新教材2025版高中数学第十一章立体几何初步11

11．1.2 构成空间几何体的基本元素
课程标准
1.利用实物、计算机软件等视察空间图形．
2．借助长方体，在直观相识空间点、直线、平面的位置关系的基础上，抽象出空间点、直线、平面的位置关系的定义．
新知初探·自主学习——突出基础性
教材要点
学问点一长方体
长方体可以看作由________(包括它的内部)所围成的几何体．
(1)长方体的面：围成长方体的________，叫做长方体的面，它共有________个面．
(2)长方体的棱：相邻两个面的公共边，叫做长方体的棱，它共有________条棱．
(3)长方体的顶点：棱和棱的________，叫做长方体的顶点，它共有________个顶点．
学问点二构成空间几何体的基本元素
________、________、________是构成空间几何体的基本元素．
学问点三平面及其表示方法
(1)平面的概念：
平面是到处平直的面，它是向四面八方无限延展的．
(2)平面的表示方法：
图形表示在立体几何中，通常画____________表示一个平面，并把它想象成无限延展的
符号表示平面一般用希腊字母________…来命名，还可以用表示它的平行四边形________的字母来命名
学问点四用运动的观点理解空间基本图形之间
的关系
(1)
(2)
(3)面动成体：面运动的轨迹(经过的空间部分)可以形成一个几何体．
学问点五空间中直线与直线的位置关系
空间中直线与直线有________、________与______________三种位置关系．学问点六空间中直线与平面的位置关系
(1)直线在平面内；
(2)直线与平面平行：直线与平面________公共点；
(3)直线与平面相交：直线与平面____________公共点．
①直线与平面垂直：
如图，视察直线AA1和平面AC，我们看到直线AA1和平面内的两条相交直线AB和AD都垂直，简单想象，当AD在平面AC内绕点A旋转到任何位置时，都会与AA1垂直．直线AA1给我们与平面AC垂直的形象，这时我们说直线AA1和平面AC垂直，点A为________．记作________．直线AA1称作平面AC的垂线，平面AC称作直线AA1的垂面．
②点到平面的距离：
在上图中，简单验证，线段AA1为点A1到平面AC内的点所连线段的________的一条．________称作点A1到平面AC的距离．
学问点七空间中平面与平面的位置关系
(1)两个平面相交：
两个平面相交于________，此时我们说这两个平面相交．假如两个平面相交，并且其中一个平面通过另一个平面的________，这两个平面就给我们相互垂直的形象，这时，我们就说两个平面相互垂直．
(2)两个平面平行：
假如两个平面____________，则说这两个平面平行．
在长方体ABCD-A1B1C1D1中，假如面ABCD和面A1B1C1D1分别作为长方体的底面，则棱AA1，BB1，CC1，DD1都与底面__________，我们知道它们都是这个底面上的高，它们的________称作两个底面间的距离．
基础自测
1．(多选)下列说法中正确的是( )
A．任何一个几何体都必需有顶点、棱和面
B．一个几何体可以没有顶点
C．一个几何体可以没有棱
D．一个几何体可以没有面
2．若平面α和直线a，b满意a＝A，b⊂α，则a与b的位置关系肯定是( ) A．相交 B．平行
C．异面 D．相交或异面
3．如图，在正四棱柱(侧面为矩形，底面为正方形的棱柱)ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是AB1，BC1的中点，则以下结论中不成立的是________．
(1)EF与BB1垂直；
(2)EF与BD垂直；
(3)EF与CD异面；
(4)EF与A1C1异面．
4．已知如图，试用适当的符号表示下列点、直线和平面之间的关系：
(1)点C与平面β：____________；
(2)点A与平面α：____________；
(3)直线AB与平面α：____________；
(4)直线CD与平面α：____________；
(5)平面α与平面β：____________．
课堂探究·素养提升——强化创新性
题型2 文字语言、数学语言、图形语言间的相互转化(数学抽象、直观想象) 例1 (1)点P在直线a上，直线a在平面α内可记为( )
A．P∈a，a⊂α B．P⊂a，a⊂α
C．P⊂a，a∈α D．P∈a，a∈α
(2)如图，已知正方体ABCD-A1B1C1D1.
