济宁市名校重点中学2019-2020学年高一下学期期末2份数学达标测试试题

一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．要得到函数2sin 25y x π⎛⎫
=+ ⎪⎝
⎭
的图像，只需要将函数2sin 25y x π⎛⎫
=-
⎪⎝
⎭
的图像（ ） A ．向右平移25
π个长度单位 B ．向左平移25
π个长度单位 C ．向右平移
5π
个长度单位 D ．向左平移
5
π
个长度单位 2．方程3log 3x x +=的解所在区间是（ ） A ．(0,1) B ．(1,2) C ．(3,)+∞
D ．(2,3)
3．执行如图所示的程序框图，若输入7n =，则输出C =( )
A ．5
B ．8
C ．13
D ．21
4．若sin 2cos21θθ=+，则cos2θ=( ) A ．0
B ．-1
C ．1或0
D ．0或-1
5．某班20名学生的期末考试成绩用如图茎叶图表示，执行如图程序框图，若输入的i a (1,2,,20i =)
分别为这20名学生的考试成绩，则输出的结果为( )
A ．11
B ．10
C ．9
D ．8
6．已知函数()()203f x x πωω⎛
⎫=-> ⎪⎝
⎭的最小正周期为π，若()()122f x f x ⋅=-，则12x x -的
最小值为（ ） A ．
2
π
B ．
3
π C ．π
D ．
4
π 7．已知圆锥的侧面展开图是一个半径为6，圆心角为3
π
的扇形，则圆锥的高为（ ） A 33B 34C 35D ．5
8．函数()23x
f x x =+的零点所在的一个区间是（ ）． A ．()2,1--
B ．()1,0-
C ．()0,1
D ．()1,2
9．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则此几何体的表面积为（ ）
A ．(
)
62
23++ B ．()6225++
C ．10
D ．12
10．中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其意思是“有一个人走378里，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程是前一天的一半，走了6天后到达目的地．”请问第三天走了（ ） A ．60里
B ．48里
C ．36里
D ．24里
11．已知函数()()sin 0,0,2f x A x A πωϕωϕ⎛
⎫
=+>><
⎪⎝
⎭
的图像如图所示，则ω和ϕ分别是（ ）
A ．=2,=
3
π
ωϕ
B ．=1=
6
π
ωϕ，
C ．=2=
6
π
ωϕ，
D ．=1=
3
π
ωϕ，
12．已知点()()()3,0,0,3,1,0A B M ，O 为坐标原点，,P Q 分别在线段,AB BO 上运动，则MPQ ∆的周长的最小值为( ) A ．4
B ．5
C ．25
D 34二、填空题：本题共4小题
13．已知原点O （0，0），则点O 到直线x+y+2=0的距离等于 ． 14．己知ABC ∆中，角,,A B C 所対的辻分別是,,a b c .若c = 7，C =
3
π
，()()6c a b c a b -++-= ，则+a b =______.
15．直线:30l x m +=与圆22:410C x y x +-+=交于,A B 两点，若ABC ∆为等边三角形，则
m =______．
16．正六棱柱底面边长为10,高为15,则这个正六棱柱的体积是_____． 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．某地合作农场的果园进入盛果期，果农利用互联网电商渠道销售苹果，苹果单果直径不同则单价不同，为了更好的销售，现从该合作农场果园的苹果树上随机摘下了50个苹果测量其直径，经统计，其单果直
径分布在区间[50]95，
内（单位：mm )，统计的茎叶图如图所示：
（Ⅰ)按分层抽样的方法从单果直径落在[)80,85，[)85,90的苹果中随机抽取6个，则从[)80,85，[)85,90的苹果中各抽取几个？
（Ⅱ)从（Ⅰ)中选出的6个苹果中随机抽取2个，求这两个苹果单果直径均在[)85,90内的概率； （Ⅲ)以此茎叶图中单果直径出现的频率代表概率，若该合作农场的果园有20万个苹果约5万千克待出售，某电商提出两种收购方案：方案A ：所有苹果均以5.5元/千克收购；方案B ：按苹果单果直径大小分3类装箱收购，每箱装25个苹果，定价收购方式为：单果直径在[)50,65内按35元/箱收购，在[)65,90内按45元/箱收购，在[]90,95内按55元/箱收购.包装箱与分拣装箱费用为5元/箱（该费用由合作农场承担).请你通过计算为该合作农场推荐收益最好的方案. 18．已知向量()sin ,cos a θθ=，()0,sin b θ=，()1,2c =. （1）若//a c ，求22cos sin 2θθ-的值； （2）若2a b c -=，0θπ<<，求θ的值. 19．（6分）已知向量3
(sin ,),(cos ,1)4
a x
b x ==-. (1)当
时，求tan()4
x π
-
的值；
(2)设函数()2()f x a b b =+⋅，当0,
2x π⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
时，求()f x 的值域. 20．（6分）经观测，某公路段在某时段内的车流量y (千辆/小时)与汽车的平均速度v (千米/小时)之间有函
数关系：()2920031600
=
>++v
y v v v ．
（1）在该时段内，当汽车的平均速度v 为多少时车流量y 最大？最大车流量为多少？(精确到0.01)
（2）为保证在该时段内车流量至少为10千辆/小时，则汽车的平均速度应控制在什么范围内？ 21．（6分）正项数列{}n a 的前n 项和n S 满足(
)2
*
22n n n a S a n n N
=+∈.
