高中数学选修2-1课时作业10-3.1.5 空间向量运算的坐标表示

3.1.5 空间向量运算的坐标表示
【同步测控】
1．已知a ＝(1，－2,1)，a ＋b ＝(－1,2，－1)，则b 等于( )
A ．(2，－4,2)
B ．(－2,4，－2)
C ．(－2,0，－2)
D ．(2,1，－3)
2．已知a ＝(1,0,1)，b ＝(－2，－1,1)，c ＝(3,1,0)，则|a －b ＋2c |等于( )
A ．310
B ．210
C.10 D ．5
3．已知空间三个向量a ＝(1，－2，z )，b ＝(x,2，－4)，c ＝(－1，y,3)，若它们分别两两垂直，则x ＝________，y ＝________，z ＝________.
4．已知O 为坐标原点，A 、B 、C 三点的坐标分别是(2，－1,2)、(4,5，－1)、(－2,2,3)．求
点P 的坐标，使：AP →＝12
(AB →－AC →)．
【课时训练】
一、选择题
1．已知向量a ＝(4，－2，－4)，b ＝(6，－3,2)，则下列结论正确的是( )
A ．a ＋b ＝(10，－5，－6)
B ．a －b ＝(2，－1，－6)
C ．a·b ＝10
D ．|a |＝6
2．若a ＝(a 1，a 2，a 3)，b ＝(b 1，b 2，b 3)，则a 1b 1＝a 2b 2＝a 3b 3
是a∥b 的( )
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
3．已知向量a ＝(1,1,0)，b ＝(－1,0,2)，且ka ＋b 与2a －b 互相垂直，则k 的值是( )
A ．1 B.15
C.35
D.75
4．已知A 点的坐标是(－1，－2,6)，B 点的坐标是(1,2，－6)，O 为坐标原点，则向量OA →与
OB →的夹角是( )
A ．0 B.π2
C ．π D.3π2
5．若a ＝(2x,1,3)，b ＝(1，－2y,9)，且a 与b 为共线向量，则( )
A ．x ＝1，y ＝1
B ．x ＝12，y ＝－12
C ．x ＝16，y ＝－32
D ．x ＝－16，y ＝32
6．△ABC 的顶点分别为A (1，－1,2)，B (5，－6,2)，C (1,3，－1)，则AC 边上的高BD 等于
( )
A ．5 B.41
C ．4
D ．2 5
二、填空题
7．已知△ABC 的三个顶点为A (3,3,2)、B (4，－3,7)、C (0,5,1)，M 为BC 的中点，则|AM →|
＝________.
8．在△ABC 中，已知AB →＝(2,4,0)，BC →＝(－1,3,0)，则∠ABC ＝________.
9．已知点A ，B ，C 的坐标分别为(0,1,0)，(－1,0，－1)，(2,1,1)，点P 的坐标为(x,0，
z )，若PA →⊥AB →，PA →⊥AC →，则点P 的坐标为________．
三、解答题
10．已知向量a ＝(4，－2，－4)，b ＝(6，－3,2)．求：
(1)|b |；(2)(2a ＋3b )·(a －2b )．
11．已知向量a ＝(1，－3,2)，b ＝(－2,1,1)，以及点A (－3，－1，4)，B (－2，－2,2)．
(1)求|2a ＋b |；
(2)在直线AB 上是否存在一点E ，使OE →⊥b (O 为原点)．
12．如图，直三棱柱ABC ­A 1B 1C 1的底面ABC 中，CA ＝CB ＝1，∠BCA ＝90°，
棱AA 1＝2，M 、N 分别是A 1B 1、A 1A 的中点．
(1)求BN →的模；
(2)求异面直线BA 1与CB 1所成角的余弦值；
(3)求证：A 1B ⊥C 1M .
[答案]
【同步测控】
1．[答案]B.
[解析]b ＝(a ＋b )－a ＝(－1,2，－1)－(1，－2,1)＝(－2,4，－2)．
2．[答案]A.
[解析]∵a －b ＋2c ＝(1,0,1)－(－2，－1,1)＋(6,2,0)＝(3,1,0)＋(6,2,0)＝(9,3,0)， ∴|a －b ＋2c |＝310.
3．[解析]∵a⊥b ，
∴x －4－4z ＝0.
∵a⊥c ，
∴－1＋(－2)y ＋3z ＝0.
∵b⊥c ，
∴－x ＋2y －12＝0，
∴x ＝－64，y ＝－26，z ＝－17.
[答案]－64 －26 －17
4．[答案]解：AB →＝(2,6，－3)，AC →＝(－4,3,1)．
设P 为(x ，y ，z )，则AP →＝(x －2，y ＋1，z －2)，
∵12(AB →－AC →)＝AP →＝(3，32
，－2)． ∴x ＝5，y ＝12，z ＝0，则点P 坐标为(5，12
，0)．
【课时训练】
一、选择题
1．[答案]D.
[解析]a ＋b ＝(10，－5，－2)，a －b ＝(－2,1，－6)，a·b ＝22，|a |＝6，∴A 、B 、C 错．
2．[答案]A.
