多维标度法介绍
主观评价印刷品质量的评价法
主观评价印刷品质量的评价法
1.目视评价方法。
影响目视评价的主要因素有:一是评判者的心理状态，二是照明条件，三是观察条件，四是环境、背景色。
2.定性指标评价方法
3.多维标度法
多维标度是以数理统计学为基础的标度技术。
在成对比较样本间的差异或决定对样本的满意程度时，可以利用多维标度方法对人们评定时使用的主要参数进行分析和鉴别。
用这种方法评判印刷样本时，可以确定印刷质量主要参数的相对重要程度;评判得出的数值可以使主观评价与客观评价或与纸张性质之间产生内在的关联;还可以得到每张印刷品质量评价的可靠性、每个评价人员(如印刷厂、造纸专家、读者、广告人员等)与该评价小组评价的一致性等信息。
多维标度技术内容是:若两个元素间存在着感觉得出的差别，那么这个差量可以用一个几何距离表达。
若把这个差量记在一直线标尺上，那么刻度尺上的刻度值就显示了这个距离，然后可用该距离建立多于一维的、反映样本间关系的几何模型。
多维标度技术的一个重要特点是可以为评判者的主观心理因素加权情况进行多维标度，每个参数在一个评价中的作用可以用一个期望向量表示。
4.成对比较法
深圳印刷包装公司对印刷品质量进行判断时具有主观的特点，不同的人会做出完全不相同的结论，这种客观存在的不一致性不能视为偏差或随机性而加以忽略。
即使评价时存在可以用作比较基准的参照物，评价结果也会有不一致性，主观评价中存在的不一致性同样不可视为偏差和随机性而加以忽略。
将被评判的样本按某种顺序进行排列;把一组被评判样本中的每一张样本跟其它被评判的样本逐一进行比较，在比较的基础上打分，根据积分进行评判，这就是成对比较法。
本文来着深圳展泰印刷包装有限公司/。
模糊托格森多维标度法
多维 标 度 法 是 多 元 统 计 分 析 中 用 于 数 据 可 而且 着重 反 映它们 的非 线 性关 系 的强 弱 ， 同时 也
视化 的图 标 技 术 ， 的研 究 起 源 于 心 理 测 验 学 ， 反 映定性 变 量之 间 的相似性 。 它
现在广 泛应用 于地 质 学… 、 环境 分 析 【 ［］ ２ ３和知 识 ］ 结 构分 析 ＿ 等众 多 难 以取 得 准 确 定 量 资 料 的 领 ４ Ｊ
域 。 文 中提 出 了相 异 度 的 概 念 ， 并将 其作 为 一 种 非 相似 度 量 应 用 在 经 典 的 托 格 森 多 维标 度 法 中 。 关键词 ： 多维标 度 法 ； 异 度 ； 格 森 方 法 ； 糊 集 相 托 模 中图 分 类 号 ： ５ ０１９ 文献标识码 ： Ａ
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２ ０ 年 ９ 月 ０１
太 原 大 学 学 报
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第 １ １卷 第 ３期 总 第 ４ ３期
文 章编 号 ：６ １ ９ ７ ２ １ ）３—０ ２ —０ １ ７ —５ ７ （ ０ ０ ０ １９ ３
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mds多维标度法
mds多维标度法多维标度法（Multidimensional Scaling, MDS）是一种用于分析和可视化数据相似性或距离的统计技术。
它被广泛应用于心理学、市场研究、地理学、计算机科学等领域。
MDS的基本原理是通过将数据样本的相似性或距离转换成几何空间中的位置，来呈现数据之间的关系。
MDS的操作过程包括两个主要步骤：距离矩阵的计算和空间位置的估计。
首先，需要构建一个距离矩阵，该矩阵反映了数据样本之间的相似性或差异程度。
常见的距离度量方法包括欧氏距离、曼哈顿距离、闵可夫斯基距离等。
然后，利用数学算法对距离矩阵进行分析和转换，将数据转化为低维空间的坐标。
常见的算法有最小平方逼近（Least Squares Approximation）、主坐标分析（Principal Coordinate Analysis）、核主元分析（Kernel Principal Component Analysis）等。
MDS的最终结果通常通过散点图或轮廓图来呈现。
在散点图中，每个数据样本被表示为一个点，点的位置反映了样本之间的相似性。
相似的样本会更接近，而不相似的样本则会更远离。
轮廓图则用于衡量不同数据样本在转换后空间中的“质量”，即某个样本在低维空间中的位置是否合理。
轮廓系数越高，表示样本被正确地分配到了相应的位置，反之则表示分配不合理。
MDS的应用非常广泛。
在心理学研究中，MDS可用于分析人类对于不同刺激物或概念之间的感知相似性，比如测量产品、品牌或文字的相似性。
在市场研究中，MDS可用于揭示消费者对于产品的感知和比较，从而指导产品定位和市场策略。
在地理学中，MDS可用于分析地理空间上不同地点之间的相似性或距离，以帮助理解地理现象的关联性。
在计算机科学中，MDS可用于处理高维数据的可视化问题，将多维数据映射到二维或三维空间中进行展示和分析。
MDS在实际应用中也存在一些限制和挑战。
首先，MDS的性能很大程度上依赖于初始的距离矩阵，因此需要确保距离矩阵的准确性和合理性。
多维标度法
多维标度法内容丰富、方法较多。 按相似性（距离）数据测量尺度的不同MDS可分为： 度量MDS：当利用原始相似性（距离）的实际数值为间隔尺 度和比率尺度时称为度量MDS(metric MDS) 非度量MDS：当利用原始相似性（距离）的等级顺序（即有 序尺度）而非实际数值时称为非度量MDS(nonmetric MDS) 按相似性（距离）矩阵的个数和MDS模型的性质MDS可分
2
Shepard和Kruskal等人进一步加以发展完善。多维标度法 现在已经成为一种广泛用于心理学、市场调查、社会学、物 理学、政治科学及生物学等领域的数据分析方法。 多维标度法解决的问题是：当n个对象（object）中各对对象 之间的相似性（或距离）给定时，确定这些对象在低维空间 中的表示（感知图Perceptual Mapping），并使其尽可能与 原先的相似性（或距离）“大体匹配”，使得由降维所引起 的任何变形达到最小。多维空间中排列的每一个点代表一个 对象，因此点间的距离与对象间的相似性高度相关。也就是 说，两个相似的对象由多维空间中两个距离相近的点表示， 而两个不相似的对象则由多维空间两个距离较远的点表示。 多维空间通常为二维或三维的欧氏空间，但也可以是非欧氏 三维以上空间。
整数 r 和 R r 中的 n 个点 X1 , X 2 ,
2 dij ( X i X j )( X i X j )
, X n ，使得
i, j 1,2,
,n
则称 D 为欧氏距离阵 3．相似系数阵
定义 10.3 一个 n n 阶的矩阵 C (cij )nn ，如果满足条件：
定义10.1 一个n n阶的矩阵D=(dij ) n n ，如果满足条件：
8
（ 1） D D （ 2） dij 0, dii 0,
多维标度法的聚类分析_问题与解法
（5）模 糊 净 现 值 期 望 值 之 和 最 大 的 组 合 为 最 优 组 合 。 由 于 E(NP軌 V1+2)=8040.5>E(NP軌 V3)=8030.3，选 择 方 案 1 和 方案 2 组合。
3 结论
本文讨论了如何利用模糊净现值和模糊数排序方法对 模糊条件下资金有限独立方案进行评价选优。 给出了模糊净 现值和模糊数排序法选择资金有限独立方案的一般过程。 该 法主要适用于方案的现金流量或参数为模糊数的情况。 该方
大 学 出 版 社 ，1999． [8] 何 晓 群．多 元 统 计 分 析 [M]．北 京 ：中 国 人 民 大 学 出 版 社 ，2004． [9]J F Hair, et al．Multivariate data analysis with reading [M]．4th ed．
