2021年江西省南昌市南昌县中考数学一模试卷(附答案详解)

2021年江西省南昌市南昌县中考数学一模试卷
一、选择题（本大题共6小题，共18.0分）
1.下列四个数中，最小的数是()
D. 0
A. −1
B. −√2
C. 1
2
2.下列运算正确的是()
A. a3⋅a2=a6
B. 2a(3a−1)=6a3−1
C. (3a2)2=6a4
D. 2a+3a=5a
3.据统计去年来国内旅游人数达到9.98亿人次，用科学记数法表示9.98亿正确的是
()
A. 9.98×107
B. 9.98×108
C. O.998×109
D. 99.8×107
4.如图，直线a//b，直角三角形如图放置，∠DCB=90°.若∠1+∠B=70°，则∠2的
度数为()
A. 20°
B. 40°
C. 30°
D. 25°
5.桌面上放着1个长方体和1个圆柱体，按如图所示的方式摆放在一起，其左视图是
()
A. B.
C. D.
6.已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴交于点(x1,0)与(x2,0)，其中x1<x2，
方程ax2+bx+c−a=0的两根为m、n(m<n)，则下列判断正确的是()
A. m<n<x1<x2
B. m<x1<x2<n
C. x1+x2>m+n
D. b2−4ac≥0
二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）
7.分解因式：x2y−y=______．
8.分式方程：1
1−x −1=2
x−1
的解是______．
9.已知一次函数y=kx+b(≠0)经过(1,−2)，(−2,3)两点，则它的图象不经过第
______ 象限．
10.已知α、β是一元二次方程x2−2021x+2020=0的两实根，则代数式(α−
2021)(β−2021)=______ ．
11.如图，在半圆AOB中，半径OA=4，C、D两点在半圆上，
若四边形OACD为菱形，则图中阴影部分的面积是______ ．
12.如图，矩形ABCD中，AB=3，
AD=2√3，点E是BC的中点，
点F在AB上，FB=1，P是
矩形上一动点.若点P从点F
出发，沿F→A→D→C的路
线运动，当∠FPE=30°时，FP的长为______ ．
三、解答题（本大题共11小题，共84.0分）
13.(1)计算：(√3−1)0+2sin60°−|1−√3|+(1
2
)−1+
(−1)2021；
(2)如图，在△ABC中，已知∠ABC=30°，将△ABC绕点
B逆时针旋转50°后得到△A1BC1，若∠A=100°，求证：A1C1//BC．
14. 解不等式组{2x +3>3(x −1)
1≤x+12
15. 等腰△ABC 中，AB =AC ，以AB 为直径作圆交BC 于点D ，请仅用无刻度的直尺，
根据下列条件分别在图1、图2中画一条弦，使这条弦的长度等于弦BD.(保留作图痕迹，不写作法) (1)如图1，∠A <90°； (2)如图2，∠A >90°．
16. 为落实“垃圾分类”，环保部门要求垃圾要按A ，B ，C ，D 四类分别装袋、投放，
其中A 类指废电池，过期药品等有毒垃圾，B 类指剩余食品等厨余垃圾，C 类指塑料、废纸等可回收物，D 类指出其他垃圾，小明、小亮各投放了一袋垃圾． (1)直接写出小明投放的垃圾恰好是A 类的概率； (2)求小亮投放的垃圾与小明投放的垃圾是同一类的概率．
17.如图，菱形OABC的边OC在x轴正半轴上，点B的坐标为(8,4)．
(1)请求出菱形的边长；
(2)若反比例函数y=k
经过菱形对角线的交点D，求反比例函数解析式．
x
18.下表是2018年三月份某居民小区随机抽取20户居民的用水情况：：
月用水量/吨15202530354045
户数24m4301
(1)求出m=______，补充画出这20户家庭三月份用电量的条形统计图；
(2)据上表中有关信息，计算或找出下表中的统计量，并将结果填入表中：
统计量名称众数中位数平均数
数据______ ______ ______
