上海甘泉外国语中学必修第一册第五单元《三角函数》检测卷(有答案解析)

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必修第五章三角函数测试题(含答案)

必修第五章三角函数测试题一、选择题(每小题5分,共10小题50分)1、在平面直角坐标系中,点是角终边上的一点,若,则( ) B.C.D.2、若函数的图象向右平移个单位长度后，与函数的图象重合，则的最小值为( ) A.B.C.D.3、若,则使函数有意义的的取值范围是( )A. B. C.D.4、已知,则( )A.B.C.D.5、如果函数的图象关于直线对称,那么该函数的( ) A.B.C. D.6、若，则的取值范围是( ) A.B.C.D.7、当时，函数的最小值为( )A. B. C. D.8、设函数满足，且当时，．又函数，则函数在上的零点个数为( ) A. B.C.D.9、函数的部分图像如图所示,已知,函数的图像可由图像向右平移个单位长度而得到,则函数的解析式为( )10、设函数则下列结论错误的是( )A.的一个周期为B.的图像关于对称C.一个零点为D.在减二、填空题(每小题5分,共7小题35分)11、已知：①，②，③，④，其中是第一象限角的为__________(填序号)． 12、已知函数的部分图像如图所示,若图中在点,处取得极大值,在点,处取得极小值,且四边形的面积为,则的值是__________.13、关于函数，下列命题： ①若存在，有时，成立；②在区间上是单调递增；③函数的图像关于点成中心对称图像； ④将函数的图像向右平移个单位后将与的图像重合．其中正确的命题序号__________（注：把你认为正确的序号都填上） 14、确定下列三角函数值的符号：__________;__________;____________________;__________;__________15、函数__________,最小值为__________. 16、已知角终边上一点的坐标为,则是第__________象限角,__________.17、若函数的周期,则__________,且函数的单调递减区间为__________.(是自然对数的底数)三、解答题(每小题12分,共5小题60分)18、设，求的取值范围．19、已知角的终边经过点,求下列各式的值.(1);(2).20、设函数，图象的一条对称轴是直线.(1)求；(2)求函数的单调增区间．21、将函数的图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变),再将所得的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象. (1)写出函数的解析式;(2)若, ,求的最小值.22、若函数对任意都有．(1)求的值；(2)求的最小正值；(3)当取最小正值时，若，求的最大值和最小值．必修第五章三角函数测试题答案解析第1题答案 B第1题解析因为,,所以角的终边落在第一象限,并且根据角的三角函数值的定义,,结合,得出.第2题答案 D第2题解析向右平移个单位长度后得到函数解析式，即，显然当时两图象重合，此时，∵，∴时，取最小值．第3题答案 C第3题解析 ∵要使函数有意义,则,.又,∴.第4题答案 A第4题解析 α化简得,则=故选:A第5题答案 C第5题解析(令,则),则则函数的最大值为,∵函数的图象关于直线对称,∴,即,,则,平方得. 得,即,则,则函数的最大值为.第6题答案 C第6题解析 ∵，∴当时，此式的取值范围是，而在上小于，故排除；在上,∴不可能相等，所以排除，故选．第7题答案 C第7题解析 ∵，∴,利用的单调性可得，当时，，故选C ．第8题答案 B第8题解析 ∵，∴函数为偶函数．又∵，∴，故函数的周期为．∵，∴为偶函数．∵当时，．所以当时，，即．当时，；当时，．又．综合以上两函数的特点，可作出函数的大致图象(如图)，函数除了0、1这两个零点之外，分别在区间上各有一个零点，共有个零点，故选B ．第9题答案第9题解析由图象可知最小正周期:,∴,又∵ 在时取最小值,∴,∴.又∵,∴ ,∴.又∵ 图象过点,∴ ,∴ .,把图象向右平移个单位后得到函数, ∴. 第10题答案D第10题解析由题意,函数,可知最小正周期为,则也是函数的一个周期,所以A是正确的;令,可得(最大值),所以是函数的其中一条对称轴,所以B是正确的;令,则,所以是函数一个零点,所以C是正确的;当,则,函数在单调递增,所以D不正确, 故选D.第11题答案②③④第11题解析，，．第12题答案第12题解析根据题意可得四边形为平行四边形,∵四边形的面积为,∴ ,即,∴函数的最小正周期为,∴,即.第13题答案 ①③④ 第13题解析，显然函数周期为，若存在，有时，成立，故①正确；当时，故图形图像关于点成中心对称；故③正确；将函数的图像向右平移个单位后，得到函数第14题答案 +- 0 - + +第14题解析角的终边在第二象限，∴；；；；角的终边在第二象限，∴；。

上海市必修第一册第五单元《三角函数》测试卷(包含答案解析)

一、选择题1．已知3sin 5α=-，则cos2=α（） A ．15-B ．15C ．725-D ．7252．函数πcos 24y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的一条对称轴方程是（） A ．π2x =-B ．π4x =-C ．π8x =-D ．πx =3．先将函数()sin (0)f x x ωω=>的图象向左平移2π个单位长度，再向上平移2个单位长度后得到函数()g x 的图象，若方程()()f x g x =有实根，则ω的值可以为（）A ．12B ．1C ．2D ．44．若角α的终边过点(3,4)P -，则cos2=α（）A ．2425-B ．725C ．2425D ．725-5．在ABC 中，已知sin 2sin()cos C B C B =+，那么ABC 一定是（）A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等边三角形D ．形状无法确定6．如果函数()cos 3f x x θ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象关于直线2x π=对称，那么θ的最小值为（）A ．6π B ．4πC ．3π D ．2π 7．若22cos()4θθπθ=-，则sin 2θ=（）A ．13B ．23C ．23-D ．13-8．已知3πin 325s α⎛⎫+= ⎪⎝⎭，0απ<<，则tan α=（） A ．43-B ．34-C ．34D ．439．在平面直角坐标系xOy 中，角α与角β均以Ox 为始边，它们的终边关于y 轴对称．若2sin 3α=，则()cos αβ-=（） A ．19B．9C ．19-D．10．下面函数中最小正周期为π的是（）． A ．cos y x = B ．π2sin 3y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭C ．tan2xy = D ．22cos sin 2y x x =+11．已知函数()()log 330,1a y x a a =-+>≠的图象恒过点P ，若角α的终边经过点P ，则sin 2α的值等于（）A ．2425-B ．35C ．2425D ．3512．已知tan 62πα⎛⎫= ⎪⎝⎭-，()tan 3αβ+=-，则πtan 6β⎛⎫+= ⎪⎝⎭（） A ．1B ．2C ．3D ．4二、填空题13．化简cos()sin()2sin()cos()πααπααπ+-=--___________.14．函数()()sin 0,0,2f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>><⎪⎝⎭的部分图象如图所示，则()f x =______.15．若3sin 45πα⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，则sin2α=_____； 16．若函数()|2cos |f x a x =+的最小正周期为π，则实数a 的值为____. 17．已知扇形的弧长为6，圆心角弧度数为2，则其面积为______________. 18．将函数()cos 2f x x =图象上的所有的点向左平移4π个单位长度后，得到函数g (x )的图象，如果g (x )在区间[0]a ，上单调递减，那么实数a 的最大值为_________. 19．已知tan 2α=，则cos2=α__．20．已知tan 2α=，则cos 22πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭___________. 三、解答题21．已知函数)(cos cos 2f x x x x =+.（1）求)(f x 的最小正周期和值域.（2）求)(f x 的单调区间.22．已知函数()22sin cos 3f x x x x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭. （1）求()f x 的最小正周期和单调减区间；（2）求证：当,44x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，()12f x ≥-. 23．已知向量2(cos ,sin )m x a x =，(3,cos )n x =-，函数3()f x m n =⋅-. （1）若1a =，当[0,]2x π∈时，求()f x 的值域；（2）若()f x 为偶函数，求方程3()4f x =-在区间[,]-ππ上的解. 24．已知函数212()2cos sin 1f x x x ωω=+-．（Ⅰ）求(0)f 的值；（Ⅱ）从①11ω=，21ω=； ②11ω=，22ω=这两个条件中任选一个，作为题目的已知条件，求函数()f x 在[,]26ππ-上的最小值，并求函数()f x 的最小正周期．25．已知向量a ＝cos x ，－1)，b ＝(sin x ，cos 2x )，函数()f x a b =⋅．（1）求函数()f x 的单调递增区间；（2）求函数()f x 在区间[2π-，0]上的最大值和最小值，并求出相应的x 的值． 26．已知3cos cos 5αβ+=，4sin sin 5αβ+=，求()cos αβ-的值.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D 解析：D【分析】由题中条件，根据二倍角的余弦公式，可直接得出结果. 【详解】因为3sin 5α=-，所以297cos 212sin 122525αα=-=-⨯=. 故选：D.2．C解析：C 【分析】根据余弦函数的对称轴可得π22π4x k +=，解方程即可求解. 【详解】π22π4x k +=，k Z ∈，则有ππ8x k =-+，k Z ∈ 当0k =时，πcos 24y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的一条对称轴方程为π8x =-．故选：C3．C解析：C 【分析】先根据三角函数图象的变换得出()g x 的解析式，然后根据三角函数的图象性质分析()()f x g x =的条件并求解ω的值.【详解】由题意可知()sin 22g x x πωω⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，则函数()g x 的最大值为3，最小值为1，又()sin (0)f x x ωω=>的最大值为1，所以当()()f x g x =有实根时，()f x 的最大值点与()g x 的最小值点重合，故应平移(21),2T n n N +∈个单位，所以()212n ππω=+，得42,n n N ω=+∈，故只有C 选项符合.故选：C. 【点睛】本题考查根据三角函数图象的平移变换、考查根据函数图象有交点求参数的取值范围，难度一般. 解答的关键在于：（1）得出函数()g x 的解析式；（2）分析出()()f x g x =时，()f x 的最大值点与()g x 的最小值点重合.4．D解析：D 【分析】先利用任意角三角函数的定义求sin α和cos α，再利用二倍角的余弦公式计算即可. 【详解】由角α的终边过点(3,4)P -知，4sin 5α，3cos 5α=-，故229167cos 2cos sin 252525ααα=-=-=-. 故选：D.5．A解析：A 【分析】先用诱导公式变形，然后再由两角和的正弦公式展开，再由两角差的正弦公式化简后可得．【详解】∵在ABC 中，已知sin 2sin()cos C B C B =+，∴sin sin()2sin cos C A B A B =+=，∴sin cos cos sin 2sin cos A B A B A B +=，in 0()s A B -=，又,(0,)A B π∈，∴0A B -=，A B =，三角形为等腰三角形．故选：A ．6．A解析：A 【分析】利用余弦函数的对称轴以及整体思想可得：θ的表达式，进而得到θ的最小值．【详解】由题意函数()cos 3f x x θ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象关于直线2x π=对称，则有 1,32k πθπ⋅+= 解得 θ＝k π6π-，k ∈Z ，所以由此得|θmin 6π=．故选：A ．【点睛】方法点睛：求正余弦函数的对称轴及对称中心一般利用整体思想求解7．B【分析】由二倍角公式和差的余弦公式化简得出()2cos sin 2θθθ-=，再平方即可求出. 【详解】)22cos sin 2cos()coscos sinsin 444θθθπππθθθ-=-+()cos sin cos sin 2cos sin θθθθθθ+-==-，()2cos sin 2θθθ∴-=，两边平方得()241sin 23sin 2θθ-=，解得sin 22θ=-（舍去）或2sin 23θ=. 故选：B. 【点睛】关键点睛：本题考查三角恒等变换的化简问题，解题的关键是能正确利用二倍角公式和差的余弦公式将已知等式化简为()2cos sin 2θθθ-=，再平方求解.8．A解析：A 【分析】根据诱导公式，可得cos α的值，根据同角三角函数的关系，结合α的范围，可求得sin α的值，即可求得答案. 【详解】因为3πin 325s α⎛⎫+= ⎪⎝⎭，所以3cos5α=-，所以4sin 5α===±，又0πα<<，所以α为第二象限角，所以4sin 5α 所以sin tan s 43co ααα==-．故选：A ．9．C解析：C 【分析】由对称写出两角的关系，然后利用诱导公式和二倍角公式计算．由题意2,k k Z αβππ+=+∈，即2k βππα=+-，2221cos()cos(22)cos(2)cos 22sin 12139k αβαπππααα⎛⎫-=--=-=-=-=⨯-=-⎪⎝⎭．故选：C ．10．D解析：D 【分析】根据三角函数的周期公式结合图象对选项进行逐一判断，可得答案. 【详解】()cos cos x x -=，cos cos y x x ∴==，周期为2π，故A 不符合题意； π2sin 3y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的周期为2π，故B 不符合题意；画出函数tan2x y =的图象，易得函数tan 2xy =的周期为2π，故C 不符合题意； 2π2cos sin 2cos 21sin 22sin 214x x x x x ⎛⎫+=++=++ ⎪⎝⎭，周期为π，故D 符合题意．故选：D11．C解析：C 【分析】由已知求出点P 的坐标，再利用三角函数的定义求出sin ,cos αα的值，进而可得到sin 2α的值【详解】解：因为函数()()log 330,1a y x a a =-+>≠的图象恒过(4,3)，所以点P 的坐标为(4,3) 因为角α的终边经过点P ，所以222234sin ,cos 554343αα====++，所以3424sin 22sin cos 25525ααα==⨯⨯=，故选：C12．A解析：A 【分析】根据两角差的正切公式，由题中条件，直接得出结果. 【详解】因为tan 62πα⎛⎫= ⎪⎝⎭-，()tan 3αβ+=-，则()()()πta tan πtan t n 6an 661tan πtan 6αβααβπβαβαα⎛⎫ ⎪⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎝⎭+=+--= ⎪ ⎪⎢⎥⎛⎫⎝⎭⎝⎭⎣⎦+ ⎪⎝+--+⎭-123321==-⨯--.故选：A. 二、填空题13．【分析】利用诱导公式直接化简即可【详解】故答案为：解析：tan α-【分析】利用诱导公式直接化简即可. 【详解】cos()sin()(sin )(sin )2tan sin()cos()sin (cos )παααααπααπαα+--⋅-==----，故答案为：tan α-.14．【分析】由图可得利用周期求出又函数过点解得进而得出函数的解析式【详解】由图可得：解得又函数过点则解得故答案为：解析：sin 23x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭【分析】由图可得A ，利用周期求出ω，又函数过点7,112π⎛⎫- ⎪⎝⎭，解得3πϕ=，进而得出函数的解析式．【详解】由图可得：1A =，37341264T πππ⎛⎫=--= ⎪⎝⎭，解得,2T πω==，()()sin 2f x x ϕ=+ 又函数过点7,112π⎛⎫- ⎪⎝⎭，则732122ππϕ⨯+=，解得3πϕ=，()sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ 故答案为：sin 23x π⎛⎫+⎪⎝⎭15．【分析】逆用诱导公式结合二倍角公式得出答案【详解】故答案为：解析：725【分析】逆用诱导公式结合二倍角公式得出答案. 【详解】27sin 2cos 2cos 212sin 24425πππαααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-=--= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦故答案为：72516．【分析】利用来求解【详解】因为函数的最小正周期为所以都有成立故则故答案为：解析：0【分析】利用()()f x f x π=+来求解. 【详解】因为函数()f x 的最小正周期为π，所以x R ∀∈，都有()()f x f x π=+成立，故()2cos 2cos 2cos a x a x a x π+=++=-，则0a =. 故答案为：0.17．9【分析】根据扇形的弧长是6圆心角为2先求得半径再代入公式求解【详解】因为扇形的弧长是6圆心角为2所以所以扇形的面积为故答案为：9解析：9 【分析】根据扇形的弧长是6，圆心角为2，先求得半径，再代入公式12S lr =求解. 【详解】因为扇形的弧长是6，圆心角为2，所以632l r α===，所以扇形的面积为1163922S lr ==⨯⨯=，故答案为：9.18．【分析】求出的平移后的解析式再利用函数在区间上是单调递减函数从而得到的最大值【详解】由题意将函数的图象向左平移个单位长度得到函数的图象因为函数在区间上是单调递减所以解得所以实数的最大值为故答案为：解析：4π【分析】求出()y g x =的平移后的解析式，再利用函数()g x 在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是单调递减函数，从而得到a 的最大值. 【详解】由题意，将函数()cos 2f x x =的图象向左平移4x个单位长度，得到函数()cos 2+n 4si 2g x x x π⎡⎤⎛⎫==- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦的图象，因为函数()g x 在区间[0]a ，上是单调递减，所以022a π<≤，解得04a π<≤，所以实数a 的最大值为4π. 故答案为：4π. 19．【分析】利用余弦的倍角公式和三角函数的基本关系式即可求解【详解】由又由故答案为：解析：35【分析】利用余弦的倍角公式和三角函数的基本关系式，即可求解. 【详解】由tan 2α=，又由22222222cos sin cos 2cos sin cos sin 1tan 1431tan 145ααααααααα--===-++-=-==+. 故答案为：35． 20．【分析】本题首先可通过三角恒等变换将转化为然后代入即可得出结果【详解】因为所以故答案为：【点睛】关键点点睛：本题考查给值求值问题能否合理利用同角三角函数关系诱导公式二倍角公式是解决本题的关键考查计算解析：45【分析】本题首先可通过三角恒等变换将cos 22πα⎛⎫- ⎪⎝⎭转化为22tan tan 1αα+，然后代入tan 2α=即可得出结果. 【详解】因为tan 2α=，所以2222sin cos 2tan 4cos 2sin 22sin cos tan 15παααααααα⎛⎫-==== ⎪++⎝⎭，故答案为：45. 【点睛】关键点点睛：本题考查给值求值问题，能否合理利用同角三角函数关系、诱导公式、二倍角公式是解决本题的关键，考查计算能力，是中档题.三、解答题21．（1）周期为π，值域为]2,2⎡-⎣；（2）单调递增区间为)(,36k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎦⎣，单调递减区间为)(2,63k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎦⎣. 【分析】（1）利用二倍角公式和辅助角公式化简可得)(2sin 26f x x π⎛⎫=+⎪ ⎭⎝，则可求出周期和值域；（2）解不等式)(222262k x k k Z πππππ-≤+≤+∈可得单调递增区间，解不等式)(3222262k x k k Z πππππ+≤+≤+∈可得单调递减区间. 【详解】（1）∵)(cos 222sin 26f x x x x π⎛⎫==+⎪ ⎭⎝，所以，函数)(y f x =的周期为22T ππ==，值域为]2,2⎡-⎣. （2）解不等式)(222262k x k k Z πππππ-≤+≤+∈，得)(36k k k Z ππππ-≤+∈，所以，函数)(y f x =的单调递增区间为)(,36k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎦⎣，解不等式)(3222262k x k k Z πππππ+≤+≤+∈，得)(263k x k k Z ππππ+≤≤+∈，因比，函数)(y f x =的单调递减区间为)(2,63k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎦⎣. 22．（1）最小正周期π，单调减区间为12127,k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦，k Z ∈；（2）证明见解析. 【分析】（1）利用两角差余弦公式、正弦倍角公式及辅助角公式可得()sin 23f x x，即可求最小正周期，整体代入求单调减区间；（2）由44x ππ-≤≤得52636x πππ-≤+≤，即可得()f x 的值域，进而判断()12f x ≥-是否成立. 【详解】解：（1）3()sin 2sin 222f x x x x =+-1sin 22sin 2223x x x π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭， ∴()f x 的最小正周期22T ππ==. 令3222232k x k πππππ+≤+≤+，k Z ∈，解得71212k x k ππππ+≤≤+，k Z ∈， ∴单调减区间为12127,k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦，k Z ∈. （2）由44x ππ-≤≤，知：52636x πππ-≤+≤，则有()f x 的值域为1[,1]2-，∴1sin 232x π⎛⎫+≥- ⎪⎝⎭，即当,44x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，()12f x ≥-得证. 【点睛】关键点点睛：（1）利用三角恒等变换：两角和差公式、辅助角公式化简三角函数式，并确定函数性质. （2）根据（1）的三角函数解析式结合已知定义域范围确定值域，判断函数不等式是否成立.23．（1）[-；（2）75,1212x ππ=±±. 【分析】（1）将()f x 化为()cos(2)6f x x π=+，然后可得答案；（2）由()f x 为偶函数可求出0a =，然后可得答案. 【详解】（1）2()sin cos 2sin 2222a f x x a x x x x =--=-当1a =，1()cos 2sin 2cos(2)226f x x x x π=-=+由7[0,],2[,],cos(2)[1,266662x x x πππππ∈∴+∈∴+∈-所以()f x 的值域为[-（2）若()f x 为偶函数，则()()f x f x -=恒成立2sin 22sin 222a a x x x x +=-成立，整理得sin 20,0a x a =∴=所以由3()cos 224f x x ==-得cos 22x =-又752[2,2],,1212x x ππππ∈-∴=±± 24．（Ⅰ）1；（Ⅱ）选择条件①，最小正周期为2π，在[,]26ππ-取得最小值2-；选择条件②，最小正周期为π，在[,]26ππ-取得最小值．【分析】(I)将0x =代入求值即可；(II)①121,1ωω==，()222cos sin 2sin sin 2f x x x x x =+=-++利用抛物线知识求解②用二倍角和辅助角公式化简可得()+)+14f x x π=，再由[,]26x ππ∈-可得372[,]4412x πππ+∈-，结合正弦函数图象求解最值；【详解】解：（Ⅰ）2(0)2cos 0sin 011f =+-=．（Ⅱ）选择条件①．()f x 的一个周期为2π．2()2cos sin 1f x x x =+-22(1sin )sin 1x x =-+-2192(sin )48x =--+．因为[,]26x ππ∈-，所以1sin [1,]2x ∈-．所以当sin =1x -时，即π=2x -时，()f x 在[,]26ππ-取得最小值2-．选择条件②．()f x 的一个周期为π．2()2cos sin 21f x x x =+-sin2+cos2x x =22)x x =+2)4x π=+（．因为[,]26x ππ∈-，所以372+[,]4412x πππ∈-．当2=42x ππ+-时，即3π=8x -时，()f x 在[,]26ππ-取得最小值．【点睛】本题考查三角恒等变换在三角函数图象和性质中的应用.（1）利用三角恒等变换及辅助角公式把三角函数关系式化成sin()A xk 或cos()A xk 的形式；（2）根据自变量的范围确定x ωϕ+的范围，根据相应的正弦曲线或余弦曲线求值域或最值.（3）换元转化为二次函数研究最值. 25．（1）,,63k k k ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦Z ；（2）=2x π-时，最大值为0；=6x π-时, 最小值为32-. 【分析】（1）由()f x a b =⋅，根据向量的数量积的运算可得()f x 的解析式，将内层函数看作整体，放到正弦函数的减区间上，解不等式得函数的单调递减区间. （2）在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上时，求出内层函数的取值范围，结合三角函数的图象和性质，可得出()f x 的最大值和最小值.【详解】解:(1)2()=3sin cos cos f x a b x x x =⋅-cos 21222x x -- 1=sin 2coscos 2sin662x x ππ-- 1=sin 2)62x π--（由2,262k x k k πππππ--+∈Z 2≤≤2，解得：,63k x k k ππππ-+∈Z ≤≤，所以函数()f x 的单调递增区间为：[,],63k k k ππππ-+∈Z . （2）因为02x π⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，，所以72666x πππ⎡⎤-∈--⎢⎥⎣⎦，，所以1sin2)62x π--1≤（≤，即31sin 2)0262x π---≤（≤，当=2x π-时，()f x 有最大值为0；当=6x π-时, ()f x 有最小值为32-.【点睛】关键点睛：利用三角函数的二倍角公式，化简得到， 2()=3sin cos cos f x a b x x x =⋅-1=sin2)62x π--（，进而利用复合函数的单调性进行求解，难度属于中档题26．12-【分析】根据3cos cos 5αβ+=，4sin sin 5αβ+=，分别平方两式相加，利用两角差的余弦公式求解. 【详解】因为3cos cos 5αβ+=，4sin sin 5αβ+=，所以()2229cos cos cos 2cos cos cos 25αβααββ+=+⋅+=， ()22216sin sin sin 2sin sin sin 25αβααββ+=+⋅+=，两式相加得：()22cos 1αβ+-=，所以()1cos 2αβ-=- 故答案为：12-。

(常考题)人教版高中数学必修第一册第五单元《三角函数》检测卷(含答案解析)(1)

一、选择题1．已知5π2sin63α⎛⎫+=⎪⎝⎭，则πcos23α⎛⎫-=⎪⎝⎭（）A．5-B．19-C．53D．192．将函数()2sin23f x xπ⎛⎫=+⎪⎝⎭图像上的每一个点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，再将所得图像向左平移12π个单位得到函数()g x的图像，在()g x的图像的所有对称轴中，离原点最近的对称轴为（）A．24xπ=-B．4πx=-C．524xπ=-D．12xπ=3．已知3sin5α=-，则cos2=α（）A．15-B．15C．725-D．7254．已知()3sin5πα+=，则sin()cos()sin2απαπα--=⎛⎫-⎪⎝⎭（）A．45-B．45C．35D．355．在ABC中，已知sin2sin()cosC B C B=+，那么ABC一定是（）A．等腰三角形B．直角三角形C．等边三角形D．形状无法确定6．已知函数()()sin0,2f x A xπωϕωϕ⎛⎫=+><⎪⎝⎭的部分图象如图所示，则()f x的解析式为（）A．()2sin26f x xπ⎛⎫=+⎪⎝⎭B．()2sin26f x xπ⎛⎫=-⎪⎝⎭C ．()sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭D ．()sin 23πf x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭7．已知3sin 7a π=，4cos 7b π=，3tan()7c π=-，则a ，b ，c 的大小关系为（） A ．a b c << B ．b c a <<C ．c b a <<D ．c a b <<8．要得到函数3sin 224y x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭的图象只需将函数3cos 22y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象（）A ．先向右平移8π个单位长度，再向下平移2个单位长度 B ．先向左平移8π个单位长度，再向上平移2个单位长度C ．先向右平移4π个单位长度，再向下平移2个单位长度D ．先向左平移4π个单位长度，再向上平移2个单位长度9．()()sin f x A x =+ωϕ0,0,2A πωϕ⎛⎫>>< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示，若将函数()f x 的图象向右平移2π个单位长度，得到函数()g x 的图象，则（）A ．()12sin 212g x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭ B ．()12sin 212g x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭ C ．()2sin 212g x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭ D ．()2sin 212g x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭10．在平面直角坐标系xOy 中，角α与角β均以Ox 为始边，它们的终边关于y 轴对称．若2sin 3α=，则()cos αβ-=（）A ．19B C ．19-D ． 11．要得到cos 26y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图像，只需将函数sin 22y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图像（） A ．向左平移12π个单位B ．向右平移12π个单位C ．向左平移6π个单位 D ．向右平移6π个单位 12．函数()log 44a y x =++（0a >，且1a ≠）的图象恒过定点A ，且点A 在角θ的终边上，则7πcos 2θ⎛⎫+= ⎪⎝⎭（） A ．35 B ．35C ．45-D ．45第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明参考答案二、填空题13．已知()0,απ∈且tan 3α=，则cos α=______.14．角θ的终边经过点(1,P ，则sin 6πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭____________.15．已知角θ的终边经过点(,3)P x （0x <）且cos 10x θ=，则x =___________. 16．若()5sin 4513α︒+=，则()sin 225α︒+=________． 17．已知tan 212πα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，则tan 3πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭_________. 18．如下图所示，某农场有一块扇形农田，其半径为100m ，圆心角为3π，现要按图中方法在农田中围出一个面积最大的内接矩形用于种植，则围出的矩形农田的面积为___________2m .19．函数f （x ）=sin 2x +sin x cos x +1的最大值是________.20．已知α，β，且()()1tan 1tan 2αβ-+=，则αβ-=______．三、解答题21．已知α，β为锐角，4tan 3α=，()tan 2αβ+=-. （1）求cos2α的值. （2）求()tan αβ-的值. 22．已知函数()sin (0)3f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭，在,63ππ⎛⎫⎪⎝⎭上有最小值，无最大值，且满足63f f ππ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. （1）求()f x 的最小正周期；（2）将函数()f x 的图象向右平移06πϕϕ⎛⎫<< ⎪⎝⎭个单位后得到函数()g x 的图象，若对满足()()122f x g x -=的1x 、2x 有12min7x x π-=，求ϕ的值.23．有一展馆形状是边长为2的等边三角形ABC ，DE 把展馆分成上下两部分面积比为1：2（如图所示），其中D 在AB 上，E 在AC 上.（1）若D 是AB 中点，求AE 的值；（2）设AD x =，ED y =. ①求用x 表示y 的函数关系式；②若DE 是消防水管，为节约成本，希望它最短，DE 的位置应在哪里？24．设1cos 29βα⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，2sin 23αβ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，其中,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，0,2πβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭．（1）求2βα-以及2αβ-的取值范围．（2）求cos2αβ+的值．25．如图，有一生态农庄的平面图是一个半圆形，其中直径长为2km ，C ､D 两点在半圆弧上满足AD BC =，设COB θ∠=，现要在此农庄铺设一条观光通道，观光通道由,,AB BC CD 和DA 组成.（1）若6πθ=，求观光通道l 的长度；（2）用θ表示观光通道的长l ，并求观光通道l 的最大值； 26．已知02πα<<，4sin 5α. （1）求tan α的值；（2）求cos 2sin 2παα⎛⎫++⎪⎝⎭的值.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D 解析：D 【分析】先用诱导公式化为5cos 2cos 233ππαα⎛⎫⎛⎫-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，再用二倍角公式计算．【详解】225521cos 2cos 212sin 1233639a a πππα⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+=-+--⨯= ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭.故选：D 2．A解析：A 【分析】利用三角函数的伸缩变换和平移变换，得到()22sin 43g x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，然后令24,32x k k Z πππ+=+∈求解. 【详解】将函数()2sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭图像上的每一个点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，2sin 43y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，再将所得图像向左平移12π个单位得到函数()22sin 43g x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，令24,32x k k Z πππ+=+∈，解得,424k x k Z ππ=-∈，所以在()g x 的图像的所有对称轴中，离原点最近的对称轴为24x π=-，故选：A3．D解析：D 【分析】由题中条件，根据二倍角的余弦公式，可直接得出结果. 【详解】因为3sin 5α=-，所以297cos 212sin 122525αα=-=-⨯=. 故选：D.4．C解析：C 【分析】由条件利用诱导公式进行化简所给的式子，可得结果. 【详解】 ∵3sin()sin 5παα+==-，∴3sin 5α=-，则sin()cos()sin (cos )3sin cos 5sin 2απααααπαα---⋅-===-⎛⎫- ⎪⎝⎭，故选：C5．A解析：A 【分析】先用诱导公式变形，然后再由两角和的正弦公式展开，再由两角差的正弦公式化简后可得．【详解】∵在ABC 中，已知sin 2sin()cos C B C B =+，∴sin sin()2sin cos C A B A B =+=，∴sin cos cos sin 2sin cos A B A B A B +=，in 0()s A B -=，又,(0,)A B π∈，∴0A B -=，A B =，三角形为等腰三角形．故选：A ．6．A解析：A 【分析】利用图象可得出()max A f x =，求出函数()f x 的最小正周期，可求得ω的值，再将点,26π⎛⎫⎪⎝⎭代入函数()f x 的解析式，结合ϕ的取值范围，求出ϕ的值，进而可得出函数()f x 的解析式.【详解】由图象可得()max 2A f x ==，函数()f x 的最小正周期为2236T πππ⎛⎫=⨯-=⎪⎝⎭， 22Tπω∴==，()()2sin 2f x x ϕ∴=+，又2sin 2266f ππϕ⎛⎫⎛⎫=⨯+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，可得sin 13πϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭， 22ππϕ-<<，5636πππϕ∴-<+<，32ππϕ∴+=，解得6π=ϕ，因此，()2sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭. 故选：A. 【点睛】方法点睛：根据三角函数()()sin f x A x b ωϕ=++的部分图象求函数解析式的方法：（1）求A 、()()max min:2f x f x b A -=，()()max min2f x f x b +=；（2）求出函数的最小正周期T ，进而得出2Tπω=；（3）取特殊点代入函数可求得ϕ的值.7．C解析：C 【分析】3sin07a π=>,4cos 07b π=<，a b >且均属于()1,1-，而1c <-，大小关系即可确定. 【详解】解：3sin 07a π=>；427πππ<<， 4cos cos cos 72πππ∴<<，即10b -<<.又正切函数在(0,)2π上单调递增，347ππ<； 3tantan 174ππ∴>=； 33tan()tan 177c ππ∴=-=-<-， 01a b c ∴>>>->，故选：C. 8．B解析：B 【分析】根据三角函数图像平移规则，进行平移即可【详解】解：由函数222248y x x ππ⎛⎫⎛⎫=++=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，222y x x π⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，所以先向左平移8π个单位长度，得2())84y x x ππ=+=+的图像，再向上平移2个单位长度，得 224y x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭的图像，故选：B9．A解析：A 【分析】根据图象易得2A =，最小正周期T 2433ππ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，进而求得ω，再由图象过点2,23π⎛⎫⎪⎝⎭求得函数()f x ，然后再根据平移变换得到()g x 即可. 【详解】由图象可知2A =，最小正周期2T 4433πππ⎡⎤⎛⎫=--= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，∴212T πω==，1()2sin 2f x x ϕ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，又22sin 233f ππϕ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ∴232k ππϕπ+=+，26k πϕπ=+，∵||2ϕπ<，∴6π=ϕ，1()2sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，将其图象向右平移2π个单位长度得 11()2sin 2sin 226212g x x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，故选：A 10．C解析：C 【分析】由对称写出两角的关系，然后利用诱导公式和二倍角公式计算．【详解】由题意2,k k Z αβππ+=+∈，即2k βππα=+-，2221cos()cos(22)cos(2)cos 22sin 12139k αβαπππααα⎛⎫-=--=-=-=-=⨯-=-⎪⎝⎭．故选：C ．11．B解析：B 【分析】化简函数cos 2cos 2612y x x ππ⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，sin 2cos 22y x x π⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，即可判断. 【详解】cos 2cos 2612y x x ππ⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，sin 2cos 22y x x π⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，∴需将函数sin 22y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向右平移12π个单位.故选：B.12．D解析：D 【分析】先利用对数函数图象的特点求出点()3,4A -，再利用三角函数的定义求出sin θ的值，利用诱导公式可得7πcos sin 2θθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，即可求解. 【详解】对数函数log ay x =恒过点()1,0，将其图象向左平移4个单位，向上平移4个单位可得()log 44a y x =++的图象，点()1,0平移之后为点()3,4-，所以()3,4A -，令3x =-，4y =，则5OA ===，所以4sin 5y OA θ==，由诱导公式可得：7π4cos sin 25θθ⎛⎫+== ⎪⎝⎭，故选：D 【点睛】关键点点睛：本题的关键点是求出()3,4A -，会利用三角函数的定义求出θ的三角函数值，会利用诱导公式化简7πcos 2θ⎛⎫+⎪⎝⎭. 二、填空题13．【分析】本题考查同角三角函数及其关系借助公式求解即可求解时需要判定符号的正负【详解】解：法一：由可得代入解得因为所以所以法二：由且可取终边上的一点坐标为根据三角函数终边定义公式故答案为：【点睛】方法解析：10【分析】本题考查同角三角函数及其关系，借助公式sin tan cos ααα=，22sin +cos =1αα求解即可，求解时需要判定符号的正负. 【详解】解：法一：由sin tan =3cos ααα=可得sin =3cos αα，代入22sin +cos =1αα解得cos α= 因为()0,tan 30απα∈=>，，所以0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以cos α=. 法二：由()0,απ∈且tan 3α=可取α终边上的一点坐标为(1,3)，根据三角函数终边定义公式cos 10α===.【点睛】方法点睛：同角三角函数基本关系的3个应用技巧：（1）弦切互化利用公式sin tan ()cos 2k απααπα=≠+实现角α的弦切互化；（2）和(差)积转换利用2(sin cos )=1sin 2ααα±±进行变形、转化；（3）巧用“1”的变换22222211sin+cos =cos (tan 1)sin (1)tan αααααα=+=+. 14．【分析】利用正弦函数定义求得再由正弦函数两角和的公式计算【详解】由题意所以故答案为：解析：12-【分析】利用正弦函数定义求得sin θ，再由正弦函数两角和的公式计算【详解】由题意sin 2θ=，1cos 2θ=，所以，1sin cos 62πθθθ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭311442=-+=-，故答案为：12-15．【分析】由余弦函数的定义可得解出即可【详解】由余弦函数的定义可得解得（舍去）或（舍去）或故答案为：解析：1-【分析】由余弦函数的定义可得cos10xθ==，解出即可.【详解】由余弦函数的定义可得cos10xθ==，解得0x=（舍去），或1x=（舍去），或1x=-，1x∴=-.故答案为：1-.16．【分析】直接利用诱导公式计算可得；【详解】解：因为故答案为：解析：513-【分析】直接利用诱导公式计算可得；【详解】解：因为()5sin4513α︒+=，()()()5sin225sin45180sin4513ααα︒+=︒++︒=-︒+=-⎡⎤⎣⎦故答案为：513-17．【分析】由结合利用两角和的正切公式求解【详解】故答案为：解析：13-【分析】由tan tan3124πππαα⎛⎫⎛⎫+=++⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，结合tan212πα⎛⎫+=-⎪⎝⎭，利用两角和的正切公式求解.【详解】tan tan1124tan tan312431tan tan124ππαπππααππα⎛⎫++⎪⎛⎫⎛⎫⎝⎭+=++==-⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭⎝⎭-+⎪⎝⎭，故答案为：13-18．【分析】设利用直角三角形的边角关系和正弦定理分别求出矩形各边的边长表示出矩形的面积为借助于三角函数辅助角公式求出最大值即可【详解】解：如图：做的角平分线交于设则在中由正弦定理可知：则所以矩形农田的面解析：()1000023-【分析】设EOA θ∠=，利用直角三角形的边角关系和正弦定理分别求出矩形各边的边长，表示出矩形的面积为()2sin 302sin S R R θθ=-⋅，借助于三角函数辅助角公式求出最大值即可. 【详解】解：如图：做AOB ∠的角平分线交BE 于D ，设EOA θ∠=，则()22sin 30DE R θ=-，150OFE ∠=，在OFE △中，由正弦定理可知：sin sin150EF Rθ= ，则2sin EF R θ= 所以矩形农田的面积为：()22sin 302sin 4sin sin(30)S R R R θθθθ=-⋅=- 22132sin 2cos 232R R θθ⎛⎫=+- ⎪ ⎪⎝⎭()222sin 2603R R θ=+-当()sin 2601θ+=时，即15θ=时，S 有最大值为()223R-又100R =，所以面积的最大值为()1000023-. 故答案为：()1000023-.【点睛】本题考查在扇形中求矩形面积的最值，属于中档题. 思路点睛：（1）在扇形中求矩形的面积，关键是设出合适的变量，一般情况下是以角度为变量；（2）合理的把长和宽放在三角形中，利用角度表示矩形的长和宽；（3）对三角函数合理变形，从而求出面积.19．【分析】先根据二倍角公式辅助角公式将函数化为基本三角函数再根据三角函数有界性求最值【详解】因为函数f （x ）=sin2x+sinxcosx+1所以因为所以即函数的最大值为故答案为：【分析】先根据二倍角公式、辅助角公式将函数化为基本三角函数，再根据三角函数有界性求最值. 【详解】因为函数f （x ）=sin 2x +sin x cos x +1，所以113()(1cos 2)sin 21)22242f x x x x π=-++=-+，因为sin(2)14x π-≤，所以()f x ≤，，故答案为：32+ 20．【分析】将原式打开变形然后根据正切的差角公式求解【详解】即即即故答案为：【点睛】本题考查正切的和差角公式的运用常见的变形形式有：（1）；（2）解析：()+4k k Z ππ-∈【分析】将原式打开变形，然后根据正切的差角公式求解. 【详解】()()1tan 1tan 1tan tan tan tan 2αβαβαβ-+=-+-=，即tan tan 1tan tan βααβ-=+，tan tan 11tan tan βααβ-∴=+，即()tan 1βα-=，()π4k k Z βαπ∴-=+∈，即()+4k k Z παβπ-=-∈. 故答案为： ()+4k k Z ππ-∈.【点睛】本题考查正切的和差角公式的运用，常见的变形形式有：（1）()()tan tan tan tan tan tan αβαβαβαβ+=+++⋅⋅；（2）()()tan tan tan tan tan tan αβαβαβαβ-=---⋅⋅.三、解答题21．（1）725-；（2）211-.【分析】（1）利用同角三角函数的关系以及二倍角公式即可求值；（2）先求出24tan 27α=-，再利用()()tan tan 2αβααβ-=-+⎡⎤⎣⎦即可求解. 【详解】解：（1）由题意知：α为锐角，且22sin 4tan cos 3sin cos 1ααααα⎧==⎪⎨⎪+=⎩，解得：4sin 53cos 5αα⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，229167cos 2cos sin 252525ααα∴=-=-=-；（2）由（1）知，4324sin 22sin cos 25525ααα==⨯⨯=，则24sin 22425tan 27cos 2725ααα===--， ()()()()tan 2tan tan tan 21tan 2tan ααβαβααβααβ-+-=-+=⎡⎤⎣⎦+⋅+，()()241022775524111277----===-⎛⎫+-⨯- ⎪⎝⎭，故()2tan 11αβ-=-. 22．（1）37π；（2）14π. 【分析】（1）题意说明周期6T π≥，4x π=是最小值点，由最小值点得ω表达式，由6T π≥得ω的范围，从而得ω的值；（2）()()122f x g x -=∣∣说明()()12,f x g x 中一个对应最大值，一个对应最小值.对于函数()f x 其最大值与最小值对应的x 的距离为半个周期314π，由此可得．【详解】（1）由()sin ,(0)3f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭，在,63ππ⎛⎫⎪⎝⎭上有最小值，无最大值，可知：236T πππω-≤=，故有012ω<≤.又6x π=与3x π=在一个周期内，且63f f ππ⎛⎫⎛⎫=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； 4x π∴=时，函数取到最小值.2,()432k k Z πππωπ∴+=-+∈故有1083k ω=-+，又因为012ω<≤，所以143ω=. 所以函数()f x 的最小正周期为37π. （2）由()()122f x g x -=∣∣可知的()()12,f x g x 中一个对应最大值，一个对应最小值. 对于函数()f x 其最大值与最小值对应的x 的距离为半个周期314π. ∴有12min314x x πϕ-+=. 即314714πππϕ=-=.【点睛】关键点点睛：本题考查三角函数的周期，解题关键是由足()()122f x g x -=得出12,x x 是函数的最值点，一个是最大值点，一个是最小值点，由此分析其其差的最小值与周期结合可得结论．23．（1）43AE =；（2）①2,23y x ⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦；②//DE BC . 【分析】（1）利用三角形的面积公式，得到43AD AE ⋅=，根据D 是AB 中点，即可求得AE 的长；（2）对于①中，由（1）得到4433AE AD x==，求得223x ≤≤，在ADE 中，由余弦定理，即可求得函数的解析式；②根据DE 是消防水管，结合基本不等式，即可求得x 的值，得到DE 的位置. 【详解】（1）依题意，可得211112sin 60sin 6033232ADE ABC S S AD AE ==⋅⋅⋅︒==⋅︒△△ 解得43AD AE ⋅=，又因为D 是AB 中点，则1AD =，所以43AE =. （2）对于①中，由（1）得43AD AE ⋅=，所以4433AE AD x==，因为2AE ≤，可得23x ≥，所以223x ≤≤，在ADE 中，由余弦定理得2222221642cos6093y DE AD AE AD AE x x ==+-⋅⋅︒=+-，所以2,23y x ⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦.②如果DE 是消防水管，可得3y =≥=，当且仅当243x =，即3x =，等号成立．此时AE =，故//DE BC ，且消防水管路线最短为3DE =. 【点睛】利用基本不等式求解实际问题的解题技巧：利用基本不等式求解实际应用问题时，一定要注意变量的实际意义及其取值范围；根据实际问题抽象出函数的解析式，再利用基本不等式求得函数的最值；在应用基本不等式求最值时，若等号取不到，可利用函数的单调性求解.24．（1）22πβαπ<-<，022απβ<-<；（2）27．【分析】（1）由,2παπ⎛⎫∈⎪⎝⎭，0,2πβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭以及不等式知识求出,24βπαπ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭，,242αππβ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭,再根据1cos 29βα⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，2sin 23αβ⎛⎫-= ⎪⎝⎭可得,22βπαπ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭，0,22απβ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭．（2）根据cos cos 222αββααβ⎡⎤+⎛⎫⎛⎫=--- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，利用两角差的余弦公式可求得结果.【详解】（1）,2παπ⎛⎫∈⎪⎝⎭，0,2πβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，,242αππ⎛⎫∴∈ ⎪⎝⎭，0,24βπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，,02πβ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭， ,224αππ⎛⎫∴-∈-- ⎪⎝⎭，,024βπ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，,24βπαπ⎛⎫∴-∈ ⎪⎝⎭，,242αππβ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭, 又1cos 29βα⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，2sin 23αβ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，所以22πβαπ<-<，022απβ<-<.（2）coscos 222αββααβ⎡⎤+⎛⎫⎛⎫=--- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦cos cos sin sin 2222βαβααβαβ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--+-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，又1cos 29βα⎛⎫-=- ⎪⎝⎭且,22βπαπ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭，sin 29βα⎛⎫∴-== ⎪⎝⎭，又2sin 23αβ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，0,22απβ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭，cos 23αβ⎛⎫∴-==⎪⎝⎭，12cos293αβ+∴=-+=【点睛】关键点点睛：将所求角拆成两个已知角进行求解是解题关键.25．（1）观光通道长(2km ；（2）当3πθ=时，观光通道长l 的最大值为5km . 【分析】（1）由6πθ=，得6OCD ODC π∠=∠=，然后在OCD ，OCB ，OAD △利用余弦定理求出,,CD BC AD 的长，从而可得结果；（2）作OE BC ⊥，垂足为E ，在直角三角形OBE 中，sin sin22BE OB θθ==，则有2sin2BC AD θ==，同理作OF CD ⊥，垂足为F ，cos cos CF OC θθ==，即：2cos CD θ=，从而24sin2cos 2l θθ=++，然后利用三角函数的性质可得结果【详解】（1）因为6πθ=，所以6OCD ODC π∠=∠=在OCD 中，利用余弦定理可得，2211211cos33CD π=+-⨯⨯⨯=，所以CD =同理BC AD ===所以观光通道长2l =+（2）作OE BC ⊥，垂足为E ，在直角三角形OBE 中，sin sin22BE OB θθ==，则有2sin2BC AD θ==，同理作OF CD ⊥，垂足为F ，cos cos CF OC θθ==，即：2cos CD θ=，从而有：22124sin 2cos 4sin 4sin 44sin 522222l θθθθθ⎛⎫=++=-++=--+ ⎪⎝⎭因为02πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，所以当3πθ=时，l 取最大值5，即观光通道长l 的最大值为5km .【点睛】关键点点睛：此题考查余弦定理的应用，解题的关键是把,,CD BC AD 用含θ的式子表示，然后利用三角恒等变换公式转化为同角的三角函数求解，解题时要注意θ的取值范围 26．（1）43；（2）825. 【分析】（1）由同角三角函数的基本关系先得cos α的值，再得tan α的值；（2）根据诱导公式以及二倍角的余弦可得结果. 【详解】（1）因为02πα<<，4sin 5α，故3cos 5α=，所以4tan 3α=.（2）23238cos 2sin 12sin cos 1225525παααα⎛⎫++=-+=-+= ⎪⎝⎭. 【点睛】本题主要考查了通过同角三角函数的基本关系以及诱导公式求三角函数的值，属于基础题.。