fuzzysets文讨论了如何利用模糊净现值和模糊数排序方法对模糊条件下资金有限独立方案进行评价选优解决方法mds将研究数据转换为距离数据后就需要运用研究对象在各维度上的坐标值进行聚类分析了34个城市聚类树形图最好选择几种聚类法再选择一种比较euclideandistance用常用的组间联结法betweengroupslinkagespss120处理得到的聚类树形图如图聚过程表中的系数coefficients数据绘制成不相似34个城市分合并为14个城市归为一类能有效减少依据空间分布图难以聚类或者聚类不一致的现象在大部分研究中以使用平均联结法kmeanscluster相用多维标度法进行聚类分析时如果依据空间分布图类发生困难或感到可能产生偏差就可以运用研究对象在各维度上的坐标值进行进一步的聚类分析mds的改进及其在国际市场
第十章 多维标度法
美国10城市间的飞行距离
4 701 940 879 0 1374 968 1420 1645 1891 1220 5 1936 1745 831 1374 0 2339 2451 347 959 2300 6 604 1188 1726 968 2339 0 1092 2594 2734 923 7 748 713 1631 1420 2451 1092 0 2571 2408 205 8 2139 1858 949 1645 347 2594 2571 0 678 2442 9 2182 1737 1021 1891 959 2734 2408 678 0 2329 10 543 597 1494 1220 2300 923 205 2442 2329 0
第十章
第一节 引言
多维标度法
第二节 第三节
第四节
古典多维标度法(Classical MDS) 权重多维标度(WMDS)
实例分析与计算实现
第一节 引 言
在实际中我们会经常遇到这些的问题，给你一组城市，你总
能从地图上测出任何一对城市之间的距离。但若给你若干城 市的距离，你能否确定这些城市之间的相对位置呢？假定你 知道只是哪两个城市最近，哪两个城市次近等等，你是否还 能确定它们之间的相对位置呢？假定通过调查了解了10种饮 料产品在消费者心中的相似程度，你能否确定这些产品在消 费者心理空间中的相对位置呢？在实际中我们常常会遇到类 似这样的问题。 多维标度法（Multidimensional Scaling）就是解决这类问题 的一种方法，它是一种在低维空间展示“距离”数据结构的 多元数据分析技术，简称MDS。 多维标度法起源于心理测度学，用于理解人们判断的相似性。 Torgerson拓展了Richardson及Klingberg等人在三、四十年 代的研究，具有突破性地提出了多维标度法，后经
运用多维尺度标度法对NBA球员的聚类分析
运用多维尺度标度法对NBA球员的聚类分析陈博摘要本文首先从2010-2011赛季NBA常规赛中得分榜前五十位球星中选取了收入最高的十位作为样本，然后选择了衡量球员防守和进攻能力的六个最主要的指标作为变量，运用Spss 进行多维标度分析，得到了一个二维的空间分布图，发现在二维坐标平面上詹姆斯和霍华德远离其他球员。
在运用得到的球员在二维平面上的坐标进行聚类分析，得到了与分布图一致的结论即詹姆斯和霍华德是真正的巨星。
再结合各球员的当赛季薪资分析，仍然可以发现的是詹姆斯和霍华德还是十分物美价廉的球员，而湖人队的两位球星加索尔和科比，有薪资过高的嫌疑。
诺维斯基虽然数据不突出但带领球队获得最终总冠军，因此第二高薪也是当之无愧的。
而其他球员应属是物有所值型的。
关键词：NBA 多维标度法聚类分析工资水平第一章绪论第一节选题背景及意义NBA（全称National Basketball Association），直译为美国篮球大联盟，简称美职篮。
NBA在其短短几十年的发展历史里面已经成为了全球最著名最成功的体育赛事之一。
激烈精彩的赛事，光芒四射的球星，成功的商业推广，巨额的广告赞助和电视转播收入，吸引着全世界球迷的眼球。
然而浮华背后其实是危机四伏，2005-2006赛季，共19支球队亏损，亏损金额为2.2亿美元；2006-2007赛季，共21支球队亏损，亏损金额为2.85亿美元；2007-2008赛季，共23支球队亏损，亏损金额为3.3亿美元；2008-2009赛季，共24支球队亏损，亏损金额为3.7亿美元；2009-2010赛季共23支球队亏损，亏损金额为3.4亿美元；而最近结束的11赛季预计亏损为3亿美元。
整个NBA共有30支球队，从以上数据可以看到有70%-80%的球队连年巨额亏损，而球队亏损的一个最主要原因就是疲于支付球员们的巨额年薪。
有资料显示2010-2011赛季，NBA所有球员的平均年薪是515万美元，在美国所有的职业体育联盟里是平均年薪最高的，而当赛季收入最高的科比布莱恩特更是达到了惊人的2480万美金。
多维标度法的定义判断题
多维标度法的定义判断题一、多维标度法的概念与原理1.多维标度法的定义多维标度法（Multidimensional Scaling，简称MDS）是一种对数据进行降维处理和可视化分析的方法。
它通过计算不同变量之间的相似性或距离，将原始数据映射到一个新的低维空间，从而实现对数据的简化与理解。
2.多维标度法的应用领域多维标度法广泛应用于心理学、社会学、地理学、市场营销、生物学等领域，主要用于分析复杂数据集，挖掘变量间的潜在关系。
3.多维标度法的基本原理多维标度法的基本原理是将数据点之间的相似性或距离信息转化为低维空间中的坐标，使得数据点在低维空间中的距离能够反映原始数据中的相似性或距离信息。
这可以通过求解最小二乘法问题来实现。
二、多维标度法的判断题类型1.相似性判断题相似性判断题是多维标度法中的一种题目类型，通过比较两个对象在低维空间中的距离来判断它们之间的相似程度。
这类题目可以帮助我们了解变量间的相似性关系。
2.优先级判断题优先级判断题要求受访者根据一定的标准，对多个对象进行排序。
通过多维标度法，可以将受访者的排序结果映射到低维空间，从而分析排序背后的潜在因素。
3.距离判断题距离判断题要求受访者根据对象之间的距离来判断它们在低维空间中的相对位置。
这类题目可以帮助我们了解受访者对不同对象之间的距离感。
三、多维标度法的实证分析与案例1.数据收集与处理在进行多维标度法分析之前，我们需要首先收集相关数据。
数据可以来源于问卷调查、实验观察等多种途径。
在收集到数据后，我们需要对数据进行预处理，包括去除异常值、标准化等。
2.模型构建与参数估计在数据处理完成后，我们可以构建多维标度模型，并使用最小二乘法等方法估计模型参数。
这一步骤的目的是将原始数据映射到低维空间，从而实现对数据的降维处理。
3.结果分析与应用多维标度法的结果可以用于分析变量间的相似性、优先级和距离关系。
此外，我们还可以将结果应用于后续的决策分析、市场划分等领域。
第章多维标度法
第章：多维标度法什么是多维标度法多维标度法（Multidimensional Scaling，MDS）是一种基于距离或相似性数据的统计分析方法。
简单来说，它是一种数据降维的方法，在保留数据间距离或相似性的基础上，通过将高维数据降低到二维或三维等低维空间中进行展示和分析。
多维标度法的主要应用领域包括心理学、社会学、生物学、地理学、市场研究、机器学习等等。
多维标度法的基本流程多维标度法的基本流程一般包括以下几个步骤：1.数据收集：收集距离或相似性数据矩阵；2.距离矩阵的转换：将距离矩阵转换为相似度矩阵；3.相似矩阵的标准化：对相似矩阵进行标准化，使其所有元素的和为0；4.特征值分解：对标准化的相似矩阵进行特征值分解（或奇异值分解）；5.降维：将特征值分解的结果中的主要特征值和特征向量组成降维矩阵；6.可视化：将降维矩阵中的数据绘制在二维或三维空间中进行可视化。
多维标度法的优点和局限性多维标度法具有以下优点：1.可视化效果好：通过将高维数据降维到二维或三维，使得数据更容易理解和解释；2.不需要假设数据分布：多维标度法不需要假设数据分布，适用于各种类型的距离或相似性数据；3.可伸缩性：多维标度法可以处理任意规模的数据集。