(3)为了倡导“节约用水绿色环保”的意识，江赣市自来水公司实行“梯级用水、
分类计费”，价格表如下：
月用水梯级标准Ⅰ级(30吨以内)Ⅱ级(超过30吨的部分)
单价(元/吨) 2.44
如果该小区有500户家庭，根据以上数据，请估算该小区三月份有多少户家庭在Ⅰ级标准？
(4)按上表收费，如果某用户本月交水费120元，请问该用户本月用水多少吨？
19.如图(1)A1B1和A2B2是水面上相邻的两条赛道(看成两条互相平行的线段)，甲是一
名游泳运动健将，乙是一名游泳爱好者，甲在赛道A1B1上从A1处出发，到达B1后，以同样的速度返回A1处，然后重复上述过程；乙在赛道A2B2上以1.5m/s的速度从B2处出发，到达A2后以相同的速度回到B2处，然后重复上述过程(不考虑每次折返时的减速和转向时间).若甲、乙两人同时出发，设离池边B1B2的距离为y(m)，运动时间为t(s)，甲游动时，y(m)与t(s)的函数图象如图2所示．
(1)赛道的长度是______ m，甲的速度是______ m/s；当t=______ s时，甲、乙
两人第一次相遇；
(2)求当t=______ s时，甲、乙两人第二次相遇？并求此时距离池边B1B2多远？
20.如图①是一个新款水杯，水杯不盛水时在如图②所示的位置放置，这样可以快速
晾干杯底，干净透气：将图②的主体部分抽象成图③，此时杯口与水平直线的夹角为35°，四边形ABCD可以看作矩形，测得AB=20cm，BC=16cm，过点A作AF⊥CE，交CE于点F．
(1)求∠BAF的度数；
(2)求点A到水平直线CE的距离AF的长.(精确到0.1cm，参考数据sin35°≈0.5736，
cos35°≈0.8192，tan35°≈0.7002)
21.如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠BAD=90°，AD、BC的延长线交于点F，点E
在CF上，且∠DEC=∠BAC．
(1)求证：DE是⊙O的切线；
(2)当AB=AC时，若CE=3，EF=5，
①求证：DE=EF；
②求⊙O的半径．
22.【问题解决】一节数学课上，老师提出了这样一个问题：如图1，点P是正方形ABCD
内一点，PA=1，PB=2，PC=3.你能求出∠APB的度数吗？
小明通过观察、分析、思考，形成了如下思路：
思路一：将△BPC绕点B逆时针旋转90°，得到△BP′A，连接PP′，求出∠APB的度数；
思路二：将△APB绕点B顺时针旋转90°，得到△CP′B，连接PP′，求出∠APB的度数．
请参考小明的思路，任选一种写出完整的解答过程．
【类比探究】如图2，若点P是正方形ABCD外一点，PA=5，PB=2，∠APB=45°，求PC的长．
23.如图，已知二次函数L1：y=mx2+2mx−3m+1(m≥1)和二次函数L2：y=
−m(x−3)2+4m−1(m≥1)图象的顶点分别为M，N，与x轴分别相交于A、B 两点(点A在点B的左边)和C、D两点(点C在点D的左边)．
(1)函数y=mx2+2mx−3m+1(m≥1)的顶点坐标为______；当二次函数L1，L2
的y值同时随着x的增大而增大时，则x的取值范围是______；
(2)当AD=MN时，求m的值，并判断四边形AMDN的形状(直接写出，不必证明)；
(3)抛物线L1，L2均会分别经过某些定点：
①求所有定点的坐标；
②若抛物线L1位置固定不变，通过左右平移抛物线L2的位置使这些定点组成的图形
为菱形，则抛物线L2应平移的距离是多少？
答案和解析
1.【答案】B
，
【解析】解：∵−√2<−1<0<1
2
∴最小的数是−√2，
故选：B．
正数大于0，负数小于0，两个负数比较大小，绝对值大的反而小．
本题考查了实数的比较大小，两个负数比较大小，绝对值大的反而小，这是解题的关键．2.【答案】D
【解析】解：A、a3⋅a2=a5，本选项错误；
B、2a(3a−1)=6a2−2a，本选项错误；
C、(3a2)2=9a4，本选项错误；
D、2a+3a=5a，本选项正确，
故选：D
A、原式利用同底数幂的乘法法则计算得到结果，即可作出判断；