（I ）求1a 的值；
（II ）证明：当*n N ∈，且2n ≥时，22
12n n S S n --=；
（III ）若对于任意的正整数n ，都有n a k >成立，求实数k 的最大值. 22．（8分）已知{}n a 数列的前n 项和为n S ，满足：2323n n S a n =--. （1）证明：数列{}1n a +是等比数列； （2）令12333111log log log 222n n a a a c +++⎛⎫⎛⎫⎛⎫
=++⋯+
⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，1n n
d c =，求{}n d 数列的前n 项和n T . 参考答案
一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．D 【解析】 【分析】
根据()sin y A x ωϕ=+的图像变换规律求解即可 【详解】
设平移量为θ，则由
2sin 22sin 22sin 22sin 25101010y x x y x x ππππθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛
⎫=-=-→=-+=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝
⎭，
满足：10
10
5
x x π
π
π
θθ-
+=+
⇒=
，故由2sin 25y x π⎛
⎫
=-
⎪⎝
⎭
向左平移
5
π
个长度单位可得到2sin 25y x π⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭
故选：D 【点睛】
本题考查函数()sin y A x ωϕ=+的图像变换规律，属于基础题 2．D 【解析】 【分析】 【详解】
令()3log 3f x x x =+-，则()()20,30f f <>，
所以零点在区间(2,3).
方程3log 3x x +=的解所在区间是(2,3)，故选D. 3．C 【解析】 【分析】
通过程序一步步分析得到结果，从而得到输出结果. 【详解】
开始：1,1,3A B k ===，
执行程序：2,1,2,4C A B k ====；
3,2,3,5C A B k ====；
5,3,5,6C A B k ====； 8,5,8,7C A B k ====；
13,8,13,8C A B k ====，执行“否”，
输出C 的值为13， 故选C. 【点睛】
本题主要考查算法框图的输出结果，意在考查学生的分析能力及计算能力，难度不大. 4．D 【解析】 【分析】
由二倍角公式可得22sin cos 2cos θθθ=，即()2cos sin cos 0θθθ-=，从而分情况求解. 【详解】
易得22sin cos 2cos cos 0θθθθ=⇒=，或tan 1θ=. 由cos 0θ=得2cos 22cos 11θθ=-=-.
由tan 1θ=，得222222
cos sin 1tan cos 20sin cos tan 1
θθθ
θθθθ--===++. 故选：D 【点睛】
本题考查二倍角公式的应用以及sin ,cos θθ有关的二次齐次式子求值，属于中档题.
首先判断程序框图的功能，然后从茎叶图数出相应人数，从而得到答案. 【详解】
由算法流程图可知，其统计的是成
绩大于等于120的人数，所以由茎叶图知： 成绩大于等于120的人数为11，故选A. 【点睛】
本题主要考查算法框图的输出结果，意在考查学生的分析能力及计算能力，难度不大. 6．A 【解析】 【分析】
由正弦型函数的最小正周期可求得ω，得到函数解析式，从而确定函数的最大值和最小值；根据
()()122f x f x ⋅=-可知1x x =和2x x =必须为最大值点和最小值点才能够满足等式；利用整体对应的方
式可构造方程组求得()12122
x x k k π
π-=-+，12,k k Z ∈；从而可知120k k -=时取最小值.
【详解】
由()f x 最小正周期为π可得：
2π
πω
= 2ω∴= (
)23f x x π⎛
⎫∴=
- ⎪⎝
⎭
(
)max f x ∴，(
)min f x =()()122f x f x ⋅=- 1x x ∴=和2x x =分别为()f x 的最大值点和最小值点
设1x x =为最大值点，2x x =为最小值点
()111222
2232,2232x k k k Z x k ππππππ⎧
-=+⎪⎪∴∈⎨⎪-=-⎪⎩
()12122x x k k ππ∴-=-+，
当120k k -=时，12min
2
x x π
-=
本题正确选项：A 【点睛】
本题考查正弦型函数性质的综合应用，涉及到正弦型函数最小正周期和函数值域的求解；关键是能够根据函数的最值确定1x 和2x 为最值点，从而利用整体对应的方式求得结果.
利用扇形的弧长为底面圆的周长求出r 后可求高. 【详解】
因为侧面展开图是一个半径为6，圆心角为3
π
的扇形，所以 圆锥的母线长为6，设其底面半径为r ，则623
r π
π⨯=，所以1r =，
= C 【点睛】
圆锥的侧面展开图是扇形，如果圆锥的母线长为l ，底面圆的半径长为r ，则该扇形的圆心角的弧度数为
2r
l
π . 8．B 【解析】 【分析】
判断函数的单调性，利用f （﹣1）与f （1）函数值的大小，通过零点存在性定理判断即可 【详解】
函数f （x ）＝2x +3x 是增函数，f （﹣1）＝1
32
-＜1，f （1）＝1+1＝1＞1， 可得f （﹣1）f （1）＜1．
由零点存在性定理可知：函数f （x ）＝2x +3x 的零点所在的一个区间（﹣1，1）． 故选：B ． 【点睛】
本题考查零点存在性定理的应用，考查计算能力，注意函数的单调性的判断． 9．B 【解析】 【分析】
作出多面体的直观图，将各面的面积相加可得出该多面积的表面积. 【详解】
由三视图得知该几何体的直观图如下图所示：
由直观图可知，底面ABCD 是边长为2的正方形，其面积为224=； 侧面PCD 是等腰三角形，且底边长2CD =，底边上的高为2，其面积为1
2222
⨯⨯=， 且22125PC PD ==+=
侧面PAD 是直角三角形，且PDA ∠为直角，5PD =2AD =，其面积为
1
2552
⨯=PBC PAD ∆≅∆，PBC ∆5
侧面积PAB 为等腰三角形，底边长2AB =，223PA PB PD AD ==
+=，底边上的高为
2
2
222AD h PA ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭
1222222⨯⨯=因此，该几何体的表面积为4255226225+=+，故选：B.
