中考专题二次函数的解析式

二次函数

的解析式

【重点难点提示】

重点：二次函数的解析式

难点：从实际问题中抽象出二次函数

考点：二次函数的解析式的求法是中考命题的重中之重，它可以填空题、选择题出现，更多的是通常以综合题的形式出现在中考试卷的压轴题中，占10~12分左右。

【经典范例引路】

例1 已知函数y=x 2+kx －3图象的顶点为C 并与x 轴相交于两点A 、B 且AB=4

（1）求实数k 的值；（2）若P 为上述抛物线上的一个动点（除点C 外），求使S △ABC =S △ABP 成立的点P 的坐标。

解 （1）设A(x 1,0)B(x 2,0)

则AB 2=|x 2－x 1|2=(x 1+x 2)2－4x 1x 2=k 2+12=16

∴k=±2

(2)由y=x 2±2x －3= (x ±1)2－4得点C 1(1,－4),C 2(－1,－4)

∴S △ABC =21

×4×4=8

设点P(x,4)在抛物线上，则有x 2±2x －3=4,即x 2±2x －7=0

得：x=－1±22或x=1±22

∴P 点坐标为（－1+22，4）（－1－22，4）（1+22，4）（1－22，4）

例2 阅读下面的文字后，解答问题

有这样一道题目：

已知：二次函数y=ax 2+bx+c 的图象经过点A(0,a),B(1,－2)求证这个二次函数图象的对称轴是直线x=2，题目中的横线部分是被墨水污染了无法辨认的文字。

（1）根据现有信息，你能否求出题目中二次函数的解析式，若能，写出求解过程？若不能，说明理由

（2）请你根据已有信息，在原题中的横线上，填加一个适当的条件，把原题补充完整。

解 （1）能：根据题意有：⎩⎨

⎧++=-=c b a c a 2

又∵二次函数图象的对称轴为x=2 ∴－a b

2=2

解方程组⎪

⎪

⎩

⎪

⎪

⎨

⎧

=

-

-

=

+

+

=

2

2

2

a

b

c

b

a

c

a

⎪

⎩

⎪

⎨

⎧

=

-

=

=

1

4

1

c

b

a

∴能求出二次函数解析式，解析式为y=x2－4x+1

（2）可供补充的内容有：（任选一个）

①满足y=x2－4x+1的任一点的坐标

②a=1或b=－4或c=1

③与y轴交点坐标为（0，1）

④与x轴交点坐标为（2－3，0）或(2+3,0)

⑤最值为－3

⑥顶点为（2，－3）等

【解题技巧点拨】

解此题的关键是把直线x=2作为已知条件来用，从而确定二次函数的解析式。

【同步达纲练习】

一、填空题

1.有一个抛物线拱桥形，其最大高度为16米，跨度为40米，现把它的示意图放在平面直角坐标系中（如图），则此抛物线解析式为。

2.已知二次函数y=ax2+bx+c的图象经过A（0，1），B（－1，0），C（1，0），那么函数解析式是如果y随x的增大而减少，那么x的变化范围是。

3.已知抛物线y=ax2+bx+c与抛物线y=－x2－7x+12形状相同，顶点在直线x=1上，且顶点到x轴的距离为3，则此抛物线解析式为。

4.已知抛物线y=x2－(a+2)x+9的顶点在坐标轴上，同a= 。

二、选择题

5.已知抛物线y=ax2+bx+c，经过A(4，－2),B(12,－2)两点，那么它的对称轴是（）

A.直线x=7

B.直线x=8

C.直线x=9

D.无法确定

6.把抛物线y=3x2先向上平移2个单位再向右平移3个单位，所得的抛物线是（）

A.y=3(x+3)2－2

B.y=3(x+3)2+2

C.y=3(x－3)2－2

D.y=3(x－3)2+2

7.已知函数y=ax2+bx+c的图象如图，那么函数解析式为（）

A.y=－x2+2x+3

B.y=x2－2x－3

C.y=－x2－2x+3

D.y=－x2－2x－3

8.关于x的二次函数y=x2－2mx+m2和一次函数y=－mx+n(m≠0)，在同一坐标系中的大致图象正确的是（）

三、解答题

9.已知二次函数y=ax2+bx+c，当x=2时，有最大值2，其图象在x轴截得的线段长为2，求这个二次函数的解析式。

10.如图在平面直角坐标系中A、B是x轴上两点，C是y轴上一点，∠ACB=90°，∠CAB=30°，以AO、BO 为直径的半圆，分别交AC、BC于E、F点，若点C坐标为（0，

3）。

（1）求图象过A、B、C三点的二次函数的解析式

（2）求图象过点E、F的一次函数的解析式。

11.已知：二次函数的图象经过点A （1，0）和点B （2，1），且与y 轴交点的纵坐标为m

（1）若m 为定值，求此二次函数的解析式

（2）若二次函数的图象与x 轴还有异于点A 的另一个交点，求m 的取值范围

（3）若二次函数的图象截直线y=－x+1所得线段长为22，求m 的值。

12.如图，抛物线y=ax 2+bx+c(a>0)与x 轴交于A(1,0),B(5,0)两点，与y 轴交于M ，抛物线顶点为P ，且PB=25

（1）求这条抛物线的顶点P 的坐标和它的解析式

（2）△MOP （O 为坐标原点）的面积。

13.已知抛物线y=x 2－(2m －1)x+m 2－m －2

（1）证明抛物线与x 轴有两个不同的交点

（2）分别求出抛物线与x 轴的交点A 、B 的横坐标x A ,x B ,以及与y 轴的交点C 的纵坐标y C （用含m 的代数式表示）

（3）设△ABC 的面积为6，且A 、B 两点在y 轴的同侧，求抛物线的解析式。

14.已知抛物线y=－21

x 2－(n+1)x －2n(n<0)经过A(x 1、0),B(x 2、0)，D （0、y 1），其中x 1

（1）求这条抛物线的解析式及它的顶点坐标

（2）如果点C （2，y 2）在这条抛物线上，点P 在y 轴正半轴上，且△BCP 为等腰三角形，求直线BP 的解析式。