高中数学必修一第五章三角函数单元测试（1）（含答案解析）

⾼中数学必修⼀第五章三⾓函数单元测试（1）（含答案解析）⾼中数学必修⼀第五章三⾓函数单元测试 (1)⼀、选择题（本⼤题共9⼩题，共45.0分）1.以罗尔中值定理、拉格朗⽇中值定理、柯西中值定理为主体的“中值定理”反映了函数与导数之间的重要联系，是微积分学重要的理论基础，其中拉格朗⽇中值定理是“中值定理”的核⼼内容，其定理陈述如下：如果函数y=f(x)在闭区间[a,b]上连续，在开区间(a,b)内可导，则在区间(a,b)内⾄少存在⼀个点x0∈(a,b)，使得f(b)?f(a)=f?(x0)(b?a)，x=x0称为函数y= f(x)在闭区间[a,b]上的中值点，则函数f(x)=sinx+√3cosx在区间[0,π]上的“中值点”的个数为参考数据：√2≈1.41，√3≈1.73，π≈3.14．A. 1B. 2C. 3D. 42.若α∈(π2,π)，cos?2α=?13，则tan?α=()A. ?√33B. ?√3 C. ?√2 D. ?√223.cos20o cos40°?sin20°sin40°=()A. 1B. 12C. ?12D. √324.为了得到函数f(x)=sin(2x+3π4)的图象，可以将函数g(x)=cos2x的图象()A. 向右平移π4个单位 B. 向左平移π4个单位5.在△ABC中，⾓A，B，C的对边分别为a，b，c，若2c?ba =cosBcosA，a=2√3，则△ABC⾯积的最⼤值为()A. √3B. 2√3C. 3√3D. 4√36.已知sinα?cosα=13,则cos2(π4α)=()A. 1718B. 19C. √29D. 1187.若将函数f(x)=sin(2x+φ)+√3cos(2x+φ)(0<φ<π)的图象向左平移π4个单位长度，平移后的图象关于点(π2,0)对称，则函数g(x)=cos(x+φ)在[?π2,π6]上的最⼩值()A. ?12B. ?√3228.若函数f(cos x)=cos2x+1，则f(cos30°)的值为()A. 12B. 32C. 72D. 49.3?sin110°8?4cos210°=()A. 2B. √22C. 12D. √32⼆、填空题（本⼤题共5⼩题，共25.0分）10.已知cos?(α+π4)=13,α∈(0,π4)，则cos2α=________．11.已知△ABC的内⾓A,B,C所对的边分别为a,b,c，B=π4，tan(π4A)=12，且△ABC的⾯积为25，则a+b=_________．12.函数y=√3sin2x?cos2x的图象向右平移φ(0<φ<π)个长度单位后，得到函数g(x)的图象，若函数g(x)为偶函数，则φ的值为___________．13.在ΔABC中，cosB+√3sinB=2，且cosBb +cosCc=2√3sinA3sinC，则a+c的取值范围是________．14.已知函数f(x)=sinxcos(x+π3)+√34,x∈[?π3,π6]，则函数的单调减区间为___________，函数的值域为____________．三、解答题（本⼤题共6⼩题，共72.0分）15.如图，在四边形ABCD中，已知∠DAB=π3，AD︰AB=2︰3，BD=√7，AB⊥BC．(1)求sin∠ABD的值；(2)若∠BCD=2π3，求CD的长．16.已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<π2)的最⼩值为?3，若f(x)图象相邻的最⾼点与最低点的横坐标之差为2π，且f(x)的图象经过点(0,32)．(2)若⽅程f(x)?k=0在x∈[0,11π3]上有两个零点x1,x2，求k的取值范围，并求出x1+x2的值．17.在△ABC中，⾓A，B，C的对边分别为a，b，c.已知向量m =(b,a?2c)，n?=(cosA?2cosC,cosB)，且n?⊥m ．(1)求sinCsinA的值；(2)若a=2，|m |=3√5，求△ABC的⾯积S．18.化简，求值：(1)已知tanα=34,求tan(α+π4)的值；(2)sin20°sin40°?cos20°cos40°．19.在△ABC中，内⾓A，B，C对边的边长分别是a、b、c，△ABC的⾯积为S⑴若c=2，C=π3，S=√3，求a+b;)=a，求⾓A;⑴若√3(bsinC?ccosBtanC20.如图，某住宅⼩区的平⾯图呈圆⼼⾓为120°的扇形AOB，⼩区的两个出⼊⼝设置在点A及点C处，且⼩区⾥有⼀条平⾏于BO的⼩路CD．(1)已知某⼈从C沿CD⾛到D⽤了10分钟，从D沿DA⾛到A⽤了6分钟，若此⼈步⾏的速度为每分钟50⽶，求该扇形的半径OA的长(精确到1⽶)；(2)若该扇形的半径为OA=a，已知某⽼⼈散步，从C沿CD⾛到D，再从D沿DO⾛到O，试确定C的位置，使⽼⼈散步路线最长．-------- 答案与解析 --------本题考查导数运算、余弦函数性质，属于中档题．求出f(x)的导数，利⽤f′(x0)=f(b)?f(a)b?a，可得结合余弦函数性质易知⽅程在区间(0,π)内有2解，【解答】解：由知由拉格朗⽇中值定理：令f′(x0)=f(b)?f(a)b?a，即，由?√3π∈(?1,?12)，结合余弦函数性质易知⽅程在区间(0,π)内有2解，故在区间[0,π]上的“中值点”有2个，故选B．2.答案：C解析：【分析】本题考查三⾓函数的化简求值，考查同⾓三⾓函数基本关系式和⼆倍⾓公式，是基础题．由已知可得tanα<0，再由⼆倍⾓公式和同⾓三⾓函数基本关系可得tanα的⽅程，解之可得答案．【解答】解：∵α∈(π2,π)，且cos2α=?13，∴tanα<0，且cos2α=cos2α?sin2α=cos2α?sin2αcos2α+sin2α=1?tan2α1+tan2α=?13，解得tanα=?√2．故选C．3.答案：B本题考查两⾓和与差的三⾓函数公式，属于基础题．由题直接计算求解即可得到答案．【解答】解：cos20o cos40°?sin20°sin40°=cos(20°+40°) =cos60°=12．故选B ． 4.答案：D解析：【分析】本题考查三⾓函数的图象变换规律，是基础题．根据题意，进⾏求解即可．【解答】解：，，⼜，∴只需将函数g(x)=cos2x 的图象向左平移π8个单位即可得到函数f(x)=sin?(2x +3π4)的图象．故选D ． 5.答案：C解析：【分析】本题考查正余弦定理、三⾓形⾯积公式，两⾓和的正弦公式和基本不等式，属于中档题.先由正弦定理和两⾓和的正弦公式得出cosA =12，再由余弦定理和基本不等式解得bc ≤12，最后由三⾓形⾯积公式求得△ABC ⾯积的最⼤值．【解答】解：由已知可得(2c ?b)cosA =acosB ，由正弦定理可得(2sinC ?sinB)cosA =sinAcosB ，所以2sinCcosA =sinBcosA +sinAcosB =sin(A +B)=sinC ，由sinC ≠0可得cosA =12，则，由余弦定理可得12=b 2+c 2?2bc ×12=b 2+c 2?bc ，由基本不等式可得12=b 2+c 2?bc ≥2bc ?bc =bc ，解得bc ≤12，当且仅当b =c =2√3时，取等号，故△ABC ⾯积S =12bcsinA =√34bc ≤√34×12=3√3．故选C ．6.答案：A解析：【分析】本题主要考查⼆倍⾓公式、诱导公式以及同⾓三⾓函数基本关系的应⽤，属于基础题．由条件利⽤⼆倍⾓公式可得sin2α=81+cos(π22α)2=12+sin2α2，计算求得结果．【解答】解：∵sinα?cosα=13，∴1?2sinαcosα=1?sin2α=19，∴sin2α=89，则cos2(π4?α)=1+cos(π22α)2=12+sin2α2=1718，故选A．7.答案：D解析：【分析】本题主要考查函数y=Asin(ωx+φ)的图像变换规律、诱导公式和三⾓函数的性质．3]=2cos(2x+φ+π3)，再根据图像关于点(π2,0)对称，得到φ=π6，得到g(x)=cos(x+π6)，进⽽求出g(x)的最⼩值．【解答】解：∵f(x)=sin?(2x+φ)+√3cos?(2x+φ)=2sin?(2x+φ+π3)，∴将函数f(x)的图像向左平移π4个单位长度后，得到图像的函数解析式为y=2sin?[2(x+π4)+φ+π3]=2cos?(2x+φ+π3)．∵函数y=2cos(2x+φ+π3)的图像关于点(π2,0)对称，∴2cos(2×π2+φ+π3)=0，所以π+φ+π3=kπ+π2解得φ=kπ?5π6,k∈Z．∵0<φ<π，∴φ=π6，∴g(x)=cos(x+π6)．∵x∈[?π2,π6]，∴x+π6∈[?π3,π3]，∴cos(x+π6)∈[12,1]，则函数g(x)=cos(x+φ)在[?π2,π6]上的最⼩值是12．故选D．8.答案：B解析：【分析】本题主要考查⼆倍⾓公式的应⽤，属于基础题.利⽤⼆倍⾓公式，然后求出函数值即可．【解答】解：∵f(cos x)=cos 2x +1=2cos 2x ，∴f(cos?30°)=2cos 230°32)2=32．故选B ． 9.答案：C解析：【分析】本题考查三⾓函数的化简求值问题，属于基础题．根据诱导公式与⼆倍⾓的余弦公式即可求出结果．【解答】解：原式=3?sin110°8?4cos 210°=3?cos20°8?2(1+cos20°)=3?cos20°6?2cos20°=12．故选C ．10.答案：4√29解析：解：因为cos(α+π4)=13,α∈(0,π4)，所以sin(α+π4)=2√23，所以cos2α=cos[2(α+π4)?π2]=sin2(α+π4) =2sin(α+π4)cos(α+π4)=2×2√23×13=4√29．答案：4√29由诱导公式可知cos2α=cos[2(α+π4)?π2]=sin2(α+π4)，然后结合⼆倍⾓的正弦公式展开可求．本题主要考查函数值的计算，利⽤三⾓函数的倍⾓公式是解决本题的关键． 11.答案：5+5√5解析：【分析】本题考查两⾓和与差的三⾓公式的应⽤，考查正弦定理及三⾓形⾯积公式的应⽤，属中档题．依题意，根据两⾓和与差的三⾓公式求得tanA =13，进⽽得sin?A ，cos?A ．⼜B =π4，求得sinC ，再结合三⾓形⾯积及正弦定理求解即可．【解答】解：因为tan?(π4?A)=12，所以1?tan?A1+tan?A =12，则tan?A =13，因此sinA =√1010，cosA =3√1010．所以sinC =sin (A +B )=sinAcosB +cosAsinB =√1010×√22+3√1010×√22=2√55，根据△ABC 的⾯积为25，得12absinC =12ab ×2√55=25，得ab =25√5，⼜由正弦定理得a sinA =bsinB ，得b =√5a ，联⽴{ab =25√5b =√5ab =5√5，所以a +b =5+5√5．故答案为5+5√5．12.答案：π6解析：【分析】先将y =√3sin2x ?cos2x 化为y =2sin(2x ?π6)，然后再利⽤图象平移知识，求出g(x)，根据g(x)是偶函数，则g(0)取得最值，求出φ．本题考查三⾓函数图象变换的⽅法以及性质，将奇偶性、对称性与函数的最值联系起来，是此类问题的常规思路，属于中档题．【解答】解：由已知得y =√3sin2x ?cos2x =2(sin2x ?√32cos2x 12)=2sin(2x π6)．所以g(x)=2sin[2(x ?φ)?π6]，由g(x)是偶函数得g(0)=2sin(?2φ?π6)=±2，∴?2φ?π6=π2+kπ,k ∈Z ，∴φ=?π3kπ2，k ∈Z ，当k =?1时，φ=π6即为所求．故答案为：π6．13.答案：(√32,√3]解析：【分析】本题考查正、余弦定理，三⾓函数恒等变换的应⽤，正弦函数的性质，考查了计算能⼒和转化思想，属于中档题．由题意可得⾓B和边b，然后利⽤正弦定理，三⾓函数恒等变换的应⽤可求a+c=√3sin(A+π6)，66<5π6，利⽤正弦函数的性质可求其取值范围．【解答】解：∵在ΔABC中，cosB+√3sinB=2，∴2(12cos?B+√32sin?B)=2，即2sin(B+π6)=2，所以B+π6=π2，B=π3，⼜cosBb +cosCc=2√3sinA3sinC=2√3a3c，所以ccosB+bcosC=2√33ab，故c?a2+c2?b22ac +b?a2+b2?c22ab=2√3即a=2√33ab，解得b=√32，∴由正弦定理可得bsinB =√32√32=1=asinA=csinC，故a=sinA，c=sinC，所以a+c=sinA+sinC=sinA+sin(2π3A)=sinA+√32cosA+12sinA=32sinA+√32cosA=√3sin(A+π63，π66<5π6，所以sin(A+π6)∈(12,1]∴a+c=√3sin(A+π6)∈(√32,√3].故答案为(√32,√3].14.答案：；[?√34,12]解析：【分析】本题主要考查了两⾓和与差的三⾓函数公式、⼆倍⾓公式、函数的单调区间以及函数的值域，属于基础题.由题意化简可得，且，，由此即可得到函数的单调减区间以及值域．【解答】解：=sinx (12cosx ?√32sinx)+√34=14sin2x ?√32sin 2x +√34 =14sin2x +√34cos2x ，令，解得，，令k =0，可得，即函数的单调减区间为，此时，，即函数的值域为[?√34,12]，故答案为；[?√34,12]．15.答案：解：(1)由题意可设AD =2k ，AB =3k(k >0)．∵BD =√7，∠DAB =π3，∴由余弦定理，得(√7)2=(3k)2+(2k)2?2×3k ×2kcos π3，解得k =1，∴AD =2，AB =3．．(2)∵AB ⊥BC ，，，，∴CD =√7×2√77√32=4√33．解析：本题主要考查了余弦定理，⽐例的性质，正弦定理，同⾓三⾓函数之间的关系以及特殊⾓的三⾓函数值在解三⾓形中的综合应⽤，考查了计算能⼒和转化思想，属于中档题．(1)在△ABC 中，由已知及余弦定理，⽐例的性质即可解得AD =2，AB =3，由正弦定理即可解得sin∠ABD 的值;(2)由(1)可求cos∠DBC ，利⽤同⾓三⾓函数关系式可求sin∠DBC 的值，利⽤正弦定理即可计算得解．16.答案：解：(1)由题意得：A =3,T2=2π，则T =4π，即ω=2πT=12，所以f(x)=3sin(12x +φ)，⼜f(x)的图象经过点(0,32)，则32=3sinφ，由|φ|<π2得φ=π6，所以f(x)=3sin(12x +π6)； (2)由题意得，f(x)?k =0在x ∈[0,11π3]有且仅有两个解x 1，x 2，即函数y =f(x)与y =k 在x ∈[0,11π3]且仅有两个交点，由x ∈[0,11π3]得，12x +π6∈[π6,2π]，则f(x)=3sin(12x +π6)∈[?3,3]，设t =12x +π6，则函数为y =3sint ，且t ∈[π6,2π]，画出函数y =3sint 在t ∈[π6,2π]上的图象，如图所⽰：由图可知，k 的取值范围为：k ∈(?3,0]∪[3 2,3)，当k ∈(?3,0]时，由图可知t 1，t 2关于t =3π2对称，即x =83π对称，所以x 1+x 2=16π3当k ∈[32,3)时，由图可知t 1，t 2关于t =π2对称，即x =23π对称，所以x 1+x 2=4π3，综上可得，x 1+x 2的值是16π3或4π3．解析：(1)由题意求出A 和周期T ，由周期公式求出ω的值，将点(0,32)代⼊化简后，由φ的范围和特殊⾓的三⾓函数值求出φ的值，可得函数f(x)的解析式；(2)将⽅程的根转化为函数图象交点问题，由x 的范围求出12x +π6的范围，由正弦函数的性质求出f(x)的值域，设设t =12x +π6，函数画出y =3sint ，由正弦函数的图象画出y =3sint 的图象，由图象和条件求出k 的范围，由图和正弦函数的对称性分别求出x 1+x 2的值．本题考查了形如f(x)=Asin(ωx +φ)的解析式的确定，正弦函数的性质与图象，以及⽅程根转化为函数图象的交点问题，考查分类讨论思想，数形结合思想，以及化简、变形能⼒．17.答案：解：(1)由m⊥n ? ，可得b(cosA ?2cosC)+(a ?2c)cosB =0，根据正弦定理可得，sinBcosA ?2sinBcosC +sinAcosB ?2sinCcosB =0∴(sinBcosA +sinAcosB)?2(sinBcosC +sinCcosB)=0∴sin(A +B)?2sin(B +C)=0，∵A +B +C =π，∴sinC ?2sinA =0，所以(2)由(1)得：c =2a ，因为a =2，|m |=3√5，所以c =4，b =3，所以cosA =32+42?222×3×4=78，因为A ∈(0,π)，所以sinA =√1?(78)2=√158，所以△ABC 的⾯积为=12bcsinA =12×3×4×√158=3√154解析：本题考查平⾯向量的数量积、垂直的应⽤、考查两⾓和与差的三⾓函数、正弦定理、余弦定理以及三⾓形⾯积公式的运⽤，考查计算能⼒和转化能⼒，属于中档题．(1)由⊥m n?，可得b(cosA?2cosC)+(a?2c)cosB=0，根据正弦定理可得，sinBcosA?2sinBcosC+sinAcosB?2sinCcosB=0，化简即可；(2)由(1)c=2a可求c，由|m |=3√5可求b，结合余弦定理可求cos A，利⽤同⾓平⽅关系可求sin A，代⼊三⾓形的⾯积公式S=12bcsinA可求．18.答案：解：(1)∵tan?α=34，∴tan?(α+π4)=tanα+tanπ41?tanα·tanπ4=34+11?34×1=7．(2)sin?20°sin?40°?cos?20°cos?40°=?(cos?20°cos?40°?sin20°sin40°)=?cos(?20°+?40°)=?cos60°=?12．解析：本题主要考查了两⾓和差公式，三⾓函数的化简与求值，属于较易题．(1)利⽤两⾓和的正切公式直接代值求解．(2)sin?20°sin?40°?cos?20°cos?40°=?(cos?20°cos?40°?sin20°sin40°)，利⽤两⾓和的余弦公式求解．19.答案：解：，∴ab=4 ①，⼜c2=a2+b2?2abcosC,c=2，∴a2+b2?2ab=4 ②，由①②得a+b=4;(2)∵√3(bsinC?ccosBtanC)=a，∴∵√3(sinBsinC?sinCcosBcosCsinC)=sinA，∴?√3cos(B+C)=sinA，∴tanA=√3，⼜，．解析：本题考查解三⾓形和三⾓恒等变换，考查推理能⼒和计算能⼒，属于⼀般题．(1)利⽤三⾓形的⾯积公式和余弦定理即可求解；(2)由正弦定理和三⾓恒等变换公式得tanA=√3，结合范围即可求出A．20.答案：解：(1)设该扇形的半径为r⽶，连接CO.由题意，得CD=500(⽶)，DA=300(⽶)，∠CDO=60°，在△CDO中，CD2?+OD2?2CD?OD?cos60°=OC2，即，5002+(r?300)2??2×500×(r?300)×1 2=r?2，解得r=490011≈445(⽶)．(2)连接OC，设∠DOC=θ，θ∈(0,2π3)，在△DOC中，由正弦定理得：CDsinθ=DOsin(2π3θ)=OCsinπ3=√3，于是CD=3，DO=3sin(2π3θ)，则DC+DO=√3+sin(2π3θ)]=2asin(θ+π6)，θ∈(0,2π3)，所以当θ=π3时，DC+DO最⼤为 2a，此时C在弧AB的中点处．解析：本题主要考查解三⾓形在实际问题中的运⽤，属于中档题．(1)连接OC，由CD//OB知∠CDO=60°，可由余弦定理得到OC的长度．(2)连接OC，设∠DOC=θ，θ∈(0,2π3)，由正弦定理，三⾓恒等变换可求DC+DO=2asin(θ+π6)，θ∈(0,2π3)，利⽤正弦函数的性质可求最⼤值，即可得解．。

人教版高中数学必修第一册第五单元《三角函数》检测(有答案解析)(1)

一、选择题1．已知曲线C 1：y ＝2sin x ，C 2：2sin(2)3y x π=+，则错误的是（）A ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平行移动6π个单位长度，得到曲线C 2 B ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平行移动56π个单位长度，得到曲线C 2 C ．把C 1向左平行移动3π个单位长度，再把得到的曲线上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，得到曲线C 2 D ．把C 1向左平行移动6π个单位长度，再把得到的曲线上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，得到曲线C 2 2．若函数()()sin 06f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的图象的相邻两条对称轴之间的距离为2π，且该函数图象关于点()0,0x 成中心对称，00,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则0x 等于（） A ．512πB ．4π C ．3π D ．6π 3．sin 3π=（）A ．12B ．12-C ．2D ． 4．已知3sin 5α=-，则cos2=α（） A ．15-B ．15C ．725-D ．7255．若把函数sin y x =的图象沿x 轴向左平移3π个单位，然后再把图象上每个点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标保持不变），得到函数()y f x =的图象，则()y f x =的解析式为（）A ．sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭B ．2sin 23y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭C ．1sin 23y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭D ．12sin 23y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭6．在ABC 中，已知sin 2sin()cos C B C B =+，那么ABC 一定是（） A ．等腰三角形 B ．直角三角形C ．等边三角形D ．形状无法确定7．函数()[sin()cos()]f x A x x ωθωθ=+++部分图象如图所示，当[,2]x ππ∈-时()f x 最小值为（）A ．1-B ．2-C ．2-D ．3-8．已知函数()()2sin 3cos ,0,2f x x x x π=+∈⎛⎫⎡⎤ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭，则()f x 的单调递增区间是（）A ．06,π⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦πC ．0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦9．计算cos21cos9sin 21sin9︒︒-︒︒的结果是（）. A ．3-B ．12-C ．3 D ．1210．已知3sin 7a π=，4cos 7b π=，3tan()7c π=-，则a ，b ，c 的大小关系为（） A ．a b c <<B ．b c a <<C ．c b a <<D ．c a b <<11．已知函数()()()sin 0,0f x A x =+>-π<<ωϕωϕ的部分图象如图所示.则()f x 的解析式为（）．A ．()2sin 12f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭B ．()2sin 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭C ．()2sin 26f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭D ．()32sin 34f x x π=-⎛⎫ ⎪⎝⎭12．要得到cos 26y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图像，只需将函数sin 22y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图像（） A ．向左平移12π个单位B ．向右平移12π个单位C ．向左平移6π个单位 D ．向右平移6π个单位二、填空题13．若ππ2α<<，π02β<<，且5sin α=，3π3cos 85β⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，则3πcos 8αβ⎛⎫++= ⎪⎝⎭______.14．已知函数()sin 2cos 2f x x a x =+，对x R ∀∈，|()|8f x f π⎛⎫≤⎪⎝⎭成立，则a =_______.15．若tan 4α=，则2cos 2sin 2αα+= ________． 16．在半径为2米的圆形弯道中，56π角所对应的弯道为_________． 17．若函数cos()y x ϕ=+为奇函数，则最小的正数ϕ=_____； 18．若()()2sin 03f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的最小正周期为4π，则()()tan 06g x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的最小正周期为______．19．已知tan 2α=，则cos2=α__． 20．已知tan 34πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则2sin sin 2αα+=______. 三、解答题21．某高档小区有一个池塘，其形状为直角ABC ，90C ∠=︒，2AB =百米，1BC =百米，现准备养一批观赏鱼供小区居民观赏．（1）若在ABC 内部取一点P ，建造APC 连廊供居民观赏，如图①，使得点P 是等腰三角形PBC 的顶点，且2π3CPB ∠=，求连廊AP PC +的长；（2）若分别在AB ，BC ，CA 上取点D ，E ，F ，建造DEF 连廊供居民观赏，如图②，使得DEF 为正三角形，求DEF 连廊长的最小值．22．已知函数)(23sin cos cos 2f x x x x =+.（1）求)(f x 的最小正周期和值域.（2）求)(f x 的单调区间.23．已知函数()3cos 22sin cos 3f x x x x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭. （1）求()f x 的最小正周期和单调减区间；（2）求证：当,44x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，()12f x ≥-.24．函数[)()()sin()0,0,0,2f x A x A ωϕωϕπ=+>>∈的图象如图所示：（1）求()f x 的解析式；（2）若[]0,x π∈且6()2f x ≥，求x 的取值范围. 25．已知()()sin23cos2f x x x x R =∈（1）求56f π⎛⎫⎪⎝⎭的值；（2）若0,4x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，求函数()f x 的取值范围． 26．已知2sin ()cos(2)tan()()sin()tan(3)f παπαπααπααπ-⋅-⋅-+=-+⋅-+.（1）化简()fα；（2）若()18f α=，且42ππα<<，求cos sin αα-的值【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D 解析：D 【分析】利用函数()sin +y A x ωϕ=的图象变换规律对各个选项进行检验即可. 【详解】A. 1C 上各点横坐标缩短到原来的12倍，得到2sin 2y x =，再向左平移6π个单位长度，得到2sin 2+=2sin 2+63y x x ππ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，正确； B. 1C 上各点的横坐标缩短到原来的12倍，得到2sin 2y x =，再向右平移56π个单位长度，得到5552sin 2=2sin 2=2sin 222sin 26333y x x x x πππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=---+=+ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，正确； C. 1C 向左平移3π个单位长度，得到2sin +3y x π⎛⎫= ⎪⎝⎭，再把各点横坐标缩短到原来的12倍，得到2sin 2+3y x π⎛⎫= ⎪⎝⎭，正确； D. 1C 向左平移6π个单位长度，得到2sin +6y x π⎛⎫= ⎪⎝⎭，再把各点横坐标缩短到原来的12倍，得到2sin 2+6y x π⎛⎫= ⎪⎝⎭，错误.故选：D2．A解析：A 【分析】由已知条件求得函数()f x 的最小正周期T ，可求得ω的值，再由已知可得()026x k k Z ππ+=∈，结合00,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦可求得0x 的值. 【详解】由题意可知，函数()f x 的最小正周期T 满足22T π=，T π∴=，22T πω∴==，()sin 26f x x π⎛⎫∴=+ ⎪⎝⎭，由于函数()f x 的图象关于点()0,0x 成中心对称，则()026x k k Z ππ+=∈，解得()0212k x k Z ππ=-∈，由于00,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，解得0512x π=. 故选：A. 【点睛】结论点睛：利用正弦型函数的对称性求参数，可利用以下原则来进行：（1）函数()()sin f x A x =+ωϕ关于直线0x x =对称()02x k k Z πωϕπ⇔+=+∈；（2）函数()()sin f x A x =+ωϕ关于点()0,0x 对称()0x k k Z ωϕπ⇔+=∈.3．C解析：C 【分析】根据特殊角对应的三角函数值，可直接得出结果. 【详解】sin32π=. 故选：C.4．D解析：D 【分析】由题中条件，根据二倍角的余弦公式，可直接得出结果. 【详解】因为3sin 5α=-，所以297cos 212sin 122525αα=-=-⨯=. 故选：D.5．C解析：C 【分析】根据三角函数图象平移、伸缩的公式，结合题中的变换加以计算，可得函数()y f x =的解析式．【详解】解：将函数sin y x =的图象沿x 轴向左平移3π个单位，得到函数sin()3y x π=+的图象；将sin()3y x π=+的图象上每个点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标保持不变），得到1sin()23y x π=+的图象．∴函数sin y x =的图象按题中变换得到函数()y f x =的图象，可得1()sin 23y f x x π⎛⎫==+ ⎪⎝⎭．故选：C ．6．A解析：A 【分析】先用诱导公式变形，然后再由两角和的正弦公式展开，再由两角差的正弦公式化简后可得．【详解】∵在ABC 中，已知sin 2sin()cos C B C B =+，∴sin sin()2sin cos C A B A B =+=，∴sin cos cos sin 2sin cos A B A B A B +=，in 0()s A B -=，又,(0,)A B π∈，∴0A B -=，A B =，三角形为等腰三角形．故选：A ．7．D解析：D 【分析】首先结合图像求得()f x 的解析式，然后根据三角函数最值的求法，求得()f x 在区间[],2ππ-上的最小值.【详解】由已知()()sin 04f x x πωθω⎛⎫=⋅++> ⎪⎝⎭，由图象可知取A =，52433T πππ=-=，故最小正周期4T π=，所以212T πω==，所以()12sin 24f x x πθ⎛⎫=++⎪⎝⎭，由55152sin 2sin 0332464f πππππθθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯++=++= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，及图象单调性知，取564ππθπ++=，则46ππθ+=所以()12sin 26x f x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，[],2x ππ∈-，17,2636x πππ⎡⎤+∈-⎢⎥⎣⎦， ()f x 最小值为()2sin 3f ππ⎛⎫-=-= ⎪⎝⎭故选：D8．A解析：A 【分析】根据三角恒等变换公式化简()f x ，结合x 的范围，可得选项. 【详解】因为()()2sin ,0,2f x x xx π=+∈⎛⎫⎡⎤ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭，所以 ()()222sin sin cos +3cos f x x xx x x x +==222cos +12cos 2+22sin 2+26x x x x x π⎛⎫=+=+=+ ⎪⎝⎭，因为0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以72+,666x πππ∈⎡⎤⎢⎥⎣⎦，所以由2+662x πππ≤≤，解得06x π≤≤，所以()f x 的单调递增区间是06,π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，故选：A.9．C解析：C 【分析】直接化简求值即可. 【详解】解： cos21cos9sin 21sin9︒︒-︒︒()cos 219=︒+︒cos30=︒= 故选：C.10．C解析：C 【分析】3sin07a π=>,4cos 07b π=<，a b >且均属于()1,1-，而1c <-，大小关系即可确定. 【详解】解：3sin7a π=>；427πππ<<， 4cos coscos 72πππ∴<<，即10b -<<. 又正切函数在(0,)2π上单调递增，347ππ<； 3tantan 174ππ∴>=； 33tan()tan 177c ππ∴=-=-<-， 01a b c ∴>>>->，故选：C. 11．B解析：B 【分析】根据函数图象得到3532,41234T A πππ⎛⎫==--= ⎪⎝⎭ ，进而求得2,2T Tππω===，然后由函数图象过点5,212π⎛⎫⎪⎝⎭求解. 【详解】由函数图象知：3532,41234T A πππ⎛⎫==--= ⎪⎝⎭，所以2,2T Tππω===，又函数图象过点5,212π⎛⎫⎪⎝⎭，所以 522,122k k Z ππϕπ⨯+=+∈，解得 2,3k k Z πϕπ=-∈，又因为 0πϕ-<<，所以3πϕ=-，所以()f x 的解析式为：()2sin 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭. 故选：B 【点睛】本题主要考查三角函数的图象和性质，还考查了数形结合的思想方法，属于中档题.12．B解析：B 【分析】化简函数cos 2cos 2612y x x ππ⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，sin 2cos 22y x x π⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，即可判断. 【详解】cos 2cos 2612y x x ππ⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，sin 2cos 22y x x π⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，∴需将函数sin 22y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向右平移12π个单位.故选：B.二、填空题13．【分析】先根据题意求出和再根据两角和的余弦公式求解即可【详解】由可得因为所以所以故答案为：【点睛】本题主要考和角公式的应用解题时会判断所求角所在的象限属于基础题解析：25【分析】先根据题意求出cos α和3πsin 8β⎛⎫+ ⎪⎝⎭，再根据两角和的余弦公式求解即可. 【详解】由ππ2α<<，sin α=，可得cos α==，因为π3π3π7π02888ββ<<⇒<+<，3π3cos 85β⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，所以3π4sin 85β⎛⎫+== ⎪⎝⎭，所以3π3π3πcos cos cos sin sin 888αβαβαβ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++=+-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭34555525⎛⎛⎫=-⨯--= ⎪ ⎝⎭⎝⎭.【点睛】本题主要考和角公式的应用，解题时会判断所求角所在的象限，属于基础题.14．1【分析】利用辅助角公式和为的形式：根据已知可得是f(x)的图象的对称轴进而求得利用的关系和诱导公式求得的值【详解】解：其中∵对成立∴是f(x)的图象的对称轴即∴故答案为：1【点睛】本题考查三角函数解析：1 【分析】利用辅助角公式和为()Asin x ωϕ+的形式：()sin 2cos2)f x x a x x ϕ=+=+，根据已知可得π8x =是f(x)的图象的对称轴，进而求得ϕ，利用,a ϕ的关系tan a ϕ=和诱导公式求得a 的值. 【详解】解：()sin 2cos2)f x x a x x ϕ=+=+，其中sin tan a ϕϕϕ===.∵对x R ∀∈，|()|8f x f π⎛⎫≤ ⎪⎝⎭成立， ∴π8x =是f(x)的图象的对称轴，即π2,82k k Z πϕπ⨯+=+∈, ∴,4k k Z πϕπ=+∈，tan 1a ϕ==，故答案为：1. 【点睛】本题考查三角函数的图象和性质，涉及辅助角公式化简三角函数，利用辅助角化简是前提，理解,a ϕ的关系是基础，由对x R ∀∈，|()|8f x f π⎛⎫≤ ⎪⎝⎭成立，得出π8x =是f(x)的图象的对称轴是关键.15．1【分析】把求值式转化为关于的二次齐次分式然后转化为代入求值【详解】∵∴故答案为：1【点睛】方法点睛：本题考查二倍角公式考查同角间的三角函数关系在已知求值时对关于的齐次式一般转化为关于的式子再代入值解析：1 【分析】把求值式转化为关于sin ,cos αα的二次齐次分式．然后转化为tan α，代入求值．【详解】 ∵tan 4α=，∴222222cos 4sin cos 14tan 144cos 2sin 21sin cos tan 141ααααααααα+++⨯+====+++．故答案为：1．【点睛】方法点睛：本题考查二倍角公式，考查同角间的三角函数关系．在已知tan α求值时，对关于sin ,cos αα的齐次式，一般转化为关于tan α的式子．再代入tan α值计算．如一次齐次式：sin cos sin cos a b c d αααα++，二次齐次式：2222sin sin cos cos sin sin cos cos a b c d e f αααααααα++++，另外二次式22sin sin cos cos m n p αααα++也可化为二次齐次式．16．【分析】根据扇形的弧长公式即可求解【详解】由题意根据扇形的弧长公式可得所对应的弯道为故答案为：解析：53π【分析】根据扇形的弧长公式，即可求解. 【详解】由题意，根据扇形的弧长公式，可得所对应的弯道为55263ππ⨯=. 故答案为：53π. 17．【分析】根据函数奇偶性表示出进而可得结果【详解】因为函数为奇函数所以只需又即所以时取最小值故答案为：解析：2π【分析】根据函数奇偶性，表示出ϕ，进而可得结果. 【详解】因为函数cos()y x ϕ=+为奇函数，所以只需,2k k Z πϕπ=+∈，又0ϕ>，即0,2k k Z ππ+>∈，所以0k =时，ϕ取最小值2π.故答案为：2π. 18．【分析】先由的最小正周期求出的值再由的最小正周期公式求的最小正周期【详解】的最小正周期为即则所以的最小正周期为故答案为：解析：8π 【分析】先由()f x 的最小正周期，求出ω的值，再由()tan y x ωϕ=+的最小正周期公式求()g x 的最小正周期. 【详解】()()2sin 03f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的最小正周期为4π，即24ππω=，则8ω=所以()tan 86g x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的最小正周期为8T π=故答案为：8π 19．【分析】利用余弦的倍角公式和三角函数的基本关系式即可求解【详解】由又由故答案为：解析：35【分析】利用余弦的倍角公式和三角函数的基本关系式，即可求解. 【详解】由tan 2α=，又由22222222cos sin cos 2cos sin cos sin 1tan 1431tan 145ααααααααα--===-++-=-==+. 故答案为：35． 20．1【分析】首先根据已知条件求得再结合齐次方程求得【详解】由已知得解得所以故答案为：1解析：1 【分析】首先根据已知条件求得tan α，再结合齐次方程求得2sin sin 2αα+. 【详解】由已知得1tan 31tan αα+=-，解得1tan 2α=.所以22222211sin 2sin cos tan 2tan 4sin sin 211sin cos tan 114αααααααααα++++====+++. 故答案为：1三、解答题21．（1）3百米；（2）7百米．【分析】（1）先在三角形PBC 中利用已知条件求出PC 的长度，再在三角形PAC 中利用余弦定理求出PA 的长度，即可求解；（2）设出等腰三角形的边长以及角CEF ，则可求出CF 的长度，进而可得AF 的长度，再利用角的关系求出角ADF 的大小，然后在三角形ADF 中利用正弦定理化简出a 的表达式，再利用三角函数的最值即可求出a 的最小值，进而可以求解．【详解】解：（1）因为P 是等腰三角形PBC 的顶点，且2π3CPB ∠=，又1BC =，所以π6PCB ∠=，3PC =，又因为π2ACB ∠=，所以π3ACP ∠=，则在三角形PAC 中，由余弦定理可得：222π72cos33AP AC PC AC PC =+-⋅=，解得3AP =，所以连廊3AP PC +=百米；（2）设正三角形DEF 的边长为a ，()0πCEF αα∠=<<，则sin CF a α=，sin AF a α=，且EDB α∠=，所以2π3ADF α∠=-，在三角形ADF 中，由正弦定理可得：sin sin DF AF A ADF =∠∠，即πsin sin 63a α=- ⎪⎝⎭即1sin 23a α=- ⎪⎝⎭，化简可得2π2sin sin 3a αα⎡⎤⎛⎫-+= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦所以7a ===≥（其中θ为锐角，且tan 2θ=），百米，所以三角形DEF 连廊长的最小值为7百米．【点评】方法点睛：在求三角形边长以及最值的问题时，常常设出角度，将长度表示成角度的三角函数，利用三角函数的值域求最值.22．（1）周期为π，值域为]2,2⎡-⎣；（2）单调递增区间为)(,36k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎦⎣，单调递减区间为)(2,63k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎦⎣. 【分析】（1）利用二倍角公式和辅助角公式化简可得)(2sin 26f x x π⎛⎫=+⎪ ⎭⎝，则可求出周期和值域；（2）解不等式)(222262k x k k Z πππππ-≤+≤+∈可得单调递增区间，解不等式)(3222262k x k k Z πππππ+≤+≤+∈可得单调递减区间. 【详解】（1）∵)(cos 222sin 26f x x x x π⎛⎫==+⎪ ⎭⎝，所以，函数)(y f x =的周期为22T ππ==，值域为]2,2⎡-⎣. （2）解不等式)(222262k x k k Z πππππ-≤+≤+∈，得)(36k k k Z ππππ-≤+∈，所以，函数)(y f x =的单调递增区间为)(,36k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎦⎣，解不等式)(3222262k x k k Z πππππ+≤+≤+∈，得)(263k x k k Z ππππ+≤≤+∈，因比，函数)(y f x =的单调递减区间为)(2,63k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎦⎣. 23．（1）最小正周期π，单调减区间为12127,k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦，k Z ∈；（2）证明见解析. 【分析】（1）利用两角差余弦公式、正弦倍角公式及辅助角公式可得()sin 23f x x，即可求最小正周期，整体代入求单调减区间；（2）由44x ππ-≤≤得52636x πππ-≤+≤，即可得()f x 的值域，进而判断()12f x ≥-是否成立. 【详解】解：（1）3()sin 2sin 22f x x x x =+-1sin 22sin 223x x x π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭， ∴()f x 的最小正周期22T ππ==. 令3222232k x k πππππ+≤+≤+，k Z ∈，解得71212k x k ππππ+≤≤+，k Z ∈， ∴单调减区间为12127,k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦，k Z ∈. （2）由44x ππ-≤≤，知：52636x πππ-≤+≤，则有()f x 的值域为1[,1]2-，∴1sin 232x π⎛⎫+≥- ⎪⎝⎭，即当,44x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，()12f x ≥-得证. 【点睛】关键点点睛：（1）利用三角恒等变换：两角和差公式、辅助角公式化简三角函数式，并确定函数性质. （2）根据（1）的三角函数解析式结合已知定义域范围确定值域，判断函数不等式是否成立.24．（1）()23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭；（2）{}0,6ππ⎡⎤⋃⎢⎥⎣⎦.【分析】（1）由图可得：A =724123T πππω=-=可求ω的值，再令2(21)3k πϕπ⨯+=+()k Z ∈结合[)0,2ϕπ∈可求ϕ的值，进而可求()f x 的解析式；（2232x π⎛⎫+≥ ⎪⎝⎭，可得sin 232x π⎛⎫+≥ ⎪⎝⎭，所以结合正弦函数的图象和[]0,x π∈即可求解.【详解】（1）由题意知：A =741234T πππ=-=，所以2T ππω==即=2ω，所以2(21)3k πϕπ⨯+=+，02ϕπ≤<，所以=3πϕ，所以()23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，（2232x π⎛⎫+≥ ⎪⎝⎭，即sin 23x π⎛⎫+≥ ⎪⎝⎭ 所以()2222333k x k k Z πππππ+≤+≤+∈，令0k =可得22333x πππ≤+≤，解得06x π≤≤，令1k =可得2222333x πππππ+≤+≤+，解得：76x ππ≤≤，因为[]0,x π∈，所以06x π≤≤或x π=，即{}0,6x ππ⎡⎤∈⋃⎢⎥⎣⎦ 【点睛】关键点点睛：利用五点法求函数解析式，关键是3x π=是下降零点，所以2(21)3k πϕπ⨯+=+，结合[)0,2ϕπ∈即可求ϕ23x π⎛⎫+≥ ⎪⎝⎭()2222333k x k k Z πππππ+≤+≤+∈对k 取值，再与[]0,x π∈求交集即可. 25．（1）0；（2）[]1,2. 【分析】（1）本题可直接将56x π=代入函数()f x 中，通过计算即可得出结果；（2）本题首先可根据两角和的正弦公式将函数()f x 转化为()2sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，然后根据0,4x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦得出52,336x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，最后根据正弦函数的性质即可得出结果. 【详解】（1）555sin 063322f πππ⎛⎫==-+=⎪⎝⎭，（2）()sin 222sin 23f x x x x π⎛⎫=+=+⎪⎝⎭，当0,4x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，52,336x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，则1sin 2,132x π⎛⎫⎡⎤+∈ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，函数()f x 的取值范围为[]1,2.26．（1）sin cos αα⋅；（2）. 【分析】（1）由诱导公式运算即可得解；（2）由平方关系可得()23cos sin 4αα-=，再由cos sin αα<即可得解. 【详解】（1）由诱导公式()2sin cos tan ()sin cos sin tan f αααααααα⋅⋅==⋅-⋅-；（2）由()1sin cos 8f ααα==可知 ()222cos sin cos 2sin cos sin αααααα-=-+1312sin cos 1284αα=-=-⨯=，又∵42ππα<<，∴cos sin αα<，即cos sin 0αα-<，∴cos sin 2αα-=-.。

