北京第二十中学九年级数学上册第一单元《一元二次方程》检测题(答案解析)

一、选择题
1．用配方法解方程x 2﹣6x ﹣3＝0，此方程可变形为（ ）
A ．（x ﹣3）2＝3
B ．（x ﹣3）2＝6
C ．（x+3）2＝12
D ．（x ﹣3）2＝12 2．用配方法解方程x 2﹣4x ﹣7＝0，可变形为（ ） A ．（x+2）2＝3
B ．（x+2）2＝11
C ．（x ﹣2）2＝3
D ．（x ﹣2）2＝11 3．下列方程中，没有实数根的是（ ）
A ．2670x x ++=
B ．25260x x --=
C ．22270x x -=
D ．2220x x -+-= 4．某超市今年1月份的营业额为50万元，已知2月至3月营业额的月增长率是1月至2月营业额的月增长率的2倍，3月份的营业额是66万元，设该超市1月至2月营业额的月增长率为x ，根据题意，可列出方程（ ）
A ．()50166x +=
B ．()250166x +=
C ．()2501266x +=
D ．()()5011266x x ++=
5．x=－2是关于x 的一元二次方程2x 2+3ax －2a 2=0的一个根，则a 的值为（ ） A ．1或4
B ．－1或－4
C ．－1或4
D ．1或－4 6．等腰三角形的底边长为6，腰长是方程28150x x -+=的一个根，则该等腰三角形的周
长为（ ）
A ．12
B ．16
C ．l2或16
D ．15
7．用一条长40cm 的绳子怎样围成一个面积为75cm 2的矩形？设矩形的一边为x 米，根据题意，可列方程为（ ）
A ．x （40－x ）＝75
B ．x （20－x ）＝75
C ．x （x ＋40）＝75
D ．x （x ＋20）＝7
8．已知关于x 的一元二次方程()22210x m x m -+＝-有实数根，则m 的取值范围是（ ） A ．0m ≠ B ．14m C ．14m < D ．14
m > 9．已知x 1、x 2是一元二次方程x 2﹣4x ﹣1＝0的两个根，则x 1•x 2等于（ ） A ．4 B ．1 C ．﹣1 D ．﹣4
10．实数,m n 分别满足方程2199910m m ++=和219990n n ++=，且1mn ≠，求代数式41mn m n
++的值（ ） A ．5- B ．5 C ．10319- D ．10319
11．已知一元二次方程x 2﹣6x+c ＝0有一个根为2，则另一根及c 的值分别为（ ） A ．2，8
B ．3，4
C ．4，3
D ．4，8 12．已知方程2202030x x +-=的根分别为a 和b ，则代数式2a a 2020a b ++的值为
（ ）
A ．0
B ．2020
C ．1
D ．-2020
二、填空题
13．生物学家研究发现，很多植物的生长都有这样的规律：即主干长出若干数目的支干后，每个支干又会长出同样数目的小分支．现有符合上述生长规律的某种植物，它的主干、支干和小分支的总数是91，则这种植物每个支干长出多少个小分支？设这种植物每个支干长出x 个小分支，可列方程___________．
14．对于实数m ，n ，定义一种运算“*”为：*m n mn n =+．如果关于x 的方程
()**1x a x 4
=-有两个相等的实数根，则a =_______． 15．一元二次方程2210x x -+=的一次项系数为_________．
16．用配方法解方程x 2+4x+1＝0，则方程可变形为（x+2）2＝_____．
17．一元二次方程()10x x -=的根是________________________．
18．一件商品原价300元，连续两次降价后，现售价是243元，若每次降价的百分率相同，那么这个百分率为______．
19．已知2x =是关于x 的方程220x x m ++=的一个根，则m =_________．
20．关于x 的一元二次方程有两个根0和3，写出这个一元二次方程的一个一般式为______．
参考答案
三、解答题
