2010年普通高等学校招生全国统一考试数学卷(安徽.文)含详解

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2010年全国高考理科数学试题及答案-安徽

2010年普通高等学校招生全国统一考试（安徽卷）数学（理科）本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，满分150分．考试用时120分钟．注意事项：1．答卷前，务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的姓名、座位号，并认真核对答题卡上所粘贴的条形码中姓名、座位号与本人姓名、座位号是否一致．务必在答题卡背面规定的地方填写姓名和座位号后两位． 2．答第I 卷时，每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．3．答第Ⅱ卷时，必须使用0.5毫米黑色黑水签字笔在答题卡上．．．．书写，要求字体工整、笔迹清晰．作图题可先用铅笔在答题卡．．．规定的位置绘出，确认后再用0.5毫米的黑色签际笔描清楚．必须在题号所指示的答题区域作答，超出答题区域书写的答案．．．．．．．．．．．无效．．，在试题卷．．．．、草稿纸上答题无效．．．．．．．．．．4．考试结束，务必将试题卷和答题卡一并上交．参考公式：如果事件A 与B 互斥，那么 )()()(B P A P B A P +=+ 如果A 与B 是两个任意事件，0)(≠A P ，那么如果事件A 与B 相互独立，那么 )|()()(A B P A P AB P =)()()(B P A P AB P ≠第Ⅰ卷（选择题共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．（1）i 是虚数单位，=+ii 33（A ）12341-（B ）i 12341- （C ）i 6321+ （D ）i 6321- （2）若集合}21log |{21≥=x x A ，则=A C R（A ）⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞⋃-∞,22]0,( （B ）⎪⎪⎭⎫⎝⎛+∞,22（C ）⎪⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞⋃-∞,22]0,(（D ）⎪⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞,22（3）设向量)21,21(),0,1(==b a ，则下列结论中正确的是（A ）||||b a = （B ）22=⋅b a （C ）b b a 与-垂直（D ）b a // （4）若)(x f 是R 上周期为5的奇函数，且满足,2)2(,1)1(==f f 则)4()3(f f -=（A ）-1（B ）1（C ）-2（D ）2（5）双曲线方程为1222=-y x ，则它的右焦点坐标为（A ）)0,22(（B ）)0,25(（C ）)0,26(（D ）)0,3(（6）设0>abc ，二次函数c bx ax x f ++=2)(的图象可能是（7）设曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧+-=+=θθsin 31cos 32y x （θ为参数），直线l 的方程为023=+-y x ，则曲线C 到直线l 的距离为10107的点的个数为（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4（8）一个几何全体的三视图如图，该几何体的表面积为（A ）280 （B ）292（C ）360 （D ）372（9）动点),(y x A 在圆122=+y x 上绕坐标原点沿逆时针方向匀速旋转，12秒旋转一周.已知定时t=0时，点A 的坐标是)23,21(，则当120≤≤t 时，动点A 的纵坐标y 关于t （单位：秒）的函数的单调递增区间是（A ）[0，1] （B ）[1，7] （C ）[7，12]（D ）[0，1]和[7，12]、（10）设}{n a 是任意等比数列，它的前n 项和，前2n 项和与前3n 项和分别为X ，Y ，Z ，则下列等式中恒成立的是（A ）Y Z X 2=+ （B ）)()(X Z Z X Y Y -=-（C ）XZ Y=2（D ）)()(X Z X X Y Y -=-（在此卷上答题无效）绝密★启用并使用完毕前2010年普通高等学校招生全国统一考试（安徽卷）数学（理科）第Ⅱ卷（非选择题共100分）考生注意事项：请用0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上．．．．．作答，在试题卷上答题无效．．．．．．．．．．二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在答题卡的相应位置．（11）命题“对任何3|4||2|,>-+-∈x x R x ”的否定是．（12）6⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-x y y x 的展开式中，3x 的系数等于．（13）设y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥≥≤--≥+-,0,0,048,022y x y x y x 若目标函数)0,0(>>+=b a y abx z 的最大值为8，则b a +的最小值为．（14）如图所示，程序框图（算法流程图）的输出值=x ．（15）甲罐中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙罐中有4个红球，3个白球和3个黑球，先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以A 1，A 2和A 3表示由甲罐取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙罐中随机取出一球，以B 表示由乙罐取出的球是红球的事件，则下列结论中正确的是（写出所有正确结论的编号）． ①52)(1=B P ； ②115)|(1=A B P ；③事件B 与事件A 1相互独立； ④A 1，A 2，A 3是两两互斥的事件；⑤)(B P 的值不能确定，因为它与A 1，A 2，A 3中究竟哪一个发生有关．三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，解答写在答题卡上的指定区域内．（16）（本小题满分12分）设ABC ∆是锐角三角形，c b a ,,分别是内角A ，B ，C 所对边长，并且.sin )3sin()3sin(sin 22B B B A +-+=ππ（Ⅰ）求角A 的值；（Ⅱ）若72,12==⋅a ，求c b ,（其中c b <）．（17）（本小题满分12分）设a 为实数，函数.,22)(R x a x e x f x ∈+-= （I ）求)(x f 的单调区间与极值；（II ）求证：当012ln >->x a 且时，.122+->ax x e x（18）（本小题满分13分）如图，在多面体ABCDEF 中，四边形ABCD 是正方形，EF//AB ，EF ⊥FB ，AB=2EF ，,90︒=∠BFC BF=FC ，H 为BC 的中点.（I ）求证：FH//平面EDB ；（II ）求证：AC ⊥平面EDB ；（III ）求二面角B —DE —C 的大小.（19）（本小题满分13分）已知椭圆E 经过点A （2，3），对称轴为坐标轴，焦点F 1，F 2在x 轴上，离心率.21=e （I ）求椭圆E 的方程；（II ）求21AF F ∠的角平分线所在直线l 的方程；（III ）在椭圆E 上是否存在关于直线l 对称的相异两点？若存在，请找出；若不存在，说明理由.（20）（本小题满分12分）设数列,,,21 a a ,n a 中的每一项都不为0.证明，}{n a 为等差数列的充分必要条件是：对任何N n ∈，都有.1111113221++=+++n n n a a na a a a a a（21）（本小题满分13分）品酒师需要定期接受酒味鉴别功能测试，一种通常采用的测试方法如下：拿出n 瓶外观相同但品质不同的酒让其品尝，要求其按品质优劣为它们排序，经过一段时间，等其记忆淡忘之后，再让其品尝这n 瓶酒，并重新按品质优劣为它们排序，这称为一轮测试.根据一轮测试中的两次排序的偏离程度的高低为其评分.现设n=4，分别以4321,,,a a a a 表示第一次排序时被排为1，2，3，4的四种酒在第二次排序时的序号，并令.|4||3||2||1|4321a a a a X -+-+-+-=则X 是对两次排序的偏离程度的一种描述. （I ）写出X 的可能值集合；（II ）假设4321,,,a a a a 等可能地为1，2，3，4的各种排列，求X 的分布列；（III ）某品酒师在相继进行的三轮测试中，都有2≤X ，（i ）试按（II ）中的结果，计算出现这种现象的概率（假定各轮测试相互独立）；（ii ）你认为该品酒师的酒味鉴别功能如何？说明理由.参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．（1）B （2）A （3）C （4）A （5）C （6）D （7）B （8）C （9）D （10）D二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在答题卡的相应位置．（11）存在,-2-4|3x x x ∈≤R 使得||+|（12）15（若只写2466C C 或，也可）（13）4 （14）12 （15）②④三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，解答写在答题卡上的指定区域内．（16）（本小题满分12分）本题考查两角和的正弦公式，同角三角函数的基本关系，特殊角的三角函数值，向量的数量积，利用余弦定理解三角形等有关知识，考查综合运算求解能力. 解：（I）因为2211sin sin sin )sin 22A B B B B B =+-+222313c o s s i n s i n ,444s i n ,,.3B B B A A A π=-+===所以又为锐角所以（II ）由12AB AC ⋅=可得c o s 12.c b A= ①由（I ）知,3A π=所以24cb =②由余弦定理知2222cos ,a c b cb A a =+==将 ③+②×2，得()100c b 2+=，所以10.c b +=因此，c ，b 是一元二次方程210240t t -+=的两个根. 解此方程并由6, 4.c b c b >==知（17）（本小题满分12分）本题考查导数的运算，利用导数研究函数的单调区间，求函数的极值和证明函数不等式，考查运算能力、综合分析和解决问题的能力. （I ）解：由()22,()2,.x x f x e x a x f x e x '=-+∈=-∈R R 知令()0,ln 2.,(),()f x x x f x f x ''==得于是当变化时的变化情况如下表：故()f x 的单调递减区间是(,ln 2)-∞，单调递增区间是(ln 2,)+∞，()ln 2f x x =在处取得极小值，极小值为ln 2(ln 2)2ln 222(1ln 2).f e a a =-+=-+ （II ）证：设2()21,,xg x e x ax x =-+-∈R于是()22,.xg x e x a x '=-+∈R由（I ）知当ln 21,()(ln 2)2(1ln 2)0.a g x g a ''>-=-+>时最小值为,()0,()x g x g x '∈>R R 于是对任意都有所以在内单调递增,于是当ln 21,(0,),()(0),a x g x g >-∈+∞>时对任意都有而(0)0,(0,),()0.g x g x =∈+∞>从而对任意即22210,2 1.x x e x ax e x ax -+->>-+故（18）（本小题满分13分）本题考查空间线面平行、线面垂直、面面垂直的判断与证明，考查二面角的求法以及利用向量知识解决几何问题的能力，同时考查空间想象能力、推理论证能力和运算能力.[综合法]（1）证：设AC 与BD 交于点G ，则G 为AC 的中点，连EG ，GH ，又H 为BC 的中点，11//,//,//.22GH AB EF AB EF GH ∴∴又 ∴四边形EFHG 为平行四边形，∴EG//FH ，而EG ⊂平面EDB ，∴FH//平面EDB.（II ）证：由四边形ABCD 为正方形，有AB ⊥BC ，又EF//AB ，∴EF ⊥BC.而EF ⊥FB ，∵EF ⊥平面BFC ，∴EF ⊥FH ，∴AB ⊥FH. 又BF=FC ，H 为BC 的中点，∴FH ⊥BC. ∴FH ⊥平面ABCD ，∴FH ⊥AC ，又FH//BC ，∴AC=EG.又AC ⊥BD ，EG ⋂BD=G ，∴AG ⊥平面EDB.（III ）解：EF ⊥FB ，∠BFC=90°，∴BF ⊥平面CDEF ，在平面CDEF 内过点F 作FK ⊥DE 交DE 的延长线于K ，则∠FKB 为二面角B —DE —C 的一个平面角.设EF=1，则AB=2，又EF//DC ，∴∠KEF=∠EDC ，∴sin ∠EDC=sin ∠∴FK=EFsin ∠，tan ∠FKB=BFFK=∴∠FKB=60° ∴二面角B —DE —C 为60°. [向量法]∵四边形ABCD 为正方形，∴AB ⊥BC ，又EF//AB ，∴EF ⊥BC. 又EF ⊥FB ，∴EF ⊥平面BFC. ∴EF ⊥FH ，∴AB ⊥FH.又BF=FC ，H 为BC 的中点，∴FH ⊥BC ，∴FH ⊥平面ABC.以H 为坐标原点，HB x 为轴正向，HF z为轴正向，建立如图所示坐标系.设BH=1，则A （1，—2，0），B （1，0，0）， C （—1，0，0），D （—1，—2，0），E （0，—1，1）， F （0，0，1）.（I ）证：设AC 与BD 的交点为G ，连GE ，GH ，则(0,1,0),(0,0,1),(0,0,1)//.G CE HF HF GE -∴==∴又GE ⊂平面EDB ，HF 不在平面EDB 内，∴FH ∥平面EBD ，（II ）证： (2,2,0),(0,0,1),0,.AC GE AC GE AC GE =-=⋅=∴⊥又AC ⊥BD ，EG ∩BD=G ，∴AC ⊥平面EDB.（III ）解：(1,1,1),(2,2,0).BE BD =--=--设平面BDE 的法向量为111(1,,),n y z =则1111110,120,BE n y z BD n y ⋅=--+=⋅=--=111222222121212121,0,(1,1,0).(0,2,0),(1,1,1),(1,,),0,0,(1,0,1),1cos ,,||||2,60,y z n CD CE CDE y z CD y ∴=-==-=-=-=⋅===-⋅<>===⋅∴<>=n n n n n n n n n n n即设平面的法向量为则故即二面角B —DE —C 为60°. （19）（本小题满分13分）本题考查椭圆的定义及标准方程，椭圆的简单几何性质，直线的点斜式方程与一般方程，点到直线的距离公式，点关于直线的对称等基础知识；考查解析几何的基本思想、综合运算能力、探究意识与创新意识.解：（I ）设椭圆E 的方程为22221x y a b +=2222222211,,2,3,221.43c e a c b a c e a x y c e ====-=∴+=由即得椭圆方程具有形式将A （2，3）代入上式，得22131,2,c c c+==解得 ∴椭圆E 的方程为221.1612x y += （II ）解法1：由（I ）知12(2,0),(2,0)F F -，所以直线AF 1的方程为：3(2),3460,4y x x y =+-+=即直线AF 2的方程为： 2.x =由点A 在椭圆E 上的位置知，直线l 的斜率为正数. 设(,)P x y l 为上任一点，则|346||2|.5x y x -+=-若346510,280x y x x y -+=-+-=得（因其斜率为负，舍去）. 所以直线l 的方程为：210.x y --=解法2：121212121(2,3),(2,0),(2,0),(4,3),(0,3).114(4,3)(0,3)(1,2).535||||2,:32(1),210.A F F AF AF AF AF AF AF k l y x x y -∴=--=-∴+=--+-=-∴=∴-=---=即（III ）解法1：假设存在这样的两个不同的点1122(,)(,),B x y C x y 和2121121200001,.2(,),,,22BC y y BC l k x x x x y y BC M x y x y -⊥∴==-++== 设的中点为则由于M 在l 上，故00210.x y -+= ①又B ，C 在椭圆上，所以有222211221 1.16121612x y x y +=+=与两式相减，得222221210,1612x x y y --+= 即12211221()()()()0.1612x x x x y y y y +-+-+=将该式写为122112211108262x x y y y y x x +-+⋅+⋅⋅=-，并将直线BC 的斜率BC k 和线段BC 的中点，表示代入该表达式中，得0000110,320.812x y x y -=-=即 ② ①×2—②得202,3x y ==，即BC 的中点为点A ，而这是不可能的.∴不存在满足题设条件的点B 和C.解法2：假设存在1122(,),(,)B x y C x y l 两点关于直线对称，则1,.2BC l BC k ⊥∴=- 221,1,21612x y BC y x m =-++=设直线的方程为将其代入椭圆方程得一元二次方程2222134()48,120,2x x m x mx m +-+=-+-=即则12x x 与是该方程的两个根，由韦达定理得12,x x m += 于是121213()2,22m y y x x m +=-++= ∴B ，C 的中点坐标为3(,).24m m 又线段BC 的中点在直线321,1, 4.4m y x m m =-∴=-=上得即B ，C 的中点坐标为（2，3），与点A 重合，矛盾.∴不存在满足题设条件的相异两点.（20）（本小题满分12分）本题考查等差数列、数学归纳法与充要条件等有关知识，考查推理论证、运算求解能力.证：先证必要性设数列{},0,n a d d =的公差为若则所述等式显然成立，若0d ≠，则122313212112233122311111111111()1111111(()()())1111()n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a a a d a a a a a a d a a a a a a a a d a a d a a ++++++++++---=+++=-+-++--=-=11.n n a a += 再证充分性.证法1：（数学归纳法）设所述的等式对一切n +∈N 都成立，首先，在等式122313112a a a a a a += ① 两端同乘123132123,2,,,a a a a a a a a a +=即得所以成等差数列，记公差为21,.d a a d =+则假设1(1),1k a a k d n k =+-=+当时，观察如下二等式12231121111,k k k a a a a a a a a --+++= ② 122311111111k k k k k k a a a a a a a a a a -++++++= ， ③ 将②代入③，得111111,k k k k k k a a a a a a ++-+= 在该式两端同乘11111,,(1).k k k a a a k a a ka ++-+=得将111(1),,.k k a a k d a a kd +=+-=+代入其中整理后得由数学归纳法原理知，对一切1(1),n n a a n d +∈=+-N 都有所以{}n a d 是公差为的等差数列.证法2：[直接证法]依题意有1223111111,n n n n a a a a a a a a +++++= ① 12231121211111.n n n n n n a a a a a a a a a a +++++++++= ② ②—①得12121111n n n n n n a a a a a a +++++=-，在上式两端同乘112111,(1),n n n n a a a a n a na ++++=+-得同理可得11(1),n n a na n a +=-- ③③—④得122()n n n na n a a ++=+即211,{}n n n n n a a a a a +++-=-所以是等差数列，（21）（本小题满分13分）本题考查离散型随机变量及其分布列，考查在复杂场合下进行计数的能力，能过设置密切贴近生产、生活实际的问题情境，考查概率思想在现实生活中的应用，考查抽象概括能力、应用与创新意识.解：（I ）X 的可能值集合为{0，2，4，6，8}.在1，2，3，4中奇数与偶数各有两个，所以23,a a 中的奇数个数等于13,a a 中的偶数个数，因此1334|1||3||2||4|a a a a ++--+-与的奇偶性相同，从而2324(|1||3|)(|2||4|)X a a a a =-+++-+-必为偶数.X 的值非负，且易知其值不大于8.容易举出使得X 的值等于0，2，4，6，8各值的排列的例子.（II ）可用列表或树状图列出1，2，3，4的一共24种排列，计算每种排列下的X 值，在等可能的假定下，得到（III ）（i ）首先41(2)(0)(2)246P X P X P X ≤==+===，将三轮测试都有2X ≤的概率记做p ，由上述结果和独立性假设，得311.2166p == （ii ）由于152161000p =<是一个很小的概率，这表明如果仅凭随机猜测得到三轮测试都有2X ≤的结果的可能性很小，所以我们认为该品酒师确实有良好的味觉鉴别功能，不是靠随机猜测.。

