，DM 三者之间满足的等量关系，并证明你的结论.11. 如图，半圆的直径AB 长为2，C ，D 是半圆上的两点，若AC ︵的度数为96°，BD ︵的度数为36°，动点P在直径AB 上，求CP ＋PD 的最小值.12. 如图所示，两等圆⊙O 1和⊙O 2，相交于A ，B 两点，且两圆互过圆心，过点B 作任一直线，分别交⊙O 1，⊙O 2于C ，D 两点，连接AC ，AD. （1）试猜想△ACD 的形状，并说明理由；（2）若已知条件中两圆不一定互相过圆心，试猜想△ACD 的形状，并说明理由.13.（1）如图，CD ，AB 所在的直线分别交⊙O 于C ，D ，A ，B 四点，CD ，AB 相交于点P ，若AC ︵的度数为x°，BD ︵的度数为y°（x°＞y°），则∠BPD=12（x°+y°），你认为这个结论正确吗？请说明理由.（2）若CD ，AB 所在的直线的交点P 在⊙O 外，则上述结论还成立吗？若成立，请证明；若不成立，应怎样表示∠BPD?。
《圆周角与圆心角的关系》说课稿
《圆周角与圆心角的关系》说课稿今天我说课的内容是北师大版九年级数学（下册）第三章第三节《圆周角和圆心角的关系》的第一课时。
下面从教材分析、教学方法、学法指导、教学过程、板书设计等五个方面逐一阐述我的设计意图。
一、教材分析1、教材的地位和作用本节课是在学生掌握了圆的有关性质和圆心角概念的基础上进行的，是前面学过的三角形内角和定理的推论和等腰三角形性质的延续，又是下一节课学习圆周角定理的推论的理论依据,还能充分渗透分类讨论的数学思想和方法。
本节课储备的知识，在推理、论证和计算中应用广泛，并且它在研究圆和其他图形中起着桥梁和纽带作用，是本章重点内容之一。
2、教学目标根据课程标准要求，结合学生现有认知水平和本节课教学内容确定以下目标：（1）知识与技能：掌握圆周角的概念及圆周角与圆心角的关系。
体会用类比的方法探索新知，学会以特殊情况为依托，通过转化来解决一般性问题，了解分情况证明数学命题的思想方法。
并能熟练地应用"圆周角与圆心角的关系"进行论证和计算。
（2）过程与方法：经历圆周角定理的探索、证明、应用的过程，养成自主探究、合作交流的学习习惯，体会类比、分类的数学思想方法。
（3）情感态度与价值观：让学生在主动探索、合作交流的过程，获得成功的愉悦，体验实现价值后的快乐，锻炼锲而不舍的意志。
3、教学重、难点根据新课程理念“经历过程带给学生的能力，比具体的结果更重要”。
结合教材内容，本节课的重点是：经历探索“圆周角与圆心角的关系”的过程，理解掌握“圆周角与圆心角的关系”。
难点是：了解圆心与圆周角的三种位置关系，用化归思想合情推理验证“圆周角与圆心角的关系”二、教学方法根据本节课的教学目标、教材内容以及学生的认知特点，教学上采用“探究式”的教学方法。
教师着眼于引导，学生着重于探索。
意在帮助学生通过直观情景观察和自己动手实验，从自己的实践中获取知识，并通过讨论、练习来深化对知识的理解。
本节课采用了多媒体辅助教学，一方面能够直观、生动地反映图形，增加课堂的容量；另一方面有利于突出重点、突破难点，更好地提高课堂效率。
圆周角的定理及推论的应用
圆周角的定理及推论的应用圆周角是数学中的一个重要概念，掌握圆周角的定理及其推论，对于解决许多几何问题非常有帮助。
本文将围绕圆周角的定理及推论的应用展开阐述。
一、圆周角的定义圆周角是指落在圆周上的两条弧所对的角，即两个弧之间的角度量。
一般用大写字母表示圆周角，如∠ABC。
二、圆周角的定理1、相等圆周角定理：在同一个圆周上，所对的圆周角相等。
证明：作弦AB、CD相交于点E，则∠AEB=∠CED。
由于AE、BE、CE、DE均是从一个圆心O引出的弦，故∠AEB=∠CEB，∠CED=∠BED，又因为OE=OE，故OEB≌OED，由此可得∠OEB=∠OED，即∠AEB=∠CED。
2、圆心角的定理：在同一个圆中，所对的圆心角相等。
证明：连接圆心O到AB的中垂线OH，H为AB的中点。
则OH垂直于AB，因此∠AOH、∠BOH均为直角，所以∠AOB=2∠AOH=2∠BOH。
3、正弦定理：在任意三角形ABC中，设a、b、c分别为三角形BC、AC、AB 的边长，R为外接圆半径，则有：sinA=a/2R，sinB=b/2R，sinC=c/2R证明：如下图所示，以AB、BC、CA为边作三角形ABC的外接圆，设圆心为O。
连接AO、BO、CO，过O点作弦AD、BE、CF，则OD=OE=OF=R，所以AOD、BOE、COF都是等边三角形。
因此，∠OAB=∠CFO、∠OBA=∠CEO、∠OBC=∠AEO、∠OCB=∠AFO。
设∠BAC=x，∠ABC=y，∠ACB=z，由三角形内角和公式得：x+y+z=180又由圆周角定理得：∠BOC=2y，∠AOC=2z，∠AOB=2x于是：∠AOB+∠BOC+∠AOC=3602x+2y+2z=360，即x+y+z=180。
将sinA、sinB、sinC带入上述公式中，可得：sinA/BC=sinB/CA=sinC/AB=1/2R即sinA=a/2R，sinB=b/2R，sinC=c/2R。