(人教版)上海市必修第一册第五单元《三角函数》检测卷(包含答案解析)

一、选择题1．若将函数1()sin 223f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭图象上的每一个点都向左平移3π个单位长度，得到()g x 的图象，则函数()g x 的单调递增区间为（）A ．3,()44k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦B ．,()44k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦C ．2,()36k k k Z ππππ⎡⎤--∈⎢⎥⎣⎦D ．5,()1212k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦2．函数()2sin(2)33f x x π=-+的最小正周期为（）A ．2πB ．πC ．2πD ．4π3．函数πcos 24y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的一条对称轴方程是（） A ．π2x =-B ．π4x =-C ．π8x =-D ．πx =4．在ABC 中，已知sin 2sin()cos C B C B =+，那么ABC 一定是（） A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等边三角形D ．形状无法确定5．计算cos21cos9sin 21sin9︒︒-︒︒的结果是（）.A ．B ．12-C D ．126．已知函数()cos 2cos sin(2)sin f x x x ϕπϕ=⋅-+⋅在3x π=处取得最小值，则函数()f x 的一个单调递减区间为（）A ．4,33ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．2,33ππ⎛⎫-⎪⎝⎭C ．5,36ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．,63ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭7．已知函数()22sin cos f x x x x ωωω=-，且()f x 图象的相邻对称轴之间的距离为4π，则当0,4x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()f x 的最小值为（）A ．1-B ．C ．D ．-8．已知函数()()ππ36sin 0f x A x A ⎛⎫=>⎪⎝⎭+在它的一个最小正周期内的图像上，最高点与最低点的距离是5，则A 等于（）． A ．1B ．2C ．2.5D ．49．sin34sin64cos34sin 206︒︒-︒︒的值为（）A ．12B ．2C ．2D ．110．已知3πin 325s α⎛⎫+= ⎪⎝⎭，0απ<<，则tan α=（） A ．43-B ．34-C ．34D ．4311．已知1sin()43πα-=，则cos()4πα+=（）A ．13-B ．13C ．D 12．函数cos 2y x =的单调减区间是（） A ．ππ,π,Z 2k k k ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦B ．π3π2π,2π,Z 22k k k ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦ C ．[]2π,π2π,Z k k k +∈D ．πππ,π,Z 44k k k ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦ 二、填空题13．已知角θ和角ϕ的始边均与x 轴正半轴重合，终边互相垂直，若角θ的终边与单位圆交于点01,3P x ⎛⎫⎪⎝⎭，则cos ϕ=__________________． 14．在ABC 中，tan 1A =，tan 2B =，则tan C =______. 15．方程2sin 2cos 20x x ++=的解集为________.16．已知()sin()cos()1f x a x b x παπβ=++-+，其中α，β，a ，b 均为非零实数，若()20202f =，则()2021f =________.17．已知函数()22sin cos f x x x x ωωω=-，且()f x 图象的相邻对称轴之间的距离为π4，则当π0,4x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()f x 的最小值为______． 18．已知ABC ∆不是直角三角形，45C =︒，则(1tan )(1tan )A B --=__. 19．若函数cos()y x ϕ=+为奇函数，则最小的正数ϕ=_____； 20．已知tan 2α=，则cos 22πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭___________. 三、解答题21．已知()()1sin 2cos 3παπα+--=(2παπ<<)，求：（1）sin cos αα⋅；（2）sin cos αα-.22．若函数2cos 2cos y x x x =+. （1）求这个函数的单调递增区间.（2）求这个函数的最值及取得最值时的x 集合. 23．已知函数()22sin 2sin cos cos f x x x x x =+-.（1）求()f x 的最小正周期；（2）当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，求()f x 的最小值.24．已知()()f x x a ωϕ=++0,2πωϕ⎛⎫>< ⎪⎝⎭的图象过点,12a π⎛⎫⎪⎝⎭，且图象的相邻两条对称轴的距离为2π. （1）求函数()f x 的单调区间；（2）若()f x 在区间,122ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，求实数a 的值. 25．设1cos 29βα⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，2sin 23αβ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，其中,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，0,2πβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭．（1）求2βα-以及2αβ-的取值范围．（2）求cos2αβ+的值．26．已知函数()()sin 0,2f x x ϕωϕπω⎛⎫=->≤ ⎪⎝⎭的最小正周期为π. （1）求ω的值及()6g f ϕπ⎛⎫= ⎪⎝⎭的值域；（2）若3πϕ=，sin 2cos 0αα-=. 求()fα的值.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．A 解析：A 【分析】求出()1sin 22g x x =-，令()322222k x k k Z +≤≤+∈ππππ即可解出增区间. 【详解】由题可知()()111sin 2sin 2sin 223322g x x x x πππ⎡⎤⎛⎫=++=+=- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，令()322222k x k k Z +≤≤+∈ππππ，解得()344k x k k Z ππππ+≤≤+∈， ∴()g x 的单调递增区间为3,()44k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦. 故选：A.2．B解析：B 【分析】利用函数()sin y A ωx φ=+的周期公式2T ωπ=即可求解.【详解】22T ππ==，故函数()2sin(2)33f x x π=-+的最小正周期为π，故选：B3．C解析：C 【分析】根据余弦函数的对称轴可得π22π4x k +=，解方程即可求解. 【详解】π22π4x k +=，k Z ∈，则有ππ8x k =-+，k Z ∈ 当0k =时，πcos 24y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的一条对称轴方程为π8x =-．故选：C4．A解析：A 【分析】先用诱导公式变形，然后再由两角和的正弦公式展开，再由两角差的正弦公式化简后可得．【详解】∵在ABC 中，已知sin 2sin()cos C B C B =+，∴sin sin()2sin cos C A B A B =+=，∴sin cos cos sin 2sin cos A B A B A B +=，in 0()s A B -=，又,(0,)A B π∈，∴0A B -=，A B =，三角形为等腰三角形．故选：A ．5．C解析：C 【分析】直接化简求值即可. 【详解】解： cos21cos9sin 21sin9︒︒-︒︒()cos 219=︒+︒cos30=︒= 故选：C.6．D解析：D 【分析】先化简()f x 并根据已知条件确定出ϕ的一个可取值，然后根据余弦函数的单调递减区间求解出()f x 的一个单调递减区间. 【详解】因为()()()cos2cos sin 2sin cos2cos sin 2sin cos 2f x x x x x x ϕπϕϕϕϕ=⋅-+⋅=⋅+⋅=-，且()f x 在3x π=处有最小值，所以2cos 133f ππϕ⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，所以22,3k k Z πϕππ-=+∈，所以2,3k k Z πϕπ=--∈，取ϕ的一个值为3π-，所以()cos 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，令222,3k x k k Z ππππ≤+≤+∈，所以,63k x k k Z ππππ-≤≤+∈，令0k =，所以此时单调递减区间为,63ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，故选：D. 【点睛】思路点睛：求解形如()()cos f x A x ωϕ=+的函数的单调递减区间的步骤如下：（1）先令[]2,2+,k k k x Z ωϕπππ+∈∈；（2）解上述不等式求解出x 的取值范围即为()f x 的单调递减区间.7．D解析：D 【分析】先将函数化简整理，根据相邻对称轴之间距离求出周期，确定2ω=，再根据正弦函数的性质，结合给定区间，即可求出最值. 【详解】因为()21cos 22sin cos sin 22xf x x x x x ωωωωω+=-=-πsin 222sin 23x x x ωωω⎛⎫=-=-- ⎪⎝⎭由题意知()f x 的最小正周期为ππ242⨯=，所以2ππ22ω=，即2ω=，所以()π2sin 43f x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭当π0,4x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，ππ2π4,333x ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，所以π2sin 423x ⎛⎫⎡⎤-∈ ⎪⎣⎦⎝⎭，因此()π2sin 423f x x ⎛⎫⎡=-- ⎪⎣⎝⎭，所以函数()f x的最小值为-．故选：D.8．B解析：B 【分析】根据正弦型函数图象性质确定函数()f x 的最小正周期T ，再根据最高点与最低点的距离是55=，从而解得A 的值. 【详解】解：函数()()ππ36sin 0f x A x A ⎛⎫=> ⎪⎝⎭+的最小正周期2263T πππω=== 函数()()ππ36sin 0f x A x A ⎛⎫=> ⎪⎝⎭+在它的一个最小正周期内的图像上，最高点与最低点的距离是5，5=，解得2A =.故选：B. 【点睛】对于三角函数，求最小正周期和最值时可先把所给三角函数式化为()sin y A ωx φ=+或()cos y A x ωϕ=+的形式，则最小正周期为2T ωπ=，最大值为A ，最小值为A -；奇偶性的判断关键是解析式是否为sin y A x ω=或cos y A x ω=的形式．9．C解析：C 【分析】利用诱导公式化简整理，结合两角和的正弦公式，即可求得答案. 【详解】()sin34sin64cos34sin 206sin34cos26cos34sin 26sin 3426sin60︒︒-︒︒=︒︒+︒︒=︒+︒=︒2= 故选：C ．10．A解析：A 【分析】根据诱导公式，可得cos α的值，根据同角三角函数的关系，结合α的范围，可求得sin α的值，即可求得答案. 【详解】因为3πin 325s α⎛⎫+=⎪⎝⎭，所以3cos 5α=-，所以4sin 5α===±，又0πα<<，所以α为第二象限角，所以4sin 5α 所以sin tan s 43co ααα==-．故选：A ．11．A解析：A 【分析】运用α-、2πα-的诱导公式，计算即可得到.【详解】解：1sin()43πα-=，即为1sin()43πα-=-，即有1sin[()]243ππα-+=-，即1cos()43πα+=-. 故选：A.12．A解析：A 【分析】根据余弦函数的性质，令222,k x k k Z πππ≤≤+∈求解. 【详解】令222,k x k k Z πππ≤≤+∈，解得2,2k x k k Z πππ≤≤+∈，所以函数cos 2y x =的单调减区间是ππ,π,Z 2k k k ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，故选：A二、填空题13．【分析】由题意可得：利用已知条件可以求出利用即可求解【详解】因为角和角的始边均与轴正半轴重合终边互相垂直所以若角的终边与单位圆交于点所以则故答案为：解析：13±【分析】由题意可得：,2k k Z πϕθπ=++∈，利用已知条件可以求出1sin 3θ=，利用 cos sin ϕθ=±即可求解.【详解】因为角θ和角ϕ的始边均与x 轴正半轴重合，终边互相垂直，所以,2k k Z πϕθπ=++∈，若角θ的终边与单位圆交于点01,3P x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以1sin 3θ=，则1cos sin 3ϕθ=±=±，故答案为：13±14．3【分析】由已知和正切和角公式求得再利用三角形的内角和公式和诱导公式可得答案【详解】中有所以所以故答案为：3解析：3 【分析】由已知和正切和角公式求得()tan +A B ，再利用三角形的内角和公式和诱导公式可得答案．【详解】ABC 中，有++A B C π=，所以()()tan tan +tan +C A B A B π⎡⎤=-=-⎣⎦，()tan +tan 1+2tan +31tan tan 112A B A B A B ===---⨯，所以tan 3C =，故答案为：3. 15．【分析】原方程化为关于的一元二次方程求得即可求解【详解】由得即解得或（舍去）所以故答案为：解析：{}2,x x k k Z ππ=+∈【分析】原方程化为关于cos x 的一元二次方程，求得cos 1x =-，即可求解. 【详解】由2sin 2cos 20x x ++= 得21cos 2cos 20x x -++=，即2cos 2cos 30x x --=，解得cos 1x =-或cos 3x =（舍去），所以2,x k k Z ππ=+∈故答案为：{}2,x x k k Z ππ=+∈16．0【分析】由题设条件结合周期性及诱导公式运算即可得解【详解】由题意所以所以故答案为：0解析：0 【分析】由题设条件结合周期性及诱导公式运算即可得解. 【详解】由题意，()sin(2020)cos(2020)1sin cos()12020a b a b f παπβαβ++-++-=+=sin cos 12a b αβ=++=，所以sin cos 1αβ+=a b ，所以()sin(2021)cos(202)201211f a b παπβ++-+=sin()cos()1sin cos 1110a b a b παπβαβ==++-+-+=-+=-.故答案为：0.17．【分析】先将函数化简整理根据相邻对称轴之间距离求出周期确定再根据正弦函数的性质结合给定区间即可求出最值【详解】因为由题意知的最小正周期为所以即所以当时所以因此所以函数的最小值为故答案为：解析：-【分析】先将函数化简整理，根据相邻对称轴之间距离求出周期，确定2ω=，再根据正弦函数的性质，结合给定区间，即可求出最值. 【详解】因为()21cos 22sin cos sin 22xf x x x x x ωωωωω+=-=- πsin 222sin 23x x x ωωω⎛⎫=-=-- ⎪⎝⎭由题意知()f x 的最小正周期为ππ242⨯=，所以2ππ22ω=，即2ω=，所以()π2sin 43f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭当π0,4x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，ππ2π4,333x ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，所以π2sin 423x ⎛⎫⎡⎤-∈ ⎪⎣⎦⎝⎭，因此()π2sin 423f x x ⎛⎫⎡=-- ⎪⎣⎝⎭，所以函数()f x 的最小值为-．故答案为：-18．2【分析】由已知可得利用正切函数的和角公式即可求解【详解】因为所以则整理得所以故答案为：2解析：2. 【分析】由已知可得135A B +=︒，利用正切函数的和角公式即可求解. 【详解】因为45C =︒，所以135A B +=︒，则tan tan tan()11tan tan A BA B A B++==--，整理得tan tan tan tan 1A B A B +=-，所以(1tan )(1tan )tan tan 1(tan tan )A B A B A B --=+-+，tan tan 1(tan tan 1)A B A B =+--，2=，故答案为：2.19．【分析】根据函数奇偶性表示出进而可得结果【详解】因为函数为奇函数所以只需又即所以时取最小值故答案为：解析：2π 【分析】根据函数奇偶性，表示出ϕ，进而可得结果. 【详解】因为函数cos()y x ϕ=+为奇函数，所以只需,2k k Z πϕπ=+∈，又0ϕ>，即0,2k k Z ππ+>∈，所以0k =时，ϕ取最小值2π. 故答案为：2π. 20．【分析】本题首先可通过三角恒等变换将转化为然后代入即可得出结果【详解】因为所以故答案为：【点睛】关键点点睛：本题考查给值求值问题能否合理利用同角三角函数关系诱导公式二倍角公式是解决本题的关键考查计算解析：45【分析】本题首先可通过三角恒等变换将cos 22πα⎛⎫- ⎪⎝⎭转化为22tan tan 1αα+，然后代入tan 2α=即可得出结果. 【详解】因为tan 2α=，所以2222sin cos 2tan 4cos 2sin 22sin cos tan 15παααααααα⎛⎫-==== ⎪++⎝⎭，故答案为：45. 【点睛】关键点点睛：本题考查给值求值问题，能否合理利用同角三角函数关系、诱导公式、二倍角公式是解决本题的关键，考查计算能力，是中档题.三、解答题21．（1）49-；（2. 【分析】（1）用诱导公式化简已知式为1sin cos 3αα+=，已知式平方后可求得sin cos αα；（2）已知式平方后减去4sin cos αα，再考虑到sin cos αα>就可求得sin cos αα-. 【详解】（1）由()()1sin 2cos 3παπα+--=可得1sin cos 3αα+=，所以()2221sin cos sin 2sin cos cos 12sin cos 9αααααααα+=++=+=，所以4sin cos 9αα=-；（2）()()221417sin cos sin cos 4sin cos 4999αααααα⎛⎫-=+-=-⨯-= ⎪⎝⎭，又因为,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以sin 0cos αα>>，sin cos 0αα->，所以sin cos αα-=. 【点睛】关键点点睛：本题解题的关键是熟记诱导公式，以及sin cos αα+，sin cos αα，sin cos αα-之间的联系即()2sin cos 12sin cos αααα+=+，()2sin cos 12sin cos αααα-=-.22．（1）,,36k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦；（2）函数的最大值为max 3y =，取得最大值时的x 集合为,6x x k k Z ππ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭；函数的最小值为min 1y =-，取得最小值时的x 集合为,3x x k k Z ππ⎧⎫=-+∈⎨⎬⎩⎭【分析】（1）根据二倍角公式和辅助角公式化简得2sin 216y x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，再根据整体代换法求函数的单调递增区间即可；（2）根据三角函数的性质求解即可. 【详解】解：（1）2cos 2cos 2cos 212sin 216y x x x x x x π⎛⎫=+=++=++ ⎪⎝⎭，因为函数sin y x =在区间2,2,22k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦上单调递增，所以222,262k x k k Z πππππ-≤+≤+∈，解得,36k x k k Z ππππ-≤≤+∈，所以函数2cos 2cos y x x x =+的单调递增区间为,,36k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦ （2）由（1）得2sin 216y x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，所以函数的最大值为max 3y =，当且仅当22,62x k k Z πππ+=+∈，即：,6x k k Z ππ=+∈时取得；函数的最小值为min 1y =-，当且仅当22,62x k k Z πππ+=-+∈，即：,3x k k Z ππ=-+∈时取得；所以函数的最大值为max 3y =，取得最大值时的x 集合为,6x x k k Z ππ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭；函数的最小值为min 1y =-，取得最小值时的x 集合为,3x x k k Z ππ⎧⎫=-+∈⎨⎬⎩⎭【点睛】关键点点睛：本题解题的关键在于根据题意，结合二倍角公式和辅助角公式将已知三角函数表达式化简整理得2sin 216y x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，考查运算求解能力，是中档题. 23．（1）最小正周期π；（2）最小值为1-. 【分析】（1）化简函数解析式，得()24f x x π⎛⎫- ⎝=⎪⎭，可得最小正周期为π；（2）由0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦得32,444x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，可得()f x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值为1-．【详解】（1）由已知，有()22sin 2sin cos cos f x x x x x =+-sin 2cos2x x =-24x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭所以，()f x 的最小正周期22T ππ==. （2）当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，32,444x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦ 所以当244x ππ-=-，即0x =时，()f x 取得最小值1-.所以，函数()f x 在0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上的最小值为1-. 【点睛】本题主要考查三角函数恒等变换，属中档题.通过展开三角函数关系式，利用正弦二倍角公式和降幂公式，辅助角公式将函数化简为()24f x x π⎛⎫- ⎝=⎪⎭，由周期公式可得22T ππ==，由x 的范围求得相位的范围，进一步得出32,444x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，进而求得sin 24x π⎛⎫- ⎪⎝⎭的范围，得出答案.24．（1）单调递增区间为,()63k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦，单调递减区间为5,()36k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦；（2）34. 【分析】（1）根据图象上相邻两条对称轴的距离为2π可知周期为π，可确定2ω=，然后将点,12a π⎛⎫⎪⎝⎭代入求解出ϕ的值，利用整体法求解原函数的单调区间即可. （2）由（1）中的结果可知()f x 在,122ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的单调性，确定出()f x 在,122ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上，得到关于a 的方程求解即可. 【详解】（1）由函数()f x 图象的相邻两条对称轴间的距离为2π，得函数()f x 的最小正周期T π=， ∴22πωπ==.又函数()f x 的图象过点,12a π⎛⎫⎪⎝⎭，∴21212f a a ππϕ⎛⎫⎛⎫=⨯++=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ∴sin 2012πϕ⎛⎫⨯+= ⎪⎝⎭，6k πϕπ+=.∵||2ϕπ<，∴6πϕ=-，则()26f x x a π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭.令222262k x k πππππ-≤-≤+，解得63x k πππ-≤≤+，()k ∈Z ，3222262k x k πππππ+≤-≤+，解得536k x k ππππ+≤≤+，()k ∈Z ∴函数()f x 的单调递增区间为,()63k k k ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦Z ，单调递减区间为5,(k )36k k ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦Z . （2）由（1）知，函数()f x 在,123ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，在,32ππ⎛⎤⎥⎝⎦上单调递减，又3122f a π⎛⎫-=-+ ⎪⎝⎭，3f a π⎛⎫= ⎪⎝⎭，22f a π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，∴()f x 在区间,122ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值与最小值之和为32a a -++=∴34a =. 【点睛】本题考查三角函数图象性质的综合应用，解答时只要方法如下：（1）求解三角函数单调区间时一般采用整体代换法，将自变量部分的代数式当做一个整体，利用正弦函数、余弦函数的单调性列出不等式求解即可；（2）求解三角函数在某固定区间上的最值或值域时，关键是分析清楚原函数在所给区间上的单调性，利用单调性确定取得最大值或最小值的点，确定最值；也可以采用换元法，将函数()sin y A ωx φ=+的最值转化为求sin y A t =的最值问题，只需根据格据正弦函数的图像性质确定即可.25．（1）22πβαπ<-<，022απβ<-<；（2 【分析】（1）由,2παπ⎛⎫∈⎪⎝⎭，0,2πβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭以及不等式知识求出,24βπαπ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭，,242αππβ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭,再根据1cos 29βα⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，2sin 23αβ⎛⎫-= ⎪⎝⎭可得,22βπαπ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭，0,22απβ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭．（2）根据cos cos 222αββααβ⎡⎤+⎛⎫⎛⎫=--- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，利用两角差的余弦公式可求得结果.【详解】（1）,2παπ⎛⎫∈⎪⎝⎭，0,2πβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，,242αππ⎛⎫∴∈ ⎪⎝⎭，0,24βπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，,02πβ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭， ,224αππ⎛⎫∴-∈-- ⎪⎝⎭，,024βπ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，,24βπαπ⎛⎫∴-∈ ⎪⎝⎭，,242αππβ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭, 又1cos 29βα⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，2sin 23αβ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，所以22πβαπ<-<，022απβ<-<.（2）coscos 222αββααβ⎡⎤+⎛⎫⎛⎫=--- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦cos cos sin sin 2222βαβααβαβ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--+-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，又1cos 29βα⎛⎫-=- ⎪⎝⎭且,22βπαπ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭，sin 29βα⎛⎫∴-== ⎪⎝⎭，又2sin 23αβ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，0,22απβ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭，cos 2αβ⎛⎫∴-==⎪⎝⎭12cos293αβ+∴=-+=【点睛】关键点点睛：将所求角拆成两个已知角进行求解是解题关键.26．（1）2ω=，()g ϕ的值域为1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦；（2）()410f α=+. 【分析】（1）由函数()f x 的最小正周期可求得ω的值，求得()sin 3g πϕϕ⎛⎫=-⎪⎝⎭，结合ϕ的取值范围可求得()g ϕ的值域；（2）求得tan 2α=，利用二倍角的正、余弦公式以及弦化切思想可求得()f α的值.【详解】（1）由于函数()()sin 0,2f x x ϕωϕπω⎛⎫=->≤⎪⎝⎭的最小正周期为π，则22πωπ==，()()sin 2f x x ϕ∴=-，()sin 63g f ππϕϕ⎛⎫⎛⎫∴==- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，22ππϕ-≤≤，5636πππϕ∴-≤-≤，所以，()1sin ,132g πϕϕ⎛⎫⎡⎤=-∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦；（2）sin 2cos 0αα-=，可得tan 2α=，3πϕ=，所以，()()21sin 2sin 22sin cos 2cos 13222f πααααααα⎛⎫=-=-=-- ⎪⎝⎭2sin cos ααα=-=+=245210-+=+=. 【点睛】求函数()()sin f x A x =+ωϕ在区间[],a b 上值域的一般步骤：第一步：三角函数式的化简，一般化成形如()sin y A x k ωϕ=++的形式或()cos y A x k ωϕ=++的形式．第二步：由x 的取值范围确定x ωϕ+的取值范围，再确定()sin x ωϕ+（或()cos x ωϕ+）的取值范围；第三步：求出所求函数的值域（或最值）.。

上海阳光外国语学校必修第一册第五单元《三角函数》检测卷(有答案解析)

一、选择题1．下列函数中既是奇函数，又在区间[]1,1-上单调递减的是（） A ．()sin f x x = B ．lg y x = C ．()f x x =-D ．()cos f x x =2．先将函数()sin (0)f x x ωω=>的图象向左平移2π个单位长度，再向上平移2个单位长度后得到函数()g x 的图象，若方程()()f x g x =有实根，则ω的值可以为（）A ．12B ．1C ．2D ．43．已知角θ终边经过点()2,P a ，若6πθ=-，则a =（）A ．6B ．63C ．63-D ．6-4．已知函数()()sin 0,2f x A x πωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示，则()f x 的解析式为（）A ．()2sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭B ．()2sin 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭C ．()sin 23f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭D ．()sin 23πf x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭5．cos45sin15sin 45cos15︒︒-︒︒=（）. A ．1B ．12-C 3D ．126．函数1()11f x x=+-的图象与函数()2sin 1(24)g x x x π=+-的图象所有交点的横坐标之和等于（） A ．8 B ．6 C ．4 D ．27．要得到函数3sin 224y x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭的图象只需将函数3cos 22y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象（）A ．先向右平移8π个单位长度，再向下平移2个单位长度 B ．先向左平移8π个单位长度，再向上平移2个单位长度C ．先向右平移4π个单位长度，再向下平移2个单位长度D ．先向左平移4π个单位长度，再向上平移2个单位长度8．若函数sin 3y x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向右平移6π个单位后与函数cos y x ω=的图象重合，则ω的值可能为（） A ．1-B ．2-C ．1D ．29．sin 20cos10cos160sin10-=（） A ．3-B ．12C ．12-D ．3210．已知函数()y f x =的图象如图所示，则此函数可能是（）A ．sin 6()22x x x f x -=- B ．sin 6()22x x x f x -=- C ．cos6()22x xx f x -=- D ．cos6()22x x xf x -=-11．已知3cos()45x π-=-，177124x ππ<<，则2sin 22sin 1tan x xx-+的值为（） A ．2875B ．21100-C ．2875-D ．2110012．函数()sin()0,||2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+><⎪⎝⎭的图象如图所示，为了得到g()sin 34x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象，只需将()f x 的图象（）A ．向右平移π6个单位长度 B ．向左平移π6个单位长度 C ．向右平移π2个单位长度 D ．向左平移π2个单位长度二、填空题13．设()sin 2cos2f x a x b x =+，0ab ≠，若()6f x f π⎛⎫≤ ⎪⎝⎭对任意x ∈R 成立，则下列命题中正确的命题是______.（填序号） ①11012f π⎛⎫=⎪⎝⎭；②7105f f ππ⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；③()f x 不具有奇偶性；④()f x 的单调增区间是()2,63k k k ππ⎡⎤π+π+∈⎢⎥⎣⎦Z ；⑤可能存在经过点(),a b 的直线与函数的图象不相交. 14．角θ的终边经过点(1,3)P -，则sin 6πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭____________. 15．若()5sin 4513α︒+=，则()sin 225α︒+=________． 16．已知tan 212πα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，则tan 3πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭_________. 17．若1sin cos (0)5x x x π+=-≤<，则cos2x =___________. 18．下列四个命题中：①已知()()()sin cos 21,sin cos 2πααπαπα-+-=++则tan 1α=-；②()003tan 30tan 30-=-=③若3sin α=则1cos 2;2α=-④在锐角三角形ABC 中，已知73sin ,cos ,255A B ==则119sin .125C =其中真命题的编号有_______. 19．已知函数()()()2cos 0,0f x x ωϕωϕπ=+><<的图象关于原点对称，且在区间2,23ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是减函数，则ω的取值范围为______. 20．若2sin 63πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则sin 26πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭________．三、解答题21．已知函数()2cos 3sin cos f x x x x =+．（1）求()f x 的最小正周期；（2）函数()f x 的单调递减区间．22．已知函数()()2cos 23sin cos sin f x x x x x =+-．（1）求函数()f x 的单调递增区间；（2）若当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，关于()f x m ≥的不等式 _______，求实数m 的取值范围．请选择①和②中的一个条件，补全问题（2），并求解．其中，①有解；②恒成立．注意：如果选择①和②两个条件解答，以解答过程中书写在前面的情况计分． 23．如图，扇形ABC 是一块半径为2千米，圆心角为60的风景区，P 点在弧BC 上，现欲在风景区中规划三条商业街道，要求街道PQ 与AB 垂直，街道PR 与AC 垂直，线段RQ 表示第三条街道．（1）如果P 位于弧BC 的中点，求三条街道的总长度；（2）由于环境的原因，三条街道PQ 、PR 、RQ 每年能产生的经济效益分别为每千米300万元、200万元及400万元，问：这三条街道每年能产生的经济总效益最高为多少？24．已知2sin ()cos(2)tan()()sin()tan(3)f παπαπααπααπ-⋅-⋅-+=-+⋅-+.（1）化简()fα；（2）若()18f α=，且42ππα<<，求cos sin αα-的值25．已知函数()()sin 0,2f x x ϕωϕπω⎛⎫=->≤ ⎪⎝⎭的最小正周期为π. （1）求ω的值及()6g f ϕπ⎛⎫=⎪⎝⎭的值域；（2）若3πϕ=，sin 2cos 0αα-=. 求()fα的值.26．已知函数3()sin(2)4f x x π=- （1）求()8f π的值；（2）求该函数的单调递增区间；（3）用“五点法”作出该函数一个周期的图像.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【分析】根据基本初等函数的性质，以及函数奇偶性的定义，逐项判定，即可求解. 【详解】对于A 中，函数()sin f x x =，根据正弦函数的性质，可得函数()sin f x x =在[]1,1-上单调递增，不符合题意；对于B 中，函数lg y x =，满足()()lg lg f x x x f x -=-==，所以函数lg y x =为偶函数，不符合题意；对于C 中，函数()f x x =-，根据一次函数的性质，可得函数()f x x =-为奇函数，且在[]1,1-上单调递减函数，符合题意；对于D 中，函数()cos f x x =，满足()()cos()cos f x x x f x -=-==，所以函数()cos f x x =为偶函数，不符合题意.故选：C.2．C解析：C 【分析】先根据三角函数图象的变换得出()g x 的解析式，然后根据三角函数的图象性质分析()()f x g x =的条件并求解ω的值.【详解】由题意可知()sin 22g x x πωω⎛⎫=++⎪⎝⎭，则函数()g x 的最大值为3，最小值为1，又()sin (0)f x x ωω=>的最大值为1，所以当()()f x g x =有实根时，()f x 的最大值点与()g x 的最小值点重合，故应平移(21),2T n n N +∈个单位，所以()212n ππω=+，得42,n n N ω=+∈，故只有C 选项符合.故选：C. 【点睛】本题考查根据三角函数图象的平移变换、考查根据函数图象有交点求参数的取值范围，难度一般. 解答的关键在于：（1）得出函数()g x 的解析式；（2）分析出()()f x g x =时，()f x 的最大值点与()g x 的最小值点重合.3．C解析：C 【分析】根据三角函数的定义，列出方程，即可求解. 【详解】由题意，角θ终边经过点)P a ，可得OP =，又由6πθ=-，根据三角函数的定义，可得cos()6π-=且0a <，解得a =. 故选：C.4．A解析：A 【分析】利用图象可得出()max A f x =，求出函数()f x 的最小正周期，可求得ω的值，再将点,26π⎛⎫⎪⎝⎭代入函数()f x 的解析式，结合ϕ的取值范围，求出ϕ的值，进而可得出函数()f x 的解析式.【详解】由图象可得()max 2A f x ==，函数()f x 的最小正周期为2236T πππ⎛⎫=⨯-=⎪⎝⎭， 22Tπω∴==，()()2sin 2f x x ϕ∴=+，又2sin 2266f ππϕ⎛⎫⎛⎫=⨯+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，可得sin 13πϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭， 22ππϕ-<<，5636πππϕ∴-<+<，32ππϕ∴+=，解得6π=ϕ，因此，()2sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭. 故选：A. 【点睛】方法点睛：根据三角函数()()sin f x A x b ωϕ=++的部分图象求函数解析式的方法：（1）求A 、()()max min:2f x f x b A -=，()()max min2f x f x b +=；（2）求出函数的最小正周期T ，进而得出2Tπω=；（3）取特殊点代入函数可求得ϕ的值.5．B解析：B 【分析】根据两角差的正弦公式，准确运算，即可求解. 【详解】由()1cos 45sin15sin 45cos15sin 1545sin 302︒︒-︒︒=︒-︒=-︒=-. 故选：B.6．A解析：A 【分析】根据函数图象的对称性，可知交点关于对称中心对称，即可求解. 【详解】由函数图象的平移可知，函数1()11f x x=+-与函数()2sin 1g x x π=+的图象都关于(1,1)M 对称. 作出函数的图象如图，由图象可知交点个数一共8个（四组，两两关于点(1,1)对称），所以所有交点的横坐标之和等于428⨯=.故选：A 【点睛】关键点点睛：由基本初等函数及图象的平移可知1()11f x x=+-与()2sin 1g x x π=+都是关于(1,1)中心对称，因此图象交点也关于(1,1)对称，每组对称点的横坐标之和为2，由图象可知共8个交点，4组对称点.7．B解析：B 【分析】根据三角函数图像平移规则，进行平移即可【详解】解：由函数222248y x x ππ⎛⎫⎛⎫=++=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，222y x x π⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，所以先向左平移8π个单位长度，得2())84y x x ππ=+=+的图像，再向上平移2个单位长度，得 224y x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭的图像，故选：B8．A解析：A 【分析】先求解出sin 3y x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭右移6π个单位后的函数解析式，然后根据诱导公式求解出ω的可取值. 【详解】因为sin 3y x πω⎛⎫=+⎪⎝⎭右移6π个单位后得到sin 63y x ωππω⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，又因为sin 63y x ωππω⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭与cos sin 2y x x πωω⎛⎫==+ ⎪⎝⎭的图象重合，所以令2,632k k Z ωππππ-+=+∈，所以121,k k Z ω=--∈，所以ω可取1-，此时0k =，故选：A. 【点睛】思路点睛：根据三角函数的图象重合求解参数ω或ϕ的思路：（1）先根据诱导公式将函数名统一；（2）然后分析三角函数初相之间的关系；（3）对k 进行取值（有时注意结合所给范围），确定出满足条件的ω或ϕ的值.9．B解析：B 【分析】利用诱导公式cos160cos 20=-，再利用两角和的正弦公式即可求解. 【详解】sin 20cos10cos160sin10-()sin 20cos10cos 18020sin10=-- sin 20cos10cos 20sin10=+()sin 2010=+sin30=12=故选：B10．D解析：D 【分析】由函数图象可得()y f x =是奇函数，且当x 从右趋近于0时，()0f x >，依次判断每个函数即可得出. 【详解】由函数图象可得()y f x =是奇函数，且当x 从右趋近于0时，()0f x >，对于A ，当x 从右趋近于0时，sin60x >，22x x -<，故()0f x <，不符合题意，故A 错误；对于B ，()()sin 6sin 6()2222x x x xx xf x f x ----===--，()f x ∴是偶函数，不符合题意，故B 错误；对于C ，()()cos 6cos 6()2222x x x xx xf x f x ----===--，()f x ∴是偶函数，不符合题意，故C 错误；对于D ，()()cos 6cos 6()2222x x x xx xf x f x ----===---，()f x ∴是奇函数，当x 从右趋近于0时，cos60x >，22x x ->，()0f x ∴>，符合题意，故D 正确. 故选：D. 【点睛】思路点睛：函数图象的辨识可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势； (3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性； (4)从函数的特征点，排除不合要求的图象.11．A解析：A 【分析】根据177124x ππ<<以及3cos()45x π-=-求出4sin()45x π-=-，进而求出4tan()43x π-=，根据诱导公式和二倍角的余弦公式得7sin 225x =-，然后利用恒等变换公式将2sin 22sin 1tan x xx-+化简为sin 2tan()4x x π-⋅-后，代入计算可得结果.【详解】因为177124x ππ<<，所以73642x πππ<-<，因为3cos()45x π-=-，所以4sin()45x π-===-， sin()4tan()4cos()4x x x πππ--==-4535--43=， sin 2cos(2)cos 2()24x x x ππ⎡⎤=-=-⎢⎥⎣⎦2972cos 12142525x π⎛⎫=--=⨯-=- ⎪⎝⎭，所以2sin 22sin 1tan x x x-+2sin (cos sin )sin 1cos x x x x x-=+2sin cos (cos sin )cos sin )x x x x x x -=+sin 2(1tan )1tan x x x -=+tantan 4sin 21tan tan 4xx x ππ-=⋅+sin 2tan()4x x π=-⋅-7428()25375=--⨯=.故选：A 【点睛】本题考查了同角公式，考查了诱导公式，考查了二倍角的正弦公式，考查了两角差的正切公式，属于中档题.12．A解析：A 【分析】首先根据函数()f x 的图象得到()sin 34f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，再根据三角函数的平移变换即可得到答案. 【详解】由题知：541246T πππ=-=，所以223T ππω==，解得3ω=. 3sin 044f ππϕ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以324k πϕππ+=+，k Z ∈，解得24k ϕπ=+π，k Z ∈. 又因为2πϕ<，所以4πϕ=，()sin 34f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭. 因为4436πππ--=-，所以只需将()f x 的图象向右平移π6个单位长度.故选：A二、填空题13．①③【分析】由题可知直线与函数的图象的一条对称轴可求得可化简函数的解析式为计算出的值可判断①的正误；计算可判断②的正误；利用特殊值法可判断③的正误；取利用正弦函数的单调性可判断④的正误；假设命题⑤正解析：①③ 【分析】由题可知，直线6x π=与函数()f x 的图象的一条对称轴，可求得3ab ，可化简函数()f x 的解析式为()2sin 26f x b x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.计算出1112f π⎛⎫⎪⎝⎭的值，可判断①的正误；计算710f π⎛⎫⎪⎝⎭、5f π⎛⎫⎪⎝⎭，可判断②的正误；利用特殊值法可判断③的正误；取0b >，利用正弦函数的单调性可判断④的正误；假设命题⑤正确，求出直线的方程，结合函数()f x 的最值可判断⑤的正误.【详解】由题可知，直线6x π=与函数()f x 的图象的一条对称轴，可得162f b π⎛⎫=+=⎪⎝⎭，整理可得2230a b -+=，即()20a -=，a ∴=.()sin 2cos 22sin 26f x x b x b x π⎛⎫∴=+=+ ⎪⎝⎭.对于命题①，11112sin 2012126f b πππ⎛⎫⎛⎫=⨯+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，①正确；对于命题②，7747172sin 22sin 2sin 101063030f b b b ππππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+==+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭17172sin 2sin 3030b b ππ=-=，172sin 22sin 55630f b b ππππ⎛⎫⎛⎫=⨯+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以，7105f f ππ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，②不正确；对于命题③，2sin 66f b b ππ⎛⎫⎛⎫-=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，2sin 262f b b ππ⎛⎫== ⎪⎝⎭，则66f f ππ⎛⎫⎛⎫-≠ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭且66f f ππ⎛⎫⎛⎫-≠- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以，函数()f x 不具有奇偶性，③正确；对于命题④，当()2,63x k k k ππππ⎡⎤∈++∈⎢⎥⎣⎦Z 时，则()3222262k x k k Z πππππ+≤+≤+∈，当0b >时，函数()f x 在区间()2,63k k k ππ⎡⎤π+π+∈⎢⎥⎣⎦Z 上单调递减，④错误；对于命题⑤，假设经过点(),a b 的直线与函数()f x 的图象不相交，则该直线与x 轴平行，此时该直线的方程为y b =，则2b b >，由于0b ≠，矛盾，⑤错误.故答案为：①③. 【点睛】关键点点睛：本题考查正弦型函数()()sin f x A x =+ωϕ的单调性、奇偶性、三角函数值的计算，解题的关键就是从()6f x f π⎛⎫≤⎪⎝⎭分析得出直线6x π=与函数()f x 的图象的一条对称轴，进而借助辅助角公式化简得出a 、b 的倍数关系.14．【分析】利用正弦函数定义求得再由正弦函数两角和的公式计算【详解】由题意所以故答案为：解析：12-【分析】利用正弦函数定义求得sin θ，再由正弦函数两角和的公式计算由题意sin θ=1cos 2θ=，所以，1sin cos 622πθθθ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭311442=-+=-，故答案为：12-15．【分析】直接利用诱导公式计算可得；【详解】解：因为故答案为：解析：513-【分析】直接利用诱导公式计算可得；【详解】解：因为()5sin 4513α︒+=，()()()5sin 225sin 45180sin 4513ααα︒+=︒++︒=-︒+=-⎡⎤⎣⎦ 故答案为：513-16．【分析】由结合利用两角和的正切公式求解【详解】故答案为：解析：13-【分析】由tan tan 3124πππαα⎛⎫⎛⎫+=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，结合tan 212πα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，利用两角和的正切公式求解. 【详解】tan tan1124tan tan 312431tan tan 124ππαπππααππα⎛⎫++ ⎪⎛⎫⎛⎫⎝⎭+=++==- ⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭⎝⎭-+ ⎪⎝⎭，故答案为：13-17．【分析】将已知等式两边平方可得结合已知的范围可得从而可求进而利用二倍角公式平方差公式即可求解【详解】解：因为两边平方可得可得所以可得所以故答案为：解析：725将已知等式两边平方，可得242sin cos 025x x =-<，结合已知x 的范围可得sin 0x ≥，cos 0x <，从而可求7cos sin 5x x -==-，进而利用二倍角公式，平方差公式即可求解. 【详解】解：因为1sin cos (0)5x x x π+=-≤<，两边平方，可得112sin cos 25x x +=，可得242sin cos 025x x =-<，所以sin 0x ≥，cos 0x <，可得7cos sin 5x x -===-，所以22177cos 2cos sin (cos sin )(cos sin )()5525x x x x x x x =-=+-=-⨯-=. 故答案为：725. 18．②③【分析】对于①：运用诱导公式化简再运用同角三角函数的关系可判断；对于②：先运用同角三角函数的商数关系切化弦再运用诱导公式可判断；对于③：运用余弦的二倍角公式计算可判断；对于④：运用同角三角函数求解析：②③ 【分析】对于①：运用诱导公式化简，再运用同角三角函数的关系可判断；对于②：先运用同角三角函数的商数关系“切化弦”，再运用诱导公式可判断；对于③：运用余弦的二倍角公式计算可判断；对于④：运用同角三角函数求得244cos ,sin ,255A B ==再用正弦的和角公式代入可判断．【详解】对于①：因为()()()sin -cos 21,sin cos 2πααπαπα+-=++所以sin cos 1,sin cos 2αααα+=-所以sin 11cos ,sin 21cos αααα+=-即tan 11,tan 12αα+=-解得tan 3α=-，故①不正确；对于②：因为()()()000sin 30sin 30tan 30tan 30cos30cos 30---===-=-故②正确；对于③：因为sin 2α=-所以221cos 212sin 122αα⎛=-=-⨯=- ⎝⎭，故③正确；对于④：因为在锐角三角形ABC 中， 73sin ,cos ,255A B ==所以00,0222A B C πππ<<<<<<，，所以244cos ,sin ,255A B ====所以 ()()sin sin +sin +C A B A B π⎡⎤=-=⎣⎦ 73244117sin cos +cos sin +255255125A B A B ==⨯⨯=，故④不正确，故答案为：②③．19．【分析】由函数图象关于原点对称可得再由在区间上是增函数可得解不等式即可【详解】由函数的图象关于原点对称得即因为在区间上是减函数所以在区间上是增函数又是函数的单调递增区间所以又解得故答案为：解析：30,4⎛⎤⎥⎝⎦【分析】由函数图象关于原点对称可得2ϕπ=，再由2sin y x ω=在区间2,23ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是增函数，可得22232ππωππω⎧-≤-⎪⎪⎨⎪≤⎪⎩，解不等式即可.【详解】由函数()()()2cos 0,0f x x ωϕωϕπ=+><<的图象关于原点对称，得2ϕπ=，即()2cos 2sin 2f x x x πωω⎛⎫=+=- ⎪⎝⎭，因为()f x 在区间2,23ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是减函数，所以2sin y x ω=在区间2,23ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是增函数，又,22ππωω⎡⎤-⎢⎥⎣⎦是函数2sin y x ω=的单调递增区间，所以22232ππωππω⎧-≤-⎪⎪⎨⎪≤⎪⎩，又0>ω，解得304ω<≤.故答案为：30,4⎛⎤ ⎥⎝⎦20．【分析】由结合诱导公式和二倍角公式得出答案【详解】故答案为：解析：19-【分析】由sin 2sin 2632πππαα⎡⎤⎛⎫⎛⎫-=+- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，结合诱导公式和二倍角公式得出答案．【详解】2sin 63πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，21cos 212sin 369ππαα⎛⎫⎛⎫∴+=-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．22326πππαα⎛⎫+=+- ⎪⎝⎭， 1sin 2sin 2cos 263239ππππααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴-=+-=-+=- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦．故答案为：19-三、解答题21．（1）π；（2）2,,63k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦【分析】（1）利用二倍角的正弦、余弦公式将函数化为()1sin 262f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，由周期公式即可求解.（2）由正弦函数的单调递减区间32,2,22k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦，整体代入即可求解.【详解】（1）()21cos 21cos cos sin 2262x f x x x x x π+⎛⎫===++ ⎪⎝⎭，所以函数的最小正周期222T πππω===，（2）3222,262k x k k Z πππππ+≤+≤+∈，解不等式可得2,63k x k k Z ππππ+≤≤+∈，所以函数()f x 的单调递减区间为2,,63k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦22．（1）[,],36k k k Z ππππ-++∈；（2）若选择①，2m ≤．若选择②，1m ≤-．【分析】(1)先结合二倍角公式及辅助角公式对已知函数进行化简，然后结合正弦函数的单调性可求; (2）若选择①，由()f x m ≥有解，即max ()m f x ≤，结合正弦函数的性质可求; 若选择②，由()f x m ≥恒成立，即min ()m f x ≤，结合正弦函数的性质可求. 【详解】（1）因为()()2cos cos sin f x x x x x =+-22cos s n cos i x x x x =+-2cos2x x =+2sin(2).6x π=+令222,262k x k k Z πππππ-+≤+≤+∈，解得36k x k k Z ππ-+π≤≤+π,∈. 所以函数()f x 的单调递增区间,,.36k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦（2）若选择①，由题意可知，不等式()f x m ≥有解，即max ()m f x ≤，因为0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以72666x πππ≤+≤，故当262x ππ+=，即6x π=时，()f x 取得最大值，且最大值为()26f π=，所以2m ≤.若选择②，由()f x m ≥恒成立，即min ()m f x ≤,因为0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以72666x πππ≤+≤,故当7266x ππ+=，即2x π=时,()f x 取得最小值，且最小值为()12f π=-，所以1m ≤- 【点睛】关键点点睛：考查了二倍角公式辅助角公式在三角函数化简中的应用，还考查了正弦函数性质的综合应用，其中，考查了存在性命题与全称命题的理解，理解含量词命题转化成适当的不等式是解题关键，属于中档试题.23．（1）2+2）. 【分析】（1）根据P 位于弧BC 的中点，则P 位于BAC ∠的角平分线上，然后分别在,,Rt APQ Rt APR 正AQR 中求解.（2）设PAB θ∠=，060θ<<︒，然后分别在,Rt APQ Rt APR 表示 PQ ，PR ，在AQR 中由余弦定理表RQ ，再由300200400W PQ PR RQ =⨯+⨯+⨯求解.【详解】（1）由P 位于弧BC 的中点，在P 位于BAC ∠的角平分线上，则1||||||sin 2sin30212PQ PR PA PAB ==∠=⨯︒=⨯=，||cos 2AQ PA PAB =∠== 由60BAC ∠=︒，且AQ AR =，∴QAR 为等边三角形，则||RQ AQ ==三条街道的总长||||||112l PQ PR RQ =++=++ ；（2）设PAB θ∠=，060θ︒<<︒，则sin 2sin PQ AP θθ==，PR AP =()()sin 602sin 603cos sin θθθθ-=-=-， cos 2cos AQ AP θθ==，||||cos(60)2cos(60)cos AR AP θθθθ=-=-=+，由余弦定理可知：2222cos60RQ AQ AR AQ AR =+-，22(2cos )(cos )22cos (cos )cos 603θθθθθθ=+-⨯+=，则|RQ =设三条街道每年能产生的经济总效益W ，300200400W PQ PR RQ =⨯+⨯+⨯，3002sin sin )200θθθ=⨯+-⨯+，400sin θθ=++200(2sin )θθ=++)θϕ=++tan 2ϕ=，当()sin 1θϕ+=时，W 取最大值，最大值为【点睛】方法点睛：解三角形应用题的两种情形：（1）实际问题经抽象概括后，已知量与未知量全部集中在一个三角形中，可用正弦定理或余弦定理求解；（2）实际问题经抽象概括后，已知量与未知量涉及到两个或两个以上的三角形，这时需作出这些三角形，先解够条件的三角形，然后逐步求解其他三角形，有时需设出未知量，从几个三角形中列出方程(组)，解方程(组)得出所要求的解．24．（1）sin cos αα⋅；（2）. 【分析】（1）由诱导公式运算即可得解；（2）由平方关系可得()23cos sin 4αα-=，再由cos sin αα<即可得解. 【详解】（1）由诱导公式()2sin cos tan ()sin cos sin tan f αααααααα⋅⋅==⋅-⋅-；（2）由()1sin cos 8f ααα==可知 ()222cos sin cos 2sin cos sin αααααα-=-+1312sin cos 1284αα=-=-⨯=，又∵42ππα<<，∴cos sin αα<，即cos sin 0αα-<，∴cos sin 2αα-=-.25．（1）2ω=，()g ϕ的值域为1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦；（2）()f α= 【分析】（1）由函数()f x 的最小正周期可求得ω的值，求得()sin 3g πϕϕ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，结合ϕ的取值范围可求得()g ϕ的值域；（2）求得tan 2α=，利用二倍角的正、余弦公式以及弦化切思想可求得()f α的值.【详解】（1）由于函数()()sin 0,2f x x ϕωϕπω⎛⎫=->≤⎪⎝⎭的最小正周期为π，则22πωπ==，()()sin 2f x x ϕ∴=-，()sin 63g f ππϕϕ⎛⎫⎛⎫∴==- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，22ππϕ-≤≤，5636πππϕ∴-≤-≤，所以，()1sin ,132g πϕϕ⎛⎫⎡⎤=-∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦；（2）sin 2cos 0αα-=，可得tan 2α=，3πϕ=，所以，()()21sin 2sin 22sin cos 2cos 13222f πααααααα⎛⎫=-=-=-- ⎪⎝⎭22222sin cos tan sin cos 2sin cos 2tan 12αααααααααα=-+=+=+++245210-+=+=. 【点睛】求函数()()sin f x A x =+ωϕ在区间[],a b 上值域的一般步骤：第一步：三角函数式的化简，一般化成形如()sin y A x k ωϕ=++的形式或()cos y A x k ωϕ=++的形式．第二步：由x 的取值范围确定x ωϕ+的取值范围，再确定()sin x ωϕ+（或()cos x ωϕ+）的取值范围；第三步：求出所求函数的值域（或最值）. 26．（1）()18f π=-；（2）5,88k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦；（3）作图见解析. 【分析】（1）直接代入求值；（2）解不等式3222242k x k πππππ-≤-≤+得单调增区间；（3）先列表描点再画图即可【详解】解：（1）()sin()182f ππ=-=-（2）当3222242k x k πππππ-≤-≤+时，()f x 单调递增解得：5,88k x k k Z ππππ+≤≤+∈ 故()f x 的单调递增区间为：5,88k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦（3）先列表 x 0 8π 38π 58π 78π π 324x π- -34π -2π 0 2π π 54π ()f x 22- -1 0 1 0 22-。

