三阶行列式的定义
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3
参考书籍：
(1)《高等代数》 导教 ·导学 ·导考，2004， 西北工大出版社. (2) 张贤科, 许甫华, 高等代数学(第二版), 清华大学出版社, 2004.
考试方法: 平时成绩 20分 期末闭卷考试 80分 平时成绩主要包含作业情况。
4
第二章 行列式
一 引言
用消元法解二元线性方程组
a11 x1 a12 x2 b1 , a21 x1 a22 x2 b2 .
运用消元法，可以推知当
( 3)
a11a22 a33 a12 a23a31 a13 a21a32 a11a23 a32 a12 a21a33 a13 a22 a31 0，
7
b1a22a33 a12a23b3 b2a32a13 a13a22b3 a23a32b1 a12b2a33 x1 a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32 a11a23a32 a12a21a33 a13a22a31 b2a11a33 a31a23b1 b3a21a13 a13a31b2 a23a11b3 a21b1a33 x2 a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32 a11a23a32 a12a21a33 a13a22a31 b3a22a11 a12a31b2 b3a21a12 a32a11b2 a22a31b1 a12b3a21 x3 a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32 a11a23a32 a12a21a33 a13a22a31
a11 a12 a21 a22 ( 3)
表达式 a11a 22 a12 a 21称为数表（ 3 ）所确定的二阶 行列式，并记作
即
a11 a 21
a12 a 22
( 4)
D
a11 a21
a12 a22
a11a22 a12 a21 .
6
三阶行列式
考察三元线性方程组
a11 x1 a12 x2 a13 x3 b1 , a21 x1 a22 x2 a23 x3 b2 , a x a x a x b . 31 1 32 2 33 3 3
D1
12 2 1 1
14, D2
3 12 2 1
21,
D2 21 D1 14 x1 2, x 2 3. D D 7 7
12
三阶行列式的计算 对角线法则
a11 a12 a21 a22 a31 a32 a13 a23 a33
a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32 a13a22a31 a12a21a33 a11a23a32 .
8
定义
设有9个数排成3行3列的数表 a11 a12 a13 a21 a22 a32 a23 a33 (6) a31
记
列标 a11 a12 a13 a21 a22 a23 a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32 (7) a11a23a32 a12a21a33 a13a22a31, a31 a32 a33
10
a11 x1 a12 x2 b1 , a21 x1 a22 x2 b2 .
b1 D1 b2 a12 , a22
a11 x1 a12 x2 b1 , a21 x1 a22 x2 b2 .
a11 b1 D2 . a21 b2
则二元线性方程组的解为
说明 1
2
对角线法则只适用于二阶与三阶行列式． 三阶行列式包括3!项,每一项都是位于不 同行，不同列的三个元素的乘积,其中三 项为正,三项为负.
13
例 求解三阶行列式 1 2
D -2 -3
解 按对角线法则有
2 4
-4 1. -2
D 1 2 ( 2 ) 2 1 ( 3 ) ( 4 ) ( 2 ) 4
线性代数
பைடு நூலகம்
1
线性代数的重要性: (1)线性代数课程中体现了近代数学的一个 重要思想: 结构. (2) 诸多工程计算中涉及的矩阵、行列式和 大规模线性方程组等可以通过该课程有 所了解. (3)线性代数及其后续课程近世代数是现代 信息安全领域研究必备的理论基础. (4) 考研必考课程之一.
2
对于每一本值得阅读的数学书，必需“前后往返” 地去阅读（Lagrange）。现在我对这句话稍作修饰并 阐明如下：“继续不断往下读，但又不时地返回到已 读过的那些内容中去，以增强你的信心。另外，当您 在研读时，一旦陷入难懂而又枯燥的内容中时，不妨 暂且越过继续往前读，等到你在下文中发现被越过部 分的重要性和必要性时，再回过头来研读它。” ——Chrystal George Algebra，Part 2 （Edinburgh 1889）
b1
a12
a11
b1
D1 b2 a22 x1 , D a11 a12 a21 a22
D2 a21 b2 x2 . D a11 a12 a21 a22
11
例
求解二元线性方程组 3 x1 2 x 2 12, 2 x1 x 2 1.
解
D
3 2 2 1
3 ( 4) 7 0,
当 a11a22 a12a21 0 时，方程组的解为
b1a22 a12 b2 x1 ， a11a22 a12 a21 a11b2 b1a21 x2 . a11a22 a12 a21
(1)
（2）
由方程组的四个系数确定.
5
定义 由四个数排成二行二列（横排称行、竖排
称列）的数表
行标
（7）式称为数表（6）所确定的三阶行列式.
9
二阶行列式的计算
主对角线 副对角线
对角线法则
a11a22 a12a21 .
a11
a21
a12
a22
a11 x1 a12 x2 b1 , 对于二元线性方程组 a21 x1 a22 x2 b2 .