4、余弦定理：在任意三角形ABC中，设a、b、c分别为三角形BC、AC、AB 的边长，R为外接圆半径，则有：cosA=(b²+c²-a²)/2bc，cosB=(a²+c²-b²)/2ac，cosC=(a²+b²-c²)/2ab证明：将ABC的外接圆的半径延长到BC、AC和AB上分别交于点D、E、F。
最新圆心角和圆周角教案(实用5篇)
最新圆心角和圆周角教案(实用5篇)（经典版）编制人：__________________审核人：__________________审批人：__________________编制单位：__________________编制时间：____年____月____日序言下载提示：该文档是本店铺精心编制而成的，希望大家下载后，能够帮助大家解决实际问题。
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九年级数学上册《圆心角》教案、教学设计
3.拓展提高题：
-选择一道具有一定难度的题目，涉及圆心角与圆周角的综合应用。
-例如：已知一个圆的半径为5cm，求圆内接正六边形的边长和面积。
-学生通过思考和探索，培养几何直观和逻辑思维能力。
4.小组合作题：
-以小组为单位，共同完成一道较复杂的几何题目，要求小组成员共同讨论、分析，共同解决问题。
九年级数学上册《圆心角》教案、教学设计
一、教学目标
（一）知识与技能
1.理解圆心角的定义，掌握圆心角的度量和计算方法。
-掌握圆心角与圆周角的概念及其关系。
-学会使用量角器、圆规等工具测量圆心角。
-掌握圆心角与弧度的互换计算。
2.能够运用圆心角定理解决实际问题，如圆中弧长、圆周长、圆面积的计算。
-掌握圆心角定理及其推论。
1.学生需按时完成作业，字迹工整，表述清晰。
2.家长要关注学生的学习情况，协助学生检查作业，签字确认。
3.教师要及时批改作业，给予反馈，针对学生的薄弱环节进行有针对性的辅导。
-例如：已知圆的直径为10cm，圆内有一条弦长为8cm，求这条弦所对的圆心角的度数。
-通过合作交流，培养学生的团队协作能力和沟通能力。
5.思维导图总结：
-要求学生利用课后时间，绘制一张关于圆心角的思维导图，梳理所学知识点及其相互关系。
-学生可以通过思维导图，加深对圆心角知识的理解和记忆。
作业布置要求：
-通过实际生活中的例子，如自行车轮子、风扇等，引入圆心角的概念。
-设计有趣的问题和练习，引导学生主动发现圆心角的性质和计算方法。
2.采用直观演示、动手操作、合作交流等教学策略，帮助学生掌握圆心角的知识。
圆心角与圆周角(教案)
三、教学难点与重点
1.教学重点
-理解圆心角的概念，掌握圆心角的度数计算方法；
-掌握圆周角的概念，了解圆周角与圆心角的关系；
-学会运用圆心角与圆周角的性质解决实际问题。
举例解释：
(1)圆心角的度数计算：通过实例让学生明白圆心角的度数是以圆心为顶点的角所对的圆弧的度数，例如，一个圆心角所对的圆弧为1/4圆周长，则该圆心角为90°。
1.培养学生空间观念，理解圆心角与圆周角的概念，提高对图形的认识和分析能力；
2.培养学生逻辑推理能力，通过探索圆心角与圆周角之间的关系，掌握推理方法，增强解决问题的逻辑思维；
3.培养学生数学抽象素养，将实际问题抽象为数学模型，运用圆心角与圆周角知识解决具体问题；
4.培养学生数学运算能力，熟练运用圆心角与圆周角的性质进行计算，提高运算速度和准确性；
3.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调圆心角的度数计算和圆周角与圆心角的关系这两个重点。对于难点部分，我会通过实际例题和图形比较来帮助大家理解。
（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与圆心角与圆周角相关的实际问题。
2.实验操作：为了加深理解，我们将进行一个简单的实验操作，如使用量角器和圆形纸片来实际测量圆心角和圆周角。
圆心角与圆周角（教案）
一、教学内容
本节课选自八年级数学下册第五章“圆”，围绕“圆心角与圆周角”的相关概念进行深入探讨。主要内容如下：
1.圆心角的概念及其度数计算；
2.圆周角的概念及其与圆心角的关系；
3.探究在同圆或等圆中，圆心角、圆周角的大小关系；
4.应用圆心角与圆周角解决实际问题。
人教版数学九年级圆心角和圆周角关系定理的理解和解题运用
人教版数学九年级圆心角与圆周角关系定理的理解与解题运用一、知识解读1、圆周角与圆心角的关系：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对圆心角的一半。
在理解关系定理的内涵时，要理清如下几点：①定理的使用范围：必须在同圆中，这是一种情况；第二是必须在等圆中。
否则，不能乱用定理。
②理解好两种等量关系一是同弧所对的圆周角相等，二是等弧所对的圆周角相等。
