数学人教版八年级上册三线合一基本图形及其应用
三线合一基本图形及其应用
等腰三角形（3）——三线合一基本图形及其应用【学习目标】1.回顾和梳理“三线合一基本图形”的有关知识。
2.探索归纳——如何创设应用“三线合一基本图形”的情境。
3.通过本次探究活动，提高基本图形分析法解决几何问题的应用意识。
4.体会到几何知识的运用也是有规律可循的，减少运用几何知识时的思维盲目性。
【学习重点】探索归纳——如何创设应用“三线合一基本图形”的情境【学习难点】应用“三线合一基本图形”一、复习1、等腰“三线合一”的性质等腰三角形的、、相互重合符号语言①：如图∵，∴符号语言②：如图∵，∴符号语言③：如图∵，∴2．如图，∠A=∠D=90°,AB=CD，AC与BD相交于点F，E是BC的中点.求证：∠BFE=∠CFE.二、探究：等腰三角形“三线合一”的性质能够逆用吗？（观看微视频）在△ABC中,对于以下四个条件①AB=AC或（∠B=∠C），②∠BAD=∠CAD，③AD⊥BC④BD=CD，据“三线合一”有①②→③④，①③→②④，①④→②③，反之将②③④中的任两个作为条件，可以得出①吗？（1）②③→①（2）③④→①已知：已知：求证：求证：AB CDAB CD（3）②④→①已知： 求证：理解深化：“三线合一”的应用： 在△ABC 中，AB=AC ，BD=CD ，AD ⊥BC ，∠1=∠2等四个条件，只要 ，就能推导出三、应用“三线合一基本图形”例1：已知：如图，在△ABC 中，AD 平分∠BAC ，CD ⊥AD ,D 为垂足，AB >AC 。
求证：∠2=∠1+∠B例2：如图，在等腰△ABC 中，∠C =90°，如果点B 到∠A 的平分线AD 的距离为5cm, 求AD 的长。
四、归纳小结A B CD五、课后练习：1、如图，已知AB=BC，∠B=120°，DE是AB的垂直平分线.请说明CD=2AD2、如图，D、E分别是AB、AC的中点，CD⊥AB于D，BE⊥AC于E，求证：AC=AB。
人教版数学八年级初二上册 等腰三角形“三线合一”的妙用 名师教学教案 教学设计反思
13.3.1 等腰三角形1问题1:如图所示,把一张长方形的纸按图中虚线对折,并剪去阴影部分,再把它展开,得到的△ABC 有什么特点？探究作准备.二、探究性质问题2:仔细观察自己剪出的等腰三角形纸片,你能发现这个等腰三角形有什么特征吗？等腰三角形的特征:（1）等腰三角形的两个底角相等；（2）等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合．追问1:同学们剪下的等腰三角形纸片大小不同,形状各异,是否都具有上述所概括的特征？追问2:在练习本上任意画一个等腰三角形,把它剪下来,折一折,上面得出的结论仍然成立吗？由此你能概括出等腰三角形的性质吗？学生观察后独立思考,并同伴交流,最后互动、交流得出性质1、2.通过感性材料,让学生在动手操作的过程中发现等腰三角形的共同的、本质的特征,进一步培养学生的概括能力,体会“三线合一”的含义.问题3:利用实验操作的方法,我们发现并概括出等腰三角形的性质1和性质2．对于性质1,你能通过严格的逻辑推理证明这个结论吗？（1）你能根据结论画出图形,写出已知、求证吗？（2）结合所画的图形,你认为证明两学生根据结论画出图形,写出已知、求证,并在教师的启发下进行小组讨论,得出证明方法,并在全班内交流.师根据学生所述,板书过程.让学生有、逐步实现由实验几何到论证几何的过渡.2个底角相等的思路是什么？（3）如何在一个等腰三角形中构造出两个全等三角形呢？从剪图、折纸的过程中你能获得什么启发？已知:如图,△ABC 中,AB =AC．求证:∠B =∠C．追问:你还有其他方法证明性质1吗？问题4:性质2可以分解为三个命题,本节课证明“等腰三角形的底边上的中线也是底边上的高和顶角平分线”．已知:如图,△ABC 中,AB =AC,AD 是底边BC的中线．求证:∠BAD =∠CAD,AD ⊥BC．性质1、2的符号语言表达方式问题5:在等腰三角形性质的探索过程和证明过程中,“折痕”“辅助线”发挥了非常重要的作用,由此,你能发现等腰三角形具有什么特征？结论:等腰三角形是轴对称图形,底边上的中线（顶角平分线、底边上的高）所在直线就是它的对称轴．师引导学一根据结论画出图形,写出已知、求证并证明.学生回答.让学经历完整的的命题证明过程中,理解等腰三角形的性质,会进行符号语言、图形语言、文字语言的转换.重新回顾等腰三角形的轴对称性,让学生对等腰三角形的知识与轴对称的知识进行整合.3三、应用提高练习1:（1）如图,△ABC 中, AB =AC, ∠A=36°, 则∠B = °；学生独立完成练习1、2,并组内交流、班内汇报.对等腰三角形的性质进行简单应用.（2）如图,△ABC 中, AB =AC, ∠B=36°, 则∠A = °；（3）已知等腰三角形的一个内角为70°,则它的另外两个内角的度数分别是 .练习2:如图,△ABC 是等腰直角三角形（AB =AC,∠BAC =90°）,AD 是底边BC上的高,标出∠B,∠C,∠BAD,∠DAC 的度数,并写出图中所有相等的线段.例1:如图,△ABC 中,AB =AC,点D 在AC 上,且BD =BC =AD．求△ABC 各角的度数．练习3:课本P77页练习第3题.学生回答,师板演.学生板演.运用所学知识解决实际问题,对学生的书写进行规范.五、体验谈谈你的收获和体会（1）本节课学习了哪些主要内容？师引导学生归纳总结.旨在让学生学会归纳总结,梳理知识,45收获 （2）我们是怎么探究等腰三角形的性质的？（3）本节课你学到了哪些证明线段相等或角相等的方法？提高认识.六、 实践 延伸 课后作业: 课本P81-82页习题13.3第1、2、4、6题 检测学生对本节知识的掌握情况.附:板书设计敎學反思:本节课主要学习等腰三角形的性质,通过师生双方的互动,学生接受新知较快,探究、归纳能力不断地得到提高,在敎學过程中体现了“发现问题、提出问题、分析问题、解决问题”的敎學思想。
数学人教版八年级上册《等腰三角形三线合一》