21．（1）x 2﹣8x+1＝0；
（2）2（x ﹣2）2＝x 2﹣4．
22．某口罩生产厂生产的口罩1月份平均日产量为30000个，1月底因突然爆发新冠肺炎疫情，市场对口罩需求量大增，为满足市场需求，厂决定从2月份起扩大产量，3月份平均日产量达到36300个．
（1）求口罩日产量的月平均增长率；
（2）按照这个增长率，预计4月份平均日产量为多少？
23．火锅是重庆人民钟爱的美食之一；解放碑某老火锅店为抓住“十一黄金周”这个商机，通过网上广告宣传和实地派发传单等一系列促销手段吸引了不少本地以及外地游客，火锅店门庭若市．据店员统计；仅“十一黄金周”前来店内就餐选择红汤火锅和清汤火锅的游客共2500人，其中红汤火锅和清汤火锅的人均消费分别为80元和60元．
（1）“十一”期间，若选择红汤火锅的人数不超过清汤火锅人数的1.5倍，求至少有多少人选择清汤火锅？
（2）随着“十一”的结束，前来店内就餐的人数逐渐减少，据接下来的第二周统计数据显示，与（1）选择清汤火锅的人数最少时相比，选择红汤火锅的人数下降了a %，选择清汤火锅的人数不变，但选择红汤火锅的人均消费增长了a %，选择清汤火锅的人均消费增长了1%5
a ，最终第二周两种火锅的销售总额与（1）中选择清汤火锅的人数最少时两种火锅的
销售总额相等，求a 的值．
24．手工课上，小明打算用一张周长为40cm 的长方形白纸做一张贺卡，白纸内的四周涂上宽为2cm 的彩色花边，小明想让中间白色部分的面积大于彩色花边的面积，但又不能确定能否办到．请同学们帮助小明判断他是否能办到，并说明理由．
25．解下列方程：
（1）2810x x --=；（2）2(2)6(2)80x x ---+=．
参考答案
26．阅读下列材料，解答问题．
222(25)(37)(52)x x x -++=+．
解：设25,
37m x n x =-=+，则52m n x +=+， 原方程可化为222()m n m n +=+，
0mn ，即(25)(37)0x x -+=．
250x ∴-=或370x +=，解得1257,23x x =
=-． 请利用上述方法解方程：222(45)(32)(3)x x x -+-=-．
【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除
一、选择题
1．D
解析：D
【分析】
先移项，再把方程两边同时加上一次项系数一半的平方，最后配方即可得新答案．
【详解】
由原方程移项得：x 2﹣6x ＝3，
方程两边同时加上一次项系数一半的平方得：x 2﹣6x+9＝12，
配方得；（x ﹣3）2＝12．
故选：D ．
【点睛】
此题主要考查配方法的运用，配方法的一般步骤为：移项、二次项系数化为1、两边同时加上一次项系数一半的平方、配方完成；熟练掌握配方法的步骤并熟记完全平方公式是解题关键．
2．D
解析：D
【分析】
方程常数项移到右边，两边加上4变形得到结果即可．
【详解】
解：x 2﹣4x ﹣7＝0，
移项得：247x x -=
配方得：24474x x -+=+ ，即2()211x -=
故答案为：D ．
【点睛】
本题考查了解一元二次方程-配方法，熟练掌握完全平方公式是解题的关键．
3．D
解析：D
【分析】
根据判别式的意义对各选项进行判断．
【详解】
A 、224641780b ac =-=-⨯⨯=>，则方程有两个不相等的实数根，所以A 选项不符合题意；
B 、()()2
24541261290b ac =-=--⨯⨯-=>，则方程有两个不相等的实数根，所以B 选项不符合题意；
C 、()224274207290b ac =-=--⨯⨯=>，则方程有两个不相等的实数根，所以C 选项不符合题意；
D 、()()224241240b ac =-=-⨯-⨯-=-<，则方程没有实数根，所以D 选项符合题意．
故选：D ．
【点睛】