2010年高考理科数学(安徽卷)全解析

1 3 ) 则当 0 ≤ t ≤ 12 时动点 A 的纵坐标 y 关于 t 单 2 2
A 9.D
[ 0,1]
B
[1, 7]
C
[7,12]
D
[ 0,1] 和 [7,12]
π
3
解析画出图形设动点 A 在 t ∈ [ 0,1] 递增的方法技巧
x 轴正方向夹角为 α
则 t = 0 时α =
钟旋
π
6
案无效在试题卷草稿纸 4 考试结束
将试题卷和答题卡一并交
参考公式：如果件 A
B 互斥那
如果 A
P ( A + B ) = P ( A) + P ( B )
那如果件 A
B 是两个任意件 P ( A) ≠ 0
B 相互独立那
P ( AB ) = P ( A ) P ( B | A)
P ( AB ) = P ( A) P ( B )
π π α ∈ [ , ] 在 [ 7,12]
3 2
α ∈[
3π 7π , ] 2 3
动点 A 的纵坐标 y 关于 t 都是单调
动点 A ( x, y ) 在圆 x 2 + y 2 = 1 12 旋一周能求
绕坐标原点沿逆时针方向匀速旋钟所单的弧
可知
角函数的定类似当 t 在 [0,12] 单调递增区间.
第
卷
选择题
共 50 分
一选择题：本大题共 10 个小题，每小题 5 分，共 50 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1
i 是虚数单
i = 3 + 3i
A 1.B 解析
1 3 − i 4 12

2010年全国高考理科数学试题及答案-安徽

姓名座位号（在此卷上答题无效）绝密★启用并使用完毕前2010年普通高等学校招生全国统一考试（安徽卷）数学（理科）本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，满分150分．考试用时120分钟．注意事项：1．答卷前，务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的姓名、座位号，并认真核对答题卡上所粘贴的条形码中姓名、座位号与本人姓名、座位号是否一致．务必在答题卡背面规定的地方填写姓名和座位号后两位． 2．答第I 卷时，每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．3．答第Ⅱ卷时，必须使用0.5毫米黑色黑水签字笔在答题卡上．．．．书写，要求字体工整、笔迹清晰．作图题可先用铅笔在答题卡．．．规定的位置绘出，确认后再用0.5毫米的黑色签际笔描清楚．必须在题号所指示的答题区域作答，超出答题区域书写的答案．．．．．．．．．．．无效．．，在试题卷．．．．、草稿纸上答题无效．．．．．．．．．．4．考试结束，务必将试题卷和答题卡一并上交．参考公式：如果事件A 与B 互斥，那么 )()()(B P A P B A P +=+ 如果A 与B 是两个任意事件，0)(≠A P ，那么如果事件A 与B 相互独立，那么 )|()()(A B P A P AB P =)()()(B P A P AB P ≠第Ⅰ卷（选择题共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．（1）i 是虚数单位，=+ii 33（A ）12341-（B ）i 12341- （C ）i 6321+ （D ）i 6321- （2）若集合}21log |{21≥=x x A ，则=A C R（A ）⎪⎪⎭⎫⎝⎛+∞⋃-∞,22]0,( （B ）⎪⎪⎭⎫⎝⎛+∞,22 （C ）⎪⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞⋃-∞,22]0,( （D ）⎪⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞,22 （3）设向量)21,21(),0,1(==b a ，则下列结论中正确的是（A ）||||b a = （B ）22=⋅b a （C ）b b a 与-垂直（D ）b a // （4）若)(x f 是R 上周期为5的奇函数，且满足,2)2(,1)1(==f f 则)4()3(f f -=（A ）-1（B ）1（C ）-2（D ）2（5）双曲线方程为1222=-y x ，则它的右焦点坐标为（A ）)0,22(（B ）)0,25(（C ）)0,26(（D ）)0,3(（6）设0>abc ，二次函数c bx ax x f ++=2)(的图象可能是（7）设曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧+-=+=θθsin 31cos 32y x （θ为参数），直线l 的方程为023=+-y x ，则曲线C 到直线l 的距离为10107的点的个数为（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4（8）一个几何全体的三视图如图，该几何体的表面积为（A ）280 （B ）292（C ）360 （D ）372（9）动点),(y x A 在圆122=+y x 上绕坐标原点沿逆时针方向匀速旋转，12秒旋转一周.已知定时t=0时，点A 的坐标是)23,21(，则当120≤≤t 时，动点A 的纵坐标y关于t （单位：秒）的函数的单调递增区间是（A ）[0，1] （B ）[1，7] （C ）[7，12]（D ）[0，1]和[7，12]、（10）设}{n a 是任意等比数列，它的前n 项和，前2n 项和与前3n 项和分别为X ，Y ，Z ，则下列等式中恒成立的是（A ）Y Z X 2=+ （B ）)()(X Z Z X Y Y -=-（C ）XZ Y=2（D ）)()(X Z X X Y Y -=-（在此卷上答题无效）绝密★启用并使用完毕前2010年普通高等学校招生全国统一考试（安徽卷）数学（理科）第Ⅱ卷（非选择题共100分）考生注意事项：请用0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上．．．．．作答，在试题卷上答题无效．．．．．．．．．．二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在答题卡的相应位置．（11）命题“对任何3|4||2|,>-+-∈x x R x ”的否定是．（12）6⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-x y y x 的展开式中，3x 的系数等于．（13）设y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥≥≤--≥+-,0,0,048,022y x y x y x 若目标函数)0,0(>>+=b a y abx z 的最大值为8，则b a +的最小值为．（14）如图所示，程序框图（算法流程图）的输出值=x ．（15）甲罐中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙罐中有4个红球，3个白球和3个黑球，先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以A 1，A 2和A 3表示由甲罐取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙罐中随机取出一球，以B 表示由乙罐取出的球是红球的事件，则下列结论中正确的是（写出所有正确结论的编号）． ①52)(1=B P ； ②115)|(1=A B P ；③事件B 与事件A 1相互独立；④A 1，A 2，A 3是两两互斥的事件；⑤)(B P 的值不能确定，因为它与A 1，A 2，A 3中究竟哪一个发生有关．三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，解答写在答题卡上的指定区域内．（16）（本小题满分12分）设ABC ∆是锐角三角形，c b a ,,分别是内角A ，B ，C 所对边长，并且.sin )3sin()3sin(sin 22B B B A +-+=ππ（Ⅰ）求角A 的值；（Ⅱ）若72,12==⋅a ，求c b ,（其中c b <）．（17）（本小题满分12分）设a 为实数，函数.,22)(R x a x e x f x ∈+-= （I ）求)(x f 的单调区间与极值；（II ）求证：当012ln >->x a 且时，.122+->ax x e x（18）（本小题满分13分）如图，在多面体ABCDEF 中，四边形ABCD 是正方形，EF//AB ，EF ⊥FB ，AB=2EF ，,90︒=∠BFC BF=FC ，H 为BC 的中点.（I ）求证：FH//平面EDB ；（II ）求证：AC ⊥平面EDB ；（III ）求二面角B —DE —C 的大小.（19）（本小题满分13分）已知椭圆E 经过点A （2，3），对称轴为坐标轴，焦点F 1，F 2在x 轴上，离心率.21=e （I ）求椭圆E 的方程；（II ）求21AF F ∠的角平分线所在直线l 的方程；（III ）在椭圆E 上是否存在关于直线l 对称的相异两点？若存在，请找出；若不存在，说明理由.（20）（本小题满分12分）设数列,,,21 a a ,n a 中的每一项都不为0.证明，}{n a 为等差数列的充分必要条件是：对任何N n ∈，都有.1111113221++=+++n n n a a na a a a a a（21）（本小题满分13分）品酒师需要定期接受酒味鉴别功能测试，一种通常采用的测试方法如下：拿出n 瓶外观相同但品质不同的酒让其品尝，要求其按品质优劣为它们排序，经过一段时间，等其记忆淡忘之后，再让其品尝这n 瓶酒，并重新按品质优劣为它们排序，这称为一轮测试.根据一轮测试中的两次排序的偏离程度的高低为其评分.现设n=4，分别以4321,,,a a a a 表示第一次排序时被排为1，2，3，4的四种酒在第二次排序时的序号，并令.|4||3||2||1|4321a a a a X -+-+-+-=则X 是对两次排序的偏离程度的一种描述. （I ）写出X 的可能值集合；（II ）假设4321,,,a a a a 等可能地为1，2，3，4的各种排列，求X 的分布列；（III ）某品酒师在相继进行的三轮测试中，都有2≤X ，（i ）试按（II ）中的结果，计算出现这种现象的概率（假定各轮测试相互独立）；（ii ）你认为该品酒师的酒味鉴别功能如何？说明理由.参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．（1）B （2）A （3）C （4）A （5）C （6）D （7）B （8）C （9）D （10）D二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在答题卡的相应位置．（11）存在,-2-4|3x x x ∈≤R 使得||+|（12）15（若只写2466C C 或，也可）（13）4 （14）12 （15）②④三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，解答写在答题卡上的指定区域内．（16）（本小题满分12分）本题考查两角和的正弦公式，同角三角函数的基本关系，特殊角的三角函数值，向量的数量积，利用余弦定理解三角形等有关知识，考查综合运算求解能力.解：（I ）因为2211sin (sin )(sin )sin 2222A B B B B B =+-+222313c o s s i n s i n ,444s i n ,,.23B B B A A A π=-+==±=所以又为锐角所以（II ）由12AB AC ⋅=可得c o s 12.c b A= ①由（I ）知,3A π=所以24cb =②由余弦定理知2222cos ,a c b cb A a =+==将 ③+②×2，得()100c b 2+=，所以10.c b +=因此，c ，b 是一元二次方程210240t t -+=的两个根. 解此方程并由6, 4.c b c b >==知（17）（本小题满分12分）本题考查导数的运算，利用导数研究函数的单调区间，求函数的极值和证明函数不等式，考查运算能力、综合分析和解决问题的能力. （I ）解：由()22,()2,.xxf x e x a x f x e x '=-+∈=-∈R R 知令()0,ln 2.,(),()f x x x f x f x ''==得于是当变化时的变化情况如下表：故()f x 的单调递减区间是(,ln 2)-∞，单调递增区间是(ln 2,)+∞，()ln 2f x x =在处取得极小值，极小值为ln 2(ln 2)2ln 222(1ln 2).f ea a =-+=-+（II ）证：设2()21,,xg x e x ax x =-+-∈R于是()22,.xg x e x a x '=-+∈R由（I ）知当ln 21,()(ln 2)2(1ln 2)0.a g x g a ''>-=-+>时最小值为,()0,()x g x g x '∈>R R 于是对任意都有所以在内单调递增,于是当ln 21,(0,),()(0),a x g x g >-∈+∞>时对任意都有而(0)0,(0,),()0.g x g x =∈+∞>从而对任意即22210,2 1.x x e x ax e x ax -+->>-+故（18）（本小题满分13分）本题考查空间线面平行、线面垂直、面面垂直的判断与证明，考查二面角的求法以及利用向量知识解决几何问题的能力，同时考查空间想象能力、推理论证能力和运算能力.[综合法]（1）证：设AC 与BD 交于点G ，则G 为AC 的中点，连EG ，GH ，又H 为BC 的中点，11//,//,//.22GH AB EF AB EF GH ∴∴又 ∴四边形EFHG 为平行四边形，∴EG//FH ，而EG ⊂平面EDB ，∴FH//平面EDB.（II ）证：由四边形ABCD 为正方形，有AB ⊥BC ，又EF//AB ，∴EF ⊥BC.而EF ⊥FB ，∵EF ⊥平面BFC ，∴EF ⊥FH ，∴AB ⊥FH. 又BF=FC ，H 为BC 的中点，∴FH ⊥BC. ∴FH ⊥平面ABCD ，∴FH ⊥AC ，又FH//BC ，∴AC=EG.又AC ⊥BD ，EG ⋂BD=G ，∴AG ⊥平面EDB.（III ）解：EF ⊥FB ，∠BFC=90°，∴BF ⊥平面CDEF ，在平面CDEF 内过点F 作FK ⊥DE 交DE 的延长线于K ，则∠FKB 为二面角B —DE —C 的一个平面角.设EF=1，则AB=2，又EF//DC ，∴∠KEF=∠EDC ，∴sin ∠EDC=sin ∠∴FK=EFsin ∠，tan ∠FKB=BFFK=∴∠FKB=60° ∴二面角B —DE —C 为60°. [向量法]∵四边形ABCD 为正方形，∴AB ⊥BC ，又EF//AB ，∴EF ⊥BC. 又EF ⊥FB ，∴EF ⊥平面BFC. ∴EF ⊥FH ，∴AB ⊥FH.又BF=FC ，H 为BC 的中点，∴FH ⊥BC ，∴FH ⊥平面ABC. 以H 为坐标原点，HB x 为轴正向，HF z 为轴正向，建立如图所示坐标系.设BH=1，则A （1，—2，0），B （1，0，0）， C （—1，0，0），D （—1，—2，0），E （0，—1，1）， F （0，0，1）.（I ）证：设AC 与BD 的交点为G ，连GE ，GH ，则(0,1,0),(0,0,1),(0,0,1)//.G CE HF HF GE -∴==∴又GE ⊂平面EDB ，HF 不在平面EDB 内，∴FH ∥平面EBD ，（II ）证： (2,2,0),(0,0,1),0,.AC GE AC GE AC GE =-=⋅=∴⊥又AC ⊥BD ，EG ∩BD=G ，∴AC ⊥平面EDB. （III ）解：(1,1,1),(2,2,0).BE BD =--=--设平面BDE 的法向量为111(1,,),n y z =则1111110,120,BE n y z BD n y ⋅=--+=⋅=--=111222222121212121,0,(1,1,0).(0,2,0),(1,1,1),(1,,),0,0,(1,0,1),1cos ,,||||2,60,y z n CD CE CDE y z CD y ∴=-==-=-=-=⋅===-⋅<>===⋅∴<>=n n n n n n n n n n n 即设平面的法向量为则故即二面角B —DE —C 为60°. （19）（本小题满分13分）本题考查椭圆的定义及标准方程，椭圆的简单几何性质，直线的点斜式方程与一般方程，点到直线的距离公式，点关于直线的对称等基础知识；考查解析几何的基本思想、综合运算能力、探究意识与创新意识.解：（I ）设椭圆E 的方程为22221x y a b +=2222222211,,2,3,221.43c e a c b a c e a x yc e ====-=∴+=由即得椭圆方程具有形式将A （2，3）代入上式，得22131,2,c c c +==解得 ∴椭圆E 的方程为221.1612x y +=（II ）解法1：由（I ）知12(2,0),(2,0)F F -，所以直线AF 1的方程为：3(2),3460,4y x x y =+-+=即直线AF 2的方程为： 2.x =由点A 在椭圆E 上的位置知，直线l 的斜率为正数. 设(,)P x y l 为上任一点，则|346||2|.5x y x -+=-若346510,280x y x x y -+=-+-=得（因其斜率为负，舍去）. 所以直线l 的方程为：210.x y --= 解法2：121212121(2,3),(2,0),(2,0),(4,3),(0,3).114(4,3)(0,3)(1,2).535||||2,:32(1),210.A F F AF AF AF AF AF AF k l y x x y -∴=--=-∴+=--+-=-∴=∴-=---=即（III ）解法1：假设存在这样的两个不同的点1122(,)(,),B x y C x y 和2121121200001,.2(,),,,22BC y y BC l k x x x x y y BC M x y x y -⊥∴==-++==设的中点为则由于M 在l 上，故00210.x y -+= ①又B ，C 在椭圆上，所以有222211221 1.16121612x y x y +=+=与两式相减，得222221210,1612x x y y --+= 即12211221()()()()0.1612x x x x y y y y +-+-+=将该式写为122112211108262x x y y y y x x +-+⋅+⋅⋅=-，并将直线BC 的斜率BC k 和线段BC 的中点，表示代入该表达式中，得0000110,320.812x y x y -=-=即 ② ①×2—②得202,3x y ==，即BC 的中点为点A ，而这是不可能的.∴不存在满足题设条件的点B 和C.解法2：假设存在1122(,),(,)B x y C x y l 两点关于直线对称，则1,.2BC l BC k ⊥∴=- 221,1,21612x y BC y x m =-++=设直线的方程为将其代入椭圆方程得一元二次方程2222134()48,120,2x x m x mx m +-+=-+-=即则12x x 与是该方程的两个根，由韦达定理得12,x x m += 于是121213()2,22m y y x x m +=-++= ∴B ，C 的中点坐标为3(,).24m m 又线段BC 的中点在直线321,1, 4.4m y x m m =-∴=-=上得即B ，C 的中点坐标为（2，3），与点A 重合，矛盾.∴不存在满足题设条件的相异两点.（20）（本小题满分12分）本题考查等差数列、数学归纳法与充要条件等有关知识，考查推理论证、运算求解能力.证：先证必要性设数列{},0,n a d d =的公差为若则所述等式显然成立，若0d ≠，则1223132********122311111111111()1111111(()()())1111()n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a a a d a a a a a a d a a a a a a a a d a a d a a ++++++++++---=+++=-+-++--=-=11.n n a a += 再证充分性.证法1：（数学归纳法）设所述的等式对一切n +∈N 都成立，首先，在等式122313112a a a a a a += ① 两端同乘123132123,2,,,a a a a a a a a a +=即得所以成等差数列，记公差为21,.d a a d =+则假设1(1),1k a a k d n k =+-=+当时，观察如下二等式12231121111,k k k a a a a a a a a --+++= ② 122311111111k k k k k k a a a a a a a a a a -++++++=， ③ 将②代入③，得 111111,k k k k k k a a a a a a ++-+= 在该式两端同乘11111,,(1).k k k a a a k a a ka ++-+=得将111(1),,.k k a a k d a a kd +=+-=+代入其中整理后得由数学归纳法原理知，对一切1(1),n n a a n d +∈=+-N 都有所以{}n a d 是公差为的等差数列.证法2：[直接证法]依题意有1223111111,n n n n a a a a a a a a +++++= ① 12231121211111.n n n n n n a a a a a a a a a a +++++++++= ② ②—①得 12121111n n n n n n a a a a a a +++++=-，在上式两端同乘112111,(1),n n n n a a a a n a na ++++=+-得同理可得11(1),n n a na n a +=-- ③③—④得122()n n n na n a a ++=+即211,{}n n n n n a a a a a +++-=-所以是等差数列，（21）（本小题满分13分）本题考查离散型随机变量及其分布列，考查在复杂场合下进行计数的能力，能过设置密切贴近生产、生活实际的问题情境，考查概率思想在现实生活中的应用，考查抽象概括能力、应用与创新意识.解：（I ）X 的可能值集合为{0，2，4，6，8}.在1，2，3，4中奇数与偶数各有两个，所以23,a a 中的奇数个数等于13,a a 中的偶数个数，因此1334|1||3||2||4|a a a a ++--+-与的奇偶性相同，从而2324(|1||3|)(|2||4|)X a a a a =-+++-+-必为偶数.X 的值非负，且易知其值不大于8.容易举出使得X 的值等于0，2，4，6，8各值的排列的例子.（II ）可用列表或树状图列出1，2，3，4的一共24种排列，计算每种排列下的X 值，在等可能的假定下，得到（III ）（i ）首先41(2)(0)(2)246P X P X P X ≤==+===，将三轮测试都有2X ≤的概率记做p ，由上述结果和独立性假设，得311.2166p == （ii ）由于152161000p =<是一个很小的概率，这表明如果仅凭随机猜测得到三轮测试都有2X ≤的结果的可能性很小，所以我们认为该品酒师确实有良好的味觉鉴别功能，不是靠随机猜测.。

