线性代数复习题及答案

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线性代数期末复习题及参考答案

线性代数期末复习题及参考答案

线性代数期末复习题及参考答案复习题之判断题(√)1. 若行列式的每一行元素之和全为零,则行列式的值等于零. ( )2. 设A ,B 为n 阶矩阵,则22))((B A B A B A −=−+. (√)3. 方阵A 可逆的充要条件是A E ~.( )4. 若n 阶矩阵A 相似于对角矩阵,则A 必有n 个互不相同的特征值. (√)5. 二次型222123123(,,)4f x x x x x x =++是正定二次型. (√ )6. 若B A 、为n 阶方阵,则AB BA =. ( )7. 设A 为任意n 阶矩阵,则A —A T 为对称阵. ( )8. 若n 阶矩阵A 能对角化, 则A 必有n 个不同的特征值. (√)9. 实对称矩阵A 对应不同特征值的特征向量必正交. (√)10. 设AB=0,若A 为列满秩矩阵,则B=0.( )11. 对于任何矩阵Amxn ,不能经过有限次初等列变换把它变为列阶梯形矩阵和列最简形矩阵.( )12. 奇排列变成标准排列的对换次数为偶数.( )13. 在秩是r 的矩阵中,存在等于0的r-1阶子式,但是不存在等于0的r+1阶子式.复习题之填空题1.设向量()1,0,3,Tαλ=−,()4,2,0,1Tβ=−−,若α与β正交,则λ= - 4 . 2. 当A 为任意的n 阶矩阵时,下列矩阵A A T +;T A A −;T AA ;A A T 中, 对称矩阵是T T T A A AA A A +,,,反对称矩阵是T A A −. 3. 设00B A C⎛⎫=⎪⎝⎭,B ,C 均为可逆矩阵,则1A −=1100C B−−⎛⎫⎪⎝⎭.4.设A 是n 阶矩阵(2n ≥),且A 的行列式det 2A =, 则它的伴随矩阵*A 的行列式*det A =12n −5.矩阵⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛−−−=466353331A 的所有特征值之和等于0.6. 设,A B 为n 阶对称矩阵,则AB 是对称矩阵的充分必要条件AB=BA.7.设向量11,,0,132Tα⎛⎫=−− ⎪⎝⎭,()3,2,1,1T β=−−,则α与β的内积为 1 .8.设方阵A 满足2240A A E −+=,且A E +可逆,则1()A E −+=37A E−−. 9. 设n 阶矩阵A 的伴随矩阵为*A ,若0A =,则*A =0.10.设向量()1,2,0,1T α=−,()3,1,1,2Tβ=−−,则α与β的内积为 -1 . 11.设方阵A 满足220A A E −−=,且A 可逆,则1A −=2A E−.12.矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛−−−=269643932A 的所有特征值之和等于0 .13.2103111113423122−−−−的代数余子式之和31323334-2A A A A ++= -33 ___ .14. 设n 阶矩阵A 满足0322=+−E A A ,则()12−−E A=3A −15. 若4阶方阵A 的行列式A =3, *A 是A 的伴随矩阵,则*A = 27 ___ . 16 向量α=()1,1,1,5T−−−与()4,2,1,Tβλ=−−正交,则λ=-1.17. 二次型2221231231223(,,)4324f x x x x x x x x x x =−+−+−对应的对称矩阵是110142023A −⎛⎫ ⎪=− ⎪ ⎪−−⎝⎭_________________.18.3023111110560122−−−−−的代数余子式之和31323334A A A A +++= 0 .19. 设n 阶矩阵A 满足02A 2=−−E A ,则1)3(A −−E =2A E +−.20. 设A 是4阶方阵,4A =−,则*A =-64.21. 向量(2,2,3),(3,3,)T T t αβ=−=−−与正交,则t = 0 .22. 二次型22123131223(,,)224f x x x x x x x x x =++−对应的对称矩阵是110102022A ⎛⎫ ⎪=− ⎪ ⎪−⎝⎭.复习题之计算题1a .设3111131111311113A ⎛⎫⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭, 122212221B ⎛⎫ ⎪=− ⎪ ⎪−⎝⎭.(1)计算矩阵A 的行列式.(2)求矩阵B 的逆. 1a.(1)解:=D 31111311113111136111631161316113=11111311611311113=11110200600200002==48.(2).解:()122100************A E ⎛⎫ ⎪=− ⎪ ⎪−⎝⎭122100036210063201⎛⎫⎪→−−− ⎪ ⎪−−−⎝⎭122100036210009221⎛⎫ ⎪→−−− ⎪ ⎪−⎝⎭12211021012033221001999⎛⎫ ⎪⎪→− ⎪⎪ ⎪−⎝⎭122100999212010999221001999⎛⎫⎪ ⎪→− ⎪ ⎪ ⎪−⎝⎭ 从而有112212129221A −⎛⎫ ⎪=− ⎪ ⎪−⎝⎭。

线性代数试题及详细答案

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线性代数试题及详细答案线性代数试题及详细答案————————————————————————————————作者:————————————————————————————————日期:线性代数(试卷一)一、填空题(本题总计20分,每小题2分) 1. 排列7623451的逆序数是_______。

2. 若122211211=a a a a ,则=16030322211211a a a a 3. 已知n 阶矩阵A 、B 和C 满足E ABC =,其中E 为n 阶单位矩阵,则CAB =-1。

4. 若A 为n m ?矩阵,则非齐次线性方程组AX b =有唯一解的充分要条件是_________5. 设A 为86?的矩阵,已知它的秩为4,则以A 为系数矩阵的齐次线性方程组的解空间维数为__2___________。

6. 设A 为三阶可逆阵,=-1230120011A,则=*A 7.若A 为n m ?矩阵,则齐次线性方程组0Ax =有非零解的充分必要条件是8.已知五阶行列式1234532011111112140354321=D ,则=++++4544434241A A A A A 9. 向量α=(2,1,0,2)T-的模(范数)______________。

10.若()Tk 11=α与()T121-=β正交,则=k二、选择题(本题总计10分,每小题2分)1. 向量组r ααα,,,21Λ线性相关且秩为s ,则(D) A.s r = B.s r ≤C.r s ≤ D.r s <2. 若A 为三阶方阵,且043,02,02=-=+=+E A E A E A ,则=A(A)A.8 B.8-C.34 D.34-3.设向量组A 能由向量组B 线性表示,则( d )A.)()(A R B R ≤ B.)()(A R B R <C.)()(A R B R =D.)()(A R B R ≥4. 设n 阶矩阵A 的行列式等于D ,则()*kA 等于_____。

线性代数期末考试题及答案

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线性代数期末考试题及答案一、选择题1. 下列哪个不是线性代数的基本概念?A. 矩阵B. 向量C. 函数D. 行列式答案:C. 函数2. 矩阵A的转置记作A^T,则(A^T)^T等于A. AB. -AC. A^TD. 2A答案:A. A3. 对于矩阵A和B,满足AB = BA,则称A和B是A. 相似矩阵B. 对角矩阵C. 线性无关D. 对易矩阵答案:D. 对易矩阵4. 行列式的性质中,不能成立的是A. 行列式交换行B. 行列式某一行加上另一行不变C. 行列式等于数乘其中某一行对应的代数余子式的和D. 行列式的某一行的系数乘以另一行不变答案:D. 行列式的某一行的系数乘以另一行不变5. 给定矩阵A = [3, -1; 4, 2],则A的秩为A. 0B. 1C. 2D. 3答案:C. 2二、填空题1. 给定矩阵A = [2, 1; -3, 5],则A的行列式为______答案:132. 设矩阵A的逆矩阵为A^-1,若AA^-1 = I,其中I是单位矩阵,则A的逆矩阵为______答案:I3. 若矩阵的秩为r,且矩阵的阶数为n,若r < n,则该矩阵为______矩阵答案:奇异三、简答题1. 解释什么是线性相关性和线性无关性?答案:若存在不全为零的数k1, k2,...,kn,使得方程组中的向量k1v1 + k2v2 + ... + knvn = 0成立,则称向量组{v1, v2, ..., vn}线性相关;若该方程仅在k1 = k2 = ... = kn = 0时成立,则称向量组{v1, v2, ..., vn}线性无关。

2. 如何判断一个矩阵是对称矩阵?答案:若矩阵A的转置等于自身,即A^T = A,则称矩阵A是对称矩阵。

四、计算题1. 给定矩阵A = [1, 2; 3, 4],求A的逆矩阵。

答案:A的逆矩阵为1/(-2)[4, -2; -3, 1]2. 求向量v = [1, 2, 3]的模长。

线代参考答案(完整版)

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线性代数练习题 第一章 行 列 式系 专业 班 姓名 学号第一节 行列式的定义一.选择题1.若行列式x52231521- = 0,则=x [ C ] (A )2 (B )2- (C )3 (D )3- 2.线性方程组⎩⎨⎧=+=+473322121x x x x ,则方程组的解),(21x x = [ C ](A )(13,5) (B )(13-,5) (C )(13,5-) (D )(5,13--)3.方程093142112=x x根的个数是 [ C ] (A )0 (B )1 (C )2 (D )34.下列构成六阶行列式展开式的各项中,取“+”的有 [ A D ] (A )665144322315a a a a a a (B )655344322611a a a a a a (C )346542165321a a a a a a (D )266544133251a a a a a a 5.若55443211)541()1(a a a a a l k l k N -是五阶行列式ij a 的一项,则l k ,的值及该项的符号为[ B ](A )3,2==l k ,符号为正; (B )3,2==l k ,符号为负; (C )2,3==l k ,符号为正; (D )2,3==l k ,符号为负6.下列n (n >2)阶行列式的值必为零的是 [ B ] (A) 行列式主对角线上的元素全为零 (B) 三角形行列式主对角线上有一个元素为零 (C) 行列式零的元素的个数多于n 个 (D) 行列式非零元素的个数小于n 个 二、填空题 1.行列式1221--k k 0≠的充分必要条件是 3,1k k ≠≠-2.排列36715284的逆序数是 133.已知排列397461t s r 为奇排列,则r = 2,8,5 s = 5,2,8 ,t = 8,5,2 4.在六阶行列式ij a 中,623551461423a a a a a a 应取的符号为 负 。

线性代数复习题带参考答案(一)

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线性代数考试题库及答案第三章 向量一、单项选择题1. 321,,ααα, 21,ββ都是四维列向量,且四阶行列式m =1321βααα,n =2321ααβα,则行列式)(21321=+ββαααn m a +)( n m b -)( n m c +-)( n m d --)(2. 设A 为n 阶方阵,且0=A ,则( )。

成比例中两行(列)对应元素A a )( 线性组合中任意一行为其它行的A )b ( 零中至少有一行元素全为A c )( 线性组合中必有一行为其它行的A )d (3. 设A 为n 阶方阵,n r A r <=)(,则在A 的n 个行向量中( )。

