第二学期高数(下)期末考试试卷与答案

第二学期期末高数（下）考试试卷及答案 1 一、填空题(每空 3 分，共15 分)
1.设
0t
2
F x e dt，则F x
2
x
2
2
x
xe.
1
2.曲面z sin x cos y在点, ,
442
处
的切平面方程是x y2z10.
3.交换累次积分的次序：
1233x
dy f x, y dx dy f x, y dx 0010
23x
dx f x, y dy.
x
2
4.设闭区域 D 是由分段光滑的曲线L 围成,则：
使得格林公式：
Q P
x y
dxdy Pdx Q dy D L
成立的充分条件是：
P x, y和Q x, y在D上具有一阶连续偏导数. 其中L 是D 的取正向曲线;
5.级数
n
1
n1
n3n
1
的收敛域是3, 3.
二、单项选择题( 每小题 3 分, 共15 分)
1.当x0，y0时,函数
3
2
x y
42
x y
的极限是D
1 A.
等于0; B. 等于;
3
1
C. 等于;
D. 不存在.
4
2.函数z f x, y在点x0, y0处具有偏导数f x x0, y0，
f x, y是函数在该点可微分的C
y00
A. 充分必要条件;
B.充分但非必要条件;
C.必要但非充分条件;
D. 既非充分又非必要条件.
1
x
3.设z e cos y x sin y，则dz1B
x
y0
A. e;
B. e dx dy;
C.
1
e dx dy; D.
x
e dx dy.
4.若级数
n
a x在x1处收敛,
1
n
n1
则此级数在
x2处A
A. 绝对收敛;
B.条件收敛;
C.发散;
D.收敛性不确定.
5.微分方程
3x
y6y9y x1e的特解y应设为D
A.
3x
ae; B.
3x
ax b e;
C.
3x
x ax b e; D.
23x
x ax b e.
三.（8 分）设一平面通过点3,1, 2,而且通过
x4y3z
直线,求该平面方程.
521
解：A3,1, 2, B4, 3,0
AB1, 4, 2平行该平面
该平面的法向量
n5, 2,11, 4, 28, 9, 22所求的平面方程为：8x39y122z20即：
8x9y22z590
y
四.（8 分）设z f xy, e,其中f u,v具有二阶连续偏导数,试求
2
z z
和
x x y
.
y 解：令
u xy，v e
z
yf
u
x
2
2
z
x y y
y yf f y xf e f u u uu uv
五.（8 分）计算对弧长的曲线积分
22
x y
e ds L
其中L是圆周222
x y R与直线x0, y0
在第一象限所围区域的边界.
解：
L L1L2L3
22200
其中：L1：x y R x, y
L：x00y R
2
L：y00x R
3
22222222
x y x y x y x y
e ds e ds e ds e ds
L L L L
123
22
x y R R
而R e
e ds e R dt
2
0 2
L
1
22R
x y y R
e ds e dy e
1
L
2
22R
x y x R
e ds0e dx e 1 L
3
22
x y R R
故：e ds R e 2e1
2
L
六、（8 分）计算对面积的曲面积分
4
z2x y dS,
3
x y z
其中为平面1
234
在第一卦限中的部分.
解：D：
xy
0x2
3
0y3x
2
1
2261
z z
x y
3
3
461
z2x y dS4dxdy
33
D
xy
3
4
23x
dx61dy461,
2
00
3
七.（8 分）将函数f x
1
2
x4x3
,展开成x 的幂级数.
解：f x 1111111
21x3x21x6
1
x
3
,
而111
21x2
n
1
n n
x, 1,1
n
1
11
x
63
n0
1
3n
x n, 3, 3
n n
11
f x11x, 1,1
n1
2 3 n
八.（8 分）求微分方程：
423222 5x3xy y dx3x y3xy y dy0的通解.
解：
P Q
y x 63
xy y
2
,
原方程为：
422322 5x dx y dy(3xy y)dx3x y3xy dy 5133223
dx d y d x y y x
32
5133223
d x y x y y x
32
通解为：
5133223
x y x y y x C
32
4
九.幂级数：y x1
2462
n x x x x
2! 4! 6! 2n!
x,
1.试写出y x y x的和函数;（4 分）
2n
x
的和函数.（8 分）2.利用第 1 问的结果求幂级数
n
02n!
解：1、y x x
352n1
x x x
3! 5! 2n1!
,
于是
23
x x
x
y x y x1x e,
2! 3!
2、令：S x
2n
x
n
02n!
由1 知：
x
S x S x e且满足：S01
通解：
1
x x x x x S x e C e e dx C e e
2
由S01，得：
1
C；故：
2
1
x x
S x e e
2
十.设函数f t在0, 上连续,且满足条件
11
22
f t f x y dv
2
t1t
t
其中t是由曲线
2
z ty
x0
,绕z轴旋转一周而成的曲面
与平面z t(参数t0)所围成的空间区域。