多维标度法的主要局限性包括：1.敏感度较高：多维标度法对数据的噪声和误差比较敏感；2.可解释性较差：多维标度法只能提供数据的降维展示，对于数据背后的真实机制和原因解释性较差；3.计算复杂度较高：多维标度法的计算复杂度随着数据维度的增加呈指数级增长。
多维标度法的应用多维标度法在各种领域都有应用，下面列举几个具体例子：1.分类研究：例如通过分析不同物种之间的遗传距离、分子结构相似性等数据，判断这些物种的亲缘关系；2.地理信息：例如通过分析地理空间中不同地点之间的距离、海拔高度等数据，研究不同地区的地形地貌特征；3.市场研究：例如通过分析不同商品之间的相似性和竞争关系，研究市场的竞争格局。
多维标度法是一种常用的数据降维方法，适用于各种类型的距离或相似性数据。
第10章多维标度分析
第10章多维标度分析10.1多维标度法的基本思想当维数p>3时，即使给出了p维空间R P中n个样本点的坐标，我们都难以想象这n个点的相互位置关系，因此自然希望在我们熟悉的低维空间R k(k<p,如k=1,2,3)中能以较高的相似度重新展示这n个点的数据结构，并由此对原始样本数据进行统计分析.另外，即使维数p≤3,有时问题也不容易解决.比如地图上任意两个城市之间的直线距离和实际道路距离不一样，若仅给了一组城市相互间的实际道路距离，你能否标出这些城市之间的相对位置呢?又假定只知道哪两个城市最近，哪两个城市次近，等等，你还能确定它们之间的相对位置吗?重新标度的位置与实际位置相似度达到多大?把上面的不同“城市”换作不同的“产品”、“品牌”、“指标”等，也会遇到类似的问题.多维标度法(multidimensional scaling,MDS)就是一类将高维空间中的研究对象(样本或变量)简化到低维空间中进行定位、归类和分析，同时又有效地保留研究对象间原始关系的多元数据分析技术的总称，是一种维数缩减方法.多维标度法于20世纪40年代起源于心理测度学，用于大致测定人们判断的相似性，1958年Torgerson在其博士论文中首先正式提出了这一方法.多维标度法现在已广泛应用于心理学、市场营销、经济管理、交通、生态学及地质学等领域.多维标度法内容丰富、方法较多，其理论分析手段与主成分分析有相通之处，但也有自己的特点.根据研究对象的相关指标是用距离、比例等度量化数据给出还是用顺序、秩等给出，相应的分析方法分为度量分析法和非度量分析法，而古典多维标度法是其中最常用的度量分析法.10.2古典多维标度法下面根据参考文献[2],用一个例子来介绍几个与多维标度法相关的基本概念.【例10.1】(数据文件为eg10.1)表10-1给出了我国部分城市间的距离，由于道路弯弯曲曲，这些距离并不是这些城市间的真正距离.我们希望在地图上重新标出这八个城市，使得它们之间的距离尽量接近表10-1中的距离.表10-1 我国八个城市间的距离单位：千米北京天津济南青岛郑州上海杭州南京北京0天津118 0济南439 363 0青岛668 571 362 0郑州714 729 443 772 0上海1259 1145 886 776 984 0杭州1328 1191 872 828 962 203 0南京1065 936 626 617 710 322 305 0 10.2.1多维标度法的几个基本概念定义10.1一个n×n阶矩阵,如果满足条件(1)(2)则称矩阵D为广义距离阵，dij称为第i点与第j点间的距离.注意：这样定义的距离不是通常意义下的距离，而是通常距离的拓广，比如人们熟悉的距离三角不等式在这里就未必成立.对于距离阵,多维标度法的目的是要寻找较小的正整数k(如k=1,2,3)和相应低维空间R k中的n个点x₁,x₂,…,xn ,记表示xi与xj在R k中的欧氏距离，使得与D在某种意义下尽量接近.将找到的这n个点写成矩阵形式称X为D的一个古典多维标度(CMDS)解.在多维标度分析中，形象地称xi为D的一个拟合构造点，称X为D的拟合构图，称为D的拟合距离阵.特别地，当=D时，称xi为D的构造点，称X为D的构图.又若X为D的构图，令式中，P为正交阵，a为常数向量，则Y=(y₁,y₂,…,yn)也为D的构图，这是因为平移和正交变换不改变两点间的欧氏距离，即若D的构图存在，那么它是不唯一的.定义10.2对于一个n×n的距离阵,如果存在某个正整数k和R k中的n个点x₁,x₂,…,xn,使得(10.1)则称D为欧氏距离阵.下面讨论如何判断一个距离阵D是否为欧氏距离阵；在已知D为欧氏距离阵的条件下，如何确定定义10.2中相应的k和R k中的n个构造点x₁,x₂,…,xn.令(10.2)(10.3)式中，In 为n×n阶单位阵，1n,为分量全为1的n维列向量.借助这些定义，下面给出一个距离阵D为欧氏距离阵的充要条件.定理10.1设D为n×n阶距离阵，B由式(10.3)定义，则D是欧氏距离阵的充要条件为B≥0.证明：(必要性)设D是欧氏距离阵，由定义和式(10.2)可知，存在正整数k 和R k中的n个构造点x₁,x₂,…,xn,使得又由式(10.3)可得(10.5)式中，为元素全为1的nxn阶矩阵.注意式中(10.6)将它们代入式(10.5)中，可得(10.7)由式(10.4)知,再结合式(10.6),可得(10.8)将代入式(10.8),化简可得式中，将式(10.9)表示为矩阵形式，得到这里乘积HX所得的结果是将X中心化，即(10.10)(充分性)反之，若B≥0,记k=rank(B),λ₁,λ₂,…,λk (λ₁≥λ₂≥…≥λk>0)为B的正特征值，x(1),(2),…,x(k)为相应的特征向量，且令注意：这里x₁,x₂,…,xn表示由X的各行转置后得到的k×1列向量.令A=diag(λ₁,λ₂,…,λk),,则,即P的列为标准正交化特征向量，于是(10.11)由此可得说明正好是D的构图，所以D是欧氏距离阵，充分性得证.注意：充分性的证明给出了从欧氏距离阵D出发得到构图X的方法，即D→A→B→X具体步骤为：由D知dij,由得A,再由得B,最后求B的特征值λ₁,λ₂,…,λk和相应的特征向量x(1),(2),…,x(k),n×k阶矩阵X=(x(1),(2),…,x(k))的行向量转置后得到的n个k×1列向量x₁,x₂,…,xn 即为D的n个构成点，而矩阵即为D的构图，据式(10.11),X 也可以由来计算.由定理10.1知，D是欧氏距离阵的充要条件是B≥0.因此若B有负特征值，那么D一定不是欧氏距离阵，此时不存在D的构图，只能求D的拟合构图，记作,以区别真正的构图X.在实际中，即使D为欧氏距离阵，记它的构图为n×k 矩阵X,当k较大时也失去了实用价值，这时宁可不用X,而去寻找低维的拟合构图.也就是说，在D的构图不存在和构图存在但k较大两种情形下都需要寻找D的低维拟合构图.令这两个量相当于主成分分析中的累积贡献率，我们希望k不要取太大，就可以使a₁.k和a₂.k比较大，比如说，大于80%就比较合适.当k取定后，用表示B的对应于特征值λ₁,λ₂,…,λk的正交化特征向量，使得.通常还要求λk >0,若λk<0,要缩小k的值.最后，令则即为D的拟合构图，或者说为D的古典多维标度解，(均为k×1列向量)即为D的n个拟合构造点.有的文献也把称为X的主坐标，把多维标度分析称为主坐标分析.下面用一个具体例子(参见参考文献[2])来说明上述求解步骤.【例10.2】设有距离阵D如下(为简洁起见，对称阵都只写出上三角部分):由于,可求得A,āig ,āgj及āgg如下：再由bij =aij-āig-āgj+āgg可得由于B的7个列b₁,b₂,…,b₇有如下线性关系b₃=b₂-b₁,b₄=-b₁,b₅=-b₂,b₆=b₁-b₂,b₇=0于是B的秩最多为2,注意到B的第一个二阶主子式非退化，故rank(B)=2=k,并且可求得B的7个特征值分别为：λ₁=λ₂=3,λ₃=λ₄=…=λ₇=0且对应于λ₁,λ₂的特征向量分别为：故7个拟合构造点在R²中的坐标分别为：(√3/2,1/2),(√3/2,-1/2),(0,-1),(-√3/2,-1/2),(-√3/2,1/2),(0,1 ),(0,0)因为B≥0,所以原矩阵D是欧氏距离阵，故这7个拟合构造点就是D的构造点.