B、原式利用单项式乘多项式法则计算得到结果，即可作出判断；
C、原式利用积的乘方与幂的乘方运算法则计算得到结果，即可作出判断；
D、原式合并同类项得到结果，即可作出判断．
此题考查了单项式乘多项式，合并同类项，同底数幂的乘法，以及幂的乘方与积的乘方，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
3.【答案】B
【解析】解：将9.98亿用科学记数法表示为：9.98×108．
故选：B．
科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值>1时，n是正数；当原数的绝对值<1时，n是负数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤
|a|<10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
4.【答案】A
【解析】解：由三角形的外角性质，∠3=∠1+∠B=70°，
∵a//b，∠DCB=90°，
∴∠2=180°−∠3−90°=180°−70°−90°=20°．
故选：A．
根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的
和可得∠3=∠1+∠B，再根据两直线平行，同旁内角互补列式计算即可得解．
本题考查了平行线的性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，熟记性质并准确识图是解题的关键．
5.【答案】C
【解析】解：从左边看，
故选：C．
根据从左边看得到的图形是左视图，可得答案．
本题考查了简单组合体的三视图，从左边看得到的图形是左视图．
6.【答案】B
【解析】
【分析】
把方程ax2+bx+c−a=0的两根为m、n(m<n)，理解为二次函数y=ax2+bx+c 与直线y=a的交点的横坐标分别为m、n，然后讨论a>0和a<0，利用图象可确定m、n、x1、x2的大小．
本题考查了抛物线与x轴的交点：对于二次函数y=ax2+bx+c(a,b，c是常数，a≠0)，Δ=b2−4ac决定抛物线与x轴的交点个数：Δ=b2−4ac>0时，抛物线与x轴有2个交点；Δ=b2−4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；Δ=b2−4ac<0时，抛物线
与x轴没有交点．也考查了二次函数的性质．
【解答】
解：当a>0，∵方程ax2+bx+c−a=0的两根为m、n，
∴二次函数y=ax2+bx+c与直线y=a的交点在x轴上方，它们的横坐标分别为m、n，∴m<x1<x2<n；
当a<0，∵方程ax2+bx+c−a=0的两根为m、n，
∴二次函数y=ax2+bx+c与直线y=a的交点在x轴下方，它们的横坐标分别为m、n，∴m<x1<x2<n．
故选B．
7.【答案】y(x+1)(x−1)
【解析】解：x2y−y
=y(x2−1)
=y(x+1)(x−1)．
故答案为：y(x+1)(x−1)．
首先提取公因式y，再利用平方差公式分解因式得出答案．
此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确应用乘法公式是解题关键．8.【答案】x=−2
【解析】解：去分母得：−1−x+1=2，
解得：x=−2，
经检验x=−2是分式方程的解，
故答案为：x=−2
分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．
9.【答案】一
【解析】解：将(1,−2)，(−2,3)代入y =kx +b(≠0)得：{k +b =−2−2k +b =3
， 解得：{k =−53b =−13
， ∴一次函数的解析式为y =−53x −13．
∵k =−53<0，b =−13<0，
∴一次函数的图象经过第二、三、四象限，
∴一次函数的图象不经过第一象限．
故答案为：一．
根据点的坐标，利用待定系数法可求出一次函数的解析式，由k =−53<0，b =−13