5
1、将三重积分
22
f x y dv写成累次积分的形式; t
（3 分）
2、试求函数f t的表达式.（7 分）
解：1、旋转曲面方程为：
22 z t x y
由
22
z t x y
z t
，得：
22
x y1
故t在xoy面的投影区域为：D xy：
22
x y1 21t
22
f x y dv d d f dz
2
00t
t
2、由1 得：
11
12
f t2t1f d
2
t1t
1
t1t2
12
2t1f d 0
记：
12
A1f d 0
则：
1
f t2tA
2
t1t
两边乘以：
2
t1t，再在0,1上积分得：
4
12122
A1t dt2A t1t dt A 00
415
解得：A 15 44
故：
115
f t t
2
22
t1t
第二学期期末高数（下）考试试卷及答案 2 三、填空题(每空 3 分，共15 分)
6
1. 曲线
2
z y
，绕
z轴旋转一周所得到的x0
旋转曲面的方程是
22
z x y1. 1
x
y
1
z
2
y1
1
在点, ,
21
2
2.曲线
处
的法平面方程是2x8y16z10.
3. 设22
z f x y,其中f u具有二阶连续导数,
2
z
14.
且f13，f12,则
2
x
x1
y0
n2n11
4. 级数时收敛.
，当满足不等式
n 2 n
1
n
x1
的收敛域是1, 3.
5.级数
n
2n n
1
四、单项选择题( 每小题 3 分, 共15 分)
1.设a与b为非零向量,则a b0是A
A. a// b的充要条件;
B. a b的充要条件;
C. a b的充要条件;
D. a// b的必要但非充分条件.
2.平面3x3y60的位置是B
A. 垂直于z轴;
B.平行于z轴;
C.平行于xoy面;
D. 通过z轴.
3.设函数f x, y 0xy0
当时
1xy0
当时
，
7
则下列说法正确的是C
A. lim f x, y存在且f x, y在点0, 0处的
x0
y0
两个偏导数也存在;
B. lim f x, y存在但f x, y在点0, 0处的
x0
y0
两个偏导数不存在;
C. lim f x, y不存在但f x, y在点0,0处的
x0
y0
两个偏导数存在;
D. lim f x, y不存在且f x, y在点0,0处的
x0
y0
两个偏导数也不存在;
4.曲线L为圆周x3cos t
y3sin t
0t2,
则
n
22
x y ds等于A L
A. 232n1;
B. n91;
n C. 63
1
2n1
3
; D. .
2n1
5. 设正项级数u收敛，则必有D
n
n1
A. lim
n u
n
u n
11; B. lim n1
u;
n
n
C. lim u n c0;
D. lim n0
u.
n n
三.（8 分）在平面x y z1上求一直线，
y1
使得它与直线
垂直相交。