①AC＝________；
②平面AB1∩平面A1C1＝________；
③A1B1＝________．
方法归纳
三种语言的转换方法
(1)用文字语言、符号语言表示一个图形时，首先细致视察图形有几个平面、几条直线且相互之间的位置关系如何，试着用文字语言表示，再用符号语言表示．
(2)要留意符号语言的意义．如点与直线的位置关系只能用“∈”或“∉”表示，直线与平面的位置关系只能用“⊂”或“⊄”表示．
跟踪训练1
如图所示，平面ABEF记作平面α，平面ABCD记作平面β，依据图形填写：
(1)A∈α，B________α，
E______α，C________α，D______α；
(2)α＝________；
(3)A∈β，B________β，C________β，D________β，E______β，F________β；
(4)AB________α，AB________β，CD________α，CD______β，BF________α，BF________β.
题型2 从运动观点相识几何体
例2 如图所示，请画出①②③中线段AB围着直线l旋转一周形成的空间图形．
状元随笔线的运动可以形成平面或曲面，视察AB和l的位置关系及旋转的方式和方向，可以尝试画出形成的图形．
方法归纳
(1)点、线、面运动形成怎样的图形与其运动的形式和方向有关，假如直线与旋转轴平行，那么形成圆柱面，假如与旋转轴斜交，那么形成圆锥面．
(2)在推断点、线、面按肯定规律运动形成的几何体的形态时，可以借助身边的实物来模拟．
跟踪训练2 如图所示，AB与l有如图所示的关系，请画出旋转一周形成的几何图形．
题型3 空间两条直线位置关系的推断(直观想象)
例3
如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N分别为棱C1D1，CC1的中点，以下四个结论：
①直线DM与CC1是相交直线；
②直线AM与NB是平行直线；
③直线BN与MB1是异面直线；
④直线AM与DD1是异面直线．
其中正确的为________(把你认为正确结论的序号都填上)．
状元随笔利用平行直线、相交直线、异面直线的定义推断．
方法归纳
空间两条直线位置关系的推断方法
两直线位置关系分为共面(平行和相交)和异面，其中共面时用平面几何学问处理即可，现在关键是把握异面的理解与直观想象，两直线不同在任何一个平面内，既不平行也不相交．
跟踪训练3 (1)在长方体ABCD-A1B1C1D1中，写出全部
①与直线AB平行的直线，并用“∥”表示；
②与直线AA1异面的直线；
③与直线AD垂直的平面，并用合适的符号表示．
(2)若a和b是异面直线，b和c是异面直线，则a和c的位置关系是( )
A．a∥c
B．a和c异面
C．a和c相交
D．a和c平行、相交或异面
(3)两条直线没有公共点，则两条直线的位置关系为______．
题型4 直线与平面、平面与平面位置关系的推断(直观想象)
【思索探究】 1.射线运动后的轨迹是什么？
[提示] 水平放置的射线绕顶点在水平面内旋转一周，可形成平面．其他状况，可形成曲面．
2．如图所示，该几何体是某同学课桌的大致轮廓，请你从这个几何体里面找寻一些点、线、面，并将它们列举出来．
[提示] 面可以列举如下：
平面A1A2B2B1，平面A1A2D2D1，平面C1C2D2D1，平面B1B2C2C1，平面A1B1C1D1，平面A2B2C2D2；
线可以列举如下：
直线AA1，直线BB1，直线CC1，直线DD1，直线A2B2，直线C2D2等；
点可以列举如下：
点A，点A1，点B，点B1，点C，点C1，点D，点D1，点A2，点B2，点C2，点D2；
它们共同组成了课桌这个几何体．
例4 在长方体ABCD-A′B′C′D′中，把它的12条棱延长为直线，6个面延展为平面，那么在这12条直线与6个平面中，
(1)与直线B′C′平行的平面有哪几个？
(2)与平面BC′平行的平面有哪几个？
方法归纳
1．直线与平面位置关系的推断
(1)以正方体为模型，将线面化归成正方体中的线面进行推断．
(2)以身边的物体作为模型推断，如笔，墙角作为直线，桌面，墙面，地面作为平面．
提示：在推断直线与平面的位置关系时，三种情形都要考虑到，避开疏忽或遗漏．2．平面与平面的位置关系的推断方法
(1)平面与平面相交的推断，主要是找出一个交点．
(2)平面与平面平行的推断，主要是说明两个平面没有公共点．