这是寻找角相等的基本方向。
③确定准圆周角的度数大小一是同弧所对的圆周角相等，且等于这条弧所对圆心角的一半。
二是等弧所对的圆周角相等，且等于这条弧所对圆心角的一半。
④理解好“一半”的意义在这里，有两层意义：一是当同弧或等弧所对的圆周角与圆心角度数不知道时，满足如下等量关系： 设所对的圆周角是∠1，所对的圆心角是∠2，则∠1=21∠2，或∠2=2∠1， 二是当同弧或等弧所对的圆周角与圆心角度数知道时，满足如下等量关系： 设所对的圆周角是∠1=x °，所对的圆心角是∠2=y °，则x=21 y °，或y=2 x °， 2、推论在同圆或等圆中，半圆所对的圆周角是直角；直径所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径。
二、考点剖析考点1、直接用定理例1、如图1所示，⊙O 中，弦AB DC ，的延长线相交于点P ，如果120AOD ∠=o ，25BDC ∠=o ，那么P ∠= ．方法解读：∠AOD 、∠ABD 是同一条弧，AD 弧上的圆心角和圆周角，根据定理就能求∠ABD 的度数； ∠ABD 是三角形PBD 的一个外角，所以，∠ABD=∠BDC+∠P ；这样，就把所求与已知联系起来了。
解：因为，∠AOD 、∠ABD 是同一条弧，AD 弧上的圆心角和圆周角，所以，∠ABD=21∠AOD=21×120°=60°， 因为，∠ABD 是三角形PBD 的一个外角，所以，∠ABD=∠BDC+∠P ，因为，∠BDC=25°，所以，∠P=60°-25°=35°。
弧对应的圆心角和圆周角
弧对应的圆心角和圆周角
目录
1.圆心角和圆周角的定义
2.弧与圆心角和圆周角的关系
3.圆心角和圆周角的计算公式
4.弧、圆心角和圆周角在实际问题中的应用
正文
一、圆心角和圆周角的定义
圆心角是指以圆心为顶点，以两条射线分别与圆周相交所构成的角。
圆周角是指以圆周上的一点为顶点，以两条射线分别与圆周相交所构成的角。
圆心角和圆周角的度数可以用度数或弧度表示。
二、弧与圆心角和圆周角的关系
弧是指圆周上的一段弯曲部分。
圆心角对应的弧称为圆心角弧，圆周角对应的弧称为圆周角弧。
圆心角弧和圆周角弧的长度与对应的圆心角和圆周角的大小成正比。
三、圆心角和圆周角的计算公式
圆心角的大小可以用以下公式计算：
圆心角 = 弧长 / 半径
圆周角的大小可以用以下公式计算：
圆周角 = 弧长 / 半径× 360° / 2π
四、弧、圆心角和圆周角在实际问题中的应用
在解决实际问题时，弧、圆心角和圆周角的概念和计算公式非常有用。
例如，在建筑设计中，需要计算圆弧形结构的长度和角度；在机械制造中，需要根据圆心角和圆周角加工齿轮等零件。
掌握圆心角和圆周角的计算方法，有助于解决这类实际问题。
总之，弧、圆心角和圆周角是几何学中的基本概念，它们在解决实际问题中发挥着重要作用。
冀教版数学九年级上册28.3《圆心角和圆周角》教学设计
冀教版数学九年级上册28.3《圆心角和圆周角》教学设计一. 教材分析冀教版数学九年级上册28.3《圆心角和圆周角》是本节课的主要内容。
本节课主要让学生了解圆心角和圆周角的概念，掌握圆心角和圆周角之间的关系，并能够运用这一关系解决一些实际问题。
教材通过生动的实例和丰富的练习，帮助学生理解和掌握圆心角和圆周角的知识。
二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经掌握了圆的基本概念和性质，如圆的周长、直径等。
但他们对圆心角和圆周角的概念可能还不够清晰，需要通过实例和练习来进一步理解和掌握。
此外，学生可能对圆心角和圆周角之间的关系有一定的好奇心，希望能够通过本节课的学习找到答案。
三. 教学目标1.知识与技能：让学生了解圆心角和圆周角的概念，掌握圆心角和圆周角之间的关系。
2.过程与方法：通过观察、操作、思考、交流等过程，培养学生的观察能力、动手能力和解决问题的能力。
3.情感态度与价值观：激发学生对数学的兴趣和好奇心，培养他们积极参与数学学习的态度，提高他们的合作意识和解决问题的能力。
四. 教学重难点1.圆心角和圆周角的概念。
2.圆心角和圆周角之间的关系。
五. 教学方法1.启发式教学法：通过提问、引导、讨论等方式，激发学生的思考和兴趣，引导学生主动探索圆心角和圆周角之间的关系。
2.实例教学法：通过生动的实例，帮助学生理解和掌握圆心角和圆周角的概念及它们之间的关系。
3.合作学习法：学生进行小组讨论和合作，培养学生的合作意识和解决问题的能力。
六. 教学准备1.教学PPT：制作教学PPT，包括圆心角和圆周角的定义、性质和例题等内容。
2.实例和练习题：准备一些实例和练习题，用于引导学生观察和操作，巩固所学知识。
3.教学用具：准备一些圆规、量角器等数学用具，方便学生进行观察和操作。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过提问方式引导学生回顾圆的基本概念和性质，为新课的学习做好铺垫。