z1
8
解：方法1：
y 1
直线
的方向向量为1, 0, 0 z
1
x y z1的交点为1,1, 1
它与平面
所求直线通过这一点，
所求直线的方向向量为：
S1,1,11, 0,00,1, 1
x1y1z 1 故所求的直线方程为：
011
y 1
方法2：直线
的方向向量为1, 0, 0 z
1
它与平面x y z1的交点为1,1, 1所求直线通过这一点，
y 1
过交点1,1, 1且与直线
垂直的平面方程为：
z1
x10y10z10
x1
即：
x y z 1
故所求的直线方程为：
x1
y z0
或：
x1
四.（8 分）设z z(x,y)是由方程330
z xz y
所确定的隐函数,
2
z z z
求:
，和，
x y x y
x0
x0x0
y 1
y 1
y1
9
3
解：设, ,
F x y z z2xz y，则：
F2z，F y1，
x
2
F3z2x，
z
当x0，y1时z1，
z2z2
( )
2
x x0z x x0
323
y1y1
，
z11
( )
20
y z x
x3 0
32x
y1
y1，
22
z6z4x2
( )
23
x y( 3z2x) 9
x0x0
y1y1
，五.（8 分）计算曲线积分12y22y
xe dx x e y dy
L
其中L为从O0,0经
22
x2y4的上半圆到A2, 2的一弧段。

解：由
P Q
y x 2xe2y
知与路经无关。

取B2, 0，作新路经O B A折线，
于是：12y22y
xe dx x e y dy
L
22 2
y
01x dx04e y dy O B BA
44
42e42e
六、（8 分）利用高斯公式计算曲面积分
222 xz dydz x ydzdx y zdxdy,
其中为球面：
2222
x y z a的上半部分的上侧.
解：作0：z0取下侧.
10
则
222
xz dydz x ydzdx y zdxdy
00
而
222
z x y dv
2
2225
a
d d r r sin dr a
2
000
5
2 222
xz dydz x ydzdx y zdxdy
故：
5
00
a5
七.（8 分）将函数f x
1
2
x4x3
,
展开成x1的幂级数.
解：f x
111
21x3x
11
x1x 1 4181
24
而：
n
1
11
x142
n0
41
2
n
n
x11x3
n
1
11
x184
n0
n
n
x13x5
81
4
11
n n
f x1x11x3
n22n 3 n
22
x
八.（8 分）求微分方程：y y4xe的通解.
11
解：
2
r10.r1,r 1.
12
x x
Y C1e C2e.
x 1是特征方程的单根, 所以设y*x A x B e.
x
代入原方程得: 1, 1.*1.
A B y x x e
故原方程的通解为:
x x2x y C1e C2e x x e.
九. （12 分）求由曲面
22
z x y和
22
z6x y
所围成立体的体积.
62222 x y z x y
解：：
D
xy
02
02
2 226
V dv d d dz
0032 3
十. （10 分）设y f x是第一象限内连接点A0,1，
B1, 0的一段连续曲线，M x, y为该曲线上任意
一点，点
C为M在x轴上的投影，O为坐标原点。

若梯形O C M A的面积与曲边三角形
C B M的面积之和为
6
x1。

试建立
f x所满足的微分方程，并求f x 6
3
的表达式。

解：梯形O C M A的面积为：1
2
x1f x
曲边三角形C B M的面积为：1
x
f t dt
根据题意得：
3
1x1
1
x1f x f t dt
x
263
两边关于x求导得：
12
111 1f x xf x f x x 222
2
即：
2
1x1 f x f x
x x
故：
121
x x1x
dx dx
2
f x e e dx C x C x
x
1
由：
f10，得：C2，
2
f x x1
故：
第二学期高数（下）期末考试试卷及答案 3
一、填空题(每空 3 分，共15 分)
1. 已知向量a1,1,4,b3,4,0,则以a,b
为边的平行四边形的面积等于449.
2. 曲面z sin x cos y在点
1 ,,
442
处
的切平面方程是x y2z10.
3. 交换积分次序22
dx x f x,y dy
2y
dy f x,y dx.
00
4. 对于级数
1
n a
1
n（a＞0），当 a 满足条件a1时收敛.
5. 函数
y
1
2x
展开成
x的幂级数
为
n0
n
x
n
2
1
2x2.
二、单项选择题( 每小题 3 分, 共15 分)
1. 平面x2z0的位置是（A）
13
（A）通过y轴（B）通过x轴
（C）垂直于y轴（D）平行于xoz平面
2. 函数z f x,y在点x y处具有偏导数
,0
f x0,y0，f y x0,y0, 是函数在该点可微分的
x
（C）
（A）充要条件（B）充分但非必要条件
（C）必要但非充分条件（D）既非充分又非必要条件
x
3. 设z e cos y x sin y，则dz1（B）
x
y0
（A）e（B）e(dx dy)
（C）e dx dy（D）e(dx dy)1 ()x
1()
x
4. 若级数
n
a x1在x1处收敛，
n
n1
则此级数在x2处（D）
（A）敛散性不确定（B）发散（C）条件收敛（D）绝对收敛
5. 微分方程y xy x的通解是（D）
（A）
1
2
x
21
y e（B）
y e
1
2
x
21
（C）
1
2
2
x
y C e（D）
y C e
1
2
x
21
三、( 本题满分8 分)
设平面通过点3,1,2，而且通过直线
x4y3z
，求该平面方程．
521
解: 由于平面通过点A3,1,2及直线上的点B4,3,0，因而向量A B1,4,2平行于该平面。