容易验证，这7个构造点在R²中的欧氏距离阵恰为D,即10.2.2已知距离矩阵时CMDS解的计算上面计算CMDS解的过程在R中可使用stats包中的cmdscale()函数来实现，也可以使用MASS包中处理非度量MDS问题的isoMDS()函数来实现，但cmdscale()函数的好处是可以同时计算出B的特征值和特征向量以及两个累积贡献率a₁.k 和a₂.k的值.【例10.3】(数据文件为eg10.3)根据表10-1给出的我国八个城市间的距离矩阵D,利用R软件stats包中的cmdscale()函数求D的CMDS解，给出拟合构图及拟合构造点.解：在R中的程序为：#例10.3打开数据文件eg10.3.xls,选取数据区域C2:K10,然后复制>eg10.3=read.table("clipboard",header=T) #在R中读入数据>D10.3=cmdscale(eg10.3,k=2,eig=T) #k取为2,eig=T给出矩阵B的前两个特征#向量和特征值>D10.3$points[,1] [,2]北京-658.14610 -52.301759天津-522.00992 -133.917153济南-229.30657 32.365307青岛-80.72182 -277.225217郑州-171.98297 474.047645上海610.52727 -102.636996杭州659.93216 5.717159南京391.70794 53.951014$eig[1]1.756015e+06 3.367695e+05 7.888679e+04 3.770390e+041.320482e+04 -4.001777e-11 -1.434722e+04 -3.259473e+04......>sum(abs(D10.3$eig[1:2]))/sum(abs(D10.3$eig)) #计算a1.2[1] 0.9221257>sum((D10.3$eig[1:2])~2)/sum((D10.3$eig)~2) #计算a2.2[1] 0.9971656>x=D10.3$points[,1]>y=D10.3$points[,2]>plot(x,y,xlim=c(-700,800),ylim=c(-300,600)) #绘散点图(见图10-1)#根据两个特征向量的分量大小>text(x,y,labels=s(eg10.3),adj=c(0,-0.5),cex=0.8) #名标出#将拟合点用行#名标出图10-1我国八城市距离阵的拟合构图由R计算结果可见，矩阵B的八个特征值分别为：1756015,336770,78887,37704,13205,0,-14347,-32595最后两个特征值为负，表明距离矩阵D不是欧氏距离阵.a1.2=92.2%,a2.2=99.7%,故k=2就可以了.由前两个特征向量可得八个拟合构造点分别为：(-658.1,-52.3),(-522.0,-133.9),(-229.3,32.4),(-80.7,-277.2) (-172.0,474.0),(610.5,-102.6),(659.9,5.7),(391.7,54.0)容易计算出八个拟合构造点在R²中的欧氏距离阵，如表10-2所示.将它们与表10-1中城市间的原始距离数据进行比对，可以发现大多数距离数据拟合较好，少数数据误差较大.表10-2我国八个城市间的距离阵的拟合构图10.2.3已知相似系数矩阵时CMDS解的计算定义10.3一个n×n阶的矩阵,如果满足条件(1)(2)则称C为相似系数矩阵，cij称为第i点与第j点间的相似系数.在进行多维标度分析时，如果已知的数据不是n个对象之间的广义距离，而是n个对象间的相似系数，则只需将相似系数矩阵C按式(10.12)转换为广义距离阵D,其他计算与上述方法相同.令(10.12)由定义10.3可知，,显见,故D为距离)为欧氏距离阵. 阵，可以证明，当C≥0时，由式(10.12)定义的距离阵D=(dij【例10.4】(数据文件为eg10.4)为了分析下列六门课程之间的结构关系，找到了由劳雷和马克斯维尔得到的相关系数矩阵(见表10-3).其中，相关系数的值越大(小),表示课程越(不)相似.易见相关系数矩阵也为相似系数矩阵，记为C,求C的CMDS解，并给出拟合构图及拟合构造点.表10-3六门课程相关系数矩阵盖尔语英语历史算术代数几何盖尔语 1 0.439 0.41 0.288 0.329 0.248 英语0.439 1 0.351 0.354 0.32 0.32g 历史0.41 0.351 1 0.164 0.19 0.181 算术0.288 0.354 0.164 1 0.595 0.47 代数0.329 0.32 0.19 0.595 1 0.464 几何0.248 0.329 0.181 0.47 0.464 1解：据表10-3知，.于是由变换式(10.12)知(10.13)由式(10.13)易得六门课程的广义距离阵D,如表10-4所示.表10-4由六门课程相关系数矩阵转化所得的距离阵盖尔语英语历史算术代数几何盖尔语0 1.059 1.086 1.193 1.158 1.226英语 1.059 0 1.139 1.137 1.166 1.158 历史 1.086 1.139 0 1.293 1.273 1.280 算术 1.193 1.137 1.293 0 0.900 1.030 代数 1.158 1.166 1.273 0.900 0 1.035 几何 1.226 1.158 1.280 1.030 1.035 0余下工作可以仿照例10.3进行，在R中的程序为：#例10.4打开数据文件eg10.4.xls,选取数据区域A10:G16,然后复制>eg10.4=read.table("clipboard",header=T) #在R中读入数据>D10.4=cmdscale(eg10.4,k=2,eig=T) #k取为2,eig=T给出矩阵B的前两个特#征向量和特征值>D10.4$points[,1] [,2]盖尔语0.4028583 0.26570653英语0.2415986 0.48339407历史0.6210937 -0.50817963算术-0.4575066 0.03803193代数-0.4216733 -0.04017726几何-0.3863706 -0.23877565$eig[1]1.142825e+00 6.225908e-01 6.022539e-01 5.245848e-013.963587e-01 1.998401e-15......>sum(abs(D10.4$eig[1:2]))/sum(abs(D10.4$eig)) #计算a1.2[1] 0.5368268>sum((D10.4$eig[1:2])^2)/sum((D10.4$eig)~2) #计算a2.2[1] 0.6805523>x=D10.4$points[,1]>y=D10.4$points[,2]>plot(x,y,xlim=c(-0.6,0.8),ylim=c(-0.6,0.7)) #根据两个特征向量的分量大小绘制拟合图>text(x,y,labels=s(eg10.4),adj=c(0,-1),cex=0.8) #将拟合点用行名标出由R计算出的B的六个特征值按大小顺序依次为：λ₁=1.1428,λ₂=0.6226,λ₃=0.6023,λ₄=0.5246,λ₅=0.3964λ₆=0.0000因为a1.2=53.68%,a2.2=68.06%,不足80%,可考虑取k=3(这里从略).由前两个特征向量可得8个拟合构造点，分别为：(0.403,0.266),(0.242,0.483),(0.621,-0.508),(-0.458,0.038),(-0.422,-0. 040),(-0.386,-0.239).图10-2大体反映了这六门课程的基本结构，从图中可以直观地看出，算术、代数、几何较为接近，英语和盖尔语较为相近，而历史课程与其他课程的差异较大.