2010高考数学理科试题解析版(安徽卷)

绝密★启用前2010年普通高等学校招生全国统一考试(安徽卷)数学（理科）本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，第I 卷第1至第2页，第II 卷第3至第4页。

全卷满分150分钟，考试时间120分钟。

考生注意事项：1．答题前，务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的姓名、座位号，并认真核对答题卡上所粘贴的条形码中姓名、座位号与本人姓名、座位号是否一致。

务必在答题卡背面规定的地方填写姓名和座位号后两位。

2．答第Ⅰ卷时，每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

3．答第Ⅱ卷时，必须使用0.5毫米的黑色墨水签字笔在答题卡．．．上书写，要求字体工整、笔迹清晰。

作图题可先用铅笔在答题卡规定的位置绘出，确认后再用0.5毫米的黑色墨水签字笔描清楚。

必须在题号所指示的答题区域作答，超出答题区域书写的答案无效．．．．．．．．．．．．．，在试题卷．．．．、草稿纸上答题无效．．．．．．．．。

4．考试结束，务必将试题卷和答题卡一并上交。

参考公式：如果事件A 与B 互斥，那么()()()P A B P A P B +=+ 如果A 与B 是两个任意事件，()0P A ≠，那么如果事件A 与B 相互独立，那么 ()()()|P AB P A P B A =()()()P AB P A P B =第Ⅰ卷（选择题，共50分）一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、i=A、1412-B、1412+C、126+D、126-1.B3)313912412i i+===++，选B.21i=-得结论.2、若集合121log2A x x⎧⎫⎪⎪=≥⎨⎬⎪⎪⎩⎭，则A=RðA、(,0]⎫-∞+∞⎪⎪⎝⎭B、⎫+∞⎪⎪⎝⎭C、(,0])-∞+∞D、)+∞2.A5、双曲线方程为2221x y -=，则它的右焦点坐标为A 、⎫⎪⎪⎝⎭B 、⎫⎪⎪⎝⎭C 、⎫⎪⎪⎝⎭D 、)5.C【解析】双曲线的2211,2a b ==，232c =，2c =，所以右焦点为⎫⎪⎪⎝⎭. 【误区警示】本题考查双曲线的交点，把双曲线方程先转化为标准方程，然后利用222c a b=+求出c 即可得出交点坐标.但因方程不是标准形式，很多学生会误认为21b =或22b =，从而得出错误结论.6、设0abc >，二次函数()2f x ax bx c =++的图象可能是6.D【解析】当0a >时，b 、c 同号，（C ）（D ）两图中0c <，故0,02bb a<->，选项（D ）符合.【方法技巧】根据二次函数图像开口向上或向下，分0a >或0a <两种情况分类考虑.另外还要注意c 值是抛物线与y 轴交点的纵坐标，还要注意对称轴的位置或定点坐标的位置等. 7、设曲线C 的参数方程为23cos 13sin x y θθ=+⎧⎨=-+⎩（θ为参数），直线l 的方程为320x y -+=，则曲线C 上到直线l 的点的个数为 A 、1 B 、2C 、3D 、47.B【解析】化曲线C 的参数方程为普通方程：22(2)(1)9x y -++=，圆心(2,1)-到直线320x y -+=的距离3d ==，直线和圆相交，过圆心和l 平行的直线和圆的2个交点符合要求，又31010>-在直线l 的另外一侧没有圆上的点符合要求，所以选B.【方法总结】解决这类问题首先把曲线C 的参数方程为普通方程，然后利用圆心到直线的距离判断直线与圆的位置关系，这就是曲线C 上到直线l 距离为，然后再判断知3>.8、一个几何体的三视图如图，该几何体的表面积为 A 、280 B 、292C 、360D 、372 8.C【解析】该几何体由两个长方体组合而成，其表面积等于下面长方体的全面积加上面长方体的4个侧面积之和。

【历年高考】2010年全国高考文科数学试题及答案-安徽

绝密★启用前2010年普通高等学校招生全国统一考试(安徽卷)数学(文科)本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，第Ⅰ卷第1至第2页，第Ⅱ卷第3至第4页。

全卷满分l50分，考试时间l20分钟。

参考公式：S 表示底面积，h 表示底面上的高如果事件A 与B 互斥，那么棱柱体积V=ShP(A+B)=P(A)+P(B ）棱锥体积V=13Sh第Ⅰ卷(选择题共50分)一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中．只有一项是符合题目要求的．(1)若A={}|10x x +>，B={}|30x x -<，则A B =(A)(-1，+∞) (B)(-∞，3) (C)(-1，3) (D)(1，3) 答案：C解析：画数轴易知.(2)已知21i =-，则i(1)=i i (C)i (D)i 答案：B 解析：直接计算.(3)设向量(1,0)a =,11(,)22b =,则下列结论中正确的是(A)a b = (B)22a b =(C)//a b (D)a b -与b 垂直答案：D解析：利用公式计算，采用排除法.（4）过点（1，0）且与直线x-2y-2=0平行的直线方程是（A ）x-2y-1=0 (B)x-2y+1=0 (C)2x+y-2=0 （D ）x+2y-1=0 答案：A解析：利用点斜式方程.(5)设数列｛na｝的前n项和n s=2n，则8a的值为（A）15 (B) 16 (C) 49 （D）64答案：A 解析：利用8a=S8-S7，即前8项和减去前7项和.（6）设ab c＞0,二次函数f(x)=a x2+bx+c的图像可能是答案：D 解析：利用开口方向a、对称轴的位置、y轴上的截距点c之间关系，结合ab c＞0产生矛盾，采用排除法易知.（7）设a=2535⎛⎫⎪⎝⎭，b=3525⎛⎫⎪⎝⎭,c=2525⎛⎫⎪⎝⎭，则a，b，c的大小关系是（A）a＞c＞b（B）a＞b＞c（C）c＞a＞b（D）b＞c＞a 答案：A 解析：利用构造幂函数比较a、c再利用构造指数函数比较b、c.（8）设x,y满足约束条件260,260,0,x yx yy+-≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩则目标函数z=x+y的最大值是（A）3 （B） 4 （C） 6 （D）8答案：C 解析：画出可行域易求.（9）一个几何体的三视图如图，该几何体的表面积是（A）372 （C）292（B）360 （D）280答案：B 解析：可理解为长8、宽10、高2的长方体和长6、宽2、高8的长方体组合而成,注意2×6重合两次，应减去.（10）甲从正方形四个顶点中任意选择两个顶点连成直线，乙也从该正方形四个顶点中任意选择两个顶点连成直线，则所得的两条直线相互垂直的概率是（A）318（B）418（C）518（D）618答案：C 解析：所有可能有6×6，所得的两条直线相互垂直有5×2.数学(文科)(安徽卷)第Ⅱ卷(非选择题共100分)二．填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在答题卡的相应位置·(11)命题“存在x∈R，使得x2+2x+5=0”的否定是答案：对任何X∈R，都有X2+2X+5≠0解析：依据“存在”的否定为“任何、任意”，易知.(12)抛物线y2=8x的焦点坐标是答案：（2,0）解析：利用定义易知.(13)如图所示，程序框图(算法流程图)的输出值x=答案：12 解析：运算时X顺序取值为: 1,2,4,5,6,8,9,10,12.(14)某地有居民100000户，其中普通家庭99 000户,高收入家庭1 000户．从普通家庭中以简单随机抽样方式抽取990户，从高收入家庭中以简单随机抽样方式抽取l00户进行调查，发现共有120户家庭拥有3套或3套以上住房，其中普通家庭50户，高收人家庭70户．依据这些数据并结合所掌握的统计知识，你认为该地拥有3套或3套以上住房的家庭所占比例的合理估计是.答案：5.7% 解析：50500099099000=，707001001000=，易知57005.7%100000=.(15)若a>0,b>0,a+b=2，则下列不等式对一切满足条件的a，b恒成立的是、(写出所有正确命题的编号)．①ab≤1；②a+b≤2；③a2+b2≥2；④a3+b3≥3;211≥+ba⑤答案：①,③,⑤解析：①,⑤化简后相同，令a=b=1排除②、易知④，再利a+b 2易知③正确三、解答题：本大题共6小题．共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．解答写在答题卡上的指定区域内.(16)△ABC 的面积是30，内角A,B,C,所对边长分别为a ，b ，c ，cosA=1213. (1)求AB AC ⋅(2)若c-b=1，求a 的值.（本小题满分12分）本题考查同角三角形函数基本关系，三角形面积公式，向量的数量积，利用余弦定理解三角形以及运算求解能力. 解：由cosA=1213 ，得sinA=)21312( 1- =513 .又12 bc sinA=30，∴bc=156、（1）AB AC ⋅=bc cosA=156·1213 =144.（2）a 2=b 2+c 2-2bc cosA=(c-b)2+2bc(1-cosA)=1+2·156·(1-1213 )=25，∴a=5（17）椭圆E 经过点A （2,3），对称轴为坐标轴，焦点F 1，F 2在x 轴上，离心率21=e .(1)求椭圆E 的方程；(2)求∠F 1AF 2的角平分线所在直线的方程.（本小题满分12分）本题考查椭圆的定义，椭圆的标准方程及简单几何性质，直线的点斜式方程与一般方程，点到直线的距离公式等基础知识，考查解析几何的基本思想和综合运算能力.解：（1）设椭圆E 的方程为22221x y a b+= 由e=12 ，得c a =12 ，b 2=a 2-c 2 =3c 2、∴2222143x y c c += 将A （2,3）代入，有22131c c += ，解得：c=2, 椭圆E 的方程为2211612x y += （Ⅱ）由(Ⅰ)知F 1（-2,0），F 2（2,0），所以直线AF 1的方程为 y=34 (X+2)，即3x-4y+6=0、直线AF 2的方程为x=2、由椭圆E 的图形知， ∠F 1AF 2的角平分线所在直线的斜率为正数.设P （x ，y ）为∠F 1AF 2的角平分线所在直线上任一点，则有34625x y x |-+⎥=|-⎥ 若3x-4y+6=5x-10，得x+2y-8=0，其斜率为负，不合题意，舍去. 于是3x-4y+6=-5x+10，即2x-y-1=0.所以∠F 1AF 2的角平分线所在直线的方程为2x-y-1=0.18、（本小题满分13分）某市2010年4月1日—4月30日对空气污染指数的检测数据如下（主要污染物为可吸入颗粒物）:61,76,70,56,81,91,92,91,75,81,88,67,101,103,95,91, 77,86,81,83,82,82,64,79,86,85,75,71,49,45, (Ⅰ) 完成频率分布表；（Ⅱ）作出频率分布直方图；（Ⅲ）根据国家标准，污染指数在0~50之间时，空气质量为优：在51~100之间时，为良；在101~150之间时，为轻微污染；在151~200之间时，为轻度污染。