2.呈现（15分钟）介绍圆心角和圆周角的概念，并用PPT展示一些实例，让学生观察和理解圆心角和圆周角的特点。
圆周角和圆心角的计算
圆周角和圆心角的计算圆周角和圆心角是圆的两个重要概念，在几何学中有重要的应用和计算方法。
本文将介绍圆周角和圆心角的定义和计算方法，并提供相关实例。
一、圆周角的定义和计算方法圆周角是指以圆心为顶点，所夹的弧对应的角度。
一般用字母θ表示。
根据圆的性质，整个圆的度数为360°。
因此，圆周角所夹的弧的度数也等于圆周角本身的度数。
当所夹弧的长度等于半径r时，圆周角的度数为360°。
根据圆的比例，可以用下列公式计算圆周角的度数：θ = (L / C) × 360°其中，L代表所夹弧的长度，C代表整个圆的周长。
因此，圆周角的计算主要涉及弧长和周长的计算。
实例一：假设一个圆的周长为30 cm，其中所夹弧的长度为5 cm，求圆周角的大小。
解：根据公式，θ = (5 / 30) × 360° = 60°因此，所求圆周角的大小为60°。
二、圆心角的定义和计算方法圆心角是指以圆心为顶点，所夹的两条半径对应的角度。
一般用字母α表示。
根据圆的性质，整个圆的周角为360°，因此圆心角的度数也等于它所对应的弧所夹的圆周角的度数。
根据圆的比例，可以用下列公式计算圆心角的度数：α = (θ / 2) × 360°其中，θ代表弧所夹的圆周角的度数。
因此，圆心角的计算主要涉及圆周角的计算。
实例二：在实例一中，圆周角的大小为60°，则圆心角的大小为：α = (60° / 2) × 360° = 180°因此，所求圆心角的大小为180°。
结论：本文介绍了圆周角和圆心角的定义和计算方法，并提供了相应的实例。
理解圆周角和圆心角的计算对于几何学的学习和应用非常重要，希望读者通过本文的介绍能够更好地掌握和运用这两个概念。
圆心角和圆周角的综合应用
圆心角与圆周角复习、知识梳理1圆心角圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角.1 °圆心角所对的弧叫做1°的弧. n 。
的圆心角所对的弧就是n°的弧.2、圆心角的性质性质1在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等；相等的弦或相等的弧所对的圆心角相等.性质2：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦、两个弦心距中有一对量相等，那么它们所对应的其余各组量都相等.如图所示，0吐AB于E, OF丄CD于F,若下列四个等式：①/ AOB M COD②AB=CD③AB = CD；④OP OF中有一个等式成立，则其他三个等式也成立，即:若①成立一②，③，④成立；若②成立 r①，③，④成立;若③成立一①，②，④成立；若④成立「①，②，③成立.特别强调:(1) 不能忽略“在同圆或等圆中”这个前提条件，若没有这一条件，虽然圆心角相等, 但所对的弧、弦不一定相等.(2) 若无特殊说明，性质中“弧” 一般指劣弧.3、圆周角(1) 圆周角：顶点在圆上，两边和圆相交的角叫做圆周角.(2) 圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半.推论1:半圆(或直径)所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径.推论2：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等；相等的圆周角所对的弧相等.4、重要结论：圆的内接四边形对角互补习题库同弧（等弧）所对的圆周角相等；同弧（等弧）所对的弦相等；同弧（等弧）所对的圆周角等于圆心角的一半；在处理角的问题时，除了要熟悉和圆相关的角的性质外，还要熟悉三角形角的性质、四边形角的性质，并能将这些性质进行综合应用。
（1）同弧与圆心角、圆周角的关系1. 如图，点A、B、P在O O上，点P为动点，要是△ ABP为等腰三角形，则所有符合条件的点P有个•2.如图, △ ABC内接于圆0上A = 50：上ABC于点E , 连结DC，则/ AEB =二60 , BD是圆O的直径，BD交AC3.如图, ABD= AB是O O的直径，弦DC与AB相交于点____ ，/ CEB=.E,若/ ACD=60，/ ADC=50，则/4 .如图，△ ABC内接于O O,点P是AC上任意一点（不与A、C重合），ZABC =55 ,则/ POC的取值范围是CAED=5. 如图，△ ABC 是O 0的内接三角形，点D 是BC 的中点，已知/ AOB=98 , / COB=120 .则Z ABD 的度数是 ______________ .（2）等弧与圆周角1如图所示，AB 是O O 的直径，AD= DE,AE 与BD 交于点C,则图中与/ DBE 相等的角有（ A. 2个2.如图, A.25o B.29o C.30o D.32 °3.