带电粒子在复合场中的运动压轴难题知识点及练习题及答案

带电粒子在复合场中的运动压轴难题知识点及练习题及答案
一、带电粒子在复合场中的运动压轴题
1．下图为某种离子加速器的设计方案.两个半圆形金属盒内存在相同的垂直于纸面向外的匀强磁场.其中MN 和M N ''是间距为h 的两平行极板，其上分别有正对的两个小孔O 和
O '，O N ON d ''==，P 为靶点，O P kd '=（k 为大于1的整数）。

极板间存在方向向
上的匀强电场，两极板间电压为U 。

质量为m 、带电量为q 的正离子从O 点由静止开始加速，经O '进入磁场区域.当离子打到极板上O N ''区域（含N '点）或外壳上时将会被吸收。

两虚线之间的区域无电场和磁场存在，离子可匀速穿过。

忽略相对论效应和离子所受的重力。

求：
（1）离子经过电场仅加速一次后能打到P 点所需的磁感应强度大小； （2）能使离子打到P 点的磁感应强度的所有可能值；
（3）打到P 点的能量最大的离子在磁场中运动的时间和在电场中运动的时间。

【来源】2015年全国普通高等学校招生统一考试物理（重庆卷带解析) 【答案】（1）22qUm B =
（2）22nqUm
B =，2(1,2,3,,1)n k =-（3）
22
22(1)t qum k -磁22(1)=k m t qU
-电【解析】 【分析】
带电粒子在电场和磁场中的运动、牛顿第二定律、运动学公式。

【详解】
（1）离子经电场加速，由动能定理：
2
12
qU mv =
可得2qU
v m
=
磁场中做匀速圆周运动：
2
v qvB m r
=
刚好打在P 点，轨迹为半圆，由几何关系可知：
2
kd r =
联立解得B =
（2）若磁感应强度较大，设离子经过一次加速后若速度较小，圆周运动半径较小，不能直接打在P 点，而做圆周运动到达N '右端，再匀速直线到下端磁场，将重新回到O 点重新加速，直到打在P 点。

设共加速了n 次，有：
212
n nqU mv =
2n
n n
v qv B m r =
且：
2
n kd r =
解得：B =
，
要求离子第一次加速后不能打在板上，有
12
d r >
且：
2112
qU mv =
2
111
v qv B m r =
解得：2n k <，
故加速次数n 为正整数最大取21n k =- 即：
B =
2(1,2,3,
,1)n k =-；
（3）加速次数最多的离子速度最大，取21n k =-，离子在磁场中做n -1个完整的匀速圆周运动和半个圆周打到P 点。