【点睛】
本题考查几何体的三视图以及几何体表面积的计算，再利用三视图求几何体的表面积时，要将几何体的直观图还原，并判断出各个面的形状，结合图中数据进行计算，考查空间想象能力与计算能力，属于中等题. 10．B 【解析】 【分析】
根据题意得出等比数列的项数、公比和前n 项和，由此列方程，解方程求得首项，进而求得3a 的值. 【详解】
依题意步行路程是等比数列，且12
q =，6n =，6378S =，故16112378112a ⎛
⎫- ⎪
⎝⎭
=-，解得1192a =，故
2311
192484
a a q ==⨯
=里.故选B. 【点睛】
本小题主要考查中国古典数学文化，考查等比数列前n 项和的基本量计算，属于基础题. 11．C 【解析】
【分析】
通过识别图像，先求A ，再求周期T ，将,16
π
⎛⎫
⎪⎝
⎭代入求ϕ即可
【详解】
由图可知：1A =，
2222362T ππππ
T πωω=-=⇒==⇒=，将,16π⎛⎫ ⎪⎝⎭
代入()()sin 2f x A x =+ϕ得
1sin 2266k ⎛⎫
=⨯+⇒=+ ⎪⎝⎭
ππϕϕπ，又2πφ<，6πϕ∴=，故=2=6πωϕ，
故选C 【点睛】
本题考查通过三角函数识图求解解析式，属于基础题 12．C 【解析】 【分析】
分别求出设()1
0M ，关于直线30x y +-=对称的点N ，M 关于O 对称的点E ，当N P Q E ，，，共线时，MPQ 的周长MQ PQ QM NP EQ PQ ++=++取得最小值，为NE ，利用两点间的距离公式，求出答案. 【详解】
过()()3,0,0,3A B 两点的直线方程为30x y +-=
设()1
0M ，关于直线30x y +-=对称的点(),N x y ， 则11
11302
2y
x x y ⎧=⎪⎪-⎨+⎪+-=⎪⎩，解得32x y =⎧⎨
=⎩ 即()3,2N ，
同理可求()10M ，关于O 对称的点()1,0E -，
当N P Q E ，，，共线时MPQ 的周长MQ PQ QM NP EQ PQ ++=++
取得最小值为
NE ==故选C ． 【点睛】
本题主要考查了点关于直线的对称性的简单应用，试题的技巧性较强，属于中档题. 二、填空题：本题共4小题
13
【解析】
【分析】
【详解】
由点到直线的距离公式得：点O 到直线x+y+2=0的距离等于
=.
14．1
【解析】
【分析】 应用余弦定理得出222222cos 7c a b ab C a b ab =+-=+-=，再结合已知等式配出2()a b +即可．
【详解】
∵()()6c a b c a b -++-=，即22222()26c a b c a b ab --=--+=，
∴222761a b ab +-=-=，①
又由余弦定理得222222cos 7c a b ab C a b ab =+-=+-=，②，
②－①得6ab =，∴22222()2373625a b a ab b a b ab ab +=++=+-+=+⨯=，
∴5a b +=．
故答案为1．
【点睛】
本题考查余弦定理，掌握余弦定理是解题关键，解题时不需要求出,a b 的值，而是用整体配凑的方法得出配凑出2
()a b +，这样可减少计算．
15．1或5-
【解析】
【分析】
根据题意可得圆心到直线的距离为32d ==，根据点到直线的距离公式列方程解出即可. 【详解】
圆22:410C x y x +-+=，即()2
223x y -+=，
圆C 的圆心为()20C ， ∵
直线:0l x m ++=与圆()2
223x y -+=交于,A B 两点且ABC ∆为等边三角形，
∴AB ，故圆心到直线的距离为32d ==，
32
=，解得1m =或5-，故答案为1或5-. 【点睛】
本题主要考查了直线和圆相交的弦长公式，以及点到直线的距离公式，考查运算能力，属于中档题．
16．【解析】
【分析】
正六棱柱是底面为正六边形的直棱柱，利用V S h =⋅计算可得结果.
【详解】
因为正六棱柱底面边长为10，所以其面积216(10sin 60)2S =⋅⋅⋅=
所以体积15V S h =⋅==【点睛】
本题考查正六棱柱的概念及其体积的计算，考查基本运算能力.
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（Ⅰ)4个；（Ⅱ)25
p =
；（Ⅲ）方案是B 【解析】
【分析】
（Ⅰ）单果直径落在[80，85)，[85，90)的苹果个数分别为6，12，分层抽样的方法从单果直径落在[80，85)，[85，90)的苹果中随机抽取6个，单果直径落在[80，85)，[85，90)的苹果分别抽取2个和4个；
（Ⅱ）从这6个苹果中随机抽取2个，基本事件总数2615n C ==，这两个苹果单果直径均在[85，90)内包含的基本事件个数246m C ==，由此能求出这两个苹果单果直径均在[85，90)内的概率；（Ⅲ）分别求
出按方案A 与方案B 该合作农场收益，比较大小得结论．
【详解】
（Ⅰ)由茎叶图可知，单果直径落在[80,85)，[85,90)的苹果分别为6个，12个， 依题意知抽样比为
616123
=+，所以单果直径落在[80,85)的苹果抽取个数为1623⨯=个， 单果直径落在[85,90)的苹果抽取个数为11243⨯=个 （Ⅱ）记单果直径落在[80,85)的苹果为1a ，2a ，记单果直径落在[85,90)的苹果为1234,,,b b b b ，若从这6个苹果中随机抽取2个，则所有可能结果为：{}12,a a ，{}11,a b ，{}12,a b ，{}13,a b ，{}14,a b ，{}21,a b ，
{}22,a b ，{}23,a b ，{}24,a b ，{}12,b b ，{}13,b b ，{}14,b b ，{}23,b b ，{}24,b b ，{}34,b b ，即基本事件的总数为15个.