2010年安徽高考试题_文科_数学_有详解

2010年普通高等学校招生全国统一考试(安徽卷)数学(文科)解析第Ⅰ卷(选择题共50分)1.C【解析】(1,),(,3)A B =+∞=-∞，(1,3)A B =- ，故选C.【方法总结】先求集合A 、B ，然后求交集，可以直接得结论，也可以借助数轴得交集.2.B【解析】(1)i i =选B.【方法总结】直接乘开，用21i =-代换即可.3.D 【解析】11(,)22--a b =，()0a b b -= ，所以-a b 与b 垂直.【规律总结】根据向量是坐标运算，直接代入求解，判断即可得出结论.4.A【解析】设直线方程为20x y c -+=，又经过(1,0)，故1c =-，所求方程为210x y --=.【方法技巧】因为所求直线与与直线x-2y-2=0平行，所以设平行直线系方程为20x y c -+=，代入此直线所过的点的坐标，得参数值，进而得直线方程.也可以用验证法，判断四个选项中方程哪一个过点（1，0）且与直线x-2y-2=0平行.5.A【解析】887644915a S S =-=-=.【方法技巧】直接根据1(2)n n n a S S n -=-≥即可得出结论.6.D【解析】当0a >时，b 、c 同号，（C ）（D ）两图中0c <，故0,02b b a <->，选项（D ）符合【方法技巧】根据二次函数图像开口向上或向下，分0a >或0a <两种情况分类考虑.另外还要注意c 值是抛物线与y 轴交点的纵坐标，还要注意对称轴的位置或定点坐标的位置等.7.A 【解析】25y x =在0x >时是增函数，所以a c >，2()5x y =在0x >时是减函数，所以c b >。

【方法总结】根据幂函数与指数函数的单调性直接可以判断出来.8.C【解析】不等式表示的区域是一个三角形，3个顶点是(3,0),(6,0),(2,2)，目标函数z x y =+在(6,0)取最大值6。

2010年高考全国数学卷(全国Ⅰ.文)(含详解答案)

2010年普通高等学校招生全国统一考试文科数学(必修+选修)本试卷分第I 卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。

第I 卷1至2页。

第Ⅱ卷3 至4页。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第I 卷注意事项：1．答题前，考生在答题卡上务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚，并贴好条形码。

请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目。

2．每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，在试题卷上作答无效．．．．．．．．．。

3．第I 卷共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么球的表面积公式()()()P A B P A P B +=+ 24S R π=如果事件A 、B 相互独立，那么其中R 表示球的半径 ()()()P A B P A P B = 球的体积公式如果事件A 在一次试验中发生的概率是p ，那么 334V R π=n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率其中R 表示球的半径()(1)(0,1,2,)k k n kn n P k C p p k n -=-=…一、选择题 (1)cos300︒=(A)2-12 (C)12 (D) 21.C 【命题意图】本小题主要考查诱导公式、特殊三角函数值等三角函数知识【解析】()1cos300cos 36060cos 602︒=︒-︒=︒=(2)设全集{}1,2,3,4,5U =，集合{}1,4M =，{}1,3,5N =，则()U N M ⋂=ð A.{}1,3 B. {}1,5 C. {}3,5 D. {}4,52.C 【命题意图】本小题主要考查集合的概念、集合运算等集合有关知识【解析】{}2,3,5U M =ð，{}1,3,5N =，则()U N M ⋂=ð{}1,3,5{}2,3,5⋂={}3,5(3)若变量,x y 满足约束条件1,0,20,y x y x y ≤⎧⎪+≥⎨⎪--≤⎩则2z x y =-的最大值为(A)4 (B)3 (C)2 (D)13.B 【命题意图】本小题主要考查线性规划知识、作图、识图能力及计算能力. 【解析】画出可行域（如右图），11222z x y y x z =-⇒=-，由图可知,当直线l 经过点A(1,-1)时，z 最大，且最大值为max 12(1)3z =-⨯-=.（4）已知各项均为正数的等比数列{n a }，123a a a =5，789a a a =10，则456a a a =(A) 4.A 【命题意图】本小题主要考查等比数列的性质、指数幂的运算、根式与指数式的互化等知识，着重考查了转化与化归的数学思想.【解析】由等比数列的性质知31231322()5a a a a a a a === ，37897988()a a a a a a a === 10,所以132850a a =,所以133364564655()(50)a a a a a a a =====(5)43(1)(1x -的展开式 2x 的系数是(A)-6 (B)-3 (C)0 (D)35.A. 【命题意图】本小题主要考查了考生对二项式定理的掌握情况，尤其是展开式的通项公式的灵活应用，以及能否区分展开式中项的系数与其二项式系数，同时也考查了考生的一些基本运算能力.【解析】()134323422(1)(11464133x x x x x x x x ⎛⎫-=-+---+- ⎪⎝⎭x +y20y -=2x 的系数是 -12+6=-6(6)直三棱柱111ABC A B C -中，若90BAC ∠=︒，1AB AC AA ==，则异面直线1BA 与1AC 所成的角等于(A)30° (B)45°(C)60° (D)90°6.C 【命题意图】本小题主要考查直三棱柱111ABC A B C -的性质、异面直线所成的角、异面直线所成的角的求法.【解析】延长CA 到D ，使得AD AC =，则11ADAC 为平行四边形，1DA B ∠就是异面直线1BA 与1AC 所成的角，又三角形1A DB 为等边三角形，0160DA B ∴∠=(7)已知函数()|lg |f x x =.若a b ≠且，()()f a f b =，则a b +的取值范围是 (A)(1,)+∞ (B)[1,)+∞(C) (2,)+∞ (D) [2,)+∞7.C 【命题意图】本小题主要考查对数函数的性质、函数的单调性、函数的值域，考生在做本小题时极易忽视a 的取值范围，而利用均值不等式求得a+b=12a a+≥,从而错选D,这也是命题者的用苦良心之处.【解析1】因为 f(a)=f(b),所以|lga|=|lgb|,所以a=b(舍去)，或1b a =，所以a+b=1a a+ 又0<a<b,所以0<a<1<b ，令()f a a a=+1由“对勾”函数的性质知函数()f a 在a ∈(0,1)上为减函数，所以f(a)>f(1)=1+1=2,即a+b 的取值范围是(2,+∞).【解析2】由0<a<b,且f (a )=f (b )得：0111a b ab <<⎧⎪<⎨⎪=⎩，利用线性规划得：0111x y xy <<⎧⎪<⎨⎪=⎩，化为求z x y =+的取值范围问题，z x y y x z =+⇒=-+，2111y y x x'=⇒=-<-⇒过点()1,1时z 最小为2,∴(C) (2,)+∞（8）已知1F 、2F 为双曲线C:221x y -=的左、右焦点，点P 在C 上，∠1F P 2F =060，则 12||||PF PF =(A)2 (B)4 (C) 6 (D) 8AB C DA 1B 1C 1D 1 O8.B 【命题意图】本小题主要考查双曲线定义、几何性质、余弦定理，考查转化的数学思想，通过本题可以有效地考查考生的综合运用能力及运算能力. 【解析1】.由余弦定理得cos ∠1F P 2F =222121212||||||2||||PF PF F F PF PF +- ()(22221212121212122221cos60222PF PF PF PF PF PF F F PF PF PF PF +--+-⇒=⇒=12||||PF PF = 4【解析2】由焦点三角形面积公式得：1202201216011cot 1cot sin 602222F PF S b PF PF PF PF θ∆===== 12||||PF PF = 4（9）正方体ABCD -1111A B C D中，1BB 与平面1ACD 所成角的余弦值为（A ）（B（C ）23 （D 9.D 【命题意图】本小题主要考查正方体的性质、直线与平面所成的角、点到平面的距离的求法，利用等体积转化求出D 到平面AC 1D 的距离是解决本题的关键所在,这也是转化思想的具体体现.【解析1】因为BB 1//DD 1,所以B 1B 与平面AC 1D 所成角和DD 1与平面AC 1D 所成角相等,设DO ⊥平面AC 1D ，由等体积法得11D ACD D ACD V V --=,即111133ACD ACD S DO S DD∆∆⋅=⋅.设DD 1=a,则122111sin 60)2222ACD S AC AD a ∆==⨯= ,21122ACD SAD CD a ∆== . 所以131A C D A C D S D D D O a S ∆∆= ,记DD 1与平面AC 1D 所成角为θ,则1sin DO DD θ==,所以cos θ=. 【解析2】设上下底面的中心分别为1,O O ；1O O 与平面AC 1D 所成角就是B 1B 与平面AC 1D所成角，1111cos O O O OD OD ∠=== （10）设123log 2,ln 2,5a b c -===则（A ）a b c <<（B ）b c a << (C) c a b << (D) c b a <<10.C 【命题意图】本小题以指数、对数为载体，主要考查指数函数与对数函数的性质、实数大小的比较、换底公式、不等式中的倒数法则的应用. 【解析1】 a=3log 2=21log 3, b=In2=21log e,而22log 3log 1e >>,所以a<b, c=125-222log 4log 3>=>,所以c<a,综上c<a<b. 【解析2】a =3log 2=321log ,b =ln2=21log e, 3221log log 2e <<< ，32211112log log e <<<； c=12152-=<=，∴c<a<b（11）已知圆O 的半径为1，PA 、PB 为该圆的两条切线，A 、B 为两切点，那么PA PB ∙的最小值为(A) 4-+3-(C) 4-+3-+11.D 【命题意图】本小题主要考查向量的数量积运算与圆的切线长定理，着重考查最值的求法——判别式法,同时也考查了考生综合运用数学知识解题的能力及运算能力. 【解析1】如图所示：设PA=PB=x (0)x >,∠APO=α,则∠APB=2α，，sin α=||||cos2PA PB PA PB α∙=⋅=22(12sin )x α-=222(1)1x x x -+=4221x x x -+，令PA PB y ∙= ，则4221x x y x -=+，即42(1)0x y x y -+-=，由2x 是实数，所以2[(1)]41()0y y ∆=-+-⨯⨯-≥，2610y y ++≥，解得3y ≤--3y ≥-+.故min ()3PA PB ∙=-+此时x =【解析2】设,0APB θθπ∠=<<，()()2cos 1/tan cos 2PA PB PA PB θθθ⎛⎫∙== ⎪⎝⎭ 2222221sin 12sin cos 22212sin 2sin sin 22θθθθθθ⎛⎫⎛⎫-- ⎪⎪⎛⎫⎝⎭⎝⎭=⋅-= ⎪⎝⎭换元：2sin ,012x x θ=<≤，()()1121233x x PA PB x x x--∙==+-≥ 【解析3】建系：园的方程为221x y +=，设11110(,),(,),(,0)A x y B x y P x -，()()2211101110110,,001AO PA x y x x y x x x y x x ⊥⇒⋅-=⇒-+=⇒=()222222221100110110221233PA PB x x x x y x x x x x ∙=-+-=-+--=+-≥（12）已知在半径为2的球面上有A 、B 、C 、D 四点，若AB=CD=2,则四面体ABCD 的体积的最大值为12.B 【命题意图】本小题主要考查几何体的体积的计算、球的性质、异面直线的距离,通过球这个载体考查考生的空间想象能力及推理运算能力.【解析】过CD 作平面PCD ，使AB ⊥平面PCD,交AB 与P,设点P 到CD 的距离为h ,则有ABCD 11222323V h h =⨯⨯⨯⨯=四面体,当直径通过AB 与CD 的中点时,max h =故max V =.第Ⅱ卷注意事项：1．答题前，考生先在答题卡上用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚，然后贴好条形码。

2010年高考安徽省数学试卷-理科（含详细答案）

绝密★启用前启用前2010年普通高等学校招生全国统一考试(安徽卷) 数学（理科）本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，第I 卷第1至第2页，第II 卷第3至第4页。