由匀速圆周运动：
22r m
T v qB
ππ=
=
22=(
1)222(1)
T t n T qum k -+=-磁
电场中一共加速n 次，可等效成连续的匀加速直线运动.由运动学公式
221(1)2
k h at -=
电 qU
a mh
=
可得：22(1)=k m
t h qU
-电
2．如图甲所示，空间存在一范围足够大的垂直于xOy 平面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为B ．让质量为m ，电荷量为q （q ＞0）的粒子从坐标原点O 沿xOy 平面以不同的初速度大小和方向入射到磁场中．不计重力和粒子间的影响．
（1）若粒子以初速度v 1沿y 轴正向入射，恰好能经过x 轴上的A （a ，0）点，求v 1的大小；
（2）已知一粒子的初速度大小为v （v ＞v 1），为使该粒子能经过A （a ，0）点，其入射角θ（粒子初速度与x 轴正向的夹角）有几个？并求出对应的sin θ值；
（3）如图乙，若在此空间再加入沿y 轴正向、大小为E 的匀强电场，一粒子从O 点以初速度v 0沿y 轴正向发射．研究表明：粒子在xOy 平面内做周期性运动，且在任一时刻，粒子速度的x 分量v x 与其所在位置的y 坐标成正比，比例系数与场强大小E 无关．求该粒子运动过程中的最大速度值v m ．
【来源】2013年全国普通高等学校招生统一考试理科综合能力测试物理（福建卷带解析) 【答案】⑴；⑵两个 sin θ=
；⑶
＋
．
【解析】
试题分析：(1)当粒子沿y 轴正向入射，转过半个圆周至A 点，半径R 1＝a/2
由运动定律有2
111
v Bqv m R =
解得12Bqa
v m
=
(2)如右图所示，O 、A 两点处于同一圆周上，且圆心在
x ＝
2
a
的直线上，半径为R ，当给定一个初速率v 时，
有2个入射角，分别在第1、2象限． 即 sinθ′＝sinθ＝
2a R
另有2
v Bqv m R
=
解得 sinθ′＝sinθ＝
2aqB
mv
(3)粒子在运动过程中仅电场力做功，因而在轨道的最高点处速率最大，用y m 表示其y 坐标，由动能定理有 qEy m ＝12mv 2
m －12
mv 20 由题知 v m ＝ky m
若E ＝0时，粒子以初速度v 0沿y 轴正向入射，有 qv 0B ＝m 20
v R
在最高处有 v 0＝kR 0 联立解得22
()m E E v v B B
=
++
考点：带电粒子在符合场中的运动；动能定理．
3．如图所示，以两虚线为边界，中间存在平行纸面且与边界垂直的水平电场，宽度为
d ，两侧为相同的匀强磁场，方向垂直纸面向里．一质量为m 、带电量q +、重力不计的
带电粒子，以初速度1v 垂直边界射入磁场做匀速圆周运动，后进入电场做匀加速运动，然后第二次进入磁场中运动，此后粒子在电场和磁场中交替运动．已知粒子第二次在磁场中运动的半径是第一次的二倍，第三次是第一次的三倍，以此类推．求：
（1）粒子第一次经过电场的过程中电场力所做的功1W （2）粒子第n 次经过电场时电场强度的大小n E （3）粒子第n 次经过电场所用的时间n t
（4）假设粒子在磁场中运动时，电场区域场强为零．请画出从粒子第一次射入磁场至第三次离开电场的过程中，电场强度随时间变化的关系图线（不要求写出推导过程，不要求标明坐标刻度值）．
【来源】河北省衡水中学滁州分校2018届高三上学期全真模拟物理试题
【答案】（1）2
1132mv W =
（2）21(21)2n n mv E qd +=（3
）1
2(21)n d t n v =+ （4）如图；
【解析】 （1）根据mv r qB =，因为212r r =，所以212v v =，所以22
1211122
W mv mv =-, （2）
=
，
，所以
．
（3），，所以．
(4)
4．如图所示，在xOy 平面直角坐标系中，直角三角形ACD 内存在垂直平面向里磁感应强度为B 的匀强磁场，线段CO=OD=L ，CD 边在x 轴上，∠ADC=30°。

电子束沿y 轴方向以相同的速度v 0从CD 边上的各点射入磁场，已知这些电子在磁场中做圆周运动的半径均为
3
L
，在第四象限正方形ODQP 内存在沿x 轴正方向、大小为E=Bv 0的匀强电场，在y=－L 处垂直于y 轴放置一足够大的平面荧光屏，屏与y 轴交点为P 。

忽略电子间的相互作用，不计电子的重力。

(1)电子的比荷；
(2)从x 轴最右端射入电场中的电子打到荧光屏上的点与P 点间的距离： (3)射入电场中的电子打到荧光屏上的点距P 的最远距离。

【来源】【市级联考】河北省唐山市2019届高三下学期第一次模拟考试理科综合物理试题 【答案】(1) 03v e m BL = (2) 23
L (3) 3
4L 【解析】 【分析】
根据电子束沿速度v 0射入磁场，然后进入电场可知，本题考查带电粒子在磁场和电场中的运动，根据在磁场中做圆周运动，在电场中做类平抛运动，运用牛顿第二定律结合几何知识并且精确作图进行分析求解； 【详解】
（1）由题意可知电子在磁场中的轨迹半径3
L
r = 由牛顿第二定律得2
Bev m r
v =
电子的比荷
3e m BL
v =； （2）若电子能进入电场中，且离O 点右侧最远，则电子在磁场中运动圆轨迹应恰好与边AD 相切，即粒子从F 点离开磁场进入电场时，离O 点最远：
设电子运动轨迹的圆心为O '点。

则23
L OF x ==
从F 点射出的电子，做类平抛运动，有2
232L Ee x m t
==，0y t v = 代入得23
L y =
电子射出电场时与水平方向的夹角为θ有122
y tan x θ=
= 所以，从x 轴最右端射入电场中的电子打到荧光屏上的点为G ，则它与P 点的距离 ()
2tan 3
L y L GP θ
-=
=
； （3）设打到屏上离P 点最远的电子是从(x,0)点射入电场，则射出电场时
00
223
xm
xL
y t Ee
v v == 设该电子打到荧光屏上的点与P 点的距离为X ，由平抛运动特点得2
X L y
y x -=
所以2
332222838xL xL
L X x x y L x ⎡
⎤⎫⎢⎥⎛⎫
=-==-+⎪
⎪⎢⎥⎪⎝⎭⎭⎢⎥⎣
⎦
所以当38x L =，有3
4
m L X =。