跟踪训练4 (1)在长方体ABCD-A′B′C′D′中，把它的12条棱延长为直线，6个面延展为平面，那么在这12条直线与6个平面中，
①与直线B′C′垂直的平面有哪几个？
②与平面BC′垂直的平面有哪几个？
(2)在长方体ABCD-A1B1C1D1的六个表面与六个对角面(面AA1C1C、面ABC1D1、面ADC1B1、面BB1D1D、面A1BCD1及面A1B1CD)所在的平面中，与棱AA1平行的平面共有( ) A．2个B．3个
C．4个D．5个
跟踪训练5 本例中长方体的12条棱中，哪些可以用来表示面A′B与面D′C之间的距离？
教材反思
1．本节课的重点是相识构成空间几何体的基本元素及其之间的关系和直线与直线、直线与平面、平面与平面间的位置关系，难点是理解平面的无限延展性．
2．本节课要重点驾驭的规律方法
(1)平面与平面图形的区分与联系；
(2)用运动的观点相识几何体；
(3)平行与垂直关系的直观推断．
3．本节课的易错点是对平面的概念理解．
11．1.2 构成空间几何体的基本元素
新知初探·自主学习
[教材要点]
学问点一
六个矩形(1)各个矩形 6 (2)12 (3)公共点8
学问点二
点线面
学问点三
(2)一个平行四边形α，β，γ对角顶点
学问点四
(1)曲线曲线的一段(2)平面曲面
学问点五
相交平行异面
学问点六
(2)没有(3)有且只有一个①垂足直线AA1⊥平面AC②最短线段AA1的长
学问点七
(1)一条直线一条垂线(2)没有公共点垂直且等长长度
[基础自测]
1．解析：球只由一个曲面围成，故A错，B对，C对，由于几何体是空间图形，故肯定有面，D错．
答案：BC
2．解析：当A∈b时a与b相交，当A∉b时a与b异面．
答案：D
3．解析：连接A1B(图略)，因为E，F分别是AB1，BC1的中点，
所以EF是△A1BC1的中位线，
所以EF∥A1C1，故(1)(2)(3)正确，(4)错误．
答案：(4)
4．答案：(1)C∉β(2)A∉α(3)AB＝B(4)CD⊂α(5)α＝BD
课堂探究·素养提升
例 1 【解析】(1)由点与直线的位置关系的表示方法及直线与平面之间位置关系的
表示方法可知点P在直线a上表示为P∈a，直线a在平面α内可表示为a⊂α，故A正确．
(2)由图形可知，AC＝O，
平面AB1∩平面A1C1＝A1B1，
A1B1＝B1.
【答案】(1)A (2)①O②A1B1③B1
跟踪训练1 解析：依据图形以及数学符号可知：
(1)B∈α，E∈α，C∉α，D∉α；
(2)α＝AB；
(3)B∈β，C∈β，D∈β，E∉β，F∉β；
(4)AB⊂α，AB⊂β，CD⊄α，CD⊂β，BF⊂α，BF⊄β.
答案：(1)∈∈∉∉
(2)AB
(3)∈∈∈∉∉
(4)⊂⊂⊄⊂⊂⊄
例2 【解析】
跟踪训练2 解析：
例3 【解析】①中直线DM与直线CC1在同一平面内，它们不平行，必相交．故结论正确．③④中的两条直线既不相交也不平行，即均为异面直线，故结论正确．②中AM与BN 是异面直线，故②不正确．故填①③④.
【答案】①③④
跟踪训练3 解析：
(1)如图．
①与直线AB平行的直线有A1B1，CD，C1D1，用符号表示为：AB∥A1B1，AB∥CD，AB∥C1D1；
②与直线AA1异面的直线有CD，C1D1，BC，B1C1；
③与直线AD垂直的平面有平面ABB1A1，平面DCC1D1，用符号表示为：AD⊥平面ABB1A1，AD⊥平面DCC1D1.
(2)如图，在长方体ABCD - A′B′C′D′中，令A′D′所在直线为a，AB所在直线为b，由题意，a和b是异面直线，b和c是异面直线．
若令B′C′所在直线为c，则a和c平行．
若令C′C所在直线为c，则a和c异面．
若令D′D所在直线为c，则a和c相交．
(3)依据两条直线的位置关系知：当两条直线没有公共点时，这两条直线可能平行，也可能异面．
答案：(1)见解析(2)D (3)平行或异面
例4 【解析】(1)与直线B′C′平行的平面有平面ABCD，平面ADD′A′.
(2)与平面BC′平行的平面为平面AD′.
跟踪训练4 解析：(1)①有平面AB′，平面CD′.
②有平面AB′，平面A′C′，平面CD′，平面AC.
(2)如图所示，结合图形可知AA1∥平面BB1C1C，AA1∥平面DD1C1C，AA1∥平面BB1D1D.
答案：(1)见解析(2)B
跟踪训练5 解析：A′D′，B′C′，BC，AD的长均可以表示．。