全卷满分150分钟，考试时间120分钟。

务必在答题卡背面规定的地方填写姓名和座位号后两位。

背面规定的地方填写姓名和座位号后两位。

2．答第Ⅰ卷时，每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

3．答第Ⅱ卷时，必须使用0.5毫米的黑色墨水签字笔在答题卡．．．上书写，要求字体工整、笔迹清晰。

作图题可先用铅笔在答题卡规定的位置绘出，确认后再用0.5毫米的黑色墨水签字笔描清楚。

4．考试结束，务必将试题卷和答题卡一并上交。

．考试结束，务必将试题卷和答题卡一并上交。

参考公式：如果事件A 与B 互斥，那么互斥，那么()()()P A B P A P B +=+ 如果如果A 与B 是两个任意事件，()0P A ¹，那么那么如果事件A 与B 相互独立，那么相互独立，那么 ()()()|P AB P A P B A = ()()()P AB P A P B =第Ⅰ卷（选择题，共50分）一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、i 是虚数单位，33i i=+333333333i i+33i+3i -22225、双曲线方程为2221x y -=，则它的右焦点坐标为，则它的右焦点坐标为A 、2,02æöç÷ç÷èøB 、5,02æöç÷ç÷èøC 、6,02æöç÷ç÷èøD 、()3,05.C 【解析】双曲线的2211,2a b ==，232c =，62c =，所以右焦点为6,02æöç÷ç÷èø. 【误区警示】本题考查双曲线的交点，把双曲线方程先转化为标准方程，然后利用222c a b =+求出c 即可得出交点坐标.但因方程不是标准形式，很多学生会误认为21b =或22b =，从而得出错误结论. 6、设0a b c >，二次函数()2f x ax bx c =++的图象可能是的图象可能是6.D 【解析】当0a >时，b 、c 同号，（C ）（D ）两图中0c <，故0,02b b a<->，选项（D ）符合. 【方法技巧】根据二次函数图像开口向上或向下，分0a >或0a <两种情况分类考虑另外还要注意c 值是抛物线与y 轴交点的纵坐标，还要注意对称轴的位置或定点坐标的位置等. 7、设曲线C 的参数方程为23cos 13sin x y q q=+ìí=-+î（q 为参数），直线l 的方程为320x y -+=，则曲线C 上到直线l 距离为71010的点的个数为的点的个数为A 、1 B 、2 C 、3 D 、4 7.B 【解析】化曲【解析】化曲线线C 的参数方程为普的参数方程为普通方程：通方程：22(2)(1)9x y -++=，圆心(2,1)-到直线320x y -+=的距离|23(1)2|71031010d -´-+==<，直线和圆相交，过圆心和l 平行的直线和圆的2个交点符合要求，又71071031010>-，在直线l 的另外一侧没有圆上的点符合要求，所以选B. 【方法总结】解决这类问题首先把曲线C 的参数方程为普通方程，然后利用圆心到直线的距离判断直线与圆的位置关系，这就是曲线C 上到直线l 距离为71010，然后再判断知71071031010>-，进而得出结论. 8、一个几何体的三视图如图，该几何体的表面积为、一个几何体的三视图如图，该几何体的表面积为A 、280 B 、292 C 、360 D 、372 8.C 【解析】该几何体由两个长方体组合而成，该几何体由两个长方体组合而成，其表面积等于下面长方体的全其表面积等于下面长方体的全面积加上面长方体的4个侧面积之和。

20010年普通高等学校招生全国统一考试数学卷(全国新.文)含详解

2010年普通高等学校招生全国统一考试文科数学参考公式：样本数据12, n x x x 的标准差锥体体积公式s ==13V s h其中x 为样本平均数其中S 为底面面积，h 为高柱体体积公式球的表面积，体积公式V Sh =2334,4S R V R ππ==其中S 为底面面积，h 为高其中R 为球的半径第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

（1）已知集合2,,|4,|A x x x R B x x Z =≤∈=≤∈，则A B =（A ）（0，2）（B ）[0，2] （C ）|0，2| （D ）|0，1，2|（2）a ，b 为平面向量，已知a=（4，3），2a+b=（3，18），则a ，b 夹角的余弦值等于（A ）865（B ）865-（C ）1665（D ）1665-（3）已知复数z =，则i =(A)14（B ）12（C ）1 （D ）2（4）曲线2y 21x x =-+在点（1,0）处的切线方程为（A ）1y x =- （B ）1y x =-+ （C ）22y x =- （D ）22y x =-+ （5）中心在远点，焦点在x 轴上的双曲线的一条渐近线经过点（4,2），则它的离心率为（A）（B）（C2（D）2（6）如图，质点p 在半径为2的圆周上逆时针运动，其初始位置为0p，），角速度为1，那么点p 到x 轴距离d 关于时间t 的函数图像大致为(7) 设长方体的长、宽、高分别为2a 、a 、a,其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为（A ）3πa 2 （B ）6πa 2 （C ）12πa 2 （D ） 24πa 2（8）如果执行右面的框图，输入N=5，则输出的数等于（A ）54 （B ）45 （C ）65 （D ）56(9)设偶函数f(x)满足f(x)=2x -4 (x ≥0），则(){}20xfx ->=（A ）{}24x x x <->或（B ）{}04 x x x <>或（C ）{}06x x x <>或（D ）{}22 xx x <->或（10）若sin a = -45，a 是第一象限的角，则sin()4a π+=（A ）-10（B10（C）10（D10（11）已知 ABCD 的三个顶点为A （-1，2），B （3，4），C （4，-2），点（x ，y ）在 ABCD 的内部，则z=2x-5y 的取值范围是（A ）（-14，16）（B ）（-14，20）（C ）（-12，18）（D ）（-12，20）（12）已知函数f(x)=lg 1,01016,02x x x x <≤-+>⎧⎨⎩ 若a ，b ，c 均不相等，且f(a)=f(b)= f(c)，则abc 的取值范围是（A ）（1，10）（B ）(5，6) （C ）(10，12) （D ）(20，24)第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分。

真题2010高考理科数学安徽卷(解析版)资料

绝密★启用前2010年一般高等学校招生全国一致考试(安徽卷)数学（理科）本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，第I卷第1至第2页，第II卷第3至第4页。

全卷满分150分钟，考试时间120分钟。

考生注意事项：1．答题前，务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的姓名、座位号，并仔细查对答题卡上所粘贴的条形码中姓名、座位号与自己姓名、座位号能否一致。

务必在答题卡反面规定的地方填写姓名和座位号后两位。

2．答第Ⅰ卷时，每题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需变动，用橡皮擦洁净后，再选涂其余答案标号。

3．答第Ⅱ卷时，一定使用毫米的黑色墨水署名笔在答题卡上书写，要求字体工整、字迹清楚。

作图题可先用铅笔在答题卡规定的地点绘出，确认后再用毫米的黑色墨水署名笔描清楚。

一定在题号所指示的答题地区作答，高出答题地区书写的答案无效，在试题卷、底稿纸上答题无效。

4．考试结束，务势必试题卷和答题卡一并上交。

参照公式：假如事件A与B互斥，那么PAB PAPB假如A与B是两个随意事件，PA，那么假如事件A与B互相独立，那么PABPAPB|APAB PAPB第Ⅰ卷（选择题，共50分）一、选择题：本大题共10个小题，每题5分，共50分，在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项切合题目要求的。

1、i是虚数单位，i3 3i13i 13C、1313A、12B、i2i D、i4412626【分析】i3i i(33i)3i313i，选B.33912412i【规律总结】为分式形式的复数问题，化简时往常分子与分母同时乘以分母的共轭复33i数3i，而后利用复数的代数运算，联合i21得结论.2、若会合A xlog1x 1，则e R A22A、(,0]2,B、2,C、(,0][2,)D、[2,)22225、双曲线方程为x 2 2y 2 1，则它的右焦点坐标为A 、2,0B 、5,0C 、6,0D 、 3,0222【分析】双曲线的 a 2 1,b 21 ，c23 ，c 6 ，因此右焦点为6 ,0.22 22【误区警告】此题考察双曲线的交点，把双曲线方程先转变为标准方程，而后利用c 2a 2b 2求出c 即可得出交点坐标.但因方程不是标准形式，好多学生会误以为b 2 1或b 2 2，从而得犯错误结论.6、设abc0，二次函数fxax 2 b x c 的图象可能是【分析】当a0时，b 、c 同号，（）（）两图中c0，故b 0, b 0，选项（D ）符CD2a合.【方法技巧】依据二次函数图像张口向上或向下，分a0或a0两种状况分类考虑.此外还要注意 c 值是抛物线与y 轴交点的纵坐标，还要注意对称轴的地点或定点坐标的地点等.x 2 3cos 为参数），直线l 的方程为x3y20，则7、设曲线C 的参数方程为1 （ y3sin曲线C 上到直线l 距离为710的点的个数为10A 、1B 、2C 、3D 、4【分析】化曲线C 的参数方程为一般方程：(x2)2 (y 1)2 9，圆心(2,1)到直线x3y2|23( 1) 2| 73，直线和圆订交，过圆心和l 平行的的距离d101010直线和圆的2个交点切合要求，又710 3 710 ，在直线l 的此外一侧没有圆上的点切合1010要求，因此选B.【方法总结】解决这种问题第一把曲线C 的参数方程为一般方程，而后利用圆心到直线的距离判断直线与圆的地点关系，这就是曲线C 上到直线 l 距离为710，而后再判断知107 107 103，从而得出结论.10108、一个几何体的三视图如图，该几何体的表面积为A 、280B 、292C 、360D 、372【分析】该几何体由两个长方体组合而成，其表面积等于下边长方体的全面积加上面长方体的4个侧面积之和。