上海震旦外国语中学必修第一册第五单元《三角函数》测试(有答案解析)

上海民办永昌学校必修第一册第五单元《三角函数》测试题(有答案解析)

一、选择题1．函数πcos 24y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的一条对称轴方程是（） A ．π2x =-B ．π4x =-C ．π8x =-D ．πx =2．已知一个扇形的半径与弧长相等，且扇形的面积为22cm ，则该扇形的周长为（） A ．6cm B ．3cmC ．12cmD ．8cm3．函数()[sin()cos()]f x A x x ωθωθ=+++部分图象如图所示，当[,2]x ππ∈-时()f x 最小值为（）A ．1-B ．2-C ．2-D ．3-4．函数()(13)cos f x x x =的最小正周期为（） A ．π B ．32π C ．2πD ．2π 5．已知3sin 7a π=，4cos 7b π=，3tan()7c π=-，则a ，b ，c 的大小关系为（） A ．a b c <<B ．b c a <<C ．c b a <<D ．c a b <<6．把函数sin y x =的图象上所有的点向左平行移动6π个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的12倍（纵坐标不变），得到的图象所表示的函数解析式是（） A ．sin 23y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭B ．sin 26x y π⎛⎫=+⎪⎝⎭C ．sin 26y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭D ．sin 26y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭7．设1cos 3x =-，则cos2x =（） A ．13B ．223C ．79D ．79-8．已知函数()22sin cos 23f x x x x ωωω=-，且()f x 图象的相邻对称轴之间的距离为4π，则当0,4x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()f x 的最小值为（）A ．1-B ．C ．D ．-9．已知将向量13,2a ⎛= ⎝⎭绕起点逆时针旋转4π得到向量b ，则b =（）A ．⎝⎭B ．⎝⎭C ．⎝⎭D ．⎝⎭10．已知1cos 2α=，322παπ<<，则sin(2)πα-=（）A ．B ．12C ．12-D ．211．已知,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭且1sin 23πα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，则()tan απ+=（）A ．-B ．C ．4- D ．412．若将函数3sin(2)3y x π=+的图象向左平移6π个单位长度，则平移后图象的一个对称中心是（） A ．,06π⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．,06π⎛⎫-⎪⎝⎭C ．,012π⎛⎫⎪⎝⎭D ．,03π⎛⎫⎪⎝⎭二、填空题13．将函数sin 24y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象上各点的纵坐标不变，横坐标伸长到原来的2倍，再向右平移4π单位，所得到的函数解析式是_________. 14．已知()3sin 23cos sin 1f x x x x =-⋅+，若()32f a =，则()f a -=______. 15．已知2sin cos 0αα-=，则2sin 2sin cos ααα-=___________. 16．已知锐角α满足1cos()35πα+=，则sin α=______． 17．已知函数()()()2cos 0,0f x x ωϕωϕπ=+><<的图象关于原点对称，且在区间2,23ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是减函数，则ω的取值范围为______.18．若函数()πsin 26g x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在区间0,3a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦和7π4,6a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上均递增，则实数a 的取值范围是______．19．已知tan 2α=，则cos 22πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭___________. 20．已知sin θ＋cos θ＝15，则tan θ＋cos sin θθ的值是____________________. 三、解答题21．已知函数()2sin cos ,3f x x x x R π⎛⎫⎪⎝=-∈⎭. （1）求函数()f x 的最小正周期；（2）当,34x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，求函数()f x 的最大值与最小值，并指出相应的x 值.22．已知函数()2cos cos f x x x x =．（1）求()f x 的最小正周期；（2）函数()f x 的单调递减区间．23．已知向量1cos 2cos 2m x x x ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，311,sin cos 2n x x ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，设函数()f x m n =⋅.（1）求函数()f x 取得最大值时x 取值的集合；（2）设A ，B ，C 为锐角三角形ABC 的三个内角，若3cos 5B =，()14f C =-，求cos A 的值.24．已知02a π<<，02πβ<<，4sin 5α，5cos()13αβ+=. （1）求cos β的值；（2）求2sin sin 2cos 21ααα+-的值.25．在①函数()f x 的图象关于点,6b π⎛⎫- ⎪⎝⎭对称； ②函数()f x 在,44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最小值为12；③函数()f x 的图象关于直线12x π=对称.这三个条件中任选两个补充在下面的问题中，再解答这个问题.已知函数()()n 22si f x x b ϕϕπ=⎛⎫⎪⎝+<⎭+，若满足条件与 .（1）求函数()f x 的解析式；（2）若将函数()y f x =的图象上点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变，再将所得图象向右平移8π个单位，得到函数()y g x =的图象，求函数()g x 的单调递减区间. 26．已知函数()4cos sin (0)6f x x x πωωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭的最小正周期是π．（1）求函数()f x 在区间(0,)π上的单调递增区间；（2）求()f x 在3,88ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【分析】根据余弦函数的对称轴可得π22π4x k +=，解方程即可求解. 【详解】π22π4x k +=，k Z ∈，则有ππ8x k =-+，k Z ∈ 当0k =时，πcos 24y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的一条对称轴方程为π8x =-．故选：C2．A解析：A 【分析】由题意利用扇形的面积公式可得2122R =，解得R 的值，即可得解扇形的周长的值．【详解】解：设扇形的半径为Rcm ，则弧长l Rcm =，又因为扇形的面积为22cm ，所以2122R =，解得2R cm =，故扇形的周长为6cm ．故选：A ．3．D解析：D 【分析】首先结合图像求得()f x 的解析式，然后根据三角函数最值的求法，求得()f x 在区间[],2ππ-上的最小值.【详解】由已知()()sin 04f x x πωθω⎛⎫=⋅++> ⎪⎝⎭，由图象可知取A =，52433T πππ=-=，故最小正周期4T π=，所以212T πω==，所以()12sin 24f x x πθ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，由55152sin 2sin 0332464f πππππθθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯++=++=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，及图象单调性知，取564ππθπ++=，则46ππθ+=所以()12sin 26x f x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，[],2x ππ∈-，17,2636x πππ⎡⎤+∈-⎢⎥⎣⎦， ()f x 最小值为()2sin 3f ππ⎛⎫-=-= ⎪⎝⎭故选：D4．C解析：C 【分析】由切化弦，及两角和的正弦公式化简函数，然后由正弦函数的周期性得结论．【详解】由已知，()(1)cos f x x x =+cos x x =+12cos 22x x ⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭2sin 6x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，∴最小正周期为221T ππ==，故选：C ．5．C解析：C 【分析】3sin07a π=>,4cos 07b π=<，a b >且均属于()1,1-，而1c <-，大小关系即可确定. 【详解】解：3sin07a π=>；427πππ<<， 4cos coscos 72πππ∴<<，即10b -<<. 又正切函数在(0,)2π上单调递增，347ππ<； 3tantan 174ππ∴>=； 33tan()tan 177c ππ∴=-=-<-， 01a b c ∴>>>->，故选：C. 6．D解析：D 【分析】根据三角函数的图象变换规律可得解析式．【详解】函数sin y x =的图象上所有的点向左平行移动6π个单位长度，得sin 6y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，再把所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的12倍（纵坐标不变），可得sin 26y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭. 故选：D ．7．D解析：D 【分析】利用二倍角的余弦公式可得解. 【详解】1cos 3x =-，2212723cos 22cos 11199x x ⎛⎫=-== ⎪⎝⎭∴=----故选：D.8．D解析：D 【分析】先将函数化简整理，根据相邻对称轴之间距离求出周期，确定2ω=，再根据正弦函数的性质，结合给定区间，即可求出最值. 【详解】因为()21cos 22sin cos sin 22xf x x x x x ωωωωω+=-=- πsin 222sin 23x x x ωωω⎛⎫=-=-- ⎪⎝⎭由题意知()f x 的最小正周期为ππ242⨯=，所以2ππ22ω=，即2ω=，所以()π2sin 43f x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭当π0,4x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，ππ2π4,333x ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，所以π2sin 423x ⎛⎫⎡⎤-∈ ⎪⎣⎦⎝⎭，因此()π2sin 423f x x ⎛⎫⎡=-- ⎪⎣⎝⎭，所以函数()f x 的最小值为-．故选：D.9．C解析：C 【分析】先求出a 与x 轴正方向的夹角为3πθ=，即可得b 与x 轴正方向的夹角为73412πππα=+=，再利用向量坐标的定义即可求解. 【详解】设a 的起点是坐标原点，a 与x 轴正方向的夹角为θ，1a =由13,2a ⎛=⎝⎭可得2tan 12θ==3πθ=，设b 与x 轴正方向的夹角为α，则73412πππα=+=且1b=因为7sinsin sin cos cos sin 124343434y πππππππ⎛⎫==+=⨯+⨯=⎪⎝⎭，7coscos cos cos sin sin 124343434x πππππππ⎛⎫==+=⨯-⨯=⎪⎝⎭，故2b ⎛-=⎝⎭，故选：C.10．D解析：D 【分析】由已知利用同角三角函数基本关系式可求sin α的值，进而根据诱导公式即可求解．【详解】解：因为1cos 2α=，322παπ<<，所以sin 2α==-，所以sin(2)sin 2παα-=-=．故选：D ．11．A解析：A 【分析】由条件可得1cos 3α=-，然后可得sin α=，然后()sin tan tan cos ααπαα+==，即可算出答案. 【详解】因为1sin cos 23παα⎛⎫+==- ⎪⎝⎭，,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以sin 3α= 所以()sin tan tan cos ααπαα+===-故选：A12．A解析：A 【分析】先求出平移后的解析式为23sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，令()223x k k Z ππ+=∈解方程即可求解. 【详解】将函数3sin(2)3y x π=+的图象向左平移6π个单位长度得：23sin 23sin 2633y x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=++=+⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，令()223x k k Z ππ+=∈，解得：()32kx k Z ππ=-+∈，当1k =时，326x πππ=-+=，所以平移后图象的一个对称中心为,06π⎛⎫⎪⎝⎭，故选：A二、填空题13．【分析】利用三角函数图象的平移和伸缩变换即可得正确答案【详解】函数的图象上各点的纵坐标不变横坐标伸长到原来的倍得到再向右平移个单位得到故最终所得到的函数解析式为：故答案为：解析：()sin f x x =【分析】利用三角函数图象的平移和伸缩变换即可得正确答案. 【详解】函数sin 24y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象上各点的纵坐标不变，横坐标伸长到原来的2倍，得到sin 4y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，再向右平移4π个单位，得到sin sin 44y x x ππ⎛⎫=-+= ⎪⎝⎭，故最终所得到的函数解析式为：()sin f x x =. 故答案为：()sin f x x =.14．【分析】令求出再由奇函数的性质求解【详解】令易证为奇函数所以所以故答案为：解析：12【分析】令()3sin 23cos sin g x x x x =-⋅，求出()12g a =，再由奇函数的性质求解()f a -. 【详解】令()3sin 23cos sin g x x x x =-⋅，易证()g x 为奇函数.()()312f a g a =+=，所以()12g a =，所以()()()1112f ag a g a -=-+=-+=.故答案为：1215．【分析】根据可得的值而再将分子分母同除以化成关于的分式即可解【详解】由得则有；故答案为：【点睛】方法点睛：考查同角三角函数的基本关系式：解析：35【分析】根据2sin cos 0αα-=，可得tan α的值，而2222sin 2sin cos sin 2sin cos 1sin cos αααααααα--=+，再将222sin 2sin cos sin cos ααααα-+分子分母同除以2cos α化成关于tan α的分式即可解. 【详解】由2sin cos 0αα-=，得1tan 2α=，则有222222sin 2sin cos sin 2sin cos tan 2tan 1sin cos tan 1ααααααααααα---==++ 221123225112⎛⎫-⨯ ⎪⎝⎭==-⎛⎫+ ⎪⎝⎭；故答案为：35. 【点睛】方法点睛：考查同角三角函数的基本关系式：22sin cos 1θθ+=，sin tan cos θθθ=，tan cot 1θθ⋅=.16．【分析】利用余弦的两角和公式展开结合代入计算即可【详解】解得根据代入计算解得故答案为：【分析】利用余弦的两角和公式展开，结合22sin cos 1αα+=，代入计算即可．【详解】1cos cos 25132πααα⎛⎫+=⋅-= ⎪⎝⎭，解得2cos 5αα=+，根据22sin cos 1αα+=，代入计算，解得sin α=. 17．【分析】由函数图象关于原点对称可得再由在区间上是增函数可得解不等式即可【详解】由函数的图象关于原点对称得即因为在区间上是减函数所以在区间上是增函数又是函数的单调递增区间所以又解得故答案为：解析：30,4⎛⎤⎥⎝⎦【分析】由函数图象关于原点对称可得2ϕπ=，再由2sin y x ω=在区间2,23ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是增函数，可得22232ππωππω⎧-≤-⎪⎪⎨⎪≤⎪⎩，解不等式即可.【详解】由函数()()()2cos 0,0f x x ωϕωϕπ=+><<的图象关于原点对称，得2ϕπ=，即()2cos 2sin 2f x x x πωω⎛⎫=+=- ⎪⎝⎭，因为()f x 在区间2,23ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是减函数，所以2sin y x ω=在区间2,23ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是增函数，又,22ππωω⎡⎤-⎢⎥⎣⎦是函数2sin y x ω=的单调递增区间，所以22232ππωππω⎧-≤-⎪⎪⎨⎪≤⎪⎩，又0>ω，解得304ω<≤.故答案为：30,4⎛⎤ ⎥⎝⎦18．【分析】由的范围求出的范围结合正弦函数性质得不等关系【详解】时时由题意又解得故答案为：【点睛】方法点睛：本题考查正弦型复合函数的单调性在中则的单调性与的单调性一致因此对一个区间我们只要求得的范围它应解析：π7π,624⎡⎫⎪⎢⎣⎭【分析】由x 的范围求出26x π+的范围，结合正弦函数性质得不等关系．【详解】0,3a x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，22,6636a x πππ⎡⎤+∈+⎢⎥⎣⎦，7π4,6x a ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，528,662x a πππ⎡⎤+∈+⎢⎥⎣⎦，由题意23623862a a ππππ⎧+≤⎪⎪⎨⎪+≥⎪⎩，又03746aa π⎧>⎪⎪⎨⎪<⎪⎩，解得7624a ππ≤<．故答案为：π7π,624⎡⎫⎪⎢⎣⎭．【点睛】方法点睛：本题考查正弦型复合函数的单调性，在sin()y A x ωϕ=+中，0,0A ω>>，则sin()y A x ωϕ=+的单调性与sin y x =的单调性一致，因此对一个区间[,]a b ，我们只要求得x ωϕ+的范围，它应在sin y x =的单调区间内，那么sin()y A x ωϕ=+在[,]a b 上就有相同的单调性．这是一种整体思想的应用．19．【分析】本题首先可通过三角恒等变换将转化为然后代入即可得出结果【详解】因为所以故答案为：【点睛】关键点点睛：本题考查给值求值问题能否合理利用同角三角函数关系诱导公式二倍角公式是解决本题的关键考查计算解析：45【分析】本题首先可通过三角恒等变换将cos 22πα⎛⎫- ⎪⎝⎭转化为22tan tan 1αα+，然后代入tan 2α=即可得出结果.因为tan 2α=，所以2222sin cos 2tan 4cos 2sin 22sin cos tan 15παααααααα⎛⎫-==== ⎪++⎝⎭，故答案为：45. 【点睛】关键点点睛：本题考查给值求值问题，能否合理利用同角三角函数关系、诱导公式、二倍角公式是解决本题的关键，考查计算能力，是中档题.20．【分析】先通过已知求出再化简tanθ＋即得解【详解】由sinθ＋cosθ＝得tanθ＋故答案为：【点睛】关键点睛：解答本题的关键是把s inθ＋cosθ＝两边平方得到解析：2512-【分析】先通过已知求出12sin cos 25θθ=-，再化简tan θ＋cos sin θθ即得解. 【详解】由sin θ＋cos θ＝15得1121+2sin cos ,sin cos 2525θθθθ=∴=-. tan θ＋cos sin θθsin cos 125cos sin sin cos 12θθθθθθ=+==-.故答案为：2512- 【点睛】关键点睛：解答本题的关键是把sin θ＋cos θ＝15两边平方得到12sin cos 25θθ=-. 三、解答题21．（1）π；（2）当(),12x f x π=-取得最大值为4x π=时，()f x 取得最小值为12. 【分析】（1）由两角差的正弦公式、二倍角公式化函数为一个角的一个三角函数形式（一次的），然后由正弦函数性质求得最小正周期；（2）求出23x π-的范围，利用正弦函数性质可得最值．（1）根据题意得：()2sin cos 2sin cos cos sin cos333f x x x x x x πππ⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2sin cos x x x=1cos 211sin 2sin 22sin 22223x x x x x π+⎛⎫===- ⎪⎝⎭所以最小正周期22T ππ== （2）因为,34x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦所以2,36x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦当232x ππ-=-时，即12x π=-()min 22f x =-当236x ππ-=时，即4x π=()min 12f x ==所以当(),12x f x π=-取得最大值为当4x π=时，()f x ．【点睛】方法点睛：本题考查两角差的正弦公式，二倍角公式，考查正弦函数的性质．此类问题的解题方法是：利用二倍角公式降幂，利用诱导公式、两角和与差的正弦（余弦）公式展开与合并，最终把函数化为()sin()f x A x m ωϕ=++形式，然后结合正弦函数性质求解． 22．（1）π；（2）2,,63k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦【分析】（1）利用二倍角的正弦、余弦公式将函数化为()1sin 262f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，由周期公式即可求解.（2）由正弦函数的单调递减区间32,2,22k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦，整体代入即可求解. 【详解】（1）()21cos 21cos cos sin 2262x f x x x x x π+⎛⎫===++ ⎪⎝⎭，所以函数的最小正周期222T πππω===，（2）3222,262k x k k Z πππππ+≤+≤+∈，解不等式可得2,63k x k k Z ππππ+≤≤+∈，所以函数()f x 的单调递减区间为2,,63k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦23．（1）|,12x x k k Z ππ⎧⎫=-∈⎨⎬⎩⎭；（2 【分析】（1）利用三角函数公式和平面向量数量积对函数简化，再根据三角函数的性质求得函数取得最大值时x 取值的集合；（2）根据已知条件求得的B ，C 大小，然后利用()cos cos A B C =-+展开即可求解. 【详解】（1）21()cos 2cos 2f x m n x x x ⎫=⋅=+-⎪⎪⎝⎭2231cos 2sin cos cos 44x x x x x =++31cos 211cos 2cos 2242424x x x x -+=+⨯+⨯-311cos 2sin 22442223x x x π⎛⎫=-+=-- ⎪⎝⎭，要使函数()f x 取得最大值，需要满足sin 23x π⎛⎫- ⎪⎝⎭取得最小值，所以()2232x k k Z πππ-=-+∈，所以12x k ππ=-()k Z ∈，所以当()f x 取得最大值时x 取值的集合为|,12x x k k Z ππ⎧⎫=-∈⎨⎬⎩⎭，（2）因为A ，B ，C 为锐角三角形ABC 的三个内角，3cos 5B =所以4sin 5B ==，由()112234f C C π⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，得sin 23C π⎛⎫-=⎪⎝⎭，因为22333C πππ-<-<所以233C ππ-=，解得3C π=，所以()3143cos cos cos cos sin sin 525210A B C B C B C =-+=-+=-⨯+⨯=所以3cos 10A -=. 【点睛】关键点点睛：本题的关键点是熟记两角和差的正弦余弦公式，辅助角公式，诱导公式，同角三角函数基本关系，向量的数量积的坐标表示，注意三角形是锐角三角形以确定角的范围. 24．（1）6365；（2）54-.【分析】（1）由已知利用同角三角函数基本关系式可求cos α，sin()αβ+的值，进而根据()βαβα=+-，利用两角差的余弦函数公式即可求解．（2）利用二倍角公式可求sin 2α，cos2α的值，进而即可代入求解．【详解】（1）因为02πα<<，4sin 5α所以3cos 5α== 又因为02πβ<<，5cos()13αβ+=所以12sin()13αβ+== 所以[]cos cos ()ββαα=+-cos()cos sin()sin βααβαα=+++53124135135=⨯+⨯ 6365=（2）因为3cos 5α=，4sin 5α 所以4324sin 22sin cos 25525ααα==⨯⨯=2237cos 22cos 12()1525αα=-=⨯-=-所以22424()sin sin 255257cos 214125ααα++==---- 【点睛】本题主要考查了同角三角函数基本关系式，两角差的余弦函数公式，二倍角公式在三角函数化简求值中的应用，考查了计算能力和转化思想． 25．（1）答案见解析；（2）5,,26212k k k ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦Z . 【分析】（1）分别选①②，②③，①③三种情况，根据三角函数的性质，即可求出函数解析式；（2）由（1）的结果根据三角函数的伸缩变换与平移原则，求出()g x ，再根据正弦函数的单调性，即可求出单调递减区间. 【详解】解：（1）选①② 因为,6b π⎛⎫- ⎪⎝⎭为()f x 的对称中心，所以2,,63k k k ππϕπϕπ⎛⎫⨯-+==+∈ ⎪⎝⎭Z又2πϕ<，所以3πϕ=；因为44x ππ-≤≤，所以52636x πππ-≤+≤，所以1sin 2123x π⎛⎫-≤+≤ ⎪⎝⎭ 所以()min 1122f x b =-+=，所以1b =；所以()sin 213f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭选②③ 因为12x π=为()f x 的一条对称轴，所以2122k ππϕπ⨯+=+，所以,3k k πϕπ=+∈Z ，又2πϕ<，所以3πϕ=，因为44x ππ-≤≤，所以52636x πππ-≤+≤；所以1sin 2123x π⎛⎫-≤+≤ ⎪⎝⎭，所以()min 1122f x b =-+=，所以1b =，所以()sin 213f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭；选①③，由前面两种情况，可得，根据对称性只能求得3πϕ=，所以()sin 23f x x b π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭；（2）当()sin 213f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭时，将函数()y f x =的图象上点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变，可得sin 413y x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭的图像，再将所得图象向右平移8π个单位，得到函数()y g x =的图象，所以()sin 416g x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭；当()sin 23f x x b π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭时，同理可得()sin 46g x x b π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，令3242,262k x k k πππππ+≤-≤+∈Z 解得：5,26212k k x k ππππ+≤≤+∈Z 所以函数()g x 的减区间为5,,26212k k k ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦Z . 【点睛】思路点睛：求解三角函数解析式，以及三角函数性质的题目，一般需要根据三角函数的单调性、对称性等，结合题中条件，求出参数，即可得出解析式；求解三角函数性质问题时，一般根据整体代入的方法，结合正余弦函数的性质求解. 26．（1）0,3π⎛⎤⎥⎝⎦和5,6ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭；（2）1. 【分析】（1）利用两角和差的三角公式结合辅助角公式进行化简，结合周期公式求出ω的值，结合单调性进行求解即可；（2）根据3,88x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦得到7212612x πππ≤-≤可得()f x 最大值. 【详解】（1）1()4cos cos 22f x x x x ωωω⎛⎫=- ⎪⎪⎝⎭2cos 2cos 2cos 21x x x x x ωωωωω=-=--2sin 216x πω⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，因为()f x 的最小正周期为π，所以22T ππω==．又0>ω，所以1ω=，所以()2sin 216f x x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭．令222()262k x k k πππππ-+≤-≤+∈Z ，得()63k x k k ππππ-+≤≤+∈Z ，所以函数()f x 在(0,)π上的单调递增区间为0,3π⎛⎤⎥⎝⎦和5,6ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭．（2）当3,88x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，32,44x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，7212612x πππ≤-≤．当226x ππ-=，即3x π=时，()f x 取得最大值1．【点睛】本题主要考查三角函数的图象和性质，结合两角和差的三角公式以及辅助角公式进行化简，求出函数的解析式，结合的函数的性质是解决本题的关键，难度中等.。

上海民办新华初级中学必修第一册第五单元《三角函数》检测(答案解析)

一、选择题1．将函数()2sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭图像上的每一个点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，再将所得图像向左平移12π个单位得到函数()g x 的图像，在()g x 的图像的所有对称轴中，离原点最近的对称轴为（） A ．24x π=-B ．4πx =-C ．524x π=-D ．12x π=2．函数πcos 24y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的一条对称轴方程是（） A ．π2x =-B ．π4x =-C ．π8x =-D ．πx =3．若把函数sin y x =的图象沿x 轴向左平移3π个单位，然后再把图象上每个点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标保持不变），得到函数()y f x =的图象，则()y f x =的解析式为（） A ．sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭B ．2sin 23y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭C ．1sin 23y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭D ．12sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭4．已知一个扇形的半径与弧长相等，且扇形的面积为22cm ，则该扇形的周长为（） A ．6cmB ．3cmC ．12cmD ．8cm5．7sin 6π⎛⎫-= ⎪⎝⎭（）A ．BC ．12-D ．126．已知函数()()sin 0,2f x A x πωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示，则()f x 的解析式为（）A ．()2sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭B ．()2sin 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭C ．()sin 23f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭D ．()sin 23πf x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭7．已知函数()()sin 20,2f x A x A πϕϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭满足03f π⎛⎫=⎪⎝⎭，则()f x 图象的一条对称轴是（） A ．6x π=B ．56x π=C ．512x π=D ．712x π=8．若2232cos()4θθπθ=-，则sin 2θ=（）A ．13B ．23 C ．23- D ．13-9．下面函数中最小正周期为π的是（）．A ．cos y x =B ．π23y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭C ．tan2xy = D ．22cos sin 2y x x =+10．sin 20cos10cos160sin10-=（） A ．3 B ．12C ．12-D 311．已知函数()()()sin 0,0f x A x =+>-π<<ωϕωϕ的部分图象如图所示.则()f x 的解析式为（）．A ．()2sin 12f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭B ．()2sin 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭C ．()2sin 26f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭D ．()32sin 34f x x π=-⎛⎫ ⎪⎝⎭12．已知函数()()log 330,1a y x a a =-+>≠的图象恒过点P ，若角α的终边经过点P ，则sin 2α的值等于（）A ．2425-B ．35C ．2425D ．35二、填空题13．在ABC 中，tan 1A =，tan 2B =，则tan C =______.14．已知23sin 3x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则cos 6x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭________. 15．设ABC 的内角,,A B C 所对的边分别为,,,a b c 若2sin cos sin A B C =，则ABC 的形状为________.16．在ABC 中，若sin 2sin cos A C B =，则这个三角形的形状是________． 17．已知α是第一象限角，且4tan 3α=，则sin 2α=_______ 18．已知1cos cos 2αβ+=，1sin sin 3αβ+=，则()cos αβ-=________. 19．已知2sin 3θ=-，3,2πθπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则tan θ=______． 20．若0,2x π⎛⎫∀∈ ⎪⎝⎭，sin cos m x x ≥+恒成立，则m 的取值范围为_______________. 三、解答题21．已知函数()2sin cos 3f x x x x ωωω=的周期为π，其中0>ω；（1）求ω的值，并写出函数()f x 的解析式；（2）设ABC 的三边a ，b ，c 依次成等比数列，角B 的取值范围为集合P ，则当x P ∈时求函数()f x 的值域.22．已知函数()3cos 22sin cos 3f x x x x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭. （1）求()f x 的最小正周期和单调减区间；（2）求证：当,44x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，()12f x ≥-. 23．若函数()sin cos f x x x =+在[]0,a 上单调递增，求a 的取值范围. 24．已知()()sin23cos2f x x x x R =+∈（1）求56f π⎛⎫⎪⎝⎭的值；（2）若0,4x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，求函数()f x 的取值范围． 25．已知函数2()2sin 23sin()sin ()2f x x x x x ππ⎛⎫=+-+∈ ⎪⎝⎭R . （1）求()f x 的最小正周期；（2）求()f x 的单调递减区间；（3）求()f x 在区间20,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的取值范围. 26．如图，设矩形()ABCD AB BC >的周长为m ，把ABC 沿AC 翻折到AB C '，AB '交DC 于点P ，设AB x =.（1）若CP ＝2PD ，求x 的值；（2）求ADP △面积的最大值.参考答案【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．A 解析：A 【分析】利用三角函数的伸缩变换和平移变换，得到()22sin 43g x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，然后令24,32x k k Z πππ+=+∈求解. 【详解】将函数()2sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭图像上的每一个点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，2sin 43y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，再将所得图像向左平移12π个单位得到函数()22sin 43g x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，令24,32x k k Z πππ+=+∈，解得,424k x k Z ππ=-∈，所以在()g x 的图像的所有对称轴中，离原点最近的对称轴为24x π=-，故选：A2．C解析：C 【分析】根据余弦函数的对称轴可得π22π4x k +=，解方程即可求解. 【详解】π22π4x k +=，k Z ∈，则有ππ8x k =-+，k Z ∈ 当0k =时，πcos 24y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的一条对称轴方程为π8x =-．故选：C3．C解析：C【分析】根据三角函数图象平移、伸缩的公式，结合题中的变换加以计算，可得函数()y f x =的解析式．【详解】解：将函数sin y x =的图象沿x 轴向左平移3π个单位，得到函数sin()3y x π=+的图象；将sin()3y x π=+的图象上每个点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标保持不变），得到1sin()23y x π=+的图象．∴函数sin y x =的图象按题中变换得到函数()y f x =的图象，可得1()sin 23y f x x π⎛⎫==+ ⎪⎝⎭．故选：C ．4．A解析：A 【分析】由题意利用扇形的面积公式可得2122R =，解得R 的值，即可得解扇形的周长的值．【详解】解：设扇形的半径为Rcm ，则弧长l Rcm =，又因为扇形的面积为22cm ，所以2122R =，解得2R cm =，故扇形的周长为6cm ．故选：A ．5．D解析：D 【分析】直接利用诱导公式求解. 【详解】771sin sin sin sin 66662πππππ⎛⎫⎛⎫-=-=-+== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故选：D6．A解析：A 【分析】利用图象可得出()max A f x =，求出函数()f x 的最小正周期，可求得ω的值，再将点,26π⎛⎫⎪⎝⎭代入函数()f x 的解析式，结合ϕ的取值范围，求出ϕ的值，进而可得出函数()f x 的解析式.【详解】由图象可得()max 2A f x ==，函数()f x 的最小正周期为2236T πππ⎛⎫=⨯-=⎪⎝⎭， 22Tπω∴==，()()2sin 2f x x ϕ∴=+，又2sin 2266f ππϕ⎛⎫⎛⎫=⨯+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，可得sin 13πϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭， 22ππϕ-<<，5636πππϕ∴-<+<，32ππϕ∴+=，解得6π=ϕ，因此，()2sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.故选：A. 【点睛】方法点睛：根据三角函数()()sin f x A x b ωϕ=++的部分图象求函数解析式的方法：（1）求A 、()()max min:2f x f x b A -=，()()max min2f x f x b +=；（2）求出函数的最小正周期T ，进而得出2Tπω=；（3）取特殊点代入函数可求得ϕ的值.7．D解析：D 【分析】利用三角函数的性质，2()sin()033f A ππϕ=+=，求ϕ，然后，令()f x A =，即可求解【详解】根据题意得，2()sin()033f A ππϕ=+=，得23k πϕπ+=，k z ∈又因为2πϕ<，进而求得，3πϕ=，所以，()sin(2)3f x A x π=+，令()f x A =，所以，sin(2)13x π+=，所以，2,32x k k z πππ+=+∈，解得,k x k z 122ππ=+∈，当1k =时，712x π=，所以，()f x 图象的一条对称轴是712x π= 故选D 【点睛】关键点睛：求出ϕ后，令()f x A =，所以，sin(2)13x π+=，进而求解，属于中档题 8．B解析：B 【分析】由二倍角公式和差的余弦公式化简得出()2cos sin 2θθθ-=，再平方即可求出. 【详解】)22cos sin cos()coscos sinsin 444θθππθθθ-=-+()cos sin cos sin 2cos sin θθθθθθ+-==-，()2cos sin 2θθθ∴-=，两边平方得()241sin 23sin 2θθ-=，解得sin 22θ=-（舍去）或2sin 23θ=. 故选：B.【点睛】关键点睛：本题考查三角恒等变换的化简问题，解题的关键是能正确利用二倍角公式和差的余弦公式将已知等式化简为()2cos sin 2θθθ-=，再平方求解.9．D解析：D 【分析】根据三角函数的周期公式结合图象对选项进行逐一判断，可得答案. 【详解】()cos cos x x -=，cos cos y x x ∴==，周期为2π，故A 不符合题意； π3y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的周期为2π，故B 不符合题意；画出函数tan2x y =的图象，易得函数tan 2xy =的周期为2π，故C 不符合题意；2π2cos sin 2cos 21sin 22sin 214x x x x x ⎛⎫+=++=++ ⎪⎝⎭，周期为π，故D 符合题意．故选：D10．B解析：B 【分析】利用诱导公式cos160cos 20=-，再利用两角和的正弦公式即可求解. 【详解】sin 20cos10cos160sin10-()sin 20cos10cos 18020sin10=-- sin 20cos10cos 20sin10=+()sin 2010=+sin30=12=故选：B11．B解析：B 【分析】根据函数图象得到3532,41234T A πππ⎛⎫==--= ⎪⎝⎭ ，进而求得2,2T Tππω===，然后由函数图象过点5,212π⎛⎫⎪⎝⎭求解. 【详解】由函数图象知：3532,41234T A πππ⎛⎫==--= ⎪⎝⎭，所以2,2T Tππω===，又函数图象过点5,212π⎛⎫⎪⎝⎭，所以 522,122k k Z ππϕπ⨯+=+∈，解得 2,3k k Z πϕπ=-∈，又因为 0πϕ-<<，所以3πϕ=-，所以()f x 的解析式为：()2sin 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭. 故选：B 【点睛】本题主要考查三角函数的图象和性质，还考查了数形结合的思想方法，属于中档题.12．C解析：C 【分析】由已知求出点P 的坐标，再利用三角函数的定义求出sin ,cos αα的值，进而可得到sin 2α的值【详解】解：因为函数()()log 330,1a y x a a =-+>≠的图象恒过(4,3)，所以点P 的坐标为(4,3) 因为角α的终边经过点P ，所以34sin ,cos 55αα====，所以3424sin 22sin cos 25525ααα==⨯⨯=，故选：C二、填空题13．3【分析】由已知和正切和角公式求得再利用三角形的内角和公式和诱导公式可得答案【详解】中有所以所以故答案为：3解析：3 【分析】由已知和正切和角公式求得()tan +A B ，再利用三角形的内角和公式和诱导公式可得答案．【详解】ABC 中，有++A B C π=，所以()()tan tan +tan +C A B A B π⎡⎤=-=-⎣⎦，()tan +tan 1+2tan +31tan tan 112A B A B A B ===---⨯，所以tan 3C =，故答案为：3.14．【分析】由再结合诱导公式可得结果【详解】【点睛】方法点睛：利用诱导公式求值或化简时常用拼凑角常见的互余关系有：与与与等；常见的互补关系有：与与等；解析：3-【分析】由2623x x πππ⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭，再结合诱导公式可得结果. 【详解】22cos cos sin 6233x x x ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=--=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭【点睛】方法点睛：利用诱导公式求值或化简时，常用拼凑角,，常见的互余关系有：3πα+与6πα-，3πα-与6πα+，4πα-与4απ+等；常见的互补关系有： 3πα+与23πα-，4πα+与34πα-等； 15．等腰三角形【分析】由整理可得角的关系即可【详解】由的内角知所以又所以为等腰三角形故答案为:等腰三角形【点睛】此题考查两角和与差的正弦公式的正向和逆向使用属于基础题解析：等腰三角形【分析】由()sin sin sin cos cos sin C A B A B A B π=-+=+⎡⎤⎣⎦，整理可得角的关系即可. 【详解】由ABC 的内角,,A B C 知，()C A B π=-+，所以 ()sin sin sin cos cos sin 2sin cos C A B A B A B A B π=-+=+=⎡⎤⎣⎦，sin cos cos sin 0A B A B -=，()sin 0A B -=，又()()()0,π,0,π,π,πA B A B ∈∈-∈-所以A B =，ABC 为等腰三角形. 故答案为:等腰三角形. 【点睛】此题考查两角和与差的正弦公式的正向和逆向使用，属于基础题.16．等腰三角形【分析】利用公式利用两角和差的正弦公式化简并判断三角形的形状【详解】代入条件可得即即所以三角形是等腰三角形故答案为：等腰三角形解析：等腰三角形【分析】利用公式()sin sin A B C =+，利用两角和差的正弦公式，化简，并判断三角形的形状. 【详解】180A B C ++=，()sin sin sin cos cos sin A B C B C B C ∴=+=+，代入条件可得sin cos cos sin 0C B C B -=，即()sin 0C B -=，即0C B C B -=⇔=，所以三角形是等腰三角形. 故答案为：等腰三角形17．【分析】根据同角三角函数的关系解出根据二倍角公式即可求出【详解】是第一象限角且则解得故答案为：解析：2425【分析】根据同角三角函数的关系解出43sin ,cos 55αα==，根据二倍角公式即可求出sin 2α. 【详解】α是第一象限角，且4tan 3α=，则22sin 4cos 3sin cos 1αααα⎧=⎪⎨⎪+=⎩，解得43sin ,cos 55αα==，∴24sin 22sin cos 25ααα==. 故答案为：2425. 18．【分析】将和两边同时平方然后两式相加再由两角差的余弦公式即可求解【详解】由两边同时平方可得由两边同时平方可得两式相加可得即所以故答案为：【点睛】本题主要考查同角三角函数基本关系以及两角差余弦公式解题解析：5972-【分析】将1cos cos 2αβ+=和1sin sin 3αβ+=两边同时平方，然后两式相加，再由两角差的余弦公式即可求解. 【详解】由1cos cos 2αβ+=两边同时平方可得221cos cos 2cos cos 4αβαβ++=，由1sin sin 3αβ+=两边同时平方可得221sin sin 2sin sin 9αβαβ++=，两式相加可得22221113cos cos 2cos cos +sin sin 2sin sin 946=3+αβαβαβαβ++++=即cos cos sin si 5972n αβαβ+=-，所以()cos cos cos sin s 9n 7i 52αβαβαβ-=+=-. 故答案为：5972- 【点睛】本题主要考查同角三角函数基本关系以及两角差余弦公式，解题的关键是熟练掌握公式()cos cos cos sin sin αβαβαβ-=+，,22cos sin 1αα+=并应用，属于中档题. 19．【分析】根据角的范围和同角三角函数的关系求得从而求得答案【详解】因为所以所以故答案为：【分析】根据角的范围和同角三角函数的关系求得cos θ，从而求得答案. 【详解】因为2sin 3θ=-，3,2πθπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以cos 0θ<，cos 3θ===-，所以sin tan cos θθθ==，. 20．【分析】根据三角函数的性质求得的最大值进而可求出结果【详解】因为由可得所以则因为恒成立所以只需故答案为：解析：)+∞【分析】根据三角函数的性质，求得sin cos x x +的最大值，进而可求出结果. 【详解】因为sin cos 4x x x π⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，由0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭可得3,444x πππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，所以sin 42x π⎛⎤⎛⎫+∈ ⎥ ⎪ ⎝⎭⎝⎦，则(sin cos 4x x x π⎛⎫+=+∈ ⎪⎝⎭，因为0,2x π⎛⎫∀∈ ⎪⎝⎭，sin cos m x x ≥+恒成立，所以只需m ≥故答案为：)+∞.三、解答题21．（1）1ω=，()sin 32+f x x π⎛⎫= ⎪⎝⎭2）⎣⎦.【分析】（1）先逆用两角差的正弦公式化成正弦型函数的标准形式，然后利用周期公式2T ωπ=求ω的值，进而写出函数()f x 的解析式；（2）利用余弦定理结合基本不等式求出cos B 的范围，再根据B 为三角形的内角求出B 的范围，得出()f x 的定义域，从而求出()f x 的值域. 【详解】解：（1）()2sin cos f x x x x ωωω=)1cos 21sin 2+22x x ωω+=sin 2+3x πω⎛⎫= ⎪⎝⎭由22T ππω==，解得1ω=，所以函数()f x 的解析式为()sin 32++2f x x π⎛⎫= ⎪⎝⎭；（2）因为2b ac =,所以222cos 2a c b B ac +-==22121122222a c ac ac ac +-≥-=，当且仅当a c =时取“=”；又B 为三角形内角，所以03B π<≤，即03x π<≤,所以2+33x πππ<≤,所以0sin 2+13x π⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以sin 2++2322x π⎛⎫≤≤ ⎪⎝⎭，即函数()f x 的值域是,1+22⎣⎦.【点睛】关键点点睛：运用三角恒等变换将函数化成正弦型函数的标准形式，利用余弦定理和基本不等式将三角形的边的关系转化为角的范围.22．（1）最小正周期π，单调减区间为12127,k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦，k Z ∈；（2）证明见解析. 【分析】（1）利用两角差余弦公式、正弦倍角公式及辅助角公式可得()sin 23f x x，即可求最小正周期，整体代入求单调减区间；（2）由44x ππ-≤≤得52636x πππ-≤+≤，即可得()f x 的值域，进而判断()12f x ≥-是否成立. 【详解】解：（1）3()sin 2sin 222f x x x x =+-1sin 22sin 2223x x x π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭， ∴()f x 的最小正周期22T ππ==. 令3222232k x k πππππ+≤+≤+，k Z ∈，解得71212k x k ππππ+≤≤+，k Z ∈， ∴单调减区间为12127,k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦，k Z ∈. （2）由44x ππ-≤≤，知：52636x πππ-≤+≤，则有()f x 的值域为1[,1]2-，∴1sin 232x π⎛⎫+≥- ⎪⎝⎭，即当,44x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，()12f x ≥-得证. 【点睛】关键点点睛：（1）利用三角恒等变换：两角和差公式、辅助角公式化简三角函数式，并确定函数性质. （2）根据（1）的三角函数解析式结合已知定义域范围确定值域，判断函数不等式是否成立.23．04a π<≤【分析】先利用辅助角公式化简得()4f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，再利用正弦函数的性质求出()f x 的单调递增区间，即可求解. 【详解】()sin cos 4f x x x x π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭,令()22242k x k k Z πππππ-+≤+≤-+∈，解得：()32244k x k k Z ππππ-+≤≤+∈，令0k =，得3,44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦可得()sin cos f x x x =+在3,44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦单调递增，若[]0,a 上单调递增，则04a π<≤，所以a 的取值范围是04a π<≤故答案为：04a π<≤【点睛】关键点点睛：本题的关键点是解得()32244k x k k Z ππππ-+≤≤+∈，求出()f x 的单调递增区间，可得()sin cos f x x x =+在3,44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦单调递增，进而可得04a π<≤.24．（1）0；（2）[]1,2. 【分析】（1）本题可直接将56x π=代入函数()f x 中，通过计算即可得出结果；（2）本题首先可根据两角和的正弦公式将函数()f x 转化为()2sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，然后根据0,4x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦得出52,336x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，最后根据正弦函数的性质即可得出结果. 【详解】（1）555sin 0633f πππ⎛⎫===⎪⎝⎭，（2）()sin 222sin 23f x x x x π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，当0,4x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，52,336x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，则1sin 2,132x π⎛⎫⎡⎤+∈ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，函数()f x 的取值范围为[]1,2.25．（1）最小正周期为π；（2）单调递减区间为5,36k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦，k ∈Z ；（3）[0,3].【分析】（1）逆用二倍角公式化简整理可得()2sin 216f x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，再利用2T ωπ=即可求得()f x 的最小正周期；（2）令26z x π=-，利用函数2sin 1y z =+的图像与性质，列出不等式，即可求得()f x 的单调递减区间；（3）由20,3x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，可得72,666x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，结合正弦函数的图像与性质，即可求得()f x 的取值范围.【详解】（1）由已知可得()1cos 2cos f x x x x =-+2cos 21x x =-+2sin 216x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭.所以()f x 的最小正周期为22T ππ==. （2）令26z x π=-，函数2sin 1y z =+的单调递减区间是32,222k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦，k ∈Z .所以3222262k x k πππππ+≤-≤+，k ∈Z 得536k x k ππππ+≤≤+，k ∈Z . 所以()f x 的单调递减区间为5,36k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦，k ∈Z .（3）因为20,3x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以72,666x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，所以1sin 2,162x π⎛⎫⎡⎤-∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，所以()[0,3]f x ∈，即()f x 在区间20,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的取值范围是[0,3].【点睛】本题考查二倍角公式的逆用，辅助角公式的应用，正弦型函数的单调区间、周期和值域问题，综合性较强，考查计算化简，数形结合的能力，考查整体性的思想，属基础题.26．（1）(34m ；（2）(2316m ⋅-. 【分析】（1）设CAB CAP θ∠=∠=，求得222PAD APD πθθ∠=-∠=，，得到且tan 23tan θθ=，结合正切的二倍角公式，即可求解.（2）设CAB CAP θ∠=∠=，则2APD θ∠=，且()tan 01θ∈，，由()tan 2x x m θ+⨯=，求得x 得值，求得()tan 21tan m AD BC θθ==+，1tan 4PD m θ-=，设1tan t θ+=，得到()12t ∈，，利用三角形的面积公式和二次函数的性质，即可求解. 【详解】（1）由题意，在ABC 中，可设CAB CAP θ∠=∠=，则由角度关系可得222PAD APD πθθ∠=-∠=，，设BC y = ，且tan tan 23tan 3y yx xθθθ===，，则有22tan tan 23tan 1tan θθθθ==-，解得tan 3θ=，则有y x =，所以2x x m ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，解得(34x m =. （2）设CAB CAP θ∠=∠=，则222PAD APD πθθ∠=-∠=，，且()tan 01θ∈，，则有()tan 2x x m θ+⨯=，解得()21tan m x θ=+，即()tan 21tan m AD BC θθ==+，所以()2tan 1tan 1tan tan 221tan 2tan 4AD PD m m θθθθθθ--==⋅=+，则S △ADP =()2221tan 1tan tan tan 221tan 4161tan m m θθθθθθ--⋅⋅=⋅++，令()1tan 12t t θ+=∈，，所以S △ADP =()22222113223161616t t m m t t m t t t t ---⎡⎤-+-⎛⎫⋅=⋅=⋅-++ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦(2316m ≤⋅-，当且仅当2t t t==，时取等号.则ADP △面积的最大值为(2316m ⋅-.【点睛】对于三角函数模型的应用问题，解答的关键是建立符合条件的函数模型，结合示意图，然后再由三角形中的相关知识进行求解，解题时要注意综合利用所学的三角恒等变换的公式及三角函数的性质求解.。