这两个苹果单果直径均落在[85,90)内包含的基本事件个数为6个，
所以这两个苹果单果直径均落在[85,90)内的概率为62155
p ==. （Ⅲ）按方案A ：该合作农场收益为：5 5.527.5⨯=（万元）；
按方案B ：依题意可知合作农场的果园共有200.825
=万箱，即8000箱苹果， 则该合作农场收益为：7403354555800080005313600505050⎛⎫⨯+⨯+⨯⨯-⨯= ⎪⎝⎭
元， 即为31.36万元 因为27.531.36<，
所以为该合作农场推荐收益最好的方案是B .
【点睛】
本题考查概率、最佳方案的确定，考查茎叶图等基础知识，考查运算求解能力，是中档题． 18．（1）
45；（2）2πθ=或34πθ= 【解析】
【分析】
（1）根据向量平行的坐标公式得出1tan 2
θ=，利用二倍角公式以及弦化切即可得出答案； （2）利用向量的模长公式得出()2222sin cos 2sin 125θθθ+-=+=，由二倍角公式以及降幂公式，辅
助角公式得出sin 24πθ⎛⎫+
= ⎪⎝⎭，结合正弦函数的性质得出θ的值. 【详解】
（1）由//a c ，得2sin cos θθ=，所以1tan 2θ=. 所以22
2222cos 2sin cos 22tan 2142cos sin 21cos sin 1tan 514θθθθθθθθθ----====+++.
（2）由2a b c -=，得()2222sin cos 2sin 125θθθ+-=+=
所以22sin 24sin 4θθ-+=，所以sin 2cos21θ
θ+=-，所以sin 242πθ⎛⎫+
=- ⎪⎝⎭. 因为0θπ<<，所以
92444πππθ<+<，所以5244ππθ+=或7244ππθ+= 解得2π
θ=或34
πθ=. 【点睛】
本题主要考查了由向量平行求参数，模长公式，简单的三角恒等变换以及正弦函数的性质的应用，属于中档题.
19． (1)-7， (2)13[,
22+ 【解析】
试题分析：(1)由向量共线得到等量关系，求出角的正切值，33//cos sin 0,tan 44a b x x x ∴+==-再利用两角差正切公式求解：tan 1tan()741tan x x x
π--==-+(2)先根据向量数量积，利用二倍角公式及配角公式得到三角函数关系式3()2()2sin(2)42f x a b b x π=+⋅=++，再从角0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦
出发研究基本三角函
数范围：5[0,],2sin(2)1244424x x x πππ
ππ∈≤+≤∴-≤+≤13()22f x ∴≤≤ 试题解析：(1)33//cos sin 0,tan 44
a b x x x ∴+==-, 3分 tan 1tan()741tan x x x
π--==-+6分 (2)3()2()2sin(2)42f x a b b x π=+⋅=++8分
5[0,],2sin(2)124444
x x x πππππ∈≤+≤≤+≤11分 13
()22f x ∴≤≤+()f x 的值域为13[,22
14分 考点：向量平行坐标表示，三角函数性质
20．（1）v ＝40千米/小时，车流量最大，最大值为11.08千辆/小时（2）汽车的平均速度应控制在25≤v≤64这个范围内
【解析】
【分析】
（1）将已知函数化简，利用基本不等式求车流量y 最大值；
（2）要使该时段内车流量至少为10千辆/小时，即使
29201031600
v v v ≥++，解之即可得汽车的平均速度的控制范围．
【详解】
解:(1)292031600v y v v =++＝92016003v v ++＝92083≈11.08， 当v ＝
1600v
，即v ＝40千米/小时，车流量最大，最大值为11.08千辆/小时． (2)据题意有：29201031600v v v ≥++，
化简得28916000v v -+≤，即(25)(64)0v v --≤，
所以2564v ≤≤，
所以汽车的平均速度应控制在2564v ≤≤这个范围内．
【点睛】
本题以已知函数关系式为载体，考查基本不等式的使用，考查解不等式，属于基础题．
21．（I
）1a （II ）见解析；（III ）k 的最大值为1
【解析】
【分析】
（I ）直接令()2*22n n n a S a n n N
=+∈中的n=1即得1a 的值；（II ）由题得2n ≥时，()()()2*1122n n n n n S S S S S n n ---=-+∈N ，化简即得证；（III
）用累加法可得：
22,n n S n n S =+=n a ，再求n a 的范围得解.
【详解】
（I
）222111122,2,
a a a a =+==（II ）因为()2*22n n n a S a n n =+∈N ，
所以2n ≥时，()()()2*1122n n n n n S S S S S n n ---=-+∈N
，
化简得：2212n n S S n --=； （III ）因为2212(2)n n S S n n --=≥，
用累加法可得：22,n n S n n S =+=
由n S =
2)n a n =≥，
当1n =时，上式也成立,
因为
n a ==
，
则2n a =，所以{}2n a 是单调递减数列， 所以21n a >，又因为0n a >，所以1n a >，即1k ≤，k 的最大值为1.
【点睛】
本题主要考查项和公式求数列的通项，考查数列的恒成立问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.