个行向量线性无关必有r a )( 个行向量线性无关任意r )b (性无关组个行向量都构成极大线任意r c )(个行向量线性表示其它任意一个行向量都能被r )d (4. n 阶方阵A 可逆的充分必要条件是( )n r A r a <=)()(n A b 的列秩为)(零向量的每一个行向量都是非)(A c 的伴随矩阵存在)(A d5. n 维向量组s ααα,,,21 线性无关的充分条件是( ))(a s ααα,,,21 都不是零向量)(b s ααα,,,21 中任一向量均不能由其它向量线性表示 )(c s ααα,,,21 中任意两个向量都不成比例 )(d s ααα,,,21 中有一个部分组线性无关6. n 维向量组)2(,,,21≥s s ααα 线性相关的充要条件是( ))(a s ααα,,,21 中至少有一个零向量 s b ααα,,,)(21 中至少有两个向量成比例 s c ααα,,,)(21 中任意两个向量不成比例s d ααα,,,)(21 中至少有一向量可由其它向量线性表示7. n 维向量组)3(,,,21n s s ≤≤ααα 线性无关的充要条件是( )s k k k a ,,,)(21 存在一组不全为零的数使得02211≠++s s k k k ααα s b ααα,,,)(21 中任意两个向量都线性无关s c ααα,,,)(21 中存在一个向量,它不能被其余向量线性表示 s d ααα,,,)(21 中任一部分组线性无关8. 设向量组s ααα,,,21 的秩为r ,则( )s a ααα,,,)(21 中至少有一个由r 个向量组成的部分组线性无关 s b ααα,,,)(21 中存在由1+r 个向量组成的部分组线性无关 s c ααα,,,)(21 中由r 个向量组成的部分组都线性无关 s d ααα,,,)(21 中个数小于r 的任意部分组都线性无关9. 设s ααα,,,21 均为n 维向量,那么下列结论正确的是( ))(a 若02211=++s s k k k ααα ,则s ααα,,,21 线性相关 )(b 若对于任意一组不全为零的数s k k k ,,,21 ,都有02211≠++s s k k k ααα ,则s ααα,,,21 线性无关)(c 若s ααα,,,21 线性相关,则对任意不全为零的数s k k k ,,,21 ,都有02211=++s s k k k ααα)(d 若000021=++s ααα ,则s ααα,,,21 线性无关10. 已知向量组4321,,,αααα线性无关,则向量组( )14433221,,,)(αααααααα++++a 线性无关 14433221,,,)(αααααααα----b 线性无关 14433221,,,)(αααααααα-+++c 线性无关 14433221,,,)(αααααααα--++d 线性无关11. 若向量β可被向量组s ααα,,,21 线性表示,则( ))(a 存在一组不全为零的数s k k k ,,,21 使得s s k k k αααβ ++=2211 )(b 存在一组全为零的数s k k k ,,,21 使得s s k k k αααβ ++=2211 )(c 存在一组数s k k k ,,,21 使得s s k k k αααβ ++=2211 )(d 对β的表达式唯一12. 下列说法正确的是( ))(a 若有不全为零的数s k k k ,,,21 ,使得02211=++s s k k k ααα ,则s ααα,,,21 线性无关)(b 若有不全为零的数s k k k ,,,21 ,使得02211≠++s s k k k ααα ,则s ααα,,,21 线性无关)(c 若s ααα,,,21 线性相关,则其中每个向量均可由其余向量线性表示 )(d 任何1+n 个n 维向量必线性相关13. 设β是向量组T )0,0,1(1=α,T )0,1,0(2=α的线性组合,则β=( )T a )0,3,0)(( T b )1,0,2)(( T c )1,0,0)(( T d )1,2,0)((14. 设有向量组()T4,2,1,11-=α,()T2,1,3,02=α,()T 14,7,0,33=α,()T0,2,2,14-=α,()T 10,5,1,25=α,则该向量组的极大线性无关组为( )321,,)(αααa 421,,)(αααb 521,,)(αααc 5421,,,)(ααααd15. 设T a a a ),,(321=α,T b b b ),,(321=β,T a a ),(211=α,T b b ),(211=β,下列正确的是( );,,)(11也线性相关线性相关,则若βαβαa 也线性无关;线性无关,则若11,,)(βαβαb 也线性相关;线性相关,则若βαβα,,)(11c 以上都不对)(d二、填空题1. 若T )1,1,1(1=α,T )3,2,1(2=α,T t ),3,1(3=α线性相关,则t=▁▁▁▁。

线性代数 复习题

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第一章 行列式1.4 独立作业1.4.1 基础训练1.设ij a D =为n 阶行列式,则11342312n n n a a a a a - 在行列式中的符号为( ) . (A) 正 (B) 负 (C) 1)1(--n (D) 2)1()1(--n n2.行列式n D 为0的充分条件是( ).(A) 零元素的个数大于n; (B) n D 中各行元素的和为零; (C) 次对角线上元素全为零; (D) 主对角线上元素全为零. 3.行列式n D 不为零,利用行列式的性质对n D 进行变换后,行列式的值( ). (A) 保持不变; (B) 可以变成任何值; (C) 保持不为零; (D)保持相同的正负号.4.方程0881441221111132=--x xx 的根为 ( ).(A) 1,2,2- (B)1,2,3 (C)1,1-,2 (D)0,1,25.如果4333231232221131211==a a a a a a a a a D ,则=------=3332333123222321131213111434343a a a a a a a a a a a a D ( ). (A)-12 (B)12 (C)48 (D)-486.行列式=9092709262514251( ).7.abba log 11log = ( ).8.行列式cb dc a bcb a, 则=++312111A A A ( ).9.函数xx xxx f 121312)(-=中,3x 的系数为( ). 10.4444333322225432154321543215432111111= ( ).11.49362516362516925169416941, 12.0000000x yy x y x x y D =13.20001200000013012000101--=D , 14.xyz zx yyz x111 15.520003520003520035200035, 16.44342414433323134232221241312111y x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y x ++++++++++++++++17.nn n n a a a a a a b b b b b 13221132100000000-----,(其中),,2,1(,0n i a i =≠) 18.nx x x D0100101111021= (),,2,1,0n i x i =≠19.43211111111111111111x x x x ++++, 20.n222232222222221 21.211121112=n D .22.当μ取何值时,齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=--+-=-+-=-++0)1(02)3(0)1(42321321321x x x x x x x x x μμμ有非零解?23.证明αααααααsin )1sin(cos 211cos 200000cos 210001cos 210001cos 2+=n(其中0sin ≠α).1.4.2 提高练习1.设A 为n 阶方阵,*A 为A 的伴随矩阵,则*A A 为( )(A) 2A (B) 12-n A (C) nA 2 (D) nA2.设A 为n 阶方阵,B 为m 阶方阵,=00AB ( ).(A)BA - (B)BA (C)B A mn )1(- (D) BA n m +-)1(3.若xx x x xx g 171341073221)(----=,则2x 的系数为( ).(A) 29 (B) 38 (C) —22 (D) 344.347534453542333322212223212---------------=x x x xx x x x x x x x x x x x g(x),则方程=)(x g 0的根的个数为( ). (A)1 (B)2 (C)3 (D)45.当≠a ( )时,方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+-=++=+02020z y ax z ax x z ax 只有零解.(A)-1 (B) 0 (C) -2 (D) 26.排列n r r r r 321可经过( )次对换后变为排列121r r r r n n n --. 7.四阶行列式中带负号且含有因子12a 和21a 的项为( ).8.设y x ,为实数,则当=x ( ),=y ( )时,01100=---x yy x. 9.设A 为4阶方阵,B 为5阶方阵,且,2,2-==B A 则 =-A B ( ),=-B A ( ).10.设A ,B 为n 阶方阵,且,2,3-==B A 则 =-1*3B A ( ).11.设A 为3阶正交矩阵,0>A ,若73=+B A ,则=+T AB E 21( ). 12.设⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=653042001A ,则=+-12A E ( ).13.解方程组011112222212112=nnn nnnn b b b b b b b b b x x x,其中n b b b b ,,,,321 为各不相同的常数.14.证明:)()()()()()()()()(212222111211x a x a x a x a x a x a x a x a x a dx d nn n n n n =∑=n i nn n n in i i n x a x a x a x a dx dx a dx d x a dxd x a x a x a 1212111211)()()()()()()()()(15.设xx x x x x x g 620321)(332=,求)(x g '.16.设17131231533111)(85222------=x x x x x x x g ,试证:存在)1,0(∈ξ,使得0)(='ξg .17.证明:奇数阶反对称矩阵的行列式为零. 18.设z y x ,,是互异的实数,证明:0111333=z y x z y x 的充要条件是0=++z y x . 19.设4322321143113151-=A ,计算44434241A A A A +++的值,其中)4,3,2,1(4=i A i 是A 的代数余子式.20.利用克莱默法则求解方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+-=+-=-+3232222321321321x x x x x x x x x .21.求极限111cos sin 3212sin 1231lim230x x x x x x x →.第一章 参考答案1.4 独立作业 1.4.1 基础训练1. (C) 2. (B) 3. (C) 4.(A) 5. (B) 6.解=⨯==17092142512000200070922000425190927092625142515682000.7.0 , 8. 解 0111312111==++cb c acb A A A ,故答案为09.解 因为在此行列式的展开式中,含有3x 的只有主对角线上的元素的积,故答案为2- 10.解 由范德蒙行列式得行列式的值为28811.解0222222229753169411311971197597531694149362516362516925169416941===.12.解 xy xy x x x y y y x y xyy x y x x y D 0000000000000000--==22222)(y x xyy x xxyy x y --=-=13.解 013120101420000013012001012200012000000130012000101-⨯-=-⨯-=--=D2031124313120014=--⨯-=--⨯-=14.解 yz x z x y x z y xz x y z x y yz x xyzzx y yz x----=------=11))(()(0)(01111=))()((x z z y y x ---15.解 52000352000352000350000335200035200035200035200032520003520003520035200035+==52003520035200353252000352000352000350000332000032000032000320000325+=+== 66516.解1413121414131213141312121413121144342414433323134232221241312111y y y y y y y x y y y y y y y x y y y y y y y x y y y y y y y x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y x ---+---+---+---+=++++++++++++++++=017.解132111322113210000000000)1(0000000-+------⨯-=---=n n n n n n n n a a a a b a a a a a a b b b b b D=--⨯+----12221122100000n n n n n a a a a a b b b b a==+- 121n n n n nD a a b a a a )(121∑=ni ii n a b a a a18.解 由第i (n i ,,2,1 =)列的ix 1-倍加到第一列上去.nni inx x x x x x x D000000111101001001111021121∑=-===)1(121∑=-ni in x x x x19.解43211114321100100111111111111111111x x x x x x x x x x x ---+=++++432111413121100000001x x x x x x x x x x x x x ---++++==3214214314324321x x x x x x x x x x x x x x x x ++++20.解 2020012000200021222232222222221--=n n202012002--=n=)!2(2--n21.解 211121111)1(211121111*********+=+++==n n n n D n111011001)1(+=+=n n22.解 由齐次线性方程组有非零解的条件可知0111213142=------μμμ解之得μ=0,2,3. 于是当μ=0,2,3时,齐次方程组⎪⎩⎪⎨⎧=--+-=-+-=-++0)1(02)3(0)1(42321321321x x x x x x x x x μμμ有非零解.23.证明 (1)当1=n 时,结论显然成立, (2)假设当k n ≤时,结论成立, (3)当1+=k n 时11cos 210001cos 200000cos 210001cos 210001cos 2++=k k D αααααk k D ααααcos 2100010000cos 210001cos 2100001)1(cos 23-+=ααααααααααsin )2sin(sin sin sin sin cos 2sin )1sin(cos 21+=-=-+=-k k k D k k ααsin ]1)1sin[(++=k 故结论成立. 1.4.2 提高练习1.B , 2.C , 3.D , 4.B , 5.D, 6.2)1(-n n , 7.44332112a a a a 8.0, 0, 9.32, 64 , 10.2312--n , 11.277, 12.613.提示:用范德蒙行列式将行列式展开求解,答案为i b x =,(n i ,,2,1 =), 14.(用行列式的定义和导数的运算法则)证明))()()()1(()()()()()()()()()(11)(12122221112112211x a x a x a dx dx a x a x a x a x a x a x a x a x a dx d n n p p p p p p t nn n n n n ∑-==))())(()()()1((111)(12211x a x a dx d x a x an i n p p p p p p p t∑-=∑=ni nn n n in i i n x a x a x a x a dx d x a dx d x a dxd x a x a x a 1212111211)()()()()()()()()(15.利用(14)的结论进行计算便可得结果,答案为62x .16.(用罗尔中值定理证)证明 (1)显然)(x g 是多项式,故)(x g 在]1,0[上连续,在)1,0(内可导,且0)1()0(==g g ,从而由罗尔中值定理知,存在)1,0(∈ξ,使得0)(='ξg . 17.用行列式的性质3的推论(同济四版)18.证明 333333333333001111xz xy x z x y x z x y x x z x y xz y x z y x----=----=0))()()((11))((2222=++---=++++--=z y x y z x z x y x xz z x xy y x z x y由于z y x ,,是互异的实数,故要使上式成立,当且仅当0=++z y x .19.解 61111321143113151********=-=+++A A A A , 20. 11=x ,22=x ,33=x21.解 (用罗必塔法则求解)111000132120012300001112310011sin cos 3212sin 1230230cos 11231lim111cos sin 3212sin 1231lim2230230=+=-+=→→x x x x x x x x x x x x x x x x x。

线性代数题库(含答案)