上海世界外国语中学必修第一册第五单元《三角函数》测试卷(含答案解析)

一、选择题1．已知曲线C 1：y ＝2sin x ，C 2：2sin(2)3y x π=+，则错误的是（）A ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平行移动6π个单位长度，得到曲线C 2 B ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平行移动56π个单位长度，得到曲线C 2 C ．把C 1向左平行移动3π个单位长度，再把得到的曲线上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，得到曲线C 2 D ．把C 1向左平行移动6π个单位长度，再把得到的曲线上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，得到曲线C 2 2．将函数()2sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭图像上的每一个点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，再将所得图像向左平移12π个单位得到函数()g x 的图像，在()g x 的图像的所有对称轴中，离原点最近的对称轴为（） A ．24x π=-B ．4πx =-C ．524x π=-D ．12x π=3．已知3sin 5α=-，则cos2=α（） A ．15-B ．15C ．725-D ．7254．函数πcos 24y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的一条对称轴方程是（） A ．π2x =-B ．π4x =-C ．π8x =-D ．πx =5．函数()[sin()cos()]f x A x x ωθωθ=+++部分图象如图所示，当[,2]x ππ∈-时()f x 最小值为（）A ．1-B ．2-C ．2-D ．3-6．已知角θ终边经过点)2,P a ，若6πθ=-，则a =（）A 6B 6C ．6D ．6-7．如果角α的终边过点2sin 30,2cos3()0P -，则sin α的值等于（） A ．12B ．12-C ．3D ．38．要得到函数3224y x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭的图象只需将函数322y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象（）A ．先向右平移8π个单位长度，再向下平移2个单位长度 B ．先向左平移8π个单位长度，再向上平移2个单位长度C ．先向右平移4π个单位长度，再向下平移2个单位长度D ．先向左平移4π个单位长度，再向上平移2个单位长度9．已知1cos 2α=，322παπ<<，则sin(2)πα-=（） A ．3B ．12C ．12-D 310．已知1sin()43πα-=，则cos()4πα+=（） A ．13-B ．13C ．223-D ．2311．已知函数()()()cos >0,0<<f x x ωθωθπ=+的最小正周期为π，且()()0f x f x -+=，若tan 2α=，则()f α等于（）A ．45-B ．45C ．35D ．3512．刘徽是中国魏晋时期杰出的数学家，他提出“割圆求周”方法:当n 很大时，用圆内接正n 边形的周长近似等于圆周长，并计算出精确度很高的圆周率 3.1416π≈.在《九章算术注》中总结出“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”的极限思想，可以说他是中国古代极限思想的杰出代表．运用此思想，当π取3.1416时可得cos89︒的近似值为（） A ．0.00873B ．0.01745C ．0.02618D ．0.03491二、填空题13．将函数sin 24y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象上各点的纵坐标不变，横坐标伸长到原来的2倍，再向右平移4π单位，所得到的函数解析式是_________. 14．已知定义在[],a a -上的函数()cos sin f x x x =-是减函数，其中0a >，则当a 取最大值时，()f x 的值域是______.15．函数()()sin 0,0,2f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>><⎪⎝⎭的部分图象如图所示，则()f x =______.16．下列四个命题中：①已知()()()sin cos 21,sin cos 2πααπαπα-+-=++则tan 1α=-；②()003tan 30tan 303-=-=-③若3sin ,2α=-则1cos 2;2α=-④在锐角三角形ABC 中，已知73sin ,cos ,255A B ==则119sin .125C =其中真命题的编号有_______. 17．已知1tan()3πα+=-，则sin 2cos 5cos sin αααα+=-______． 18．若3sin 5αα=，是第二象限角，则sin 24πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭__________．19．对任意闭区间I ，用I M 表示函数sin y x =在I 上的最大值，若有且仅有一个正数a 使得[][]0,,2a a a M kM =成立，则实数k 的取值范围是_________.20．设函数()()2sin 0,2f x x πωφφφ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭的部分图象如图.若对任意的()()2x R f x f t x ∈=-，恒成立，则实数t 的最小正值为____.三、解答题21．某高档小区有一个池塘，其形状为直角ABC ，90C ∠=︒，2AB =百米，1BC =百米，现准备养一批观赏鱼供小区居民观赏．（1）若在ABC 内部取一点P ，建造APC 连廊供居民观赏，如图①，使得点P 是等腰三角形PBC 的顶点，且2π3CPB ∠=，求连廊AP PC +的长；（2）若分别在AB ，BC ，CA 上取点D ，E ，F ，建造DEF 连廊供居民观赏，如图②，使得DEF 为正三角形，求DEF 连廊长的最小值．22．已知函数()2sin 24cos cos 644f x x x x πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-++- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭. （1）求函数()f x 的单调区间；（2）当,612x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，求函数()f x 的值域. 23．已知()()3sin f x x a ωϕ=++0,2πωϕ⎛⎫>< ⎪⎝⎭的图象过点,12a π⎛⎫⎪⎝⎭，且图象的相邻两条对称轴的距离为2π. （1）求函数()f x 的单调区间；（2）若()f x 在区间,122ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，求实数a 的值. 24．已知函数()()1cos sin cos 2f x x x x =+-．（Ⅰ）若0,2πα<<且1sin 3α=.求()f α；（Ⅱ）求函数()f x 的最小正周期及单调递增区间. 25．已知1cos cos 634ππαα⎛⎫⎛⎫+-=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，,32ππα．（1）求sin 2α的值；（2）求1tan tan αα-的值．26．已知函数())2cos cos 1f x xx x =-+（1）求函数()f x 的最小正周期及单调递增区间. （2）当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，求函数()f x 的最大值和最小值.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D 解析：D 【分析】利用函数()sin +y A x ωϕ=的图象变换规律对各个选项进行检验即可. 【详解】A. 1C 上各点横坐标缩短到原来的12倍，得到2sin 2y x =，再向左平移6π个单位长度，得到2sin 2+=2sin 2+63y x x ππ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，正确； B. 1C 上各点的横坐标缩短到原来的12倍，得到2sin 2y x =，再向右平移56π个单位长度，得到5552sin 2=2sin 2=2sin 222sin 26333y x x x x πππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=---+=+ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，正确；C. 1C 向左平移3π个单位长度，得到2sin +3y x π⎛⎫= ⎪⎝⎭，再把各点横坐标缩短到原来的12倍，得到2sin 2+3y x π⎛⎫= ⎪⎝⎭，正确；D. 1C 向左平移6π个单位长度，得到2sin +6y x π⎛⎫= ⎪⎝⎭，再把各点横坐标缩短到原来的12倍，得到2sin 2+6y x π⎛⎫= ⎪⎝⎭，错误. 故选：D2．A解析：A 【分析】利用三角函数的伸缩变换和平移变换，得到()22sin 43g x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，然后令24,32x k k Z πππ+=+∈求解. 【详解】将函数()2sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭图像上的每一个点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，2sin 43y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，再将所得图像向左平移12π个单位得到函数()22sin 43g x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，令24,32x k k Z πππ+=+∈，解得,424k x k Z ππ=-∈，所以在()g x 的图像的所有对称轴中，离原点最近的对称轴为24x π=-，故选：A3．D解析：D 【分析】由题中条件，根据二倍角的余弦公式，可直接得出结果. 【详解】因为3sin 5α=-，所以297cos 212sin 122525αα=-=-⨯=. 故选：D.4．C解析：C 【分析】根据余弦函数的对称轴可得π22π4x k +=，解方程即可求解. 【详解】π22π4x k +=，k Z ∈，则有ππ8x k =-+，k Z ∈ 当0k =时，πcos 24y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的一条对称轴方程为π8x =-．故选：C5．D解析：D 【分析】首先结合图像求得()f x 的解析式，然后根据三角函数最值的求法，求得()f x 在区间[],2ππ-上的最小值.【详解】由已知()()sin 04f x x πωθω⎛⎫=⋅++> ⎪⎝⎭，由图象可知取A =，52433T πππ=-=，故最小正周期4T π=，所以212T πω==，所以()12sin 24f x x πθ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，由55152sin 2sin 0332464f πππππθθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯++=++=⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，及图象单调性知，取564ππθπ++=，则46ππθ+=所以()12sin 26x f x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，[],2x ππ∈-，17,2636x πππ⎡⎤+∈-⎢⎥⎣⎦， ()f x 最小值为()2sin 3f ππ⎛⎫-=-= ⎪⎝⎭故选：D6．C解析：C 【分析】根据三角函数的定义，列出方程，即可求解. 【详解】由题意，角θ终边经过点)P a ，可得OP =，又由6πθ=-，根据三角函数的定义，可得cos()6π-=且0a <，解得3a =-. 故选：C.7．C解析：C 【分析】先计算三角函数值得(1,P ，再根据三角函数的定义sin ,yr rα==可. 【详解】解：由题意得(1,P ，它与原点的距离2r ==，所以sin y r α===. 故选：C.8．B解析：B 【分析】根据三角函数图像平移规则，进行平移即可【详解】解：由函数222248y x x ππ⎛⎫⎛⎫=++=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，222y x x π⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，所以先向左平移8π个单位长度，得2())84y x x ππ=+=+的图像，再向上平移2个单位长度，得 224y x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭的图像，故选：B9．D【分析】由已知利用同角三角函数基本关系式可求sin α的值，进而根据诱导公式即可求解．【详解】解：因为1cos 2α=，322παπ<<，所以sin α==，所以sin(2)sin παα-=-=．故选：D ．10．A解析：A 【分析】运用α-、2πα-的诱导公式，计算即可得到.【详解】解：1sin()43πα-=，即为1sin()43πα-=-，即有1sin[()]243ππα-+=-，即1cos()43πα+=-. 故选：A.11．A解析：A 【分析】利用三角函数的周期性和奇偶性得到()cos 2sin 22f x x x π⎛⎫=+=- ⎪⎝⎭，进而求出()f α 【详解】由2ππω=，得2ω=，又()()0f x f x -+=，()()()cos cos 2f x x x ωθθ=+=+为奇函数，()2k k Z πθπ∴=+∈，，又0θπ<<，得2πθ=，()cos 2sin 22f x x x π⎛⎫∴=+=- ⎪⎝⎭，又由tan 2α=，可得()2222sin cos 2tan 4sin 2sin cos tan 15f αααααααα-=-==-=-++故选：A关键点睛：解题关键在于通过三角函数性质得到()cos 2sin 22f x x x π⎛⎫=+=- ⎪⎝⎭，难度属于基础题12．B解析：B 【分析】根据cos89sin1︒=，将一个单位圆分成360个扇形，由这360个扇形的面积之和近似为单位圆的面积求解. 【详解】因为()cos89cos 901sin1︒=-=，所以将一个单位圆分成360个扇形，则每一个扇形的圆心角为1︒，所以这360个扇形的面积之和近似为单位圆的面积，即2136011sin112π⨯⨯⨯⨯≈，所以 3.1416sin10.01745180180π≈≈≈，故选：B二、填空题13．【分析】利用三角函数图象的平移和伸缩变换即可得正确答案【详解】函数的图象上各点的纵坐标不变横坐标伸长到原来的倍得到再向右平移个单位得到故最终所得到的函数解析式为：故答案为：解析：()sin f x x =【分析】利用三角函数图象的平移和伸缩变换即可得正确答案. 【详解】函数sin 24y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象上各点的纵坐标不变，横坐标伸长到原来的2倍，得到sin 4y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，再向右平移4π个单位，得到sin sin 44y x x ππ⎛⎫=-+= ⎪⎝⎭，故最终所得到的函数解析式为：()sin f x x =. 故答案为：()sin f x x =.14．【分析】先求出函数单调减区间的一般形式根据函数在的单调性可得利用整体法可求当取最大值时的值域【详解】令则故的减区间为由题设可得为的子集故且故故当时故故的值域为故答案为：【点睛】关键点点睛：正弦型函数解析：⎡⎣【分析】先求出函数单调减区间的一般形式，根据函数在[],a a -的单调性可得max 4a π=，利用整体法可求当a 取最大值时，()f x 的值域．【详解】()cos sin 4f x x x x π⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，令22,242k x k k Z πππππ-≤-≤+∈，则322,44k x k k Z ππππ-≤≤+∈，故()f x 的减区间为32,2,44k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦，由题设可得[],a a -为32,2,44k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦的子集，故0k =且4340a a a ππ⎧-≥-⎪⎪⎪≤⎨⎪>⎪⎪⎩，故04a π<≤，故max 4a π=，当44x ππ-≤≤时，024x ππ-≤-≤，故0sin 4x π⎛⎫≤-≤ ⎪⎝⎭故()f x的值域为⎡⎣．故答案为：⎡⎣．【点睛】关键点点睛：正弦型函数在给定范围（含参数）上的单调性可由单调区间的一般形式得到参数满足的条件，这是解决此类问题的通法．15．【分析】由图可得利用周期求出又函数过点解得进而得出函数的解析式【详解】由图可得：解得又函数过点则解得故答案为：解析：sin 23x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭ 【分析】由图可得A ，利用周期求出ω，又函数过点7,112π⎛⎫-⎪⎝⎭，解得3πϕ=，进而得出函数的解析式．【详解】由图可得：1A =，37341264T πππ⎛⎫=--= ⎪⎝⎭，解得,2T πω==，()()sin 2f x x ϕ=+ 又函数过点7,112π⎛⎫-⎪⎝⎭，则732122ππϕ⨯+=，解得3πϕ=，()sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭故答案为：sin 23x π⎛⎫+⎪⎝⎭16．②③【分析】对于①：运用诱导公式化简再运用同角三角函数的关系可判断；对于②：先运用同角三角函数的商数关系切化弦再运用诱导公式可判断；对于③：运用余弦的二倍角公式计算可判断；对于④：运用同角三角函数求解析：②③ 【分析】对于①：运用诱导公式化简，再运用同角三角函数的关系可判断；对于②：先运用同角三角函数的商数关系“切化弦”，再运用诱导公式可判断；对于③：运用余弦的二倍角公式计算可判断；对于④：运用同角三角函数求得244cos ,sin ,255A B ==再用正弦的和角公式代入可判断．【详解】对于①：因为()()()sin -cos 21,sin cos 2πααπαπα+-=++所以sin cos 1,sin cos 2αααα+=-所以sin 11cos ,sin 21cos αααα+=-即tan 11,tan 12αα+=-解得tan 3α=-，故①不正确；对于②：因为()()()00sin 30sin 30tan 30tan 30cos30cos 30---===-=-故②正确；对于③：因为sin α=所以221cos 212sin 122αα⎛=-=-⨯=- ⎝⎭，故③正确；对于④：因为在锐角三角形ABC 中， 73sin ,cos ,255A B ==所以00,0222A B C πππ<<<<<<，，所以244cos ,sin ,255A B ====所以()()sin sin +sin +C A B A B π⎡⎤=-=⎣⎦ 73244117sin cos +cos sin +255255125A B A B ==⨯⨯=，故④不正确，故答案为：②③．17．【分析】由已知条件求出再根据同角公式弦化切可解得结果【详解】故答案为：【点睛】关键点点睛：弦化切求解是解题关键解析：516【分析】由已知条件求出1tan 3α=-，再根据同角公式弦化切可解得结果. 【详解】1tan()3πα+=-，1tan 3α∴=-，sin 2cos tan 25cos sin 5tan αααααα++∴=--123153-+=⎛⎫-- ⎪⎝⎭516=．故答案为：516【点睛】关键点点睛：弦化切求解是解题关键.18．【分析】根据条件分别求再代入求两角和的正弦【详解】且是第二象限角故答案为：解析：50-【分析】根据条件分别求cos α，sin 2α，cos2α，再代入求两角和的正弦【详解】3sin 5α=，且α是第二象限角，4cos 5α∴==- 27cos 22cos 125αα∴=-=，3424sin 22sin cos 25525ααα⎛⎫==⨯⨯-=- ⎪⎝⎭，)sin 2sin 2cos 24250πααα⎛⎫+=+=-⎪⎝⎭.故答案为： 19．【分析】讨论的范围得出的表达式求出的值域即可【详解】①当时由得所以此时即则即；②当时由得此时即；③当时由得所以此时则即；④当时则由得不成立此时不存在；⑤当时由得所以此时则即；⑥当时由得综上实数的取值解析：1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【分析】讨论a 的范围得出k 的表达式，求出()k f a =的值域即可. 【详解】①当0,4πa ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，[0,][,2]20,,sin ,sin 22a a a πa M a M a ⎡⎤∈==⎢⎥⎣⎦，由[][]0,,2a a a M kM =，得sin sin 2a k a =，所以12cos k a=，此时cos 12a ≤≤2cos 2a ≤≤，则1122cos 2a ≤≤，即122k ⎡∈⎢⎣⎦；②当,42ππa ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，[0,][,2]2,,sin ,12a a a πa πM a M ⎡⎤∈==⎢⎥⎣⎦，由[][]0,,2a a a M kM =，得sin k a =，此时sin 12a ≤≤，即2k ⎤∈⎥⎣⎦； ③当,2a ππ⎛⎫∈⎪⎝⎭时，()[0,][,2]2,2,1,sin a a a a M M a ππ∈==，由[][]0,,2a a a M kM =，得1sin k a =，所以1sin k a=，此时0sin 1a <<，则11sin a>，即()1,k ∈+∞； ④当a π=时，22a π=，则[0,][,2]1,0a a a M M ==，由[][]0,,2a a a M kM =，得10=不成立，此时k 不存在； ⑤当5,4πa π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，[0,][,2]522,,1,sin 22a a a a ππM M a ⎛⎫∈== ⎪⎝⎭，由[][]0,,2a a a M kM =，得1sin 2k a =，所以1sin 2k a=，此时0sin 21a <<，则11sin 2a>，即()1,k ∈+∞； ⑥当5,+4a π⎡⎫∈∞⎪⎢⎣⎭时，[0,][,2]52,,1,12a a a a πM M ⎡⎫∈+∞==⎪⎢⎣⎭，由[][]0,,2a a a M kM =，得1k =，综上，实数k 的取值范围是1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭. 【点睛】本题考查三角函数最值的求解，解题的关键是分段讨论a 的范围，根据a 的不同取值范围得出k 的表达式，再利用三角函数的性质求解.20．【分析】由图象求得再根据求得从而求得函数解析式再根据由函数图象的对称轴为直线x=t 求解【详解】由图象知：即则由五点法得所以即因为所以所以又因为所以函数图象的对称轴为直线x=t 则所以解得当k=0时t 取解析：12π 【分析】由图象5556124T ππ⎛⎫--= ⎪⎝⎭，求得ω，再根据506f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，求得φ，从而求得函数解析式，再根据()()2f x f t x =-，由函数()f x 图象的对称轴为直线x =t 求解. 【详解】由图象知：5556124T ππ⎛⎫--= ⎪⎝⎭，即T π=，则22Tπω==，由“五点法”得552sin 063f ππφ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以()53k k Z πφπ+=∈，即()53k k Z πφπ=-∈，因为2πφ<，所以3πφ=，所以()2sin 23f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，又因为()()2f x f t x =-，所以函数()f x 图象的对称轴为直线x =t ，则()2sin 223f t t π⎛⎫=+=± ⎪⎝⎭，所以23t π+()2k k Z ππ=+∈，解得()212k t k Z ππ=+∈，当k =0时，t 取到了最小正值为12π. 故答案为：12π. 【点睛】方法点睛：根据三角函数()()sin f x A x b ωϕ=++的部分图象求函数解析式的方法：（1）求A 、()()max min:2f x f x b A -=，()()max min2f x f x b +=；（2）求出函数的最小正周期T ，进而得出2Tπω=；（3）取特殊点代入函数可求得ϕ的值.三、解答题21．（12）7百米．【分析】（1）先在三角形PBC 中利用已知条件求出PC 的长度，再在三角形PAC 中利用余弦定理求出PA 的长度，即可求解；（2）设出等腰三角形的边长以及角CEF ，则可求出CF 的长度，进而可得AF 的长度，再利用角的关系求出角ADF 的大小，然后在三角形ADF 中利用正弦定理化简出a 的表达式，再利用三角函数的最值即可求出a 的最小值，进而可以求解．【详解】解：（1）因为P 是等腰三角形PBC 的顶点，且2π3CPB ∠=，又1BC =，所以π6PCB ∠=，3PC =，又因为π2ACB ∠=，所以π3ACP ∠=，则在三角形PAC 中，由余弦定理可得：222π72cos33AP AC PC AC PC =+-⋅=，解得3AP =，所以连廊AP PC +=（2）设正三角形DEF 的边长为a ，()0πCEF αα∠=<<，则sin CF a α=，sin AF a α=，且EDB α∠=，所以2π3ADF α∠=-，在三角形ADF 中，由正弦定理可得：sin sin DF AF A ADF=∠∠，即πsin sin 63a α=- ⎪⎝⎭即sin 12πsin 23a a αα=⎛⎫- ⎪⎝⎭，化简可得2π2sin sin 3a αα⎡⎤⎛⎫-+= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦所以7a ===≥（其中θ为锐角，且tan θ=），百米，所以三角形DEF连廊长的最小值为7百米．【点评】方法点睛：在求三角形边长以及最值的问题时，常常设出角度，将长度表示成角度的三角函数，利用三角函数的值域求最值.22．（1）单调递增区间为：,36k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，k Z ∈；单调递减区间为：2,63k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦，k Z ∈；（2）⎡-⎣. 【分析】（1）利用三角函数恒等变换化简函数解析式可得()2sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，进而根据正弦函数的单调性即可求解. （2）由题意可求范围2,663x πππ⎡⎤+∈-⎢⎥⎣⎦，利用正弦函数的性质即可求解其值域. 【详解】解：（1）()2sin 24cos cos 644f x x x x πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-++- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭122cos 24(cos sin )(cos sin )222x x x x x x ⎫=-+⨯-⨯+⎪⎪⎝⎭2cos 22cos 2x x x =-+2cos2x x =+2sin 26x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，令222262k x k πππππ-≤+≤+，k Z ∈，解得36k x k ππππ-≤≤+，k Z ∈，令3222262k x k πππππ+≤+≤+，k Z ∈，解得263k x k ππππ+≤≤+，k Z ∈，故函数()f x 的单调递增区间为：,36k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，k Z ∈，单调递减区间为：2,63k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦，k Z ∈. （2）当,612x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，2,663x πππ⎡⎤+∈-⎢⎥⎣⎦，可得1sin 2262x π⎛⎫-≤+≤⎪⎝⎭，可得12sin 26x π⎛⎫-≤+≤ ⎪⎝⎭()f x 的值域为⎡-⎣. 23．（1）单调递增区间为,()63k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦，单调递减区间为5,()36k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦；（2）34. 【分析】（1）根据图象上相邻两条对称轴的距离为2π可知周期为π，可确定2ω=，然后将点,12a π⎛⎫⎪⎝⎭代入求解出ϕ的值，利用整体法求解原函数的单调区间即可. （2）由（1）中的结果可知()f x 在,122ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的单调性，确定出()f x 在,122ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上，得到关于a 的方程求解即可. 【详解】（1）由函数()f x 图象的相邻两条对称轴间的距离为2π，得函数()f x 的最小正周期T π=， ∴22πωπ==.又函数()f x 的图象过点,12a π⎛⎫⎪⎝⎭，∴21212f a a ππϕ⎛⎫⎛⎫=⨯++=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴sin 2012πϕ⎛⎫⨯+= ⎪⎝⎭，6k πϕπ+=.∵||2ϕπ<，∴6πϕ=-，则()26f x x a π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭.令222262k x k πππππ-≤-≤+，解得63x k πππ-≤≤+，()k ∈Z ，3222262k x k πππππ+≤-≤+，解得536k x k ππππ+≤≤+，()k ∈Z ∴函数()f x 的单调递增区间为,()63k k k ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦Z ，单调递减区间为5,(k )36k k ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦Z . （2）由（1）知，函数()f x 在,123ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，在,32ππ⎛⎤⎥⎝⎦上单调递减，又3122f a π⎛⎫-=-+ ⎪⎝⎭，3f a π⎛⎫= ⎪⎝⎭，2f a π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，∴()f x 在区间,122ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值与最小值之和为32a a -++=∴34a =. 【点睛】本题考查三角函数图象性质的综合应用，解答时只要方法如下：（1）求解三角函数单调区间时一般采用整体代换法，将自变量部分的代数式当做一个整体，利用正弦函数、余弦函数的单调性列出不等式求解即可；（2）求解三角函数在某固定区间上的最值或值域时，关键是分析清楚原函数在所给区间上的单调性，利用单调性确定取得最大值或最小值的点，确定最值；也可以采用换元法，将函数()sin y A ωx φ=+的最值转化为求sin y A t =的最值问题，只需根据格据正弦函数的图像性质确定即可.24．（Ⅰ；（Ⅱ）最小正周期为π．3ππππ88k k ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，.k Z ∈.【分析】（Ⅰ）根据1sin 3α=以及α的范围，得到cos α，代入到()f α中，得到答案；（Ⅱ）对()f x 进行整理化简，得到()π24f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，根据正弦型函数的图像和性质，求出其周期和单调减区间. 【详解】（Ⅰ）解：因为π02α<<.且1sin 3α=.所以cos 3α==．故()()1cos sin cos 2f αααα=+-=（Ⅱ）解：因为 ()21sin cos cos 2f x x x x =+-11cos 21sin 2222x x +=+-11πsin 2cos 22224x x x ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭. 所以函数()f x 的最小正周期为π．设π24t x =+.由y t =的单调递增区间是ππ2π 2π22k k ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，.k Z ∈. 令πππ2π22π242k x k -++≤≤.解得3ππππ88k x k -+≤≤.k Z ∈．故函数()f x 的单调递增区间为3ππππ88k k ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，.k Z ∈．【点睛】本题考查同角三角函数关系，利用二倍角公式、降幂公式、辅助角公式对三角函数进行化简，求正弦型函数的周期和单调区间，属于基础题.25．（1）12；（2）【分析】（1）利用诱导公式以及二倍角公式可得1sin 232πα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，再由sin 2sin 233ππαα⎡⎤⎛⎫=+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，利用两角差的正弦公式即可求解.（2）根据切化弦以及二倍角公式即可求解. 【详解】解：（1）cos cos cos sin 6366ππππαααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-=++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 11sin 2234πα⎛⎫=+=- ⎪⎝⎭，即1sin 232πα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，因为,32ππα，所以42,33ππαπ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，所以cos 23πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，所以sin 2sin 233ππαα⎡⎤⎛⎫=+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦sin 2cos cos 2sin 3333ππππαα⎛⎫⎛⎫=+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭11122222⎛=-⨯--⨯= ⎝⎭．（2）因为,32ππα，所以22,3παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，又由（1）知1sin 22α=，所以cos 2α=．所以221sin cos sin cos tan tan cos sin sin cos αααααααααα--=-=2cos 2221sin 22αα--==-⨯= 26．（1）T π=，,,63k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦；（2）()()max min 2,1f x f x ==-. 【分析】（1）先利用二倍角公式和辅助角公式化简()f x ，然后根据周期计算公式求解出T ，再采用整体替换法求解出单调递增区间；（2）采用整体替换的方法先分析出26x π-的取值范围，然后再结合正弦函数的单调性，求解出()f x 的最值.【详解】（1）因为())22cos cos 1212cos 2cos 2f x x x x x x x x =-+=+-=-，所以()2sin 26f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭，所以最小正周期22T ππ==，令222,262k x k k Z πππππ-≤-≤+∈，所以,63k x k k Z ππππ-≤≤+∈，所以单调递增区间为：,,63k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦；（2）因为0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以52,666x πππ⎛⎫⎡⎤-∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，又因为sin y x =在,62ππ⎡⎫-⎪⎢⎣⎭上单调递增，在5,26ππ⎛⎤ ⎥⎝⎦上单调递减，所以()max 2sin 22f x π==，此时3x π=，又()min 2sin 16f x π⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，此时0x =，综上可知：()()max min 2,1f x f x ==-.【点睛】思路点睛：求解形如()sin y A ωx φ=+在指定区间上的值域或最值的一般步骤如下：（1）先确定t x ωϕ=+这个整体的范围；（2）分析sin y A t =在（1）中范围下的取值情况；（3）根据取值情况确定出值域或最值，并分析对应的x 的取值.。

上海民办风范中学必修第一册第五单元《三角函数》检测卷(有答案解析)