22．（1）证明见解析
（2）21
n n T n =
+ 【解析】
【分析】 （1）利用当2n ≥时，1n n n a S S -=-求证即可；
（2）先结合（1）求得(1)2n n n c +=，再由112()1
n d n n =-+，然后累加求和即可. 【详解】
解：（1）因为2323n n S a n =--，① 11232(1)3n n S a n --=---，②
①-②得：
132n n a a -=+，
即113(1)n n a a -+=+，
又11235a a =-，即15a =，则116a +=，
即数列{}1n a +是以6为首项，3为公比的等比数列；
（2）由（1）得116323n n n a -+=⨯=⨯， 则132
n n a +=， 即331log log 32n n a n +⎛⎫== ⎪⎝⎭
， 则12333111(1)log log log 2222n n a a a n n c ++++⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++⋯+=
⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 即12112()(1)1
n n d c n n n n ===-++， 故1111122[(1)(
)...()]22311
n n T n n n =-+-++-=++. 【点睛】 本题考查了利用定义法证明等比数列，重点考查了公式法求和及裂项求和法求和，属中档题.
2019-2020学年高一下学期期末数学模拟试卷
一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．若直线:10l ax by ++=始终平分圆22:4210M x y x y ++++=的周长，则()()22
22a b -+-的最小值为（ ）
A ．5
B ．5
C ．25
D ．10 2．已知x ，y ∈R ，且x>y>0，则（ ）
A ．11x y x y ->-
B ．cos cos 0x y -<
C ．110x y ->
D ．lnx+lny>0
3．我国古代数学典籍《九章算术》“盈不足”中有一道两鼠穿墙问题：“今有垣厚十尺,两鼠对穿,初日各一尺,大鼠日自倍,小鼠日自半,问几何日相逢？”现用程序框图描述,如图所示,则输出结果n=( )
A ．2
B ．3
C ．4
D ．5
4．已知数列{}n a 的前n 项和为21n S n n =-+，令()1cos 2n n n b a π
+=，记数列{}n b 的前n 项为n T ，则
2019T = （ ）
A ．2020
B ．2019
C ．2018
D ．2017 5．不等式250ax x c ++>的解集为11|32x x ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭,则,a c 的值为( ) A ．6,1a c ==
B ．6,1a c =-=-
C ．1,1a c ==
D ．1,6a c =-=-
6．设的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ,且6C π=
，12a b +=，面积的最大值为（） A ．6 B ．8 C ．7 D ．9
7．已知向量()1,2a =-， ()1,b λ=，若a b ⊥，则+2a b 与a 的夹角为（ ）
A．2
3
π
B
．
3
4
π
C．
3
π
D．
4
π
8．设z是复数，从z，z，z，2
||z，2
||
z，2
||z，z z⋅中选取若干对象组成集合，则这样的集合最多有（）
A．3个元素B．4个元素C．5个元素D．6个元素
9．如图所示，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，若E是A1C1的中点，则直线CE垂直于（
）
A．AC B．A1D1C．A1D D．BD
10．已知a，b为不同的直线，α为平面，则下列命题中错误的是（）
A．若//
a b，bα
⊥，则aα
⊥B．若aα
⊥，bα
⊥，则//
a b
C．若aα
⊥，bα
⊂，则a b
⊥D．若a b
⊥，aα
⊥，则bα
⊥
11．执行如下的程序框图，则输出的S是（）
A．36B．45
C．36
-D．45
-
12．数列{}n a中，12
a=，且1
1
2(2)
n n
n n
n
a a n
a a
-
-
+=+≥
-，则数列()2
1
1
n
a
⎧⎫
⎪⎪
⎨⎬
-
⎪⎪
⎩⎭
前2019项和为（）A．
4036
2019
B．
2019
1010
C．
4037
2019
D．
4039
2020
二、填空题：本题共4小题
13．已知α是第二象限角，且
1
sin
3
α=，且sin
2
π
α
⎛⎫
-=
⎪
⎝⎭
______.
14．用数学归纳法证明不等式“11119 (123310)
n n n n ++++>+++（1n >且*n N ∈）”的过程中，第一步：当2n =时，不等式左边应等于__________。

15．已知函数1arccos 22
y x π=-，它的值域是 __________. 16．函数()sin 0y b a x a =+<的最大值为1-，最小值为5-，则()tan 3y a b x =+的最小正周期为______．
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．设*1212,,,,(,3)m m a a a R a a a m N m ∈<<<∈≥，若存在01,,,,m x x x d R ⋯∈，使得011223m m x a x a x a a x ≤<≤<≤<≤<，且对任意01i m -，均有1i i x x d +-=（即01,,,m x x x 是一个公差为d 的等差数列），则称数列12,,,m a a a 是一个长度为m 的“弱等差数列”.
（1）判断下列数列是否为“弱等差数列”，并说明理由.
①1，3，5，7，9，11；
②2，22，32，42，52.
（2）证明：若123a a a <<，则数列123,,a a a 为“弱等差数列”.
（3）对任意给定的正整数3m ，若1211,1m m m m x a x a ---=-=-，是否总存在正整数k ，使得等比数列：1(1),1,2,3,
,m i i i a k k i m --=+=是一个长度为m 的“弱等差数列”？若存在，给出证明；若不存在，请说
明理由 18．如图所示，某住宅小区的平面图是圆心角为120°的扇形AOB ，小区的两个出入口设置在点A 及点C 处，且小区里有一条平行于BO 的小路CD ，已知某人从C 沿CD 走到D 用了10分钟，从D 沿DA 走到用了6分钟，若此人步行的速度为每分钟50米，求该扇形的半径OA 的长.