本题考查了根的判别式：一元二次方程20ax bx c ++=(0a ≠)的根与24b ac =-有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△=0时，方程有两个相等的实数根；当△＜0时，方程无实数根．
4．D
解析：D
【分析】
根据2月份的营业额=1月份的营业额×（1+x ），3月份的营业额=2月份的营业额×（1+2x ），把相关数值代入即可得到相应方程．
【详解】
解：∵1月份的营业额为50万元，2月份的营业额比1月份增加x ，
∴2月份的营业额=50×（1+x ），
∴3月份的营业额=50×（1+x ）×（1+2x ），
∴可列方程为：50（1+x ）（1+2x ）=66．
故选：D ．
本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程中求平均变化率的方法．若设变化前的量为a ，变化后的量为b ，平均变化率为x ，则经过两次变化后的数量关系为a （1±x ）2=b ．注意先求得2月份的营业额．
5．D
解析：D
【分析】
根据一元二次方程的解的定义知，x=－2满足关于x 的一元二次方程2x 2+3ax －2a 2=0，可得出关于a 的方程，通过解方程即可求得a 的值．
【详解】
解：将x=－2代入一元二次方程2x 2+3ax －2a 2=0，
得：()()2
22-23-2-20a a ⨯+⋅=，
化简得：2+340a a -=，
解得：a=1或a=-4．
故选：D ．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的解的定义．一元二次方程ax 2+bx+c=0（a≠0）的所有解都满足该一元二次方程的关系式． 6．B
解析：B
【分析】
利用因式分解法解方程求出x 的值，再根据等腰三角形的概念和三角形三边关系确定出三角形三边长度，继而得出答案．
【详解】
解：∵x 2-8x+15=0，
∴（x-3）（x-5）=0，
则x-3=0或x-5=0，
解得x 1=3，x 2=5，
①若腰长为3，此时三角形三边长度为3、3、6，显然不能构成三角形，舍去； ②若腰长为5，此时三角形三边长度为5、5、6，可以构成三角形，
所以该等腰三角形的周长为5+5+6=16，
故选：B ．
【点睛】
本题主要考查等腰三角形的概念、三角形三边的关系、解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
7．B
解析：B
根据长方形的周长可以用x 表示另一边，然后根据面积公式即可列出方程.
【详解】
解：设矩形的一边为x 米，则另一边为（20-x ）米，
∴x （20－x ）＝75，
故选：B.
【点睛】
此题考查一元二次方程的实际应用，根据题意抽象出一元二次方程是解题的关键. 8．B
解析：B
【分析】
由方程有实数根即△＝b 2﹣4ac ≥0，从而得出关于m 的不等式，解之可得．
【详解】
解：根据题意得，△＝b 2﹣4ac ＝[﹣（2m ﹣1）]2﹣4m 2＝﹣4m +1≥0， 解得：14m
， 故选：B ．
【点睛】
本题主要考查根的判别式，熟练掌握一元二次方程的根与判别式间的关系是解题的关键． 9．C
解析：C
【分析】
据一元二次方程的根与系数的关系得到两根之和即可．
【详解】
解：∵方程x 2-4x-1=0的两个根是x 1，x 2，
∴x 1∙x 2=-1．
故选：C ．
【点睛】
本题考查了一元二次方程ax 2+bx+c=0的根与系数关系，两根之和是-b a ，两根之积是c a ． 10．A
解析：A
【分析】
由219990n n ++=可得211199910n n
⋅
+⋅+=，进而可得1,m n 是方程2199910x x ++=的两个根，然后根据一元二次方程的根与系数的关系可求解．
【详解】 解：由219990n n ++=可得211199910n n
⋅+⋅+=，
∴1,m n
是方程2199910x x ++=的两个根， ∴19911,1919m m n n +
=-⋅=， ∴4119914451919