2010年全国高考理科数学试题及答案-安徽

姓名座位号（在此卷上答题无效）绝密★启用并使用完毕前2010年普通高等学校招生全国统一考试（安徽卷）数学（理科）本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，满分150分．考试用时120分钟．注意事项：1．答卷前，务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的姓名、座位号，并认真核对答题卡上所粘贴的条形码中姓名、座位号与本人姓名、座位号是否一致．务必在答题卡背面规定的地方填写姓名和座位号后两位．2．答第I 卷时，每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．3．答第Ⅱ卷时，必须使用0.5毫米黑色黑水签字笔在答题卡上．．．．书写，要求字体工整、笔迹清晰．作图题可先用铅笔在答题卡．．．规定的位置绘出，确认后再用0.5毫米的黑色签际笔描清楚．必须在题号所指示的答题区域作答，超出答题区域书写的答案．．．．．．．．．．．无效．．，在试题卷．．．．、草稿纸上答题无效．．．．．．．．．．4．考试结束，务必将试题卷和答题卡一并上交．参考公式：如果事件A 与B 互斥，那么)()()(B P A P B A P +=+ 如果A 与B 是两个任意事件，0)(≠A P ，那么如果事件A 与B 相互独立，那么 )|()()(A B P A P AB P = )()()(B P A P AB P ≠第Ⅰ卷（选择题共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．（1）i 是虚数单位，=+i i33（A ）12341- （B ）i 12341- （C ）i 6321+ （D ）i 6321- （2）若集合}21log |{21≥=x x A ，则=A C R（A ）⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞⋃-∞,22]0,( （B ）⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞,22 （C ）⎪⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞⋃-∞,22]0,( （D ）⎪⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞,22 （3）设向量)21,21(),0,1(==b a ，则下列结论中正确的是（A ）||||b a = （B ）22=⋅b a （C ）b b a 与-垂直（D ）b a // （4）若)(x f 是R 上周期为5的奇函数，且满足,2)2(,1)1(==f f 则)4()3(f f -=（A ）-1 （B ）1 （C ）-2 （D ）2（5）双曲线方程为1222=-y x ，则它的右焦点坐标为（A ）)0,22( （B ）)0,25( （C ）)0,26( （D ）)0,3(（6）设0>abc ，二次函数c bx ax x f ++=2)(的图象可能是（7）设曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧+-=+=θθsin 31cos 32y x （θ为参数），直线l 的方程为023=+-y x ，则曲线C 到直线l 的距离为10107的点的个数为（A ）1 （B ）2（C ）3 （D ）4（8）一个几何全体的三视图如图，该几何体的表面积为（A ）280 （B ）292（C ）360 （D ）372（9）动点),(y x A 在圆122=+y x 上绕坐标原点沿逆时针方向匀速旋转，12秒旋转一周.已知定时t=0时，点A 的坐标是)23,21(，则当120≤≤t 时，动点A 的纵坐标y关于t （单位：秒）的函数的单调递增区间是（A ）[0，1] （B ）[1，7] （C ）[7，12] （D ）[0，1]和[7，12]、（10）设}{n a 是任意等比数列，它的前n 项和，前2n 项和与前3n 项和分别为X ，Y ，Z ，则下列等式中恒成立的是（A ）Y Z X 2=+ （B ）)()(X Z Z X Y Y -=- （C ）XZ Y =2（D ）)()(X Z X X Y Y -=- （在此卷上答题无效）绝密★启用并使用完毕前2010年普通高等学校招生全国统一考试（安徽卷）数学（理科）第Ⅱ卷（非选择题共100分）考生注意事项：请用0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上．．．．．作答，在试题卷上答题无效．．．．．．．．．．二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在答题卡的相应位置．（11）命题“对任何3|4||2|,>-+-∈x x R x ”的否定是．（12）6⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-x y y x 的展开式中，3x 的系数等于．（13）设y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥≥≤--≥+-,0,0,048,022y x y x y x 若目标函数)0,0(>>+=b a y abx z 的最大值为8，则b a +的最小值为．（14）如图所示，程序框图（算法流程图）的输出值=x ．（15）甲罐中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙罐中有4个红球，3个白球和3个黑球，先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以A 1，A 2和A 3表示由甲罐取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙罐中随机取出一球，以B 表示由乙罐取出的球是红球的事件，则下列结论中正确的是（写出所有正确结论的编号）．①52)(1=B P ； ②115)|(1=A B P ；③事件B 与事件A 1相互独立；④A 1，A 2，A 3是两两互斥的事件；⑤)(B P 的值不能确定，因为它与A 1，A 2，A 3中究竟哪一个发生有关．三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，解答写在答题卡上的指定区域内．（16）（本小题满分12分）设ABC ∆是锐角三角形，c b a ,,分别是内角A ，B ，C 所对边长，并且.sin )3sin()3sin(sin 22B B B A +-+=ππ（Ⅰ）求角A 的值；（Ⅱ）若72,12==⋅a ，求c b ,（其中c b <）．（17）（本小题满分12分）设a 为实数，函数.,22)(R x a x e x f x ∈+-=（I ）求)(x f 的单调区间与极值；（II ）求证：当012ln >->x a 且时，.122+->ax x e x（18）（本小题满分13分）如图，在多面体ABCDEF 中，四边形ABCD 是正方形，EF//AB ，EF ⊥FB ，AB=2EF ，,90︒=∠BFC BF=FC ，H 为BC 的中点.（I ）求证：FH//平面EDB ；（II ）求证：AC ⊥平面EDB ；（III ）求二面角B —DE —C 的大小、（19）（本小题满分13分）已知椭圆E 经过点A （2，3），对称轴为坐标轴，焦点F 1，F 2在x 轴上，离心率.21=e （I ）求椭圆E 的方程；（II ）求21AF F ∠的角平分线所在直线l 的方程；（III ）在椭圆E 上是否存在关于直线l 对称的相异两点？若存在，请找出；若不存在，说明理由.（20）（本小题满分12分）设数列,,,21 a a ,n a 中的每一项都不为0.证明，}{n a 为等差数列的充分必要条件是：对任何N n ∈，都有.1111113221++=+++n n n a a n a a a a a a（21）（本小题满分13分）品酒师需要定期接受酒味鉴别功能测试，一种通常采用的测试方法如下：拿出n 瓶外观相同但品质不同的酒让其品尝，要求其按品质优劣为它们排序，经过一段时间，等其记忆淡忘之后，再让其品尝这n 瓶酒，并重新按品质优劣为它们排序，这称为一轮测试.根据一轮测试中的两次排序的偏离程度的高低为其评分.现设n=4，分别以4321,,,a a a a 表示第一次排序时被排为1，2，3，4的四种酒在第二次排序时的序号，并令.|4||3||2||1|4321a a a a X -+-+-+-=则X 是对两次排序的偏离程度的一种描述.（I ）写出X 的可能值集合；（II ）假设4321,,,a a a a 等可能地为1，2，3，4的各种排列，求X 的分布列；（III ）某品酒师在相继进行的三轮测试中，都有2≤X ，（i ）试按（II ）中的结果，计算出现这种现象的概率（假定各轮测试相互独立）；（ii ）你认为该品酒师的酒味鉴别功能如何？说明理由.参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．（1）B （2）A （3）C （4）A （5）C（6）D （7）B （8）C （9）D （10）D二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在答题卡的相应位置．（11）存在,-2-4|3x x x ∈≤R 使得||+|（12）15（若只写2466C C 或，也可）（13）4 （14）12 （15）②④三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，解答写在答题卡上的指定区域内．（16）（本小题满分12分）本题考查两角和的正弦公式，同角三角函数的基本关系，特殊角的三角函数值，向量的数量积，利用余弦定理解三角形等有关知识，考查综合运算求解能力.解：（I ）因为2211sin (sin )(sin )sin 2222A B B B B B =+-+222313c o s s i n s i n ,444s i n ,,.23B B B A A A π=-+==±=所以又为锐角所以（II ）由12AB AC ⋅=可得c o s 12.c b A =① 由（I ）知,3A π=所以 24cb = ②由余弦定理知2222cos ,a c b cb A a =+==将③+②×2，得()100c b 2+=，所以10.c b +=因此，c ，b 是一元二次方程210240t t -+=的两个根.解此方程并由6, 4.c b c b >==知（17）（本小题满分12分）本题考查导数的运算，利用导数研究函数的单调区间，求函数的极值和证明函数不等式，考查运算能力、综合分析和解决问题的能力.（I ）解：由()22,()2,.x x f x e x a x f x e x '=-+∈=-∈R R 知令()0,ln 2.,(),()f x x x f x f x ''==得于是当变化时的变化情况如下表：故()f x 的单调递减区间是(,ln 2)-∞，单调递增区间是(ln 2,)+∞，()ln 2f x x =在处取得极小值，极小值为ln 2(ln 2)2ln 222(1ln 2).f e a a =-+=-+（II ）证：设2()21,,xg x e x ax x =-+-∈R于是()22,.x g x e x a x '=-+∈R 由（I ）知当ln 21,()(ln 2)2(1ln 2)0.a g x g a ''>-=-+>时最小值为,()0,()x g x g x '∈>R R 于是对任意都有所以在内单调递增,于是当ln 21,(0,),()(0),a x g x g >-∈+∞>时对任意都有而(0)0,(0,),()0.g x g x =∈+∞>从而对任意即22210,2 1.x x e x ax e x ax -+->>-+故（18）（本小题满分13分）本题考查空间线面平行、线面垂直、面面垂直的判断与证明，考查二面角的求法以及利用向量知识解决几何问题的能力，同时考查空间想象能力、推理论证能力和运算能力.[综合法]（1）证：设AC 与BD 交于点G ，则G 为AC 的中点，连EG ，GH ，又H 为BC 的中点，11//,//,//.22GH AB EF AB EF GH ∴∴又 ∴四边形EFHG 为平行四边形，∴EG//FH ，而EG ⊂平面EDB ，∴FH//平面EDB.（II ）证：由四边形ABCD 为正方形，有AB ⊥BC ，又EF//AB ，∴EF ⊥BC.而EF ⊥FB ，∵EF ⊥平面BFC ，∴EF ⊥FH ，∴AB ⊥FH.又BF=FC ，H 为BC 的中点，∴FH ⊥BC.∴FH ⊥平面ABCD ，∴FH ⊥AC ，又FH//BC ，∴AC=EG.又AC ⊥BD ，EG ⋂BD=G ，∴AG ⊥平面EDB.（III ）解：EF ⊥FB ，∠BFC=90°，∴BF ⊥平面CDEF ，在平面CDEF 内过点F 作FK ⊥DE 交DE 的延长线于K ，则∠FKB 为二面角B —DE —C 的一个平面角.设EF=1，则AB=2，又EF//DC ，∴∠KEF=∠EDC ，∴sin ∠EDC=sin ∠∴FK=EFsin ∠tan ∠FKB=BF FK=∴∠FKB=60° ∴二面角B —DE —C 为60°.[向量法]∵四边形ABCD 为正方形，∴AB ⊥BC ，又EF//AB ，∴EF ⊥BC.又EF ⊥FB ，∴EF ⊥平面BFC.∴EF ⊥FH ，∴AB ⊥FH.又BF=FC ，H 为BC 的中点，∴FH ⊥BC ，∴FH ⊥平面ABC.以H 为坐标原点，HB x 为轴正向，HF z 为轴正向，建立如图所示坐标系.设BH=1，则A （1，—2，0），B （1，0，0），C （—1，0，0），D （—1，—2，0），E （0，—1，1），F （0，0，1）.（I ）证：设AC 与BD 的交点为G ，连GE ，GH ，则(0,1,0),(0,0,1),(0,0,1)//.G CE HF HF GE -∴==∴又GE ⊂平面EDB ，HF 不在平面EDB 内，∴FH ∥平面EBD ，（II ）证： (2,2,0),(0,0,1),0,.AC GE AC GE AC GE =-=⋅=∴⊥又AC ⊥BD ，EG ∩BD=G ，∴AC ⊥平面EDB.（III ）解：(1,1,1),(2,2,0).BE BD =--=--设平面BDE 的法向量为111(1,,),n y z =则1111110,120,BE n y z BD n y ⋅=--+=⋅=--=111222222121212121,0,(1,1,0).(0,2,0),(1,1,1),(1,,),0,0,(1,0,1),1cos ,,||||2,60,y z n CD CE CDE y z CD y ∴=-==-=-=-=⋅===-⋅<>===⋅∴<>=n n n n n n n n n n n 即设平面的法向量为则故即二面角B —DE —C 为60°.（19）（本小题满分13分）本题考查椭圆的定义及标准方程，椭圆的简单几何性质，直线的点斜式方程与一般方程，点到直线的距离公式，点关于直线的对称等基础知识；考查解析几何的基本思想、综合运算能力、探究意识与创新意识.解：（I ）设椭圆E 的方程为22221x y a b+= 2222222211,,2,3,22 1.43c e a c b a c e a x y c e ====-=∴+=由即得椭圆方程具有形式将A （2，3）代入上式，得22131,2,c c c +==解得 ∴椭圆E 的方程为221.1612x y +=（II ）解法1：由（I ）知12(2,0),(2,0)F F -，所以直线AF 1的方程为：3(2),3460,4y x x y =+-+=即直线AF 2的方程为： 2.x = 由点A 在椭圆E 上的位置知，直线l 的斜率为正数.设(,)P x y l 为上任一点，则|346||2|.5x y x -+=- 若346510,280x y x x y -+=-+-=得（因其斜率为负，舍去）. 所以直线l 的方程为：210.x y --=解法2：121212121(2,3),(2,0),(2,0),(4,3),(0,3).114(4,3)(0,3)(1,2).535||||2,:32(1),210.A F F AF AF AF AF AF AF k l y x x y -∴=--=-∴+=--+-=-∴=∴-=---=即（III ）解法1：假设存在这样的两个不同的点1122(,)(,),B x y C x y 和2121121200001,.2(,),,,22BC y y BC l k x x x x y y BC M x y x y -⊥∴==-++==设的中点为则由于M 在l 上，故00210.x y -+= ①又B ，C 在椭圆上，所以有222211221 1.16121612x y x y +=+=与两式相减，得222221210,1612x x y y --+= 即12211221()()()()0.1612x x x x y y y y +-+-+= 将该式写为122112*********x x y y y y x x +-+⋅+⋅⋅=-，并将直线BC 的斜率BC k 和线段BC 的中点，表示代入该表达式中，得0000110,320.812x y x y -=-=即 ② ①×2—②得202,3x y ==，即BC 的中点为点A ，而这是不可能的.∴不存在满足题设条件的点B 和C.解法2：假设存在1122(,),(,)B x y C x y l 两点关于直线对称，则1,.2BC l BC k ⊥∴=- 221,1,21612x y BC y x m =-++=设直线的方程为将其代入椭圆方程得一元二次方程2222134()48,120,2x x m x mx m +-+=-+-=即则12x x 与是该方程的两个根，由韦达定理得12,x x m += 于是121213()2,22m y y x x m +=-++= ∴B ，C 的中点坐标为3(,).24m m 又线段BC 的中点在直线321,1, 4.4m y x m m =-∴=-=上得即B ，C 的中点坐标为（2，3），与点A 重合，矛盾.∴不存在满足题设条件的相异两点.（20）（本小题满分12分）本题考查等差数列、数学归纳法与充要条件等有关知识，考查推理论证、运算求解能力.证：先证必要性设数列{},0,n a d d =的公差为若则所述等式显然成立，若0d ≠，则1223132********122311111111111()1111111(()()())1111()n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a a a d a a a a a a d a a a a a a a a d a a d a a ++++++++++---=+++=-+-++--=-=11.n n a a += 再证充分性.证法1：（数学归纳法）设所述的等式对一切n +∈N 都成立，首先，在等式122313112a a a a a a += ① 两端同乘123132123,2,,,a a a a a a a a a +=即得所以成等差数列，记公差为21,.d a a d =+则假设1(1),1k a a k d n k =+-=+当时，观察如下二等式12231121111,k k k a a a a a a a a --+++= ② 122311111111k k k k k k a a a a a a a a a a -++++++=， ③ 将②代入③，得 111111,k k k k k k a a a a a a ++-+= 在该式两端同乘11111,,(1).k k k a a a k a a ka ++-+=得将111(1),,.k k a a k d a a kd +=+-=+代入其中整理后得由数学归纳法原理知，对一切1(1),n n a a n d +∈=+-N 都有所以{}n a d 是公差为的等差数列.证法2：[直接证法]依题意有1223111111,n n n n a a a a a a a a +++++= ① 12231121211111.n n n n n n a a a a a a a a a a +++++++++= ② ②—①得 12121111n n n n n n a a a a a a +++++=-，在上式两端同乘112111,(1),n n n n a a a a n a na ++++=+-得同理可得11(1),n n a na n a +=-- ③③—④得122()n n n na n a a ++=+即211,{}n n n n n a a a a a +++-=-所以是等差数列，（21）（本小题满分13分）本题考查离散型随机变量及其分布列，考查在复杂场合下进行计数的能力，能过设置密切贴近生产、生活实际的问题情境，考查概率思想在现实生活中的应用，考查抽象概括能力、应用与创新意识.解：（I ）X 的可能值集合为{0，2，4，6，8}.在1，2，3，4中奇数与偶数各有两个，所以23,a a 中的奇数个数等于13,a a 中的偶数个数，因此1334|1||3||2||4|a a a a ++--+-与的奇偶性相同，从而2324(|1||3|)(|2||4|)X a a a a =-+++-+-必为偶数.X 的值非负，且易知其值不大于8.容易举出使得X 的值等于0，2，4，6，8各值的排列的例子.（II ）可用列表或树状图列出1，2，3，4的一共24种排列，计算每种排列下的X 值，在等可能的假定下，得到（III ）（i ）首先41(2)(0)(2)246P X P X P X ≤==+===，将三轮测试都有2X ≤的概率记做p ，由上述结果和独立性假设，得311.2166p == （ii ）由于152161000p =<是一个很小的概率，这表明如果仅凭随机猜测得到三轮测试都有2X ≤的结果的可能性很小，所以我们认为该品酒师确实有良好的味觉鉴别功能，不是靠随机猜测.。

2010年高考试题(安徽卷)解析版

2010年普通高等学校招生全国统一考试(安徽卷)历史12.安徽六安双墩汉墓遗址被评为全国“2006年度十大考古新发现”之一。

图2所列物品不可能由该墓葬出土的是A B C D12.C 解题的关键抓住题干的时间限定,六安双墩汉墓,青花瓷元朝时出现,不可能出现。

13.西晋杜育的《荈赋》是我国第一篇以茶为主题的文学作品。

某班兴趣小组以此为题材对茶的起源问题进行探究后，形成了以下四种意见，其中最合理的是A．文学作品不具有史料价值，不能以此确定茶的起源B．文学作品虽是社会生活的反映，仍不能据此确定茶起源于晋代C．唐代《茶经》是中国第一部关于茶的专著，应据此确定茶起源于唐代D．传说神农氏发现了茶，可据此确定茶起源于神农氏时期13.B 文学作品不能作为信史，但能反映当时的社会生活，具有一定史料价值，排除A，《荈赋》是以茶为主题的作品，出现在西晋，所以排除C，传说不可以作为史实，排除D。

14.柳宗元认为，秦末农民起义“咎在人怨，非郡邑之制失也”；西汉七国之乱“有叛国而无叛郡”，“秦制之得亦明矣”。

下列哪种说法最符合材料原意A．郡县制与秦末农民战争没有关系B．七国之乱因汉初分封而爆发C．郡县制有利于中央集权统治D．郡县制取代分封制是历史的必然14．C 题目给了三句话，最后得出“秦制之得亦明矣”，这里的秦制指的是秦朝的郡县制，郡县制有利加强对地方的控制，加强了中央集权统治因此选D，A,B都是材料中的一部分，不够全面。

材料无法体现郡县取代分封的历史必然，重在秦制中央集权之得，因此排除D.15.图3 是辛亥革命时期的漫画《葫芦尚未捺下，瓢儿又起来了》，它表明A．清朝统治面临崩溃B．保路风潮已被镇压C．武昌起义即将爆发D．革命派的实力强大15.A 仔细观察图和注释，漫画瓢上有一个“鄂”字，标题《葫芦尚未捺下，瓢儿又起来了》表明清政府统治危机四伏，已经顾此失彼。