19．（6分）已知圆C ：内有一点P （2，2），过点P 作直线l 交圆C 于A 、B 两点. （1）当l 经过圆心C 时，求直线l 的方程；
（2）当弦AB 被点P 平分时，写出直线l 的方程
20．（6分）已知22120C x y Dx Ey +++-=⊙：关于直线240x y +-=对称，且圆心在y 轴上.
（1）求C 的标准方程；
（2）已知动点M 在直线10y =上，过点M 引C 的两条切线MA 、MB ，切点分别为,A B .
①记四边形MACB 的面积为S ，求S 的最小值；
②证明直线AB 恒过定点.
21．（6分）已知数列{}n a 满足122n n n a a +=++，13a =.
（1）证明：数列{}2n n a -为等差数列；
（2）求数列{}n a 的前n 项和n S .
22．（8分）在平面直角坐标系xOy 中，已知向量()
3 ,1a =
-，()00cos60,sin 60b =． （1）求证：2a b =且a b ⊥；
（2）设向量()4x a t b =++，y a tb =+，且x y ⊥，求实数t 的值．
参考答案
一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．B
【解析】
试题分析：把圆的方程化为标准方程得()()22214x y +++=，所以圆心M 坐标为()2,1--半径2r ，因为直线l 始终平分圆M 的周长，所以直线l 过圆M 的圆心M ，把()2,1M --代入直线:10l ax by ++=得；210,a b --+=即210a b +-=，(),a b 在直线210x y +-=上，()()22
22a b -+-是点()2,2与
点(),a b 的距离的平方，因为()2,2到直线210a b +-=的距离d ==()()2222a b -+-的最小值为5，故选B.
考点：1、圆的方程及几何性质；2、点到直线的距离公式及最值问题的应用.
【方法点晴】本题主要考查圆的方程及几何性质、点到直线的距离公式及最值问题的应用，属于难题.解决解析几何的最值问题一般有两种方法：一是几何意义，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来解决，非常巧妙；二是将解析几何中最值问题转化为函数问题，然后根据函数的特征选用参数法、配方法、判别式法、三角函数有界法、函数单调性法以及均值不等式法，本题就是利用几何意义，将()()
2222a b -+-的最小值转化为点到直线的距离解答的.
2．A
【解析】
【分析】
结合选项逐个分析，可选出答案.
【详解】
结合x ，y ∈R ，且x>y>0，对选项逐个分析：
对于选项A ，0x y ->，110y x x y xy
--=<，故A 正确； 对于选项B ，取2πx =，3π2y =，则3cos cos cos 2cos 1002
x y -=π-π=->，故B 不正确； 对于选项C ，110y x x y xy
--=<，故C 错误； 对于选项D ，ln ln ln x y xy +=，当1xy <时，ln 0xy <，故D 不正确.
故选A.
【点睛】
本题考查了不等式的性质，属于基础题.
3．C
【解析】
开始，输入1,1,0,1a A S n ====，
则2S =，判断210≥，否，循环，12,,22
n a A ==
=， 则92S =，判断9102≥，否，循环，13,,4,4
n a A === 则354S =，判断35104≥，否，循环，14,,8,8
n a A === 则1358S =，判断135108≥，是，输出4n =，结束.故选择C. 4．B
【解析】
【分析】
由数列{}n a 的前n 项和求通项，再由数列的周期性及等比数列的前n 项和求解．
【详解】
因为21n S n n =-+，
当1n =时，得11a =；
当2n ≥，且*n N ∈ 时，()()2
21111122n n n a S S n n n n n -=-=-+--+--=-，11a =不满足上式，
∴1,122,2,*n n a n n n N ⎧=⎨-≥∈⎩＝，所以()()1,1 122cos ,2,*?2n n b n n n n N π-⎧⎪=⎨+-≥∈⎪⎩
＝， 当*2, n n N ∈≥时，()()cos 222222s 2in n n n b n n πππ⎛⎫=+=-
⎪⎝-⎭-； 当n 是偶数时，2n 为整数，则sin 02n π=，所以()22sin 02
n n b n π=-=-； 故对于任意正整数k ，均有：
4241441k k k k b b b b --++++
()()()4141084sin 08sin 22k k k k ππ-+=--+-
()084sin 208sin 222k k k k ππππ⎛⎫⎛⎫=---+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭ ()084sin 08sin 22k k ππ⎛⎫=---+- ⎪⎝⎭
()0+84084,*k k k N =-+-=-∈
因为201945043=⨯+，
所以()()2019123456789=...T b b b b b b b b b +++++++++
()201420152016201720182019b b b b b b ++++++
()2018201914504b b =-+-⨯++201820192017b b =+-．
因为2018为偶数，所以20180b =，
而()2019201933220192sin 4036sin 1008+4036sin =4036222b ππππ⎛⎫=-⨯-=-=- ⎪⎝⎭
， 所以2019403620172019T =-=.
故选：B ．
【点睛】
本题考查数列的函数概念与表示、余弦函数的性质、正弦函数的诱导公式以及数列求和，解题的关键是当*2, n n N ∈≥时，()22si 2
n
n n n b π=--，和42414414,*k k k k b b b b k N --++++=-∈的推导，本题属于难题．
5．B
【解析】
【分析】
根据一元二次不等式解集与对应一元二次方程根的关系列方程组，解得a ，c 的值.
【详解】 由题意得1123，为方程250ax x c ++=两根，所以
11511+,6,12323c a c a a =-⨯=∴=-=-，选B. 【点睛】
一元二次方程的根与对应一元二次不等式解集以及对应二次函数零点的关系，是数形结合思想，等价转化思想的具体体现，注意转化时的等价性.
6．D
【解析】
【分析】
由已知利用基本不等式求得ab 的最大值，根据三角形的面积公式，即可求解，得到答案.