图10-2六门课程相似系数矩阵的古典拟合构图10.3非度量多维标度法在实际问题中，涉及更多的可能是不易量化的相似性测度，如两种颜色的相似性，虽然我们可以用较小(大)的数字表示颜色非常(不)相似，但是这里的数字只表示颜色之间的相似或不相似程度，并不表示色彩实际的数值大小，因而这是一种非度量的定序尺度，能够利用的唯一信息就是这种顺序(秩).古典多维标度法基于主成分分析的思想，在低维空间上利用主坐标重新标度距离，这时式中，是距离dij 的拟合值；eij是拟合误差.但有时dij和之间的拟合关系可以表示为：(10.14)式中，f为一个未知的单调递增函数.这时，我们用来构造的唯一信息就是{dij }的秩，将{dij,i<j}从小到大排列为：与(i,j)所对应的dij 在上面的排列中的名次(由小到大)称为(i,j)的秩或dij的秩.我们欲寻找一个拟合构图(或一组拟合构造点),使后者相互之间的距离也有如上的次序，即并记为：这种模型大多出现在相似系数矩阵的场合，因为相似系数强调的是研究对象之间的相似，而不是它们的距离.在处理这种模型的各种方法中，最为流行的是Shepard-Kruskal算法，它的计算步骤如下：(1)已知相似系数矩阵D=(dij)(这里仍用D来记相似系数矩阵),并将其非对角元素从小到大排列为：(2)设是k维拟合构造点，相应的距离阵为,令(10.15)极小是对一切而言的，使上式达到极小的称为对的最小二乘单调回归.如果,在式(10.15)中取,这时是D 的构图.若对X作一正交平移变换yi =Pxi+b,P为正交阵，b为常数向量，则式(10.15)的分子不变.(3)若k固定，且能存在一个,使得则称为k维最佳拟合构图.(4)由于Sk (也称为压力指数，stress)是k的单调下降序列，取k,使Sk适当地小.例如Sk ≤5%最好，5%<Sk≤10%次之，Sk>10%较差.求解可用梯度法进行迭代(参见参考文献[2]).10.4案例分析与R实现案例10.1(数据文件为case10.1)表10-5给出了2010年我国31个省、直辖市、自治区农村居民家庭人均生活消费支出的统计数据.一共选取8个指标：x₁为食品消费；x₂为衣着消费；x₃为居住消费；x₄为家庭设备用品及服务；x₅为交通通信；x₆为文教娱乐用品及服务；x₇为医疗保健；x8为其他商品和服务支出.试用多维标度法对其进行统计分析，并对分析结果的实际意义进行解释.表10-5 2010年我国各地区农村居民家庭人均生活消费支出单位：元地区x₁x₂x₃x₄x₅x₆x₇x8北京2994.66 699.42 1990.21 473.62 1112.44 950.61 840.61 193.21天津2060.83 365.86 888.32 233.02 467.48 462.25 360.47 98.50河北1351.41 250.92 839.66 218.90 464.80 462.25 360.47 78.87山西1372.49 315.78 614.70 173.62 357.74 420.21 328.92 80.40内蒙古1675.04 317.71 751.99 177.91 598.61 374.19 467.97 97.41辽宁1714.15 369.15 745.03 185.23 448.97 500,28 413.83 112.87吉林1523.32 309.75 752.79 171.92 368.64 454.05 462.42 104.47黑龙江1483.95 387.17 793.80 164.63 455.90 560.71 443.16 101.86上海3806.82 554.13 2020.25 528.01 1459.45 997.65 584.51 209.66 江苏2491.51 350.01 1170.88 327.69 785.53 908.10 362.28 146.87浙江3055.59 551.53 2044.32 410.62 1145.99 839.19 709.30 172.34安1632.96 232.20 867.51 231.23 338.99 363.92 264.39 82.10 徽2537.15 310.14 865.50 292.71 638.07 462.17 251.36 141.23 福建江1812.66 174.61 782.72 205.27 331.81 285.23 243.84 75.48 西1804.45 305.56 832.95 324.70 649.21 421.91 383.89 84.51 山东河1371.17 261.52 765.18 254.47 401.44 250.47 287.83 90.14 南湖1763.05 217.61 816.42 262.26 331.35 288.12 295.24 116.73 北湖2087.85 209.85 719.20 243.90 343.82 315.93 293.59 96.23 南2630.05 215.51 986.70 235.01 637.08 326.53 307.43 177.27 广东1675.41 110.46 692.51 192.77 310.30 182.55 228.99 62.30 广西1724.47 117.36 609.77 135.22 312.53 318.04 138.35 90.49 海南1750.01 224.13 548.00 260.71 281.73 239.03 270.31 50.70 重庆1881.18 226.62 625.28 239.48 360.70 218.62 276.06 69.59 四川1319.43 137.49 621.80 135.64 229.66 186.19 178.07 44.21 贵州云1604.50 160.72 638.09 167.66 337.85 206.45 239.94 43.11 南西1325.71 326.65 352.88 181.27 282.43 51.06 71.16 75.77藏1299.22 237.87 837.54 233.37 336.22 397.61 376.20 75.77 陕西1315.25 184.23 551.63 146.93 256.70 238.03 203.13 46.0g 甘肃1442.88 255.19 944.23 193.59 369.60 198.53 307.92 62.55 青海1541.77 302.61 776.44 188.12 444.02 241.08 417.92 101.22 宁夏1394.38 303.66 695.17 137.69 382.14 170.15 314.73 59.94 新疆解：本案例我们采用R软件MASS包中的isoMDS()函数来实现分析计算(当然也可以用前面使用的cmdscale()函数),在R中的操作过程如下：#打开数据文件case10.1.xls,选取A2:I33区域，然后复制>case10.1<-read.table("clipboard",header=T) #将eg10.1.xls数据读入到#Case10.1中>D1=as.matrix(case10.1) #需要将数据转换成矩阵形式>D=dist(D1) #求距离阵>library(MASS) #载入MASS包，这样才能使用isoMDS()函数>fit=isoMDS(D,k=2)>fit$points[,1] [,2]北京-1882.08165 -405.5501799天津-181.18356 83.5568197河北378.06842 -316.9090361山西519.63551 -161.3723531内蒙古140.53475 -118.3236722辽宁239.59269 -57.3466211 吉林311.06135 -196.5769112 黑龙江257.18237 -303.2689490 上海-2574.54791 164.4633867 江苏-864.88942 19.9653109 浙江-1891.26840 -273.7180203 安徽241.99333 -56.7533361 福建-562.74468 