<0，利用一次函数图象与系数的关系可得出一次函数的图象经过第二、三、四象限，进而可得出一次函数的图象不经过第一象限．
本题考查了待定系数法求一次函数解析式以及一次函数图象与系数的关系，根据点的坐标，利用待定系数法求出一次函数的解析式是解题的关键．
10.【答案】2020
【解析】解：∵α、β是一元二次方程x 2−2021x +2020=0的两实根，
∴α+β=2021，αβ=2020，
∴(α−2021)(β−2021)=αβ−2021(α+β)+20212
=2020−2021×2021+20212
=2020．
故答案为：2020．
根据根与系数的关系得到α+β=2021，αβ=2020，再利用乘法公式展开得到(α−2021)(β−2021)=αβ−2021(α+β)+20212，然后利用整体代入的方法计算． 本题考查了根与系数的关系：若x 1，x 2是一元二次方程ax 2+bx +c =0(a ≠0)的两根时，x 1+x 2=−b a ，x 1x 2=c a ．
11.【答案】8π−8√3
【解析】解：连接OC，过点C作CE⊥OA，垂足为E，∵四边形OACD是菱形，
∴OA=AC=CD=OD，
又∵OA=OC，
∴△AOC是正三角形，
∴OE=AE=2，
∴CE=√OC2−OE2=√42−22=2√3，
∴S
阴影部分=S
半圆
−S
菱形OACD
=1
2
π×42−4×2√3
=8π−8√3，
故答案为：8π−8√3．
连接OC可得出三角形AOC是等边三角形，进而求出高CE，再根据半圆面积减去菱形面积即可．
本题考查扇形面积计算，菱形的性质，掌握扇形面积的计算方法是正确解答的前提，理解图形各个部分面积之间的关系是解决问题的关键．
12.【答案】2或4或2√3
【解析】解：如图，连接DF，AE，DE，取DF的中点O，连接OA、OE.以O为圆心OE的长度为半径，画⊙O交CD于P3．
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD=∠B=90°，
∵AB=3，AD=2√3，点E是BC的中点，FB=1，
∴BE=√3，AF=2，
∴tan∠FEB=tan∠ADF=√3
3
，
∴∠ADF=∠FEB=30°，
∵EF=√BF2+BE2=√3+1=2，DF=√AD2+AF2=√4+12=4，
∴OE=OF=EF=2，
∴△OEF是等边三角形，
∴∠EP1F=∠FP2F=∠FP3E=30°，
∴FP1=2，FP2=4，FP3=2√3，
故答案为2或4或2√3．
如图，连接DF，AE，DE，取DF的中点O，连接OA、OE.以O为圆心画⊙O交CD于P3.只要证明∠EP1F=∠FP2F=∠FP3E=30°，即可推出FP1=2，FP2=4，FP3=2√3，即可求解．
本题考查矩形的性质，锐角三角函数，圆的有关知识，等边三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造特殊三角形解决问题，属于中考填空题中的压轴题．
13.【答案】解：(1)原式=1+2×√3
−(√3−1)+2−1
2
=1+√3−√3+1+2−1
=3；
(2)证明：∵∠A=100°，∠ABC=30°，
∴∠C=180°−∠A−∠ABC=50°，
∵△ABC绕点B逆时针旋转50°后得到△A1BC1，
∴∠CBC1=∠C=50°，
∴A1C1//BC．
【解析】(1)先计算零指数幂、代入三角函数值、去绝对值符号、计算负整数指数幂和乘方，再计算乘法、去括号，最后计算加减即可；
(2)先根据三角形内角和定理得出∠C=180°−∠A−∠ABC=50°，再根据旋转的性质得出∠CBC1=∠C=50°，从而得证．
本题主要考查实数的运算和旋转的性质，解题的关键是掌握零指数幂、三角函数值、绝对值性质、负整数指数幂和乘方运算法则、旋转的性质及平行线的判定．
14.【答案】解：{2x+3>3(x−1)①1≤x+1
2
②
，
解不等式①，得x<6，
解不等式②，得x≥1，
所以，不等式组的解集为1≤x<6．
【解析】先求出不等式组中每一个不等式的解集，再求出它们的公共部分，就是不等式组的解集．