B不能体现顾此失彼，C无法体现材料所体现的形势，武昌起义只是其中一个瓢，无法准确的表达当时的形势。

安徽卷2010年高考数学理

2010年普通高等学校招生全国统一考试理科数学第Ⅰ卷一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．（1）i 是虚数单位，=+ii 33（）（A ）12341- （B ）i 12341-（C ）i 6321+ （D ）i 6321- （2）若集合}21log |{21≥=x x A ，则=A C R （）（A ）⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞⋃-∞,22]0,( （B ）⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞,22 （C ）⎪⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞⋃-∞,22]0,( （D ）⎪⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞,22 （3）设向量)21,21(),0,1(==b a ，则下列结论中正确的是（）（A ）||||b a =（B ）22=⋅b a （C ）b b a 与-垂直（D ）b a //（4）若)(x f 是R 上周期为5的奇函数，且满足,2)2(,1)1(==f f 则)4()3(f f -=（）（A ）-1（B ）1（C ）-2（D ）2（5）双曲线方程为1222=-y x ，则它的右焦点坐标为（）（A ）)0,22(（B ）)0,25(（C ）)0,26( （D ）)0,3( （6）设0>abc ，二次函数c bx ax x f ++=2)(的图象可能是（）（7）设曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧+-=+=θθsin 31cos 32y x （θ为参数），直线l的方程为023=+-y x ，则曲线C 到直线l 的距离为10107的点的个数为（）（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4（8）一个几何全体的三视图如图，该几何体的表面积为（）（A ）280 （B ）292 （C ）360 （D ）372（9）动点),(y x A 在圆122=+y x 上绕坐标原点沿逆时针方向匀速旋转，12秒旋转一周.已知定时t=0时，点A 的坐标是)23,21(，则当120≤≤t 时，动点A 的纵坐标y 关于t （单位：秒）的函数的单调递增区间是（）（A ）[0，1] （B ）[1，7] （C ）[7，12] （D ）[0，1]和[7，12]、（10）设}{n a 是任意等比数列，它的前n 项和，前2n 项和与前3n 项和分别为X ，Y ，Z ，则下列等式中恒成立的是（）（A ）Y Z X 2=+ （B ）)()(X Z Z X Y Y -=- （C ）XZ Y =2（D ）)()(X Z X X Y Y -=-第Ⅱ卷二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在答题卡的相应位置．（11）命题“对任何3|4||2|,>-+-∈x x R x ”的否定是．（12）6⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-x y y x 的展开式中，3x 的系数等于．（13）设y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥≥≤--≥+-,0,0,048,022y x y x y x 若目标函数)0,0(>>+=b a y abx z 的最大值为8，则b a +的最小值为．（14）如图所示，程序框图（算法流程图）的输出值=x ．（15）甲罐中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙罐中有4个红球，3个白球和3个黑球，先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以A 1，A 2和A 3表示由甲罐取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙罐中随机取出一球，以B 表示由乙罐取出的球是红球的事件，则下列结论中正确的是（写出所有正确结论的编号）①52)(1=B P ；②115)|(1=A B P ；③事件B 与事件A 1相互独立； ④A 1，A 2，A 3是两两互斥的事件；⑤)(B P 的值不能确定，因为它与A 1，A 2，A 3中究竟哪一个发生有关．三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，解答写在答题卡上的指定区域内．（16）（本小题满分12分）设ABC ∆是锐角三角形，c b a ,,分别是内角A ，B ，C 所对边长，并且.sin )3sin()3sin(sin 22B B B A +-+=ππ（Ⅰ）求角A 的值；（Ⅱ）若72,12==⋅a AC AB ，求c b ,（其中c b <）．（17）（本小题满分12分）设a 为实数，函数.,22)(R x a x e x f x ∈+-= （I ）求)(x f 的单调区间与极值；（II ）求证：当012ln >->x a 且时，.122+->ax x e x（18）（本小题满分13分）如图，在多面体ABCDEF 中，四边形ABCD 是正方形，EF//AB ，EF ⊥FB ，AB=2EF ，,90︒=∠BFC BF=FC ，H 为BC 的中点.（I ）求证：FH//平面EDB ；（II ）求证：AC ⊥平面EDB ；（III ）求二面角B —DE —C 的大小.（19）（本小题满分13分）已知椭圆E 经过点A （2，3），对称轴为坐标轴，焦点F 1，F 2在x 轴上，离心率.21=e （I ）求椭圆E 的方程；（II ）求21AF F ∠的角平分线所在直线l 的方程；（III ）在椭圆E 上是否存在关于直线l 对称的相异两点？若存在，请找出；若不存在，说明理由.（20）（本小题满分12分）设数列,,,21 a a ,n a 中的每一项都不为0.证明，}{n a 为等差数列的充分必要条件是：对任何N n ∈，都有.1111113221++=+++n n n a a na a a a a a（21）（本小题满分13分）品酒师需要定期接受酒味鉴别功能测试，一种通常采用的测试方法如下：拿出n 瓶外观相同但品质不同的酒让其品尝，要求其按品质优劣为它们排序，经过一段时间，等其记忆淡忘之后，再让其品尝这n 瓶酒，并重新按品质优劣为它们排序，这称为一轮测试.根据一轮测试中的两次排序的偏离程度的高低为其评分.现设n=4，分别以4321,,,a a a a 表示第一次排序时被排为1，2，3，4的四种酒在第二次排序时的序号，并令.|4||3||2||1|4321a a a a X -+-+-+-=则X 是对两次排序的偏离程度的一种描述.（I ）写出X 的可能值集合；（II ）假设4321,,,a a a a 等可能地为1，2，3，4的各种排列，求X 的分布列；（III ）某品酒师在相继进行的三轮测试中，都有2≤X ，（i ）试按（II ）中的结果，计算出现这种现象的概率（假定各轮测试相互独立）；（ii ）你认为该品酒师的酒味鉴别功能如何？说明理由.参考答案一、选择题（1）B （2）A （3）C （4）A （5）C （6）D （7）B （8）C （9）D （10）D 二、填空题（11）存在,-2-4|3x x x ∈≤R 使得||+| （12）15（若只写2466C C 或，也可）（13）4 （14）12 （15）②④ 三、解答题（16）解：（I）因为2211sin sin sin )sin 22A B B B B B =+-+222313cos sin sin ,444sin ,.3B B B A A A π=-+===所以又为锐角所以（II ）由12AB AC ⋅=可得cos 12.cb A = ① 由（I ）知,3A π=所以24cb = ②由余弦定理知2222cos ,a c b cb A a =+==将得③+②×2，得()100c b 2+=，所以10.c b +=因此，c ，b 是一元二次方程210240t t -+=的两个根. 解此方程并由6, 4.c b c b >==知（17）解：（I ）由()22,()2,.x x f x e x a x f x e x '=-+∈=-∈R R 知令()0,ln 2.,(),()f x x x f x f x ''==得于是当变化时的变化情况如下表：故()f x 的单调递减区间是(,ln 2)-∞，单调递增区间是(ln 2,)+∞，()ln 2f x x =在处取得极小值，极小值为ln 2(ln 2)2ln 222(1ln 2).f e a a =-+=-+ （II ）证：设2()21,,x g x e x ax x =-+-∈R 于是()22,.x g x e x a x '=-+∈R由（I ）知当ln 21,()(ln 2)2(1ln 2)0.a g x g a ''>-=-+>时最小值为,()0,()x g x g x '∈>R R 于是对任意都有所以在内单调递增,于是当ln 21,(0,),()(0),a x g x g >-∈+∞>时对任意都有而(0)0,(0,),()0.g x g x =∈+∞>从而对任意即22210,2 1.x x e x ax e x ax -+->>-+故（18）证明：（I ）设AC 与BD 交于点G ，则G 为AC 的中点，连EG ，GH ，又H 为BC 的中点，11//,//,//.22GH AB EF AB EF GH ∴∴又 ∴四边形EFHG 为平行四边形，∴EG//FH ，而EG ⊂平面EDB ，∴FH//平面EDB. （II ）证：由四边形ABCD 为正方形，有AB ⊥BC ，又EF//AB ，∴EF ⊥BC.而EF ⊥FB ，∵EF ⊥平面BFC ，∴EF ⊥FH ，∴AB ⊥FH. 又BF=FC ，H 为BC 的中点，∴FH ⊥BC. ∴FH ⊥平面ABCD ，∴FH ⊥AC ，又FH//BC ，∴AC=EG.又AC ⊥BD ，EG ⋂BD=G ，∴AG ⊥平面EDB.（III ）解：EF ⊥FB ，∠BFC=90°，∴BF ⊥平面CDEF ，在平面CDEF 内过点F 作FK ⊥DE 交DE 的延长线于K ，则∠FKB 为二面角B —DE —C 的一个平面角. 设EF=1，则AB=2，又EF//DC ，∴∠KEF=∠EDC ，∴sin ∠EDC=sin ∠∴FK=EFsin ∠，tan ∠FKB=BFFK=∴∠FKB=60° ∴二面角B —DE —C 为60°.（19）解：（I ）设椭圆E 的方程为22221x y a b +=2222222211,,2,3,221.43c e a c b a c e a x y c e ====-=∴+=由即得椭圆方程具有形式将A （2，3）代入上式，得22131,2,c c c+==解得 ∴椭圆E 的方程为221.1612x y +=（II ）解：由（I ）知12(2,0),(2,0)F F -，所以直线AF 1的方程为：3(2),3460,4y x x y =+-+=即直线AF 2的方程为： 2.x =由点A 在椭圆E 上的位置知，直线l 的斜率为正数. 设(,)P x y l 为上任一点，则|346||2|.5x y x -+=- 若346510,280x y x x y -+=-+-=得（因其斜率为负，舍去）. 所以直线l 的方程为：210.x y --=（III ）解：假设存在这样的两个不同的点1122(,)(,),B x y C x y 和2121121200001,.2(,),,,22BC y y BC l k x x x x y y BC M x y x y -⊥∴==-++==设的中点为则由于M 在l 上，故00210.x y -+= ①又B ，C 在椭圆上，所以有222211221 1.16121612x y x y +=+=与两式相减，得222221210,1612x x y y --+=即12211221()()()()0.1612x x x x y y y y +-+-+= 将该式写为122112211108262x x y y y y x x +-+⋅+⋅⋅=-，并将直线BC 的斜率BC k 和线段BC 的中点，表示代入该表达式中，得0000110,320.812x y x y -=-=即 ② ①×2—②得202,3x y ==，即BC 的中点为点A ，而这是不可能的. ∴不存在满足题设条件的点B 和C. （20）证明：先证必要性设数列{},0,n a d d =的公差为若则所述等式显然成立，若0d ≠，则12231111n n a a a a a a ++++32121122331()n nn n a aa a a a d a a a a a a ++---=+++1112231111111111111111(()()())()n n n n n a a d a a a a a a d a a d a a ++++-=-+-++-=-=11.n na a += 再证充分性.设所述的等式对一切n +∈N 都成立，首先，在等式122313112a a a a a a +=① 两端同乘123132123,2,,,a a a a a a a a a +=即得所以成等差数列，记公差为21,.d a a d =+则假设1(1),1k a a k d n k =+-=+当时，观察如下二等式12231121111,k kk a a a a a a a a --+++=② 122311111111k k k k k ka a a a a a a a a a -++++++=， ③ 将②代入③，得111111,k k k k k ka a a a a a ++-+= 在该式两端同乘11111,,(1).k k k a a a k a a ka ++-+=得将111(1),,.k k a a k d a a kd +=+-=+代入其中整理后得由数学归纳法原理知，对一切1(1),n n a a n d +∈=+-N 都有所以{}n a d 是公差为的等差数列. （21）解：（I ）X 的可能值集合为{0，2，4，6，8}.在1，2，3，4中奇数与偶数各有两个，所以23,a a 中的奇数个数等于13,a a 中的偶数个数，因此1334|1||3||2||4|a a a a ++--+-与的奇偶性相同，从而2324(|1||3|)(|2||4|)X a a a a =-+++-+-必为偶数. X 的值非负，且易知其值不大于8.容易举出使得X 的值等于0，2，4，6，8各值的排列的例子.（II ）可用列表或树状图列出1，2，3，4的一共24种排列，计算每种排列下的X 值，在等可能的假定下，得到（III ）（i ）首先(2)(0)(2)246P X P X P X ≤==+===，将三轮测试都有2X ≤的概率记做p ，由上述结果和独立性假设，得311.2166p == （ii ）由于152161000p =<是一个很小的概率，这表明如果仅凭随机猜测得到三轮测试都有2X ≤的结果的可能性很小，所以我们认为该品酒师确实有良好的味觉鉴别功能，不是靠随机猜测.。