426.2460037 江西187.41927 149.4628003 山东-23.94055 -68.0772001 河南480.52386 -165.0996828 湖北186.03261 68.3345125 湖南-11.86522 317.5767900 广东-645.99328 471.6486570 广西377.05811 164.2765177 海南362.23481 229.5403989 重庆360.53994 226.6307228 四川206.07019 261.9414880 贵州708.60794 -0.5224843 云南435.30179 117.9074584 西藏836.32175 163.8641180 陕西475.58204 -309.3702220 甘肃712.09253 -10.0972309 青海372.00020 -192.4072738 宁夏321.09711 -124.8186386 新疆529.56410 -105.2031733 $stress[1] 3.267686>x=fit$points[,1]>y=fit$points[,2]>plot(x,y) #画散点图(见图10-3)>text(x,y,labels=s(case10.1),adj=c(0.5,1.5),cex=0.7) #设置标签位#置大小>abline(h=0,v=0,lty=3) #采用虚线划分四个象限从图10-3可以比较直观地看出在总支出方面，上海、北京、广东、浙江、江苏、天津、福建等沿海地区是我国传统的经济发达地带，又是改革开放的前沿，雄厚的经济实力为农业和农村经济发展奠定了坚实的基础，农村居民的人均消费水平相对较高.北京在享受型消费方面领先于其他省区，说明北京的农民比较重视文化生活，由于他们身处祖国的政治文化中心，因此在文化、教育、医疗等方面有很高的消费和投入.而广东农民更重视物质上的消费，尤其在食物方面，广东人很下工夫，但是他们在文化生活上支出却不高，也不太注重这方面的投入.从总体来看，我国绝大多数地区农村居民家庭的消费水平比较低，消费结构不合理，我国农村居民家庭消费水平在不同地区间存在着明显的差异.图10-3 2010年我国农村居民家庭人均生活消费支出古典拟合构图习题10.1证明当C≥0时，由式(10.12)定义的距离阵D=(d₂)为欧氏距离阵.10.2(数据文件为ex10.2)在R中利用古典多维标度法对表10-6中的六个经济发展指标数据进行分析评价.其中，x₁为农业产值，x₂为林业产值，x₃为牧业产值，x₄为企业人数，x₅为企业总产值，x₆为利润总额.表10-6 2003年广东省各地区农村经济发展状况指标城市x₁x₂x₃x₄x₅x₆广州市97.84 1.28 38.86 141.98 2089.55 121.07深圳市11.20 0.66 12.59 156.52 418.16 50.12珠海市 5.67 0.11 3.60 17.39 360.58 10.58汕头市29.87 0.57 17.26 52.45 673.74 24.07佛山市52.39 0.29 32.14 90.77 1649.81 62.74韶关市47.82 4.47 18.44 27.91 144.51 16.14河源市33.57 3.10 12.84 12.62 51.25 4.73梅州市57.10 2.74 28.02 44.12 226.65 19.75惠州市61.57 4.70 25.20 70.38 568.79 40.39汕尾市29.82 1.70 12.09 30.52 189.00 6.78东莞市20.97 0.14 20.35 134.63 1380.42 74.01中山市16.87 0.21 5.33 91.43 1148.14 52.10江门市57.33 1.79 39.21 85.64 1252.07 32.68阳江市47.72 3.27 21.39 19.52 191.64 11.08湛江市87.20 4.72 34.07 40.60 390.06 20.96茂名市112.00 7.85 81.36 76.47 739.34 40.85肇庆市76.06 16.45 46.77 52.97 569.93 19.40清远市57.35 6.67 28.47 17.95 75.29 6.76潮州市27.05 1.63 14.88 35.22 501.63 20.97揭阳市71.08 2.09 26.43 50.52 891.76 17.79云浮市44.07 4.65 38.97 22.23 188.47 8.7010.3(数据文件为ex10.3)表10-7给出了2011年全国31个省、直辖市、自治区的城镇居民家庭人均消费性支出的8个主要指标数据，根据这些数据，采用多维标度法进行分析评价.表10-7全国31个省、直辖市、自治区城镇居民家庭人均消费性支出数据(2011年)单位：元地区食品x₁衣着x₂居住x₃家庭设备及用交通通信x₅文教娱乐x₆医疗保健x7其他x8品x₄北京6905.512265.881923.711562.553521.23306.821523.32975.37天津6663.311754.981763.441174.622699.532116.011415.39836.82河北3927.261425.991372.25809.85 1526.61203.99955.95 387.40山西3558.041461.91327.78832.74 1487.661419.43851.30 415.44内蒙古4962.42514.091418.61162.872003.541812.071239.36765.13辽宁5254.961854.631385.62929.37 1899.061614.521208.3643.15吉林4252.851769.471468.29839.31 1541.371468.341108.51562.48黑龙江4348.451681.881185.96723.58 1363.621190.871082.96476.89上海8905.952053.812225.681826.223808.413746.381140.821394.86江苏6060.911772.061187.741193.812262.192695.52962.45 647.06浙江7066.222138.991518.061109.423728.232816.121248.9811.51安徽5246.761371.011501.39690.66 1365.011631.28907.58 467.77福建6534.941494.961661.841179.842470.181879.02773.26 667.00江西4675.161272.881114.49914.88 1310.211429.3641.23 389.06山东4827.612008.841510.841013.822203.991538.44938.86 518.27河南4212.761706.941087.08977.52 1573.641373.94919.83 484.76湖北5363.681677.911172.11814.81 1382.21489.67915.72 347.68湖南4943.891499.021292.55940.79 1975.51526.1790.76 434.25广东7471.881404.62005.151370.283630.622647.94948.18 773.17广西5074.491019.341237.91884.85 2000.571502.65779.08 349.48海南5673.65 780.101342.29729.86 1830.81141.81783.34 360.91重庆5847.92056.791205.661079.271718.731474.881050.62540.63四川5571.691483.541226.141020.161757.521369.47735.26 