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第一章随堂检测1.已知行列式333231232221131211a a a a a a a a a D = 展开式的六项中含有,则i+j=( )A.1B.2C.4D.6我的答案:D2.某二阶行列式的所有元素都是整数,则该行列式的结果( ) A.一定是整数 B.一定不是零 C.一定是正数 D.一定是负数 我的答案:A3.[单选题] 行列式=bb a a ( )A.0B.b a 22- C.b a 22+ D.2ab我的答案:A4.[单选题] 方程组⎩⎨⎧=-=+2121212x x x x 的解是( )A.⎩⎨⎧==0121x x B.⎩⎨⎧==1121x xC.⎩⎨⎧==1021x xD.⎩⎨⎧==0021x x 我的答案:A 5.[单选题] 行列式34-43的结果是( )A.0B.7C.10D.25我的答案:D6.[单选题] 某三阶行列式的所有元素都是4,则该行列式的值是( ) A.3 B.4 C.7 D.0我的答案:D7.[单选题] 关于三阶行列式说法正确的是( )A.若行列式的所有元素都等于零,则行列式的结果一定等于零B.若行列式的所有元素都等于零,则行列式的结果一定不等于零C.若行列式的所有元素都不等于零,则行列式的结果一定等于零D.若行列式的所有元素都不等于零,则行列式的结果一定不等于零 我的答案:A8.[单选题]行列式101010102( )A.0B.1C.2D.4我的答案:B9.[单选题] 一元一次方程1211x =的解是( )A.x=1B.x=2C.x=3D.x=4我的答案:A10.[单选题] 已知行列式,3333333331=D ,5555555552=D 则( )A.4B.2C.8D.0我的答案:D11.[单选题] 若a 、b 、c 、d 的绝对值都是1,则行列式dc ba 的最大值是( )A.1B.2C.3D.4我的答案:B12.[单选题] 若某二阶行列式的结果为零,则关于该行列式的以下说法正确的是( )A.至少有一行元素为零B.至少有一列元素为零C.至少有一个元素为零D.以上答案都不对 我的答案:D1.[单选题] 三级排列321的逆序数是( ) A.3 B.2 C.1 D.0我的答案:A2.[单选题] 以下四个4级排列中,逆序数为零的是( ) A.1234 B.4231 C.1324 D.1423我的答案:A3.[单选题] 一个偶排列的逆序数可能是( )A.1B.3C.4D.5我的答案:C4.[单选题] 已知由1、2、3、4、5组成的某个5级排列中,数字5排在最前面,则该排列的逆序数至少是( )A.1B.3C.4D.5我的答案:C5.[单选题] 关于逆序数说法正确的是( )A.相同的排列一定有相同的逆序数B.相同的排列一定有不同的逆序数C.不同的排列一定有相同的逆序数D.不同的排列一定有不同的逆序数我的答案:A6.[单选题] D是四阶上三角行列式,主对角线元素分别是1、2、3、4,则该行列式的值是( )A.2B.6C.10D.24我的答案:D7.[单选题] 某对角行列式结果等于1,说明该行列式( )A.主对角线上所有元素都等于1B.主对角线上所有元素都大于1C.主对角线上所有元素都小于1D.主对角线上所有元素乘积为1我的答案:D8.[单选题] D是四阶行列式,且结果不等于零,则该行列式的非零元素个数可能是( )A.1B.2C.3D.4我的答案:D9.[单选题] 若某四阶行列式所有元素都是奇数,则该行列式的结果( ) A.一定是奇数 B.可能是奇数 C.一定是正数 D.一定是偶数 我的答案:D10.[单选题] D 是五阶行列式,且位于前三数行和前三列交叉点处的9个元素都是0,而位于其它位置的16个元素都是1,该行列式的值是( ) A.4 B.16 C.25 D.0我的答案:D1.[单选题] 某三阶该行列式共有三个元素为零,则以下说法正确的是( ) A.该行列式的结果一定为零B.若三个零元素在同一行,则该行列式的结果为零C.若三个零元素都在主对角线上,则该行列式的结果为零D.若三个零元素都在副对角线上,则该行列式的结果为零 我的答案:B2.[单选题] 已知行列式13332312322211312111==a a a a a a a a a D 则==3332312322211312112a a a a a a a a a D ( )A.1B.2C.4D.6我的答案:A3.[单选题] 已知222112111a a a a D =,,121122212a a a a D =,且a D D ==21,则a=( )A.0B.1C.2D.4我的答案:A4.[单选题] 行列式ab bb a b a ab a b a ------+( ) A.0 B.b a 22- C.b a 22+ D.2ab我的答案:A5.[单选题] 已知行列式13332312322211312111==a a a a a a a a a D ,==333231223222121341241182a a a a a a a a a D ( ) A.1B.2C.4D.8我的答案:D6.[单选题] 行列式=11-1-111-111( )A.0B.2C.8D.4我的答案:D7.[单选题] 关于行列式说法正确的是( ) A.交换行列式的两行,行列式的结果不变 B.交换行列式的两列,行列式的结果不变C.交换行列式的两行,然后交换行列式的两列,行列式的结果不变D.交换行列式的两行,然后交换行列式的两列,行列式变号 我的答案:C8.[单选题] 行列式987654321=( )A.2B.0C.8D.4我的答案:B9.[单选题] 行列式30219910132121-1=( ) A.2 B.0 C.8 D.4我的答案:B10.[单选题] 若dc bD a =,则=D T( )A. B. C. D.我的答案:B1.[单选题] 在下列四个二阶行列式中,不满足a A ijij =(i,j=1,2,)的是( )A.1111B.111-1C.1001D.2002我的答案:A2.[单选题] 已知行列式,1333231232221131211==a a a a a a a a a D ,则=++231322122111a a a A A A ()A.1B.2C.3D.0我的答案:D3.[单选题] 对于二阶行列式D,中若a 2a 2112=,则有( )A.A 1212a =B.A 2121a =C.A 2A 2112=D.A 2A 1221=我的答案:D4.[单选题] 已知行列式1333231232221131211==a a a a a a a a a D ,则下列式子结果为1的是( )A.M a M a M a 232322222121++B.M a M a M a 333332323131++C.A a A a A a 131312121111++D.A a A a A a 131312121111+-我的答案:C5.[单选题] 对于二阶行列式D,中若a a 21211=,则有( )A.A 2A 1112=B.A 2A 1211=C.A1211A =D.以上都不对我的答案:D6.[单选题] 行列式300220111=D ,则A A A 131211++( )A.0B.2C.4D.6我的答案:D7.[单选题] 满足122211211====AAAA 的二阶行列式是( )A.1111B.1111----C.1111--D.1111--我的答案:D8.[单选题] 行列式694432111=( )A.2B.0C.8D.4我的答案:A9.[单选题] 行列式c b a D c ba 2221111=,)()()(1112222111111++++++=c b a D c b a ,则( )A.由D D 21=可得a+c=bB.由D D 21=可得a-c=bC.由D D 21=可得a ·c=bD.以上答案都不对我的答案:D10.[单选题] 若D 是二阶对角行列式,且202211=AA,则D=( )A.2B.1C.8D.4我的答案:A1.[单选题] 若b >a ,则线性方程组⎩⎨⎧=+=+c cax bx bx ax 2121解的情况与c 的关系是( )A.当等于零时,方程组无解B.当不等于零时,方程组无解C.当时,方程组无解D.在任何情况下,方程组都有解 我的答案:D2.[单选题] 若方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a 333323213123232221211313212111无解,则行列式==333231232221131211a a a a a a a a a D( ) A.1 B.2 C.3 D.0我的答案:D3.[单选题] 对于⎪⎩⎪⎨⎧=+=+=++000-42-622-53121321x x x x x x x )()()(λλλ有非零解,则不可能取的值是( ) A.5B.8C.2D.6我的答案:D4.[单选题] 方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++000333232131323222121313212111x a x a x a x a x a x a x a x a x a 解的情况是( )A.一定有解B.一定无解C.可能无解D.当系数行列式为零时无解 我的答案:A5.[单选题] 若齐次线性方程组有一个非零解,则该方程组一定( ) A.有无穷多解 B.恰有两个非零解 C.没有零解 D.恰有三个解 我的答案:A6.[单选题] 在平面直角坐标系中,直线CB A Y X 1111:l =+与直线C B A Y X 2222:l =+相交,则线性方程组⎩⎨⎧=+=+C B A C B A Y X Y X 222111解的情况是( ) A.有无穷多解B.恰有一个解C.恰有两个解D.恰有三个解 我的答案:B7.[单选题] 关于X 、Y 、Z 的齐次线性方程组⎩⎨⎧=++=++0ey 0fz dx cz by ax 解的情况是( )A.无解B.有非零解C.没有零解D.只有零解 我的答案:B8. [单选题] 已知方程组⎩⎨⎧=+=+24622y x y ax 无解,则a=( )A.1B.2C.3D.0我的答案:C9.[单选题] 已知方程组⎩⎨⎧=++=+p y x p y 3225x 3的解满足x+y=2,则p=( )A.1B.2C.3D.4我的答案:D10.[单选题] 若cx a x 2bx )(f ++=,f(d)=f(e)=f(g)=0,且d 、e 、g 两两不等,则关于a 、b 、c 的取值情况是( ) A.a=0,b ≠0,c=0 B.a=0,b=0,c=0 C.a ≠0,b=0,c=0 D.a=0,b ≠0,c ≠0 我的答案:B作业1计算行列式 ____正确答案:132计算行列式 ____正确答案:13计算行列式 ____正确答案: 04计算行列式____正确答案:-275计算行列式____正确答案:06解方程,结果是____正确答案:47解方程,结果是或____正确答案:38解方程,结果是或____正确答案:-21在六阶行列式中,元素乘积应取什么符号____(本节课习题凡是涉及符号问题的,正号请在横线上填“+;正;正号;➕”,负号请在横线上填“-;负;负号;➖”)正确答案:+;正;正号;➕2在六阶行列式中,元素乘积应取什么符号____正确答案:-;负;负号;➖3在六阶行列式中,元素乘积应取什么符号____正确答案:+;正;正号;➕4在六阶行列式中,元素乘积应取什么符号____正确答案:-;负;负号;➖5项是不是五阶行列式中的一项____(是/不是),若是,它的符号是____.(若不是,第二个空不用填)正确答案:第一空:是第二空:+;正;正号;➕6项是不是五阶行列式中的一项____(是/不是),若是,它的符号是____.(若不是,第二个空不用填)正确答案:不是7项是不是五阶行列式中的一项____,若是,它的符号是____.(若不是,第二个空不用填)正确答案:第一空:是第二空:-;负;负号;➖8四阶行列式中乘积前应冠以什么符号? ____ 正确答案:-;负;负号;➖9计算行列式____正确答案:2410计算行列式____正确答案:1某三阶该行列式共有三个元素为零,则以下说法正确的是( )A、该行列式的结果一定为零B、若三个零元素在同一行,则该行列式的结果为零C、若三个零元素都在主对角线上,则该行列式的结果为零D、若三个零元素都在副对角线上,则该行列式的结果为零正确答案: B2已知行列式,则( )A、1B、2C、4D、6正确答案: A3已知,,且,则( )A、0B、1C、2D、4正确答案: A4行列式( )A、0B、C、D、正确答案: A5已知行列式,则( )A、1B、2C、4D、8正确答案: D6行列式( )A、0B、2C、8D、4正确答案: D7关于行列式说法正确的是( )A、交换行列式的两行,行列式的结果不变B、交换行列式的两列,行列式的结果不变C、交换行列式的两行,然后交换行列式的两列,行列式的结果不变D、交换行列式的两行,然后交换行列式的两列,行列式变号正确答案: C8行列式( )A、2B、0C、8D、4正确答案: B9行列式( )A、2B、0C、8D、4正确答案: B10若,则( )A、B、C、D、正确答案: B1用行列式的性质计算行列式的值____正确答案:40131002用行列式的性质计算行列式的值____正确答案:53用行列式的性质计算行列式的值____正确答案:84已知,求行列式的值____ 正确答案:125已知,求行列式的值____ 正确答案:-486计算行列式的值____正确答案:607计算行列式的值____正确答案:-218计算行列式的值____正确答案:09计算行列式的值____正确答案:n!10计算行列式的值____正确答案:-2(n-2)!1求行列式中元素-4的代数余子式(计算出结果).____正确答案:102若某四阶行列式第三行元素依次为,,,,对应的余子式依次为,,,,求此行列式的值.____正确答案:-113计算行列式的值____正确答案:44计算行列式的值____正确答案:435计算行列式的值____正确答案:-246计算行列式的值____正确答案:-277计算行列式的值____正确答案:278计算行列式的值____正确答案:481已知4阶行列式,则中的系数是____正确答案:-4;➖42设4阶行列式,则=____,其中为元素的代数余子式.正确答案:0;零3设4阶行列式,则第一列各元素的代数余子式之和____正确答案:0;零4设5阶行列式,则____ 和____,其中为的第四行第列元素的代数余子式.正确答案:第一空:-9;➖9第二空:185用克莱姆法则求解线性方程组的解为____ ,____,____ .正确答案:第一空: 1第二空: 2第三空: 36用克莱姆法则求解线性方程组的解为____ ,____,____ ,____ .正确答案:第一空:-8;➖8第二空: 3第三空: 6第四空:07用克莱姆法则求解线性方程组的解为____ ,____,____ ,____ .正确答案:第一空:0第二空: 2第三空:0第四空:08用克莱姆法则求解线性方程组的解为____ ,____,____ ,____ ,____ .正确答案:第一空: 1第二空:-1;➖1第三空: 1第四空:-1;➖1第五空: 19当____ 或____时,齐次线性方程组有非零解.(小数在前,大数在后)正确答案:第一空:-2;➖2第二空: 1二.判断题(共1题,10.0分)1判断:齐次线性方程组仅有零解( ) .正确答案:√1已知行列式展开式的六项中含有,则( )A、1B、2D、6我的答案:D2某二阶行列式的所有元素都是整数,则该行列式的结果( )A、一定是整数B、一定不是零C、一定是正数D、一定是负数我的答案:A3行列式( )A、0B、C、D、我的答案:A4方程组的解是( )A、B、C、D、我的答案:A5行列式的结果是( )A、0C、10D、25我的答案:D6某三阶行列式的所有元素都是4,则该行列式的值是( )A、3B、4C、7D、0我的答案:D7关于三阶行列式说法正确的是( )A、若行列式的所有元素都等于零,则行列式的结果一定等于零B、若行列式的所有元素都等于零,则行列式的结果一定不等于零C、若行列式的所有元素都不等于零,则行列式的结果一定等于零D、若行列式的所有元素都不等于零,则行列式的结果一定不等于零我的答案:A8行列式( )A、B、1C、2D、4我的答案:B9一元一次方程的解是( )A、B、C、D、我的答案:A10已知行列式,,则( )A、4B、2C、8D、0我的答案:D11若、、、的绝对值都是1,则行列式的最大值是( )A、1B、2C、3D、4我的答案:B12若某二阶行列式的结果为零,则关于该行列式的以下说法正确的是( )A、至少有一行元素为零B、至少有一列元素为零C、至少有一个元素为零D、以上答案都不对我的答案:D第二章随堂检测1【单选题】已知矩阵是二阶单位矩阵,则( )A、1B、2C、3D、0我的答案:A2【单选题】已知矩阵的四个元素中任意两个都互为相反数,则该矩阵是( )A、单位矩阵B、四阶矩阵C、负矩阵D、零矩阵我的答案:D3【单选题】下列四个矩阵中是单位矩阵的是( )A、B、C、D、我的答案:B4【单选题】关于矩阵说法正确的是( )A、该矩阵是3阶单位矩阵B、该矩阵是9阶单位矩阵C、该矩阵是27阶单位矩阵D、该矩阵不是单位矩阵我的答案:D5【单选题】关于矩阵的行数与列数说法正确的是( )A、四行八列B、八行四列D、两行三列我的答案:D6【单选题】下列关于单位矩阵、对角矩阵以及数量矩阵说法正确的是( )A、对角矩阵是单位矩阵B、单位矩阵是数量矩阵C、对角矩阵是数量矩阵D、以上说法都不对我的答案:B7【单选题】四阶单位矩阵所有元素的和等于( )A、1B、2C、4D、16我的答案:C8【单选题】下列关于零矩阵说法正确的是( )A、所有元素都是零B、未必所有元素都是零,但第一行的元素一定都是零C、未必所有元素都是零,但所有元素的和一定等于零D、未必所有元素都是零,但所有元素的乘积一定等于零我的答案:A9【单选题】一个3×4矩阵和一个4×3矩阵的共同点是( )A、行数相同B、列数相同C、行数及列数都相同D、所含元素的个数相同我的答案:D10【单选题】某方阵共有16个元素,则它的行数是( )A、2B、4C、8D、16我的答案:B1【单选题】在矩阵等式中,已知和都是二行三列,则是( )A、二行三列B、三行二列D、六行六列我的答案:A2【单选题】已知是非零常数,是非零矩阵,则是否是零矩阵( )A、一定是B、一定不是C、可能是D、不确定我的答案:B3【单选题】已知,,则( )A、B、C、D、我的答案:D4【单选题】矩阵不可能是( )A、两个单位矩阵的和B、两个上三角矩阵的和C、两个下三角矩阵的和D、两个对角矩阵的和我的答案:A5【单选题】已知是负数,是上三角矩阵,则是( )A、下三角矩阵B、上三角矩阵C、数量矩阵D、对角矩阵我的答案:B6【单选题】已知矩阵是六行九列,则矩阵是( )A、十八行二十七列B、两行三列C、六行九列D、九行六列我的答案:C7【单选题】当取何值时,矩阵等式成立( )A、1B、2C、3D、不论取何值,等式都不成立我的答案:D8【单选题】是二阶单位矩阵,则( )A、B、C、D、以上答案都不对我的答案:D1【单选题】,,则( )A、B、C、D、我的答案:D2【单选题】在矩阵等式中,若是上三角矩阵,是下三角矩阵,,则关于的说法正确的是( )A、一定是上三角矩阵B、一定是下三角矩阵C、一定是对角矩阵D、以上答案都不对我的答案:D3【单选题】二阶方阵乘以二阶方阵等于( )A、四阶方阵B、四行四列矩阵C、行数和列数相等且含有十六个元素的方阵D、二阶方阵我的答案:D4【单选题】在矩阵等式中,和的元素都是负数,则的元素符号( )A、都是正数B、都是负数C、正负交替出现D、不确定,与矩阵的行数与列数有关我的答案:A5【单选题】关于矩阵和,以下说法不正确的是( )A、若有意义,则必有的行数等于的行数B、若有意义,则必有的行数等于的列数C、若有意义,则必有的列数等于的行数D、若有意义,则必有的行数等于的列数我的答案:B6【单选题】某矩阵既是对称矩阵又是反对称矩阵,则关于该矩阵说法正确的是( )A、是上三角矩阵,但未必是对角矩阵B、是下三角矩阵,但未必是对角矩阵C、是对角矩阵,但未必是零矩阵D、是零矩阵我的答案:D7【单选题】已知矩阵等式成立,则有( )A、,B、,C、,D、,我的答案:A8【单选题】,,,,则在,,,四个矩阵中,对称矩阵的个数是( )A、1B、2C、3D、4我的答案:D9【单选题】是阶方阵,,则( )A、B、C、D、4我的答案:C10【单选题】如果,则( )A、B、C、D、我的答案:A11【单选题】如果是同阶方阵,则以下说法正确的是( )A、若,则B、若,则C、若,则D、若,则我的答案:D12【单选题】,,且第列的元素和是(,,),则( )A、B、C、D、我的答案:A13【单选题】矩阵的结果是零矩阵,说明( )A、的行数等于的列数B、的列数等于的行数C、和至少有一个是零矩阵D、我的答案:D1【单选题】和是同阶可逆矩阵,则( )A、若,则B、若,则C、若,则D、若,则我的答案:A2【单选题】若,则( )A、可逆,且B、可逆,且C、可逆,且逆矩阵不唯一D、未必可逆我的答案:A3【单选题】逆矩阵不唯一的三阶可逆矩阵有( )个A、0B、1C、2D、3我的答案:A4【单选题】若,且,则( )A、B、C、D、我的答案:A5【单选题】是可逆矩阵,且,若,则( ) A、B、C、D、我的答案:A6【单选题】、、是同阶可逆矩阵,且,则( )A、B、C、D、我的答案:A7【单选题】是阶矩阵,是的伴随矩阵,以下说法正确的是( )A、可逆时,也可逆B、可逆时,不可逆C、不可逆时,可逆D、可逆时,不可逆我的答案:A8【单选题】,则的伴随矩阵( )A、B、C、D、我的答案:B9【单选题】是阶方阵,以下说法正确的是( )A、当可逆时,有B、当是数量矩阵时,有C、当是对角矩阵时,有D、当不可逆时,有我的答案:B10【单选题】、是同阶可逆矩阵,则下列矩阵未必可逆的是( ) A、B、C、D、我的答案:B1【单选题】是3阶初等矩阵,则的值不可能是( )A、3B、2C、1D、0我的答案:D2【单选题】下列关于初等矩阵的说法正确的是( )A、初等矩阵一定是可逆矩阵B、可逆矩阵一定是初等矩阵C、初等矩阵的行列式可能为零D、初等矩阵可能是退化矩阵我的答案:A3【单选题】已知矩阵是一行三列,矩阵是三行四列,则的结果是( )A、矩阵的第一列B、矩阵的第一行C、矩阵的第一列D、矩阵的第一行我的答案:B4【单选题】方阵经过一次初等变换后得到方阵,且,则( )A、0B、1C、2D、不确定我的答案:D5【单选题】交换方阵的第一、二行得到矩阵,交换方阵的第一、二列得到矩阵,则下列说法正确的是( )A、与不等价,且B、与不等价,且C、与等价,且D、与等价,且我的答案:C6【单选题】,则( )A、B、C、D、我的答案:A7【单选题】,则的标准形是( )A、B、C、D、我的答案:D8【单选题】,且已知矩阵可以经过行初等变换得到矩阵,其中,,则( )A、B、C、D、我的答案:A9【单选题】某初等矩阵一共有三行,则该矩阵一共有( )列A、27B、9C、3D、1我的答案:C10【单选题】四阶方阵的标准形中含元素1的个数最多是( )个A、2B、4C、1D、3我的答案:B1【单选题】,,则矩阵方程的解是( ) A、B、C、D、我的答案:B2【单选题】,,则矩阵方程的解是( ) A、B、C、D、我的答案:A3【单选题】可逆,且,则( )A、B、C、D、我的答案:C4【单选题】是阶方阵,且,则有( )A、不可逆B、可逆且C、可逆且D、可逆且我的答案:B5【单选题】是三阶可逆方阵,且,,则矩阵方程的解( )A、B、C、D、我的答案:D1【单选题】A是n阶矩阵,是非零常数,则一定有( )A、B、C、D、我的答案:B2【单选题】A=,则有( )A、B、C、D、我的答案:C3【单选题】A是n阶可逆矩阵,则下列结论正确的是( )A、B、C、D、我的答案:D4【单选题】一个六行八列矩阵的秩可能是( )A、6B、8C、66D、88我的答案:A5【单选题】矩阵A是m行n列且,若,则( )A、1B、2C、3D、4我的答案:D6【单选题】A是一个矩阵,则“是零矩阵”是“”的( )条件A、充分不必要B、必要不充分C、充分必要D、不充分不必要我的答案:C7【单选题】A是n阶矩阵,,,则有( )A、B、C、D、以上答案都错我的答案:A8【单选题】k是常数,,则不可能是( )A、1B、2C、3D、4我的答案:B9【单选题】,则有( )A、B、C、D、我的答案:A10【单选题】矩阵经过3次初等变换得到矩阵,,则( )A、8B、2C、5D、15我的答案:C作业1已知矩阵,、是常数且,则____正确答案:第一空: 12已知,满足,则常数____正确答案:第一空: 43矩阵,(),且,则____正确答案:第一空:504矩阵,及常数,满足,则____正确答案:05,是常数,,是未知数,且矩阵方程组有无穷多组解,则常数____正确答案:101某数量矩阵第四行的非零元素是2,则该矩阵第二行的非零元素是4( ) 正确答案:×2对角矩阵主对角线上的元素都不等于零( )正确答案:×3既是上三角矩阵又是下三角矩阵的矩阵是零矩阵( )正确答案:×4非负矩阵的行数不超过列数( )正确答案:×5五阶方阵的每个元素不小于5( )正确答案:×6数量矩阵不可能是单位矩阵( )正确答案:×7上三角矩阵第一行的元素都不等于零( )正确答案:×8某矩阵共四行,且所有元素都是4,则该矩阵是四阶方阵( )正确答案:×9下三角矩阵的行数不等于列数( )正确答案:×10数量矩阵的所有元素都相等( )正确答案:×1已知矩阵,且,则____正确答案:32已知且,是方阵,则是____阶方阵正确答案:4;四3矩阵,,且,又,则主对角线上所有元素的和等于____正确答案:34矩阵是行3列矩阵,是3行列矩阵,且,则____正确答案:35、、、、、是六个矩阵,且,,, 则矩阵所有元素的和等于____正确答案:06,,其中是单位矩阵,,则____正确答案: 27是反对称矩阵,则____正确答案:08二阶方阵、满足,且,, 则____正确答案:109,,则____正确答案:010是矩阵,是矩阵,的行数与列数相等,则____正确答案:81已知矩阵,且是的逆矩阵,则____正确答案:12是反对称矩阵且可逆,则主对角线上元素的和等于____正确答案:03矩阵可逆且,,则____正确答案:24矩阵是8阶方阵,则是 ____阶方阵正确答案:8;八5,是退化矩阵,则常数____正确答案:26方阵不可逆,则____正确答案:07方阵,且可逆,则____正确答案:18方阵,则____正确答案:29可逆矩阵的逆矩阵,若,则____ 正确答案:410矩阵,且,则____正确答案:01方阵经过初等变换后得到方阵,且,则的值不可能是____正确答案:02是四阶方阵且,是的标准形,则____正确答案:13矩阵,若,则____正确答案:24矩阵与等价,且是3行5列,是行列,则____正确答案:85矩阵,,,,,则____正确答案:36矩阵,,,则____正确答案:7矩阵,,,则____正确答案:18、是同阶方阵且,,则将矩阵的第二行乘以____就能得到矩阵正确答案:29在、、,三个矩阵中,逆矩阵等于自身的有____个正确答案:310矩阵,且矩阵序列,实数序列。