如图, A 4 占 八D 是弧AC 的中点，则图中与/ ABD 相等的角的个数是（B 、3C 、2D 、 14.如图，AB 是O 0的直径，弦CD 丄AB, E 是AD 上一点， D . 5个(已知AB 是半圆0的直径, 若 / BCD=35,（3）弦与圆心角、圆周角的关系1、已知O O 中的弦AB 长等于半径，则弦AB 所对的圆周角为2、一条弦分圆为1： 4两部分，这弦所对的圆周角的度数为 _________________3、在O C 中，弦AB 把O O 分为度数比为1: 5的两条弧，则弦AB 所对的圆周角的度数为 ⑷ 1.如图，在LIO 中，.AOB 的度数为m, C 是ACB 上一点，D , E 是AB 上不同的两点_______ 和圆心角为 __________（不与A, B 两点重合），则.D • . E 的度数为 C. 90 +m2A.mB . 180：D.2.如图. 中，AB AC 是弦，O 在/ ABO 的内部, ABO =・, ACO =1： , BOC =二, ,正确的是（A.八：B. 二则下列关系中 cDO O-八3603.如图，已知O O的弦AB CD相交于点E, ：i的度数为60°，'川的度数为100，则/ AEC=则/ BPC 的度数是（ ） A. 45 B . 60 C . 75 D90：4. 如图，△ ABC 是O O 的内接三角形，且 AB* AC / ABC 和/ ACB 的平分线分别交O O 于点 D, E ，且 BD=CE 则/ A =.(5)圆与内接四边形 1.如图，两圆相交于A ,B 两点，小圆经过大圆的圆心.ADB =100，则.ACB = .O,点 C , D 分别在两圆上，若2. 如图，正方形 ABCD 是O O 的内接正方形，点 P 在劣弧CD 上不同于点C 得到任意一点,ABO 的度数。
九年级数学上册 28.3 圆心角与圆周角 圆的知识在足球比赛中的应用素材 (新版)冀教版
圆的知识在足球比赛中的应用
题目：如图1，在一次足球比赛场上，甲、乙两名队员互相配合向对方球门MN进攻，当甲带球冲到点A时，乙已经跟随冲到点B，从数学角度看，此时甲是自己射门好，还是将球传给乙，让乙射门好？为什么？
分析：从数学角度看，甲、乙谁射门好，关键是比较∠MAN与∠MBN的大小，角度越大，射门的机会越好。
如何比较∠MAN与∠MBN的大小呢？
如图2，过M、B、N三点作⊙O，发现点A落在⊙O的外部，连结CN。
根据圆周角定理的推论得，∠MBN＝∠MCN；在△CAN中，根据三角形内角和定理的推论得，∠MCN＞∠MAN，所以∠MBN＞∠MAN，所以甲将球传给乙，让乙射门更好些。
当然我们也可以过M、A、N三点作圆。
如图3，过M、A、N三点作⊙O′，发现点B落在⊙O’的内部，延长MB交⊙O’于点D，连结DN。
根据圆周角定理的推论得，∠MDN＝∠MAN；在△BND中，根据三角形内角和定理的推论得，∠MBN＞∠MDN，同样可得∠MBN＞∠MAN。
图1
图1
图3
1。
【素材3】用圆周角与圆心角的关系解题
用圆周角与圆心角的关系解题我们知道，在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角都等于该弧所对的圆心角的一半，即同圆或等圆中圆周角相等，可以得到圆心角也相等.利用圆周角与圆心角的这种关系，我们求解许多与之相关的问题，现举例说明.例1 已知：如图1，⊙O 的两条弦AE ，BC 相交于点D ，连结AC ，BE ，AO ，BO ，若∠ACB ＝60°，则下列结论中正确的是（ ）A.∠AOB ＝60°B.∠ADB ＝60°C.∠AEB ＝60°D.∠AEB ＝30°分析 由于已知的是圆周角的大小，则由在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角都等于该弧所对的圆心角的一半，可以确定圆周角∠AEB 和圆心角∠AOB 的大小，于是问题即可求解.解 因为∠ACB ＝60°，所以圆周角∠AEB ＝60°，圆心角∠AOB ＝120°.故应选C .说明 利用圆周角与圆心角的关系性质解题时一定要注意其前提条件是：在同圆或等圆中.例2 如图2，已知：⊙O 是△ABC 的外接圆，∠BAC ＝50°，∠ABC ＝47°，求∠AOB . 分析 要求∠AOB 的大小，只要能求出∠C ，此时的∠C 是△ABC 的内角，结合已知条件即可求解.解 因为⊙O 是△ABC 的外接圆，所以∠CAB 、∠ABC 、∠C 都是圆周角，∠AOB 是圆心角.又因为∠BAC ＝50°，∠ABC ＝47°，所以∠C ＝180°－(∠A +∠B )＝180°－(50°+47°)＝83°. 由圆周角定理，得∠C ＝12∠AOB ，所以∠AOB ＝2∠C ＝2×83°＝166°. 说明 求解此类问题时，一定要正确理解圆周角的概念，掌握圆周角定理及其证明的思路，另外，圆周角定理也可以理解成：“一条弧所对的圆心角等于它所对的圆周角的二倍.”