【点睛】
本题属于带电粒子在组合场中的运动，粒子在磁场中做匀速圆周运动，要求能正确的画出运动轨迹，并根据几何关系确定某些物理量之间的关系，粒子在电场中的偏转经常用化曲为直的方法，求极值的问题一定要先找出临界的轨迹，注重数学方法在物理中的应用。

5．如图所示，在xOy 坐标系中，第Ⅰ、Ⅱ象限内无电场和磁场。

第Ⅳ象限内（含坐标轴）有垂直坐标平面向里的匀强磁场，第Ⅲ象限内有沿x 轴正向、电场强度大小为E 的匀强磁场。

一质量为m 、电荷量为q 的带正电粒子，从x 轴上的P 点以大小为v 0的速度垂直射入
电场，不计粒子重力和空气阻力，P 、O 两点间的距离为
20
2mv qE。

（1）求粒子进入磁场时的速度大小v 以及进入磁场时到原点的距离x ；
（2）若粒子由第Ⅳ象限的磁场直接回到第Ⅲ象限的电场中，求磁场磁感应强度的大小需要满足的条件。

【来源】2019年辽宁省辽阳市高考物理二模试题
【答案】（1）02v ；20mv qE
（2）0(21)E
B v +≥
【解析】 【详解】
（1）由动能定理有：2
22
0011222
mv qE mv mv qE ⋅
=- 解得：v ＝2v 0
设此时粒子的速度方向与y 轴负方向夹角为θ，则有cosθ＝02
v v =
解得：θ＝45° 根据tan 21x
y
θ=⋅
=，所以粒子进入磁场时位置到坐标原点的距离为PO 两点距离的两倍，故20
mv x qE
=
（2）要使粒子由第Ⅳ象限的磁场直接回到第Ⅲ象限的电场中，其临界条件是粒子的轨迹与x 轴相切，如图所示，由几何关系有：
s ＝R +R sinθ
又：2
v qvB m R
=
解得：0
(21)E
B
+=
故0
(21)E
B v +≥
6．如图所示，x 轴正方向有以(0，0.10m)为圆心、半径为r =0.10m 的圆形磁场区域，磁感应强度B=2.0×10-3T ，方向垂直纸面向里。

PQ 为足够大的荧光屏，在MN 和PQ 之间有方向竖直向下、宽度为2r 的匀强电场(MN 与磁场的右边界相切)。

粒子源中有带正电的粒子不断地由静止电压U=800V 的加速电场加速。

粒子经加速后，沿x 轴正方向从坐标原点O 射入磁场区域，再经电场作用恰好能垂直打在荧光屏PQ 上，粒子重力不计。

粒子的比荷为
q m
=1.0×1010C/kg ，2
2tan tan 21tan θθθ=-。

求：
(1)粒子离开磁场时速度方向与x 轴正方向夹角的正切值。

(2)匀强电场的电场强度E 的大小。

(3)将粒子源和加速电场整体向下平移一段距离d(d<r)，粒子沿平行于x 轴方向进入磁场且在磁场中运动时间最长。

求粒子在匀强磁场和匀强电场中运动的总时间(计算时π取3)。

【来源】【市级联考】辽宁省大连市2019届高三双基础检测物理试题 【答案】（1）4
tan 3
θ=（2）33.8410/E N C =⨯（3）71.510s -⨯ 【解析】 【详解】
(1)带电粒子在电场中加速，由动能定理可得:2
012
qU mv =， 解得：6
0410/v m s =⨯
进入磁场后做圆周运动，洛伦兹力提供向心力2
0v qv B m R
=
联立解得12mU
R B q
=
R =0.2m ；
设速度偏离原来方向的夹角为θ，由几何关系可得1
tan 2
2
r R α
=
=， 故4tan 3
θ=
(2)竖直方向0sin v at θ=，
水平方向02cos r v t θ=，
Eq a m
=
，
解得:33.8410/E N C =⨯
(3)粒子从C 点入射，粒子在磁场中运动的最大弧弦长CD =2r =0.2m ， 该粒子在磁场中运动时间最长，由几何关系可得偏向角为sin 2
r R
α
=
， 解得:α=60°； 在磁场中运动时间10
3R
t v π=，
得：781105106
t s s π
--=
⨯=⨯
在电场中，水平方向做匀速直线运动，7202110cos60r
t s v -==⨯︒
则：7
12 1.510t t t s -=+=⨯
7．如图所示，在空间坐标系x <0区域中有竖直向上的匀强电场E 1，在一、四象限的正方形区域CDEF 内有方向如图所示的正交的匀强电场E 2和匀强磁场B ，已知CD =2L ，OC =L ，E 2 =4E 1。

