线性代数复习题及答案

《线性代数》期末复习题答案 一、填空题 1. 或 7 2. 0 3. 32 4. 5. 无关 6. 7. 非零 或无穷多 8. 3；9. 0； 10. A=； 11. ；12. 无关；13.不 是；14. ；15. n2； 16. 2；17. ； 18. ； 19. ； 20. ； 21. ； 22. AB； 23. 0 ； 24 .AB=BA； 25.1或-1 二、选择题 1. C 2. B 3.B 4.A 5.A 6.A 7.B 8.C 9.D 10.C 11. A 12.C 13.D 14. B 15. A 三、计算题 1. （1）解：利用行列式的性质得 （2） 2.解： （1） （2） 所以. 3. 解：由AX=2X+B得，（A-2E）X=B 所以有X=B= = 4. 解：由AX+B=X，得（E-A）X=B，即X=B 5解： 6解：对增广矩阵实施初等行变换转化为标准的阶梯形矩阵 此时齐次线性方程组化为 分别令得齐次线性方程的一组基础解系为 令得非齐次线性方程组的一个特解为 由此得原方程的全部解为 （其中为任意常数） 7. 解：因为系数矩阵
《线性代数》期末复习题 一、填空题 1. 行列式中元素的代数余子式 . 2. 矩阵中的元素 . 3. 设为3阶矩阵，且，则 . 4. 设均为阶可逆矩阵，且逆矩阵分别为,则 . 5. 若线性无关，则一定线性 （就相关性回答）. 6. 设均为阶方阵，可逆，则矩阵方程的解为 . 7. 设是含有个未知量个方程的齐次线性方程组，且，则有 解. 8. 若5元线性方程组的基础解系中含有2个线性无关的解向量，则 . 9. 若行列式的每一行（或每一列）元素之和全为零，则行列式的 值等于_______; 10. 设n阶矩阵A满足A22A+3E=O，则A-1=_______________. 11. 设，则的一个最大线性无关组为___________________________. 12. 设是非齐次方程组AX=b的一个解向量，是对应的齐次方程组 AX=0的一个基础解系，则 ,线性__________;（相关或无关）. 13. 设1 , 2 为n阶方阵A的两个互不相等的特征值，与之对应的特征向 量分别为X1，X2，则X1+X2_________________________矩阵A的特征向 量.（是或不是）. 14. 设A为n阶方阵， 若A有特征值1 , ,, 2 n， 则|A2+E|=_______________; 15. n维向量空间的子空间W=(x1，,x2, , xn): 的维数是 . 16. 设 如果|A|=1, 那么 |B| = _______. 17. . 18. = （n为正整数）. 19. 设A=，则= . 20. 非齐次线性方程组有唯一解的充分必要条件是 . 21. 向量 . 22. A、B、C有ABC=E,E为 . 23. 若阶矩阵A有一特征值为2，则 . 24. 若A、B为同阶方阵，则的充分必要充分条件是 . 25. .正交矩阵A如果有实特征值，则其特征值 . 二、选择题
D、中至少有一个向量可由其余个向量线性表示 14.由（ ） A、 B、 C、 D、 15.若（ ） A、它们的特征矩阵相似 B、它们具有相同的特征向量 C、它们具有相同的特征矩阵 D、存在可逆矩阵 三、计算题 1. 计算行列式的值（1） ；（2）. 2. 设矩阵，且有，求（1） （2）矩阵． 3. 设矩阵，. 4. 设. 5. 求向量组的秩 . 6. 求线性方程组 的通解. 7. 求线性方程组的一般解． 8. 当a为何值时，方程组有无穷多解？ 此时，求方程组的通解. 9. 设方程组 问当 取何值时， （1）方程组有唯一解； （2）方程组无解； （3）方程组有无穷多解，求其通解（用解向量形式表示）. 10. 已知，求向量组的一个极大无关组并把用所求的极大无关组表示出 来. 11. 当A为2阶方阵，且满足，其中，求矩阵A. 1Байду номын сангаас. 求的特征值与特征向量. 四、证明题 1. 设A，B均为n阶对称矩阵，则AB＋BA也是对称矩阵． 2. 设n阶非零矩阵A适合，试证明A不可能相似于对角阵. 3. A、B均为n阶矩阵，且A、B、A+B均可逆，证明： （A-1+B-1）-1=B（A+B）-1A
所以一般解为 （其中，是自由未知量） 8. 解：方程组的增广矩阵 当，即时，秩秩，方程组有无穷多解 此时，方程组的全部解为 （k为任意常数） 9. 解: 当,即 且时，有唯一解. 当且，即时，无解. 当且，即时，有无穷多解. 此时，增广矩阵为 原方程组的解为 () 10. 解 所以是该向量组的一个极大线性无关组.且 11. 解 由，可知就是二阶方阵A的两个特征值，故A可以相似对角化. 令， 则有 则 12.解：特征方程为|λE－A|==(λ+1) (λ－1)2 =0， ∴的全部特征值为λ1=－1，λ2=λ3=1. 把代入方程组得齐次线性方程组： 它的一个基础解系， . 同理可得A对应于特征值 四、证明题 1. 证：因为 A, B是对称矩阵，即 且 根据对称矩阵的性质可知，AB＋BA是对称矩阵． 2. 证 由于A适合，故A的n个特征值全为0，假如A能相似于对角阵，则 这个对角阵为零矩阵，即 ，从而，与A为非零阵矛盾，所以A不能相似 对角化. 3. 证：
或
1. 设，则（ ）. A． B． C． D． 2.设为同阶方阵，则下列命题正确的是（ ）. A.若，则必有或 B.若，则必有, C.若秩,秩，则秩 D. 3.下列所指明的各向量组中，（ ）中的向量组是线性无关的. A．向量组中含有零向量 B．任何一个向量都不能被其余向量线性表出 C．存在一个向量可以被其余向量线性表出 D．向量组的向量个数大于向量的维数 4.向量组，，，的一个极大线性无关组是（ ）. A. B. C. D. 5.线性方程组 （ ）. A. 无解 B. 只有0解 C. 有唯一解 D. 有无穷多解 6. 矩阵. A、1 B、2 C、3 D、4 7. 齐次线性方程组的基础解系中含有解向量的个数是（ ） A、1 B、2 C、3 D、4 8.已知向量组 （ ） A、-1 B、-2 C、0 D、1 9. A、B（ ） A、B=E B、A=E C、A=B D、AB=BA 10. 已知（ ） A、1或2 B、-1或-2 C、1或-2 D、-1或2 11.若（ ） A、12 B、-12 C、18 D、0 12.设A、B都是（ ） A、A=0或B=0 B、A、B都不可逆 C、A、B中至少有一个不可逆 D、A+B=O 13. 向量组（ ） A、 B、中有两个向量的对应分量成比例 C、中每一个向量都可用其余个向量线性表示