线性代数复习题含答案

线性代数复习题含答案

(C )a +a ,a +a ,a +a (D )a −a ,a −a ,a −a
1 2 2 3 3 1 1 2 2 3 3 1
分析:(A )含有0 的向量组一定线性相关,0 +0a2 +0a3 0 ;
分析:∵A 的特征值是 1,2,−3 .
∴ A −E 0 , A −2E 0 , A +3E 0 .
∴ (A )A −E ,(D )A −2E ,(C )A +3E 不可逆.
二. 填空题
1. 已知a31a21a13a5k a44 是 5 阶行列式中的一项且带正号,则i 5 ,k 2 .
⎪ 21 1 22 2 2n n 2


n n−1 n−2 2 1 n n−1 n−2 2 1
共交换了n −2 次;……;r 与r 交换,共交换了 1 次.
2 1
( )
(A )D D (B )D =−D (C )D =−1 2 D (D )D =−1 D
(C )一定无解 (D )不能确定是否有解
分析:系数行列式D 0 =⇒R A <n ,方程组无解或无穷多解
( )
( ) ( )
) 1 ( ) 1
⎛a11 a12 a13 ⎞
2 1 2 1 2 ( ) 1 2 ( ) 1
分析:r 依次与r ,r ,,r ,r 交换,共交换了n −1次(r 移到第 1 行);r 依次与r ,,r ,r 交换,
1 2 3
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(A )0,a ,a (B )a ,2a ,a