若记
系数行列式
a11 a12 D , a21 a22
参考书籍：
(1)《高等代数》 导教 ·导学 ·导考，2004， 西北工大出版社. (2) 张贤科, 许甫华, 高等代数学(第二版), 清华大学出版社, 2004.
考试方法: 平时成绩 20分 期末闭卷考试 80分 平时成绩主要包含作业情况。
4
第二章 行列式
一 引言
用消元法解二元线性方程组
a11 x1 a12 x2 b1 , a21 x1 a22 x2 b2 .
运用消元法，可以推知当
( 3)
a11a22 a33 a12 a23a31 a13 a21a32 a11a23 a32 a12 a21a33 a13 a22 a31 0，
7
b1a22a33 a12a23b3 b2a32a13 a13a22b3 a23a32b1 a12b2a33 x1 a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32 a11a23a32 a12a21a33 a13a22a31 b2a11a33 a31a23b1 b3a21a13 a13a31b2 a23a11b3 a21b1a33 x2 a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32 a11a23a32 a12a21a33 a13a22a31 b3a22a11 a12a31b2 b3a21a12 a32a11b2 a22a31b1 a12b3a21 x3 a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32 a11a23a32 a12a21a33 a13a22a31
a11 a12 a21 a22 ( 3)
表达式 a11a 22 a12 a 21称为数表（ 3 ）所确定的二阶 行列式，并记作
即
a11 a 21
a12 a 22
( 4)
D
a11 a21
a12 a22
a11a22 a12 a21 .
6
三阶行列式
考察三元线性方程组
a11 x1 a12 x2 a13 x3 b1 , a21 x1 a22 x2 a23 x3 b2 , a x a x a x b . 31 1 32 2 33 3 3
D1
12 2 1 1
14, D2
3 12 2 1
21,
D2 21 D1 14 x1 2, x 2 3. D D 7 7
12
三阶行列式的计算 对角线法则
a11 a12 a21 a22 a31 a32 a13 a23 a33
a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32 a13a22a31 a12a21a33 a11a23a32 .
8
定义
设有9个数排成3行3列的数表 a11 a12 a13 a21 a22 a32 a23 a33 (6) a31
记
列标 a11 a12 a13 a21 a22 a23 a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32 (7) a11a23a32 a12a21a33 a13a22a31, a31 a32 a33
10
a11 x1 a12 x2 b1 , a21 x1 a22 x2 b2 .
b1 D1 b2 a12 , a22
a11 x1 a12 x2 b1 , a21 x1 a22 x2 b2 .
a11 b1 D2 . a21 b2
则二元线性方程组的解为
说明 1
2
对角线法则只适用于二阶与三阶行列式． 三阶行列式包括3!项,每一项都是位于不 同行，不同列的三个元素的乘积,其中三 项为正,三项为负.
13
例 求解三阶行列式 1 2
D -2 -3
解 按对角线法则有
2 4
-4 1. -2
D 1 2 ( 2 ) 2 1 ( 3 ) ( 4 ) ( 2 ) 4
线性代数
பைடு நூலகம்
1
线性代数的重要性: (1)线性代数课程中体现了近代数学的一个 重要思想: 结构. (2) 诸多工程计算中涉及的矩阵、行列式和 大规模线性方程组等可以通过该课程有 所了解. (3)线性代数及其后续课程近世代数是现代 信息安全领域研究必备的理论基础. (4) 考研必考课程之一.
2
对于每一本值得阅读的数学书，必需“前后往返” 地去阅读（Lagrange）。现在我对这句话稍作修饰并 阐明如下：“继续不断往下读，但又不时地返回到已 读过的那些内容中去，以增强你的信心。另外，当您 在研读时，一旦陷入难懂而又枯燥的内容中时，不妨 暂且越过继续往前读，等到你在下文中发现被越过部 分的重要性和必要性时，再回过头来研读它。” ——Chrystal George Algebra，Part 2 （Edinburgh 1889）
b1
a12
a11
b1
D1 b2 a22 x1 , D a11 a12 a21 a22
D2 a21 b2 x2 . D a11 a12 a21 a22
11
例
求解二元线性方程组 3 x1 2 x 2 12, 2 x1 x 2 1.
解
D
3 2 2 1
3 ( 4) 7 0,
当 a11a22 a12a21 0 时，方程组的解为
b1a22 a12 b2 x1 ， a11a22 a12 a21 a11b2 b1a21 x2 . a11a22 a12 a21
(1)
（2）
由方程组的四个系数确定.
5
定义 由四个数排成二行二列（横排称行、竖排
称列）的数表
行标
（7）式称为数表（6）所确定的三阶行列式.
9
二阶行列式的计算
主对角线 副对角线
对角线法则
a11a22 a12a21 .
a11
a21
a12
a22
a11 x1 a12 x2 b1 , 对于二元线性方程组 a21 x1 a22 x2 b2 .
若记
系数行列式
a11 a12 D , a21 a22