532.52贵州4565.851209.881102.99857.55 1395.281331.43578.33 311.57云南4802.261587.18827.84 570.46 1905.861350.65822.41 381.38西藏5184.181261.29781.12 428.03 1278.0514.44 424.10 527.74陕西5040.471673.241193.81914.26 1502.441857.61100.51500.42甘4182.41470.21139.8660.48 1289.81158.3874.05 413.37肃7 6 5 0 0青海4260.271394.281055.15723.23 1293.45967.90 854.25 406.93宁夏4483.441701.731247.14885.36 1637.611441.18978.12 521.47新疆4537.461715.94888.16 791.43 1377.671122.18912.99 493.56 10.4(数据文件为ex10.4)对表10-8给出的我国12个城市间的航空距离矩阵D,利用R软件中的cmdscale()函数求D的CMDS解，并给出拟合构图X及拟合构造点.表10-8我国12个城市间的航空距离矩阵10.5(数据文件为ex10.5)在R中利用古典多维标度法对表10-9中给出的2006年我国东部和西部地区20省区工资水平数据.请对相关经济发展指标数据进行分析评价.其中x₁为国有单位工资，x₂为城镇集体单位工资，x3为股份合作单位工资，x₄为联营单位工资，x5为有限责任公司工资，x₆为股份有限公司工资，x₇为其他单位工资，x8为港、澳、台商投资单位工资，x9为外商投资单位工资.表10-9我国2006年20个省区工资水平数据单位元地区x₁x₂x₃x₄x₅x₆x₇x8X 9北京41313 17550 14603 20154 30732 54595 28023 52593 64192 河北17057 10255 12947 23894 17580 15835 10362 17282 18014 山西18540 12014 10208 16308 20554 15917 11883 14583 17363 内蒙古19275 12404 11216 12238 17439 18211 12966 14222 19041 辽宁20305 10793 13175 11859 18852 24453 10095 19206 19756 吉林16983 9106 9698 10413 15249 20657 10381 13461 22562 上海40141 22959 20912 30984 31305 43673 42206 26244 42556 江苏28143 15279 16199 17302 20453 25487 15954 18200 23446 浙江41920 22006 19220 32979 19903 26994 21657 19593 20950 江西16227 10000 12118 13939 14710 17365 10388 10982 13731 山东22552 13024 13588 27823 15732 17440 12798 15602 18248 湖北17708 10265 10787 14262 14683 14985 9671 12545 23261 湖南18459 12490 14442 14328 15754 18228 15525 15812 17574 广西18384 12025 11071 13637 16549 17854 13231 12910 22427 重庆21168 13471 14460 16283 15637 21497 13368 17098 25037 四川19884 12624 13522 14962 13251 16606 10693 16909 20749 贵州17248 12590 14796 12306 14227 19361 12482 13436 15359 云南19520 11859 12806 14890 16308 19720 10833 15054 20944 陕西16894 8879 19713 14943 18215 18856 13613 14634 18077 甘肃17836 11411 9832 6439 13998 22076 8407 16877 20139。
第10章-多维标度分析
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主编：费宇
12
10.2.2 已知距离矩阵时CMDS解
上面求解CMDS解的实现过程，可使用
stats包中的cmdscale函数；也可使用MASS包 中isoMDS函数．
例10.3 对表10.1给出的我国八个城市间 的距离矩阵D ，利用R软件stats包中的 cmdscale函数求 的CMDS解，给出拟合构 ˆ 及拟合构造点． 图D
X ( x1, x2 ,, xn )T
称 X 为 D 的一个古典多维标度(CMDS)解, 称 xi 为 D 的一个拟合构造点，称 X 为 D 的拟 ˆ 为 D 的拟合距离阵． 合构图，称 D
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ˆ 时 ，称x 为 D 的一个构造点， 特别，当 D D i 称 X 为 D 的构图，注意 D 的构图不唯一．
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T T
1 2, 1 2, 1, 0 )
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例10.2（续） 由D求 X的过程示例
ˆ 恰为 D 由 x(1) 和 x(2) 所得的 7 个构造点在 R 中的欧氏距离阵D
2
7 个构造点：( 3 2, 1 2), ( 3 2, 1 2), (0, 1), ( 3 2, 1 2), ( 3 2, 1 2), (0, 1), (0, 0).
由 aij d 2 A
2 ij
由 bij aij ai a j a B
B 的特征值和前两个特征向量分别为：
1 2 3, 3 4 =7 =0.
x(1) ( 3 2, 3 2, 0, 3 2, 3 2, 0, 0 ) x(2) ( 1 2, 1 2, 1,
Logist回归、插值、多维标度法、高斯迭代
表列出了通过测度得到的12个城市之间公路长度的数据。希望利用这些数据距离画一张平面地图，并标出这12个城市的位置。
表212个城市之间的公路距离
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
1
0
244
218
284
197
312
215
469
166
212
253
270
2
244
0
350
77
164
444
221
583
242
53
13323.61.5
126.110.42.1
168.613.81.6
137.333.43.5
15923.15.5
149.623.81.9
112.571.8
137.334.11.5
135.34.20.9
149.525.12.6
118.113.54
131.415.71.9
121.5-14.41
18.55.81.5
4
18
0
-27.9
6.3
1.3
51
1
31.4
15.7
1.9
19
0
-48.2
6.8
1.6
52
1
21.5
-14.4
1
20
0
-49.2
-17.2
0.3
53
1
8.5
5.8
1.5
21
0
-19.2
-36.7
0.8
54
1
40.6
5.8
多维标定法
多维标定法一、引言多维标定法是一种常用于数据分析和量化研究的方法。
它通过将多个变量进行标定和测量，以揭示变量之间的关系和趋势。