(完整版)线性代数试题和答案(精选版)

(完整版)线性代数试题和答案(精选版)

线性代数习题和答案第一部分选择题 (共28分)一、单项选择题(本大题共14小题,每小题2分,共28分)在每小题列出の四个选项中只有一个是符合题目要求の,请将其代码填在题后の括号内。

错选或未选均无分。

1.设行列式a aa a11122122=m,a aa a13112321=n,则行列式a a aa a a111213212223++等于( )A。

m+n B. —(m+n) C. n-m D. m—n2.设矩阵A=100020003⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪,则A-1等于()A。

130012001⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪⎪⎪⎪B.100120013⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪⎪⎪⎪C。

13000100012⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪⎪⎪D。

120013001⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪⎪⎪⎪3。

设矩阵A=312101214---⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪,A*是Aの伴随矩阵,则A *中位于(1,2)の元素是()A. –6 B。

6C。

2 D. –24。

设A是方阵,如有矩阵关系式AB=AC,则必有( )A。

A =0 B. B≠C时A=0C. A≠0时B=C D。

|A|≠0时B=C5。

已知3×4矩阵Aの行向量组线性无关,则秩(A T)等于( )A. 1 B。

2C。

3 D. 46.设两个向量组α1,α2,…,αs和β1,β2,…,βs均线性相关,则( )A。

有不全为0の数λ1,λ2,…,λs使λ1α1+λ2α2+…+λsαs=0和λ1β1+λ2β2+…λsβs=0B.有不全为0の数λ1,λ2,…,λs使λ1(α1+β1)+λ2(α2+β2)+…+λs(αs+βs)=0C.有不全为0の数λ1,λ2,…,λs使λ1(α1—β1)+λ2(α2—β2)+…+λs(αs-βs)=0D。

有不全为0の数λ1,λ2,…,λs和不全为0の数μ1,μ2,…,μs使λ1α1+λ2α2+…+λsαs=0和μ1β1+μ2β2+…+μsβs=07。

设矩阵Aの秩为r,则A中( )A.所有r-1阶子式都不为0B.所有r—1阶子式全为0C。

《线性代数》考试复习题及解答

《线性代数》考试复习题及解答

《线性代数》考试复习题一. 判断题(正确打√,错误打×)1.若112⨯⨯⨯=n n n n x x A ,则2是n n A ⨯的一个特征值. (×) 解答:因为没有说明01≠⨯n x ,所以错误.2.实对称矩阵A 的非零特征值的个数等于它的秩. (√)解答:因为实对称矩阵与对角矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛n λλλ21相似(n λλλ,,,21 是A 的特征值),而⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛n λλλ21的秩等于n λλλ,,,21 中非零数的个数, 又因为相似矩阵秩相同, 所以结论正确.3.二次型Ax x T的标准形的系数是A 的特征值(×)解答:正确结论是: 用正交变换化二次型Ax x T为标准形的系数是A 的特征值. 4. 若k ααα,,, 21线性无关且都是A 的特征向量,则将它们先正交化,再单位化后仍为A 的特征向量. (×)解答:虽然k ααα,,, 21都是A 的特征向量,但他们不一定属于A 的同一个特征值,所以他们正交化后不一定是特征向量.5.已知A 为n 阶矩阵,x 为n 维列向量,如果A 不对称,则 Ax x T不是二次型. (×)解答:对于任意的n 阶矩阵A ,Ax x T都是二次型,只是若不要求A对称,二次型Ax x T中的A 不唯一. 例如取⎪⎪⎭⎫⎝⎛=4421A ,那么21222164x x x x Ax x T ++=,但取⎪⎪⎭⎫⎝⎛=4331A ,仍得到此二次型.二.单项选择题1. 若n 阶非奇异矩阵A 的各行元素之和均为常数a ,则矩阵12)21(-A 有一个特征值为(C ).(A) 22a ; (B)22a - ; (C)22-a ; (D)22--a . 解答:因为n 阶非奇异矩阵A 的各行元素之和均为常数a ,所以⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛111111 a A ,从而⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-11111111 a A ,所以a 1是1-A 的一个特征值,所以22-a 是12)21(-A 的一个特征值. 2. 若λ为四阶矩阵A 的特征多项式的三重根,则A 对应于λ的 特征向量最多有(A )个线性无关.(A) 3个; (B) 1个; (C) 2个; (D) 4个. 解答:A 对应于特征值λ的线性无关特征向量的个数≤λ的重数. 3. 设A 为n 阶非零矩阵,并且O A =3,那么(C ) .(A) A E -不可逆,A E +不可逆; (B) A E -不可逆,A E +可逆; (C) A E -可逆,A E +可逆; (D) A E -可逆,A E +不可逆. 解答:设λ为A 的任意一个特征值,那么3λ是3A 的特征值,但O A =3, 所以0=λ,所以1±=λ不是A 的特征值,所以A E -、A E +都可逆. 5. 设⎪⎪⎭⎫⎝⎛=1221A ,则在实数域上与A 合同的矩阵为(D ).(A) ⎪⎪⎭⎫⎝⎛--2112;(B) ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--2112; (C) ⎪⎪⎭⎫⎝⎛2112;(D) ⎪⎪⎭⎫⎝⎛--1221 . 解答:方法1 合同矩阵的行列式符号相同(BC C A T=,那么B C A 2=),所以选(D) .方法2 2122214x x x x Ax x T ++=, 令⎩⎨⎧=-=2211y x y x , 那么2122214y y y y Ax x T -+=,而2122214y y y y Ax x T -+=的矩阵就是⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--1221, 所以选(D) .方法3 ⎪⎪⎭⎫⎝⎛=1221A 的特征值是3,1-, 而⎪⎪⎭⎫⎝⎛--1221的特征值也是3,1-, 所以两个二次型可化为同一个标准型, 所以⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1221A 与⎪⎪⎭⎫⎝⎛--1221合同, 所以选(D) . 三. 填空题1. 若A 为正定矩阵,且E A A T=,则=A E .解答:因为A 为正定矩阵, 所以A A T =, 并且E A +可逆,从而E A =2,即O E A E A =-+))((, 所以E A =.2.设A 为2阶矩阵,21,αα为线性无关的2维列向量,01=αA ,2122ααα+=A ,则A 的非零特征值为=λ 1 .解答:方法1 ⎪⎪⎭⎫⎝⎛=+==1020),()2,0(),(),(21212121ααααααααA A A , 而 21,αα线性无关,所以矩阵),(21αα可逆,所以⎪⎪⎭⎫⎝⎛=-1020),(),(21121ααααA ,即A 与⎪⎪⎭⎫⎝⎛1020相似,所以A 的非零特征值为1. 方法2 因为01=αA ,01≠α,所以0是A 的一个特征值. 因为02212≠+=αααA ,而22122)(ααααA A A A A =+=,所以1是A 的一个特征值, 而A 为2阶矩阵, 所以A 的非零特征值为1.3. 设3阶方阵A 的特征值互不相同,0=A ,则A 的秩= 2 . 解答:因为A 的特征值互不相同,所以A 与对角矩阵相似,所以)(A R 等于A 的非零特征值的个数, 因为A 为3阶方阵, 0=A , 所以A 的特征值 是01=λ,2λ、03≠λ,所以2)(=A R .4. (2011年考研题)若二次曲面的方程4=2+2+2++3+222yz xz axy z y x 经正交变换化为4=4+2121z y ,则=a 1 .解答:由题知二次型的系数矩阵的特征值为4=1=0=321λλλ,, ,于是有0==1111311=321λλλaa A ||,解得1=a .5. (2011年考研题)设二次型Ax x x x x f T =321),,(的秩为1,A 的各行元素之和为3,则f 在正交变换Qy x =下的标准型为213y解答:因为二次型Ax x x x x f T =321),,(的秩为1,所以非零特征值只有一个,由A 的各行元素之和为3,知3是A 的特征值,故f 在正交变换Qy x =下的标准型为213y . 6. (2011年考研题)二次型3231212322213212+2+2++3+=x x x x x x x x x x x x f ),,(,则f 的正惯性指数为 2 .解答:方法1 配方得2223213212+++=x x x x x x x f )(),,(,故正惯性指数为2.方法2 求⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛111131111=A 的特征值也可得正惯性指数为2.7. 设3阶矩阵A 的特征值为2,2,1,则=--E A 14 3 .解答:因为A 的特征值为2,2,1, 所以-1A 的特征值为2121,1,, 所以E A --14的特征值为11,3,, 所以341=--E A四. 计算题1.求矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=735946524A 的特征值与特征向量.解答:λλλλλλλλλ--------------=-731941521132735946524||列列加到、E A)1(21420521)1(731941521)1(2λλλλλλλλ-=------=------=,所以特征值为11=λ,=2λ03=λ.对于11=λ,求得特征向量为⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=1111k x ,对于=2λ03=λ,求得特征向量为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=2312k x , 其中21,k k 是不为零的任意常数.2.求()n n A ⨯=1的特征值与特征向量.解答:因为1))(---=-n n EA λλλ(行和相等, 所以0121====-n λλλ ,n n =λ.对应于0121====-n λλλ : 方程组0=Ax 即为021=+++n x x x ,所以特征向量为⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=--1111n n k k k k x , 其中121,,,-n k k k 不全为零. 对应于n n =λ:因为⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---−→−⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=-n n nn n n nnnE A 00111111111111行 ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--−→−⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---−→−101011000101011111行行n , 所以方程组nx Ax =即为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===-111312x x xx x x n , 所以⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=a a a x , 其中0≠a .3.设⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=0011100y x A 与对角阵相似,求x 和y 应满足的条件.解答:容易求得A 的特征值为11-=λ,132==λλ,因为A 与对角阵相似当且仅当A 有3个线性无关的特征向量,所以对应于132==λλ,应该有两个线性无关的特征向量,所以2)(3=--E A R ,即1)(=-E A R ,而⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+−→−⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-00000101-1010101y x y x E A 行, 所以0=+y x .4.(2011年考研题)设A 为3阶实对称矩阵,A 的秩为2,且⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛110011-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛11-0011A . (1) 求A 的特征值与特征向量;(2) 求矩阵A . 解答:(1)由于A 的秩为2,故0是A 的一个特征值.由题设可得⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛101=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛101⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛1-01-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1-01A A ,, 所以,1-是A 的一个特征值,且属于1-的特征向量为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1-011k ,1k 为任意非零常数;1也是A 的一个特征值,且属于1的特征向量为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1012k ,2k 为任意非零常数.设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛321x x x 是A 的属于0的特征向量,由于A 为实对称矩阵,则()()0=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1010=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1-01321321x x x x x x ,,即 ⎩⎨⎧0=+0=-3131,,x x x x于是属于0的特征向量为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛0103k ,3k 为任意非零常数.(2)令⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛011-100011=P ,则⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛000010001-=1-AP P ,于是⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛001000100=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛0102102121-021⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛000010001-⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛011-100011=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛000010001-=1-P P A 5.已知二次型32312123222132166255),,(x x x x x x cx x x x x x f -+-++=的秩为2,(1)求参数c 及此二次型对应矩阵的特征值; (2)指出方程1),,(321=x x x f 表示何种曲面. 解答:二次型),,(321x x x f 的矩阵⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----−→−⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----−→−⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=91203512c 60091203511224033351315c c c A 行行, 因为2)(=A R ,所以3=c (或者由0=A 得c ). 于是)9)(4(363361001)4(333351011)4(333351044333351315||--=------=------=-------=-------=-λλλλλλλλλλλλλλλλλE A所以A 的特征值为9,4,0, 于是二次型),,(321x x x f 通过正交变换化为232221094y y y ++, 所以1),,(321=x x x f 表示椭圆柱面. 五.证明题1. 若矩阵A 满足O E A A =+-232,证明A 的特征值只能是1或2.证明: 设λ为A 的任意一个特征值,那么232+-λλ是E A A 232+-的特征值, 所以0232=+-λλ, 所以21或=λ.2. 证明⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=010100002A 与⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=260010001B 相似.证明: 容易求得A 、B 的特征值都是2,1,1-, 所以A 、B 都与⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-200010001相似, 所以A与B 相似.3. 已知A 、B 都是n 阶正交矩阵, 且0=+B A , 证明0=+B A .证明 因为TT T T T B A A B B B A A )()(+=+=+, 所以||||||||B A B B A A +=+,而A B -=,12=A , 所以||||B A B A +=+-, 所以0=+B A .4. 若矩阵A 正定,证明A 可逆并且1-A 也正定.证明 因为A 正定,所以A A T=且 ||A >0,于是A 可逆.由1-1-1-==A A A T T )()(知1-A 为对称矩阵,由于A 正定,所以A 的特征值n λλλ ,,21全为正,于是1-A 的特征值nλλλ11121,,,. 也全为正,故1-A 正定.5.设A 为n m ⨯实矩阵,E 为n 阶单位矩阵,已知矩阵A A E B T +=λ,试证:当0>λ时,矩阵B 为正定矩阵.证明 由于B A A E A A E B TT T T =+=+=λλ)(, 所以B 为n 阶实对称矩阵.于是,对于任意的非零列向量x ,有 Ax A x x x x A A E x Bx x TT T T T T +=+=λλ)( )()(Ax Ax x x TT +=λ, 而当0≠x 时,有0>x x T, 0≥)()(Ax Ax T,从而,0>λ时,0>+=)()(Ax Ax x x Bx x T T T λ,即矩阵B 为正定矩阵.。

