2021版新高考数学(山东专用)一轮：练案 (67) 几何概型 Word版含解析

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［练案67］第六讲几何概型
A组基础巩固
一、单选题
1．（2019·辽宁省葫芦岛市模拟)某次测量发现一组数据(x i,y i）具有较强的相关性,并计算得错误!＝x＋1.5其中数据(1，y1)因书写不清楚，只记得y1是[0，3］上的一个值，则该数据对应的残差(残差＝真实值－预测值)的绝对值不大于0.5的概率为（ C )
A．错误!B．错误!
C．错误!D．错误!
[解析］依题意可知，估计值为1＋1。

5＝2.5,残差为y1－2.5,依题意得｜y
1
－2。

5｜≤0.5，解得2≤y1≤3，∴所求概率为错误!＝错误!,故选C。

2．（2019·河南濮阳模拟）在［－6，9]内任取一个实数m，设f（x)＝－x2＋mx＋m，则函数f（x)的图象与x轴有公共点的概率等于( D ) A．错误!B．错误!
C．错误!D．错误!
[解析] ∵f(x）＝－x2＋mx＋m的图象与x轴有公共点,∴Δ＝m2＋4m≥0，∴m≤－4或m≥0，∴在[－6,9］内取一个实数m，函数f(x)的图象与x轴有公共点的概率P＝错误!＝错误!。

故选D.
3．（2020·湖北武汉调研)在长为16 cm的线段MN上任取一点P，以MP，NP的长为邻边的长作一矩形，则该矩形的面积大于60 cm2的概率为（ A ）
A．1
4
B．错误!
C．错误!D．错误!
[解析] 设MP＝x cm，0〈x<16，则NP＝（16－x）cm，由x(16－x）〉60，得6<x〈10，所以所求概率为P＝错误!＝错误!。

故选A。

4．（2020·广西河池期末）在区间[4,12]上随机地取一个实数a，则方程2x2－ax＋8＝0有实数根的概率为（ D ）
A．1
4
B．错误!
C．错误!D．错误!
［解析] 因为方程2x2－ax＋8＝0有实数根，所以Δ＝（－a）2－4×2×8≥0,解得a≥8或a≤－8。

所以方程2x2－ax＋8＝0有实数根的概率p ＝错误!＝错误!.故选D.
5．（2019·铁岭模拟)已知△ABC中，∠ABC＝60°，AB＝2，BC＝6,在BC 上任取一点D，则使△ABD为钝角三角形的概率为（ C )
A．错误!B．错误!
C．错误!D．错误!
［解析］
如图，当BE＝1时，∠AEB为直角,则点D在线段BE(不包含B、E点)上时,△ABD为钝角三角形;当BF＝4时，∠BAF为直角，则点D在线段CF(不包含F 点）上时,△ABD为钝角三角形．所以△ABD为钝角三角形的概率为错误!＝错误!.
6．(2019·山东威海模拟）如图，等腰直角三角形的斜边长为2错误!，分别以三个顶点为圆心,1为半径在三角形内作圆弧，三段圆弧与斜边围成区域M （图中阴影部分），若在此三角形内随机取一点，则此点取自区域M的概率为( D )
A．错误!B．错误!
C．错误!D．1－错误!
[解析］直角三角形的面积S＝错误!×2×2＝2,因为三角形的内角和为π，所以三个扇形的面积和为错误!×π×12＝错误!，可得阴影部分的面积为2－错误!，点落在区域M内的概率为P＝错误!＝1－错误!.
7．(2019·湖北省四校联考)如图所示的图案是由两个等边三角形构成的六
角星，其中这两个等边三角形的三边分别对应平行，且各边都被交点三等分，若往该图案内投掷一点,则该点落在图中阴影部分内的概率为（ C )
A．错误!B．错误!
C．错误!D．错误!
［解析] 设六角星的中心点为O,分别将点O与两个等边三角形的六个交点连接起来，则将阴影部分分成了六个全等的小等边三角形，并且与其余六个
小三角形也是全等的，所以所求的概率P＝1
2
，故选C.
8．（2020·武汉武昌区联考）若从区间（0，2）内随机取两个数,则这两个数的比不小于4的概率为( C ）
A．错误!B．错误!
C．错误!D．错误!
[解析] 设这两个数分别为x，y，则由条件知0<x〈2，0<y〈2，y≥4x或x≥4y，则所求概率P＝错误!＝错误!.
9. （2020·河南三门峡模拟）底面是正多边形，顶点在底面的射影是底面中心的棱锥叫正棱锥．如图，半球内有一内接正四棱锥S－ABCD，该四棱锥的体积为错误!,现在半球内任取一点，则该点在正四棱锥内的概率为（ A ）
A．错误!B．错误!
C．错误!D．错误!
［解析] 设球半径为R,正四棱锥底面边长为a，则错误!，解得错误!，∴所求概率P＝错误!＝错误!，故选A。