2010年全国高考理科数学试题及答案-安徽

姓名座位号（在此卷上答题无效）绝密★启用并使用完毕前2010年普通高等学校招生全国统一考试（安徽卷）数学（理科）本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，满分150分．考试用时120分钟．注意事项：1．答卷前，务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的姓名、座位号，并认真核对答题卡上所粘贴的条形码中姓名、座位号与本人姓名、座位号是否一致．务必在答题卡背面规定的地方填写姓名和座位号后两位． 2．答第I 卷时，每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．3．答第Ⅱ卷时，必须使用0.5毫米黑色黑水签字笔在答题卡上．．．．书写，要求字体工整、笔迹清晰．作图题可先用铅笔在答题卡．．．规定的位置绘出，确认后再用0.5毫米的黑色签际笔描清楚．必须在题号所指示的答题区域作答，超出答题区域书写的答案．．．．．．．．．．．无效．．，在试题卷．．．．、草稿纸上答题无效．．．．．．．．．．4．考试结束，务必将试题卷和答题卡一并上交．参考公式：如果事件A 与B 互斥，那么 )()()(B P A P B A P +=+ 如果A 与B 是两个任意事件，0)(≠A P ，那么如果事件A 与B 相互独立，那么 )|()()(A B P A P AB P =)()()(B P A P AB P ≠第Ⅰ卷（选择题共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．（1）i 是虚数单位，=+ii 33（A ）12341- （B ）i 12341- （C ）i 6321+ （D ）i 6321- （2）若集合}21log |{21≥=x x A ，则=A C R（A ）⎪⎪⎭⎫⎝⎛+∞⋃-∞,22]0,( （B ）⎪⎪⎭⎫⎝⎛+∞,22 （C ）⎪⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞⋃-∞,22]0,( （D ）⎪⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞,22 （3）设向量)21,21(),0,1(==b a ，则下列结论中正确的是（A ）||||b a = （B ）22=⋅b a （C ）b b a 与-垂直（D ）b a // （4）若)(x f 是R 上周期为5的奇函数，且满足,2)2(,1)1(==f f 则)4()3(f f -=（A ）-1（B ）1（C ）-2（D ）2（5）双曲线方程为1222=-y x ，则它的右焦点坐标为（A ）)0,22(（B ）)0,25(（C ）)0,26(（D ）)0,3(（6）设0>abc ，二次函数c bx ax x f ++=2)(的图象可能是（7）设曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧+-=+=θθsin 31cos 32y x （θ为参数），直线l 的方程为023=+-y x ，则曲线C 到直线l 的距离为10107的点的个数为（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4（8）一个几何全体的三视图如图，该几何体的表面积为（A ）280 （B ）292（C ）360 （D ）372（9）动点),(y x A 在圆122=+y x 上绕坐标原点沿逆时针方向匀速旋转，12秒旋转一周.已知定时t=0时，点A 的坐标是)23,21(，则当120≤≤t 时，动点A 的纵坐标y关于t （单位：秒）的函数的单调递增区间是（A ）[0，1] （B ）[1，7] （C ）[7，12]（D ）[0，1]和[7，12]、（10）设}{n a 是任意等比数列，它的前n 项和，前2n 项和与前3n 项和分别为X ，Y ，Z ，则下列等式中恒成立的是（A ）Y Z X 2=+ （B ）)()(X Z Z X Y Y -=-（C ）XZ Y=2（D ）)()(X Z X X Y Y -=-（在此卷上答题无效）绝密★启用并使用完毕前2010年普通高等学校招生全国统一考试（安徽卷）数学（理科）第Ⅱ卷（非选择题共100分）考生注意事项：请用0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上．．．．．作答，在试题卷上答题无效．．．．．．．．．．二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在答题卡的相应位置．（11）命题“对任何3|4||2|,>-+-∈x x R x ”的否定是．（12）6⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-x y y x 的展开式中，3x 的系数等于．（13）设y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥≥≤--≥+-,0,0,048,022y x y x y x 若目标函数)0,0(>>+=b a y abx z 的最大值为8，则b a +的最小值为．（14）如图所示，程序框图（算法流程图）的输出值=x ．（15）甲罐中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙罐中有4个红球，3个白球和3个黑球，先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以A 1，A 2和A 3表示由甲罐取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙罐中随机取出一球，以B 表示由乙罐取出的球是红球的事件，则下列结论中正确的是（写出所有正确结论的编号）． ①52)(1=B P ； ②115)|(1=A B P ；③事件B 与事件A 1相互独立；④A 1，A 2，A 3是两两互斥的事件；⑤)(B P 的值不能确定，因为它与A 1，A 2，A 3中究竟哪一个发生有关．三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，解答写在答题卡上的指定区域内．（16）（本小题满分12分）设ABC ∆是锐角三角形，c b a ,,分别是内角A ，B ，C 所对边长，并且.sin )3sin()3sin(sin 22B B B A +-+=ππ（Ⅰ）求角A 的值；（Ⅱ）若72,12==⋅a ，求c b ,（其中c b <）．（17）（本小题满分12分）设a 为实数，函数.,22)(R x a x e x f x ∈+-= （I ）求)(x f 的单调区间与极值；（II ）求证：当012ln >->x a 且时，.122+->ax x e x（18）（本小题满分13分）如图，在多面体ABCDEF 中，四边形ABCD 是正方形，EF//AB ，EF ⊥FB ，AB=2EF ，,90︒=∠BFC BF=FC ，H 为BC 的中点.（I ）求证：FH//平面EDB ；（II ）求证：AC ⊥平面EDB ；（III ）求二面角B —DE —C 的大小.（19）（本小题满分13分）已知椭圆E 经过点A （2，3），对称轴为坐标轴，焦点F 1，F 2在x 轴上，离心率.21=e （I ）求椭圆E 的方程；（II ）求21AF F ∠的角平分线所在直线l 的方程；（III ）在椭圆E 上是否存在关于直线l 对称的相异两点？若存在，请找出；若不存在，说明理由.（20）（本小题满分12分）设数列,,,21 a a ,n a 中的每一项都不为0.证明，}{n a 为等差数列的充分必要条件是：对任何N n ∈，都有.1111113221++=+++n n n a a na a a a a a（21）（本小题满分13分）品酒师需要定期接受酒味鉴别功能测试，一种通常采用的测试方法如下：拿出n 瓶外观相同但品质不同的酒让其品尝，要求其按品质优劣为它们排序，经过一段时间，等其记忆淡忘之后，再让其品尝这n 瓶酒，并重新按品质优劣为它们排序，这称为一轮测试.根据一轮测试中的两次排序的偏离程度的高低为其评分.现设n=4，分别以4321,,,a a a a 表示第一次排序时被排为1，2，3，4的四种酒在第二次排序时的序号，并令.|4||3||2||1|4321a a a a X -+-+-+-=则X 是对两次排序的偏离程度的一种描述. （I ）写出X 的可能值集合；（II ）假设4321,,,a a a a 等可能地为1，2，3，4的各种排列，求X 的分布列；（III ）某品酒师在相继进行的三轮测试中，都有2≤X ，（i ）试按（II ）中的结果，计算出现这种现象的概率（假定各轮测试相互独立）；（ii ）你认为该品酒师的酒味鉴别功能如何？说明理由.参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．（1）B （2）A （3）C （4）A （5）C （6）D （7）B （8）C （9）D （10）D二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在答题卡的相应位置．（11）存在,-2-4|3x x x ∈≤R 使得||+|（12）15（若只写2466C C 或，也可）（13）4 （14）12 （15）②④三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，解答写在答题卡上的指定区域内．（16）（本小题满分12分）本题考查两角和的正弦公式，同角三角函数的基本关系，特殊角的三角函数值，向量的数量积，利用余弦定理解三角形等有关知识，考查综合运算求解能力.解：（I ）因为2211sin (sin )(sin )sin 2222A B B B B B =+-+222313c o s s i n s i n ,444s i n ,,.23B B B A A A π=-+==±=所以又为锐角所以（II ）由12AB AC ⋅=可得c o s 12.c b A =①由（I ）知,3A π=所以 24cb =②由余弦定理知2222cos ,a c b cb A a =+==将 ③+②×2，得()100c b 2+=，所以10.c b +=因此，c ，b 是一元二次方程210240t t -+=的两个根. 解此方程并由6, 4.c b c b >==知（17）（本小题满分12分）本题考查导数的运算，利用导数研究函数的单调区间，求函数的极值和证明函数不等式，考查运算能力、综合分析和解决问题的能力. （I ）解：由()22,()2,.xxf x e x a x f x e x '=-+∈=-∈R R 知令()0,ln 2.,(),()f x x x f x f x ''==得于是当变化时的变化情况如下表：故()f x 的单调递减区间是(,ln 2)-∞，单调递增区间是(ln 2,)+∞，()ln 2f x x =在处取得极小值，极小值为ln 2(ln 2)2ln 222(1ln 2).f ea a =-+=-+（II ）证：设2()21,,xg x e x ax x =-+-∈R于是()22,.xg x e x a x '=-+∈R由（I ）知当ln 21,()(ln 2)2(1ln 2)0.a g x g a ''>-=-+>时最小值为,()0,()x g x g x '∈>R R 于是对任意都有所以在内单调递增,于是当ln 21,(0,),()(0),a x g x g >-∈+∞>时对任意都有而(0)0,(0,),()0.g x g x =∈+∞>从而对任意即22210,2 1.x x e x ax e x ax -+->>-+故（18）（本小题满分13分）本题考查空间线面平行、线面垂直、面面垂直的判断与证明，考查二面角的求法以及利用向量知识解决几何问题的能力，同时考查空间想象能力、推理论证能力和运算能力.[综合法]（1）证：设AC 与BD 交于点G ，则G 为AC 的中点，连EG ，GH ，又H 为BC 的中点，11//,//,//.22GH AB EF AB EF GH ∴∴又 ∴四边形EFHG 为平行四边形，∴EG//FH ，而EG ⊂平面EDB ，∴FH//平面EDB.（II ）证：由四边形ABCD 为正方形，有AB ⊥BC ，又EF//AB ，∴EF ⊥BC.而EF ⊥FB ，∵EF ⊥平面BFC ，∴EF ⊥FH ，∴AB ⊥FH. 又BF=FC ，H 为BC 的中点，∴FH ⊥BC. ∴FH ⊥平面ABCD ，∴FH ⊥AC ，又FH//BC ，∴AC=EG.又AC ⊥BD ，EG ⋂BD=G ，∴AG ⊥平面EDB.（III ）解：EF ⊥FB ，∠BFC=90°，∴BF ⊥平面CDEF ，在平面CDEF 内过点F 作FK ⊥DE 交DE 的延长线于K ，则∠FKB 为二面角B —DE —C 的一个平面角.设EF=1，则AB=2，又EF//DC ，∴∠KEF=∠EDC ，∴sin ∠EDC=sin ∠∴FK=EFsin ∠tan ∠FKB=BFFK=∴∠FKB=60° ∴二面角B —DE —C 为60°. [向量法]∵四边形ABCD 为正方形，∴AB ⊥BC ，又EF//AB ，∴EF ⊥BC. 又EF ⊥FB ，∴EF ⊥平面BFC. ∴EF ⊥FH ，∴AB ⊥FH.又BF=FC ，H 为BC 的中点，∴FH ⊥BC ，∴FH ⊥平面ABC. 以H 为坐标原点，HB x 为轴正向，HF z 为轴正向，建立如图所示坐标系.设BH=1，则A （1，—2，0），B （1，0，0）， C （—1，0，0），D （—1，—2，0），E （0，—1，1）， F （0，0，1）.（I ）证：设AC 与BD 的交点为G ，连GE ，GH ，则(0,1,0),(0,0,1),(0,0,1)//.G CE HF HF GE -∴==∴又GE ⊂平面EDB ，HF 不在平面EDB 内，∴FH ∥平面EBD ，（II ）证： (2,2,0),(0,0,1),0,.AC GE AC GE AC GE =-=⋅=∴⊥又AC ⊥BD ，EG ∩BD=G ，∴AC ⊥平面EDB. （III ）解：(1,1,1),(2,2,0).BE BD =--=--设平面BDE 的法向量为111(1,,),n y z =则1111110,120,BE n y z BD n y ⋅=--+=⋅=--=111222222121212121,0,(1,1,0).(0,2,0),(1,1,1),(1,,),0,0,(1,0,1),1cos ,,||||2,60,y z n CD CE CDE y z CD y ∴=-==-=-=-=⋅===-⋅<>===⋅∴<>=n n n n n n n n n n n 即设平面的法向量为则故即二面角B —DE —C 为60°. （19）（本小题满分13分）本题考查椭圆的定义及标准方程，椭圆的简单几何性质，直线的点斜式方程与一般方程，点到直线的距离公式，点关于直线的对称等基础知识；考查解析几何的基本思想、综合运算能力、探究意识与创新意识.解：（I ）设椭圆E 的方程为22221x y a b+=2222222211,,2,3,221.43c e a c b a c e a x yc e ====-=∴+=由即得椭圆方程具有形式将A （2，3）代入上式，得22131,2,c c c +==解得 ∴椭圆E 的方程为221.1612x y +=（II ）解法1：由（I ）知12(2,0),(2,0)F F -，所以直线AF 1的方程为：3(2),3460,4y x x y =+-+=即直线AF 2的方程为： 2.x =由点A 在椭圆E 上的位置知，直线l 的斜率为正数. 设(,)P x y l 为上任一点，则|346||2|.5x y x -+=-若346510,280x y x x y -+=-+-=得（因其斜率为负，舍去）. 所以直线l 的方程为：210.x y --= 解法2：121212121(2,3),(2,0),(2,0),(4,3),(0,3).114(4,3)(0,3)(1,2).535||||2,:32(1),210.A F F AF AF AF AF AF AF k l y x x y -∴=--=-∴+=--+-=-∴=∴-=---=即（III ）解法1：假设存在这样的两个不同的点1122(,)(,),B x y C x y 和2121121200001,.2(,),,,22BC y y BC l k x x x x y y BC M x y x y -⊥∴==-++==设的中点为则由于M 在l 上，故00210.x y -+= ①又B ，C 在椭圆上，所以有222211221 1.16121612x y x y +=+=与两式相减，得222221210,1612x x y y --+= 即12211221()()()()0.1612x x x x y y y y +-+-+=将该式写为122112211108262x x y y y y x x +-+⋅+⋅⋅=-，并将直线BC 的斜率BC k 和线段BC 的中点，表示代入该表达式中，得0000110,320.812x y x y -=-=即 ② ①×2—②得202,3x y ==，即BC 的中点为点A ，而这是不可能的.∴不存在满足题设条件的点B 和C.解法2：假设存在1122(,),(,)B x y C x y l 两点关于直线对称，则1,.2BC l BC k ⊥∴=- 221,1,21612x y BC y x m =-++=设直线的方程为将其代入椭圆方程得一元二次方程2222134()48,120,2x x m x mx m +-+=-+-=即则12x x 与是该方程的两个根，由韦达定理得12,x x m += 于是121213()2,22m y y x x m +=-++= ∴B ，C 的中点坐标为3(,).24m m 又线段BC 的中点在直线321,1, 4.4m y x m m =-∴=-=上得即B ，C 的中点坐标为（2，3），与点A 重合，矛盾.∴不存在满足题设条件的相异两点.（20）（本小题满分12分）本题考查等差数列、数学归纳法与充要条件等有关知识，考查推理论证、运算求解能力.证：先证必要性设数列{},0,n a d d =的公差为若则所述等式显然成立，若0d ≠，则1223132********122311111111111()1111111(()()())1111()n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a a a d a a a a a a d a a a a a a a a d a a d a a ++++++++++---=+++=-+-++--=-=11.n na a +=再证充分性.证法1：（数学归纳法）设所述的等式对一切n +∈N 都成立，首先，在等式122313112a a a a a a += ①两端同乘123132123,2,,,a a a a a a a a a +=即得所以成等差数列，记公差为21,.d a a d =+则假设1(1),1k a a k d n k =+-=+当时，观察如下二等式12231121111,k k k a a a a a a a a --+++= ②122311111111k k k k k ka a a a a a a a a a -++++++=， ③将②代入③，得111111,k k k k k ka a a a a a ++-+=在该式两端同乘11111,,(1).k k k a a a k a a ka ++-+=得将111(1),,.k k a a k d a a kd +=+-=+代入其中整理后得由数学归纳法原理知，对一切1(1),n n a a n d +∈=+-N 都有所以{}n a d 是公差为的等差数列.证法2：[直接证法]依题意有1223111111,n n n n a a a a a a a a +++++= ①12231121211111.n n n n n n a a a a a a a a a a +++++++++= ②②—①得12121111n n n n nn a a a a a a +++++=-，在上式两端同乘112111,(1),n n n n a a a a n a na ++++=+-得同理可得11(1),n n a na n a +=-- ③③—④得122()n n n na n a a ++=+即211,{}n n n n n a a a a a +++-=-所以是等差数列，（21）（本小题满分13分）本题考查离散型随机变量及其分布列，考查在复杂场合下进行计数的能力，能过设置密切贴近生产、生活实际的问题情境，考查概率思想在现实生活中的应用，考查抽象概括能力、应用与创新意识.解：（I ）X 的可能值集合为{0，2，4，6，8}.在1，2，3，4中奇数与偶数各有两个，所以23,a a 中的奇数个数等于13,a a 中的偶数个数，因此1334|1||3||2||4|a a a a ++--+-与的奇偶性相同，从而2324(|1||3|)(|2||4|)X a a a a =-+++-+-必为偶数.X 的值非负，且易知其值不大于8.容易举出使得X 的值等于0，2，4，6，8各值的排列的例子.（II ）可用列表或树状图列出1，2，3，4的一共24种排列，计算每种排列下的X 值，在等可能的假定下，得到（III ）（i ）首先41(2)(0)(2)246P X P X P X ≤==+===，将三轮测试都有2X ≤的概率记做p ，由上述结果和独立性假设，得 311.2166p == （ii ）由于152161000p =<是一个很小的概率，这表明如果仅凭随机猜测得到三轮测试都有2X ≤的结果的可能性很小，所以我们认为该品酒师确实有良好的味觉鉴别功能，不是靠随机猜测.。