(完整版)线性代数习题集带答案

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第一部分 专项同步练习第一章 行列式一、单项选择题1.下列排列是5阶偶排列的是 ( ).(A) 24315 (B) 14325 (C) 41523 (D)243512.如果n 阶排列n j j j 21的逆序数是k , 则排列12j j j n 的逆序数是( ). (A)k (B)k n - (C)k n -2! (D)k n n --2)1(3. n 阶行列式的展开式中含1211a a 的项共有( )项.(A) 0 (B)2-n (C) )!2(-n (D) )!1(-n4.=0001001001001000( ).(A) 0 (B)1- (C) 1 (D) 25.=0001100000100100( ).(A) 0 (B)1- (C) 1 (D) 26.在函数1323211112)(x x xxx f ----=中3x 项的系数是( ).(A) 0 (B)1- (C) 1 (D) 27. 若21333231232221131211==a a a a a a a a a D ,则=---=323133312221232112111311122222 2a a a a a a a a a a a a D ( ). (A) 4 (B) 4- (C) 2 (D) 2- 8.若a a a a a =22211211,则=21112212ka a ka a ( ).(A)ka (B)ka - (C)a k 2 (D)a k 2-9. 已知4阶行列式中第1行元依次是3,1,0,4-, 第3行元的余子式依次为x ,1,5,2-, 则=x ( ).(A) 0 (B)3- (C) 3 (D) 210. 若5734111113263478----=D ,则D 中第一行元的代数余子式的和为( ). (A)1- (B)2- (C)3- (D)011. 若2235001011110403--=D ,则D 中第四行元的余子式的和为( ). (A)1- (B)2- (C)3- (D)012. k 等于下列选项中哪个值时,齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++000321321321x x kx x kx x kx x x 有非零解.( )(A)1- (B)2- (C)3- (D)0二、填空题1. n 2阶排列)12(13)2(24-n n 的逆序数是.2.在六阶行列式中项261365415432a a a a a a 所带的符号是.3.四阶行列式中包含4322a a 且带正号的项是.4.若一个n 阶行列式中至少有12+-n n 个元素等于0, 则这个行列式的值等于.5. 行列式=100111010100111.6.行列式=-000100002000010n n .7.行列式=--001)1(2211)1(111n n n n a a a a a a .8.如果M a a a a a a a a a D ==333231232221131211,则=---=323233312222232112121311133333 3a a a a a a a a a a a a D .9.已知某5阶行列式的值为5,将其第一行与第5行交换并转置,再用2乘所有元素,则所得的新行列式的值为.10.行列式=--+---+---1111111111111111x x x x .11.n 阶行列式=+++λλλ111111111.12.已知三阶行列式中第二列元素依次为1,2,3, 其对应的余子式依次为3,2,1,则该行列式的值为.13.设行列式5678123487654321=D ,j A 4)4,3,2,1(=j 为D 中第四行元的代数余子式,则=+++44434241234A A A A .14.已知db c a cc a b b a b c a cb a D =, D 中第四列元的代数余子式的和为.15.设行列式62211765144334321-==D ,j A 4为)4,3,2,1(4=j a j 的代数余子式,则=+4241A A ,=+4443A A .16.已知行列式nn D001030102112531-=,D 中第一行元的代数余子式的和为.17.齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+-=+=++0020232121321x x x kx x x x kx 仅有零解的充要条件是.18.若齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+--=+=++0230520232132321kx x x x x x x x 有非零解,则k =.三、计算题1.cb a db a dc a dc bd c b a d c ba d cb a++++++++33332222; 2.yxyx x y x y y x y x +++;3.解方程0011011101110=x x xx ; 4.111111321321221221221----n n n n a a a a x a a a a x a a a a xa a a a x ;5. na a a a 111111111111210(n j a j ,,1,0,1 =≠); 6. bn b b----)1(1111211111311117. n a b b b a a b b a a a b 321222111111111; 8.xa a a a x a a a a x a a a a x n nn 321212121;9.2212221212121111nn n nnx x x x x x x x x x x x x x x +++; 10. 21000120000021001210001211.aa a a a a aa a D ---------=110001100011000110001.四、证明题1.设1=abcd ,证明:011111111111122222222=++++dddd c c c c b b b b a a a a .2.3332221112333332222211111)1(c b a c b a c b a x c b x a x b a c b x a x b a c b x a xb a -=++++++.3.))()()()()()((111144442222d c b a c d b d b c a d a c a b d c b a d c b adc b a +++------=.4.∏∑≤<≤=----=nj i i jni innn nn nn n nna aa a a a a a a a a a a a a 1121222212222121)(111.5.设c b a ,,两两不等,证明0111333=c b a c ba 的充要条件是0=++cb a .参考答案一.单项选择题A D A C C D ABCD B B 二.填空题1.n ;2.”“-;3.43312214a a a a ;4.0;5.0;6.!)1(1n n --;7.1)1(212)1()1(n n n n n a a a ---; 8.M 3-; 9.160-; 10.4x ; 11.1)(-+n n λλ; 12.2-;13.0; 14.0; 15.9,12-; 16.)11(!1∑=-nk k n ; 17.3,2-≠k ; 18.7=k三.计算题1.))()()()()()((c d b d b c a d a c a b d c b a ------+++-; 2. )(233y x +-; 3. 1,0,2-=x ; 4.∏-=-11)(n k kax5.)111()1(00∑∏==-+-nk k nk k a a ; 6. ))2(()1)(2(b n b b ---+- ;7. ∏=--nk k kna b1)()1(; 8. ∏∑==-+nk k nk k a x a x 11)()(;9. ∑=+nk k x 11; 10. 1+n ;11. )1)(1(42a a a ++-. 四. 证明题 (略)第二章 矩阵一、单项选择题1. A 、B 为n 阶方阵,则下列各式中成立的是( )。

线性代数期末考试试题及答案

线性代数期末考试试题及答案

线性代数期末考试试题及答案一、选择题(每题2分,共20分)1. 向量空间的基是该空间的一组向量,满足以下哪两个条件?A. 线性无关B. 可以表示空间中的任何向量C. 可以线性组合出空间中的任何向量D. 以上都是2. 矩阵的秩是指:A. 矩阵中非零行的最大数目B. 矩阵中非零列的最大数目C. 矩阵的行向量组的秩D. 矩阵的列向量组的秩3. 线性变换的核是指:A. 变换后为零的向量集合B. 变换后为单位向量的向量集合C. 变换后保持不变的向量集合D. 变换后向量长度为1的向量集合4. 特征值和特征向量是线性变换中的基本概念,特征向量满足以下条件:A. 变换后保持不变B. 变换后与原向量成比例C. 变换后与原向量垂直D. 变换后与原向量正交5. 对于矩阵A,下列哪个矩阵是A的逆矩阵?B. A的伴随矩阵C. A的行列式D. 与A相乘结果为单位矩阵的矩阵6. 行列式的性质不包括:A. 行列式与矩阵的转置相等B. 行列式与矩阵的伴随矩阵无关C. 行列式与矩阵的行(列)交换有关D. 行列式与矩阵的行(列)乘以常数有关7. 线性方程组有唯一解的条件是:A. 方程组的系数矩阵是可逆的B. 方程组的系数矩阵是方阵C. 方程组的系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩D. 方程组的系数矩阵的秩等于未知数的个数8. 矩阵的迹是指:A. 矩阵的对角线元素之和B. 矩阵的行向量长度之和C. 矩阵的列向量长度之和D. 矩阵的行列式9. 线性无关的向量组可以作为向量空间的基,其必要条件是:A. 向量组中的向量数量等于向量空间的维数B. 向量组中的向量数量大于向量空间的维数C. 向量组中的向量数量小于向量空间的维数D. 向量组中的向量数量可以任意10. 对于矩阵A,下列哪个矩阵是A的共轭转置?A. A的转置矩阵C. A的伴随矩阵D. A的复共轭矩阵的转置答案:1. D 2. D 3. A 4. B 5. D 6. B 7. D 8. A 9. A 10. D二、填空题(每空2分,共20分)1. 设向量空间V的基为{v1, v2, ..., vn},则向量v可以表示为______ 。

线性代数自考试题及答案

线性代数自考试题及答案

线性代数自考试题及答案一、单项选择题(每题2分,共10分)1. 向量组α1,α2,α3线性无关的充分必要条件是()。

A. 齐次方程组Ax=0只有零解B. 齐次方程组Ax=0有非零解C. 齐次方程组Ax=0只有零解,且α1,α2,α3线性相关D. 齐次方程组Ax=0只有零解,且α1,α2,α3线性无关答案:A2. 矩阵A与矩阵B相等的充分必要条件是()。

A. A与B的行数相同B. A与B的列数相同C. A与B的行数相同,且A与B的列数相同D. A与B的行数相同,且A与B的列数相同,且对应元素相等答案:D3. 设A为n阶矩阵,若A的行列式|A|=0,则A是()。

A. 可逆矩阵B. 非可逆矩阵C. 正交矩阵D. 反对称矩阵答案:B4. 设A为3阶矩阵,且A的特征多项式为f(λ)=λ(λ-1)(λ+2),则A的迹为()。

A. 0B. 1C. 2D. -3答案:C5. 设A为3阶矩阵,且A的秩为2,则A的零度为()。

A. 0B. 1C. 2D. 3答案:B二、填空题(每题3分,共15分)1. 若矩阵A的行列式|A|=2,则矩阵A的伴随矩阵的行列式|adj(A)|=______。

答案:42. 设矩阵A=\(\begin{bmatrix}1 & 2 \\ 3 & 4\end{bmatrix}\),则矩阵A的逆矩阵A^{-1}=______。

答案:\(\begin{bmatrix}-2 & 1 \\ 1.5 & -0.5\end{bmatrix}\)3. 若向量α=(1,2,3),β=(4,5,6),则向量α与向量β的夹角的余弦值为______。

答案:\(\frac{1}{3}\)4. 设矩阵A的特征值λ1=2,λ2=3,对应的特征向量分别为α1和α2,则矩阵A+E的特征值λ3=______,对应的特征向量为______。

答案:3,α1;4,α25. 设矩阵A=\(\begin{bmatrix}1 & 2 \\ 3 & 4\end{bmatrix}\),则矩阵A的秩为______。