《等腰三角形三线合一》微课教学设计
尚海娜乌海市第四中学
内容介绍：本节微课是在学生已经学习过《等腰三角形三线合一》的性质后，留给学生的课后学习资源，因为课上的学
习时间有限，学生的理解能力也有所不同，布置这节
微课是为了让课上没有完全懂得学生可以得到进一步
学习的机会，课上已经学会的学生，拓展思维，提高
空间想象能力。
教学目标：
1、进一步学习《等腰三角形三线合一》的性质。
2、培养学生的观察能力和空间想象能力。
教学重点：
在图形的变化中体会《等腰三角形三线合一》
教学过程：
一、复习回顾等腰三角形的性质
性质：
1.等腰三角形的两个底角相等。
（简称：“等边对等角”）
2.等腰三角形的顶角平分线、底边上的高和底边上的中线互相
重合。
（简称“三线合一”）
二、观看动态图
1、观察图形中的各个数据和图形中的相关线段。
2、观察图形的变化及各数据的变化，体会它们之间的关系。
3、反复观看，建立图形感，培养空间想象能力。
4、认真体会思考《等腰三角形三线合一》这一性质，及图形
之间的关系。
三、完成配套习题。
2017年秋八年级数学上册专题复习(八)构造“三线合一”巧解题(选用)课件(新版)新人教版
第十二章 全等三角形
专题(八)
构造“三线合一”巧解题(选用)
等腰三角形“顶角平分线、底边上的高、底边上的中线”只要知道其中“一 线”，就可以说明是其他“两线”．运用等腰三角形“三线合一”的性质证明
角相等、线段相等或垂直关系，可减少证全等的次数，简化解题过程．
方法技巧一：有等腰三角形底边中点时，常作这底边上的中线，构造“三线 合一”图形．
1．如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC的中点，E，F分别是AB，AC上
的点，且AE＝AF. 求证：DE＝DF.
解：连接 AD，∵AB＝AC，D 是 BC 的中点，∴∠EAD＝∠FAD， AE＝AF， 在△AED 与△AFD 中∠EAD＝∠FAD，∴△AED≌△AFD(SAS)，∴ AD＝AD， DE＝DF
2 ． 如 图 ， 在 △ ABC 中 ， AB ＝ AC ， D 是 BC 的 中 点 ， 过 A 点 的 直 线 EF∥BC，且AE＝AF.求证：DE＝DF. 解：连接AD，∵AB＝AC，D是BC的中点，∴AD⊥BC，∵EF∥BC， ∴AD⊥EF，又∵AE＝AF，∴C，∴AD⊥BC，∠BAD＝∠CAD，∠B＝ ∠C，∵∠BAC＝90°，∴∠B＝∠C＝∠BAD＝∠CAD＝45°，∴AD＝ BE＝AF， BD.在△BED 与△AFD 中，∠B＝∠DAF，∴△BED≌△AFD(SAS)，∴ BD＝AD， DE＝DF (2)∵△BED≌△AFD， ∴∠BDE＝∠ADF， ∴∠BDE＋∠EDA＝∠EDA ＋∠ADF＝90°，∴ED⊥DF
方法技巧二：遇到等腰作底边上的高，构造“三线合一”图形．
4．如图，点D，E分别在BA，AC的延长线上，且AB＝AC，AD＝AE.
求证：DE⊥BC. 解 ： 作 AG⊥DE ， ∵ AD ＝ AE ， ∴ ∠ DAG ＝ ∠ EAG ， 又 AB ＝ AC ，
人教版初二数学上册三线合一的逆用
两线合一”构建且证明等腰三角形“的逆命题的教学，因为这种逆命题学习了等腰三角形的三线合一后，补充“三线合一”可以为我们解题增加一种重要但它在解题中非常常见的。
掌握了它，虽然不能作为定理用，思路。
它有以下几种形式：（线段垂直平分线的性①一边上的高与这边上的中线重合的三角形是等腰三角形．质）②一边上的高与这边所对角的平分线重合的三角形是等腰三角形．.③一边上的中线与这边所对角的平分线重合的三角形是等腰三角形因此，三角形“一边上的高、这边上的中线及这边所对角的平分线”三线中“两线合一”就能证明它是等腰三角形．简言之：两线合一，必等腰。
利用该逆命题作为一种思路正确地添加辅助线，构建等腰三角形且证明之来解决问题。
等腰三角形“三线合一”性质的逆命题的应用不断为学生开辟了新思维，强化了学生通过添加辅助线解题的能力，而且在添加辅助线的过程中也蕴含着化归的数学思想。
一、我们先来证明“三线合一”性质的逆命题三种情形的正确性：证明①：已知:如图1，△ABC中，AD是BC边上的中线，又是BC边上的高。
求证：△ABC是等腰三角形。
证明②：已知:如图1，△ABC中，AD是∠BAC的角平分线，AD是BC边上的高。
求证：△ABC是等腰三角形。
证明③：已知:如图2，△ABC中，AD是∠BAC的角平分线，AD是BC边上的中线。
求证：△ABC是等腰三角形。
方法一：分析：“倍长中线法”，即延长AD到E点，使DE=AD，由此问题就解决了。
方法二：遇到角的平分线，我们可以利用角的平分线的性质：过角的平分线上一点向角的两边作垂线。
．注：这种逆命题不能作为定理来用，掌握了它和它的证明过程，其目的是为我们解题增加一种重要思路和方法。
二、利用“三线合一”性质的逆命题添加辅助线，构建且证明等腰三角形来解决问题1、逆命题①的应用（即线段垂直平分线的性质的应用）例1 如图4，D、E分别是AB、AC的中点，CD⊥AB于D，BE⊥AC于E，求证：AC=AB。
人教版 八年级数学讲义 等腰三角形“三线合一”的性质 (含解析)
第5讲等腰三角形“三线合一”的性质知识定位讲解用时：5分钟A、适用范围：人教版初二，基础较好；B、知识点概述：本讲义主要用于人教版初二新课，本节课我们要重点学习等腰三角形“三线合一”的性质。
我们知道等腰三角形是一种特殊的三角形，它除了具有一般三角形所有的性质外，还有许多特殊性，正是由于它的这些特殊性，使得它比一般三角形的应用更广泛。
因此，我们有必要把这部分内容学得更扎实。
知识梳理讲解用时：20分钟等腰三角形1、等腰三角形的概念：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形，相等的两条边叫做腰，另外一条边叫做底，两腰所夹的角叫做顶角，底边和腰的夹角叫做底角。