例3 已知⊙O 的弦AB 长等于⊙O 的半径，求此弦AB 所对的圆周角的度数.分析 本题虽然给出了明确的已知条件，但由于没有提供图形，所以要分情况求解. 解 下面分两种情况：如图3所示，连接OA ，OB ，在⊙O 上任取一点C ，连接CA ，CB .因为AB ＝OA ＝OB ，所以∠AOB ＝60°，所以∠ACB ＝12∠AOB ＝30°.即弦AB 所对的圆周角等于30°.如图4所示，连接OA ，OB ，在劣弧上任取一点D ，连接AD ，OD ，BD ，则∠BAD ＝12图1 图2OCB图3 O B A 图4 O D BA∠BOD ，∠ABD ＝12∠AOD .所以∠BAD +∠ABD ＝12(∠BOD +∠AOD )＝12∠AOB . 因为AB 的长等于⊙O 的半径，所以△AOB 为等边三角形，∠AOB ＝60°.所以∠BAD +∠ABD ＝30°，∠ADB ＝180°－(∠BAD +∠ABD )＝150°，即弦AB 所对的圆周角为150°.说明 分类讨论是研究与圆有关问题的重要思想方法，当给出的问题不够明确时一定要考虑分情况来解决，以防漏解.下面两道题目供同学们自己练习：如图5中，∠BOD 的度数是（ ）A.55°B.110°C.125°D.150°参考答案：点拨：要求∠BOD 的度数，由图形可知，只要能求出¼BCD的大小，而事实上¼BCD 的大小是由»BC与»CD 构成的，此时由已知条件可以分别求出»BC 与»CD 的大小，从而可以求解.即因为∠A ＝25°，∠E ＝30°，所以»BC 的大小是50°，»CD 的大小是60°，即¼BCD的大小是110°.又因为∠BOD 的度数等于¼BCD 的大小，所以∠BOD ＝110°.故应选B .图5C。
圆周角和圆心角的关系教案
圆周角和圆心角的关系教案教案：圆周角和圆心角的关系教学目标：1.理解圆周角和圆心角的定义；2.掌握圆周角和圆心角的关系；3.运用所学知识解决实际问题。
教学准备：1.教材：《数学必修二》；2.教具：投影仪、计算器。
教学过程：Step 1：导入新知1.讲解圆周角和圆心角的概念。
圆周角：圆上的两条弧所对的角叫做圆周角。
圆心角：由圆心射出的两条弧所对的角叫做圆心角。
2.提问学生：“在圆上，两条弧所对的角是否相等？”3.引导学生发现，根据圆周角的定义，圆周角的度数等于弧所对的圆心角的一半。
Step 2：讲解圆周角和圆心角的关系1.通过投影仪展示有关圆周角和圆心角的图形，并示范解题方法。
2.教师讲解定理：“在同一个圆或等圆中，所对圆心角相等的圆周角也相等；所对圆周角相等的圆心角也相等。
”Step 3：练习1.完成教材《数学必修二》的相关习题。
2.制定小组练习题，提高学生之间的合作学习能力。
Step 4：运用1.学生进行一些实际问题的解答，如“一个园丁想在花园中心种一圈花，他决定每两株花之间的夹角是圆心角45°，他一共要种多少株花？”引导学生运用圆周角和圆心角的关系解题。
2.学生自主完成其他实际问题的解答。
Step 5：总结1.归纳总结圆周角和圆心角的关系，明确圆周角等于所对圆心角的一半。
2.提问巩固所学内容。
教学扩展：1.学生之间进行小组竞赛，比赛谁能最快解出题目中的圆周角和圆心角的关系。
2.学生利用计算器综合运用所学知识解决实际问题。
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圆心角与圆周角复习一、知识梳理1、圆心角圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角．1°圆心角所对的弧叫做1°的弧． n°的圆心角所对的弧就是n°的弧．2、圆心角的性质性质1：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等；相等的弦或相等的弧所对的圆心角相等．性质2：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦、两个弦心距中有一对量相等，那么它们所对应的其余各组量都相等．如图所示，OE⊥AB于E，OF⊥CD于F，若下列四个等式：①∠AOB=∠COD；②AB=CD；③；④OE＝OF中有一个等式成立，则其他三个等式也成立，即：若①成立②，③，④成立；若②成立①，③，④成立；若③成立①，②，④成立；若④成立①，②，③成立．特别强调：(1)不能忽略“在同圆或等圆中”这个前提条件，若没有这一条件，虽然圆心角相等，但所对的弧、弦不一定相等．(2)若无特殊说明，性质中“弧”一般指劣弧．3、圆周角(1)圆周角：顶点在圆上，两边和圆相交的角叫做圆周角．(2)圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半．推论1：半圆(或直径)所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径．推论2：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等；相等的圆周角所对的弧相等．4、重要结论：圆的内接四边形对角互补习题库 一．同弧（等弧）所对的圆周角相等； 同弧（等弧）所对的弦相等；同弧（等弧）所对的圆周角等于圆心角的一半；在处理角的问题时，除了要熟悉和圆相关的角的性质外，还要熟悉三角形角的性质、四边形角的性质，并能将这些性质进行综合应用。