mn m m m n n n ++=+⋅+=-+⨯=-； 故选A ．
【点睛】
本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．
11．D
解析：D
【分析】
设方程的另一个根为t ，根据根与系数的关系得到t +2＝6，2t ＝c ，然后先求出t ，再计算c 的值．
【详解】
解：设方程的另一个根为t ，
根据题意得t +2＝6，2t ＝c ，
解得t ＝4，c ＝8．
故选：D ．
【点睛】
本题考查了根与系数的关系：若x 1，x 2是一元二次方程ax 2+bx+c=0（a≠0）的两根时，x 1+x 2=-b a ，x 1x 2=c a
． 12．A
解析：A
【分析】
将a 代入方程，可得2202030a a +-=，即220302a a =-，代入要求的式子，即可得到3+ab ，而a 、b 是方程的两个根，根据韦达定理，可求出ab 的值，即可求出答案．
【详解】
解：∵方程2202030x x +-=的根分别为a 和b
∴2202030a a +-=，即220302a a =-
∴2a a 2020a b ++=32020a -+ab+2020a=3+ab
∵ab=-3
∴2a a 2020a b ++=32020a -+ab+2020a=3+ab=3-3=0
故选：A ．
【点睛】
本题主要考查一元二次方程的解以及韦达定理，熟练解代入方程以及观察式子特点，抵消
部分式子是解决本题的关键．
二、填空题
13．1+x+x2=91【分析】如果设每个支干分出x个小分支根据每个支干又长出同样数目的小分支可知：支干的数量为x个小分支的数量为x•x=x2个然后根据主干支干和小分支的总数是91就可以列出方程【详解】解
解析：1+x+x2=91
【分析】
如果设每个支干分出x个小分支，根据“每个支干又长出同样数目的小分支”可知：支干的数量为x个，小分支的数量为x•x=x2个，然后根据主干、支干和小分支的总数是91就可以列出方程．
【详解】
解：依题意得支干的数量为x个，
小分支的数量为x•x=x2个，
那么根据题意可列出方程为：1+x+x2=91，
故答案为：1+x+x2=91．
【点睛】
本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程的知识，找到关键描述语，找到等量关系是解决问题的关键．
14．0【分析】由于定义一种运算*为：m*n=mn+n所以关于x的方程x*（a*x）=变为（a+1）x2+（a+1）x+=0而此方程有两个相等的实数根所以根据判别式和一元二次方程的一般形式的定义可以得到关
解析：0
【分析】
由于定义一种运算“*”为：m*n=mn+n，所以关于x的方程x*（a*x）=
1
4
-变为（a+1）x2+
（a+1）x+1
4
=0，而此方程有两个相等的实数根，所以根据判别式和一元二次方程的一般
形式的定义可以得到关于a的关系式，即可解决问题．【详解】
解：由x*（a*x）=
1
4
-得（a+1）x2+（a+1）x+
1
4
=0，
依题意有a+1≠0，
△=（a+1）2-（a+1）=0，
解得，a=0，或a=-1（舍去）．
故答案为：0．
【点睛】
此题考查了新定义，一元二次方程的判别式，解题时首先正确理解新定义的运算法则得到
关于x 的方程，然后根据判别式和一元二次方程的定义得到关系式解决问题．
15．-2【分析】根据一元二次方程的一次项系数的定义即可求解【详解】解：一元二次方程x2－2x ＋1＝0一次项系数是：－2故答案为：－2【点睛】此题考查了一元二次方程的一般形式准确掌握一般式中的相关概念是解
解析：-2
【分析】
根据一元二次方程的一次项系数的定义即可求解．
【详解】
解：一元二次方程x 2 －2x ＋1＝0一次项系数是：－2．
故答案为：－2．
【点睛】
此题考查了一元二次方程的一般形式，准确掌握一般式中的相关概念是解题的关键． 16．3【分析】先移项再两边配上4写成完全平方公式即可【详解】解：∵∴即故答案为：3【点睛】本题考查了用配方法解一元二次方程掌握用配方法解一元二次方程的步骤即可