14
该平面的法向量为: n(5,2,1)(1,4,2)(8,9,22).
则平面方程为: 8(x4)9(y3)22(z0)0.
或：8(x3)9(y1)22(z2)0.
即：8x9y22z590.
四、( 本题满分8 分)
设z f xy,x y，其中f u,v具有二阶连续偏导数，
2
z z 试求
和．
x x y
解:
z
x
f y f
12
,
2
z
x y y f y f 12
f x f y f f x f
111212122
xyf x y f f f
1112122
五、( 本题满分8 分)
计算三重积分y zdxdydz，
其中x,y,z0x1,1y1,1z2．
解:
112
zdxdydz dx dy zdz
011
2
2
z
123
2
1
六、( 本题满分8 分)
计算对弧长的曲线积分
L
22
x y
e ds，
其中L 是圆周
222
x y R在第一象限的部分．
解法一:
22
x y
L
e ds
R
R
R R R x R
e dx R e arcsin R e
22
R2
R x
15
解法二:
L
22
x y
e ds
L
R R
e ds e L（L的弧长）R e
2
R
解法三: 令x R cos，y R sin，0
，
2
L
22
x y
e ds
2R R
e R d R e
2
七、( 本题满分9 分)
计算曲面积分xdydz zdzdx3dxdy，其中是柱面
22
x y与平面z0和z1所围成的边界曲面外侧．
1
解: P x, Q z, R3,
由高斯公式：xdydz zdzdx3d xdy
P Q R
x y z
dv dv 八、( 本题满分9 分)
求幂级数
n1
nx的收敛域及和函数．n1
解: 收敛半径：R
a
n
lim1 n a
n1
易判断当
x1时，原级数发散。

于是收敛域为1,1
16
n1n s x n x x
n1n1
x1
1x1x
2
九、( 本题满分9 分)
x
求微分方程
y4y e的通解．
解: 特征方程为：r240
特征根为：
r2, r2
y4y0的通解为：2x2x
Y C e C e
12
设原方程的一个特解为：
x y Ae,
x x
A4A e e3A1A 1 3
原方程的一个特解为：
1
y e
3
x
故原方程的一个通解为：
1
2x2x x y Y y C e C e e
12
3
十、( 本题满分11 分)
设
L是上半平面y0内的有向分段光滑曲线，其起点为1,2，终点为2,3，
记
1x
22
I xy dx x y dy
L2
y y
1．证明曲线积分I与路径L无关；
2．求I的值．
证明1: 因为上半平面G是单连通域，在G内：
21 P x,y xy
y ，
2
Q x,y x y
x
2
y
有连续偏导数，且：
17
P1
2xy
2 y y ，
Q1
2xy
2
x y
，
P Q
y x。