2、等腰三角形的性质：（1）等腰三角形的两个底角相等；（简写成“等边对等角”）（2）等腰三角形的角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合.（简写成“三线合一”）3、等腰三角形的判定方法：（1）有两条边相等的三角形叫做等腰三角形；（定义法）（2）如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角对应的边也相等.（简写成“等角对等边”）AB C等边三角形我们知道等边三角形是特殊的等腰三角形，所以接下来要研究等边三角形的性质和判定！1、等边三角形的概念：在等腰三角形中，有一种特殊的等腰三角形——三条边都相等的三角形，我们把这样的三角形叫做等边三角形。
2、等边三角形的性质：（1）等边三角形的三条边都相等；（定义）（2）等边三角形的三个内角都相等，都等于60°；（3）等腰三角形“三线合一”的性质同样适用于等边三角形.3、等边三角形的判定方法：（1）有两条边相等的三角形叫做等腰三角形；（定义）（2）三个内角都相等的三角形是等边三角形；（3）有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形.AB C课堂精讲精练【例题1】如图，点D、E在△ABC的BC边上，AB=AC，AD=AE．求证：BD=CE．【答案】BD=CE【解析】要证明线段相等，只要过点A作BC的垂线，利用三线合一得到P为DE及BC的中点，线段相减即可得证．证明：如图，过点A作AP⊥BC于P．∵AB=AC，∴BP=PC；∵AD=AE，∴DP=PE，∴BP﹣DP=PC﹣PE，∴BD=CE．讲解用时：3分钟解题思路：本题考查了等腰三角形的性质；做题时，两次用到三线合一的性质，由等量减去等量得到差相等是解答本题的关键；教学建议：熟练运用等腰三角形“三线合一”的性质.难度： 3 适应场景：当堂例题例题来源：无年份：2018【练习1.1】如图，在△ABC中，AB=AC，AD是BC边上的高，过点C作CE∥AB交AD的延长线于点E，求证：CE=AB．【答案】CE=AB【解析】先根据等腰三角形的性质，得到∠BAE=∠CAE，再根据平行线的性质，得到∠E=∠CAE，最后根据等量代换即可得出结论．证明：∵AB=AC，AD是BC边上的高，∴∠BAE=∠CAE．∵CE∥AB，∴∠E=∠BAE．∴∠E=∠CAE．∴CE=AC．∵AB=AC，∴CE=AB．讲解用时：3分钟解题思路：本题主要考查了等腰三角形的性质以及平行线的性质，解题时注意：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合．教学建议：熟练运用等腰三角形“三线合一”的性质以及平行线的性质.难度： 3 适应场景：当堂练习例题来源：无年份：2018【例题2】如图，在△ABC中，AB=AC，点D，点E分别是BC，AC上一点，且DE⊥AD．若∠BAD=55°，∠B=50°，求∠DEC的度数．【答案】115°【解析】根据等腰三角形的性质和三角形的内角和得到∠C=50°，进而得到∠BAC=80°，由∠BAD=55°，得到∠DAE=25°，由DE⊥AD，进而求出结论．解：∵AB=AC，∴∠B=∠C，∵∠B=50°，∴∠C=50°，∴∠BAC=180°﹣50°﹣50°=80°，∵∠BAD=55°，∴∠DAE=25°，∵DE⊥AD，∴∠ADE=90°，∴∠DEC=∠DAE+∠ADE=115°．讲解用时：3分钟解题思路：本题主要考查了等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，垂直定义，熟练应用等腰三角形的性质是解题的关键．教学建议：熟练掌握等腰三角形等腰对等角的性质以及三角形的内角和定理. 难度： 3 适应场景：当堂例题例题来源：无年份：2018【练习2.1】已知等腰三角形一腰上的中线将三角形的周长分成6cm和15cm的两部分，求这个三角形的腰和底边的长度．【答案】10cm，10cm，1cm【解析】根据题意，分两种情况进行分析，从而得到腰和底边的长，注意运用三角形的三边关系对其进行检验．解：①如图，AB+AD=6cm，BC+CD=15cm，∵AD=DC，AB=AC，∴2AD+AD=6cm，∴AD=2cm，∴AB=4cm，BC=13cm，∵AB+AC＜BC，∴不能构成三角形，故舍去；②如图，AB+AD=15cm，BC+CD=6cm，同理得：AB=10cm，BC=1cm，∵AB+AC＞BC，AB﹣AC＜BC，∴能构成三角形，∴腰长为10cm，底边为1cm．故这个等腰三角形各边的长为10cm，10cm，1cm．讲解用时：3分钟解题思路：本题考查等腰三角形的性质及三角形三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这是解题的关键．教学建议：熟练掌握等腰三角形的性质以及三角形的三边关系.难度： 3 适应场景：当堂练习例题来源：无年份：2018【例题3】如图，在△ACB中，AC=BC，AD为△ACB的高线，CE为△ACB的中线．求证：∠DAB=∠ACE．【答案】∠DAB=∠ACE【解析】根据等腰三角形的性质证明即可．证明：∵AC=BC，CE为△ACB的中线，∴∠CAB=∠B，CE⊥AB，∴∠CAB+∠ACE=90°，∵AD为△ACB的高线，∴∠D=90°．∴∠DAB+∠B=90°，∴∠DAB=∠ACE.讲解用时：3分钟解题思路：此题考查等腰三角形的性质，关键是根据等腰三角形的性质解答．教学建议：熟练掌握等腰三角形“三线合一”的性质.难度： 3 适应场景：当堂例题例题来源：无年份：2018【练习3.1】如图，在△ABC中，AB=AC，AD是BC边上的中线，E是AC 边上的一点，且∠CBE=∠CAD．求证：BE⊥AC．【答案】BE⊥AC【解析】根据等腰三角形的性质得出AD⊥BC，再得出∠CBE+∠C=90°．证明：∵AB=AC，AD是BC边上的中线，∴AD⊥BC，∴∠CAD+∠C=90°，又∵∠CBE=∠CAD，∴∠CBE+∠C=90°，∴BE⊥AC．