解析：3
【分析】
先移项，再两边配上4，写成完全平方公式即可．
【详解】
解：∵241x x +=-，
∴24414x x ++=-+，即()223x +=，
故答案为：3．
【点睛】
本题考查了用配方法解一元二次方程，掌握用配方法解一元二次方程的步骤即可． 17．【分析】利用因式分解法把原方程转化为x=0或x-1=0然后解两个一次方程即可；【详解】∵∴x=0或x-1=0解得故答案为：【点睛】本题考查了一元二次方程的解法先把方程的右边化为0再把左边通过因式分解
解析：120,1x x ==
【分析】
利用因式分解法把原方程转化为x=0或x-1=0，然后解两个一次方程即可；
【详解】
∵()10x x -= ，
∴ x=0或x-1=0，
解得1x =0，21x = ，
故答案为：1x =0，21x =
【点睛】
本题考查了一元二次方程的解法，先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，求解即可；
18．10【分析】设这个百分率为x 然后根据题意列出一元二次方程最后求解即可【详解】解：设这个百分率为x 由题意得：300（1-x ）2=243解得x=10或x=190（舍）故答案为10【点睛】本题主要考查了一
解析：10%
【分析】
设这个百分率为x%，然后根据题意列出一元二次方程，最后求解即可．
【详解】
解：设这个百分率为x%，
由题意得：300（1-x%）2=243，解得x=10或x=190（舍）．
故答案为10%．
【点睛】
本题主要考查了一元二次方程的应用—百分率问题，弄清题意、设出未知数、列出一元二次方程成为解答本题的关键．
19．－8【分析】利用方程的根的性质把x=2代入方程得到关于m 的方程解这个方程即可【详解】已知是关于x 的方程的一个根故答案为：-8【点睛】本题考查一元二次方程的根问题掌握方程的根的性质会用方程的解代入构造 解析：－8
【分析】
利用方程的根的性质把x=2代入方程得到关于m 的方程，解这个方程即可
【详解】
已知2x =是关于x 的方程220x x m ++=的一个根，
22220m +⨯+=
8m =-
故答案为：-8
【点睛】
本题考查一元二次方程的根问题，掌握方程的根的性质，会用方程的解代入构造参数方程是解题关键
20．【分析】根据方程的解的定义可以得到方程【详解】解：根据题意知方程符合题意即：故答案是：【点睛】本题主要考查了一元二次方程的解的定义熟悉相关性质是解题的关键
解析：230x x -=
【分析】
根据方程的解的定义可以得到方程-=(3)0x x ．
【详解】
解：根据题意，知方程-=(3)0x x 符合题意，
即：230x x -=．
故答案是：230x x -=．
【点睛】
本题主要考查了一元二次方程的解的定义，熟悉相关性质是解题的关键．
三、解答题
21．（1）x 1＝x 2＝42）x 1＝2，x 2＝6．
【分析】
（1）先配方、然后运用直接开平方求解即可；
（2）先将等式右边因式分解，然后移项，最后用因式分解法求解即可．
【详解】
解：（1）x 2﹣8x+1＝0，
x 2﹣8x ＝﹣1，
x 2﹣8x+16＝﹣1+16，
（x ﹣4）2＝15，
∴x ﹣4＝
∴x
1＝x 2＝4
（2）∵2（x ﹣2）2＝x 2﹣4，
∴2（x ﹣2）2﹣（x+2）（x ﹣2）＝0，
则（x ﹣2）（x ﹣6）＝0，
∴x ﹣2＝0或x ﹣6＝0．
解得x 1＝2，x 2＝6．
【点睛】
本题主要考查了一元二次方程的解法，掌握配方法、直接开平方法和因式分解法是解答本题的关键．
22．（1）口罩日产量的月平均增长率为10%；（2）预计4月份平均日产量为39930个．
【分析】
（1）根据题意设口罩日产量的月平均增长率为x ，根据题意列出方程即可求解；
（2）结合（1）按照这个增长率，根据3月份平均日产量为36300个，即可预计4月份平均日产量．
【详解】