在负x 轴上有一质量为m 、电量为+q 的金属a 球以速度v 0沿x 轴向右匀速运动，并与静止在坐标原点O 处用绝缘细支柱支撑的（支柱与b 球不粘连、无摩擦）质量为2m 、不带电金属b 球发生弹性碰撞。

已知a 、b 球体积大小、材料相同且都可视为点电荷，碰后电荷总量均分，重力加速度为g ，不计a 、b 球间的静电力，不计a 、b 球产生的场对电场、磁场的影响，求：
(1)碰撞后，a 、b 球的速度大小；
(2)a 、b 碰后，经0
23v t g
=
时a 球到某位置P 点，求P 点的位置坐标； (3)a 、b 碰后，要使 b 球不从CD 边界射出，求磁感应强度B 的取值。

【来源】【全国百强校】黑龙江省哈尔滨市第三中学校2019届高三上学期期末考试理科综合物理试题
【答案】(1) 013a v v =-，023=b v v ；(2)（2029g v - ，2
9g
v - ）； (3) 016m 015v B qL <<或
16m 3v B qL
>
【解析】 【分析】
(1)a 、b 碰撞，由动量守恒和能量守恒关系求解碰后a 、b 的速度；
(2)碰后a 在电场中向左做类平抛运动，根据平抛运动的规律求解P 点的位置坐标； (3)要使 b 球不从CD 边界射出，求解恰能从C 点和D 点射出的临界条件确定磁感应强度的范围。

【详解】 (1)a 匀速，则
1mg qE = ①
a 、
b 碰撞，动量守恒
02a b mv mv mv =+ ②
机械能守恒
()22201112222
a b mv mv m v =+ ③ 由②③得
01
3a v v =-，023
=b v v ④
(2)碰后a 、b 电量总量平分，则
1
2
a b q q q ==
碰后a 在电场中向左做类平抛运动，设经0
23v t g
=
时a 球到P 点的位置坐标为（-x ，-y ） a x v t = ⑤ ，2
12
y at =
⑥ 其中
112
mg qE ma -=⑦，1
2a g 由⑤⑥⑦得
2029v x g =，20
9v y g
= 故P 点的位置坐标为（2029g v - ，2
9g
v - ）⑧ (3)碰撞后对b
21
22
qE mg = ⑨ 故b 做匀速圆周运动，则
21
22b b v qv B m r
= ⑩ 得
83mv r qB
=
⑪ b 恰好从C 射出，则
2L r =⑫
由⑪⑫得
116m 3v B qL
=
恰从D 射出，则由几何关系
()2
224r L r L =+- ⑬，
得
5
2
r L =
⑭ 由⑪⑭得
216m 15v B qL
=
故要使b 不从CD 边界射出，则B 的取值范围满足
016m 015v B qL <<
或0
16m 3v B qL
>
【点睛】
本题考查带电粒子在电磁场中的运动以及动量守恒定律及能量守恒关系，注意在磁场中的
运动要注意几何关系的应用，在电场中注意由类平抛运动的规律求解。