(1)同弧与圆心角、圆周角的关系1.如图，点A 、B 、P 在⊙O 上，点P 为动点，要是△ABP 为等腰三角形，则所有符合条件的点P 有 个.2. 如图，ABC △内接于圆O ，50A = ∠，60ABC = ∠，BD 是圆O 的直径， BD 交AC于点E ，连结DC ，则AEB ∠= .3.如图，AB 是⊙O 的直径，弦DC 与AB 相交于点E ，若∠ACD=60°，∠ADC=50°，则∠ABD= ，∠CEB= .4．如图，△ABC 内接于⊙O ，点P 是C A上任意一点（不与C A 、重合），POC ABC ∠=∠则,55的取值范围是 ．(2)等弧与圆周角 1．如图所示，AB 是⊙O 的直径，AD ＝DE ，AE 与BD 交于点C ，则图中与∠DBE 相等的角有( ) A ．2个 B ．3个 C ．4个D ．5 个2.如图，已知AB 是半圆O 的直径，∠BAC=32º，D 是弧AC 的中点，那么∠DAC 的度数是（ ） A.25º B.29º C.30º D.32°3.如图，点D 是弧AC 的中点，则图中与∠ABD 相等的角的个数是（ ）。
A 、4 B 、3 C 、2 D 、14. 如图， AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB, E 是AD 上一点，若∠BCD=350，则∠AED= .5.如图，△ABC 是⊙O 的内接三角形，点D 是 BC 的中点，已知∠AOB=98°，∠COB=120°．则∠ABD 的度数是 .DBOAC（3）弦与圆心角、圆周角的关系 1、已知⊙O 中的弦AB 长等于半径，则弦AB 所对的圆周角为 和圆心角为 ． 2、一条弦分圆为1：4两部分，这弦所对的圆周角的度数为 。
3、 在⊙O 中，弦AB 把⊙O 分为度数比为15∶的两条弧，则弦AB 所对的圆周角的度数为 (4)1．如图，在O 中，AOB ∠的度数为m C ，是 ACB 上一点，D E ，是 AB 上不同的两点（不与A B ，两点重合），则D E ∠+∠的度数为（ ） A ．mB ．1802m-C ．902m +D ．2m2．如图.⊙O 中，AB 、AC 是弦，O 在∠ABO 的内部，α=∠ABO ，β=∠ACO ，θ=∠BOC ，则下列关系中,正确的是（ ） A.βαθ+= B. βαθ22+= C ．︒=++180θβα D. ︒=++360θβα3.如图，已知⊙O 的弦AB 、CD 相交于点E,的度数为60°，的度数为100°，则∠AEC= .4. 如图，△ABC 是⊙O 的内接三角形，且AB ≠AC ，∠ABC 和∠ACB 的平分线分别交⊙O 于点D, E ，且BD=CE ，则∠A = .5.如图，在∆ABC 中，∠A=700，圆O 截∆ABC 的三条边所得的弦长都相等，求∠ABO 的度数。
(5)圆与内接四边形1．如图，两圆相交于A ，B 两点，小圆经过大圆的圆心O ，点C ，D 分别在两圆上，若100ADB ∠=︒，则ACB ∠= .2．如图，正方形ABCD 是⊙O 的内接正方形，点P 在劣弧CD 上不同于点C 得到任意一点，则∠BPC 的度数是（ ）A ．45B ．60C ．75D ．903．如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，∠BOD=1600, 则∠BAD 的度数是 ，∠BCD 的度数O P D CBA是 .4. 如图，在⊙O中，弦AD//BC ,DA=DC, ∠AOC=1600，则∠BCO= .5．如图， AB，AC是⊙O的两条弦，且AB=AC, D是 BC上一点， P是 AC上一点，若∠BDC=1500, 则∠APC= .(6)1. 如图，P为圆外一点，PA交圆于点A,B，PC交圆于点C, D, BD=750, AC=150，则∠P= .2. 如图，PB交⊙O于点A , B，PD交⊙O于点C , D，已知 DQ=420 , BQ=380，则∠P＋∠Q的度数为 .3. 如图，∠A 的两边交⊙O 于点B . C , E , D ，若 :::1:3:4:4BDBC CE DE =，则∠A 的度数为.4. 如图，AB 是半圆O 的直径，AC =600, 020BE =，∠AFC=∠BFD ，∠AGD=∠BGE ， 则∠FDG 的度数为 .5.如图，点D 为边AC 上一点，点O 为边AB 上一点，AD=DO.以O 为圆心，OD 长为半径作半圆，交AC 于另一点E ，交AB 于点F ，G ，连接EF.若∠BAC=22º，则∠EFG=__________.6.已知：如图，△ABC 的中，AB=AC ，点B 、C 都在⊙O 上，AB 、AC 交⊙O 于D 、E 两点， 求证：⋂⋂=CE BDEDOCBA二．在处理弧度问题，角度问题，弦的长度时，要适当的注意转换，比如：一些看似求角度相等的问题，我们可以转换成求弧度相等。