一、选择题1．在ABC 中，已知sin 2sin()cos C B C B =+，那么ABC 一定是（）A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等边三角形D ．形状无法确定2．已知函数()()2sin ,0,2f x x x x π=∈⎛⎫⎡⎤ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭，则()f x 的单调递增区间是（） A ．06,π⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦πC ．0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦3．7sin 6π⎛⎫-= ⎪⎝⎭（）A ．BC ．12-D ．124．cos75cos15sin75sin15︒⋅︒+︒⋅︒的值是（）A ．0B ．12C D ．15．已知函数()22sin cos cos f x x x x x =+-，x ∈R ，则（） A ．()f x 的最大值为1 B ．()f x 的图象关于直线3x π=对称C ．()f x 的最小正周期为2π D ．()f x 在区间()0,π上只有1个零点6．如果角α的终边过点2sin 30,2cos3()0P -，则sin α的值等于（）A ．12B ．12-C ．D ．7．已知函数()sin (0)6f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭在区间2,43ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，则ω的取值范围为（） A ．80,3⎛⎤ ⎥⎝⎦B ．10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．18,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．3,28⎡⎤⎢⎥⎣⎦8．要得到函数224y x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭的图象只需将函数22y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象（）A ．先向右平移8π个单位长度，再向下平移2个单位长度 B ．先向左平移8π个单位长度，再向上平移2个单位长度C ．先向右平移4π个单位长度，再向下平移2个单位长度 D ．先向左平移4π个单位长度，再向上平移2个单位长度 9．若2cos 23sin 2cos()4θθπθ=-，则sin 2θ=（）A ．13B ．23C ．23-D ．13-10．若角α，β均为锐角，25sin 5α=，()4cos 5αβ+=-，则cos β=（）A ．25B ．2525 C ．25或2525D ．25-11．已知tan 2α=，则sin sin 44ππαα⎛⎫⎛⎫-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（） A ．310-B ．310 C ．35D ．3512．已知2cos 432θπ⎛⎫= ⎪⎝⎭-，则sin θ=（） A ．79 B ．19C ．－19D ．－79二、填空题13．在ABC 中，tan 1A =，tan 2B =，则tan C =______.14．设ABC 的内角,,A B C 所对的边分别为,,,a b c 若2sin cos sin A B C =，则ABC 的形状为________.15．已知2sin cos 0αα-=，则2sin 2sin cos ααα-=___________. 16．若3sin θ=，,2πθπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭则cos 6πθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭______. 17．如下图所示，某农场有一块扇形农田，其半径为100m ，圆心角为3π，现要按图中方法在农田中围出一个面积最大的内接矩形用于种植，则围出的矩形农田的面积为___________2m .18．已知1cos cos 2αβ+=，1sin sin 3αβ+=，则()cos αβ-=________.19．在①a =2，②S =2ccos B ，③C =3π这三个条件中任选-一个，补充在下面问题中，并对其进行求解.问题:在ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，面积为S ，3b cos A =a cos C +c cos A ，b =1，____________，求c 的值.注:如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.20．已知α为第二象限角，且22sin α=，求sin()63sin 2cos 21πααα+++___________. 三、解答题21．已知函数()π3sin 22sin cos 6f x x x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭. （1）求()f x 的单调增区间. （2）当ππ,44x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，求()f x 的值域. 22．已知m =(b sin x ，a cos x )，n =(cos x ，﹣cos x )，()f x m n a =⋅+，其中a ，b ，x ∈R .且满足()26f π=，(0)23f '=.（1）求a 和b 的值；（2）若关于x 的方程3()log 0f x k +=在区间[0，23π]上总有实数解，求实数k 的取值范围.23．已知函数()()1cos sin cos 2f x x x x =+-．（Ⅰ）若0,2πα<<且1sin 3α=.求()f α；（Ⅱ）求函数()f x 的最小正周期及单调递增区间.24．（1）在面积为16的扇形中，半径多少时扇形的周长最小；（2）求(10)x x -的最大值.25．如图，有一生态农庄的平面图是一个半圆形，其中直径长为2km ，C ､D 两点在半圆弧上满足AD BC =，设COB θ∠=，现要在此农庄铺设一条观光通道，观光通道由,,AB BC CD 和DA 组成.（1）若6πθ=，求观光通道l 的长度；（2）用θ表示观光通道的长l ，并求观光通道l 的最大值； 26．已知函数3()sin(2)4f x x π=- （1）求()8f π的值；（2）求该函数的单调递增区间；（3）用“五点法”作出该函数一个周期的图像.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．A 解析：A 【分析】先用诱导公式变形，然后再由两角和的正弦公式展开，再由两角差的正弦公式化简后可得．【详解】∵在ABC 中，已知sin 2sin()cos C B C B =+，∴sin sin()2sin cos C A B A B =+=，∴sin cos cos sin 2sin cos A B A B A B +=，in 0()s A B -=，又,(0,)A B π∈，∴0A B -=，A B =，三角形为等腰三角形．故选：A ．2．A解析：A 【分析】根据三角恒等变换公式化简()f x ，结合x 的范围，可得选项. 【详解】因为()()2sin ,0,2f x x x x π=+∈⎛⎫⎡⎤ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭，所以 ()()222sin sin cos +3cos f x x xx x x x +==222cos +12cos 2+22sin 2+26x x x x x π⎛⎫=+=+=+ ⎪⎝⎭，因为0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以72+,666x πππ∈⎡⎤⎢⎥⎣⎦，所以由2+662x πππ≤≤，解得06x π≤≤，所以()f x 的单调递增区间是06,π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，故选：A.3．D解析：D 【分析】直接利用诱导公式求解. 【详解】771sin sin sin sin 66662πππππ⎛⎫⎛⎫-=-=-+== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故选：D4．B解析：B 【分析】由两角和的余弦公式化简计算．【详解】原式＝1cos(7515)cos 602︒-︒=︒=．故选：B ．5．B解析：B 【分析】利用二倍角公式和辅助角公式化简()f x ，再利用三角函数的性质求解即可. 【详解】()22sin cos cos f x x x x x =+-2cos 2x x =-2sin 26x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭故最大值为2，A 错22sin 2sin 23362f ππππ⎛⎫⎛⎫=-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故关于3x π=对称，B 对最小正周期为22ππ=，C 错 ()26x k k Z ππ-=∈解得()122k x k Z ππ=+∈，12x π=和712x π=都是零点，故D 错.故选：B 【点睛】对于三角函数，求最小正周期和最值时可先把所给三角函数式化为y ＝Asin (ωx ＋φ)或y ＝Acos (ω x ＋φ)的形式，则最小正周期为2T πω=，最大值为A ，最小值为A -；奇偶性的判断关键是解析式是否为y ＝Asin ωx 或y ＝Acos ωx 的形式．6．C解析：C 【分析】先计算三角函数值得(1,P，再根据三角函数的定义sin ,yr rα==可. 【详解】解：由题意得(1,P ，它与原点的距离2r ==，所以sin y r α===. 故选：C.7．B解析：B 【分析】由正弦函数的性质可得121(2)(2),33k x k k Z ππππωω-≤≤+∈，结合已知单调区间列不等式组求ω解集即可. 【详解】由函数解析式知：()f x 在()2,222k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦上单调递增，∴121(2)(2),33k x k k Z ππππωω-≤≤+∈，()f x 单调递增，又∵()f x 在区间2,43ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增， ∴12(2)3412(2)33k k πππωπππω⎧-≤-⎪⎪⎨⎪+≥⎪⎩，解得8831320k k k Z ωωω⎧≤-⎪⎪⎪≤+⎨⎪>⎪⎪∈⎩，所以当0k =时，有102ω<≤，故选：B 【点睛】关键点点睛：利用整体代入法得到121(2)(2),33k x k k Z ππππωω-≤≤+∈，结合已知单调区间与所得区间的关系求参数范围.8．B解析：B 【分析】根据三角函数图像平移规则，进行平移即可【详解】解：由函数222248y x x ππ⎛⎫⎛⎫=++=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，222y x x π⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，所以先向左平移8π个单位长度，得2())84y x x ππ=+=+的图像，再向上平移2个单位长度，得224y x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭的图像，故选：B9．B解析：B 【分析】由二倍角公式和差的余弦公式化简得出()2cos sin 2θθθ-=，再平方即可求出. 【详解】)22cos sin cos()coscos sinsin 444θθππθθθ-=-+()cos sin cos sin 2cos sin 2θθθθθθ+-==-，()2cos sin 2θθθ∴-=，两边平方得()241sin 23sin 2θθ-=，解得sin 22θ=-（舍去）或2sin 23θ=. 故选：B. 【点睛】关键点睛：本题考查三角恒等变换的化简问题，解题的关键是能正确利用二倍角公式和差的余弦公式将已知等式化简为()2cos sin 2θθθ-=，再平方求解.10．B解析：B 【分析】由平方关系求得cos α，sin()αβ+，然后由两角差的余弦公式计算．【详解】α，β均为锐角，sin α=()4cos 5αβ+=-，cos α∴==，()3sin 5αβ+==，cos cos[()]βαβα∴=+-cos()cos sin()sin αβααβα=+++435555=-⨯+⨯=．故选：B ．11．B解析：B 【分析】利用两角和与差的正弦公式、同角三角函数的基本关系式化简所求表达式，由此求得所求表达式的值. 【详解】sin sin sin cos cos sin sin cos cos sin 444444ππππππαααααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+=-⋅+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭()22222211sin cos sin cos 22sin cos αααααα-=-=⨯+ 221tan 114132tan 124110αα--=⨯=⨯=++. 故选：B12．C解析：C 【分析】根据题中条件，由诱导公式，以及二倍角公式，即可求出结果. 【详解】因为2cos 432θπ⎛⎫=⎪⎝⎭-，所以241sin cos 2cos 12124299ππθθθ⎛⎫⎛⎫=-=--=⨯-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 故选：C二、填空题13．3【分析】由已知和正切和角公式求得再利用三角形的内角和公式和诱导公式可得答案【详解】中有所以所以故答案为：3解析：3 【分析】由已知和正切和角公式求得()tan +A B ，再利用三角形的内角和公式和诱导公式可得答案．【详解】ABC 中，有++A B C π=，所以()()tan tan +tan +C A B A B π⎡⎤=-=-⎣⎦，()tan +tan 1+2tan +31tan tan 112A B A B A B ===---⨯，所以tan 3C =，故答案为：3. 14．等腰三角形【分析】由整理可得角的关系即可【详解】由的内角知所以又所以为等腰三角形故答案为:等腰三角形【点睛】此题考查两角和与差的正弦公式的正向和逆向使用属于基础题解析：等腰三角形【分析】由()sin sin sin cos cos sin C A B A B A B π=-+=+⎡⎤⎣⎦，整理可得角的关系即可. 【详解】由ABC 的内角,,A B C 知，()C A B π=-+，所以 ()sin sin sin cos cos sin 2sin cos C A B A B A B A B π=-+=+=⎡⎤⎣⎦，sin cos cos sin 0A B A B -=，()sin 0A B -=，又()()()0,π,0,π,π,πA B A B ∈∈-∈-所以A B =，ABC 为等腰三角形. 故答案为:等腰三角形. 【点睛】此题考查两角和与差的正弦公式的正向和逆向使用，属于基础题.15．【分析】根据可得的值而再将分子分母同除以化成关于的分式即可解【详解】由得则有；故答案为：【点睛】方法点睛：考查同角三角函数的基本关系式：解析：35【分析】根据2sin cos 0αα-=，可得tan α的值，而2222sin 2sin cos sin 2sin cos 1sin cos αααααααα--=+，再将222sin 2sin cos sin cos ααααα-+分子分母同除以2cos α化成关于tan α的分式即可解. 【详解】由2sin cos 0αα-=，得1tan 2α=，则有222222sin 2sin cos sin 2sin cos tan 2tan 1sin cos tan 1ααααααααααα---==++ 221123225112⎛⎫-⨯ ⎪⎝⎭==-⎛⎫+ ⎪⎝⎭；故答案为：35. 【点睛】方法点睛：考查同角三角函数的基本关系式：22sin cos 1θθ+=，sin tan cos θθθ=，tan cot 1θθ⋅=. 16．0【分析】先求出再利用差角的余弦公式求解【详解】因为所以所以故答案为：0解析：0 【分析】先求出1cos 2θ=-，再利用差角的余弦公式求解. 【详解】因为sin θ=,2πθπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以1cos 2θ=-，所以11cos 062222πθ⎛⎫-=-⨯+= ⎪⎝⎭. 故答案为：017．【分析】设利用直角三角形的边角关系和正弦定理分别求出矩形各边的边长表示出矩形的面积为借助于三角函数辅助角公式求出最大值即可【详解】解：如图：做的角平分线交于设则在中由正弦定理可知：则所以矩形农田的面解析：(100002【分析】设EOA θ∠=，利用直角三角形的边角关系和正弦定理分别求出矩形各边的边长，表示出矩形的面积为()2sin 302sin S R R θθ=-⋅，借助于三角函数辅助角公式求出最大值即可. 【详解】解：如图：做AOB ∠的角平分线交BE 于D ，设EOA θ∠=，则()22sin 30DE R θ=-，150OFE ∠=，在OFE △中，由正弦定理可知：sin sin150EF Rθ= ，则2sin EF R θ= 所以矩形农田的面积为：()22sin 302sin 4sin sin(30)S R R R θθθθ=-⋅=- 22132sin 2cos 2322R R θθ⎛⎫=+- ⎪ ⎪⎝⎭()222sin 2603R R θ=+-当()sin 2601θ+=时，即15θ=时，S 有最大值为()223R-又100R =，所以面积的最大值为()1000023-. 故答案为：()1000023-.【点睛】本题考查在扇形中求矩形面积的最值，属于中档题. 思路点睛：（1）在扇形中求矩形的面积，关键是设出合适的变量，一般情况下是以角度为变量；（2）合理的把长和宽放在三角形中，利用角度表示矩形的长和宽；（3）对三角函数合理变形，从而求出面积.18．【分析】将和两边同时平方然后两式相加再由两角差的余弦公式即可求解【详解】由两边同时平方可得由两边同时平方可得两式相加可得即所以故答案为：【点睛】本题主要考查同角三角函数基本关系以及两角差余弦公式解题解析：5972-【分析】将1cos cos 2αβ+=和1sin sin 3αβ+=两边同时平方，然后两式相加，再由两角差的余弦公式即可求解. 【详解】由1cos cos 2αβ+=两边同时平方可得221cos cos 2cos cos 4αβαβ++=，由1sin sin 3αβ+=两边同时平方可得221sin sin 2sin sin 9αβαβ++=，两式相加可得22221113cos cos 2cos cos +sin sin 2sin sin 946=3+αβαβαβαβ++++=即cos cos sin si 5972n αβαβ+=-，所以()cos cos cos sin s 9n 7i 52αβαβαβ-=+=-. 故答案为：5972- 【点睛】本题主要考查同角三角函数基本关系以及两角差余弦公式，解题的关键是熟练掌握公式()cos cos cos sin sin αβαβαβ-=+，,22cos sin 1αα+=并应用，属于中档题. 19．答案见解析【分析】利用正弦定理进行边化角得到然后利用余弦定理以及正弦函数的两角和与差公式进行选择①②或③进行求解即可【详解】在中因为所以根据正弦定理得所以因为所以选择①由余弦定理得解得选择②所以所以解析：答案见解析. 【分析】利用正弦定理进行边化角，得到cos 3A =，然后利用余弦定理以及正弦函数的两角和与差公式进行选择①，②或③，进行求解即可【详解】在ABC cos cos cos A a C c A =+，cos sin cos sin cos B A A C C A =+cos sin B A B =，因为sin 0B ≠，所以cos A =选择①，由余弦定理2222cos a b c bc A =+-得210c -=，解得c =选择②，1cos sin 22c S B bc A ==，所以cos sin cos()2B A A π==-所以2B A π=-，即2C π=，解得c =选择③，3C π=，因为sin sin()sin cos cos sin 333B A A A πππ=+=+所以由sin sin c b C B=得sin 4sin b Cc B == 【点睛】关键点睛：解题关键在于由正弦定理进行边化角，得到cos 3A =，然后利用三角函数的相关公式进行求解，难度属于中档题20．【分析】由条件依次算出然后代入即可算出答案【详解】因为为第二象限角且所以所以所以故答案为：解析：34-【分析】由条件依次算出cos α、sin 2α、cos2α，然后代入即可算出答案. 【详解】因为α为第二象限角，且sin 3α=，所以1cos 3α=-所以1sin 22sin cos 2339ααα⎛⎫==⨯-=-⎪⎝⎭，27cos 22cos 19αα=-=-111sin()34πα+-⨯-===- 故答案为：34-三、解答题21．（1）π5ππ,π1212k k ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦()k ∈Z ；（2）11,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.【分析】（1）由恒等变换得()πsin 23f x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭，进而根据πππ2π22π232k x k -+≤-≤+解得()f x 的增区间为π5ππ,π1212k k ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦()k ∈Z ；（2）由ππ,44x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦得5πππ2636x -≤-≤，进而得π11sin 232x ⎛⎫-≤-≤ ⎪⎝⎭，即()f x 的值域为11,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.【详解】解：（1）()11π2cos 2sin 2sin 2cos 2sin 222223f x x x x x x x ⎫⎛⎫=--=-=-⎪ ⎪⎪⎝⎭⎭，∵πππ2π22π232k x k -+≤-≤+，()k ∈Z ， ∴π5πππ1212k x k -+≤≤+，()k ∈Z ， ∴()f x 的增区间为π5ππ,π1212k k ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦()k ∈Z .（2）∵ππ44x -≤≤， ∴5πππ2636x -≤-≤， ∴π11sin 232x ⎛⎫-≤-≤ ⎪⎝⎭， ∴()f x 的值域为11,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.【点睛】本题解题的关键是根据三角恒等变换得()πsin 23f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，进而根据整体换元的思想求函数的单调区间与值域，考查运算求解能力，是中档题.22．（1）2a =，b =2）1[,1]27. 【分析】（1）化简函数()sin 2cos 2222b a a f x x x =-+，由()26f π=，解得8a =，再由(0)f '=，进而求得,a b 的值；（2）由（1）化简得()2sin(2)16f x x π=-+，根据2[0,]3x π∈，得到0()3f x ≤≤，结合方程3()log 0f x k +=在区间2[0,]3π上总有实数解，转化为3()log f x k =-在区间2[0,]3π上成立，列出不等式，即可求解. 【详解】（1）由题意，函数2()sin cos cos f x m n a b x x a x a =⋅+=-+1cos 2sin 222b x x a a +=-+sin 2cos 2222b a a x x =-+，由()26f π=得，8a =，因为()cos 2sin 2f x b x a x '=+，又(0)f '=，所以b =2a =.（2）由（1）得()2cos 212sin(2)16f x x x x π=-+=-+，因为2[0,]3x π∈，所以72[,]666x πππ-∈-，所以1sin(2)126x π-≤-≤，所以02sin(2)136x π≤-+≤，即0()3f x ≤≤，又因为方程3()log 0f x k +=在区间2[0,]3π上总有实数解，所以3()log f x k =-在区间2[0,]3π上成立，所以30log 3k ≤-≤，33log 0k -≤≤，3333log 3log log 1k -≤≤所以1127k ≤≤，所以实数k 的取值范围为1[,1]27. 【点睛】利用函数的图象求解方程的根的个数或研究不等式问题的策略：利用函数的图象研究方程的根的个数：当方程与基本性质有关时，可以通过函数图象来研究方程的根，方程()0f x =的根就是函数()f x 与x 轴的交点的横坐标，方程()()f x g x =的根据就是函数()f x 和()g x 图象的交点的横坐标；利用函数研究不等式：当不等式问题不能用代数法求解但其与函数有关时，常将不等式问题转化为两函数图象的上、下关系问题，从而利用数形结合求解.23．（Ⅰ；（Ⅱ）最小正周期为π．3ππππ88k k ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，.k Z ∈.【分析】（Ⅰ）根据1sin 3α=以及α的范围，得到cos α，代入到()f α中，得到答案；（Ⅱ）对()f x 进行整理化简，得到()π224f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，根据正弦型函数的图像和性质，求出其周期和单调减区间. 【详解】（Ⅰ）解：因为π02α<<.且1sin 3α=.所以cos α==故()()1cos sin cos 2f αααα=+-=（Ⅱ）解：因为 ()21sin cos cos 2f x x x x =+-11cos 21sin 2222x x +=+-11πsin 2cos 22224x x x ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭. 所以函数()f x 的最小正周期为π．设π24t x =+.由y t =的单调递增区间是ππ2π 2π22k k ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，.k Z ∈. 令πππ2π22π242k x k -++≤≤.解得3ππππ88k x k -+≤≤.k Z ∈．故函数()f x 的单调递增区间为3ππππ88k k ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，.k Z ∈．【点睛】本题考查同角三角函数关系，利用二倍角公式、降幂公式、辅助角公式对三角函数进行化简，求正弦型函数的周期和单调区间，属于基础题. 24．（1）4，16；（2）5. 【分析】（1）设扇形的半径为r ，弧长为l ，根据面积为16，可得32l r=，列出周长表达式，利用基本不等式即可求得答案；（2）利用基本不等式，即可求得所求乘积的最大值. 【详解】（1）设扇形的半径为r ，弧长为l ，所以面积1162S l r =⋅=，即32l r=，且08r <<，则周长322216c l r r r =+=+≥=，当且仅当322r r =即4r =时等号成立，所以当半径4r =时，周长有最小值16. （2）由题意得(10)0x x -≥，解得010x ≤≤，1052x x+-≤=，当且仅当(10)x x =-，即5x =时等号成立，5.25．（1）观光通道长(2km ；（2）当3πθ=时，观光通道长l 的最大值为5km . 【分析】（1）由6πθ=，得6OCD ODC π∠=∠=，然后在OCD ，OCB ，OAD △利用余弦定理求出,,CD BC AD 的长，从而可得结果；（2）作OE BC ⊥，垂足为E ，在直角三角形OBE 中，sin sin22BE OB θθ==，则有2sin2BC AD θ==，同理作OF CD ⊥，垂足为F ，cos cos CF OC θθ==，即：2cos CD θ=，从而24sin2cos 2l θθ=++，然后利用三角函数的性质可得结果【详解】（1）因为6πθ=，所以6OCD ODC π∠=∠=在OCD 中，利用余弦定理可得，2211211cos33CD π=+-⨯⨯⨯=，所以3CD =，同理6223BC AD -==-=所以观光通道长2362l km =++-（2）作OE BC ⊥，垂足为E ，在直角三角形OBE 中，sin sin22BE OB θθ==，则有2sin2BC AD θ==，同理作OF CD ⊥，垂足为F ，cos cos CF OC θθ==，即：2cos CD θ=，从而有：22124sin 2cos 4sin 4sin 44sin 522222l θθθθθ⎛⎫=++=-++=--+ ⎪⎝⎭因为02πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，所以当3πθ=时，l 取最大值5，即观光通道长l 的最大值为5km .【点睛】关键点点睛：此题考查余弦定理的应用，解题的关键是把,,CD BC AD 用含θ的式子表示，然后利用三角恒等变换公式转化为同角的三角函数求解，解题时要注意θ的取值范围 26．（1）()18f π=-；（2）5,88k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦；（3）作图见解析. 【分析】（1）直接代入求值；（2）解不等式3222242k x k πππππ-≤-≤+得单调增区间；（3）先列表描点再画图即可【详解】解：（1）()sin()182f ππ=-=-（2）当3222242k x k πππππ-≤-≤+时，()f x 单调递增解得：5,88k x k k Z ππππ+≤≤+∈ 故()f x 的单调递增区间为：5,88k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦（3）先列表x8π38π 58π 78π π324x π--34π -2π 02π π54π ()f x22- -1 0 122-。

上海上海中学必修第一册第五单元《三角函数》检测卷(包含答案解析)

一、选择题1．将函数sin 4y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图像上所有点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），再将所得的图像向左平移π6个单位，则所得图像对应的解析式为（） A ．sin 212y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭B ．sin 212y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭C ．sin 26x y π⎛⎫=-⎪⎝⎭ D ．sin 212x y π⎛⎫=-⎪⎝⎭ 2．已知5π2sin 63α⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则πcos 23α⎛⎫-= ⎪⎝⎭（）A ．5-B ．19-C ．5 D ．193．函数()2sin(2)33f x x π=-+的最小正周期为（）A ．2π B ．πC ．2πD ．4π4．如图，为测塔高，在塔底所在的水平面内取一点C ，测得塔顶的仰角为θ，由C 向塔前进30米后到点D ，测得塔顶的仰角为2θ，再由D 向塔前进103米后到点E ，测得塔顶的仰角为4θ，则塔高为（）米．A ．10B ．2C ．15D ．1525．已知3sin 5α=-，则cos2=α（） A ．15-B ．15C ．725-D ．7256．在ABC 中，已知sin 2sin()cos C B C B =+，那么ABC 一定是（）A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等边三角形D ．形状无法确定7．函数()[sin()cos()]f x A x x ωθωθ=+++部分图象如图所示，当[,2]x ππ∈-时()f x 最小值为（）A ．1-B ．2-C ．2-D ．3-8．计算cos21cos9sin 21sin9︒︒-︒︒的结果是（）.A ．3B ．12-C ．32D ．129．下面函数中最小正周期为π的是（）．A ．cos y x =B ．π23y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭C ．tan2xy = D ．22cos sin 2y x x =+10．已知1cos 2α=，322παπ<<，则sin(2)πα-=（） A ．3 B ．12C ．12-D 311326tan 34tan 26tan 34++=（） A 3 B ．3C 3D ．312．已知1sin()43πα-=，则cos()4πα+=（） A ．13-B ．13 C ．223-D ．23二、填空题13．已知函数7()4sin 2066f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=+≤≤ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，若函数()()F x f x a =-恰有3个零点，分别为()123123,,x x x x x x <<，则1232x x x ++的值为________. 14．角θ的终边经过点(1,3)P -，则sin 6πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭____________. 15．已知()tan 3πα+=，则2tan 2sin αα-的值为_______. 16．若1cos()2αβ-=，3cos()5αβ+=-，则tan tan αβ=__________.17．已知定义在R 上的偶函数()f x 的最小正周期为π，且当[0,]2x π∈时，()sin f x x =，则5()3f π=_______.18．已知函数()sin (0)5f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭在[0,2]π有且仅有5个零点．下述四个结论：①()f x 在(0,2)π上有且仅有3个极大值点；②()f x 在(0,2)π上有且仅有2个极小值点：③()f x 在(0,2)π上单调递增；④ω的取值范围是1229,510⎡⎫⎪⎢⎣⎭．其中结论正确的是______．（填写所有正确结论的序号）．19．已知ABC ∆不是直角三角形，45C =︒，则(1tan )(1tan )A B --=__. 20．若3sin 45πα⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，则sin2α=_____；三、解答题21．如图，在ABC 中，CD AB ⊥于D ，且3BD AD =.（1）若2BCD ACD ∠=∠，求角A 的大小；（2）若1cos 3A =，求tan C 的值. 22．（1）求值：4cos130tan140︒︒-；（2）已知3177cos ,45124x x πππ⎛⎫+=<< ⎪⎝⎭，求2sin 22sin 1tan x x x+-的值.23．已知 3sin 5α=，12cos 13，,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，3,2πβπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭求sin()αβ+，cos()αβ-，tan2α的值.24．已知()()()()1122,,,A x f x B x f x 是函数()()2sin f x x ωϕ=+0,02πωϕ⎛⎫>-<< ⎪⎝⎭图象上的任意两点，且角ϕ的终边经过点(1,3P ，当()()124f x f x -=时，12x x -的最小值为3π．（1）求函数()f x 的解析式; （2）当0,6x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，不等式()()2mf x m f x +≥恒成立，求实数m 的取值范围．25．在①函数()f x 的图象关于点,6b π⎛⎫- ⎪⎝⎭对称； ②函数()f x 在,44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最小值为12；③函数()f x 的图象关于直线12x π=对称.这三个条件中任选两个补充在下面的问题中，再解答这个问题.已知函数()()n 22si f x x b ϕϕπ=⎛⎫ ⎪⎝+<⎭+，若满足条件与.（1）求函数()f x 的解析式；（2）若将函数()y f x =的图象上点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变，再将所得图象向右平移8π个单位，得到函数()y g x =的图象，求函数()g x 的单调递减区间. 26．已知函数()()1cos sin cos 2f x x x x =+-．（Ⅰ）若0,2πα<<且1sin 3α=.求()f α；（Ⅱ）求函数()f x 的最小正周期及单调递增区间.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【分析】根据正弦型函数的图像的变换规律进行求解即可. 【详解】将函数sin 4y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图像上所有点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），所得到的函数的解析式为：sin 24x y π⎛⎫=-⎪⎝⎭，将sin 24x y π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图像向左平移π6个单位，得到的函数的解析式为：1sin[]264y x ππ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，化简得：sin 26x y π⎛⎫=- ⎪⎝⎭. 故选：C2．D解析：D 【分析】先用诱导公式化为5cos 2cos 233ππαα⎛⎫⎛⎫-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，再用二倍角公式计算．【详解】225521cos 2cos 212sin 1233639a a πππα⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+=-+--⨯= ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭.故选：D 3．B解析：B 【分析】利用函数()sin y A ωx φ=+的周期公式2T ωπ=即可求解.【详解】22T ππ==，故函数()2sin(2)33f x x π=-+的最小正周期为π，故选：B4．C解析：C 【分析】由,2,4PCA PDA PEA θθθ∠=∠=∠=，得PDE △是等腰三角形，且可求得230θ=︒，在直角PEA 中易得塔高PA ．【详解】由题知,2CPD PCD DPE PDE θθ∠=∠=∠=∠=∴30PE DE PD CD ==== ∴等腰EPD △的230θ︒=，∴460θ︒= ∴Rt PAE 中，AE =15PA =．故选：C ．5．D解析：D 【分析】由题中条件，根据二倍角的余弦公式，可直接得出结果. 【详解】因为3sin 5α=-，所以297cos 212sin 122525αα=-=-⨯=. 故选：D.6．A解析：A 【分析】先用诱导公式变形，然后再由两角和的正弦公式展开，再由两角差的正弦公式化简后可得．【详解】∵在ABC 中，已知sin 2sin()cos C B C B =+，∴sin sin()2sin cos C A B A B =+=，∴sin cos cos sin 2sin cos A B A B A B +=，in 0()s A B -=，又,(0,)A B π∈，∴0A B -=，A B =，三角形为等腰三角形．故选：A ．7．D解析：D 【分析】首先结合图像求得()f x 的解析式，然后根据三角函数最值的求法，求得()f x 在区间[],2ππ-上的最小值.【详解】由已知()()sin 04f x x πωθω⎛⎫=⋅++> ⎪⎝⎭，由图象可知取A =，52433T πππ=-=，故最小正周期4T π=，所以212T πω==，所以()12sin 24f x x πθ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，由55152sin 2sin 0332464f πππππθθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯++=++=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，及图象单调性知，取564ππθπ++=，则46ππθ+=所以()12sin 26x f x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，[],2x ππ∈-，17,2636x πππ⎡⎤+∈-⎢⎥⎣⎦， ()f x 最小值为()2sin 3f ππ⎛⎫-=-= ⎪⎝⎭故选：D8．C解析：C 【分析】直接化简求值即可. 【详解】解： cos21cos9sin 21sin9︒︒-︒︒()cos 219=︒+︒cos30=︒3=. 故选：C.9．D解析：D 【分析】根据三角函数的周期公式结合图象对选项进行逐一判断，可得答案. 【详解】()cos cos x x -=，cos cos y x x ∴==，周期为2π，故A 不符合题意； π2sin 3y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的周期为2π，故B 不符合题意；画出函数tan2x y =的图象，易得函数tan 2xy =的周期为2π，故C 不符合题意； 2π2cos sin 2cos 21sin 22sin 214x x x x x ⎛⎫+=++=++ ⎪⎝⎭，周期为π，故D 符合题意．故选：D10．D解析：D 【分析】由已知利用同角三角函数基本关系式可求sin α的值，进而根据诱导公式即可求解．【详解】解：因为1cos 2α=，322παπ<<，所以23sin 1cos 2αα=-=-，所以sin(2)sin 2παα-=-=．故选：D ．11．C解析：C 【分析】利用两角和的正切公式，特殊角的三角函数值化简已知即可求解．【详解】26tan34tan 26tan34︒︒+︒+︒26tan 34tan(2634)(1tan 26tan 34)=︒︒+︒+︒-︒︒26tan 34tan 26tan 34)=︒︒+-︒︒26tan3426tan34=︒︒︒︒=故选：C ．12．A解析：A 【分析】运用α-、2πα-的诱导公式，计算即可得到.【详解】解：1sin()43πα-=，即为1sin()43πα-=-，即有1sin[()]243ππα-+=-，即1cos()43πα+=-. 故选：A.二、填空题13．【分析】令则通过正弦函数的对称轴方程求出函数的对称轴方程分别为和结合图像可知从而求得进而求得的值【详解】令则函数恰有3零点等价于的图像与直线恰有3个交点即与直线恰有3个交点设为如图函数的图像取得最值解析：53π 【分析】令26x t π+=，则5,62t ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，通过正弦函数的对称轴方程，求出函数的对称轴方程分别为2t π=和32t π=，结合图像可知12t t π+=，233t t π+=，从而求得123x x π+=，2343x x π+=，进而求得1232x x x ++的值．【详解】令26x t π+=，则5,62t ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦函数()()F x f x a =-恰有3零点，等价于()y f x =的图像与直线y a =恰有3个交点，即4sin y t =与直线y a =恰有3个交点，设为123,,t t t ，如图函数4sin y t =，5,62t ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦的图像取得最值有2个t 值，分别为2t π=和32t π=，由正弦函数图像的对称性可得1212222662t t x x ππππ+=+++=⨯=，即123x x π+=232332223662t t x x ππππ+=+++=⨯=，即2343x x π+=，故1231223452333x x x x x x x πππ++=+++=+= ，故答案为：53π．【点睛】方法点睛：已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法：（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.14．【分析】利用正弦函数定义求得再由正弦函数两角和的公式计算【详解】由题意所以故答案为：解析：12-【分析】利用正弦函数定义求得sin θ，再由正弦函数两角和的公式计算【详解】由题意sin 2θ=，1cos 2θ=，所以，1sin cos 62πθθθ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭311442=-+=-，故答案为：12-15．【分析】利用诱导公式求出再利用二倍角公式求出以及同角三角函数的基本关系求出即可得解；【详解】解：由题意所以所以所以故答案为：解析：3320-【分析】利用诱导公式求出tan α，再利用二倍角公式求出tan2α，以及同角三角函数的基本关系求出2sin α，即可得解；【详解】解：由题意()tan 3πα+=，所以tan 3α=，所以22tan 3tan 21tan 4ααα==--，222222sin tan 9sin sin cos tan 110αααααα===++，所以23933tan 2sin 41020αα-=--=-. 故答案为：3320-16．【分析】由已知利用两角和与差的余弦公式可求的值进而根据同角三角函数基本关系式即可求解【详解】解：因为所以因为所以所以则故答案为：解析：11-【分析】由已知利用两角和与差的余弦公式可求cos cos αβ，sin sin αβ的值，进而根据同角三角函数基本关系式即可求解．【详解】解：因为1cos()2αβ-=，所以1cos cos sin sin 2αβαβ+=，因为3cos()5αβ+=-，所以3cos cos sin sin 5αβαβ-=-，所以1131cos cos ()22520αβ=-=-，11311sin sin ()22520αβ=+=，则1120tan tan 11120αβ==--．故答案为：11-．17．【分析】由题周期性和偶函数的性质可得【详解】定义在R 上的偶函数的最小正周期为故答案为：解析：2【分析】由题周期性和偶函数的性质可得5()()()333f f f πππ=-=. 【详解】定义在R 上的偶函数()f x 的最小正周期为π，55()(2)()()sin 333332f f f f ππππππ∴=-=-===.18．①④【分析】作出函数的图象根据在有且仅有5个零点再逐项判断【详解】如图所示：由图象可知在上有且仅有3个极大值点故①正确;在上可能有3个极小值点故②错误；因为函数在有且仅有5个零点所以解得故④正确；因解析：①④【分析】作出函数的图象，根据()f x 在[0,2]π有且仅有5个零点，再逐项判断.【详解】如图所示：由图象可知()f x 在(0,2)π上有且仅有3个极大值点，故①正确;()f x 在(0,2)π上可能有3个极小值点，故②错误；因为函数()sin (0)5f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭在[0,2]π有且仅有5个零点，所以2429255πππωω≤<，解得1229510ω≤<，故④正确；因为()0,2x π∈，所以,2555x πππωπω⎛⎫+∈+ ⎪⎝⎭，若()f x 在(0,2)π上单调递增，则252πππω+<，解得320ω<，不符合1229510ω≤<，故③错误；故答案为：①④【点睛】关键点点睛：本题的关键是作出函数的图象，根据零点的个数确定ω的范围. 19．2【分析】由已知可得利用正切函数的和角公式即可求解【详解】因为所以则整理得所以故答案为：2解析：2.【分析】由已知可得135A B +=︒，利用正切函数的和角公式即可求解.【详解】因为45C =︒，所以135A B +=︒，则tan tan tan()11tan tan A B A B A B++==--，整理得tan tan tan tan 1A B A B +=-，所以(1tan )(1tan )tan tan 1(tan tan )A B A B A B --=+-+，tan tan 1(tan tan 1)A B A B =+--，2=，故答案为：2.20．【分析】逆用诱导公式结合二倍角公式得出答案【详解】故答案为：解析：725【分析】逆用诱导公式结合二倍角公式得出答案.【详解】27sin 2cos 2cos 212sin 24425πππαααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-=--= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ 故答案为：725三、解答题21．（1）π3A =；（2 【分析】（1）设ACD θ∠=，则2BCD θ∠=，从而可得tan 23tan θθ=，利用二倍角公式正切公式即可求解.（2）根据题意可得tan 3tan A B =，由同角三角函数的基本关系可得tan A =，即tan B ()tan tan C A B =-+，利用两角和的正切公式即可求解. 【详解】（1）设ACD θ∠=，则π0,2θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，2BCD θ∠=，因为tan AD CD θ=，tan 2BD CDθ=，又因为3BD AD =，所以tan 23tan θθ=，即22tan 3tan 1tan θθθ=-，所以tan θ=，因为π0,2θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以π6θ=，所以π3A =. （2）因为tan CD A AD=，tan CD B BD =，3BD AD =，所以tan 3tan A B =，又因为1cos 3A =，π(0,)2A ∈，所以sin =A ，所以tan A =，tan B ，又因为()tan tan C A B =-+，所以tan tan tan 1tan tan A B C A B +=-=-⋅． 22．（1）2）2875-. 【分析】（1）先利用诱导公式将4cos130tan140︒︒-，转化为4cos50tan 40︒︒-+，然后利用三角恒等变换求解.（2）由3177cos ,45124x x πππ⎛⎫+=<< ⎪⎝⎭，利用平方关系求得4sin 45x π⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，得到cos cos 44x x ππ⎡⎤⎛⎫=+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，然后由 2sin 22sin 2sin (cos sin )1tan 1tan x x x x x x x ++=--求解. 【详解】（1）4cos130tan140︒︒-，sin 404cos50tan 404cos50cos 40︒︒︒︒︒=-+=-+， 04cos50cos 40sin 404sin 40cos 40sin 40cos 40cos 40︒︒︒︒︒︒︒-+-+==， 02sin 80sin 402cos10sin 40cos 40cos 40︒︒︒︒︒-+-+==， ()2cos 4030sin 40cos 40︒︒︒︒--+=，=，== （2）1775,212434x x πππππ<<∴<+<， 4sin 45x π⎛⎫∴+=- ⎪⎝⎭， cos cos cos cos sin sin 444444x x x x ππππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=+-=+++⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦， 3455⎫=-=⎪⎝⎭，sin ,tan 710x x ∴==-=， 22sin 22sin 2sin cos 2sin 2sin (cos sin )1tan 1tan 1tan x x x x x x x x x x x +++∴==---，2281775⎛⨯ ⎝⎭⎝⎭==--. 23．1665-；3365；247- 【分析】由已知条件，利用同角三角函数基本关系结合角所在的象限求出cos α，sin β，以及tan α的值，再利用两角和的正弦公式，两角差的余弦公式，正切的二倍角公式即可求解.【详解】因为,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，3sin 5α=，所以4cos 5α===-，因为3,2πβπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，12cos 13，所以5sin 13β===-，所以3124516sin()sin cos cos sin 51351365αβαβαβ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+=⨯-+-⨯-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 4123533cos()cos cos sin sin 51351365αβαβαβ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+=-⨯-+⨯-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 因为sin 3tan cos 4ααα==-，所以22322tan 244tan 21tan 7314ααα⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭===--⎛⎫-- ⎪⎝⎭，综上所述：16sin()65αβ+=-，33cos()65αβ-=，24tan 27α=-. 24．（1）()2sin 33f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭；（2）13m ≥. 【分析】（1）由ϕ的终边上的点可求出ϕ，再由题可得23T π=，即可求出ω，得出解析式；（2）根据0,6x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦可得()1f x ≤≤，不等式化为()212m f x ≥-+，求出()212f x -+的最大值即可. 【详解】（1）角ϕ的终边经过点(1,P ，∴tan ϕ= 又02πϕ-<<，∴3πϕ=-. ∵当()()124f x f x -=时，12x x -的最小值为3π， ∴23T π=，即223ππω=，∴3ω=， ∴()2sin 33f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭. （2）当0,6x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，3,336x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，∴()1f x ≤≤，于是()20f x +>，于是()()2mf x m f x +≥即为()()()2122f x m f x f x ≥=-++，由()1f x ≤≤，得()212f x -+的最大值为13. ∴实数m 的取值范围是13m ≥. 【点睛】本题考查正弦型函数的性质，解题的关键是由当()()124f x f x -=时，12x x -的最小值为3π得出23T π=，以便求出解析式，第二问得出()1f x ≤≤，将不等式化为()212m f x ≥-+. 25．（1）答案见解析；（2）5,,26212k k k ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦Z . 【分析】（1）分别选①②，②③，①③三种情况，根据三角函数的性质，即可求出函数解析式；（2）由（1）的结果根据三角函数的伸缩变换与平移原则，求出()g x ，再根据正弦函数的单调性，即可求出单调递减区间.【详解】解：（1）选①② 因为,6b π⎛⎫- ⎪⎝⎭为()f x 的对称中心，所以2,,63k k k ππϕπϕπ⎛⎫⨯-+==+∈ ⎪⎝⎭Z 又2πϕ<，所以3πϕ=；因为44x ππ-≤≤，所以52636x πππ-≤+≤，所以1sin 2123x π⎛⎫-≤+≤ ⎪⎝⎭ 所以()min 1122f x b =-+=，所以1b =；所以()sin 213f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭ 选②③ 因为12x π=为()f x 的一条对称轴，所以2122k ππϕπ⨯+=+，所以,3k k πϕπ=+∈Z ，又2πϕ<，所以3πϕ=，因为44x ππ-≤≤，所以52636x πππ-≤+≤；所以1sin 2123x π⎛⎫-≤+≤ ⎪⎝⎭，所以()min 1122f x b =-+=，所以1b =，所以()sin 213f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭；选①③，由前面两种情况，可得，根据对称性只能求得3πϕ=，所以()sin 23f x x b π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭；（2）当()sin 213f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭时，将函数()y f x =的图象上点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变，可得sin 413y x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭的图像，再将所得图象向右平移8π个单位，得到函数()y g x =的图象，所以()sin 416g x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭；当()sin 23f x x b π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭时，同理可得()sin 46g x x b π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，令3242,262k x k k πππππ+≤-≤+∈Z 解得：5,26212k k x k ππππ+≤≤+∈Z 所以函数()g x 的减区间为5,,26212k k k ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦Z . 【点睛】思路点睛：求解三角函数解析式，以及三角函数性质的题目，一般需要根据三角函数的单调性、对称性等，结合题中条件，求出参数，即可得出解析式；求解三角函数性质问题时，一般根据整体代入的方法，结合正余弦函数的性质求解.26．（Ⅰ）718；（Ⅱ）最小正周期为π．3ππππ88k k ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，.k Z ∈. 【分析】（Ⅰ）根据1sin 3α=以及α的范围，得到cos α，代入到()f α中，得到答案；（Ⅱ）对()f x 进行整理化简，得到()π24f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，根据正弦型函数的图像和性质，求出其周期和单调减区间.【详解】（Ⅰ）解：因为π02α<<.且1sin 3α=.所以cos 3α==．故()()1cos sin cos 2f αααα=+-= （Ⅱ）解：因为 ()21sin cos cos 2f x x x x =+-11cos 21sin 2222x x +=+-11πsin 2cos 22224x x x ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭. 所以函数()f x 的最小正周期为π．设π24t x =+.由2y t =的单调递增区间是ππ2π 2π22k k ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，.k Z ∈. 令πππ2π22π242k x k -++≤≤.解得 3ππππ88k x k -+≤≤.k Z ∈．故函数()f x 的单调递增区间为3ππππ88k k ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，.k Z ∈．【点睛】本题考查同角三角函数关系，利用二倍角公式、降幂公式、辅助角公式对三角函数进行化简，求正弦型函数的周期和单调区间，属于基础题.。

上海延安中学必修第一册第五单元《三角函数》检测卷(答案解析)

【详解】
因为、均为锐角，所以，，，
又，，
所以，，
所以
，
则 .
故答案为： .
17．【分析】根据同角三角函数的关系解出根据二倍角公式即可求出【详解】是第一象限角且则解得故答案为：
解析：
【分析】
根据同角三角函数的关系解出，根据二倍角公式即可求出 .
【详解】
是第一象限角，且，
则，解得，
，所以，所以 .
故答案为：
15．等腰三角形【分析】由整理可得角的关系即可【详解】由的内角知所以又所以为等腰三角形故答案为:等腰三角形【点睛】此题考查两角和与差的正弦公式的正向和逆向使用属于基础题
解析：等腰三角形
【分析】
由，整理可得角的关系即可.
【详解】
由的内角知，，所以
，
，，又
所以，为等腰三角形.
一、选择题
1．已知，，则（）
A． B． C． D．
2．已知为第二象限角，且，则（）．
A． B． C． D．
3．已知，则（）
A． B． C． D．
4．函数部分图象如图所示，当时最小值为（）
A． B． C． D．
5．化简求值（）
A． B． C． D．
6．已知函数，则（）
A．的最小正周期为
，，
.
故答案为：
20．【分析】由条件依次算出然后代入即可算出答案【详解】因为为第二象限角且所以所以所以故答案为：
解析：
【分析】
由条件依次算出、、，然后代入即可算出答案.
【详解】
因为为第二象限角，且，所以
所以，
所以
故答案为：

上海继光初级中学必修第一册第五单元《三角函数》测试(包含答案解析)