10．（2020·安徽合肥质检）若在x2＋y2≤1所围区域内随机取一点，则该点落在|x|＋｜y｜≤1所围区域内的概率是( B ）
A．
1
π
B．错误!
C．错误!D．1－错误!
［解析] 不等式x2＋y2≤1表示的区域是半径为1的圆,面积为π,且｜x|＋|y｜≤1满足不等式x2＋y2≤1表示的区域是边长为错误!的正方形，面积为2，∴在x2＋y2≤1所围区域内随机取一点,则该点落在|x｜＋|y｜≤1所围区域内的概率为错误!,故选B。

二、多选题
11．利用简单随机抽样的方法抽查某工厂的100件产品，其中一等品有20件，合格品有70件，其余为不合格品，现在这个工厂随机抽查一件产品,设事件A为“是一等品"，B为“是合格品”，C为“是不合格品”，则下列结果正确的是( ABC ）
A．P（B）＝错误!B．P(A∪B）＝错误!
C．P(A∩B）＝0 D．P(A∪B)＝P(C）
[解析] 由题意知A，B,C为互斥事件，故C正确；又因为从100件中抽取产品符合古典概型的条件，所以P（B）＝错误!，P(A）＝错误!,P（C)＝错误!，
则P（A∪B)＝
9
10
，故A、B，C正确;故D错误．故选ABC.
12．(2018·课标Ⅰ卷改编)下图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几
何图形．此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形ABC的斜边
BC，直角边边AB，AC.△ABC的三边所围成的区域记为Ⅰ,黑色部分记为Ⅱ，其余部分记为Ⅲ.在整个图形中随机取一点,此点取自Ⅰ，Ⅱ,Ⅲ的概率分别记为p
1
,p2,p3，则( ACD ）
A．p1＝p2B．p1＝p3
C．p1的最大值为错误!D．p3的最小值为错误!
[解析］设AB＝c，AC＝b，则区域Ⅰ的面积S1＝错误!bc；区域Ⅲ的面积
S
3
＝错误!π（b2＋c2)－错误!bc，区域Ⅱ的面积S2＝错误!π(b2＋c2）－S3＝错误!bc ＝S1，由几何概型可知p1＝p2,故A正确；又整个区域的面积S＝错误!π(b2＋c2)＋错误!bc，∴p1＝错误!＝错误!≤错误!。

（当且仅当b＝c时取等号）,即p1的最大值为错误!,B正确；∴p3＝1－2p1≥错误!(当且仅当b＝c时取等号），即p3的
最小值为π－2
π＋2
，显然B错．故选ACD。

三、填空题
13．(2019·福建漳州调研)在半径为2的圆C内任取一点P，则以点P为中点的弦的弦长小于2错误!的概率为错误!.
［解析］由题可知,当且仅当弦心距d>错误!＝1，即|CP｜〉1时，以点P 为中点的弦的弦长小于23，由几何概型的概率公式可得所求概率为错误!＝错误!.
14．有一个底面半径为1，高为3的圆柱，点O1，O2分别是这个圆柱上底面和下底面的圆心，在该圆柱内随机取一点P，则点P到O1,O2的距离都大于1的概率是错误!。