也就是在同圆或等圆中，如果知道圆心角、圆周角、弦心距、弧、弦这些量有一对量相等，就可以导出其它的量相等。
（1）1. 如图，D,E 分别是⊙O 的半径OA,OB 上的点,CD ⊥OA,CE ⊥OB,CD=CE,则AC 与CB 弧长的大小关系是 .2. 如图， A, B, C, D 四点都在⊙O 上， AD 是⊙O 的直径，且AD=6cm ，若∠ABC=∠CAD ．则弦AC= .3.如图，△ABC 内接于⊙O ，AB=BC ，∠ABC=120°，AD 为⊙O 的直径，AD ＝6，那么BD ＝_________．4. 如图，AB 是⊙O 的直径，C 是⊙O 上一点，OD 是半径，且OD //AC ．求证： CDBDABCDO5. 如图，AB, CD 是⊙O 的两条弦，且AB=CD , 点M 是 AC 的中点，求证：MB=MD.6.已知，如图，AE 是⊙O 的直径，AF ⊥BC 于D ，求证：BE ＝CF 。
7. 如图,AB, CD 是⊙O 的两条直径，过点A 作AE//CD 交⊙O 于点E ，连结BD , DE.求证：BD=DE.8.如图,平行四边形ABCD 中,以A 为圆心,AB 为半径的圆分别交AD 、BC 于F 、G,•延长BA 交圆于E.求证:EF=FG.9．已知：AB 是⊙O 的弦，D 是 AB 的中点，过B 作AB 的垂线交AD 的延长线于C ． 求证：AD ＝DCDoCFEBAGFEDCB A10.如图，⋂AB 的度数为900，点C 和点D 将⋂AB 三等分，半径OC 、OD 分别和弦AB 交于E 、F 。
求证：AE ＝CD ＝FB 。
11. 如图， AB 是⊙O 的直径，C, D 是AB 上的点，且AC=BD; P ，Q 是⊙O 上在AB 同侧的两点，且 AP BQ=,延长PC, QD 分别交⊙O 于点M, N ．求证： AM BN =12.如图已知在⊙O 中，AB ＝CD ，AB 、CD 的延长线相交于⊙O 外一点P ，求证：PA ＝PC13.如图，P 为⊙O 的直径EF 延长线上一点，PA 交⊙O 于点B, A ，PC 交⊙O 于点D, C 两点，∠1=∠2，求证： PB=PD.14. 如图，在△ABC 中，AD, BE, CF 是三条高，交点为H ，延长AH 交外接圆于点M ， 试证：DH =DMDC O B A P15.如图，在△ABC 中，∠B = Rt ∠，∠A = 600，以点B 为圆心，AB 为半径画圆，交AC 于点D,交BC 于点E ．求证： (1)2AD ED =; ( 2 ) D 是AC 的中点．16.如图，在圆O 中，AB 是圆的直径，CD 是弦，AB ⊥CD.(1)点P 是弧CAD 上一点（不与C 、D 重合），求证：∠CPD=∠COB.(2)点P 是劣弧CD 上一点（不与C 、D 重合），∠CPD 与∠COB 有说明数量关系.17. 如图，BC 是⊙O 的直径，弦 AE ⊥BC ，垂足为点D,12AB BF =,AE 与BF 相交于点G.求证：(1) BEEF =；(2)BG=GE18. 如图，O 为等腰三角形ABC 的底边AB 的中点，以AB 为直径的半圆分别交AC, BC 于点E ，求证： (1 )∠AOE=∠BOD; (2 )AD BE =.19.如图，△ABC 内接于圆⊙O,∠BAD=∠CAD,DE//AB,DE 交AC 于P,交⊙O 于E 。
求证：（1）OD 是BC 的中垂线； (2)AC=DE ；(3)PO 平分∠APD 。
20. 如图，MN 为半圆O 的直径，半径OA ⊥MN, D 为OA 的中点，过点D 作BC//MN ， 求证：( 1 ) 四边形ABOC 为菱形； (2)∠MNB=18∠BAC.21． 如图所示，已知AB 为⊙O 的直径，CD 是弦，且AB ⊥CD 于点E ．连接AC 、OC 、BC ． （1）求证：∠ACO=∠BCD ．（2）若EB=8cm ，CD=24cm ，求⊙O 的直径．22.已知：如图，AB 是⊙O 的直径，点C 、D 为圆上两点，且弧CB ＝弧CD ，CF ⊥AB 于点F ，CE ⊥AD 的延长线于点E ． （1）试说明：DE ＝BF ；（2）若∠DAB ＝60°，AB ＝6，求△ACD 的面积．23．如图，AB 是⊙O 的直径，C 是的中点，CE ⊥AB 于 E ，BD 交CE 于点F ．（1）求证：CF ﹦BF ；（2）若CD ﹦6， AC ﹦8，则⊙O 的半径为 ，CE 的长是 ．24.如图，BC 是半圆的直径，AD ⊥BC ，垂足为点D ，弧BA=弧AF,BF 与AD 交于点E. (1)求证：AE=BE.(2)若点A 、F 把半圆三等分，BC=12，求AE 的长。