一、选择题1．若把函数sin y x =的图象沿x 轴向左平移3π个单位，然后再把图象上每个点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标保持不变），得到函数()y f x =的图象，则()y f x =的解析式为（） A ．sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭B ．2sin 23y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭C ．1sin 23y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭D ．12sin 23y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭2．在ABC 中，已知sin 2sin()cos C B C B =+，那么ABC 一定是（） A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等边三角形D ．形状无法确定3．如果函数()cos 3f x x θ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象关于直线2x π=对称，那么θ的最小值为（）A ．6π B ．4π C ．3πD ．2π 4．cos45sin15sin 45cos15︒︒-︒︒=（）.A ．1B ．12-C D ．125．把函数sin y x =的图象上所有的点向左平行移动6π个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的12倍（纵坐标不变），得到的图象所表示的函数解析式是（） A ．sin 23y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭B ．sin 26x y π⎛⎫=+⎪⎝⎭ C ．sin 26y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭D ．sin 26y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭6．已知函数()22sin cos f x x x x ωωω=-，且()f x 图象的相邻对称轴之间的距离为4π，则当0,4x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()f x 的最小值为（）A ．1-B ．C ．D ．-7．已知函数()()ππ36sin 0f x A x A ⎛⎫=>⎪⎝⎭+在它的一个最小正周期内的图像上，最高点与最低点的距离是5，则A 等于（）． A ．1B ．2C ．2.5D ．48．已知1sin cos 3αα+=，则sin 2α的值是（）.A．89B．89-C．179D．179-9．若4cos5θ=-，θ是第三象限的角，则1tan21tan2θθ-=+（）A．12B．12-C．35D．-210．函数()()cosf x A xωϕ=+(其中0A>，0>ω，2πϕ<)的图象如图所示.为了得到()cosg x A xω=-的图象，只需把()y f x=的图象上所有的点（）A．向右平移12π个单位长度B．向右平移512π个单位长度C．向左平移12π个单位长度D．向左平移512π个单位长度11．已知函数()()log330,1ay x a a=-+>≠的图象恒过点P，若角α的终边经过点P，则sin2α的值等于（）A．2425-B．35C．2425D．3512．函数()sin()0,||2f x xπωϕωϕ⎛⎫=+><⎪⎝⎭的图象如图所示，为了得到g()sin34x xπ⎛⎫=-⎪⎝⎭的图象，只需将()f x的图象（）A．向右平移π6个单位长度B．向左平移π6个单位长度C ．向右平移π2个单位长度 D ．向左平移π2个单位长度二、填空题13．方程cos 306x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭在[]0,π上的解的个数为______.14．下列四个命题中：①已知()()()sin cos 21,sin cos 2πααπαπα-+-=++则tan 1α=-；②()00tan 30tan 303-=-=-③若sin α=则1cos 2;2α=-④在锐角三角形ABC 中，已知73sin ,cos ,255A B ==则119sin .125C =其中真命题的编号有_______. 15．先将函数()()()cos 0,y x ϕϕπ=+∈的图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，再向左平移3π个单位长度，所得函数图象关于y 轴对称，则ϕ=________. 16．已知7sin cos 17αα+=，()0,απ∈，则tan α= ________.17．已知函数()()()2cos 0,0f x x ωϕωϕπ=+><<的图象关于原点对称，且在区间2,23ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是减函数，则ω的取值范围为______. 18．已知1cos 3α=-，则|sin |α=___________ 19．已知函数()cos 2f x x =，若12,x x 满足12|()()|2f x f x -=，则12||x x -的一个取值为________．20．已知7sin cos 5αα+=-，22sin cos 5αα-=-，则cos2=α_______.三、解答题21．已知函数()2sin cos ,3f x x x x R π⎛⎫⎪⎝=-∈⎭. （1）求函数()f x 的最小正周期；（2）当,34x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，求函数()f x 的最大值与最小值，并指出相应的x 值. 22．（1）求值：4cos130tan140︒︒-；（2）已知3177cos ,45124x x πππ⎛⎫+=<< ⎪⎝⎭，求2sin 22sin 1tan x x x+-的值.23．已知()()()()1122,,,A x f x B x f x 是函数()()2sin f x x ωϕ=+0,02πωϕ⎛⎫>-<< ⎪⎝⎭图象上的任意两点，且角ϕ的终边经过点(1,P ，当()()124f x f x -=时，12x x -的最小值为3π．（1）求函数()f x 的解析式; （2）当0,6x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，不等式()()2mf x m f x +≥恒成立，求实数m 的取值范围． 24．（1）在面积为16的扇形中，半径多少时扇形的周长最小；（2. 25．已知22sin 2sin12αα=-.（1）求sin cos cos2ααα+的值；（2）已知()0,απ∈，0,2πβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且2tan 6tan 1ββ-=，求2αβ+的值. 26．已知函数π()2sin 6f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.（1）求()f x 的单调递减区间；（2）设π()()6g x f x f x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭. 当[0,]x m ∈时，()g x 的取值范围为0,2⎡⎣，求m 的最大值.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【分析】根据三角函数图象平移、伸缩的公式，结合题中的变换加以计算，可得函数()y f x =的解析式．【详解】解：将函数sin y x =的图象沿x 轴向左平移3π个单位，得到函数sin()3y x π=+的图象；将sin()3y x π=+的图象上每个点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标保持不变），得到1sin()23y x π=+的图象．∴函数sin y x =的图象按题中变换得到函数()y f x =的图象，可得1()sin 23y f x x π⎛⎫==+ ⎪⎝⎭．故选：C ．2．A解析：A 【分析】先用诱导公式变形，然后再由两角和的正弦公式展开，再由两角差的正弦公式化简后可得．【详解】∵在ABC 中，已知sin 2sin()cos C B C B =+，∴sin sin()2sin cos C A B A B =+=，∴sin cos cos sin 2sin cos A B A B A B +=，in 0()s A B -=，又,(0,)A B π∈，∴0A B -=，A B =，三角形为等腰三角形．故选：A ．3．A解析：A 【分析】利用余弦函数的对称轴以及整体思想可得：θ的表达式，进而得到θ的最小值．【详解】由题意函数()cos 3f x x θ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象关于直线2x π=对称，则有 1,32k πθπ⋅+= 解得 θ＝k π6π-，k ∈Z ，所以由此得|θmin 6π=．故选：A ．【点睛】方法点睛：求正余弦函数的对称轴及对称中心一般利用整体思想求解4．B解析：B 【分析】根据两角差的正弦公式，准确运算，即可求解. 【详解】由()1cos 45sin15sin 45cos15sin 1545sin 302︒︒-︒︒=︒-︒=-︒=-. 故选：B.5．D解析：D 【分析】根据三角函数的图象变换规律可得解析式．【详解】函数sin y x =的图象上所有的点向左平行移动6π个单位长度，得sin 6y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，再把所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的12倍（纵坐标不变），可得sin 26y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭. 故选：D ．6．D解析：D 【分析】先将函数化简整理，根据相邻对称轴之间距离求出周期，确定2ω=，再根据正弦函数的性质，结合给定区间，即可求出最值. 【详解】因为()21cos 22sin cos sin 22xf x x x x x ωωωωω+=-=- πsin 222sin 23x x x ωωω⎛⎫=-=-- ⎪⎝⎭由题意知()f x 的最小正周期为ππ242⨯=，所以2ππ22ω=，即2ω=，所以()π2sin 43f x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭当π0,4x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，ππ2π4,333x ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，所以π2sin 423x ⎛⎫⎡⎤-∈ ⎪⎣⎦⎝⎭，因此()π2sin 423f x x ⎛⎫⎡=-- ⎪⎣⎝⎭，所以函数()f x 的最小值为-．故选：D.7．B解析：B 【分析】根据正弦型函数图象性质确定函数()f x 的最小正周期T ，再根据最高点与最低点的距离是55=，从而解得A 的值. 【详解】解：函数()()ππ36sin 0f x A x A ⎛⎫=> ⎪⎝⎭+的最小正周期2263T πππω=== 函数()()ππ36sin 0f x A x A ⎛⎫=> ⎪⎝⎭+在它的一个最小正周期内的图像上，最高点与最低点的距离是5，5=，解得2A =.故选：B. 【点睛】对于三角函数，求最小正周期和最值时可先把所给三角函数式化为()sin y A ωx φ=+或()cos y A x ωϕ=+的形式，则最小正周期为2T ωπ=，最大值为A ，最小值为A -；奇偶性的判断关键是解析式是否为sin y A x ω=或cos y A x ω=的形式．8．B解析：B 【分析】已知条件平方后，利用sin 22sin cos ααα=，直接计算结果. 【详解】 ∵1sin cos 3αα+=，平方得，)(21sin cos 9αα+=， ∴)()(221sin 2sin cos cos 9αααα++=，∴82sin cos 9αα=-，∴8sin29α=-.故选:B9．D解析：D 【分析】根据4cos 5θ=-，θ是第三象限的角，先利用半角公式求得tan 2θ，然后代入1tan21tan 2θθ-+求解. 【详解】因为θ为第三象限角，所以2θ可能为二､四象限角，所以tan 32θ===-，所以1tan1322131tan2θθ-+==--+. 故选：D.10．B解析：B 【分析】先根据图象求出,,A ωϕ的值即可得()f x 和()g x 的解析式，再利用函数图象的平移变换即可得正确选项. 【详解】由图知：1A =，74123T πππ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，所以22T πω==，()()cos 2f x x φ=+，当712x π=时，()()cos 2f x x φ=+有最小值，所以()72212k k Z πϕππ⨯+=+∈，所以()26k k Z πϕπ=-+∈，又因为2πϕ<，所以0,6k πϕ==-，所以()cos 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，()()cos2cos 2g x x x π=-=-，所以只需要把()cos 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭图象上所有的点向右平移512π个单位长度得()()5cos 2cos 2cos 2126x x x g x πππ⎡⎤⎛⎫--=-=-= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，故选：B 【点睛】关键点点睛：本题的关键点是由函数的部分图象求出,,A ωϕ的值，进而求出()f x 和()g x 的解析式，()()cos2cos 2g x x x π=-=-，由平移变换的规律求解，注意左右平移指一个x 变化多少，此点容易出错，属于中档题.11．C解析：C 【分析】由已知求出点P 的坐标，再利用三角函数的定义求出sin ,cos αα的值，进而可得到sin 2α的值【详解】解：因为函数()()log 330,1a y x a a =-+>≠的图象恒过(4,3)，所以点P 的坐标为(4,3) 因为角α的终边经过点P ，所以34sin ,cos 55αα====，所以3424sin 22sin cos 25525ααα==⨯⨯=，故选：C12．A解析：A 【分析】首先根据函数()f x 的图象得到()sin 34f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，再根据三角函数的平移变换即可得到答案. 【详解】由题知：541246T πππ=-=，所以223T ππω==，解得3ω=. 3sin 044f ππϕ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以324k πϕππ+=+，k Z ∈，解得24k ϕπ=+π，k Z ∈. 又因为2πϕ<，所以4πϕ=，()sin 34f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭. 因为4436πππ--=-，所以只需将()f x 的图象向右平移π6个单位长度.故选：A 二、填空题13．3【分析】先求出解的一般形式再根据范围可求解的个数【详解】因为故故令故故答案为：3解析：3 【分析】先求出解的一般形式，再根据范围可求解的个数. 【详解】因为cos 306x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，故3,62x k k Z πππ+=+∈，故,39k x k Z ππ=+∈，令039k πππ≤+≤，故0,1,2k =，故答案为：3.14．②③【分析】对于①：运用诱导公式化简再运用同角三角函数的关系可判断；对于②：先运用同角三角函数的商数关系切化弦再运用诱导公式可判断；对于③：运用余弦的二倍角公式计算可判断；对于④：运用同角三角函数求解析：②③ 【分析】对于①：运用诱导公式化简，再运用同角三角函数的关系可判断；对于②：先运用同角三角函数的商数关系“切化弦”，再运用诱导公式可判断；对于③：运用余弦的二倍角公式计算可判断；对于④：运用同角三角函数求得244cos ,sin ,255A B ==再用正弦的和角公式代入可判断．【详解】对于①：因为()()()sin -cos 21,sin cos 2πααπαπα+-=++所以sin cos 1,sin cos 2αααα+=-所以sin 11cos ,sin 21cos αααα+=-即tan 11,tan 12αα+=-解得tan 3α=-，故①不正确；对于②：因为()()()000sin 30sin 30tan 30tan 30cos30cos 30---===-=-故②正确；对于③：因为sin 2α=-所以221cos 212sin 122αα⎛=-=-⨯=- ⎝⎭，故③正确；对于④：因为在锐角三角形ABC 中， 73sin ,cos ,255A B ==所以00,0222A B C πππ<<<<<<，，所以244cos ,sin ,255A B ====所以 ()()sin sin +sin +C A B A B π⎡⎤=-=⎣⎦ 73244117sin cos +cos sin +255255125A B A B ==⨯⨯=，故④不正确，故答案为：②③．15．【分析】由题意利用函数的图象变换规律三角函数的图象的对称性求得的值【详解】先将函数的图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)可得的图象；再向左平移个单位长度可得函数的图象根据所得函数图象关解析：56π 【分析】由题意利用函数()cos y A x ωϕ=+的图象变换规律，三角函数的图象的对称性，求得ϕ的值. 【详解】先将函数()()()cos 0,y x ϕϕπ=+∈的图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，可得1cos 2y x ϕ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象；再向左平移3π个单位长度，可得函数1cos 26y x πϕ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭的图象，根据所得函数图象关于y 轴对称，可得6k πϕπ+=，k Z ∈，因为()0,ϕπ∈，所以1k =，56πϕ=. 故答案为：56π. 【点睛】关键点点睛：熟练掌握函数()cos y A x ωϕ=+的图象变换规律，三角函数的图象的对称性是解题关键..16．【分析】根据已知条件求得的值由此求得的值【详解】依题意两边平方得而所以所以由解得所以故答案为：【点睛】知道其中一个可通过同角三角函数的基本关系式求得另外两个在求解过程中要注意角的范围解析：158-【分析】根据已知条件求得sin ,cos αα的值，由此求得tan α的值. 【详解】依题意7sin cos 17αα+=，两边平方得 4924012sin cos ,2sin cos 0289289αααα+==-<，而()0,απ∈，所以sin 0,cos 0αα><，所以23sin cos 17αα-====. 由7sin cos 1723sin cos 17αααα⎧+=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩解得158sin ,cos 1717αα==-，所以sin 15tan cos 8ααα==-. 故答案为：158-【点睛】sin cos ,sin cos αααα±知道其中一个，可通过同角三角函数的基本关系式求得另外两个，在求解过程中要注意角的范围.17．【分析】由函数图象关于原点对称可得再由在区间上是增函数可得解不等式即可【详解】由函数的图象关于原点对称得即因为在区间上是减函数所以在区间上是增函数又是函数的单调递增区间所以又解得故答案为：解析：30,4⎛⎤⎥⎝⎦【分析】由函数图象关于原点对称可得2ϕπ=，再由2sin y x ω=在区间2,23ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是增函数，可得22232ππωππω⎧-≤-⎪⎪⎨⎪≤⎪⎩，解不等式即可.【详解】由函数()()()2cos 0,0f x x ωϕωϕπ=+><<的图象关于原点对称，得2ϕπ=，即()2cos 2sin 2f x x x πωω⎛⎫=+=- ⎪⎝⎭，因为()f x 在区间2,23ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是减函数，所以2sin y x ω=在区间2,23ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是增函数，又,22ππωω⎡⎤-⎢⎥⎣⎦是函数2sin y x ω=的单调递增区间，所以22232ππωππω⎧-≤-⎪⎪⎨⎪≤⎪⎩，又0>ω，解得304ω<≤.故答案为：30,4⎛⎤ ⎥⎝⎦18．【分析】根据同角三角函数的关系即可求出【详解】故答案为：【分析】根据同角三角函数的关系即可求出. 【详解】1cos 3α=-，|sin |α∴==.故答案为：3. 19．（答案不唯一）【分析】根据的值域为可知若满足则必有的值分别为再根据三角函数的性质分析即可【详解】因为的值域为故若满足则必有的值分别为故的最小值当且仅当为相邻的两个最值点取得此时为的半个周期即故答案为解析：π2（答案不唯一）【分析】根据()cos2f x x =的值域为[]1,1-可知若12,x x 满足()()122f x f x -=则必有()()12,f x f x 的值分别为±1,再根据三角函数的性质分析即可.【详解】因为()cos2f x x =的值域为[]1,1-,故若12,x x 满足()()122f x f x -=则必有()()12,f x f x 的值分别为±1,故12x x -的最小值当且仅当12,x x 为()cos2f x x =相邻的两个最值点取得.此时12x x -为()cos2f x x =的半个周期,即12222ππ⨯=. 故答案为：2π【点睛】关键点点睛：相邻的两个最值点的横坐标的距离为半个周期是解题的突破点.20．【分析】联立方程组求得的值结合余弦的倍角公式即可求解【详解】由题意知：联立方程组求得所以故答案为：解析：725【分析】联立方程组，求得sin ,cos αα的值，结合余弦的倍角公式，即可求解. 【详解】由题意知：7sin cos 5αα+=-，22sin cos 5αα-=-，联立方程组，求得34sin ,cos 55αα=-=-，所以2247cos 22cos 12()1525αα=-=⨯--=. 故答案为：725. 三、解答题21．（1）π；（2）当(),12x f x π=-取得最大值为4x π=时，()f x 取得最小值为12. 【分析】（1）由两角差的正弦公式、二倍角公式化函数为一个角的一个三角函数形式（一次的），然后由正弦函数性质求得最小正周期；（2）求出23x π-的范围，利用正弦函数性质可得最值．【详解】（1）根据题意得：()2sin cos 2sin cos cos sin cos333f x x x x x x πππ⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2sin cos x x x=1cos 211sin 2sin 22sin 2222232x x x x x π+⎛⎫==-=--⎪⎝⎭ 所以最小正周期22T ππ== （2）因为,34x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦所以2,36x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦当232x ππ-=-时，即12x π=-()min 22f x =-当236x ππ-=时，即4x π=()min 11222f x =-=所以当(),12x f x π=-取得最大值为22+-当4x π=时，()f x取得最小值为12．【点睛】方法点睛：本题考查两角差的正弦公式，二倍角公式，考查正弦函数的性质．此类问题的解题方法是：利用二倍角公式降幂，利用诱导公式、两角和与差的正弦（余弦）公式展开与合并，最终把函数化为()sin()f x A x m ωϕ=++形式，然后结合正弦函数性质求解． 22．（1）2）2875-. 【分析】（1）先利用诱导公式将4cos130tan140︒︒-，转化为4cos50tan 40︒︒-+，然后利用三角恒等变换求解. （2）由3177cos ,45124x x πππ⎛⎫+=<<⎪⎝⎭，利用平方关系求得4sin 45x π⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，得到cos cos 44x x ππ⎡⎤⎛⎫=+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，然后由 2sin 22sin 2sin (cos sin )1tan 1tan x x x x x x x ++=--求解. 【详解】（1）4cos130tan140︒︒-，sin 404cos50tan 404cos50cos 40︒︒︒︒︒=-+=-+， 04cos50cos 40sin 404sin 40cos 40sin 40cos 40cos 40︒︒︒︒︒︒︒-+-+==， 02sin 80sin 402cos10sin 40cos 40cos 40︒︒︒︒︒-+-+==， ()2cos 4030sin 40cos 40︒︒︒︒--+=，=，040cos 40︒== （2）1775,212434x x πππππ<<∴<+<， 4sin 45x π⎛⎫∴+=- ⎪⎝⎭，cos cos cos cos sin sin 444444x x x x ππππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=+-=+++⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，3455⎫=-=⎪⎝⎭， sin tan 7x x ∴===， 22sin 22sin 2sin cos 2sin 2sin (cos sin )1tan 1tan 1tan x x x xx x x x xx x+++∴==---， 2101010281775⎛⨯--- ⎝⎭⎝⎭==--. 23．（1）()2sin 33f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭；（2）13m ≥. 【分析】（1）由ϕ的终边上的点可求出ϕ，再由题可得23T π=，即可求出ω，得出解析式；（2）根据0,6x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦可得()1f x ≤≤，不等式化为()212m f x ≥-+，求出()212f x -+的最大值即可.【详解】（1）角ϕ的终边经过点(1,P ，∴tan ϕ= 又02πϕ-<<，∴3πϕ=-.∵当()()124f x f x -=时，12x x -的最小值为3π， ∴23T π=，即223ππω=，∴3ω=，∴()2sin 33f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭. （2）当0,6x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，3,336x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，∴()1f x ≤≤，于是()20f x +>，于是()()2mf x m f x +≥即为()()()2122f x m f x f x ≥=-++，由()1f x ≤≤，得()212f x -+的最大值为13.∴实数m 的取值范围是13m ≥. 【点睛】本题考查正弦型函数的性质，解题的关键是由当()()124f x f x -=时，12x x -的最小值为3π得出23T π=，以便求出解析式，第二问得出()1f x ≤≤，将不等式化为()212m f x ≥-+.24．（1）4，16；（2）5. 【分析】（1）设扇形的半径为r ，弧长为l ，根据面积为16，可得32l r=，列出周长表达式，利用基本不等式即可求得答案；（2）利用基本不等式，即可求得所求乘积的最大值. 【详解】（1）设扇形的半径为r ，弧长为l ，所以面积1162S l r =⋅=，即32l r=，且08r <<，则周长322216c l r r r =+=+≥=，当且仅当322r r =即4r =时等号成立，所以当半径4r =时，周长有最小值16. （2）由题意得(10)0x x -≥，解得010x ≤≤，1052x x+-≤=，当且仅当(10)x x =-，即5x =时等号成立，5. 25．（1）15；（2）74π.【分析】（1）先求出1tan 2α=-，再化简22tan 1tan sin cos cos 2tan 1αααααα+-+=+即得解；（2）先求出1tan 23β=-，再求出tan(2)1αβ+=-，求出52,23παβπ⎛⎫+∈⎪⎝⎭，即得解. 【详解】（1）由已知得2sin cos αα=-，所以1tan 2α=-222222sin cos cos sin tan 1tan 1sin cos cos 2sin cos tan 15αααααααααααα+-+-+===++（2）由2tan 6tan 1ββ-=，可得22tan 1tan 21tan 3βββ==--，则11tan tan 223tan(2)1111tan tan 2123αβαβαβ--++===---⨯. 因为0,2πβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以()20,βπ∈，又1tan 23β=->52,6πβπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，因为()0,απ∈，1tan 2α=->，则5,6παπ⎛⎫∈⎪⎝⎭，则52,23παβπ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，所以724παβ+=. 【点睛】易错点睛：本题容易得出两个答案，724παβ+=或34π.之所以得出两个答案，是没有分析缩小,αβ的范围，从而得到52,23παβπ⎛⎫+∈⎪⎝⎭.对于求角的大小的问题，一般先求出角的某三角函数值，再求出角的范围，再得到角的大小. 26．（1）42,2()33k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦；（2）56π. 【分析】（1）令322262πππk πx k π+≤+≤+，()k Z ∈，解不等式即可求解；（2）先求出并化简()2sin 23g x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭()g x 的值域可得出sin 232π⎡⎤⎛⎫-∈-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦x ，结合正弦函数的图象可知42233m πππ≤-≤，即可求出m 的最大值. 【详解】（1）令322262πππk πx k π+≤+≤+，k Z ∈. 所以42233ππk πx k π+≤≤+，()k Z ∈. 所以函数()f x 的单调递减区间42,2()33k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦. （2）()()4sin sin 66g x f x f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭14cos sin 2x x x ⎫=+⎪⎝⎭22cos sin x x x =+cos2)sin 2x x =-+2sin 23x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭因为0x m ≤≤，所以22333x m πππ-≤-≤-.因为()g x 的取值范围为0,2⎡⎣，所以sin 23x π⎛⎫- ⎪⎝⎭的取值范围为2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦所以42233m πππ≤-≤. 解得：55126m ππ≤≤. 所以m 的最大值为56π.【点睛】关键点点睛：本题的关键点是要熟记正弦函数的图象，灵活运用三角恒等变换将()g x 化为一名一角，能结合正弦函数的图象得出42233m πππ≤-≤.。

上海长青学校必修第一册第五单元《三角函数》检测(包含答案解析)

一、选择题1．已知0>ω，函数()sin 3f x x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，则ω的取值范围是（） A ．15,36⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．17,36⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．15,46⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．17,46⎡⎤⎢⎥⎣⎦2．将函数()2sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭图像上的每一个点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，再将所得图像向左平移12π个单位得到函数()g x 的图像，在()g x 的图像的所有对称轴中，离原点最近的对称轴为（） A ．24x π=-B ．4πx =-C ．524x π=-D ．12x π=3．将函数()22sin cos 23cos f x x x x =+的图象向右平移π6个单位长度后，得到函数()g x 的图象，则函数()g x 的图象的一个对称中心是（）A ．π,03⎛⎫⎪⎝⎭B ．()π,3C ．π,06⎛⎫-⎪⎝⎭D ．π,36⎛⎫-⎪⎝⎭4．已知()tan f x x =，x ∈Z ，则下列说法中正确的是（） A ．函数()f x 不为奇函数 B ．函数()f x 存在反函数 C ．函数()f x 具有周期性D ．函数()f x 的值域为R5．已知函数()()sin 0,2f x A x πωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示，则()f x 的解析式为（）A ．()2sin 26f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭B ．()2sin 26f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭C ．()sin 23f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭D ．()sin 23πf x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭6．已知函数()22sin cos cos f x x x x x =+-，x ∈R ，则（） A ．()f x 的最大值为1 B ．()f x 的图象关于直线3x π=对称C ．()f x 的最小正周期为2π D ．()f x 在区间()0,π上只有1个零点7．设1cos 29sin 2922a =-，b =22tan161tan 16c =+，则有（） A ．a b c >> B ．b c a >>C ．c a b >>D ．c b a >>8．已知3πin 325s α⎛⎫+= ⎪⎝⎭，0απ<<，则tan α=（） A ．43-B ．34-C ．34D ．439．已知1cos 2α=，322παπ<<，则sin(2)πα-=（）A ．B ．12C ．12-D ．21026tan 34tan 26tan 34++=（）A B ．C D ．11．已知sin()cos(2)()cos()tan x x f x x xπππ--=--，则313f π⎛⎫- ⎪⎝⎭的值为（） A ．12B ．13 C ．12-D ．13-12．已知1sin()43πα-=，则cos()4πα+=（）A ．13-B ．13C ．3-D ．3二、填空题13．若ππ2α<<，π02β<<，且sin α，3π3cos 85β⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，则3πcos 8αβ⎛⎫++= ⎪⎝⎭______.14．已知()3sin 23cos sin 1f x x x x =-⋅+，若()32f a =，则()f a -=______.15．已知23sin 33x π⎛⎫-=-⎪⎝⎭，则cos 6x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭________. 16．设ABC 的内角,,A B C 所对的边分别为,,,a b c 若2sin cos sin A B C =，则ABC 的形状为________. 17．若3sin 2θ=，,2πθπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭则cos 6πθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭______.18．已知1cos 3α=-，则|sin |α=___________ 19．已知2sin 3θ=-，3,2πθπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则tan θ=______． 20．已知：3sin 25πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，且α为第四象限角，则cos 4πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭___________．三、解答题21．已知()()1sin 2cos 3παπα+--=(2παπ<<)，求：（1）sin cos αα⋅；（2）sin cos αα-. 22．已知函数31()sin 2cos 24f x x x =+ （1）求()f x 的最小正周期；（2）求()f x 在区间50,12π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域. 23．已知在扇形OPQ 中，半径1OP =，圆心角3POQ π∠=.从该扇形中截取一个矩形ABCD ，有以下两种方案：方案一：（如图1）C 是扇形弧上的动点，记COP a ∠=，矩形ABCD 内接于扇形；方案二：（如图2）M 是扇形弧的中点，A 、B 分别是弧PM 和MQ 上的点，记AOM BOM β∠=∠=，矩形ABCD 内接于扇形.要使截取的矩形面积最大，应选取哪种方案？并求出矩形的最大面积.24．设函数21()sin 3sin cos 2f x x x x ωωω=+-的图象关于直线x π=对称，其中ω为常数，且1,12ω⎛⎫∈ ⎪⎝⎭.（1）求函数()f x 的解析式；（2）将函数()f x 的图象向右平移10π个单位长度后，再将得到的图象上各点的横坐标缩短到原来的56倍，得到函数()y g x =的图象，若关于x 的方程()0g x k +=在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有实数解，求实数k 的取值范围. 25．如图为函数()sin()(0,0,||)2f x A x A πωφωφ=+>><的一个周期内的图象.（1）求函数()f x 的解析式及单调递减区间；（2）当1,43x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，求()f x 的值域.26．已知2sin ()cos(2)tan()()sin()tan(3)f παπαπααπααπ-⋅-⋅-+=-+⋅-+.（1）化简()fα；（2）若()18f α=，且42ππα<<，求cos sin αα-的值【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【分析】由322232k x k ππππωπ+++求得22766k k x ππππωωωω++，k z ∈．可得函数()f x 的一个减区间为[6πω，7]6πω．再由6276ππωππω⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩，求得ω的范围．【详解】函数()sin()3f x x πω=+在(,)2ππ上单调递减，设函数的周期22T T πππω⇒=-，2ω∴．再由函数()sin()3f x x πω=+满足322232k x k ππππωπ+++，k z ∈，求得22766k k x ππππωωωω++，k z ∈．取0k =，可得766x ππωω，故函数()f x 的一个减区间为[6πω，7]6πω．再由6276ππωππω⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩，求得1736ω，故选：B ．【点睛】函数sin()y A x ωϕ=+的单调区间的求法：若0,0A ω>>,把x ωϕ+看作是一个整体，由22k x ππωϕ+≤+≤()322k k Z ππ+∈求得函数的减区间，由2222k x k πππωϕπ-+≤+≤+求得增区间2．A解析：A 【分析】利用三角函数的伸缩变换和平移变换，得到()22sin 43g x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，然后令24,32x k k Z πππ+=+∈求解. 【详解】将函数()2sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭图像上的每一个点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，2sin 43y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，再将所得图像向左平移12π个单位得到函数()22sin 43g x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，令24,32x k k Z πππ+=+∈，解得,424k x k Z ππ=-∈，所以在()g x 的图像的所有对称轴中，离原点最近的对称轴为24x π=-，故选：A3．B解析：B 【分析】首先利用二倍角公式及辅助角公式将函数()f x 化简，再根据三角函数的变换规则求出()g x 的解析式，最后根据正弦函数的性质求出函数的对称中心；【详解】解：()22sin cos f x x x x =+())sin 2cos21f x x x ∴=+ ()sin 2f x x x ∴=()π2sin 23f x x ⎛⎫∴=++ ⎪⎝⎭将()f x 向右平移π6个单位长度得到()g x ， ()ππ2sin 263g x x ⎡⎤⎛⎫∴=-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦()2sin 2g x x ∴=∴()g x 的对称中心为()π2k k ⎛∈ ⎝Z ，当2k =时为(π. 故选：B.4．B解析：B 【分析】根据()tan f x x =，x ∈Z 图象与性质，逐一分析选项，即可得答案.【详解】对于A ：()f x 的定义域关于原点对称，且()tan()tan ()f x x x f x -=-=-=-，x ∈Z ，故()f x 为奇函数，故A 错误；对于B ：()tan y f x x ==，x ∈Z 在定义域内一一对应，所以arctan =x y ，即()f x 的反函数为arctan y x =，故B 正确；对于C ：因为()tan f x x =，x ∈Z ，故()f x 图象为孤立的点，不是连续的曲线，所以()f x 不具有周期性，故C 错误；对于D ：因为()tan f x x =，x ∈Z ，所以()f x 图象为孤立的点，不是连续的曲线，所以()f x 的值域为一些点构成的集合，不是R ，故D 错误.故选：B5．A解析：A 【分析】利用图象可得出()max A f x =，求出函数()f x 的最小正周期，可求得ω的值，再将点,26π⎛⎫⎪⎝⎭代入函数()f x 的解析式，结合ϕ的取值范围，求出ϕ的值，进而可得出函数()f x 的解析式.【详解】由图象可得()max 2A f x ==，函数()f x 的最小正周期为2236T πππ⎛⎫=⨯-=⎪⎝⎭， 22Tπω∴==，()()2sin 2f x x ϕ∴=+，又2sin 2266f ππϕ⎛⎫⎛⎫=⨯+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，可得sin 13πϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭， 22ππϕ-<<，5636πππϕ∴-<+<，32ππϕ∴+=，解得6π=ϕ，因此，()2sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.故选：A. 【点睛】方法点睛：根据三角函数()()sin f x A x b ωϕ=++的部分图象求函数解析式的方法：（1）求A 、()()max min:2f x f x b A -=，()()max min2f x f x b +=；（2）求出函数的最小正周期T ，进而得出2Tπω=；（3）取特殊点代入函数可求得ϕ的值.6．B解析：B 【分析】利用二倍角公式和辅助角公式化简()f x ，再利用三角函数的性质求解即可. 【详解】()22sin cos cos f x x x x x =+-2cos 2x x =-2sin 26x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭故最大值为2，A 错22sin 2sin 23362f ππππ⎛⎫⎛⎫=-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故关于3x π=对称，B 对最小正周期为22ππ=，C 错 ()26x k k Z ππ-=∈解得()122k x k Z ππ=+∈，12x π=和712x π=都是零点，故D 错.故选：B 【点睛】对于三角函数，求最小正周期和最值时可先把所给三角函数式化为y ＝Asin (ωx ＋φ)或y ＝Acos (ω x ＋φ)的形式，则最小正周期为2T πω=，最大值为A ，最小值为A -；奇偶性的判断关键是解析式是否为y ＝Asin ωx 或y ＝Acos ωx 的形式．7．B解析：B 【分析】由两角差的正弦公式，余弦和正正弦的二倍角公式化简,,a b c ，然后由正弦函数的单调性得出结论．【详解】129si sin(6029)si 3n 2912n a =︒-︒=︒=-， b =sin 33==︒，2222sin162tan16cos162sin16sin 161tan 161c cos16sin 32os 16c ===︒︒︒︒=︒︒︒++，显然sin31sin32sin33︒<︒<︒，所以a c b <<．故选：B ．【点睛】关键点点睛：本题考查三角函数值的比较大小，解题方法是首先化简各函数，应用三角函数恒等变换公式化简函数，注意转化为同一个三角函数，并且把角转化到三角函数的同一单调区间上，然后由三角函数的单调性得大小关系．8．A解析：A 【分析】根据诱导公式，可得cos α的值，根据同角三角函数的关系，结合α的范围，可求得sin α的值，即可求得答案. 【详解】因为3πin 325s α⎛⎫+=⎪⎝⎭，所以3cos 5α=-，所以4sin 5α===±，又0πα<<，所以α为第二象限角，所以4sin 5α 所以sin tan s 43co ααα==-．故选：A ．9．D解析：D 【分析】由已知利用同角三角函数基本关系式可求sin α的值，进而根据诱导公式即可求解．【详解】解：因为1cos 2α=，322παπ<<，所以sin 2α==-，所以sin(2)sin 2παα-=-=．故选：D ．10．C解析：C 【分析】利用两角和的正切公式，特殊角的三角函数值化简已知即可求解．【详解】26tan34tan 26tan34︒︒+︒+︒26tan 34tan(2634)(1tan 26tan 34)=︒︒+︒+︒-︒︒26tan 34tan 26tan 34)=︒︒+-︒︒26tan3426tan34=︒︒︒︒=故选：C ．11．C解析：C 【分析】利用诱导公式先化简整理函数()f x ，再利用诱导公式求值即可. 【详解】由sin()cos(2)()cos()tan x x f x x xπππ--=--，利用诱导公式得：sin cos ()cos cos tan x xf x x x x==--，所以31311cos cos 103332f ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=--=---=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭；故选：C.12．A解析：A 【分析】运用α-、2πα-的诱导公式，计算即可得到.【详解】解：1sin()43πα-=，即为1sin()43πα-=-，即有1sin[()]243ππα-+=-，即1cos()43πα+=-. 故选：A.二、填空题13．【分析】先根据题意求出和再根据两角和的余弦公式求解即可【详解】由可得因为所以所以故答案为：【点睛】本题主要考和角公式的应用解题时会判断所求角所在的象限属于基础题解析：25【分析】先根据题意求出cos α和3πsin 8β⎛⎫+ ⎪⎝⎭，再根据两角和的余弦公式求解即可. 【详解】由ππ2α<<，sin α=，可得cos α==，因为π3π3π7π02888ββ<<⇒<+<，3π3cos 85β⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，所以3π4sin 85β⎛⎫+== ⎪⎝⎭，所以3π3π3πcos cos cos sin sin 888αβαβαβ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++=+-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭34555525⎛⎛⎫=-⨯--= ⎪ ⎝⎭⎝⎭.【点睛】本题主要考和角公式的应用，解题时会判断所求角所在的象限，属于基础题.14．【分析】令求出再由奇函数的性质求解【详解】令易证为奇函数所以所以故答案为：解析：12【分析】令()3sin 23cos sin g x x x x =-⋅，求出()12g a =，再由奇函数的性质求解()f a -. 【详解】令()3sin 23cos sin g x x x x =-⋅，易证()g x 为奇函数.()()312f a g a =+=，所以()12g a =，所以()()()1112f ag a g a -=-+=-+=.故答案为：1215．【分析】由再结合诱导公式可得结果【详解】【点睛】方法点睛：利用诱导公式求值或化简时常用拼凑角常见的互余关系有：与与与等；常见的互补关系有：与与等；解析：【分析】由2623x x πππ⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭，再结合诱导公式可得结果. 【详解】22cos cos sin 62333x x x ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=--=-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭【点睛】方法点睛：利用诱导公式求值或化简时，常用拼凑角,，常见的互余关系有：3πα+与6πα-，3πα-与6πα+，4πα-与4απ+等；常见的互补关系有： 3πα+与23πα-，4πα+与34πα-等； 16．等腰三角形【分析】由整理可得角的关系即可【详解】由的内角知所以又所以为等腰三角形故答案为:等腰三角形【点睛】此题考查两角和与差的正弦公式的正向和逆向使用属于基础题解析：等腰三角形【分析】由()sin sin sin cos cos sin C A B A B A B π=-+=+⎡⎤⎣⎦，整理可得角的关系即可. 【详解】由ABC 的内角,,A B C 知，()C A B π=-+，所以 ()sin sin sin cos cos sin 2sin cos C A B A B A B A B π=-+=+=⎡⎤⎣⎦，sin cos cos sin 0A B A B -=，()sin 0A B -=，又()()()0,π,0,π,π,πA B A B ∈∈-∈-所以A B =，ABC 为等腰三角形. 故答案为:等腰三角形. 【点睛】此题考查两角和与差的正弦公式的正向和逆向使用，属于基础题.17．0【分析】先求出再利用差角的余弦公式求解【详解】因为所以所以故答案为：0解析：0 【分析】先求出1cos 2θ=-，再利用差角的余弦公式求解. 【详解】因为sin θ=,2πθπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以1cos 2θ=-，所以11cos 0622πθ⎛⎫-=-= ⎪⎝⎭. 故答案为：018．【分析】根据同角三角函数的关系即可求出【详解】故答案为：解析：3【分析】根据同角三角函数的关系即可求出. 【详解】1cos 3α=-，|sin |3α∴==.故答案为：3. 19．【分析】根据角的范围和同角三角函数的关系求得从而求得答案【详解】因为所以所以故答案为：【分析】根据角的范围和同角三角函数的关系求得cos θ，从而求得答案. 【详解】因为2sin 3θ=-，3,2πθπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以cos 0θ<，cos θ===，所以sin tan cos θθθ==，. 20．【分析】由诱导公式求得然后由平方关系求得再由两角和的余弦公式可得结论【详解】由已知又为第四象限角∴∴故答案为：解析：10【分析】由诱导公式求得cos α，然后由平方关系求得sin α，再由两角和的余弦公式可得结论．【详解】由已知3sin cos 25παα⎛⎫+== ⎪⎝⎭，又α为第四象限角，∴4sin 5α=-，∴34cos cos cos sin sin ()444525210πππααα⎛⎫+=-=⨯--⨯= ⎪⎝⎭故答案为：10．三、解答题21．（1）49-；（2）3. 【分析】（1）用诱导公式化简已知式为1sin cos 3αα+=，已知式平方后可求得sin cos αα；（2）已知式平方后减去4sin cos αα，再考虑到sin cos αα>就可求得sin cos αα-. 【详解】（1）由()()1sin 2cos 3παπα+--=可得1sin cos 3αα+=，所以()2221sin cos sin 2sin cos cos 12sin cos 9αααααααα+=++=+=，所以4sin cos 9αα=-；（2）()()221417sin cos sin cos 4sin cos 4999αααααα⎛⎫-=+-=-⨯-= ⎪⎝⎭，又因为,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以sin 0cos αα>>，sin cos 0αα->，所以sin cos 3αα-=. 【点睛】关键点点睛：本题解题的关键是熟记诱导公式，以及sin cos αα+，sin cos αα，sin cos αα-之间的联系即()2sin cos 12sin cos αααα+=+，()2sin cos 12sin cos αααα-=-.22．（1）π；（2）10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦.【分析】（1）利用辅助角公式化简1()sin 226f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，再利用周期公式即可求解；（2）由50,12x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，求出26x π+的范围，再利用正弦函数的性质即可求解. 【详解】（1）因为1111()2cos 22cos 2sin 242226f x x x x x x π⎫⎛⎫=+=+=+⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭ 所以()f x 的最小正周期为22T ππ==，（2）因为5012x π≤≤，所以5026x π≤≤，所以266x πππ≤+≤所以0sin 216x π⎛⎫≤+≤ ⎪⎝⎭，所以110sin 2262x π⎛⎫≤+≤ ⎪⎝⎭，所以()f x 在区间50,12π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域为10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 23．答案见解析【分析】方案1：分别利用α 表示sin BC α=，cos AB OB OA αα=-=，再计算矩形面积，利用辅助角公式结合三角函数的图象和性质求出最大值；方案2：22sin AB AE β==，cos AD EF OE OF ββ==-=，再计算矩形面积的最大值；两个最大值比较即可作出判断. 【详解】方案1：由已知得：cos OB α=，sin BC α=，3sin tan 60tan 60AD BC OA α===，所以cos AB OB OA αα=-=，设矩形ABCD 的面积为S ，则cos sin S AB BC ααα⎛⎫=⋅= ⎪ ⎪⎝⎭1sin 22226πααα⎛⎫=+ ⎪⎝⎭由03πα<<，得52666πππα<+<，所以当262ππα+=，即6πα=时，矩形ABCD 的最大面积为1366S =-=. 方案2：由题意可知：22sin AB AE β==，cos OE β=，又3sin tan 30tan 30DF AEOF β===，cos AD EF OE OF ββ==-=，设矩形ABCD 的面积为S ，则()2sin cos S AB AD βββ=⋅=sin 222sin 23πβαβ⎛⎫=+-=+ ⎪⎝⎭又0<<6πβ，得2<2<333πππβ+，所以当232ππβ+=，即12πβ=时，矩形ABCD 面积取最大为22S =.由于249>4612⎛= ⎝⎭>2>212S S >，故应选择方案1，当6πα=时，矩形ABCD 【点睛】关键点点睛：本题的关键是能用角表示各条线段的长，能表利用角表示出矩形的面积，会利用辅助角公式结合三角函数的图象和性质求出两种方案下面积的最值.24．（1）5()sin 36f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭；（2）⎡-⎢⎣⎦.【分析】（1）由二倍角分式和两角差的正弦公式化函数为一个角的一个三角函数形式，然后由正弦函数的周期求得ω解析式；（2）由图形变换得()g x 的解析式，求出()g x 在[0,]2π上的值域后可得k 的范围．【详解】（1）21()sincos 2f x x x x ωωω=+-cos2sin 226x x ωπω⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭ ∵图象关于直线x π=对称，∴2,62k k Z πππωπ-=+∈∴123k ω=+，又1,12ω⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，令1k =时，56ω=符合要求， ∴函数5()sin 36f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭.（2）将函数()f x 的图象向右平移10π个单位长度后，得到函数5sin 33y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象，再将得到的图象上各点的横坐标缩短到原来的56倍（纵坐标不变），得到函数sin 23y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象，所以()sin 23g x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭.当5012x π≤≤，即2332x πππ-≤-≤时，()g x 递增，()g x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，当5122x ππ<≤，即22233x πππ<-≤时，()g x 递减，()g x ⎫∈⎪⎣⎭，所以0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()2g x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，因为()0g x k +=在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上实数解，所以实数k 的取值范围是⎡-⎢⎣⎦.【点睛】方法点睛：本题考查二倍角公式，两角差的正弦公式，三角函数的图象变换，正弦函数的性质，此类问题的解题方法是：利用二倍角公式，诱导公式，两角和与差的正弦人（或余弦）公式化函数为一个角的一个三角函数形式，即()sin()f x A x m ωϕ+++形式，然后利用正弦函数性质求解．25．（1）()2sin()44f x x ππ=+，[]8 1.85,k k k Z ++∈；（2）(2⎤⎦. 【分析】（1）由图可求出()2sin()44f x x ππ=+，令322()2442k x k k Z ππππππ+≤+≤+∈，即可求出单调递减区间；（2）由题可得5,4434x ππππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，则可求得值域. 【详解】(1)由题图，知2,7(1)8A T ==--=，所以2284T πππω===，所以()2sin()4f x x πφ=+.将点(－1，0)代入，得2sin()04πφ-+=.因为||2πφ<，所以4πφ=，所以()2sin()44f x x ππ=+.令322()2442k x k k Z ππππππ+≤+≤+∈, 得8185()k x k k Z +≤≤+∈.所以()f x 的单调递减区间为[]8 1.85,k k k Z ++∈. (2)当1,43x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，5,4434x ππππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，此时sin()1244x ππ-<+≤，则()2f x <≤，即()f x 的值域为(2⎤⎦. 【点睛】方法点睛：根据三角函数()sin()f x A x ωϕ=+部分图象求解析式的方法：（1）根据图象的最值可求出A ；（2）求出函数的周期，利用2T πω=求出ω；（3）取点代入函数可求得ϕ.26．（1）sin cos αα⋅；（2）. 【分析】（1）由诱导公式运算即可得解；（2）由平方关系可得()23cos sin 4αα-=，再由cos sin αα<即可得解. 【详解】（1）由诱导公式()2sin cos tan ()sin cos sin tan f αααααααα⋅⋅==⋅-⋅-；（2）由()1sin cos 8f ααα==可知 ()222cos sin cos 2sin cos sin αααααα-=-+1312sin cos 1284αα=-=-⨯=，又∵42ππα<<，∴cos sin αα<，即cos sin 0αα-<，∴cos sin αα-=。

上海虹口区教育学院实验中学必修第一册第五单元《三角函数》测试题(含答案解析)