【详解】
由题意，利用基本不等式可得a b +≥，即12≤，解得36ab ≤，
当且仅当6a b ==时等号成立， 又因为6C π
=，所以11sin 36sin 9226
ABC S ab C π∆=≤⨯⨯=， 当且仅当6a b ==时等号成立，故三角形的面积的最大值为9，
故选D.
【点睛】
本题主要考查了基本不等式的应用，以及三角形的面积公式的应用，着重考查了转化思想，以及推理与运算能力，属于基础题.
7．D
【解析】
∵()1
2a =-，，()1b λ=，，a ⊥b ， ∴120λ-+=，解得12λ=
． ∴2(1,3)a b +=．
∴(2)5a b a +⋅=， 又210,5a b a +==．
设向量2a b +与a 的夹角为θ，
则(2)cos 2102a b a
a b a θ+⋅===⨯+⋅． 又0θπ≤≤，
∴4πθ=
．选D ．
8．A 【解析】
【分析】
设复数z a bi =+(),a b R ∈分别计算出以上式子，根据集合的元素互异性，可判断答案.
【详解】
解：设复数z a bi =+(),a b R ∈
z a bi ∴=-(),a b R ∈，
z a bi z =+=(),a b R ∈，
||222z a b =+，
222||z a b =+，
()()22z z a bi a bi a b ⋅=+-=+
()2
2222z a bi a b abi =+=-+
222222z a b abi a b ∴=-+===+ 故由以上的数组成的集合最多有a bi +，a bi -，22a b +这3个元素，
故选：A
【点睛】
本题考查复数的运算及相关概念，属于中档题.
9．D
【解析】
【分析】
在正方体内结合线面关系证明线面垂直，继而得到线线垂直
【详解】 1,BD AC BD AA ⊥⊥，AC ⊂平面11ACC A ，1AA ⊂平面11ACC A ，1AC AA A =∩
则BD ⊥平面11ACC A
又因为CE ⊂平面11ACC A
则BD CE ⊥
故选D
【点睛】
本题考查了线线垂直，在求解过程中先求得线面垂直，由线面垂直的性质可得线线垂直，从而得到结果 10．D
【解析】
【分析】
根据线面垂直与平行的性质与判定分析或举出反例即可.
【详解】
对A,根据线线平行与线面垂直的性质可知A 正确.
对B, 根据线线平行与线面垂直的性质可知B 正确.
对C,根据线面垂直的性质知C 正确.
对D,当a b ⊥,a α⊥时,也有可能b α⊂.故D 错误.
故选：D
【点睛】
本题主要考查了空间中平行垂直的判定与性质,属于中档题.
11．A
【解析】
【分析】
列出每一步算法循环，可得出输出结果S 的值.
【详解】
18i =≤满足，执行第一次循环，()120111S =+-⨯=-，112i =+=；
28i =≤成立，执行第二次循环，()221123S =-+-⨯=，213i =+=；
38i =≤成立，执行第三次循环，()323136S =+-⨯=-，314i =+=；
48i =≤成立，执行第四次循环，()4
261410S =-+-⨯=，415i =+=；
58i =≤成立，执行第五次循环，()52101515S =+-⨯=-，516i =+=；
68i =≤成立，执行第六次循环，()62151621S =-+-⨯=，617i =+=；
78i =≤成立，执行第七次循环，()72211728S =+-⨯=-，718i =+=；
88i =≤成立，执行第八次循环，()82281836S =-+-⨯=，819i =+=；
98i =≤不成立，跳出循环体，输出S 的值为36，故选：A.
【点睛】
本题考查算法与程序框图的计算，解题时要根据算法框图计算出算法的每一步，考查分析问题和计算能力，属于中等题.
12．B
【解析】
【分析】 由11
22n n n n n a a n a a （）--+=+≥-，可得()22112n n n n a a a a n -----=，化为：()()22111n n a a n ----=，利用“累加求和”方法可得()()2112n n n a +-=
，再利用裂项求和法即可得解． 【详解】
解：∵1122n n n n n a a n a a （）--+=
+≥-， ∴()22112n n n n a a a a n ----=﹣，
整理得：()()22111n n a a n ----=，
∴()()()2211112n a a n n ---=+-++，又12a =
∴()()
2112
n n n a +-=， 可得：()()212112111n n n n n a ⎛⎫==- ⎪++⎝⎭
-． 则数列()211n a ⎧⎫⎪⎪⎨⎬-⎪⎪⎩⎭
前2019项和为：111111201921212232019202020201010⎛⎫⎛⎫-+-++-=
-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． 故选B ．
【点睛】
本题主要考查了数列递推关系、“累加求和”方法、裂项求和，考查了推理能力、转化能力与计算能力，属于中档题．
二、填空题：本题共4小题
13
．3
-
【解析】
【分析】
利用同角三角函数的基本关系求出cos α，然后利用诱导公式可求出sin 2πα⎛⎫-
⎪⎝⎭
的值. 【详解】 α是第二象限角，则cos α==
由诱导公式可得sin cos 23παα⎛⎫-==- ⎪⎝⎭
.
故答案为：3
-
. 【点睛】 本题考查利用同角三角函数的基本关系和诱导公式求值，考查计算能力，属于基础题.
14．1920
【解析】
【分析】 用数学归纳法证明不等式11119 (123310)
n n n n ++++>+++（1n >且*n N ∈），第一步，即2n =时，分母从3到6，列出式子，得到答案.
【详解】 用数学归纳法证明不等式
11119...123310n n n n ++++>+++（1n >且*n N ∈）， 第一步，2n =时，
左边式子中每项的分母从3开始增大至6， 所以应是1111192122232420
+++=++++. 即为答案.