讲解用时：3分钟解题思路：本题主要考查等腰三角形的性质，掌握等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合是解题的关键．教学建议：熟练掌握等腰三角形“三线合一”的性质.难度： 3 适应场景：当堂练习例题来源：无年份：2018【例题4】如图所示，已知△ABC中，AB=AC，∠BAD=30°，AD=AE，求∠EDC的度数．【答案】15°【解析】可以设∠EDC=x，∠B=∠C=y，根据∠ADE=∠AED=x+y，∠ADC=∠B+∠BAD即可列出方程，从而求解．解：设∠EDC=x，∠B=∠C=y，∠AED=∠EDC+∠C=x+y，又因为AD=AE，所以∠ADE=∠AED=x+y，则∠ADC=∠ADE+∠EDC=2x+y，又因为∠ADC=∠B+∠BAD，所以2x+y=y+30，解得x=15．所以∠EDC的度数是15°．讲解用时：3分钟解题思路：本题主要考查了等腰三角形的性质，等边对等角．正确确定相等关系列出方程是解题的关键．教学建议：熟练掌握等腰三角形等边对等角的性质.难度： 3 适应场景：当堂例题例题来源：无年份：2018【练习4.1】在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，∠BAD=40°，AD=AE，求∠CDE的度数．【答案】20°【解析】根据等腰三角形的性质得到∠CAD=∠BAD=40°，由于AD=AE，于是得到∠ADE==70°，根据三角形的内角和即可得到∠CDE=90°﹣70°=20°．解：∵AB=AC，AD⊥BC，∴∠CAD=∠BAD=40°，∠ADC=90°，又∵AD=AE，∴∠ADE==70°，∴∠CDE=90°﹣70°=20°．讲解用时：3分钟解题思路：本题考查等腰三角形的性质，三角形外角的性质，熟知三角形的外角等于与之不相邻的两个内角的和是解答此题的关键．教学建议：熟练掌握等腰三角形“三线合一”的性质以及等边对等角的性质.难度： 3 适应场景：当堂练习例题来源：无年份：2018【例题5】如图，在△ABC中，AB=AC，D为BC上一点，∠B=30°，连接AD．（1）若∠BAD=45°，求证：△ACD为等腰三角形；（2）若△ACD为直角三角形，求∠BAD的度数．【答案】（1）△ACD为等腰三角形；（2）60°或30°【解析】（1）根据等腰三角形的性质求出∠B=∠C=30°，根据三角形内角和定理求出∠BAC=120°，求出∠CAD=∠ADC，根据等腰三角形的判定得出即可；（2）有两种情况：①当∠ADC=90°时，当∠CAD=90°时，求出即可．（1）证明：∵AB=AC，∠B=30°，∴∠B=∠C=30°，∴∠BAC=180°﹣30°﹣30°=120°，∵∠BAD=45°，∴∠CAD=∠BAC﹣∠BAD=120°﹣45°=75°，∠ADC=∠B+∠BAD=75°，∴∠ADC=∠CAD，∴AC=CD，即△ACD为等腰三角形；（2）解：有两种情况：①当∠ADC=90°时，∵∠B=30°，∴∠BAD=∠ADC﹣∠B=90°﹣30°=60°；②当∠CAD=90°时，∠BAD=∠BAC﹣∠CAD=120°﹣90°=30°；即∠BAD的度数是60°或30°．讲解用时：4分钟解题思路：本题考查了三角形内角和定理，等腰三角形的判定的应用，能根据定理求出各个角的度数是解此题的关键，用了分类讨论思想．教学建议：学会通过等角对等边证明三角形是全等三角形.难度： 3 适应场景：当堂例题例题来源：无年份：2018【练习5.1】如图，△ABC中BA=BC，点D是AB延长线上一点，DF⊥AC于F交BC于E，求证：△DBE是等腰三角形．【答案】△DBE是等腰三角形【解析】首先根据等腰三角形的两个底角相等得到∠A=∠C，再根据等角的余角相等得∠FEC=∠D，同时结合对顶角相等即可证明△DBE是等腰三角形．证明：在△ABC中，BA=BC，∵BA=BC，∴∠A=∠C，∵DF⊥AC，∴∠C+∠FEC=90°，∠A+∠D=90°，∴∠FEC=∠D，∵∠FEC=∠BED，∴∠BED=∠D，∴BD=BE，即△DBE是等腰三角形．讲解用时：3分钟解题思路：此题主要考查等腰三角形的判定和性质，关键是根据等腰三角形的基本性质及综合运用等腰三角形的性质来判定三角形是否为等腰三角形．教学建议：熟练掌握等腰三角形的判定和性质.难度： 3 适应场景：当堂练习例题来源：无年份：2018【例题6】如图：已知等边△ABC中，D是AC的中点，E是BC延长线上的一点，且CE=CD，DM⊥BC，垂足为M，求证：M是BE的中点．【答案】M是BE的中点【解析】要证M是BE的中点，根据题意可知，证明△BDE△为等腰三角形，利用等腰三角形的高和中线向重合即可得证．证明：连接BD，∵在等边△ABC，且D是AC的中点，∴∠DBC=∠ABC=×60°=30°，∠ACB=60°，∵CE=CD，∴∠CDE=∠E，∵∠ACB=∠CDE+∠E，∴∠E=30°，∴∠DBC=∠E=30°，∴BD=ED，△BDE为等腰三角形，又∵DM⊥BC，∴M是BE的中点．讲解用时：4分钟解题思路：本题考查了等腰三角形顶角平分线、底边上的中线和高三线合一的性质以及等边三角形每个内角为60°的知识．辅助线的作出是正确解答本题的关键．教学建议：熟练掌握等腰三角形“三线合一”的性质以及等边三角形的性质. 难度： 4 适应场景：当堂例题例题来源：无年份：2018【练习6.1】如图，等边三角形ABC中，D为AC上一点，E为AB延长线上一点，DE⊥AC交BC 于点F，且DF=EF．（1）求证：CD=BE；（2）若AB=12，试求BF的长．【答案】（1）CD=BE；（2）4【解析】（1）先作DM∥AB，交CF于M，可得△CDM为等边三角形，再判定△DMF ≌△EBF，最后根据全等三角形的性质以及等边三角形的性质，得出结论；（2）根据ED⊥AC，∠A=60°=∠ABC，可得∠E=∠BFE=∠DFM=∠FDM=30°，由此得出CM=MF=BF=BC，最后根据AB=12即可求得BF的长．