一、选择题1．下列函数中，既是奇函数，又在区间()0,1上是增函数的是（） A ．32()f x x = B ．13()f x x -= C ．()sin 2f x x =D ．()22x x f x -=-2．如图，为测塔高，在塔底所在的水平面内取一点C ，测得塔顶的仰角为θ，由C 向塔前进30米后到点D ，测得塔顶的仰角为2θ，再由D 向塔前进103米后到点E ，测得塔顶的仰角为4θ，则塔高为（）米．A ．10B ．2C ．15D ．1523．已知3sin 5α=-，则cos2=α（） A ．15-B ．15C ．725-D ．7254．先将函数()sin (0)f x x ωω=>的图象向左平移2π个单位长度，再向上平移2个单位长度后得到函数()g x 的图象，若方程()()f x g x =有实根，则ω的值可以为（）A ．12B ．1C ．2D ．45．若角α的终边过点(3,4)P -，则cos2=α（） A ．2425-B ．725C ．2425 D ．725-6．cos45sin15sin 45cos15︒︒-︒︒=（）. A ．1B ．12-C 3D ．127．已知函数()2sin 46f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则（）A ．()f x 的最小正周期为πB ．()f x 的单调递增区间为(),26212k k k ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦Z C ．()f x 的图象关于直线6x π=对称D ．()f x 的图象关于点,024π⎛⎫⎪⎝⎭对称 8．把函数sin y x =的图象上所有的点向左平行移动6π个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的12倍（纵坐标不变），得到的图象所表示的函数解析式是（） A ．sin 23y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭B ．sin 26x y π⎛⎫=+⎪⎝⎭C ．sin 26y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭D ．sin 26y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭9．sin 20cos10cos160sin10-=（） A ．32-B ．12C ．12-D ．3210．已知函数()y f x =的图象如图所示，则此函数可能是（）A ．sin 6()22x x x f x -=- B ．sin 6()22x x x f x -=- C ．cos6()22x xx f x -=- D ．cos6()22x x xf x -=-11．函数()()cos f x A x ωϕ=+(其中0A >，0>ω，2πϕ<)的图象如图所示.为了得到()cos g x A x ω=-的图象，只需把()y f x =的图象上所有的点（）A ．向右平移12π个单位长度 B ．向右平移512π个单位长度 C ．向左平移12π个单位长度D ．向左平移512π个单位长度 12．已知某扇形的弧长为32π，圆心角为2π，则该扇形的面积为（）A ．4π B ．6π C ．2π D ．94π 二、填空题13．已知函数()sin 2cos 2f x x a x =+，对x R ∀∈，|()|8f x f π⎛⎫≤⎪⎝⎭成立，则a =_______.14．化简cos()sin()2sin()cos()πααπααπ+-=--___________.15．已知角θ的终边经过点(,3)P x （0x <）且cos 10x θ=，则x =___________. 16．已知锐角α满足1cos()35πα+=，则sin α=______． 17．将函数sin(2)y x ϕ=+的图像向左平移12π个单位后所得函数图像关于原点中心对称，则sin 2ϕ=_________． 18．已知1tan 43πθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则cos2θ的值为_______． 19．将函数()cos 2f x x =图象上的所有的点向左平移4π个单位长度后，得到函数g (x )的图象，如果g (x )在区间[0]a ，上单调递减，那么实数a 的最大值为_________. 20．已知tan 2α=，则cos 22πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭___________. 三、解答题21．已知函数()2cos cos f x x x x =．（1）求()f x 的最小正周期；（2）函数()f x 的单调递减区间．22．已知函数()()2cos cos sin f x x x x x =+-．（1）求函数()f x 的单调递增区间；（2）若当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，关于()f x m ≥的不等式 _______，求实数m 的取值范围．请选择①和②中的一个条件，补全问题（2），并求解．其中，①有解；②恒成立．注意：如果选择①和②两个条件解答，以解答过程中书写在前面的情况计分． 23．已知函数())2sin cos 3f x x x x π=--．（1）求()f x 的最小正周期、最大值、最小值；（2）求函数的单调区间；24．已知函数()()sin 0,2f x x ϕωϕπω⎛⎫=->≤ ⎪⎝⎭的最小正周期为π. （1）求ω的值及()6g f ϕπ⎛⎫= ⎪⎝⎭的值域；（2）若3πϕ=，sin 2cos 0αα-=. 求()fα的值.25．已知函数()()2cos 3sin cos 1f x xx x =-+（1）求函数()f x 的最小正周期及单调递增区间. （2）当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，求函数()f x 的最大值和最小值. 26．如图，设矩形()ABCD AB BC >的周长为m ，把ABC 沿AC 翻折到AB C '，AB '交DC 于点P ，设AB x =.（1）若CP ＝2PD ，求x 的值；（2）求ADP △面积的最大值.参考答案【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D 解析：D 【分析】A.根据32()f x x ==[0,)+∞判断；B. 由幂函数的性质判断；C.由函数sin y x =的性质判断；D.由指数函数2x y =的性质判断. 【详解】A. 32()f x x ==[0,)+∞，不关于原点对称，所以函数是非奇非偶，故错误；B. 由幂函数知()1133()()f x x xf x ---=-=-=-是奇函数，在()0,1是减函数，故错误；C. 因为()()sin 2sin 2()f x x x f x -=-=-=-，所以()f x 是奇函数，在0,4π⎛⎫⎪⎝⎭上是增函数，在,14π⎛⎫⎪⎝⎭上减函数，故错误； D. 因为()()2222()xx x x f x f x ---=-=--=-，所以()f x 是奇函数，因为2,2x x y y -==-是增函数，()22x x f x -=-在区间()0,1上是增函数，故正确；故选：D2．C解析：C 【分析】由,2,4PCA PDA PEA θθθ∠=∠=∠=，得PDE △是等腰三角形，且可求得230θ=︒，在直角PEA 中易得塔高PA ．【详解】由题知,2CPD PCD DPE PDE θθ∠=∠=∠=∠= ∴30PE DE PD CD ====∴等腰EPD △的230θ︒=，∴460θ︒= ∴Rt PAE中，AE =15PA =．故选：C ．3．D解析：D 【分析】由题中条件，根据二倍角的余弦公式，可直接得出结果. 【详解】因为3sin 5α=-，所以297cos 212sin 122525αα=-=-⨯=. 故选：D.4．C【分析】先根据三角函数图象的变换得出()g x 的解析式，然后根据三角函数的图象性质分析()()f x g x =的条件并求解ω的值.【详解】由题意可知()sin 22g x x πωω⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，则函数()g x 的最大值为3，最小值为1，又()sin (0)f x x ωω=>的最大值为1，所以当()()f x g x =有实根时，()f x 的最大值点与()g x 的最小值点重合，故应平移(21),2T n n N +∈个单位，所以()212n ππω=+，得42,n n N ω=+∈，故只有C 选项符合.故选：C. 【点睛】本题考查根据三角函数图象的平移变换、考查根据函数图象有交点求参数的取值范围，难度一般. 解答的关键在于：（1）得出函数()g x 的解析式；（2）分析出()()f x g x =时，()f x 的最大值点与()g x 的最小值点重合.5．D解析：D 【分析】先利用任意角三角函数的定义求sin α和cos α，再利用二倍角的余弦公式计算即可. 【详解】由角α的终边过点(3,4)P -知，4sin 5α，3cos 5α=-，故229167cos 2cos sin 252525ααα=-=-=-. 故选：D.6．B解析：B 【分析】根据两角差的正弦公式，准确运算，即可求解. 【详解】由()1cos 45sin15sin 45cos15sin 1545sin 302︒︒-︒︒=︒-︒=-︒=-. 故选：B.7．B解析：B对A ，根据解析式可直接求出最小正周期；对B ，令242,262k x k k Z πππππ-+≤+≤+∈可求出单调递增区间；对C ，计算6f π⎛⎫⎪⎝⎭可判断；对D ，计算24f π⎛⎫⎪⎝⎭可判断.【详解】对于A ，()2sin 46f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，∴()f x 的最小正周期为242T ππ==，故A 错误；对于B ，令242,262k x k k Z πππππ-+≤+≤+∈，解得,26212k k x k Z ππππ-≤≤+∈，∴()f x 的单调递增区间为(),26212k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦，故B 正确；对于C ，2sin 412666f πππ⎛⎫⨯+=≠± ⎪⎝=⎭⎛⎫ ⎪⎝⎭，∴()f x 的图象不关于直线6x π=对称，故C 错误；对于D ，2sin 4026244f πππ⎛⎫⨯⎛⎫= +=≠ ⎪⎭⎭⎪⎝⎝，∴()f x 的图象不关于点,024π⎛⎫⎪⎝⎭对称. 故选B. 【点睛】方法点睛：判断正弦型函数()()=sin f x A x ωϕ+对称轴或对称中心的方法：（1）利用正弦函数的性质求出对称轴或对称中心，令()2x k k Z πωϕπ+=+∈可求得对称轴，令()x k k Z ωϕπ+=∈可求得对称中心；（2）代入求值判断，若()()00=sin f x A x A ωϕ+=±，则0x x =是对称轴；若()()00=sin 0f x A x ωϕ+=，则()0,0x 是对称中心. 8．D解析：D 【分析】根据三角函数的图象变换规律可得解析式．【详解】函数sin y x =的图象上所有的点向左平行移动6π个单位长度，得sin 6y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，再把所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的12倍（纵坐标不变），可得sin 26y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭. 故选：D ．解析：B 【分析】利用诱导公式cos160cos 20=-，再利用两角和的正弦公式即可求解. 【详解】sin 20cos10cos160sin10-()sin 20cos10cos 18020sin10=-- sin 20cos10cos 20sin10=+()sin 2010=+sin30=12=故选：B10．D解析：D 【分析】由函数图象可得()y f x =是奇函数，且当x 从右趋近于0时，()0f x >，依次判断每个函数即可得出. 【详解】由函数图象可得()y f x =是奇函数，且当x 从右趋近于0时，()0f x >，对于A ，当x 从右趋近于0时，sin60x >，22x x -<，故()0f x <，不符合题意，故A 错误；对于B ，()()sin 6sin 6()2222x x x xx xf x f x ----===--，()f x ∴是偶函数，不符合题意，故B 错误；对于C ，()()cos 6cos 6()2222x x x xx xf x f x ----===--，()f x ∴是偶函数，不符合题意，故C错误；对于D ，()()cos 6cos 6()2222x x x xx xf x f x ----===---，()f x ∴是奇函数，当x 从右趋近于0时，cos60x >，22x x ->，()0f x ∴>，符合题意，故D 正确. 故选：D. 【点睛】思路点睛：函数图象的辨识可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置． (2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势； (3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性； (4)从函数的特征点，排除不合要求的图象.解析：B 【分析】先根据图象求出,,A ωϕ的值即可得()f x 和()g x 的解析式，再利用函数图象的平移变换即可得正确选项. 【详解】由图知：1A =，74123T πππ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，所以22T πω==，()()cos 2f x x φ=+，当712x π=时，()()cos 2f x x φ=+有最小值，所以()72212k k Z πϕππ⨯+=+∈，所以()26k k Z πϕπ=-+∈，又因为2πϕ<，所以0,6k πϕ==-，所以()cos 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，()()cos2cos 2g x x x π=-=-，所以只需要把()cos 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭图象上所有的点向右平移512π个单位长度得()()5cos 2cos 2cos 2126x x x g x πππ⎡⎤⎛⎫--=-=-= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，故选：B 【点睛】关键点点睛：本题的关键点是由函数的部分图象求出,,A ωϕ的值，进而求出()f x 和()g x 的解析式，()()cos2cos 2g x x x π=-=-，由平移变换的规律求解，注意左右平移指一个x 变化多少，此点容易出错，属于中档题.12．D解析：D 【分析】由弧长公式求出3r =，再由扇形的面积公式求出答案. 【详解】扇形的圆心角322l r r ππθ===，所以3r =，则扇形的面积113932224S lr ππ==⨯⨯=. 故选：D. 二、填空题13．1【分析】利用辅助角公式和为的形式：根据已知可得是f(x)的图象的对称轴进而求得利用的关系和诱导公式求得的值【详解】解：其中∵对成立∴是f(x)的图象的对称轴即∴故答案为：1【点睛】本题考查三角函数解析：1 【分析】利用辅助角公式和为()Asin x ωϕ+的形式：()sin 2cos2)f x x a x x ϕ=+=+，根据已知可得π8x =是f(x)的图象的对称轴，进而求得ϕ，利用,a ϕ的关系tan a ϕ=和诱导公式求得a 的值. 【详解】解：()sin 2cos2)f x x a x x ϕ=+=+，其中sin tan a ϕϕϕ===.∵对x R ∀∈，|()|8f x f π⎛⎫≤ ⎪⎝⎭成立， ∴π8x =是f(x)的图象的对称轴，即π2,82k k Z πϕπ⨯+=+∈, ∴,4k k Z πϕπ=+∈，tan 1a ϕ==，故答案为：1. 【点睛】本题考查三角函数的图象和性质，涉及辅助角公式化简三角函数，利用辅助角化简是前提，理解,a ϕ的关系是基础，由对x R ∀∈，|()|8f x f π⎛⎫≤ ⎪⎝⎭成立，得出π8x =是f(x)的图象的对称轴是关键.14．【分析】利用诱导公式直接化简即可【详解】故答案为：解析：tan α-【分析】利用诱导公式直接化简即可. 【详解】cos()sin()(sin )(sin )2tan sin()cos()sin (cos )παααααπααπαα+--⋅-==----，故答案为：tan α-.15．【分析】由余弦函数的定义可得解出即可【详解】由余弦函数的定义可得解得（舍去）或（舍去）或故答案为：解析：1-【分析】由余弦函数的定义可得cos x θ==，解出即可. 【详解】由余弦函数的定义可得cos x θ==，解得0x =（舍去），或1x =（舍去），或1x =-，1x ∴=-.故答案为：1-.16．【分析】利用余弦的两角和公式展开结合代入计算即可【详解】解得根据代入计算解得故答案为：【分析】利用余弦的两角和公式展开，结合22sin cos 1αα+=，代入计算即可．【详解】1cos cos 2513πααα⎛⎫+=⋅= ⎪⎝⎭，解得2cos 5αα=+，根据22sin cos 1αα+=，代入计算，解得sin α=. 17．【分析】先根据函数平移变换得平移后的解析式为再根据其图象关于原点中心对称得进而计算得【详解】解：根据题意得函数的图像向左平移个单位后得到的函数解析式为：由函数图象关于原点中心对称故即所以故答案为：【解析：【分析】先根据函数平移变换得平移后的解析式为sin 26y x πϕ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，再根据其图象关于原点中心对称得,6k k Z πϕπ=-+∈，进而计算得sin 2ϕ=. 【详解】解：根据题意得函数sin(2)y x ϕ=+的图像向左平移12π个单位后得到的函数解析式为：sin 26y x πϕ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，由函数sin 26y x πϕ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭图象关于原点中心对称，故,6k k Z πϕπ+=∈，即,6k k Z πϕπ=-+∈所以sin 2sin 2sin 33k ππϕπ⎛⎫⎛⎫=-+=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故答案为：【点睛】三角函数的图象变换，提倡“先平移，后伸缩”，但“先伸缩，后平移”也常出现在题目中，所以也必须熟练掌握.无论是哪种变形，切记每一个变换总是对字母x 而言. 函数()sin ,y A x x R ωϕ=+∈是奇函数()k k Z ϕπ⇔=∈ ；函数()sin ,y A x x R ωϕ=+∈是偶函数2()k k Z πϕπ⇔=+∈；函数()cos ,y A x x R ωϕ=+∈是奇函数2()k k Z πϕπ⇔=+∈；函数()cos ,y A x x R ωϕ=+∈是偶函数()k k Z ϕπ⇔=∈.18．【分析】利用三角恒等变换公式得到求出后进而求出cos2即可【详解】由题意可知解得则故答案为解析：35【分析】利用三角恒等变换公式，得到tan 11tan 41tan 3πθθθ-⎛⎫-== ⎪+⎝⎭，求出tan θ后，进而求出cos2θ即可【详解】由题意可知，tan 11tan 41tan 3πθθθ-⎛⎫-== ⎪+⎝⎭，解得tan 2θ=，则222222cos sin 1tan 3cos 2cos sin 1tan 5θθθθθθθ--===-++ 故答案为35. 19．【分析】求出的平移后的解析式再利用函数在区间上是单调递减函数从而得到的最大值【详解】由题意将函数的图象向左平移个单位长度得到函数的图象因为函数在区间上是单调递减所以解得所以实数的最大值为故答案为：解析：4π【分析】求出()y g x =的平移后的解析式，再利用函数()g x 在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是单调递减函数，从而得到a 的最大值. 【详解】由题意，将函数()cos 2f x x =的图象向左平移4x个单位长度，得到函数()cos 2+n 4si 2g x x x π⎡⎤⎛⎫==- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦的图象，因为函数()g x 在区间[0]a ，上是单调递减，所以022a π<≤，解得04a π<≤，所以实数a 的最大值为4π. 故答案为：4π. 20．【分析】本题首先可通过三角恒等变换将转化为然后代入即可得出结果【详解】因为所以故答案为：【点睛】关键点点睛：本题考查给值求值问题能否合理利用同角三角函数关系诱导公式二倍角公式是解决本题的关键考查计算解析：45【分析】本题首先可通过三角恒等变换将cos 22πα⎛⎫- ⎪⎝⎭转化为22tan tan 1αα+，然后代入tan 2α=即可得出结果. 【详解】因为tan 2α=，所以2222sin cos 2tan 4cos 2sin 22sin cos tan 15παααααααα⎛⎫-==== ⎪++⎝⎭，故答案为：45. 【点睛】关键点点睛：本题考查给值求值问题，能否合理利用同角三角函数关系、诱导公式、二倍角公式是解决本题的关键，考查计算能力，是中档题.三、解答题21．（1）π；（2）2,,63k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦【分析】（1）利用二倍角的正弦、余弦公式将函数化为()1sin 262f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，由周期公式即可求解.（2）由正弦函数的单调递减区间32,2,22k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦，整体代入即可求解. 【详解】（1）()21cos 21cos cos sin 2262x f x x x x x π+⎛⎫===++ ⎪⎝⎭，所以函数的最小正周期222T πππω===，（2）3222,262k x k k Z πππππ+≤+≤+∈，解不等式可得2,63k x k k Z ππππ+≤≤+∈，所以函数()f x 的单调递减区间为2,,63k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦22．（1）[,],36k k k Z ππππ-++∈；（2）若选择①，2m ≤．若选择②，1m ≤-．【分析】(1)先结合二倍角公式及辅助角公式对已知函数进行化简，然后结合正弦函数的单调性可求; (2）若选择①，由()f x m ≥有解，即max ()m f x ≤，结合正弦函数的性质可求; 若选择②，由()f x m ≥恒成立，即min ()m f x ≤，结合正弦函数的性质可求. 【详解】（1）因为()()2cos cos sin f x x x x x =+-22cos s n cos i x x x x =+-2cos2x x =+2sin(2).6x π=+令222,262k x k k Z πππππ-+≤+≤+∈，解得36k x k k Z ππ-+π≤≤+π,∈. 所以函数()f x 的单调递增区间,,.36k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦（2）若选择①，由题意可知，不等式()f x m ≥有解，即max ()m f x ≤，因为0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以72666x πππ≤+≤，故当262x ππ+=，即6x π=时，()f x 取得最大值，且最大值为()26f π=，所以2m ≤.若选择②，由()f x m ≥恒成立，即min ()m f x ≤, 因为0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以72666x πππ≤+≤, 故当7266x ππ+=，即2x π=时,()f x 取得最小值，且最小值为()12f π=-，所以1m ≤- 【点睛】关键点点睛：考查了二倍角公式辅助角公式在三角函数化简中的应用，还考查了正弦函数性质的综合应用，其中，考查了存在性命题与全称命题的理解，理解含量词命题转化成适当的不等式是解题关键，属于中档试题.23．（1）T π=，最大值1，最小值-1；（2）在()5,1212k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦上单调递增；()7,1212k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦上单调递减；【分析】（1）利用两角差余弦公式、两角和正弦公式化简函数式，进而求()f x 的最小正周期、最大值、最小值；（2）利用()sin()f x A x ωϕ=+的性质求函数的单调区间即可. 【详解】（1）())2sin cos sin(2)33f x x x x x ππ=--=+，∴2||T ππω==，且最大值、最小值分别为1，-1；（2）由题意，当222232k x k πππππ-≤+≤+时，()f x 单调递增，∴51212k x k ππππ-≤≤+，k Z ∈，()f x 单调递增；当3222232k x k πππππ+≤+≤+时，()f x 单调递减， ∴71212k x k ππππ+≤≤+，k Z ∈，()f x 单调递减；综上，当()5,1212k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦，()f x 单调递增； ()7,1212k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦，()f x 单调递减；【点睛】关键点点睛：应用两角和差公式化简三角函数式并求最小正周期、最值；根据()sin()f x A x ωϕ=+性质确定三角函数的单调区间.24．（1）2ω=，()g ϕ的值域为1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦；（2）()410f α=+. 【分析】（1）由函数()f x 的最小正周期可求得ω的值，求得()sin 3g πϕϕ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，结合ϕ的取值范围可求得()g ϕ的值域；（2）求得tan 2α=，利用二倍角的正、余弦公式以及弦化切思想可求得()f α的值.【详解】（1）由于函数()()sin 0,2f x x ϕωϕπω⎛⎫=->≤⎪⎝⎭的最小正周期为π，则22πωπ==，()()sin 2f x x ϕ∴=-，()sin 63g f ππϕϕ⎛⎫⎛⎫∴==- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，22ππϕ-≤≤，5636πππϕ∴-≤-≤，所以，()1sin ,132g πϕϕ⎛⎫⎡⎤=-∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦；（2）sin 2cos 0αα-=，可得tan 2α=，3πϕ=，所以，())21sin 2sin 22sin cos 2cos 132f πααααααα⎛⎫=-==- ⎪⎝⎭22222sin cos tan sin cos 2sin cos 2tan 12αααααααααα=-+=+=+++245210-+=+=. 【点睛】求函数()()sin f x A x =+ωϕ在区间[],a b 上值域的一般步骤：第一步：三角函数式的化简，一般化成形如()sin y A x k ωϕ=++的形式或()cos y A x k ωϕ=++的形式．第二步：由x 的取值范围确定x ωϕ+的取值范围，再确定()sin x ωϕ+（或()cos x ωϕ+）的取值范围；第三步：求出所求函数的值域（或最值）.25．（1）T π=，,,63k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦；（2）()()max min 2,1f x f x ==-.【分析】（1）先利用二倍角公式和辅助角公式化简()f x ，然后根据周期计算公式求解出T ，再采用整体替换法求解出单调递增区间；（2）采用整体替换的方法先分析出26x π-的取值范围，然后再结合正弦函数的单调性，求解出()f x 的最值. 【详解】（1）因为())22cos cos 1212cos 2cos 2f x xx x x x x x =-+=+-=-，所以()2sin 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，所以最小正周期22T ππ==，令222,262k x k k Z πππππ-≤-≤+∈，所以,63k x k k Z ππππ-≤≤+∈，所以单调递增区间为：,,63k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦；（2）因为0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以52,666x πππ⎛⎫⎡⎤-∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，又因为sin y x =在,62ππ⎡⎫-⎪⎢⎣⎭上单调递增，在5,26ππ⎛⎤⎥⎝⎦上单调递减，所以()max 2sin22f x π==，此时3x π=，又()min 2sin 16f x π⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，此时0x =，综上可知：()()max min 2,1f x f x ==-. 【点睛】思路点睛：求解形如()sin y A ωx φ=+在指定区间上的值域或最值的一般步骤如下：（1）先确定t x ωϕ=+这个整体的范围；（2）分析sin y A t =在（1）中范围下的取值情况；（3）根据取值情况确定出值域或最值，并分析对应的x 的取值.26．（1）(34m ；（2）(2316m ⋅-. 【分析】（1）设CAB CAP θ∠=∠=，求得222PAD APD πθθ∠=-∠=，，得到且tan 23tan θθ=，结合正切的二倍角公式，即可求解.（2）设CAB CAP θ∠=∠=，则2APD θ∠=，且()tan 01θ∈，，由()tan 2x x m θ+⨯=，求得x 得值，求得()tan 21tan m AD BC θθ==+，1tan 4PD m θ-=，设1tan t θ+=，得到()12t ∈，，利用三角形的面积公式和二次函数的性质，即可求解. 【详解】（1）由题意，在ABC 中，可设CAB CAP θ∠=∠=，则由角度关系可得222PAD APD πθθ∠=-∠=，，设BC y = ，且tan tan 23tan 3y yx xθθθ===，，则有22tan tan 23tan 1tan θθθθ==-，解得tan θ=，则有y x =，所以23x x m ⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭，解得(34x m =. （2）设CAB CAP θ∠=∠=，则222PAD APD πθθ∠=-∠=，，且()tan 01θ∈，，则有()tan 2x x m θ+⨯=，解得()21tan m x θ=+，即()tan 21tan m AD BC θθ==+，所以()2tan 1tan 1tan tan 221tan 2tan 4AD PD m m θθθθθθ--==⋅=+，则S △ADP =()2221tan 1tan tan tan 221tan 4161tan m m θθθθθθ--⋅⋅=⋅++，令()1tan 12t t θ+=∈，，所以S △ADP =()22222113223161616t t m m t t m t t t t ---⎡⎤-+-⎛⎫⋅=⋅=⋅-++ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦(2316m ≤⋅-，当且仅当2t t t==，时取等号.则ADP △面积的最大值为(2316m ⋅-.【点睛】对于三角函数模型的应用问题，解答的关键是建立符合条件的函数模型，结合示意图，然后再由三角形中的相关知识进行求解，解题时要注意综合利用所学的三角恒等变换的公式及三角函数的性质求解.。

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一、选择题1．已知曲线1:sin C y x =，曲线2:sin 23C y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭，则下列结论正确的是（） A ．把曲线1C 上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移3π个单位长度，得到曲线2C B ．把曲线1C 上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移6π个单位长度，得到曲线2C C ．把曲线1C 上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移3π个单位长度，得到曲线2C D ．把曲线1C 上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移6π个单位长度，得到曲线2C 2．已知曲线C 1：y ＝2sin x ，C 2：2sin(2)3y x π=+，则错误的是（）A ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平行移动6π个单位长度，得到曲线C 2 B ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平行移动56π个单位长度，得到曲线C 2 C ．把C 1向左平行移动3π个单位长度，再把得到的曲线上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，得到曲线C 2 D ．把C 1向左平行移动6π个单位长度，再把得到的曲线上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，得到曲线C 23．已知函数()1cos 2f x x x ωω=-（0>ω）的图象与直线1y =的相邻两个交点距离等于π，则()f x 的图象的一条对称轴是（） A ．12x π=-B ．12x π=C ．3x π=-D ．3x π=4．如果函数()cos 3f x x θ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象关于直线2x π=对称，那么θ的最小值为（）A ．6π B ．4π C ．3πD ．2π 5．cos45sin15sin 45cos15︒︒-︒︒=（）.A ．1B ．12-C ．2D ．126．已知函数()22sin cos f x x x x ωωω=-，且()f x 图象的相邻对称轴之间的距离为4π，则当0,4x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()f x 的最小值为（）A ．1-B ．C ．D ．-7．在平面直角坐标系xOy 中，角α与角β均以Ox 为始边，它们的终边关于y 轴对称．若2sin 3α=，则()cos αβ-=（）A ．19B ．9C ．19-D ．9-8．已知1cos 2α=，322παπ<<，则sin(2)πα-=（）A ．B ．12C ．12-D926tan 34tan 26tan 34++=（）A ．3B ．CD ．10．已知,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭且1sin 23πα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，则()tan απ+=（）A ．-B ．C ．4-D ．411．已知3cos()45x π-=-，177124x ππ<<，则2sin 22sin 1tan x xx-+的值为（） A ．2875B ．21100-C ．2875-D ．2110012．已知2cos 432θπ⎛⎫= ⎪⎝⎭-，则sin θ=（） A ．79 B ．19C ．－19D ．－79二、填空题13．角θ的终边经过点(1,3)P -，则sin 6πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭____________. 14．设ABC 的内角,,A B C 所对的边分别为,,,a b c 若2sin cos sin A B C =，则ABC 的形状为________. 15．已知一扇形的圆心角为3π，弧长是cm π，则扇形的面积是__________2cm ． 16．将函数sin(2)y x ϕ=+的图像向左平移12π个单位后所得函数图像关于原点中心对称，则sin 2ϕ=_________．17．已知α，β，且()()1tan 1tan 2αβ-+=，则αβ-=______． 18．若函数()πsin 26g x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在区间0,3a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦和7π4,6a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上均递增，则实数a 的取值范围是______．19．若3sin 5αα=，是第二象限角，则sin 24πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭__________．20．若πcos cos 24αα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则sin 2α=________. 三、解答题21．已知函数()3cos 22sin cos 3f x x x x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭. （1）求()f x 的最小正周期和单调减区间；（2）求证：当,44x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，()12f x ≥-. 22．已知函数()()sin 0,2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示.（1）写出函数()f x 的最小正周期T 及ω、ϕ的值；（2）求函数()f x 在区间,44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的单调增区间.23．在①函数()()sin 20,2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+><⎪⎝⎭的图象向右平移6π个单位长度得到()g x 的图像，()g x 图像关于,012π⎛⎫⎪⎝⎭对称；②函数()()12cos sin 062f x x x πωωω⎛⎫=+-> ⎪⎝⎭这两个条件中任选一个，补充在下而问题中，并解答.已知______，函数()f x 的图象相邻两条对称轴之间的距离为2π. （1）若()f x 在[]0,α上的值域为1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦，求a 的取值范围；（2）求函数()f x 在[]0,2π上的单调递增区间.24．已知1cos cos 634ππαα⎛⎫⎛⎫+-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，,32ππα．（1）求sin 2α的值；（2）求1tan tan αα-的值． 25．已知02πα<<，4sin 5α.（1）求tan α的值；（2）求cos 2sin 2παα⎛⎫++ ⎪⎝⎭的值.26．已知函数2()22cos 1f x x x =-+．（1）求()f x 的最小正周期；（2）若对任意[,]6x m π∈，都有()()6f x f π≥，求m 的最大值．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D 解析：D 【分析】根据三角函数的伸缩变换与平移变换原则，可直接得出结果. 【详解】因为sin 2sin 236y x x ππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，所以将sin y x =图象上各点的横坐标缩短为原来的12，纵坐标不变，可得sin 2y x =的图象，再将sin 2y x =的图象向右平移6π个单位，即可得到sin 23y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象. 故选：D.2．D解析：D 【分析】利用函数()sin +y A x ωϕ=的图象变换规律对各个选项进行检验即可. 【详解】A. 1C 上各点横坐标缩短到原来的12倍，得到2sin 2y x =，再向左平移6π个单位长度，得到2sin 2+=2sin 2+63y x x ππ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，正确； B. 1C 上各点的横坐标缩短到原来的12倍，得到2sin 2y x =，再向右平移56π个单位长度，得到5552sin 2=2sin 2=2sin 222sin 26333y x x x x πππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=---+=+ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，正确； C. 1C 向左平移3π个单位长度，得到2sin +3y x π⎛⎫= ⎪⎝⎭，再把各点横坐标缩短到原来的12倍，得到2sin 2+3y x π⎛⎫= ⎪⎝⎭，正确；D. 1C 向左平移6π个单位长度，得到2sin +6y x π⎛⎫= ⎪⎝⎭，再把各点横坐标缩短到原来的12倍，得到2sin 2+6y x π⎛⎫= ⎪⎝⎭，错误. 故选：D3．D解析：D 【分析】首先化简函数，根据条件确定函数的周期，求ω，再求函数的对称轴. 【详解】()()sin 06f x x πωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭，max 1y =，由题意可知T π=，22ππωω∴=⇒=，()sin 26f x x π⎛⎫∴=- ⎪⎝⎭，令2,62x k k Z πππ-=+∈，解得：32k x ππ=+，k Z ∈ 当0k =时，3x π=.故选：D4．A解析：A 【分析】利用余弦函数的对称轴以及整体思想可得：θ的表达式，进而得到θ的最小值．【详解】由题意函数()cos 3f x x θ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象关于直线2x π=对称，则有 1,32k πθπ⋅+= 解得 θ＝k π6π-，k ∈Z ，所以由此得|θmin 6π=．故选：A ．【点睛】方法点睛：求正余弦函数的对称轴及对称中心一般利用整体思想求解5．B解析：B 【分析】根据两角差的正弦公式，准确运算，即可求解. 【详解】由()1cos 45sin15sin 45cos15sin 1545sin 302︒︒-︒︒=︒-︒=-︒=-. 故选：B.6．D解析：D 【分析】先将函数化简整理，根据相邻对称轴之间距离求出周期，确定2ω=，再根据正弦函数的性质，结合给定区间，即可求出最值. 【详解】因为()21cos 22sin cos sin 22xf x x x x x ωωωωω+=-=- πsin 222sin 23x x x ωωω⎛⎫=-=-- ⎪⎝⎭由题意知()f x 的最小正周期为ππ242⨯=，所以2ππ22ω=，即2ω=，所以()π2sin 43f x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭当π0,4x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，ππ2π4,333x ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，所以π2sin 423x ⎛⎫⎡⎤-∈ ⎪⎣⎦⎝⎭，因此()π2sin 423f x x ⎛⎫⎡=-- ⎪⎣⎝⎭，所以函数()f x 的最小值为-．故选：D.7．C解析：C 【分析】由对称写出两角的关系，然后利用诱导公式和二倍角公式计算．【详解】由题意2,k k Z αβππ+=+∈，即2k βππα=+-，2221cos()cos(22)cos(2)cos 22sin 12139k αβαπππααα⎛⎫-=--=-=-=-=⨯-=-⎪⎝⎭．故选：C ．8．D解析：D 【分析】由已知利用同角三角函数基本关系式可求sin α的值，进而根据诱导公式即可求解．【详解】解：因为1cos 2α=，322παπ<<，所以sin 2α==-，所以sin(2)sin παα-=-=．故选：D ．9．C解析：C 【分析】利用两角和的正切公式，特殊角的三角函数值化简已知即可求解．【详解】26tan34tan 26tan34︒︒+︒+︒26tan 34tan(2634)(1tan 26tan 34)=︒︒+︒+︒-︒︒26tan 34tan 26tan 34)=︒︒+-︒︒26tan3426tan34=︒︒︒︒=故选：C ．10．A解析：A 【分析】由条件可得1cos 3α=-，然后可得sin 3α=，然后()sin tan tan cos ααπαα+==，即可算出答案. 【详解】因为1sin cos 23παα⎛⎫+==- ⎪⎝⎭，,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以sin α=所以()sin tan tan cos ααπαα+===-故选：A11．A解析：A 【分析】根据177124x ππ<<以及3cos()45x π-=-求出4sin()45x π-=-，进而求出4tan()43x π-=，根据诱导公式和二倍角的余弦公式得7sin 225x =-，然后利用恒等变换公式将2sin 22sin 1tan x xx-+化简为sin 2tan()4x x π-⋅-后，代入计算可得结果.【详解】因为177124x ππ<<，所以73642x πππ<-<，因为3cos()45x π-=-，所以4sin()45x π-===-， sin()4tan()4cos()4x x x πππ--==-4535--43=， sin 2cos(2)cos 2()24x x x ππ⎡⎤=-=-⎢⎥⎣⎦2972cos 12142525x π⎛⎫=--=⨯-=- ⎪⎝⎭，所以2sin 22sin 1tan x x x-+2sin (cos sin )sin 1cos x x x x x-=+2sin cos (cos sin )cos sin )x x x x x x -=+sin 2(1tan )1tan x x x -=+tantan 4sin 21tan tan 4xx x ππ-=⋅+sin 2tan()4x x π=-⋅-7428()25375=--⨯=.故选：A 【点睛】本题考查了同角公式，考查了诱导公式，考查了二倍角的正弦公式，考查了两角差的正切公式，属于中档题.12．C解析：C 【分析】根据题中条件，由诱导公式，以及二倍角公式，即可求出结果. 【详解】因为2cos 432θπ⎛⎫=⎪⎝⎭-，所以241sin cos 2cos 12124299ππθθθ⎛⎫⎛⎫=-=--=⨯-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 故选：C二、填空题13．【分析】利用正弦函数定义求得再由正弦函数两角和的公式计算【详解】由题意所以故答案为：解析：12-【分析】利用正弦函数定义求得sin θ，再由正弦函数两角和的公式计算【详解】由题意sin 2θ=，1cos 2θ=，所以，1sin cos 62πθθθ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭311442=-+=-，故答案为：12-14．等腰三角形【分析】由整理可得角的关系即可【详解】由的内角知所以又所以为等腰三角形故答案为:等腰三角形【点睛】此题考查两角和与差的正弦公式的正向和逆向使用属于基础题解析：等腰三角形【分析】由()sin sin sin cos cos sin C A B A B A B π=-+=+⎡⎤⎣⎦，整理可得角的关系即可. 【详解】由ABC 的内角,,A B C 知，()C A B π=-+，所以 ()sin sin sin cos cos sin 2sin cos C A B A B A B A B π=-+=+=⎡⎤⎣⎦，sin cos cos sin 0A B A B -=，()sin 0A B -=，又()()()0,π,0,π,π,πA B A B ∈∈-∈-所以A B =，ABC 为等腰三角形. 故答案为:等腰三角形. 【点睛】此题考查两角和与差的正弦公式的正向和逆向使用，属于基础题.15．【分析】先由弧长公式求出扇形所在圆的半径再根据扇形面积公式即可得出结果【详解】因为一扇形的圆心角为弧长是所以其所在圆的半径为因此该扇形的面积是故答案为：解析：32π【分析】先由弧长公式求出扇形所在圆的半径，再根据扇形面积公式，即可得出结果. 【详解】因为一扇形的圆心角为3π，弧长是cm π，所以其所在圆的半径为33r ππ==，因此该扇形的面积是1133222S lr ππ==⨯⨯=.故答案为：32π. 16．【分析】先根据函数平移变换得平移后的解析式为再根据其图象关于原点中心对称得进而计算得【详解】解：根据题意得函数的图像向左平移个单位后得到的函数解析式为：由函数图象关于原点中心对称故即所以故答案为：【解析：【分析】先根据函数平移变换得平移后的解析式为sin 26y x πϕ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，再根据其图象关于原点中心对称得,6k k Z πϕπ=-+∈，进而计算得sin 2ϕ=. 【详解】解：根据题意得函数sin(2)y x ϕ=+的图像向左平移12π个单位后得到的函数解析式为：sin 26y x πϕ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，由函数sin 26y x πϕ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭图象关于原点中心对称，故,6k k Z πϕπ+=∈，即,6k k Z πϕπ=-+∈所以sin 2sin 2sin 33k ππϕπ⎛⎫⎛⎫=-+=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故答案为：【点睛】三角函数的图象变换，提倡“先平移，后伸缩”，但“先伸缩，后平移”也常出现在题目中，所以也必须熟练掌握.无论是哪种变形，切记每一个变换总是对字母x 而言. 函数()sin ,y A x x R ωϕ=+∈是奇函数()k k Z ϕπ⇔=∈ ；函数()sin ,y A x x R ωϕ=+∈是偶函数2()k k Z πϕπ⇔=+∈；函数()cos ,y A x x R ωϕ=+∈是奇函数2()k k Z πϕπ⇔=+∈；函数()cos ,y A x x R ωϕ=+∈是偶函数()k k Z ϕπ⇔=∈.17．【分析】将原式打开变形然后根据正切的差角公式求解【详解】即即即故答案为：【点睛】本题考查正切的和差角公式的运用常见的变形形式有：（1）；（2）解析：()+4k k Z ππ-∈【分析】将原式打开变形，然后根据正切的差角公式求解. 【详解】()()1tan 1tan 1tan tan tan tan 2αβαβαβ-+=-+-=，即tan tan 1tan tan βααβ-=+，tan tan 11tan tan βααβ-∴=+，即()tan 1βα-=，()π4k k Z βαπ∴-=+∈，即()+4k k Z παβπ-=-∈. 故答案为： ()+4k k Z ππ-∈.【点睛】本题考查正切的和差角公式的运用，常见的变形形式有：（1）()()tan tan tan tan tan tan αβαβαβαβ+=+++⋅⋅；（2）()()tan tan tan tan tan tan αβαβαβαβ-=---⋅⋅.18．【分析】由的范围求出的范围结合正弦函数性质得不等关系【详解】时时由题意又解得故答案为：【点睛】方法点睛：本题考查正弦型复合函数的单调性在中则的单调性与的单调性一致因此对一个区间我们只要求得的范围它应解析：π7π,624⎡⎫⎪⎢⎣⎭【分析】由x 的范围求出26x π+的范围，结合正弦函数性质得不等关系．【详解】0,3a x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，22,6636a x πππ⎡⎤+∈+⎢⎥⎣⎦，7π4,6x a ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，528,662x a πππ⎡⎤+∈+⎢⎥⎣⎦，由题意23623862a a ππππ⎧+≤⎪⎪⎨⎪+≥⎪⎩，又03746aa π⎧>⎪⎪⎨⎪<⎪⎩，解得7624a ππ≤<．故答案为：π7π,624⎡⎫⎪⎢⎣⎭．【点睛】方法点睛：本题考查正弦型复合函数的单调性，在sin()y A x ωϕ=+中，0,0A ω>>，则sin()y A x ωϕ=+的单调性与sin y x =的单调性一致，因此对一个区间[,]a b ，我们只要求得x ωϕ+的范围，它应在sin y x =的单调区间内，那么sin()y A x ωϕ=+在[,]a b 上就有相同的单调性．这是一种整体思想的应用．19．【分析】根据条件分别求再代入求两角和的正弦【详解】且是第二象限角故答案为：解析：【分析】根据条件分别求cos α，sin 2α，cos2α，再代入求两角和的正弦【详解】3sin 5α=，且α是第二象限角，4cos 5α∴==- 27cos 22cos 125αα∴=-=，3424sin 22sin cos 25525ααα⎛⎫==⨯⨯-=- ⎪⎝⎭，)sin 2sin 2cos 24250πααα⎛⎫+=+=- ⎪⎝⎭.故答案为：50-20．或【分析】根据两角差的余弦公式和余弦的二倍角展开再进行平方再根据正弦的二倍角公式可答案得【详解】由得即所以或当时两边同时平方得所以解得；当时所以所以所以故答案为：或解析：1-或12【分析】根据两角差的余弦公式和余弦的二倍角展开，再进行平方，再根据正弦的二倍角公式可答案得．【详解】由πcos cos 24αα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，得)22cos +sin cos sin 2αααα=-，即)()()cos +sin cos sin cos +sin 2αααααα=-，所以cos sin =2αα-或cos +sin 0αα=，当cos sin =2αα-时，两边同时平方得112sin cos =2αα-，所以11sin2=2α-.解得sin 2α=12；当cos +sin 0αα=时，tan 1α=-，所以()+,4k k Z παπ=-∈所以()2+2,2k k Z παπ=-∈所以sin 21α=-，故答案为：1-或12. 三、解答题21．（1）最小正周期π，单调减区间为12127,k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦，k Z ∈；（2）证明见解析. 【分析】（1）利用两角差余弦公式、正弦倍角公式及辅助角公式可得()sin 23f x x，即可求最小正周期，整体代入求单调减区间；（2）由44x ππ-≤≤得52636x πππ-≤+≤，即可得()f x 的值域，进而判断()12f x ≥-是否成立. 【详解】解：（1）3()sin 2sin 22f x x x x =+-1sin 22sin 223x x x π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭， ∴()f x 的最小正周期22T ππ==. 令3222232k x k πππππ+≤+≤+，k Z ∈，解得71212k x k ππππ+≤≤+，k Z ∈， ∴单调减区间为12127,k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦，k Z ∈. （2）由44x ππ-≤≤，知：52636x πππ-≤+≤，则有()f x 的值域为1[,1]2-，∴1sin 232x π⎛⎫+≥- ⎪⎝⎭，即当,44x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，()12f x ≥-得证. 【点睛】关键点点睛：（1）利用三角恒等变换：两角和差公式、辅助角公式化简三角函数式，并确定函数性质. （2）根据（1）的三角函数解析式结合已知定义域范围确定值域，判断函数不等式是否成立.22．（1）T π=，2ω=，3πϕ=；（2）,412ππ⎛⎫-⎪⎝⎭【分析】（1）由函数sin()y A x ωϕ=+的部分图象求解析式，由周期求出ω，由五点法作图求出ϕ的值，可得函数的解析式．（2）由以上可得，()sin(2)3f x x π=+，再利用正弦函数的性质，求出函数在区间上的单调性．【详解】解：（1）根据函数()sin()(0f x x ωϕω=+>，||)2πϕ<的部分图象，可得32134123πππω=-，解得2ω=，∴最小正周期22T ππ==．所以()sin(2)f x x ϕ=+ 因为函数过13,112π⎛⎫⎪⎝⎭，所以13sin 2112πϕ⎛⎫⋅+= ⎪⎝⎭，所以()13262k k Z ππϕπ+=+∈，解得()523k k Z πϕπ=-+∈ 因为2πϕ<，所以3πϕ=．所以()sin(2)3f x x π=+（2）由以上可得，()sin(2)3f x x π=+，在区间,44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上，所以2[36x ππ+∈-，5]6π，令2632x πππ-≤+≤，解得412x ππ-≤≤ 即函数()f x 在区间,44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的单调增区间为,412ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【点睛】求三角函数的解析式时，由2Tπω=即可求出ω；确定φ时，若能求出离原点最近的右侧图象上升(或下降)的“零点”横坐标x 0，则令ωx 0＋φ＝0(或ωx 0＋φ＝π)，即可求出φ，否则需要代入点的坐标，利用一些已知点的坐标代入解析式，再结合函数的性质解出ω和φ，若对A ，ω的符号或对φ的范围有要求，则可用诱导公式变换使其符合要求. 23．（1）,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦；（2）06,π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，27,36ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，5,23ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦.【分析】先选条件①或条件②，结合函数的性质及图像变换，求得函数()sin 26f x x π⎛⎫+ ⎝=⎪⎭，（1）由[]0,x α∈，得到2,2666x πππα⎡⎤+∈+⎢⎥⎣⎦，根据由正弦函数图像，即可求解；（2）根据函数正弦函数的形式，求得36k x k ππππ-+≤≤+，k Z ∈，进而得出函数的单调递增区间. 【详解】方案一：选条件①由函数()f x 的图象相邻两条对称轴之间的距离为2π，可得22T ππω==，解得1ω=，所以()()sin 2f x x ϕ=+，又由函数()f x 的图象向右平移6π个单位长度得到πsin 2φ3g x x，又函数()g x 图象关于,012π⎛⎫⎪⎝⎭对称，可得6k πϕπ=+，k Z ∈，因为2πϕ<，所以6π=ϕ，所以()sin 26f x x π⎛⎫+ ⎝=⎪⎭.（1）由[]0,x α∈，可得2,2666x πππα⎡⎤+∈+⎢⎥⎣⎦，因为函数()f x 在[]0,α上的值域为1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦，根据由正弦函数图像，可得52266ππαπ≤+≤，解得63ππα≤≤，所以α的取值范围为,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦.（2）由222262k x k πππππ-+≤+≤+，k Z ∈，可得36k x k ππππ-+≤≤+，k Z ∈，当0k =时，可得66x ππ-≤≤；当1k =时，可得2736x ππ≤≤；当2k =时，可得51336x ππ≤≤，所以函数()f x 在[]0,2π上的单调递增区间为06,π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，27,36ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，5,23ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦.方案二：选条件②：由()12cos sin 62f x x x πωω⎛⎫=+- ⎪⎝⎭12cos sin cos cos sin 662x x x ππωωω⎛⎫=+- ⎪⎝⎭211cos cos 2cos 2222x x x x x ωωωωω=+-=+sin 26x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，因为函数()f x 的图象相邻两条对称轴之间的距离为2π，可得22T ππω==，所以1ω=，可得()()sin 2f x x ϕ=+，又由函数()f x 的图象向右平移6π个单位长度得到πsin 2φ3g x x，又函数()g x 图象关于,012π⎛⎫⎪⎝⎭对称，可得6k πϕπ=+，k Z ∈，因为2πϕ<，所以6π=ϕ，所以()sin 26f x x π⎛⎫+ ⎝=⎪⎭.（1）由[]0,x α∈，可得2,2666x πππα⎡⎤+∈+⎢⎥⎣⎦，因为函数()f x 在[]0,α上的值域为1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦，根据由正弦函数图像，可得52266ππαπ≤+≤，解得63ππα≤≤，所以α的取值范围为,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦.（2）由222262k x k πππππ-+≤+≤+，k Z ∈，可得36k x k ππππ-+≤≤+，k Z ∈，当0k =时，可得66x ππ-≤≤；当1k =时，可得2736x ππ≤≤；当2k =时，可得51336x ππ≤≤，所以函数()f x 在[]0,2π上的单调递增区间为06,π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，27,36ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，5,23ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 【点睛】解答三角函数图象与性质的综合问题的关键是首先将已知条件化为()sin()f x A wx ϕ=+或()cos()f x A wx ϕ=+的形式，然后再根据三角函数的基本性质，结合数形结合法的思想研究函数的性质（如：单调性、奇偶性、对称性、周期性与最值等），进而加深理解函数的极值点、最值点、零点及有界性等概念与性质.24．（1）12；（2）【分析】（1）利用诱导公式以及二倍角公式可得1sin 232πα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，再由sin 2sin 233ππαα⎡⎤⎛⎫=+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，利用两角差的正弦公式即可求解.（2）根据切化弦以及二倍角公式即可求解. 【详解】解：（1）cos cos cos sin 6366ππππαααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-=++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 11sin 2234πα⎛⎫=+=- ⎪⎝⎭，即1sin 232πα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，因为,32ππα，所以42,33ππαπ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，所以cos 23πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，所以sin 2sin 233ππαα⎡⎤⎛⎫=+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦sin 2cos cos 2sin 3333ππππαα⎛⎫⎛⎫=+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭111222⎛=-⨯-= ⎝⎭．（2）因为,32ππα，所以22,3παπ⎛⎫∈⎪⎝⎭，又由（1）知1sin 22α=，所以cos 22α=-．所以221sin cos sin cos tan tan cos sin sin cos αααααααααα--=-=2cos 2221sin 22αα-==-⨯=25．（1）43；（2）825. 【分析】（1）由同角三角函数的基本关系先得cos α的值，再得tan α的值；（2）根据诱导公式以及二倍角的余弦可得结果. 【详解】（1）因为02πα<<，4sin 5α，故3cos 5α=，所以4tan 3α=.（2）23238cos 2sin 12sin cos 1225525παααα⎛⎫++=-+=-+= ⎪⎝⎭. 【点睛】本题主要考查了通过同角三角函数的基本关系以及诱导公式求三角函数的值，属于基础题. 26．（1）π；（2）2π. 【分析】（1）首先利用二倍角公式和辅助角公式化简函数()2sin 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，再求最小正周期；（2）由题意可知当6x π=时，函数取得最小值，首先求26x π-的范围，再根据根据函数的取值范围确定右端点的范围，求m 的最大值. 【详解】（1）因为2()22cos 1f x x x =-+2cos 2x x =-12cos 2)22x x =- 2sin(2)6x π=-所以()f x 的最小正周期为2ππ2T ==．（2）由（1）知()2sin(2).6f x x π=- 令2,6t x π=- 当[,]6x m π∈时，[,2]66t m ππ∈-. 若对任意[,]6x m π∈，都有()()6f x f π≥，即对任意[,2]66t m ππ∈-，都有1sin ,2t ≥ 所以266m π5π-≤. 即2m π≤，所以m 的最大值为2π. 【点睛】思路点睛：本题考查()sin y A ωx φ=+的解析式和性质的判断，可以整体代入求解函数性质，根据x 的范围，求x ωϕ+的范围，再代入sin y x =的性质，求解.。