2022年线性代数试卷及答案6套

2022年线性代数试卷及答案6套

线性代数试卷及答案6套.试卷(一): 一. 填空题(每小题4分,共20分)1.已知正交矩阵P 使得⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=200010001AP P T ,则.________)(2006=+P A E A P T2.设A 为n 阶方阵,n λλ,,1 为A 的n 个特征值,则 ._________)det(2=A 3.设A 是n m ⨯矩阵,B 是m 维列向量,则方程组B AX =有无数多个解的充分必要条件是:._________4.若向量组T T T t )3,2,(,)1,3,2(,)2,4,0(===γβα的秩为2,则._____=t5.,27859453251151)(32--=x x x x D 则0)(=x D 的全部根为:_________.二. 选择题 (每小题4分,共20分)1.行列式001010100 ---的值为( ).A. 1B. -1C. 2)1()1(--n n D. 2)1()1(+-n n2. 对矩阵n m A ⨯施行一次行变换相当于( ).A. 左乘一个m 阶初等矩阵B. 右乘一个m 阶初等矩阵C. 左乘一个n 阶初等矩阵D. 右乘一个n 阶初等矩阵 3. 若A 为n m ⨯矩阵,{},,0|,)(n R X AX X M n r A r ∈==<= 则( ). A. M 是m 维向量空间 B. M 是n 维向量空间 C. M 是r m -维向量空间 D. M 是r n -维向量空间 4. 若n 阶方阵A 满足,,02=A 则下列命题哪一个成立 ( ).A. 0)(=A rB. 2)(n A r =C. 2)(n A r ≥D. 2)(nA r ≤5. 若A 是n 阶正交矩阵,则下列命题哪一个不成立( ). A. 矩阵T A 为正交矩阵 B. 矩阵1-A 为正交矩阵 C. 矩阵A 的行列式是1± D. 矩阵A 的特征值是1±三. 解下列各题(每小题6分,共30分)1. 若A 为3阶正交矩阵, *A 为A 的伴随矩阵, 求).det(*A2. 计算行列式.111111111111aa a a 3. 设,,100002020B A AB A -=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=求矩阵.B4. 求向量组,)2,1,2,1(1T =α,)2,1,0,1(2T =α,)0,0,1,1(3T =αT )4,2,1,1(4=α的一个 最大无关组.5. 求向量T )1,2,1(=ω在基,)1,1,1(T =α,)1,1,0(T =βT )1,1,1(-=γ下的坐标. 四. (12分) 求方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+--+=+++-=++-+631052372322543215432154321x x x x x x x x x x x x x x x的通解(用基础解系与特解表示).五.(12分) 用正交变换化下列二次型为标准型, 并写出正交变换矩阵3123222132122),,(x x x x x x x x x f -++= 六. 证明题(6分)设r ξξξβ ,,,021≠是线性方程组β=AX 对应的齐次线性方程组的一个 基础解系,η是线性方程组β=AX 的一个解, 求证ηηξηξηξ,,,,21+++r 线性无关.试卷(二):一.计算下列各题:(每小题6分,共30分)(1),180380162176380162225379162(2)求,3222E A A ++其中⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=3112A(3)已知向量组T T T t ),2,1(,)3,3,2(,)3,2,0(321-===ααα线性相关,求.t (4) 求向量T )4,2,1(-=α在基T T T )1,2,1(,)1,1,0(,)1,0,1(321-===ααα下的坐标.(5) 设⎪⎪⎭⎫⎝⎛=5321A , 求A 的特征值.二.(8分) 设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=200002130A ,且,B A AB T +=求矩阵B.三. (8分) 计算行列式: 100200300321x c b a四. (8分) 设有向量组,)6,0,2,3,3(,)7,2,0,1,1(,)5,2,1,0,1(,)3,2,1,1,0(4321T T T T -=--===αααα 求该向量组的秩以及它的一个最大线性无关组.五. (8分) 求下列方程组的通解以及对应的齐次方程组的一个基础解系.⎪⎩⎪⎨⎧=--+=+-+-=-+-+.18257,432,1042354315432154321x x x x x x x x x x x x x x六. (8分) 求出把二次型323121232221222)(x x x x x x x x x a f -++++=化为标准形的正交变换,并求出使f 为正定时参数a 的取值范围.七. (10分) 设三阶实对称矩阵A 的特征值为3(二重根)、4(一重根),T )2,2,1(1=α是A 的属于特征值4的一个特征向量,求.A 八. (10分) 当b a ,为何值时,方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++,233,1032,4321321321x bx x x bx x x x ax 有惟一解、无穷多解、无解?九.(10分) (每小题5分,共10分) 证明下列各题(1) 设A 是可逆矩阵, ,~B A 证明B 也可逆, 且.~11--B A (2) 设βα,是非零1⨯n 向量,证明α是n n ⨯矩阵T αβ的特征向量.试卷(三):一. 填空题(共20分)1. 设A 是n m ⨯矩阵,B 是m 维列向量,则方程组B AX =有唯一解的充分必要条件是:2. 已知E 为单位矩阵, 若可逆矩阵P 使得11223,P AP P A P E --+= 则当E A -可逆时, 3A =3. 若t 为实数, 则向量组α=(0,4,t ),β=(2,3,1),γ=(t ,2,3+t )的秩为:4. 若A 为2009阶正交矩阵,*A 为A 的伴随矩阵, 则*A =5. 设A 为n 阶方阵,12,,,n λλλ⋅⋅⋅⋅⋅⋅是A 的n 个特征根,则1ni i i i E A λ=-∑ =二. 选择题(共20分)1. 如果将单位矩阵E 的第i 行乘k 加到第j 行得到的矩阵为)),(,(k i j P 将矩阵n m A ⨯的第i 列乘k 加到第j 列相当于把A :A, 左乘一个));(,(k j i P B ,右乘一个));(,(k j i PC . 左乘一个));(,(k i j PD ,右乘一个)).(,(k i j P2. 若A 为m ×n 矩阵,B 是m 维非零列向量,()min{,}r A r m n =<。

(完整版)线性代数习题集带答案

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第一部分 专项同步练习第一章 行列式一、单项选择题1.下列排列是5阶偶排列的是 ( ).(A) 24315 (B) 14325 (C) 41523 (D)243512.如果n 阶排列n j j j 21的逆序数是k , 则排列12j j j n 的逆序数是( ). (A)k (B)k n - (C)k n -2! (D)k n n --2)1(3. n 阶行列式的展开式中含1211a a 的项共有( )项.(A) 0 (B)2-n (C) )!2(-n (D) )!1(-n4.=0001001001001000( ).(A) 0 (B)1- (C) 1 (D) 25.=0001100000100100( ).(A) 0 (B)1- (C) 1 (D) 26.在函数1323211112)(x x xxx f ----=中3x 项的系数是( ).(A) 0 (B)1- (C) 1 (D) 27. 若21333231232221131211==a a a a a a a a a D ,则=---=323133312221232112111311122222 2a a a a a a a a a a a a D ( ). (A) 4 (B) 4- (C) 2 (D) 2- 8.若a a a a a =22211211,则=21112212ka a ka a ( ).(A)ka (B)ka - (C)a k 2 (D)a k 2-9. 已知4阶行列式中第1行元依次是3,1,0,4-, 第3行元的余子式依次为x ,1,5,2-, 则=x ( ).(A) 0 (B)3- (C) 3 (D) 210. 若5734111113263478----=D ,则D 中第一行元的代数余子式的和为( ). (A)1- (B)2- (C)3- (D)011. 若2235001011110403--=D ,则D 中第四行元的余子式的和为( ). (A)1- (B)2- (C)3- (D)012. k 等于下列选项中哪个值时,齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++000321321321x x kx x kx x kx x x 有非零解.( )(A)1- (B)2- (C)3- (D)0二、填空题1. n 2阶排列)12(13)2(24-n n 的逆序数是.2.在六阶行列式中项261365415432a a a a a a 所带的符号是.3.四阶行列式中包含4322a a 且带正号的项是.4.若一个n 阶行列式中至少有12+-n n 个元素等于0, 则这个行列式的值等于.5. 行列式=100111010100111.6.行列式=-000100002000010n n .7.行列式=--001)1(2211)1(111n n n n a a a a a a .8.如果M a a a a a a a a a D ==333231232221131211,则=---=323233312222232112121311133333 3a a a a a a a a a a a a D .9.已知某5阶行列式的值为5,将其第一行与第5行交换并转置,再用2乘所有元素,则所得的新行列式的值为.10.行列式=--+---+---1111111111111111x x x x .11.n 阶行列式=+++λλλ111111111.12.已知三阶行列式中第二列元素依次为1,2,3, 其对应的余子式依次为3,2,1,则该行列式的值为.13.设行列式5678123487654321=D ,j A 4)4,3,2,1(=j 为D 中第四行元的代数余子式,则=+++44434241234A A A A .14.已知db c a cc a b b a b c a cb a D =, D 中第四列元的代数余子式的和为.15.设行列式62211765144334321-==D ,j A 4为)4,3,2,1(4=j a j 的代数余子式,则=+4241A A ,=+4443A A .16.已知行列式nn D001030102112531-=,D 中第一行元的代数余子式的和为.17.齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+-=+=++0020232121321x x x kx x x x kx 仅有零解的充要条件是.18.若齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+--=+=++0230520232132321kx x x x x x x x 有非零解,则k =.三、计算题1.cb a db a dc a dc bd c b a d c ba d cb a++++++++33332222; 2.yxyx x y x y y x y x +++;3.解方程0011011101110=x x xx ; 4.111111321321221221221----n n n n a a a a x a a a a x a a a a xa a a a x ;5. na a a a 111111111111210(n j a j ,,1,0,1 =≠); 6. bn b b----)1(1111211111311117. n a b b b a a b b a a a b 321222111111111; 8.xa a a a x a a a a x a a a a x n nn 321212121;9.2212221212121111nn n nnx x x x x x x x x x x x x x x +++; 10. 21000120000021001210001211.aa a a a a aa a D ---------=110001100011000110001.四、证明题1.设1=abcd ,证明:011111111111122222222=++++dddd c c c c b b b b a a a a .2.3332221112333332222211111)1(c b a c b a c b a x c b x a x b a c b x a x b a c b x a xb a -=++++++.3.))()()()()()((111144442222d c b a c d b d b c a d a c a b d c b a d c b adc b a +++------=.4.∏∑≤<≤=----=nj i i jni innn nn nn n nna aa a a a a a a a a a a a a 1121222212222121)(111.5.设c b a ,,两两不等,证明0111333=c b a c ba 的充要条件是0=++cb a .参考答案一.单项选择题A D A C C D ABCD B B 二.填空题1.n ;2.”“-;3.43312214a a a a ;4.0;5.0;6.!)1(1n n --;7.1)1(212)1()1(n n n n n a a a ---; 8.M 3-; 9.160-; 10.4x ; 11.1)(-+n n λλ; 12.2-;13.0; 14.0; 15.9,12-; 16.)11(!1∑=-nk k n ; 17.3,2-≠k ; 18.7=k三.计算题1.))()()()()()((c d b d b c a d a c a b d c b a ------+++-; 2. )(233y x +-; 3. 1,0,2-=x ; 4.∏-=-11)(n k kax5.)111()1(00∑∏==-+-nk k nk k a a ; 6. ))2(()1)(2(b n b b ---+- ;7. ∏=--nk k kna b1)()1(; 8. ∏∑==-+nk k nk k a x a x 11)()(;9. ∑=+nk k x 11; 10. 1+n ;11. )1)(1(42a a a ++-. 四. 证明题 (略)第二章 矩阵一、单项选择题1. A 、B 为n 阶方阵,则下列各式中成立的是( )。

线性代数考试练习题带答案大全

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线性代数考试练习题带答案一、单项选择题(每小题3分,共15分)1.设A 为m n ⨯矩阵,齐次线性方程组0AX =仅有零解的充分必要条件是A 的( A ). (A ) 列向量组线性无关, (B ) 列向量组线性相关, (C )行向量组线性无关, (D ) 行向量组线性相关. 2.向量,,αβγ线性无关,而,,αβδ线性相关,则( C )。

(A ) α必可由,,βγδ线性表出, (B )β必不可由,,αγδ线性表出, (C )δ必可由,,αβγ线性表出, (D )δ必不可由,,αβγ线性表出. 3. 二次型()222123123(,,)(1)1f x x x x x x λλλ=-+++,当满足( C )时,是正定二次型.(A )1λ>-; (B )0λ>; (C )1λ>; (D )1λ≥.4.初等矩阵(A );(A ) 都可以经过初等变换化为单位矩阵;(B ) 所对应的行列式的值都等于1; (C ) 相乘仍为初等矩阵; (D ) 相加仍为初等矩阵 5.已知12,,,n ααα线性无关,则(C )A. 12231,,,n n αααααα-+++必线性无关;B. 若n 为奇数,则必有122311,,,,n n n αααααααα-++++线性相关;C. 若n 为偶数,则必有122311,,,,n n n αααααααα-++++线性相关;D. 以上都不对。

二、填空题(每小题3分,共15分)6.实二次型()232221213214,,x x x x tx x x x f +++=秩为2,则=t7.设矩阵020003400A ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,则1A -=8.设A 是n 阶方阵,*A 是A 的伴随矩阵,已知5A =,则*AA 的特征值为 。

9.行列式111213212223313233a b a b a b a b a b a b a b a b a b =______ ____;10. 设A 是4×3矩阵,()2R A =,若102020003B ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,则()R AB =_____________;三、计算题(每小题10分,共50分)11.求行列式111213212223313233a b a b a b D a b a b a b a b a b a b +++=++++++的值。