解：（1）如图，作DM∥AB，交CF于M，则∠DMF=∠E，∵△ABC是等边三角形，∴∠C=60°=∠CDM=∠CMD，∴△CDM是等边三角形，∴CD=DM，在△DMF和△EBF中，，∴△DMF≌△EBF（ASA），∴DM=BE，∴CD=BE；（2）∵ED⊥AC，∠A=60°=∠ABC，∴∠E=∠BFE=∠DFM=∠FDM=30°，∴BE=BF，DM=FM，又∵△DMF≌△EBF，∴MF=BF，∴CM=MF=BF，又∵AB=BC=12，∴CM=MF=BF=4．解题思路：本题主要考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质的综合应用，解决问题的关键是作平行线，构造等边三角形和全等三角形，根据全等三角形的性质以及等边三角形的性质进行求解．教学建议：熟练掌握等边三角形的性质以及全等三角形的判定和性质.难度：4 适应场景：当堂练习例题来源：无年份：2018【例题7】如图所示，BO平分∠CBA，CO平分∠ACB，过O作EF∥BC，若AB=12，AC=8，求△AEF的周长．【答案】20【解析】根据角平分线的定义可得∠OBE=∠OBC，∠OCF=∠OCB，再根据两直线平行，内错角相等可得∠OBC=∠BOE，∠OCB=∠COF，然后求出∠OBE=∠BOE，∠OCF=∠COF，再根据等角对等边可得OE=BE，OF=CF，即可得证．解：∵BO平分∠CBA，∴∠EBO=∠OBC，∵CO平分∠ACB，∴∠FCO=∠OCB，∵EF∥BC，∴∠EOB=∠OBC，∠FOC=∠OCB，∴∠EBO=∠EOB，∠FOC=∠FCO，∴BE=OE，CF=OF，∴△AEF的周长=AE+OE+OF+AF=AE+BE+CF+AF=AB+AC，∵AB=12，AC=8，∴C=12+8=20．△AEF解题思路：本题考查了等腰三角形的判定与性质，平行线的性质，主要利用了角平分线的定义，等角对等边的性质，两直线平行，内错角相等的性质，熟记各性质是解题的关键.教学建议：熟练掌握等腰三角形的判定和性质以及平行线的性质.难度：4 适应场景：当堂例题例题来源：无年份：2018【练习7.1】在△ABC中，AB=AC，DE∥BC，若M为DE上的点，且BM平分∠ABC，CM平分∠ACB，若△ADE的周长为20，BC=8，求△ABC的周长．【答案】28【解析】分别利用角平分线的性质和平行线的性质，说明DB=DM，EM=EC．把求△ABC的周长转化为△ADE的周长+BC边的长．解：∵BM平分∠ABC，∴∠ABM=∠CBM，∵DE∥BC，∴∠CBM=∠DMB，∴∠ABM=∠DMB，∴DB=DM．同理可证EM=CE∴AB+AC=AD+DB+AE+EC=AD+DM+ME+AE=AD+DE+AE∵△ADE的周长为20∴AB+AC=20∴△ABC的周长=AB+AC+BC=20+8=28．答：△ABC的周长为28．讲解用时：3分钟解题思路：此题主要考查了平行线的性质，角平分线的性质及等腰三角形的判定．本题的关键是利用平行线和角平分线的性质将△ABC的周长转化为△ADE的周长+BC边的长．教学建议：熟练掌握平行线的性质、角平分线的性质以及等腰三角形的判定. 难度： 3 适应场景：当堂练习例题来源：无年份：2018【例题8】如图，D为等边三角形ABC内一点，将△BDC绕着点C旋转成△AEC，则△CDE是怎样的三角形？请说明理由．【答案】△CDE是等边三角形【解析】因为△ABC为等边三角形，所以△BDC绕着点C旋转60°成△AEC，则∠DCE=60°，DC=EC，故可判定△CDE是等边三角形．解：△CDE是等边三角形．理由：∵△ABC为等边三角形，∴∠ACB=60°∴将△BDC绕着点C旋转成△AEC，旋转角为60°∴∠DCE=60°∴DC=EC∴△CDE是等边三角形．讲解用时：3分钟解题思路：本题利用了等边三角形的判定和性质，旋转的性质等知识解决问题．考查学生综合运用数学知识的能力．教学建议：熟练掌握等边三角形的判定和性质，了解“手拉手”模型.难度： 4 适应场景：当堂例题例题来源：无年份：2018【练习8.1】已知，如图，△ABC是正三角形，D，E，F分别是各边上的一点，且AD=BE=CF．请你说明△DEF是正三角形．【答案】△DEF是正三角形【解析】根据等边△ABC中AD=BE=CF，证得△ADE≌△BEF≌△CFD即可得出△DEF是等边三角形．解：∵△ABC为等边三角形，且AD=BE=CF，∴AE=BF=CD，又∵∠A=∠B=∠C=60°，∴△ADE≌△BEF≌△CFD（SAS），∴DF=ED=EF，∴△DEF是等边三角形．讲解用时：3分钟解题思路：本题主要考查了等边三角形的判定与性质和全等三角形判定，根据已知得出△ADE≌△BEF≌△CFD是解答此题的关键．教学建议：熟练掌握等边三角形的判定和性质以及全等三角形的判定.难度： 4 适应场景：当堂练习例题来源：无年份：2018课后作业【作业1】如图，D，E在△ABC的边BC上，AB=AC，AD=AE，在图中找出一条与BE相等的线段，并说明理由．【答案】BE=CD【解析】根据等腰三角形的性质可得到两组角相等，再根据AAS可判定△ABE ≌△ACD，由全等三角形的性质即可证得BE=CD．解：BE=CD．理由如下：∵AB=AC，AD=AE，∴∠B=∠C，∠ADE=∠AED．在△ABE与△ACD中，，∴△ABE≌△ACD，∴BE=CD．故答案为CD．讲解用时：3分钟难度： 3 适应场景：练习题例题来源：无年份：2018【作业2】如图，已知∠BAC=60°，D是BC边上一点，AD=CD，∠ADB=80°，求∠B的度数．【答案】80°【解析】先根据三角形外角的性质求出∠C的度数，再根据三角形内角和定理即可得出∠B的度数．解：∵∠ADB=80°又∵AD=CD∴∠DAC=∠C=40°，∴∠B=180°﹣∠BAC﹣∠C=180°﹣60°﹣40°=80°．讲解用时：3分钟难度： 3 适应场景：练习题例题来源：无年份：2018【作业3】已知：如图，AB=BC，∠A=∠C．