本文将详细介绍多维标定法的基本原理、应用场景以及步骤。
二、多维标定法的基本原理多维标定法是基于统计学原理的一种分析方法，它通过对多个变量进行标定和测量，以得出变量之间的关系和趋势。
其基本原理可以概括为以下几点：2.1 变量的标定在多维标定法中，首先需要对变量进行标定。
标定是指给变量赋予具体的数值或类别，以便进行后续的分析。
标定可以通过问卷调查、实验观察等方式进行。
2.2 变量的测量标定完成后，需要对变量进行测量。
测量是指通过具体的方法和工具，将标定的变量转化为数值或类别的过程。
常用的测量方法包括问卷调查、实验观察、统计分析等。
2.3 变量之间的关系和趋势分析在标定和测量完成后，可以通过统计分析等方法，对变量之间的关系和趋势进行分析。
通过分析可以揭示出变量之间的相互作用和影响，为后续的决策和预测提供依据。
三、多维标定法的应用场景多维标定法广泛应用于各个领域，包括市场调研、社会科学研究、经济分析等。
下面列举了一些常见的应用场景：3.1 市场调研在市场调研中，多维标定法可以用于分析消费者的购买决策和偏好。
通过对消费者进行问卷调查，可以标定和测量多个变量，如年龄、性别、收入、购买频率等，然后通过统计分析，揭示不同变量之间的关系和趋势，为企业制定营销策略提供依据。
3.2 社会科学研究在社会科学研究中，多维标定法可以用于分析人们的行为和态度。
例如，通过对受访者进行问卷调查，可以标定和测量多个变量，如教育程度、职业、政治倾向等，然后通过统计分析，揭示不同变量之间的关系和趋势，为社会政策的制定和社会问题的解决提供依据。
3.3 经济分析在经济分析中，多维标定法可以用于分析经济指标之间的关系和趋势。
例如，通过对不同地区的经济数据进行标定和测量，可以揭示不同指标之间的关系和趋势，为政府决策和经济预测提供依据。
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A牌 B牌
B牌
1Hale Waihona Puke C牌32▪ 各种品牌的相似次序矩阵是多维标度法的输入 资料。在第四节中我们将介绍几种建立相似次 序矩阵的方法。
多维标度法的基本思想：
▪ 用r维空间(r待定)中的点分别表示各样品，使得各 样品间距离的次序能完全反映原始输入的相似次 序(两样品间的距离越短，则越相似)。通常，要 通过两步来完成。
2．计算初步图形结构中各点之间的距离
▪ 为叙述方便，有时我们将A，B，C三种品牌分 别称为第一、第二、第三品牌。
▪ 用欧氏距离公式计算A品牌和B品牌(第一品牌 和第二品牌)的距离
d12 （10 1）2 （5 - 5）2 9
▪ 同样计算d13，d23，并将它们排成矩阵形式 (dii=dii)，这个矩阵称为初步图形结构的距离矩 阵，如表3所示。
第十一章 多维标度法
(Multidimensional Scaling)
第一节 引 言
第一节 引 言
▪ 多维标度法(MDS)是著名计量心理学家谢泼 德(Shephard)和克鲁斯克 (Kruskal)分别于 1962年和1964年发展起来的一种计量心理学 技术。
▪ 多维标度法现在已经广泛应用于心理学、市 场调查、社会学、物理学、政治科学以及生 物学等领域的数据分析方法。
▪ 因此，多维标度法是用间接方法推断出品 牌有关的特性。
▪ 在许多情形中，我们可能不知道那些特性 与品牌有关，或者应答者不能够或不愿意 准确地回答，这时必须采用间接推断的方 法。
▪ 广义的MDS可以将聚类分析和对应分析 (Correspondence Analysis)也包括进 来。
▪ 根据它所利用的信息来看，多维标度法 可以分为两大类：
▪ 多维标度法可以说是上述问题的逆问题， 即给定样品两两之间的距离或相似度的排 序，反求各样品点的坐标。
▪ 下面通过一个具体例子说明多维标度法的 原理和计算步骤。
▪ 例1 设一群消费者对A，B，C三种品牌的药物
牙膏的相似程度的评定次序列于下表中，其中 1表示两种品牌最相似，3表示两种品牌最不相 似(差异最大)。从表中可知，A牌和B牌牙膏最 相似，C牌和B牌的相似次之，A牌和C牌相似 性最差。我们将表1称为三种牙膏的相似次序 矩阵。
▪ 这个匹配的数量近似，可以用一个称为克鲁斯 克系数“Stress‘’的指标来表达。
第一节 引 言
第一节 引 言
▪ 1970---1972年格林(Green) 将多维标度法应用于 市场研究方面，主要研究消费者的态度，衡量消 费者的感觉和偏好。
▪ 运用多维标度法将消费者对各种品牌产品的偏好 和感觉资料，变换成空间坐标图。
下面我们来介绍克鲁斯克系数的含义。
▪ 用dij表示初步图形结构中i品牌和j品牌间的 距离，如果用所有dij确定的相似次序和原 始相似次序矩阵的次序不一致，就要将dij 进行逐步调整，使得调整后i品牌和j品牌间 的距离đij确定的相似次序和原始次序完全 一致，调整过程参见表4。
品，这个问题我们将在第三节中详细讨论。 ▪ 第二个问题是如何确定不同品牌的产品在坐标空间中的
坐标。原则上我们可以随机地用任意不同点代表不同品 牌，但这样做会大大增加逐步修改初步图形结构的工作 量。 ▪ 一种可行的方法是将表1进行因子分析，选择和坐标维 数相同的公共因子数，将各品牌的因子载荷值分别作为 它的坐标。 ▪ 我们用这种方法对例1确定出不同品牌的产品在所选坐 标空间中的坐标。由于该初步图形结构的点间距离已和 原始输入次序相同，因此不用再修改初步图形结构。 ▪ 为了说明修改初步图形结构的步骤和方法，表1中我们 用航海三角测量技术来给出初步图形结构。
第一节 引 言
▪ 多维标度法是基于研究对象之间的相似性,将研 究对象在一个低维的(一般小于等于二维)的空间 形象地表示出来，进行聚类或维度内含分析的 一种图示法。
▪ 说得详细一点，MDS是这样一种方法：在N个物 品中已知它们的相似度(或距离)，要寻找一个低 维空间表示，使物品间的亲近(proximity)关系能 和原来的相似度有一个近似的匹配。
▪ 首先构造一个r维坐标空间，并用该空间中的点分 别表示各样品，此时点间的距离未必和原始输入 次序相同，通常把这一步称为构造初步图形结构。
▪ 其次是逐步修改初步图形结构，以得到一个新图 形结构，使得在新结构中，各样品的点间距离次 序和原始输入次序尽量一致。
▪ 下面我们将通过例1来具体说明其构造步骤。
▪ 一类称为非度量的MDS(nonmetric MDS)；
▪ 另一类为量度的MDS(metric MDS)。
▪ 前者使用了研究对象间距离(或相似度) 的排序信息，而后者用的是实际上的数 量指标。
第二节 多维标度法的原理和计算步骤
▪ 在聚类分析中，对于给定坐标的一组点群， 我们很容易计算它们两两之间的距离 或相 似系数(如同火车站的里程表或运价表)。
▪ 表3
品牌
A
B
C
A
0
9
12
B
9
0
15
C
12
15
0
3．检验初步图形结构是否需要修改
▪ 如果初步图形结构的距离矩阵所确定的相 似次序(距离越小越相似)与原始相似次序矩 阵的次序完全一致，则认为初步图形结构 在所选定维数(本例是二维)空间中是最有代 表性的。
▪ 但一般来说，两者次序是很难一致的，这 时要通过“克鲁斯克”系数来检验初步图 形是否需要修改。
▪ 用坐标图中的点代表各种品牌；
▪ 各点之间的距离则表示各种品牌在消费者心目中 的相似或差异程度；
▪ 各点到坐标的距离则表示消费者对某一品牌、某 种特性的评价。
▪ 这种方法将消费者对各种品牌之间的相似或差异 程度的评价，用距离及图形表示出来，因此具有 形象直观的特点
▪ 这里的输入资料是消费者对各种品牌产品 之间的相似或差异程度的评价，其输出则 是与品牌有关的特性以及各种品牌在各特 性中的位置。
1．构造初步图形结构
▪ 例1中，我们构造一个二维坐标空间，A，B，C 三种牙膏在该坐标空间中分别用A，B，C点表 示(见图1)，其坐标列于表2中。
牙膏品牌
x坐标
y坐标
A牌
10
5
B牌
1
5
C牌
10
17
15 10
5
5
10
15
▪ 构造初步图形结构中的 ▪ 第一个问题是选择多少维坐标空间的点来表示各品牌产