[解析]当b 1·b 2·b 3≠0时，a 1b 1＝a 2b 2＝a 3b 3＝λ⇔⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝λb 1a 2＝λb 2a 3＝λb 3⇔a∥b ；
当b 1·b 2·b 3＝0时，不妨设b 1＝0，则“a 10
”无意义． 3．[答案]D.
[解析]∵a ＝(1,1,0)，b ＝(－1,0,2)，
∴ka ＋b ＝(k ，k,0)＋(－1,0,2)＝(k －1，k,2)，
2a －b ＝(2,2,0)－(－1,0,2)＝(3,2，－2)．
∵(ka ＋b )⊥(2a －b )，
∴3(k －1)＋2k －4＝0，即k ＝75
. 4．[答案]C.
[解析]cos 〈OA →，OB →〉＝OA →·OB →|OA →||OB →|
＝－1－4－361＋4＋361＋4＋36
＝－1. ∴〈OA →，OB →〉＝π.
5．[答案]C.
[解析]∵a ＝λb (λ∈R)，
∴(2x,1,3)＝(λ，－2yλ，9λ)(λ∈R)．
由9λ＝3，得λ＝13. ∴2x ＝13.∴x ＝16
. 又1＝－23y ，∴y ＝－32
. 6．[答案]A.
[解析]设AD →＝λAC →(λ∈R)，D (x ，y ，z )，
则(x －1，y ＋1，z －2)＝λ(0,4，－3)，
∴x ＝1，y ＝4λ－1，z ＝2－3λ.
∴BD →＝(－4,4λ＋5，－3λ)．又AC →＝(0,4，－3)，
∴4(4λ＋5)－3(－3λ)＝0.∴λ＝－45
. ∴BD →＝ ⎝
⎛⎭⎪⎫－4，95，125. ∴|BD →|＝
－42＋⎝ ⎛⎭⎪⎫952＋⎝ ⎛⎭
⎪⎫1252＝5.
二、填空题
7．[解析]M (2,1,4)，∴AM →＝(－1，－2,2)．
∴|AM →|＝1＋4＋4＝3.
[答案]3
8．[解析]∵BA →＝(－2，－4,0)，BC →＝(－1,3,0)，
∴BA →·BC →＝2－12＋0＝－10，
|BA →|＝－22＋－42＋0＝25，
|BC →|＝10，
∴cos 〈BA →，BC →〉＝BA →·BC →|BA →|·|BC →|＝－1025×10
＝－22， ∴∠ABC ＝135°.
[答案]135°
9．[解析]由已知得PA →＝(－x,1，－z )，
AB →＝(－1，－1，－1)，AC →＝(2,0,1)．
又PA →⊥AB →，PA →⊥AC →，
∴PA →·AB →＝x －1＋z ＝0，
PA →·AC →＝－2x ＋0－z ＝0，
即x ＋z ＝1,2x ＋z ＝0，
∴x ＝－1，z ＝2，
∴点P 的坐标为(－1,0,2)．
[答案](－1,0,2)
三、解答题
10．[答案]解：(1)|b |＝b 2＝62＋－32＋22＝7；
(2)(2a ＋3b )·(a －2b )＝2a 2＋3a·b －4a·b －6b 2
＝2×62－22－6×72＝－244.
11．[答案]解：(1)2a ＋b ＝(2，－6,4)＋(－2,1,1)＝(0，－5,5)，
所以|2a ＋b |＝02＋－52＋52＝5 2.
(2)OE →＝OA →＋AE →＝OA →＋tAB →＝(－3，－1,4)＋t (1，－1，－2)＝(－3＋t ，－1－t,4－2t )(t
∈R)，若OE →⊥b ，则OE →·b ＝0，即－2(－3＋t )＋(－1－t )＋(4－2t )＝0，解得t ＝95
，故存在点E ，使OE →⊥b ，此时E 点坐标为(－65，－145，25
)．
12．[答案]解：以C 为坐标原点，以CA →、CB →、CC 1→的方向为x 轴、y 轴、z 轴的正方向，建立
空间直角坐标系Cxyz ，如图．
(1)由题意得
N (1,0,1)，B (0,1,0)，
∴|BN →|＝12＋－12＋12＝ 3.
(2)依题意得A 1(1,0,2)，B (0,1,0)，C (0,0,0)，B 1(0,1,2)，C 1(0,0,2)．
∴BA 1→＝(1，－1,2)，CB 1→＝(0,1,2)，
BA 1→·CB 1→＝3.
∴|BA 1→|＝6，|CB 1→|＝5，
∴cos 〈BA 1→，CB 1→〉＝BA 1→·CB 1→|BA 1→||CB 1→|
＝3010， ∴异面直线BA 1与CB 1所成角的余弦值为3010
. (3)证明：∵A 1B →＝(－1,1，－2)，
C 1M →＝(12，12
，0)， ∴A 1B →·C 1M →＝－1×12＋1×12
＋(－2)×0＝0， ∴A 1B →⊥C 1M →，即A 1B ⊥C 1M .。