求证：AD=CD．【答案】AD=CD【解析】连接AC，根据等边对等角得到∠BAC=∠BCA，因为∠A=∠C，则可以得到∠CAD=∠ACD，根据等角对等边可得到AD=DC．证明：连接AC，∵AB=BC，∴∠BAC=∠BCA．∵∠BAD=∠BCD，∴∠CAD=∠ACD．∴AD=CD．讲解用时：3分钟难度： 3 适应场景：练习题例题来源：无年份：2018【作业4】如图，在△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分线相交于F，过F作DE∥BC，分别交AB、AC于点D、E．判断DE=DB+EC是否成立？为什么？【答案】成立【解析】根据BF和CF分别平分∠ABC和∠ACB，和DE∥BC，利用两直线平行，内错角相等和等量代换，求证出DB=DF，FE=EC．然后即可得出答案．解：DE=DB+EC成立．理由如下：∵在△ABC中，FB和FC分别平分∠ABC和∠ACB，∴∠DBF=∠FBC，∠ECF=∠FCB，∵DE∥BC，∴∠DFB=∠FBC=∠DBF，∠EFC=∠FCB=∠ECF，∴DB=DF，FE=EC，∵DE=DF+FE，∴DE=BD+EC．讲解用时：3分钟难度：4 适应场景：练习题例题来源：无年份：2018【作业5】如图，等边△ABC中，点D在延长线上，CE平分∠ACD，且CE=BD．说明：△ADE是等边三角形．【答案】△ADE是等边三角形【解析】由条件可以容易证明△ABD≌△ACE，进一步得出AD=AE，∠BAD=∠CAE，加上∠DAE=60°，即可证明△ADE为等边三角形．证明：∵△ABC为等边三角形，∴∠B=∠ACB=60°，AB=AC，即∠ACD=120°，∵CE平分∠ACD，∴∠ACE=∠DCE=60°，在△ABD和△ACE中，，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴AD=AE，∠BAD=∠CAE，又∵∠BAC=60°，∴∠DAE=60°，∴△ADE为等边三角形．讲解用时：3分钟难度： 4 适应场景：练习题例题来源：无年份：2018。
人教版数学八年级上册第十三章利用等腰三角形的“三线合一”性质解题
利用等腰三角形的“三线合一”性质解题我们知道，等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合，被称做为“三线合一”.等腰三角形的“三线合一”性质在几何解题中有着广泛地运用，现举例说明. 一、证明线段相等例1 如图1，在△ABC 中，AB ＝AC ，BD ＝CD ，DE ⊥AB 于点E ，DF ⊥AC 于点F .求证：DE ＝DF .分析 由于DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，所以要证明DE ＝DF ，只要证明点D 是∠BAC 的平分线上的点，于是连结AD ，而由AB ＝AC ，BD ＝CD 即可证明AD 是∠BAC 的平分线.证明 连结AD .因为AB ＝AC ，BD ＝CD ，所以AD 是等腰三角形底边BC 上的中线，即AD 又是顶角的平分线.又因为DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，所以DE ＝DF . 二、证明两条线垂直例2 如图2，AB ＝AE ，∠B ＝∠E ，BC ＝ED ，CF ＝DF .求证：AF ⊥CD . 分析 由已知条件AB ＝AE ，∠B ＝∠E ，BC ＝ED ，显然只要连结AC 、AD ，则△ABC ≌△AED ，于是AC ＝AD ，而CF ＝DF ，则由等腰三角形的“三线合一”性质即可证明AF ⊥CD .证明 连结AC 、AD .因为AB ＝AE ，∠B ＝∠E ，BC ＝ED ，所以△ABC ≌△AED （SAS ），所以AC ＝AD ，又因为CF ＝DF ，所以AF 是等腰三角形底边CD 的中线， 所以AF 也是CD 边上的高，即AF ⊥CD .F E 图3D C BACD EF 图1BAF D 图2BECA三、证明角的倍半关系例3 如图3，△ABC 中，AB ＝AC ，BD ⊥AC 交AC 于D .求证：∠DBC ＝12∠BAC . 分析 要证明∠DBC ＝12∠BAC ，只要作出∠BAC 的平分线，然后利用等腰三角形的“三线合一”性质即可证明证明 作∠BAC 的平分线AE .因为AB ＝AC ，所以由等腰三角形的“三线合一”可知AE ⊥BC .又因为BD ⊥AC ，所以∠ADB ＝90°，而∠BFE ＝∠AFD ，所以∠DBC ＝∠CAE ， 故∠DBC ＝12∠BAC . 四、证明线段的倍半关系例4 如图4，已知等腰Rt △ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC ＝90°，BF 平分∠ABC ，CD ⊥BD 交BF 的延长线于D .求证：BF ＝2CD .分析 由BF 平分∠ABC ，CD ⊥BD ，可想到等腰三角形的“三线合一”性质，于是延长线BA 、CD 交于点E ，于是△BCE 是等腰三角形，并有ED ＝CD ，余下来的问题只需证明BF ＝CE ，而事实上，由∠BAC ＝90°，CD ⊥BD ，∠AFB ＝∠DFC ，得∠ABF ＝∠DCF ，而AB ＝AC ，所以△ABF ≌△ACE ，则BF ＝CE ，从而问题获解.证明 延长线BA 、CD 交于点E .因为BF 平分∠ABC ，CD ⊥BD ，所以可得BC ＝BE ，DE ＝DC ，又因为∠BAC ＝90°，∠AFB ＝∠DFC ，所以可得∠ABF ＝∠DCF ， 又AB ＝AC ，∠BAF ＝∠CAE ，所以△ABF ≌△ACE （SAS ），即BF ＝CE ， 故BF ＝2CD .图5ABCDE图4BF DECAD 图6CE BA。
八年级数学三线合一教案
（2）b=8，c=17，则S△ABC=_______。
3、求下列图中表示边的未知数x、y、z的值.