【点睛】
本题考查数学归纳法的基本步骤，属于简单题.
15．0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦
【解析】
【分析】 由反余弦函数的值域可求出函数1arccos 22
y x π=
-的值域. 【详解】 0arccos x π≤≤，10arccos 222x ππ∴≤
-≤， 因此，函数1arccos 22y x π=-的值域为0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦
. 故答案为：0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦
. 【点睛】
本题考查反三角函数值域的求解，解题的关键就是依据反余弦函数的值域进行计算，考查计算能力，属于基础题.
16．π9
【解析】
【分析】
先换元，令[]sin 1,1t x =∈-，所以y at b =+，利用一次函数的单调性，列出等式，求出,a b ，然后利用正切型函数的周期公式求出即可．
【详解】
令[]sin 1,1t x =∈-，所以y at b =+，由于0a <，所以y at b =+在[]1,1-上单调递减，即有15
b a b a -=-⎧⎨
+=-⎩，解得2,3a b =-=-， ()tan 3tan(9)tan9y a b x x x =+=-=-，故最小正周期为9T π=
．
【点睛】 本题主要考查三角函数的性质的应用，正切型函数周期公式的应用，以及换元法的应用．
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（1）①是，②不是,理由见解析
（2）证明见解析
（3）存在，证明见解析
【解析】
【分析】
（1）①举出符合条件的具体例子即可；②反证法推出矛盾；
（2）根据题意找出符合条件的2013,,,x x x x 为等差数列即可；
（3）首先，根据11m m x a -=-，211m m x a --=-将公差d 表示出来，计算{}n a 任意相邻两项的差值可以发现不大于d ．那么用裂项相消的方法表示出i a ，结合相邻两项差值不大于d 可以得到1i i a x ->，接下来，只需证明存在满足条件的11a x <即可．用1m x -和公差d 表示出1x ，并展开可以发现多项式的最高次项为2m -，而已知3m ≥，因此21(1)(3)10m m k k m k --++--->在k 足够大时显然成立．结论得证.
【详解】
解：（1）数列①：1，3，5，7，9，11是“弱等差数列”
取0156,,,,x x x x ⋯分别为1，3，5，7，9，11，13即可；
数列②2，22，32，42，52不是“弱等差数列”
否则，若数列②为“弱等差数列”，则存在实数015,,,x x x ⋯构成等差数列，设公差为d ， 234501234522222x x x x x x <<<<<，
321226d x x ∴=-<-=，
又545322216d x x =->-=
8d ∴>与d 6<矛盾，
所以数列②2，22，32，42，52不是“弱等差数列”；
（2）证明：设121232,a a d a a d =-=-， 令122d d d +=，取1212
a a x +=，则112a x a <<， 则1
23230111222
a a a a a x x d a a +---==<+=， 23121221222a a d d a a x x d +++=+=+= 223a x a ∴<<，
321213233222
a a a a a x x d a a +--+==>+=， 就有0112233x a x a x a x <<<<<<，命题成立．
故数列123,,a a a 为“弱等差数列”；
（3）若存在这样的正整数k ，使得
12322101221(1)(1)(1)(1)m m m m m m m m x k x k k x k k x k k x k x -------<+<+<⋯<+<+<成立．
因为111(1)1m m m x a k --=-=+-，2211(1)
1m m m x a k k ---=-=+-， 则12212(1)(1)
(1)m m m m m d x x k k k k -----=-=+-+=+，其中k 待定． 1(),1,2,,m i i i a k k i i m --=+=⋯
从而1121(1)(1)(11)m i i m i i a a k
k k d i m ----+-=++=-， ()()11111()(11)m m m m i i i a a a a a a x m i d x i m ---+∴=+-+⋯+->--=-
又11m m m x a a -=-<，
∴当1,2,,i m =⋯时，1i i x a -<总成立．
如果取适当的k ，使得11a x <，又有
()()()1213211(1)(1,2,,)i i i i a a a a x i d x i m a a a a -=+-+-+⋯+-<+-==⋯ 所以，有01122m m a x a x a x x <<<<<⋯<<
12211(2)(1)1(2)(1)(1)(3)1m m m m x x m d k m k k k m ----=--=+---+=++--，
为使得11a x <，需要21(1)(3)10m m k k m k
--++--->， 上式左侧展开为关于k 的多项式，最高次项为2m k -，其次数为21m -≥，
故，对于任意给定正整数3m ≥，当k 充分大时，上述不等式总成立，
即总存在满足条件的正整数k ，使得等比数列：1(1),1,2,3,,m i i i a k k i m --=+=是一个长度为m 的“弱
等差数列”.
【点睛】
本题要求学生能够从已知分析出“弱等差数列”要想成立所应该具备的要求，进而进行推理，转化，最后进行验证，本题难度相当大.
18．490011 【解析】
【分析】
连接CO ，由题意，得500CD =米，300DA =米，60CDO ∠=，在△CDO 中，由余弦定理可得答案.
【详解】
设该扇形的半径为r 米，连接CO ，如图所示：
由题意，得500CD =米，300DA =米，60CDO ∠=，
在△CDO 中，由余弦定理得2222cos60OC CD OD CD OD =+-⋅⋅⋅，
即2221500(300)2500(300)2r r r =+--⨯⨯-⨯
， 解得490011
r =米. 答：该扇形的半径OA 的长为
490011米. 【点睛】
本题考查了利用余弦定理解三角形，将问题转化为在三角形中求解是解题关键，属于基础题.
19．（1）
；（2）
【解析】。