［解析］由题意,所求概率为1－错误!＝1－错误!＝错误!.
15．(2019·广东六校联考）我国传统的房屋建筑中，常会出现一些形状不同的窗棂，窗棂上雕刻有各种花纹，构成种类繁多的图案，如图所示的窗棂图
案，是将半径为R的圆六等分，分别以各等分点为圆心，以R为半径画圆弧,在圆的内部构成的平面图形，现在向该圆形区域内的随机地投掷一枚飞镖，飞镖落在黑色部分（忽略图中的白线）的概率是2－错误!。

［解析] ∵阴影部分面积为
12×（错误!πR2－错误!×错误!)＝（2π－3错误!）R2,
∴飞镖落在黑色部分的概率为错误!＝2－错误!，
故答案为2－错误!.
B组能力提升
1。

（2020·四川泸州二诊)我国三国时期的数学家赵爽为了证明勾股定理创制了一幅“勾股圆方图”,该图是由四个全等的直角三角形组成，它们共同围成了一个如图所示的大正方形和一个小正方形，设直角三角形中一个锐角的正切值为3.在大正方形内随机取一点，则此点取自小正方形内的概率是（ D ）
A．错误!B．错误!
C．错误!D．错误!
[解析］设直角三角形较短的直角边的边长为a，则小正方形的边长为2a，大正方形的边长为错误!a，∴所求概率P＝错误!＝错误!.故选D.
2．(2019·福建省厦门市质检）斐波那契螺旋线，也称“黄金螺旋线”．如图，矩形ABCD是以斐波那契数为边长的正方形拼接而成的，在每个正方形中作一个圆心角为90°的圆弧,这些圆弧所连成的弧线就是斐波那契螺旋线的一部分，在矩形ABCD内任取一点，该点取自阴影部分的概率为（ B ）
A．错误!B．错误!
C．错误!D．错误!
[解析] 由图可知各正方形的边长为：1，1，2,3,5，8，
矩形ABCD的面积为:S1＝8×13＝104，
阴影部分面积为：
S
2
＝错误!(π＋π＋4π＋9π＋25π＋64π)＝错误!，
所求概率为：P＝错误!＝错误!.
3。

(2019·福建莆田质检/安徽芜湖模拟）中国剪纸是一种用剪刀或刻刀在纸上剪刻花纹，用于装点生活或配合其他民俗活动的民间艺术，蕴涵了极致的数学美和丰富的传统文化信息．现有一幅剪纸的设计图，其中的4个小圆均过正方形的中心，且内切于正方形的两邻边．若在正方形内随机取一点，则该点取自黑色部分的概率为（ A )
A．错误!B．错误!
C.3－22π
4
D．错误!
［解析］分析题意可知，阴影部分刚好可以拼凑成一个圆形,设圆的半径为R，该正方形的边长为l,错误!l＝2(错误!R＋R）,
∴l＝(2＋2)R，
∴所求概率P＝错误!＝错误!。

故选A.
4．(2019·石家庄模拟）已知P是△ABC所在平面内一点，错误!＋错误!＋2错误!＝0，现将一粒黄豆随机撒在△ABC内，则黄豆落在△PBC内的概率是( D ）
A．1
4
B．错误!
C．错误!D．错误!
[解析]
以PB,PC为邻边作平行四边形PBDC，
则错误!＋错误!＝错误!，因为错误!＋错误!＋2错误!＝0，所以错误!＋错误!＝－2错误!，得错误!＝－2错误!，
由此可得，P是△ABC边BC上的中线AO的中点，
∴S△PBC＝错误!S△ABC，
∴所求概率P＝S
△PBC
S
△ABC
＝错误!。

故选D。

5．（2019·湖北武汉武昌区调研）已知a，b是区间[0,4］上的任意实数，则函数f（x）＝ax2－bx＋1在［2，＋∞)上单调递增的概率为( D ）A．错误!B．错误!
C．错误!D．错误!
［解析] 由题意知错误!
函数f（x)在[2,＋∞）上递增⇔错误!
即错误!
由图可知所求概率
P＝错误!＝错误!.故选D.。