x
y
z
576
625
144
169
144
81
3、
三、互学互助：
1、学生互相批改自测题；
2、各小组汇报典型错误；
3、师生共同探讨解决疑难问题
四、导学导练
1、如图，在△ABC中，∠ACB=900，AB=5cm,BC=3cm,CD⊥AB与D,
五、课堂小结：
六、教、学反思：
④课题：1.6等腰梯形的轴对称性（1）
课型：新授时间：11、9、9
执笔：杨丙才审核：八年级数学备课组
[学习目标] 1.知道等腰梯形的基本概念、等腰梯形的轴对称性
2.掌握等腰梯形的性质，并能运用性质解决问题
3.进一步培养学生有条理的思考和表达能力，渗透转化、类比的数学思想
（2）经过折叠后所得的△ABC，在所得的三角形中∠1=∠2。那么请同学们度量边AC，BC的长度，你们有什么发现？
（3）在一张薄纸上画线段AB，并在AB同侧利用量角器画两个相等的锐角∠BAM和∠ABM.设AM与BN相交于点C.量一量AC与BC的长度，AC和BC相等吗？你和同学所得的结论相同吗？
二、自学自测：
四：导学导练
1.如图，在等边三角形ABC的边AB、AC上分别截取AD=AE,△ADE是等边三角形吗？试说明理由.
2.如图，P、Q是△ABC的BC边上的两点，且BP＝PQ＝QC＝AP＝AQ，求∠BAC的度数.
3、如图，点A是BC上一点，⊿ABD、⊿ACE都是等边三角形。
试说明：
（1）BE＝CD；（2）求∠DOM的度数；（3）AM＝AN；（4）MN∥BC。
三线合一和垂径定理_解释说明以及概述
三线合一和垂径定理解释说明以及概述1. 引言1.1 概述本文主要讨论了数学几何中的两个重要概念：三线合一和垂径定理。
这两个概念在解决几何问题中起到了关键作用，并且具有广泛的应用价值。
通过深入理解和掌握这两个概念，我们可以提高解决实际问题的能力，并且对于进一步研究更复杂的几何问题也具有指导意义。
1.2 文章结构本文分为五个部分进行阐述。
首先是引言部分，主要介绍文章的背景、目的和结构。
第二部分详细介绍三线合一的定义、原理和应用，在此过程中会给出一些例题进行演练。
第三部分深入探讨垂径定理的理论说明和几何证明方法，并举例说明其实际应用案例。
在第四部分，我们将通过综合实例分析来展示如何运用三线合一和垂径定理来解决实际问题，同时比较两者在实例中的应用效果并进行总结与讨论。
最后，在结论与展望部分对本文所做工作进行总结，并提出存在问题以及未来研究方向建议。
1.3 目的本文旨在深入理解和探讨三线合一和垂径定理的概念，进而提高读者对于几何问题的解决能力。
通过详细阐述这两个概念的定义、原理和应用，并结合实际案例进行分析与讨论，本文希望读者能够全面理解这两个几何学中重要的定理，并且能够熟练运用于实践中。
同时，本文也致力于展示三线合一和垂径定理在实际问题中的应用价值，鼓励读者进一步探索数学几何领域并开展更多研究工作。
2. 三线合一:2.1 定义和解释:三线合一是指在平面几何中，三角形的三条特殊直线：高线、中位线和垂心连线的交点共线。
这个交点被称为三角形的重心。
高线是从三角形的一个顶点引出并与对边垂直相交的直线。
每个顶点都可作出一条高线。
中位线是连接三角形任意两个顶点中点的直线，也可以视为任意两条边上两个相邻顶点的连线。
垂心连线是从三角形的一个顶点引出并与对边所在直径相交于垂足，每个顶点都可作出一条垂心连线。
当三角形的高线、中位线和垂心连线共同相交于一个点时，即这些特殊直线经过了同一个交点，我们称之为"三线合一"。
【人教版】初二数学上册《专训2 “三线合一”解题的六种技巧》
专训2 “三线合一”解题的六种技巧名师点金：等腰三角形中的“顶角平分线、底边上的高、底边上的中线”只要知道其中“一线”，就可以说明是其他“两线”．运用等腰三角形“三线合一”的性质证明角相等、线段相等或垂直关系，可减少证全等的次数，简化解题过程．利用“三线合一”求角1．如图，房屋顶角∠BAC＝100°，过屋顶A的立柱AD⊥BC，屋檐AB＝AC.求顶架上的∠B，∠C，∠BAD，∠CAD的度数．(第1题)利用“三线合一”求线段2．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD＝DB，DE⊥AB于点E，若BC＝10，且△BDC 的周长为24，求AE的长．(第2题)利用“三线合一”证线段(角)相等3．已知△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，D为BC的中点．(1)如图①，E，F分别是AB，AC上的点，且BE＝AF，试判断△DEF的形状，并说明理由．(2)如图②，若E，F分别为AB，CA的延长线上的点，且仍有BE＝AF.请判断△DEF 是否仍有(1)中的形状，并说明理由．(第3题)利用“三线合一”证垂直4．如图，在△ABC中，AC＝2AB，AD平分∠BAC，E是AD上一点，且EA＝EC.求证：EB⊥AB.