（1）设口罩日产量的月平均增长率为x ，
根据题意，得30000（1＋x ）2＝36300，
解得x 1＝−2.1（舍去），x 2＝0.1＝10%，
答：口罩日产量的月平均增长率为10%；
（2）36300（1＋10%）＝39930（个）．
答：预计4月份平均日产量为39930个．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的应用，解决本题的关键是掌握增长率问题应用题的等量关系． 23．（1）至少有1000人选择清汤火锅；（2）a 的值为10
【分析】
（1）设有x 人选择清汤火锅，则有（2500﹣x ）人选择红汤火锅，根据选择红汤火锅的人数不超过清汤火锅人数的1.5倍列出一元一次不等式，然后解不等式取其最小值即可； （2）根据第二周两种火锅的销售总额与（1）中选择清汤火锅的人数最少时两种火锅的销售总额相等列出关于a 的一元二次方程，然后解方程取其正值即可解答．
【详解】
解：（1）设有x 人选择清汤火锅，则有（2500﹣x ）人选择红汤火锅，根据题意， 得：2500﹣x≤1.5x ，
解得：x≥1000，
答：至少有1000人选择清汤火锅；
（2）根据题意，得：
80（1+a%）×（2500﹣1000）（1﹣a%）+60（1+
15
a%）×1000=80×（2500﹣1000）+60×1000，
整理，得：12x 2﹣120a=0，
解得：a 1=10，a 2=0（不合题意，舍去），
答：a 的值为10．
【点睛】
本题考查一元一次不等式的应用、一元二次方程的应用，解答的关键是理解题意，找准数量间的关系，正确列出不等式和方程．
24．不能办到，见解析
【分析】
设中间部分的面积为：S 求出S 与x 的关系式，即关于中间部分的面积公式，并求出该二次函数的最大值，即中间部分的最大值，与花边部分的面积相比较，若大于则能做到，小于则做不到．
【详解】
答：不能办到．
理由：设纸的一边长为cm x
则另一边为(20)cm x -．
依题意得：
彩色花边面积为：2222(204)64x x ⨯⨯+⨯⨯--=
中间白色部分面积为：22(4)(16)2064(10)36S x x x x x =--=-+-=--+ 416x <<,
当10x =时，白色部分面积最大为36．
3664<，
∴小明不能办到．
【点睛】
本题主要考查一元二次方程的应用，关键在于理解清楚题意找出等量关系，即：花边部分的面积=总面积-中间部分的面积；已知花边部分的面积，而中间部分的面积又不定，只需求出中间部分面积的最值与其比较即可．
25．（1）14x =24x =2）16x =，24x =．
【分析】
（1）先对原方程配方，然后再运用直接开平方法解答即可；
（2）先对原方程配方，然后再运用直接开平方法解答即可．
【详解】
解：（1）2810x x --=
281x x -=
281617x x -+=
()2417x -=
4x -=
14x =，24x =
（2）2(2)6(2)80x x ---+=
[]2(2)31x --=
51x =±，
16x =，24x =．
【点睛】
本题考查了运用配方法解一元二次方程，正确的对原方程配方成为解答本题的关键．
26．x 1=
54，x 2=23
【分析】 设m ＝4x -5，n ＝3x -2，则m -n ＝（4x -5）-（3x -2）＝x -3，代入后求出mn ＝0，即可得出（4x -5）（3x -2）＝0，求出即可．
【详解】
解：（4x -5）2+（3x -2）2＝（x -3）2，
设m ＝4x -5，n ＝3x -2，则m -n ＝（4x -5）-（3x -2）＝x -3，
原方程化为：m 2+n 2＝（m -n ）2，
整理得：mn ＝0，
即（4x -5）（3x -2）＝0，
∴4x -5＝0，3x -2＝0，
∴x 1=54，x 2=23
． 【点睛】
本题考查了解一元二次方程，能把一元二次方程转化成（4x-5）（3x-2）＝0是解此题的关键．。