本题考查的是一元一次不等式组的解，解此类题目常常要结合数轴来判断．还可以观察不等式的解，若x>较小的数、<较大的数，那么解集为x介于两数之间．
15.【答案】解：(1)如图1，DE为所作：
(2)如图2，DE为所作：
【解析】(1)如图1，连结AD，由于AB为直径，则∠ADB=90°，由于AB=AC，所以AD平分∠BAC，即∠BAD=∠EAD，于是得到BD=DE；
(2)如图2，延长CA交圆于E，连结BE、DE，与(1)一样得到∠BAD=∠DAC，而∠DAC=∠DBE，所以∠DBE=∠BAD，所以DE=BD．
本题考查了作图−复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了圆周角定理．
16.【答案】解：(1)∵垃圾要按A，B，C，D四类分别装袋，小明投放了一袋垃圾，∴小明投放的垃圾恰好是A类的概率为：1
4
；
(2)如图所示：
由图可知，共有16种可能结果，其中小亮投放的垃圾与小明投放的垃圾是同一类的结果有4种，
所以小亮投放的垃圾与小明投放的垃圾是同一类的概率为4
16=1
4
．
【解析】本题主要考查了树状图法求概率，正确利用树状图法列举出所有可能并熟练掌握概率公式是解题关键．
(1)直接利用概率公式求出小明投放的垃圾恰好是A类的概率；
(2)首先利用树状图法列举出所有可能，进而利用概率公式求出答案．
17.【答案】解：(1)如图，BM⊥x轴于点M，
∵点B的坐标为(8,4)，OC=BC，
∴CM=8−BC，
在Rt△BCM中，BC2=CM2+BM2，即BC2=(8−
BC)2+42，
解得，BC=5，即菱形的边长为5；
(2)∵D是OB的中点，
∴点D的坐标为：(4,2)，
∵点D在反比例函数y=k
x
上，
∴k=4×2=8，
∴反比例函数解析式为y=8
x
．
【解析】(1)过B作BM⊥x轴于点M，根据B的坐标求出BM=4，在Rt△BCM中，根据勾股定理得出方程，求出方程的解即可；
(2)求出D的坐标，然后根据待定系数法即可求得反比例函数解析式．
本题考查了待定系数法求反比例函数的解析式，反比例函数图象上点的坐标特征，菱形的性质，勾股定理等知识点，求得D的坐标是解此题的关键．
18.【答案】(1)6；
(2) 25 25 26.5；
(3)小区三月份达到ⅠI级标准的用户数：
=100(户)，
500×3+1
20
答：该小区三月份有100户家庭在ⅠI级标准；
(4)∵2.4×30=72<120，
∴该用户本月用水超过了30吨，
设该用户本月用水x吨，
2.4×30+4(x−30)=108，
解得x=39，
答：该用户本月用水39吨．
【解析】
解：(1)m=20−2−4−4−3−0−1=6，
这20户家庭三月份用电量的条形统计图：
故答案为6；
(2)根据题意可知，25出现的次数最多，则众数为25，
由表可知，共有20个数据，则中位数为第10、11个的平均数，即为25；
平均数为(15×2+20×4+25×6+30×4+45×1)÷20=26.5，
故答案为25，25，26.5；
(3)见答案；
(4)见答案．
【分析】
(1)根据各用户数之和等于数据总和即可求出m 的值，根据表格数据补全统计图；
(2)根据众数、中位数、平均数的定义计算即可；
(3)用达标的用户数除以总用户数，乘以500即可；
(4)设该用户本月用水x 吨，列方程2.4×30+4(x −30)=108，解答即可． 本题考查了条形统计图，熟练掌握条形统计图的相关知识是解题的关键．
19.【答案】50 2 1007 3007
【解析】解：(1)由图象，得赛道的长度是：50m ，
甲的速度是：50÷25=2(m/s)．
设经过x 秒时，甲、乙两人第一次相遇，由题意，2x +1.5x =50，
∴x =100
7，
故答案为：50，2，100
7；
(2)设经过a 秒时，甲、乙两人第二次相遇，由题意，得
2a +1.5a =50×3，
解得：x =300
7，
此时距离池边B 1B 2的距离为：2×
300
7−50=2507(m)． 故答案为：300
7，250
7m.