所以曲线积分I与路径L无关。

解2: 设A1,2，B2,3，C2,2，由于曲线积分I与路径
L无关，故可取折线路径：A C B。

1x 2
2
I xy dx x y dy
2
L
y y
AC
1x 22
xy dx x y dy
2
y y
C B
1x
22
xy dx x y dy
2
y y
1297 2
3
4x dx4y dy
2
12
2y6
东北大学高等数学( 下) 期末考试试卷
2007.7.
一．选择题(4 分6=24 分)
1、设a,b,c为非零向量，则(a b)c=[ ]．
(A) a(b c)(B) (b a)c(C) c(a b)(D) c(b a).
2 ．函数z f x y x y f x y x y．
(,)在点(
0,
)可微分的充分条件是(,)在(
,
)处[]
(A)(B)两个偏导数存在
两个偏导数连续
(C)(D)函数连续且存在偏导数
存在任何方向的方向导数
18
3．设D
: x 2 y 2
2 x ， f ( x , y ) 在D 上连续．
f ( x y d
=[
]．
, )
D
2 sin
(A)
d
f ( r
r
rdr (B)
cos , sin ) 0
2 2 cos
d f ( r cos , r sin )rdr 0
2 cos
(C)
d
f r
r rdr
2
(
(D)
cos , sin
)
2
2 sin 2
d
f ( r cos , r sin )rdr
2
4 若级数
u 与 n
v
都发散，则必有 [ ]．
n
n 1
n 1
(A)
( u
) 发散 (B)
(
) n
v
u n
v
发散
n
n
n 1
n 1
2 2
(C)
( u
) 收敛 (D)
(
) u
收敛
n
v
n
v
n
n
n 1
n 1
二、填空题 (4 分 6=24 分)
1 ． 直 线
x 2 1
y
2 z 1
3
与 平 面 x
y 2 z 6 0
的 交 点 是
____________． 2．用钢板做体积为 3
2
8 m 的有盖长方体水箱．最少用料 S=_____
m
．
3．二次积分 1 0
1
y
2
dx
的值是_____________．
e dy
x
4 ． 设
为 球 面
( 0 )
x
， 则
2
2
2
2
y
z
a
a
2
( =__________________．
x
y) dS
5．小山高度为
3 3 2 2
z
．在
,
, )
5x2yz．在,,)
(1处登山，最陡方向是
24
_____________．
6．设f(x)为周期为2的周期函数，它在[,)的表达式为
f
1,x0
(，
x)
x,0x
若f(x)的傅立叶级数的和函数为s(x)，则
19
s=________________．()s()
2
三、（10 分）求过点(1,2,3)垂直于直线x
4
y
5
z
6
而与平面
7x y z的平行的直线方程．89100
四．（10 分）将函数
1
f展开成(x 1)的幂级数．并给出(x)
2x
x43
收敛域。

五．（10 分）计算三重积分(x2y2x)dv其中是由抛物面x
2 y2 2z 及平面z 5 所围成的空间闭区域
六．（10 分）设L 是由直线x2y2上从A(2,0)到B(0,1)一段及圆弧
2
x上从B(0,1)再到C(1,0)的有向曲线，计算1y
L (2y dy
x2y)dx(3x ye)
七．（10 分）计算曲面积分x3dydz y dzdx z dxdy，其中为球
33
2y2z az a
2
面2(0)
x
八．（10 分）设(2y2,z)
u，f具有二阶连续偏导数，而z z(x,y)
f x
由方程z
x确定，求
y z e
2
u
x y。