(第4题)利用“三线合一”证线段的倍数关系(构造三线法)5．如图，已知等腰直角三角形ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，BF平分∠ABC，CD⊥BD 交BF的延长线于点D.试说明：BF＝2CD.(第5题)利用“三线合一”证线段的和差关系(构造三线法)6．如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，且∠ABC＝2∠C.试说明：CD＝AB＋BD.(第6题)答案1．解：因为AB ＝AC ，∠BAC ＝100°，AD ⊥BC ，所以∠B ＝∠C ＝40°，∠BAD ＝∠CAD ＝50°.2．解：因为△BDC 的周长＝BD ＋BC ＋CD ＝24，BC ＝10，所以BD ＋CD ＝14. ∵AD ＝BD ，∴AC ＝AD ＋CD ＝BD ＋CD ＝14.又∵AB ＝AC ＝14.AD ＝DB ，DE ⊥AB ，∴AE ＝EB ＝12AC ＝7. 3．解：(1)△DEF 为等腰直角三角形．理由：连接AD ，易证△BDE ≌△ADF ， ∴DE ＝DF ，∠BDE ＝∠ADF ，又∵∠BAC ＝90°，AB ＝AC ，D 为BC 的中点，∴AD ⊥BC.∴∠ADB ＝90°.∴∠EDF ＝∠EDA ＋∠ADF ＝∠EDA ＋∠BDE ＝∠ADB ＝90°.∴△DEF 为等腰直角三角形．(2)是，理由略．4．证明：如图，过点E 作EF ⊥AC 于F.∵AE ＝EC ，∴AF ＝12AC. 又∵AB ＝12AC ，∴AF ＝AB. ∵AD 平分∠BAC ，∴∠FAE ＝∠BAE.又∵AE ＝AE ，∴△AEF ≌△AEB(SAS )．∴∠ABE ＝∠AFE ＝90°，即EB ⊥AB.(第4题)5．解：如图，延长BA ，CD 交于点E.(第5题)∵BF 平分∠ABC ，CD ⊥BD ，BD ＝BD ，∴△BDC ≌△BDE.∴BC ＝BE.又∵BD ⊥CE ，∴CE ＝2CD.∵∠BAC ＝90°，∠BDC ＝90°，∠AFB ＝∠DFC ，∴∠ABF ＝∠DCF.又∵AB＝AC，∠BAF＝∠CAE＝90°，∴△ABF≌△ACE(ASA)．∴BF＝CE.故BF＝2CD.6．解：如图，以点A为圆心，AB长为半径画弧交CD于点E，连接AE，则AE＝AB，所以∠AEB＝∠ABC.(第6题)又因为AD⊥BC，所以AD是BE边上的中线，即DE＝BD.又因为∠ABC＝2∠C，所以∠AEB＝2∠C.而∠AEB＝180°－∠AEC＝∠CAE＋∠C，所以∠CAE＝∠C.所以CE＝AE＝AB，故CD＝CE＋DE＝AB＋BD.。
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等腰三角形（3）
——三线合一基本图形及其应用【学习目标】
1.回顾和梳理“三线合一基本图形”的有关知识。
2.探索归纳——如何创设应用“三线合一基本图形”的情境。
3.通过本次探究活动，提高基本图形分析法解决几何问题的应用意识。
4.体会到几何知识的运用也是有规律可循的，减少运用几何知识时的思维盲目性。
【学习重点】探索归纳——如何创设应用“三线合一基本图形”的情境
【学习难点】应用“三线合一基本图形”
一、复习
1、等腰“三线合一”的性质
等腰三角形的、、相互重合
符号语言①：如图∵，∴
符号语言②：如图∵，∴
符号语言③：如图∵，∴
2．如图，∠A=∠D=90°,AB=CD，AC与BD相交于点F，E是BC的中点.
求证：∠BFE=∠CFE.
二、探究：等腰三角形“三线合一”的性质能够逆用吗？（观看微视频）
在△ABC中,对于以下四个条件①AB=AC或（∠B=∠C），②∠BAD=∠CAD，③AD⊥BC
④BD=CD，据“三线合一”有①②→③④，①③→②④，①④→②③，反之将②③④中的任
两个作为条件，可以得出①吗？
（1）②③→①（2）③④→①已知：已知：
求证：求证：
A
B C
D
A
B C
D
（3）②④→①
已知： 求证：
理解深化：“三线合一”的应用： 在△ABC 中，AB=AC ，BD=CD ，AD ⊥BC ，∠1=∠2等四个条件，只要 ，就能推导出
三、应用“三线合一基本图形”
例1：已知：如图，在△ABC 中，AD 平分∠BAC ，CD ⊥AD ,D 为垂足，AB >AC 。
求证：∠2=∠1+∠B
例2：如图，在等腰△ABC 中，∠C =90°，如果点B 到∠A 的平分线AD 的距离为5cm, 求AD 的长。
四、归纳小结
A B C
D
五、课后练习：
1、如图，已知AB=BC，∠B=120°，DE是AB的垂直平分线.请说明CD=2AD
2、如图，D、E分别是AB、AC的中点，CD⊥AB于D，BE⊥AC于E，求证：AC=AB。
3、已知，等边三角形ABC，D是AC的中点，点E在BC的延长线上，且CE =CD。
若DM⊥BC，垂足为M，那么M是BE的中点，请说明理由。