大一线性代数考试题库及答案解析

大一线性代数考试题库及答案解析

大一线性代数考试题库及答案解析一、选择题1. 设矩阵A为3阶方阵,且|A|=2,则矩阵A的逆矩阵的行列式为多少?A. 1/2B. 2C. 1/4D. 1答案:C解析:根据行列式的性质,一个矩阵的逆矩阵的行列式等于原矩阵行列式的倒数。

因此,|A^(-1)| = 1/|A| = 1/2。

2. 向量α=(1,2,3)和β=(-1,0,1)是否共线?A. 是B. 否答案:A解析:若向量α和β共线,则存在一个实数k使得β=kα。

将向量α和β的对应分量相除,得到-1/1=0/2=1/3,显然不存在这样的实数k,因此向量α和β不共线。

二、填空题3. 设矩阵B是一个3×3的矩阵,且B的秩为2,则矩阵B的零空间的维数为____。

答案:1解析:矩阵B的零空间的维数等于矩阵的列数减去矩阵的秩,即3-2=1。

4. 若线性方程组Ax=b有唯一解,则系数矩阵A的秩等于____。

答案:n解析:若线性方程组Ax=b有唯一解,则系数矩阵A的秩等于未知数的个数n。

三、解答题5. 给定向量组α1=(1,2,3),α2=(4,5,6),α3=(7,8,9),求证向量组α1,α2,α3线性相关。

答案:证明:首先计算向量组α1,α2,α3的行列式:|α1 α2 α3| = |1 2 3||4 5 6||7 8 9| = 0由于行列式为0,根据行列式的性质,向量组α1,α2,α3线性相关。

6. 设矩阵C为3×3的矩阵,且C的行列式为0,求证矩阵C不可逆。

答案:证明:根据矩阵的逆矩阵的定义,若矩阵C可逆,则存在矩阵C^(-1)使得CC^(-1)=I。

但是,由于|C|=0,根据行列式的性质,不存在矩阵C^(-1)使得CC^(-1)=I,因此矩阵C不可逆。

四、计算题7. 计算矩阵D=\begin{bmatrix}1 & 2 & 3\\4 & 5 & 6\\7 & 8 &9\end{bmatrix}的行列式。

线性代数试题和答案(精选版)

线性代数试题和答案(精选版)

线性代数习题和答案第一局部选择题 (共28分)一、单项选择题〔本大题共14小题,每题2分,共28分〕在每题列出の四个选项中只有一个是符合题目要求の,请将其代码填在题后の括号。

错选或未选均无分。

1.设行列式a a a a 11122122=m ,a a a a 13112321=n ,那么行列式a a a a a a 111213212223++等于〔 〕 A.m+nB. -(m+n)C. n -mD. m -n2.设矩阵A =100020003⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪,那么A -1等于〔 〕 A. 13000120001⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪⎪⎪⎪B. 10001200013⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪⎪⎪⎪ C. 130********⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪⎪⎪D. 12000130001⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪⎪⎪⎪ 3.设矩阵A =312101214---⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪,A *是A の伴随矩阵,那么A *中位于〔1,2〕の元素是〔 〕 A.–6 B. 6C. 2D.–24.设A 是方阵,如有矩阵关系式AB =AC ,那么必有〔 〕A.A =0B. B ≠C 时A =0C.A ≠0时B =CD. |A |≠0时B =C5.3×4矩阵A の行向量组线性无关,那么秩〔A T 〕等于〔 〕A. 1B. 2C. 3D. 46.设两个向量组α1,α2,…,αs 和β1,β2,…,βs 均线性相关,那么〔 〕A.有不全为0の数λ1,λ2,…,λs 使λ1α1+λ2α2+…+λs αs =0和λ1β1+λ2β2+…λs βs =0B.有不全为0の数λ1,λ2,…,λs 使λ1〔α1+β1〕+λ2〔α2+β2〕+…+λs 〔αs +βs 〕=0C.有不全为0の数λ1,λ2,…,λs 使λ1〔α1-β1〕+λ2〔α2-β2〕+…+λs 〔αs -βs 〕=0D.有不全为0の数λ1,λ2,…,λs 和不全为0の数μ1,μ2,…,μs 使λ1α1+λ2α2+…+λs αs =0和μ1β1+μ2β2+…+μs βs =07.设矩阵A の秩为r ,那么A 中〔 〕A.所有r -1阶子式都不为0B.所有r -1阶子式全为0C.至少有一个r 阶子式不等于0D.所有r 阶子式都不为08.设Ax=b 是一非齐次线性方程组,η1,η2是其任意2个解,那么以下结论错误の是〔 〕A.η1+η2是Ax=0の一个解B.12η1+12η2是Ax=b の一个解 C.η1-η2是Ax=0の一个解 D.2η1-η2是Ax=b の一个解9.设n 阶方阵A 不可逆,那么必有〔 〕A.秩(A )<nB.秩(A )=n -1C.A=0D.方程组Ax=0只有零解10.设A 是一个n(≥3)阶方阵,以下述中正确の是〔 〕A.如存在数λ和向量α使A α=λα,那么α是A の属于特征值λの特征向量B.如存在数λ和非零向量α,使(λE -A )α=0,那么λ是A の特征值C.A の2个不同の特征值可以有同一个特征向量D.如λ1,λ2,λ3是A の3个互不一样の特征值,α1,α2,α3依次是A の属于λ1,λ2,λ3の特征向量,那么α1,α2,α3有可能线性相关11.设λ0是矩阵A の特征方程の3重根,A の属于λ0の线性无关の特征向量の个数为k ,那么必有〔 〕A. k ≤3B. k<3C. k=3D. k>312.设A 是正交矩阵,那么以下结论错误の是〔 〕A.|A|2必为1B.|A |必为1C.A -1=A TD.A の行〔列〕向量组是正交单位向量组13.设A 是实对称矩阵,C 是实可逆矩阵,B =C T AC .那么〔 〕A.A 与B 相似B. A 与B 不等价C. A 与B 有一样の特征值D. A 与B 合同14.以下矩阵中是正定矩阵の为〔 〕A.2334⎛⎝ ⎫⎭⎪B.3426⎛⎝ ⎫⎭⎪ C.100023035--⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪D.111120102⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪ 第二局部 非选择题〔共72分〕二、填空题〔本大题共10小题,每题2分,共20分〕不写解答过程,将正确の答案写在每题の空格。

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1. 设,则( ). A. B. C. D. 2.设为同阶方阵,则下列命题正确的是( ). A.若,则必有或 B.若,则必有, C.若秩,秩,则秩 D. 3.下列所指明的各向量组中,( )中的向量组是线性无关的. A.向量组中含有零向量 B.任何一个向量都不能被其余向量线性表出 C.存在一个向量可以被其余向量线性表出 D.向量组的向量个数大于向量的维数 4.向量组,,,的一个极大线性无关组是( ). A. B. C. D. 5.线性方程组 ( ). A. 无解 B. 只有0解 C. 有唯一解 D. 有无穷多解 6. 矩阵. A、1 B、2 C、3 D、4 7. 齐次线性方程组的基础解系中含有解向量的个数是( ) A、1 B、2 C、3 D、4 8.已知向量组 ( ) A、-1 B、-2 C、0 D、1 9. A、B( ) A、B=E B、A=E C、A=B D、AB=BA 10. 已知( ) A、1或2 B、-1或-2 C、1或-2 D、-1或2 11.若( ) A、12 B、-12 C、18 D、0 12.设A、B都是( ) A、A=0或B=0 B、A、B都不可逆 C、A、B中至少有一个不可逆 D、A+B=O 13. 向量组( ) A、 B、中有两个向量的对应分量成比例 C、中每一个向量都可用其余个向量线性表示
《线性代数》期末复习题 一、填空题 1. 行列式中元素的代数余子式 . 2. 矩阵中的元素 . 3. 设为3阶矩阵,且,则 . 4. 设均为阶可逆矩阵,且逆矩阵分别为,则 . 5. 若线性无关,则一定线性 (就相关性回答). 6. 设均为阶方阵,可逆,则矩阵方程的解为 . 7. 设是含有个未知量个方程的齐次线性方程组,且,则有 解. 8. 若5元线性方程组的基础解系中含有2个线性无关的解向量,则 . 9. 若行列式的每一行(或每一列)元素之和全为零,则行列式的 值等于_______; 10. 设n阶矩阵A满足A22A+3E=O,则A-1=_______________. 11. 设,则的一个最大线性无关组为___________________________. 12. 设是非齐次方程组AX=b的一个解向量,是对应的齐次方程组 AX=0的一个基础解系,则 ,线性__________;(相关或无关). 13. 设1 , 2 为n阶方阵A的两个互不相等的特征值,与之对应的特征向 量分别为X1,X2,则X1+X2_________________________矩阵A的特征向 量.(是或不是). 14. 设A为n阶方阵, 若A有特征值1 , ,, 2 n, 则|A2+E|=_______________; 15. n维向量空间的子空间W=(x1,,x2, , xn): 的维数是 . 16. 设 如果|A|=1, 那么 |B| = _______. 17. . 18. = (n为正整数). 19. 设A=,则= . 20. 非齐次线性方程组有唯一解的充分必要条件是 . 21. 向量 . 22. A、B、C有ABC=E,E为 . 23. 若阶矩阵A有一特征值为2,则 . 24. 若A、B为同阶方阵,则的充分必要充分条件是 . 25. .正交矩阵A如果有实特征值,则其特征值 . 二、选择题
D、中至少有一个向量可由其余个向量线性表示 14.由( ) A、 B、 C、 D、 15.若( ) A、它们的特征矩阵相似 B、它们具有相同的特征向量 C、它们具有相同的特征矩阵 D、存在可逆矩阵 三、计算题 1. 计算行列式的值(1) ;(2). 2. 设矩阵,且有,求(1) (2)矩阵. 3. 设矩阵,. 4. 设. 5. 求向量组的秩 . 6. 求线性方程组 的通解. 7. 求线性方程组的一般解. 8. 当a为何值时,方程组有无穷多解? 此时,求方程组的通解. 9. 设方程组 问当 取何值时, (1)方程组有唯一解; (2)方程组无解; (3)方程组有无穷多解,求其通解(用解向量形式表示). 10. 已知,求向量组的一个极大无关组并把用所求的极大无关组表示出 来. 11. 当A为2阶方阵,且满足,其中,求矩阵A. 12. 求的特征值与特征向量. 四、证明题 1. 设A,B均为n阶对称矩阵,则AB+BA也是对称矩阵. 2. 设n阶非零矩阵A适合,试证明A不可能相似于对角阵. 3. A、B均为n阶矩阵,且A、B、A+B均可逆,证明: (A-1+B-1)-1=B(A+B)-1A
《线性代数》期末复习题答案 一、填空题 1. 或 7 2. 0 3. 32 4. 5. 无关 6. 7. 非零 或无穷多 8. 3;9. 0; 10. A=; 11. ;12. 无关;13.不 是;14. ;15. n2; 16. 2;17. ; 18. ; 19. ; 20. ; 21. ; 22. AB; 23. 0 ; 24 .AB=BA; 25.1或-1 二、选择题 1. C 2. B 3.B 4.A 5.A 6.A 7.B 8.C 9.D 10.C 11. A 12.C 13.D 14. B 15. A 三、计算题 1. (1)解:利用行列式的性质得 (2) 2.解: (1) (2) 所以. 3. 解:由AX=2X+B得,(A-2E)X=B 所以有X=B= = 4. 解:由AX+B=X,得(E-A)X=B,即X=B 5解: 6解:对增广矩阵实施初等行变换转化为标准的阶梯形矩阵 此时齐次线性方程组化为 分别令得齐次线性方程的一组基础解系为 令得非齐次线性方程组的一个特解为 由此得原方程的全部解为 (其中为任意常数) 7. 解:因为系数矩阵
所以一般解为 (其中,是自由未知量) 8. 解:方程组的增广矩阵 当,即时,秩秩,方程组有无穷多解 此时,方程组的全部解为 (k为任意常数) 9. 解: 当,即 且时,有唯一解. 当且,即时,无解. 当且,即时,有无穷多解. 此时,增广矩阵为 原方程组的解为 () 10. 解 所以是该向量组的一个极大线性无关组.且 11. 解 由,可知就是二阶方阵A的两个特征值,故A可以相似对角化. 令, 则有 则 12.解:特征方程为|λE-A|==(λ+1) (λ-1)2 =0, ∴的全部特征值为λ1=-1,λ2=λ3=1. 把代入方程组得齐次线性方程组: 它的一个基础解系, . 同理可得A对应于特征值 四、证明题 1. 证:因为 A, B是对称矩阵,即 且 根据对称矩阵的性质可知,AB+BA是对称矩阵. 2. 证 由于A适合,故A的n个特征值全为0,假如A能相似于对角阵,则 这个对角阵为零矩阵,即 ,从而,与A为非零阵矛盾,所以A不能相似 对角化
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