高等数学参考答案
2007.7
一．选择题（本题共 4 小题，每小题 4 分，共计16 分）1、【解】应选择D。

c= c(a b)=(a b)(c)= (a b)c
(b a)
2．【解】应选择A。

f
x (x,y f x y)在点P
(x
,y
)连续z f(x,y)在点P0(x0,y0) ),(,
y
处可微分
3。

【解】应选择C。

在极坐标下
20
D:,0r2
22
c os
f
2cos
(= 2d f r r rdr x,y)d
(cos,sin)
D2
4。

【解】应选择B。

二、填空题（本题共 6 小题，每小题 4 分，共计24 分）
1．【解】应填(1,1,3)
直线化为参数式
x12t
y2t
z3t
代入平面方程(12t)(2t)2(3t)60
得t1
代入参数方程得x1,y1,z3
故交点为(1,1,3)
2
2．【解】应填24
m
设水箱的长为xm 宽为ym 则其高应为8 m 此水箱所用材料的面
xy
积为
S
8888
2(xy y x)2(xy)(x0,y
xy xy x y
0) 88
令)0y得x 2 y 2
S
x
2(y S2(x)0
22
x y
8
即当水箱的长为2m、宽为2m、高为2
22
m 时水箱所用的材
料最省
2
最少用料为(2,2)2(222222)24
S m
11
3．【解】应填)
(1
2e
21
1 0
1
2
y
dx
=
e
dy
x
1
e
2
y dy
y
dx=
1
ye
2
y
=
dy
1
1y11
2
e= )
(1
22e
8
4．【解】应填
3
a4
222
2= x dS (= (x y2xy)dS
x y)dS2
22
2= a2dS
22
= (x y z)dS
33=
8
3
a4
5．【解】应填3i4j
33
在()处登山，最陡方向是,1,
24
3
22
z在(,1)的梯度5x2y
2
方向．
3
gradz=3i4j
(,1)(2x i4y j)
3
2(,1)
2
6．【解】应填1
2
1由于x是f(x)间断点，故s，而
()
2x是f(x)连续点，2
s于是s)= ()()s(
2221 2
三．【解】已知直线方向向量s(4,5,6)，已知平面法向量
1
n⋯⋯⋯⋯（4 分）
(7,8,9)
设所求直线方向向量s，则
i j k
s⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯...（8 分）
s1n4563i6j3k
789
所求直线方程为
x1y2z 1213
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
⋯⋯⋯⋯
22
⋯⋯⋯（10分）
四．【解】因为
111 1
(x)
f⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（2 2x x x x x
x43(1)(3)2(1)2(3)
分）
4(11
x
1
1
x
)8(1
24
1
)
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
（4 分）
1 4
n
n
(x1)1(x
n
(1)(1)
n
28
n n
004
1
n
)n
⋯⋯⋯⋯⋯⋯（6
分）
n0(1)
11
n x n
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（8 分）
()(1)
n22n3
22
收敛域满足
x-1x-1
且⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
（9 分）
11
24
解出收敛域为：
（13⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（10 分），）
五【解】积分区域关于yoz面对称，xdv0
在柱面坐标下积分区域可表示为
020r10
2
r
z 5
2
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（2 分）
(2r2rdrd dz⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（4
2
x y x)dv
分）
2 0
105
3
d⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（6 分）
r dr dz
1
2
0r
2
1
10
3)
5
2r r dr⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（8 分）
(5 0
2
23
4
5r1
2r
4126
10
250
3
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（10
分）
六．【解】补充C A为x轴上由C(1,0)到A(2,0)有向直线段则L 和CA
围成闭区域D
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（2分）
2y。

P x2y,Q3x ye
Q x
P
y
3(2)5。

⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（4
分）
则由Green公式
原式
5⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（6 分）dxdy
L CA CA CA
D
1
2
2
5x dx⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯.（8 分）(12)
42
1
5
5(1)32 44⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯..（10 分）
七【解】由Gauss公式
原式3(222⋯⋯⋯⋯⋯..⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（2 分）
x y z)dv
322⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（4 分）
r r s i n d r d d
3
2
2a c o s
4
d⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（6 分）
2
s i n d r dr
00
5
(2a)
5
2
6cos sin d
5
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
⋯⋯⋯⋯
（8 分）
6(5
2a)1325
a⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
⋯⋯⋯⋯
565
（10分）
八【解】由方程z
x两边关于x求导得
y z e
24
z z z
1⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（2 分）e
x x
z x
1
1e z
类似地，有
z y
1
1e z
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
（4 分）
u
x
f
1
2x f
2
z
x
f
1
1⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
⋯⋯
2z
2x f
1e
⋯⋯⋯⋯⋯（7 分）
2 u
x y
1
111
z
2x(f2y f
)
e
f
(
f
2
y
f
111222122
z z2z z
z
1e(1e)1e1e
1e
1
)
z
2(x y)1e
z⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（10 4xy f f f f
111222 2
z2z3
1e(1e)(1e)
分）
25。