8．如图，平面直角坐标系中，在，y ＞0及y ＜-3
2
L 区域存在场强大小相同，方向相反均平行于y 轴的匀强电场，在-
3
2
L ＜y ＜0区域存在方向垂直于xOy 平面纸面向外的匀强磁场，一质量为m ，电荷量为q 的带正电粒子，经过y 轴上的点P 1（0，L ）时的速率为v 0，方向
沿x轴正方向，然后经过x轴上的点P2
（3
2
L，0
）进入磁场．在磁场中的运转半径R=
5
2
L （不计粒子重力），求：
（1）粒子到达P2点时的速度大小和方向；
（2）
E
B
；
（3）粒子第一次从磁场下边界穿出位置的横坐标；
（4）粒子从P1点出发后做周期性运动的周期．
【来源】2019年内蒙古呼和浩特市高三物理二模试题
【答案】（1）
5
3
v0，与x成53°角；（2）0
4
3
v
；（3）2L；（4）
()
40537
60
L
v
π
+
．
【解析】
【详解】
（1）如图，粒子从P1到P2做类平抛运动，设到达P2时的y方向的速度为v y，
由运动学规律知
3
2
L=v0t1，
L=
2
y
v
t1
可得t1=
3
2
L
v，v y=
4
3
v0
故粒子在P2的速度为v22
0y
v v
+
5
3
v0
设v与x成β角，则tanβ=
y
v
v
=
4
3
，即β=53°；
（2）粒子从P1到P2，根据动能定理知qEL=
1
2
mv2-
1
2
mv02可得
E =2089mv qL
粒子在磁场中做匀速圆周运动，根据qvB =m 2
v R
解得：B =mv qR =05352
m v q L ⨯⨯=023mv qL
解得：
43
v E B =； （3）粒子在磁场中做圆周运动的圆心为O ′，在图中，过P 2做v 的垂线交y =-3
2
L 直线与Q ′点，可得： P 2O ′=
3253L cos =5
2
L =r
故粒子在磁场中做圆周运动的圆心为O ′，因粒子在磁场中的轨迹所对圆心角α=37°，故粒子将垂直于y =-
32
L 直线从M 点穿出磁场，由几何关系知M 的坐标x =
3
2
L +（r -r cos37°）=2L ； （4）粒子运动一个周期的轨迹如上图，粒子从P 1到P 2做类平抛运动：t 1=032L
v
在磁场中由P 2到M 动时间：t 2=372360r v π︒⨯=0
37120L
v π 从M 运动到N ，a =qE m =2
89v L
则t 3=
v a =0
158L v 则一个周期的时间T =2（t 1+t 2+t 3）=
()0
4053760L
v π+．
9．如图所示，在竖直平面内建立直角坐标系，y 轴沿竖直方向．在x = L 到x =2L 之间存在竖直向上的匀强电场和垂直坐标平面向里的匀强磁场，一个比荷（
q
m
）为k 的带电微粒从坐标原点以一定初速度沿+x 方向抛出，进入电场和磁场后恰好在竖直平面内做匀速圆周运动，离开电场和磁场后，带电微粒恰好沿+x 方向通过x 轴上x =3L 的位置，已知匀强磁场的磁感应强度为B ，重力加速度为g ．求：
（1）电场强度的大小； （2）带电微粒的初速度；
（3）带电微粒做圆周运动的圆心坐标．
【来源】【市级联考】福建省厦门市2019届高三5月第二次质量检查考试理综物理试题
【答案】（1）g k （2）2g kB （3）222
2232(,)28g k B L L k B g
-
【解析】 【分析】 【详解】
（1）由于粒子在复合场中做匀速圆周运动，则：mg =qE ，又=q
k m
解得g E k
=
（2）由几何关系：2R cos θ=L ，
粒子做圆周运动的向心力等于洛伦兹力：2
v qvB m r
= ；
由
cos y v v
θ=
在进入复合场之前做平抛运动：y gt =v
0L v t =
解得02g v kB
=
（3）由2
12
h gt = 其中
2kBL t g = ， 则带电微粒做圆周运动的圆心坐标：'32O x L =； 222
'222sin 8O g k B L y h R k B g
θ=-+=-
10．如图所示，在平面直角坐标系xoy 的第二象限内有平行于y 轴的匀强电场，电场强度大小为E ，方向沿y 轴负方向。

在第一、四象限内有一个半径为R 的圆，圆心坐标为（R ，0），圆内有方向垂直于xoy 平面向里的匀强磁场。

一带正电的粒子（不计重力），以速度为v 0从第二象限的P 点，沿平行于x 轴正方向射入电场，通过坐标原点O 进入第四象限，速度方向与x 轴正方向成30︒，最后从Q 点平行于y 轴离开磁场，已知P 点的横坐标为
2-h 。

求：
（1
）带电粒子的比荷
q m
； （2）圆内磁场的磁感应强度B 的大小；
（3）带电粒子从P 点进入电场到从Q 点射出磁场的总时间。

【来源】2020届天津市六校高三上学期期末联考物理试题（天津外大附校等)
【答案】（1）203v q
m = （2）04Eh v R （30
63πh R +
【解析】 【详解】
(1)由水平方向匀速直线运动得
2h =v 0t 1
竖直向下的分速度
0ta 30n y v v ︒=
由竖直方向匀加速直线运动知v y =at 1，加速度为
qE
a m
=
根据以上式解得
2036v q
m Eh
=
(2)粒子进入磁场的速度为v ，有
cos30v v
︒=
粒子运动轨迹如图所示
由几何关系得，粒子在磁场中作匀速圆周运动的轨道半径为
r=R
由洛伦兹力提供向心力可知
2
mv qvB r
= 解得
04Eh
B v R
=
(3)粒子在磁场中运动的时间为
21260
03t T ︒︒
= 粒子在磁场中运动的周期为2r
T v
π=
，粒子在电场中运动的时间为 10
2h t v =
粒子运动的总时
12t t t =+
代入数据得：
63π3h R
t v =。