(1)由函数图象可以直接得出赛道的长度为50米，由路程÷时间=速度就可以求出甲的速度；设经过x 秒时，甲、乙两人第一次相遇，根据甲游过的路程+乙游过的路程，建立方程求出其解即可；
(2)设经过a 秒时，甲、乙两人第二次相遇，根据甲游过的路程+乙游过的路程=150米建立方程求出其解即可．
本题考查了行程问题的数量关系速度=路程÷时间的运用，相遇问题的数量关系的运用，解答时认真分析函数图象的意义是关键．
20.【答案】解：(1)延长AB 、FC 相交于点G ，
∵AF ⊥EC ，
∴∠AFG =90°，
∴∠BAF +∠G =90°，
∵四边形ABCD 是矩形，
∴∠ABC=90°=∠CBG，
∴∠BCG+∠G=90°，
∴∠BAF=∠BCG=35°；
(2)Rt△BCG中，∠BCG=35°，BC=16cm，∴BG=tan35°⋅BC≈11.2032(cm)，
CG=BC
cos35∘≈16
0.8192
≈19.53125(cm)，
∵∠AFG=∠CBG=90°，∠G=∠G，∴△AFG∽△CBG，
∴AF
BC =AG
CG
，
即AF
16=20+11.2032
19.53125
，
解得AF≈25.6(cm)，
答：点A到水平直线CE的距离AF的长约为25.6cm．
【解析】(1)延长AB、FC相交于点G，直角三角形两锐角互余以及同角的余角相等得出答案；
(2)在Rt△BCG中求出CG、BG，再利用相似三角形得出答案．
本题考查解直角三角形，构造直角三角形，掌握直角三角形的边角关系是解决问题的关键．
21.【答案】(1)证明：如图(1)，
连接BD，
∵∠BAD=90°，
∴BD是⊙O的直径，
∴∠BCD=∠DCE=90°，
∴∠DEC+∠CDE=90°，
∵∠BAC=∠BDC，∠BAC=
∠DEC，
∴∠BDC+∠CDE=90°，即∠BDE=90°，
∴DE是⊙O的切线．
(2)①证明：由(1)得：∠BDE=90°，
∴∠ADB+∠EDF=90°，
∵∠BAD=90°，
∴∠ABC+∠F=90°，
∴∠ADB+∠EDF=∠ABC+∠F，
∵AB=AC，
∴∠ADB=∠ABC，
∴∠EDF=∠F，
∴DE=EF．
②解：∵DE=EF，
∴DE=EF=5，
∵BD是⊙O的直径，
∴∠BCD=90°，
∴CD=√DE2−CE2=√52−32=4，∠BDC+∠DBC=90°，
又∵∠BDC+∠EDC=90°，
∴∠DBC=∠EDC，
∴△CDE∽△CBD，
∴CE
CD =DE
BD
，
∴3
4=5
BD
，
∴BD=20
3
，
∴⊙O的半径为10
3
．
【解析】(1)连接BD，由∠BAD=90°，得BD是直径，故∠BCD=90°，∠BAC=∠BDC，结合∠DEC=∠BAC，得出切线；
(2)①由切线和直径得到∠BAF=∠BDE=90°，从而∠ABC+∠F=∠ADB+∠FDE= 90°，结合AB=AC，证明DE=EF；
②先证△CDE∽△CBD，再求圆的半径．
本题是圆的综合题型，考查了学生对于圆周角性质定理和逆定理、等腰三角形、勾股定理和相似三角形的应用．证明切线和线段相等的时候都是需要用到角度进行转化，那么，需要同学们能够准确找出同一条弧或者弦所对的所有的圆周角或圆心角，这样才能找出可以用来等量代换的角，从而得出结论．
22.【答案】解：【问题解决】思路一，如图1，将△BPC绕点B逆时针旋转90°，得到△BP′A，连接PP′，
则△ABP′≌△CBP，AP′=CP=3，BP′=BP=2，∠PBP′=90°，
∴∠BPP′=45°，
根据勾股定理得，PP′=√2BP=2√2，
∵AP=1，
∴AP2+P′P2=1+8=9，
又∵P′A2=32=9，
∴AP2+P′P2=P′A2，
∴△APP′是直角三角形，且∠APP′=90°，
∴∠APB=∠APP′+∠BPP′=90°+45°=135°．
思路二，同思路一的方法．
【类比探究】如图2，将△BPC绕点B逆时针旋转90°，得到△BP′A，连接PP′．
则△ABP′≌△CBP，AP′=CP，BP′=BP=2，∠PBP′=90°，
∴∠BPP′=45°，PP′=2√2，
∵∠APB=45°，
∴∠APP′=90°，
∴AP′=√AP2+PP′2=√52+(2√2)2=√33，
∴PC=AP′=√33．
【解析】【问题解决】利用旋转法构造全等三角形以及直角三角形即可解决问题．
【类比探究】如图2，将△BPC绕点B逆时针旋转90°，得到△BP′A，连接PP′.证明△APP′是直角三角形，且∠APP′=90°，利用勾股定理求出AP′即可解决问题．
本题属于四边形综合题，考查了等边三角形的性质和判定，全等三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会利用旋转法构造辅助线，利用全等三角形的性质解决问题，属于中考压轴题．
23.【答案】(−1,−4m+1)−1<x<3
【解析】解：(1)x=−b
2a
=−1，顶点坐标M为
(−1,−4m+1)，
由图象得：当−1<x<3时，二次函数L1，L2的
y值同时随着x的增大而增大．
故答案为：(−1,−4m+1)；−1<x<3
(2)结论：四边形AMDN是矩形．
由二次函数L1：y=mx2+2mx−3m+1(m≥1)和二次函数L2：y=−m(x−3)2+ 4m−1(m≥1)解析式可得：
A点坐标为(−1−√4m−1
m ,0)，D点坐标为(3+√4m−1
m
,0)，顶点M坐标为(−1,−4m+1)，
顶点M坐标为(3,4m−1)，
∴AD的中点为(2,0)，MN的中点为(2,0)，
∴AD与MN互相平分，
∴四边形AMDN是平行四边形，
又∵AD=MN，
∴▱AMDN是矩形．
∵AD=4+2√4m−1
m
，MN=√42+[2(4m−1)]2=2√4+(4m−1)2，
当AD=MN时，4+2√4m−1
m
=2√4+(4m−1)2，
解得：m=1.04
(3)①∵二次函数L1：y=
mx2+2mx−3m+1=
m(x+3)(x−1)+1，
故当x=−3或x=1时y=
1，即二次函数L1：y=
mx2+2mx−3m+1经过
(−3,1)、(1,1)两点，
∵二次函数L2：y=−m(x−3)2+4m−1=−m(x−1)(x−5)−1，
故当x=1或x=5时y=−1，即二次函数L2：y=−m(x−3)2+4m−1经过(1,−1)、(5,−1)两点，
②∵二次函数L1：y=mx2+2mx−3m+1经过(−3,1)、(1,1)两点，二次函数L2：y=
−m(x−3)2+4m−1经过(1,−1)、(5,−1)两点，
如图：四个定点分别为E(−3,1)、F(1,1)，H(1,−1)、G(5,−1)，则组成四边形EFGH为平行四边形，
设平移的距离为x，根据平移后图形为菱形，
由勾股定理可得：42=22+(4−x)2．
解得：x=4±2√3，
抛物线L1位置固定不变，通过左右平移抛物线L2的位置使这些定点组成的图形为菱形，则抛物线L2应平移的距离是4+2√3或4−2√3．
(1)将已知抛物线解析式转化为顶点式，直接得到点M的坐标；结合函数图象填空；
(2)利用抛物线解析式与一元二次方程的关系求得点A、B、C、D的横坐标，结合两点间的距离公式可以得到AD、MN的长度(用a表示的代数式)，根据AD=MN列出方程并解答即可；
(3)根据菱形的性质可得EH1=EF=4即可，设平移的距离为x，根据平移后图形为菱形，由勾股定理可得方程即可求解．
主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系．。